《函数的概念》教学设计
一、 知识内容解析
初中是在八年级上的第十四章《一次函数》中给出函数概念的：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。由于初中的教学大多从实际出发，比较生动，容易理解，所以大多数学生对于这个函数概念还是比较理解的。而高中函数的概念是：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。对比初高中函数概念，高中函数概念在初中函数概念上增加了集合思想。在教学中，应关注知识发展的必要性，为什么要从集合的角度给出函数的定义？为什么初中函数的定义会不能适应知识的发展趋势？通过师生对话共同研讨使学生意识到函数概念知识发展的自然性，从而得到更加合理的高中函数概念。而高中函数概念中只是规定了x和y的范围，将初中概念中的对应说成了对应关系f。如果在教学时，在得到高中函数概念后，再对比初中函数概念与高中函数概念，通过对初中学习的一次函数，二次函数，反比例函数加以集合角度理解函数概念的说明，能使学生更好的理解高中函数概念。通过这样的学习也帮助学生了解了初中函数概念和高中的函数概念并不是孤立的两个概念，高中函数概念是初中函数概念的深化，在学习高中函数概念时就不会有一种很陌生的感觉。
二、 教学任务分析
1、正确认识与接受函数概念的发展
学生所掌握的函数的概念只是局限于某些拥有解析式的函数模型，然而，函数广泛地存在于生活中，因此教师应通过实例，使学生建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。并能够在已掌握集合知识的前提下，利用集合与对应的语言来刻画函数，从集合的角度了解构成函数的三个要素。
2、正确理解与掌握高中函数概念
在形成高中函数的概念后，通过对学生已掌握的函数模型的进一步分析，使学生能够理解高中函数概念，并通过对一些函数的讨论，使学生认识到高中函数概念的优势和函数概念发展的必要性，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
三、教学重点与难点
重点：从集合与对应的角度认识与理解函数概念
难点：函数概念及符号 的理解
四、教学基本流程
五、教学过程设计
1、高
中数学函数概念的形成
问题一：在初中阶段，我们已经学习过函数，你还记得我们初中学习过哪些函数吗？初中时，我们知道的函数定义又是什么呢？
设计意图：通过对具体初中函数例子的回忆，帮助学生回忆初中函数定义: 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，都有唯一的y值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
问题二：现在我们已经回忆起来什么是函数了，那你能判断下面的这些例子能否构成函数吗？函数是不是都有解析式呢？
例1：图1中的曲线记录的是2009年2月20日自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股票指数的情况．
图1
例2：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中恩格尔系数随时间的变化而变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
时间（年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数（%） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
城镇居民的恩格尔系数（%）是时间（年）的函数吗？
设计意图：学生可以利用初中函数概念比较容易的判断出例1和例2均可以构成函数。但是这两个生活中函数的例子却又明显地不同于初中的函数，因为这两个函数并没有用解析式表示出来。虽然这两个函数没有用解析式的形式表达出来，但是概念中的“对于每一个x的值，都有唯一的y值与其对应”却依然满足。由此可见，一个函数中的x与y的对应关系不仅仅通过解析式的形式表达，解析式、图像、图表三种不同的方式都可以反应函数中的对应关系，因此一个函数既可以有解析式也可以没有解析式。有没有解析式并不是判断其是否为函数的依据，判断的关键在于x与y之间是否存在着函数定义中的对应关系。
问题三：一枚炮弹发射后，经过一定时间落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是
h＝130t－5t2．（*）
炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？为什么？
设计意图：从上面的分析可以发现，确定函数的关键在于：对于每一个x的值，y都有唯一的值与之相对应。检验学生是否抓住了函数定义中的本质。同时，加深这种理解认识。同时，可以追问：30秒后炮弹的高度是多少呢？可以发现，当 时，高度得到为负值，显然不符合实际情况，可见从合情合理的角度来说，函数的自变量 是有取值的范围的。那么你能找到这个例子中的每一个x的值吗？那么以上两个例子中的x的取值范围又是
什么呢？而这些x的值放在一起可以构成什么呢？慢慢地引导学生从集合的角度考虑这种对应关系。
问题四：我们发现，x与y之间的那种对应可以理解成为两个集合之间的对应关系。而且这两个集合都是数集。由此我们可以尝试从集合的角度来给函数一个新的定义吗？
设计意图：在前面几个例子的铺垫下，使学生发现、概括出函数的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，从而得到高中函数定义。
2、对高中函数概念的理解与巩固
问题一：利用函数定义判断下列关系能否构成函数
①已知 ， 是 的函数吗？
②高一（3）班数学摸底考试，每位同学的成绩是否为每位同学对应学号的函数？已知学号为15号的同学缺考
设计意图：加深对高中函数概念的理解，并从②中体会高中函数概念的广泛性。
问题二：我们已经得到了高中函数的定义，与初中函数的定义比较可以发现，高中函数定义是从集合的角度描述对应关系。同时在函数中出现了两个集合：定义域与值域。你能找到以上三个函数例子中的定义域与值域分别是什么吗？
设计意图：加深函数定义中对集合的理解，以及学生对加深定义域与值域的认识。
问题三：对于问题一的处理我们会发现函数定义域的确定往往是由实际问题中的某种限制决定的。而值域则是由什么确定下来的呢？
设计意图：一个函数如果定义域与对应关系确定了下来，那么值域就不会再发生变化了。因此定义域与对应法则共同决定了值域。可见：定义域、对应法则、值域是一个函数三要素。
问题四：我们说，函数是由非空数集A到非空数集B的按照对应关系 的一种对应。那么我能否说函数是由非空数集A到非空数集 的对应呢？如果可以，那么集合B与集合C一样吗？说明理由。
设计意图：通过此问题加强学生对于函数概念中对应的理解。集合A中的每一个x与集合B中的唯一的值y相对应。并没有要求集合B中的每一个值都被对应上，因此可以发现集合B并不等同于集合C即值域，它们之间的关系应该是 。
问题五：在初中阶段，我们认识的函数都是存在着解析式的，那么我们会把函数写成“ 解析式”的形式。而现在我们知道很多时候，函数的对应关系不能用解析式来表示出来，那么此时我们该怎样简便地表示这样的函数呢？
设计意图：解析式其实就是对应关系，而新函数定义中对应关系是用 来表示出来的。也就是自变量x在对应法则 的作用下得到函数值y。于是 。于是我们就清楚了 的意义就是函数值。比如在例2中， ；又比如在例1中， 。而对应法则之所以用 和 两个不同的字母表示，是
因为它们分别代表不同函数中的对应关系。由此，我们万不可将 理解成 乘以 。
3、利用高中函数概念进一步理解初中函数模型
例1：我们已经从集合与对应的角度理解了函数的定义。那么我们能否利用高中函数的定义再次认识初中函数模型呢？请尝试填写下面的表格。
函数 一次函数
二次函数
反比例函数
对应关系
定义域
值 域
设计意图：通过具体函数使学生进一步理解高中函数定义，并强调函数的定义域与值域一定要表示成集合的形式。
4、通过练习巩固学生对于高中函数概念的理解
例2：已知函数
⑴求函数的定义域
⑵求 的值
⑶当 时，求 的值
问题：我们说函数的三要素是定义域、值域还有对应法则 。其实，满足什么样的条件两个函数就相等呢？
设计意图：启发学生寻找到函数相等的判断条件。
例3：下列函数中，哪个与函数 相等呢？
① ② ③ ④
5、思考与讨论： 是函数吗？
设计意图：通过对此函数的分析会发现 符合高中函数定义，所以 函数。但是我们会发现它与初中函数定义中所提到的函数并不一致，在此函数中，并不存在两个变量。可见初中函数定义有一定的局限性。而高中函数定义从集合与对应的角度很好地刻画了函数定义。因此对比初中与高中函数的定义，会发现它们并不矛盾，并在其对应本质上是一样的。教师可以追问函数f（x）＝ 是函数吗？
6、小结
让学生自己概括本节课知识要点与收获。