第八讲 函数的应用自主招生讲义

高中数学《函数的应用》课件一、引言函数是数学中非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本节课程将重点讲解函数在实际问题中的应用，包括函数的模型建立和解决实际问题的方法等内容。

二、函数的模型建立1. 实际问题的转化实际问题中常常涉及到数量之间的关系，我们需要通过观察和分析将问题转化为函数的形式，建立数学模型。

2. 常见函数模型- 线性函数模型：y = kx + b- 二次函数模型：y = ax^2 + bx + c- 指数函数模型：y = a * b^x- 对数函数模型：y = a + b * log(x)- 正弦函数模型：y = A * sin(Bx)3. 实例分析以小明投掷物体的实例为例，通过观察小明投掷物体的高度与时间之间的关系，建立函数模型并进行求解。

三、实际问题的解决方法1. 方程求解函数应用问题中常常需要通过求解方程来得到结果，我们可以借助数学工具和方法来求解各种类型的方程。

2. 不等式求解有些问题中我们需要求解不等式来满足一定的条件，这时候我们可以利用函数的图像和性质来解决不等式。

3. 极值问题实际问题中，我们常常需要求解函数的最大值或最小值，通过对函数进行分析和求导来解决这类问题。

四、函数图像与应用1. 函数图像的绘制通过确定函数的定义域、值域、特殊点和关键点等，我们可以准确地绘制函数的图像，进一步观察和分析函数的性质。

2. 应用举例通过一些具体的实例，我们可以更好地理解函数图像在实际问题中的应用，如汽车行驶问题、物体运动问题等。

五、函数的应用拓展1. 经济学中的应用函数在经济学中有着广泛的应用，如成本函数、收益函数、供求关系等，通过函数分析和建模，可以对经济问题进行深入研究。

2. 物理学中的应用函数在物理学中也具有重要的地位，如质点的运动、电路中的电流电压关系等，这些都可以通过函数来描述和解决。

3. 生物学中的应用在生物学研究中，也常常使用函数来描述生物体的生长发育、种群数量变化等问题，通过函数模型可以得到一些有价值的结论。

1第二讲 函数高斯函数的性质对任意实数x,我们记不超过x 的最大整数为[x], 通常称函数y=[x]为取整函数, 又称高斯函数.进一步, 记{x}=x －[x], 则函数y={x}称为小数部分函数, 它表示的是x 的小数部分.根据高斯函数的定义, 可得到其如下性质.性质1 对任意x ∈R, 均有x －1<[x]≤x<[x]+1.性质2 对任意x ∈R, 函数y={x}的值域为.性质3 高斯函数是一个不减函数, 即对任意x1, x2∈R, 若x1≤x2, 则[x1] ≤[x2].性质3 若n ∈Z , x ∈R ,则有 [x+n]=n+[x], {n+x}={x}后一个式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.性质4 若x , y ∈R, 则 [x]+ [y]≤[x+y] ≤[x]+ [y]+1.性质5 若n ∈N*, x ∈R , 则[nx]≥n[x]性质6 若n ∈N*, x ∈R , 则]][[][n x n x =.性质7 若n ∈N*, x ∈R+, 则在区间[1,x]内, 恰有个整数是n 的倍数.性质8 设p 为质数, n ∈N*,在p 在n!的质因数分解式中的幂次为++=][][)!(2p np n n p1.方程解（函数零点）的问题例1.方程1220112011x ---= 一共有 个解.练习：1.所有的满足条件的正整数对的个数为 .2、设为方程的根（）, 则 __.例2.解方程: (3x-1)(/)+(2x-3)(/+1)=0.【评述】通过观察方程的特点, 将方程适当化简。

练习：1.（2012年北约）/2.若, 且为正整数, 则3.已知是实数, 二次函数满足, 求证: －1与1中至少有一个是的根.4.已知m, n 为正整数.(1) 用数学归纳法证明: 当x ＞－1时, (1＋x)m ≥1＋mx ；(2) 对于n ≥6, 已知, 求证：(m=1, 2, 3, …, n)；(3) 求出满足等式3n ＋4n ＋…＋(n ＋2)n ＝(n ＋3)n 的所有正整数n .25.关于的方程至少有一个解,则实数的范围是_____________6、求方程x2＋x ＝y4＋y3＋y2＋y 的整数解.2.函数值域（最值）问题例3 设A={a|a=7p,p ∈N*},在A 上定义函数f 如下：若a ∈A, 则f(a)表示a 的数字之和, 例如f(7)=7, f(42)=6, 设函数f 的值域是集合M.求证：M={n|n ∈N*, n ≥2}.例4 设正实数x, y 满足xy=1, 求函数f(x, y) =的值域.（其中（[x]表示不超过x 的最大整数）例5 求函数y =(++2)(+1),x ∈[0,1]的值域。

第八讲 导数的应用 教案【考点简介】本次课主要讲解导数和单调性的关系，从而推出导数在函数求值域和最值中的应用。

【知识拓展】1、导数和单调性的关系：函数的单调性：若函数f 在(,)a b 内可导，则f 在(,)a b 内递增（递减）的充要条件 是'()0f x ≥（'()0f x ≤），(,)x a b ∈。

2．函数的极值：定义： 已知函数()y f x =及其定义域内一点0x ，对于存在一个包含0x 的开区间内的所有点x ，如果都有0()()f x f x ＜，则称函数()y f x =在点0x 处取得极大值，记作0()y f x =极大值，并把0x 称为函数()y f x =的一个极大值点；如果都有0()()f x f x ＞则称函数()y f x =在点0x 处取得极小值，记作0()y f x =极大值，并把0x 称为函数()y f x =的一个极小值点极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

注意： （1）.函数()y f x =的最大（小）值是函数在指定区间内的最大（小）值；（2）.极值与最值不同，极值只是相对一点附件的局部性质，而最值是想对整个定义域内或所研究问题的整体性质。

极值的必要条件：若函数f 在0x 可导，且在0x 处取得极值，则0'()0f x =。

3.高阶导数定义（二阶导数） 若函数f 的导函数'f 在点0x 可导，则称'f 在点0x 的导数为f 在点0x 的二阶导数，记作)(''0x f ，即)('')(')('lim0000x f x x x f x f x x =--→，此时称f 在点0x 二阶可导。

如果f 在区间I 上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I 上的二阶可导函数，记作)(''x f ，I x ∈，或记作''f ，''y ，22dx yd 。

第八讲 函数1.（2005年复旦大学）定义在R 上的函数()(1)f x x ≠满足2002()2()40151x f x f x x ++=--，则(2004)f = .2. 定义在R 上的函数4()42x x f x =+，12()()n S f f n n =++ (1)()n f n-+，2n =，3，…（Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）问是否存在常数0M >，使得2n ∀≥有2311S S ++ (1)1n M S ++≤．3.已知()0)x f x a =>，求12()()10011001f f ++ (1000)()1001f .4.（2003同济大学）()f x 是周期为2的函数，在区间[1,1]-上，()||f x x =，则3(2)2f m +=（m 为整数）.5. 已知()|1||2|f x x x =++++…|2007||1||2|x x x +++-+-+…|2007|()x x R +-∈，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则a 的值有（ ）A. 2个B.3个C.4个D.无数个 6. 设1()1xf x x +=-，又记1()()f x f x =，1()(())k k f x f f x +=，1k =，2，…，则2007()f x =（ ） A.11x x +- B.11x x -+ C.x D.1x- 7. 对函数f ：[0,1][0,1]→，定义1()()f x f x =，…，1()(())nn f x f fx -=，*n N ∈，满足()n f x x=的点[0,1]x ∈成为f 的一个n _周期点．现设1202()12212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，问f 的n _周期点的个数为（ ）A.2n 个B.22n 个 C.2n个 D.2(21)n-个8. 设2()21x f x x =-，令1()()f x f x =，()1()()k k f x f f x +=，求10()f x 的表达式．9. 试确定，是否存在函数f ：N N →，使得对于任何n N ∈，都有(())2011f f n n =+成立？证明你的结论．10.（2007武大）如果函数212log ()y x ax a =--在区间1(,)2-∞-上单调递增，那么实数a 的取值范围为 .11.（2012卓越）已知(0,1)a ∈，(0,)4πθ∈，比较log sin (sin )a x θθ=和log tan (cos )a y θθ=的大小.12. 参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >）所表示的函数()y f x =是（ ）.A.图像关于原点对称B.图像关于x π=对称C.周期为2a π的周期函数D.周期为2π的周期函数 13.（交大2002保送）设()lg f x x =，a 、b 为实数，且0a b <<，若()()2()2a bf a f b f +==，试写出a 与b 满足的关系式，并证明在这一关系中存在b 满足34b <<.14.225{(,)|(1)(2)}4A x y x y =-+-≤，{(,)||1|2|2|}B x y x y a =-+-≤，A B ⊆，求a 的取值范围. 15.（2008上海交通大学）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，试判断[()]f f x x =是否有实数根？并证明你的结论.16.（08江苏）若()113x p f x -=，()2223x p f x -=，x R ∈，1p ，2p 为常数，且()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩.（Ⅰ）求()()1f x f x =对所有实数x 成立的充要条件（用1p ，2p 表示）；（Ⅱ）设a ，b 为两实数，a b <且12,p p ∈(),a b ，若()()f a f b =，求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）．17.（2005年上海交大）若2281ax x by x ++=+得最大值为9，最小值为1，求满足条件的实数a 、b .18. 求函数()f x =的最小值．29. 若实数,x y 满足2225x y +=，求函数(,)f x y =20. 求函数()f x =21. 设[],0,1x y ∈，求函数(,)f x y =22. 求函数()f x =23. 求函数2()1f x x =++24. 设(),,f x y z =λ，使得对于任何满足4x y z ++=的正数,,x y z ，都有(),,f x y z λ>．25.设正数,,,,,a b c x y z 满足c y b z +=，az cx b +=，bx ay c +=，求函数222(,,)111x y z f x y z x y z=+++++的最小值．26. 设实数0a b c d ≥≥≥>，求函数)1)(1)(1)(1(),,,(ad b d c a c b d b a c d c b a f ++++++++=的最小值.27. 设k 为正整数，如果f ：**N N →为严格递增函数，且对每个*n N ∈，都有：(())f f n kn =，求证：对每个*n N ∈，都有：21()12k k n f n n k +≤≤+．28. 设f ：R R →，满足：对任何x ，y R ∈，都有：()()(23)3()3()6f x f y f xy f x y f x x =+++-+，求()f x 的表达式．29.（2011清华大学）已知()f x 是定义在[0,1]上的非负函数，且(1)1f =，对任意的实数x 、y 、x y +∈[0,1] ，都有()()()f x y f x f y +=+.证明：()2([0,1])f x x x ≤∈.30.（2006北大）已知函数()f x 在[1,)+∞上是单调增函数，且对任意的x 、[1,)y ∈+∞，都有()()()f x y f x f y +=+成立，证明：存在实数k ，使得()f x kx =在[1,)x ∈+∞上成立.31.（2009上海交大）若函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++，且(0)1f '=，求()f x 的解析式.32.（2009南京大学）找出所有定义在实数集R 上且使(())()()()f f x y f x y f x f y xy +=++-对所有实数x 、y 都成立的函数()f x .33. 定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：①对任意的x 、(1,1)y ∈-都有()()()1x yf x f y f xy++=+；②当(1,0)x ∈-时，有()0f x >.求证：11()()511f f ++ (211)()()312f f n n +>++.34.f 是一个定义在平面上的实值函数，使得对于平面上的任一个正方形ABCD ，均有()()()()0f A f B f C f D +++=．问是否对于平面上的任一点P ，都有()0f P =？35.（2006年上海交大）对于函数(),f x y ，如果存在函数 ()()()(),,,a x b y c x d y ，使()()()()(),fx y a x b y c x dy =+，则称(),f x y 为p -函数. 试确定：()1.1xy +是否为p -函数？()222.1x y xy ++是否为p -函数？36. 证明：满足不等式1212x x ++--…20010200x +>-的实数x 的集合E 可以表为一些互不相交的开区间之并，试求出这些区间长度的总和．37.2011个实数122011, ,,x x x 满足方程组20111121k k x n k n ==++∑，1,2,,2011n = ，试计算 2011121k k x k =+∑的值.38.（2009 年上海交大）设n 与k 均为正整数，令()12kkk f n =++…kn +. 已知1()12f n =++…222n n n +=+，222()12f n =++...322326n n n n +=++，333()12f n =++ (4323)424n n n n +=++，观察上述各式右端的多项式的系数，说出其特点，进而求出4()f n .39. 对一切实数x ，不等式222333[(log )log (27)](log 3)10m m x m x ----<恒成立，求实数m 的范围.40. 二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()f x x =的两根1x 、2x 满足1210x x a<<<. （1）当10x x <<时，证明：1()x f x x <<；（2）设函数()f x 的图像关于0x x =对称，证明：102x x <.41. 已知a是实数，函数())f x x a =-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值. （i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得6()2g a -≤≤-.42.（2011北大）设p 、q 是实数，2()f x x px q =++，如果(())0f f x =只有一个实根，求证：p 、0q ≥.43. ，[]2()()()g x f x bf x c =++，如果函数()g x 有5个不同的零点，则( )A. b ＜-2且C ＞0B. b ＞-2且C ＜0C. b ＜-2且C=0D. b ≥-2且C ＞044.（2012复旦）设三次方程30x px q ++=的3个根互异，且可成等比数列，则它们的公比是 .45.（20121=的实根的个数.46.（2011复旦）设a 、b R ∈，0b ≠，α、β、γ是三次方程30x ax b ++=的3个根，则总以11αβ+、11βγ+、11γα+为根的三次方程是（ ）A. 232220a x abx b x a ++-=B. 232220b x abx a x b ++-= C. 232220a x ab x bx a ++-= D. 232220b x a bx ax b ++-=47.（2007上海交大）432()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ：（1）方程()0f x =总有相同的实根；（2）存在0x ，恒有0()0f x ≠.48.（2005上海交大）320x ax bx c +++=的三根分别是a 、b 、c ，并且a 、b 、c 是不全为零的有理数，求a 、b 、c 的值.49.（2011卓越联盟）若关于x 的方程24x kx x =+有四个不同的实数解，则k 的范围是 .50.（2012华约）请证明：方程2312!3!x x x ++++…0!nx n +=在n 为偶数的时候没有实数根，在n 为奇数的时候有且仅有一个实数根.51.（2009清华）是求出一个整系数多项式11()nn n n f x a x a x--=++…0a +，使()0f x =有一个根为。

函数的应用讲义一理清知识扫描1、零点的定义和意义：(1)对于函数y= f(x)()x D ∈，我们把使__________________成立的实数x 叫做函数y= f(x)()x D ∈的零点。

(2)函数y= f(x)的零点就是方程f(x)=0的________，亦即函数y= f(x)的图象与______交点的________ 2、二次函数的零点：二次函数y=ax 2+bx+c(a>0)在________时有二个零点；在________时有一个零点；在________时没有零点。

3、函数零点的判断：若函数y= f(x)在区间[a,b]上是一条_______的曲线，且有_________成立，那么函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点。

1．函数与方程（1）方程的根与函数的零点：如果函数)(x f y =在区间 [a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间 (a , b ) 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根。

（2）二分法：二分法主要应用在求函数的变号零点当中，牢记二分法的基本计算步骤， 即基本思路为：任取两点x 1和x 2，判断（x 1，x 2）区间内有无一个实根，如果f （x 1）和f （x 2）符号相反，说明（x 1，x 2）之间有一个实根，取（x 1，x 2）的中点x ，检查f （x ）与f （x 1）是否同符号，如果不同号，说明实根在（x ，x 1）区间，这样就已经将寻找根的范围减少了一半了．然后用同样的办法再进一步缩小范围，直到区间相当小为止． 2．函数的模型及其应用 （1）几类不同增长的函数模型利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

(2) 函数模型及其应用建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①收集数据；②画散点图，选择函数模型；③待定系数法求函数模型；④检验是否符合实际，如果不符合实际，则改用其它函数模型，重复②至④步；如果符合实际，则可用这个函数模型来解释或解决实际问题．解函数实际应用问题的关键：耐心读题，理解题意，分析题中所包含的数量关系（包括等量关系和不等关系）．二、考点阐述考点1函数的零点与方程根的联系（ ）1、已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点2、．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞3、 求132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44、函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。

函数的应用知识讲解一、常见的函数模型1.一次函数模型：()f x kx b =+（k 、b 为常数，0k ≠）；2.反比例函数模型：()kf x b x=+（k 、b 为常数，0k ≠）； 3.二次函数模型：2()f x ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，0a ≠）；4.指数函数模型：()xf x ab c =+f （x ）＝abx ＋c （a 、b 、c 为常数，0a ≠，0b >，1b ≠）；5.对数函数模型：()log a f x m x n =+（m 、n 、a 为常数，0a >，1a ≠）；说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．6.幂函数模型：()nf x ax b =+（a 、b 、n 为常数，0a ≠，1n ≠）；7.分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．二、数学建模含义：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程．可用框图表示为三、三种函数增长性的比较类型：指数函数x y a =，对数函数log a y x =，幂函数ay x =1.在区间(0)+∞，上，尽管函数(1)x y a a =>，log (1)a y x a =>和(0)ny x n =>都是增函数．但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，(1)xy a a =>的增长速度越来越快．会超过并远远大于(0)ny x n =>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log n xa x x a <<．2.在区间(0)+∞，上，尽管函数(01)x y a a =<<，log (01)a y x a =<<和(0)n y x n =<都是减函数．但它们的递减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，(01)xy a a =<<的递减速度越来越快．会超过并远远大于(0)ny x n =<的递减速度，而log (01)a y x a =<<的递减速度则会越来越慢．因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log x na x a x <<．典型例题一．选择题（共8小题）1．（2005•陕西）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表：例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（）A．6E B．72 C．5F D．B02．（2011•北京）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件3．（2014•温州模拟）某宾馆有n（n∈N*）间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为（）A．220元B．200元C．180元D．160元4．（2017春•汇川区校级期中）函数f（x）=的单调增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1），（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）5．（2003•北京）函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（）A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1]B．（﹣∞，0]，[1，+∞）C．[0，+∞），（﹣∞，1] D．[0，+∞），[1，+∞）6．（2017春•马尾区校级期中）已知f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，则满足＜的x取值范围是（）A．，B．，C．，D．，7．（2015秋•阜阳期末）函数y=﹣x2+1的单调递增区间为（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）二．填空题（共4小题）8．（2015秋•绥棱县校级期中）函数y=（k+2）x+1在实数集上是增函数，则k 的范围是．9．（2016秋•虹口区校级期末）函数的单调递增区间为．10．根据图象写出函数y=f（x）的单调区间：增区间；减区间：．11．（2016秋•张家港市期中）一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值为（万元）（用数字作答）．三．解答题（共3小题）12．（1962•全国）某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）13．画出下列函数的图象，并写出它的定义域、值域、单调区间、最大最小值．（1）y=2|x|﹣1；（2）y=|2x﹣1|；（3）y=x2﹣4|x|+3；（4）y=|x2﹣4x+3|．14．判断函数y=x+的单调性并证明．。