b
(即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线c
bx
ax
y+
+
=2与y轴交点的位置.
当0
=
x时,c
y=,∴抛物线c
bx
ax
y+
+
=2与y轴有且只有一个交点(0,c):
①0
=
c,抛物线经过原点; ②0
>
c,与y轴交于正半轴;③0
<
c,与y轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则0
<
a
b
.
例:已知二次函数c
bx
ax
y+
+
=2的图象如图所示,则下列结论正确的是
A.ab>0,c>0 B.ab>0,c<0 C.ab<0,c>0 D.ab<0,c<0
10.二次函数图象的平移
1. 平移步骤:方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k
=-+,确定其顶点坐标()
h k
,;
⑵保持抛物线2
y ax
=的形状不变,将其顶点平移到()
h k
,处,具体平移方法如下:
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移 |k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2
y=ax2+k
y=ax2
2. 平移规律:在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.
11.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
2
ax
y=
当0
>
a时
开口向上
当0
<
a时
开口向下
=
x(y轴)(0,0)
k
ax
y+
=20
=
x(y轴)(0,
k)
()2h
x
a
y-
=
h
x=(h,0)
()k
h
x
a
y+
-
=2
h
x=(h,k)
(1)一般式:c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. (2)顶点式:()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=. 13.直线与抛物线的交点
(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).
(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2
有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2
).
(3)抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程0
2
=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交;
②有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切; ③没有交点?0?抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2
的两个实数根.
(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组
c
bx ax y n kx y ++=+=2
的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时
?l 与G 只有一个交点;③方程组无解时?l 与G 没有交点.
(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021,,,
x B x A ,由于1x 、2x 是方程02
=++c bx ax 的两个根,故:a
c
x x a b x x =?-
=+2121, ()
()
a a ac
b a
c a b x x x x x x x x AB ?=-=-??
?
??-=--=
-=
-=44422
212
212
2121
例:抛物线322
--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点,则AB 的长为 .
例:已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ;一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102
.
(1)若该抛物线过点B ,且它的顶点P 在直线b x y +-=2上,试确定这条抛物线的解析式;
(2)过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ,若抛物线的对称轴恰好过C 点,试确定直线b x y +-=2的解析式.
14.一元二次方程与二次函数的关系
一元二次方程与二次函数的关系。(1)一元二次方程2
0ax bx c ++=(a ≠0)有两个不相等的实数根1x ,2x ?
判别式0?>?对应的二次函数2
y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴有两个交点为()1,0x ,()2,0x ?对应的二次函数2
y ax bx c =++(a ≠0)有两个不同的零点1x ,2x ;
(2)一元二次方程2
0ax bx c ++=(a ≠0)有两个相等的实数根1x =2x ?判别式0?=?对应的二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴有唯一的交点为(1x ,0)?对应的二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)有两个相同零点1x =2x ;
(3)一元二次方程2
0ax bx c ++=(a ≠0)没有实数根?判别式0?
y ax bx c =++(a
≠0)的图象与x 轴没有交点?对应的二次函数2
y ax bx c =++(a ≠0)没有零点.
15.二次函数在区间上的最值问题。
设()()02
>++=a c bx ax x f ,则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况:
a
b n m 2-
<< n a b m <-
<2即[]n m a
b ,2∈- n m a
b
<<-
2 图象
最大、最小值
()()
()()
n f x f m f x f ==min max
()()(){}
()?
?
?
??-==a b f x f m f n f x f 2,max min max
()()
()()
m f x f n f x f ==min max
对于开口向下的情况,讨论类似.其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论: (1)若[]n m a b ,2∈-
,则()()()????????? ??-=n f a b f m f x f ,2,max max ,()()()?????????
??-=n f a b f m f x f ,2,min min ; (2)若[]n m a
b
,2?-
,则()()(){}n f m f x f ,m ax max =,()()(){}n f m f x f ,m in min = 另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开对称轴轴越远,则对应的函数值越小.
16.二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =---;
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =++;
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2
y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)
2
y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-;
()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =--+.
5. 关于点()m n ,
对称:()2y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表
达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
17.二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数;下面以
0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系:
二次函数考查重点与常见题型
1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以x 为自变量的二次函数2)2(2
2
--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是 2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限,那么函数12
-+=bx kx y 的图像大致是( ) y y y y
1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D
3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为3
5
=
x ,求这条抛物线的解析式。 4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如: 已知抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与x 轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y 轴交点的纵坐标是-3
2
(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。 【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 (1)二次函数2y ax bx c =++的图像如图1,则点),(a
c b M 在( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
(2)已知二次函数y=ax 2
+bx+c (a ≠0)的图象如图2所示,?则下列结论:①a 、b 同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a ,b ,c 之间的关系,是解决问题的关键.
例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2,O)、(x 1,0),且1(O ,2)的下方.下列结论:①aO ;③4a+cO ,其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D .4个 答案:D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知:关于x 的一元二次方程ax 2
+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax 2
+bx+c 的对称轴是直线x=2,
则抛物线的顶点坐标为( )
A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D .(3,2) 答案:C 例4、(2006年市)如图(单位:m ),等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动,直到AB 与CD 重
合.设x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2
. (1)写出y 与x 的关系式;
(2)当x=2,3.5时,y 分别是多少? (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、 对称轴.
例5、已知抛物线y=
12x 2+x-52
. (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
(2)若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,求线段AB 的长.
【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系. 例6.已知:二次函数y=ax 2
-(b+1)x-3a 的图象经过点P(4,10),交x 轴于)0,(1x A ,)0,(2x B 两点)(21x x <,
交y 轴负半轴于C 点,且满足3AO=OB .
(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数的图象上是否存在点M ,使锐角∠MCO>∠A CO?若存在,请你求出M 点的横坐标的取值围;若不存在,请你说明理由.
(1)解:如图∵抛物线交x 轴于点A(x 1,0),B(x2,O), 则x 1·x 2=3<0,又∵x 1∴x 2>O ,x 1∴x 1·x 2=-3x 12=-3.∴x 12
=1. x 1<0,∴x 1=-1.∴.x 2=3.
∴点A(-1,O),P(4,10)代入解析式得解得a=2 b=3
∴.二次函数的解析式为y-2x 2
-4x-6. (2)存在点M 使∠MC0<∠ACO .
(2)解:点A 关于y 轴的对称点A ’(1,O),
∴直线A ,C 解析式为y=6x-6直线A'C 与抛物线交点为(0,-6),(5,24). ∴符合题意的x 的围为-1当点M 的横坐标满足-1∠ACO . 例7、 “已知函数c bx x y ++=
2
2
1的图象经过点A (c ,-2)
,
求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。
(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。
点评: 对于第(1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A (c ,-2)”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。