应用数理统计
第二章 数理统计基本概念
1、设()12,,
,n ξξξ为0—1分布的一个样本，问：
（1）求样本均值ξ的期望与方差；（2）求修正样本方差2
*S 的期望；（3）试证()21S ξξ=-。 解：由于()0,1ξ
，所以E p ξ=，()1D p p ξ=-
（1）()11
1111n n
n i i i i i E E E E p n n n ξξξξ===??==== ???∑∑∑
()()()22211
11111111n n
n i i i i i D D D D np p p p n n n n n ξξξξ===??====-=- ???∑∑∑
（2）()
()222112
*1111n n i i i i E S
E E n n n ξξξξ==??????=-=-?? ???--?????
?∑∑
()()()()()()2222111111n n i i i i i E nE D E n D E n n ξξξξξξ==????????=-=+-+?????
???????--????∑∑ ()()()22111111n p p p n p p p p p n n ??????=
-+--+=-??????-????
（3）由于()0,1ξ
，所以2
1
1
n
n
i
i i i ξξ===∑∑，故
()()22
2222
22111111111n n n n i i i i i i i i S n n n n n ξξξξξξξξξξξξ====??=-=-=-=-=-=- ???∑∑∑∑，得证。
2、设总体()0,1N ξ
，()12,,,n ξξξ为其样本，问：
（1）求样本方差2S 的分布密度；（2）求样本标准差S 的分布密度。
解：（1）由于()0,1N ξ
，
所以根据定理，()()
()
()2
2
21
2
2
1
2
*11n
i n
i i i n S
n ξξξξχσσ==--=
=--∑∑，
而()21n χ-的分布密度为：
()11221
21,01;1220
,0n x
n x e x n f x n x ----?>?-???
-=Γ? ?
????≤? ()
2
2
1
1n
i i S n ξξ
==-∑，所以样本方差2S 的分布密度为：
()()()21311222221
122
11,01;122220
,0nx n n nx n n n S nx e nx n x e x n n f x n x ----
----?'?=>?-?????-=ΓΓ? ? ?
?????
?≤? 同理，样本标准差S 的分布密度为：
()()()2
2111222
2222132211,01;122220
,0nx n n n x n n n S nx e nx n x e x n n f x n x --------?'?=>??-????-=ΓΓ? ? ?
??????≤? 3、设(),F F m n ，而1
ln 2
Z F =，求Z 的分布密度。
解：由于(),F
F m n ，所以F 的分布密度为：
()22
1221,0;,220
,0m m n m m n m m x x x m n f x m n n n x +--?+??Γ ?????????+>? ? ?=?????????ΓΓ ? ???????
≤?? 根据题意，1
ln 2
Z F =
，
所以2Z F e =，且0F >，所以Z -∞<<+∞，所以Z 的分布密度为：
()()()2
21222222;,122m m n m Z Z Z Z m n m m f f e m n e e e m n n n +--??+??Γ ???????'????==+?? ?
???????????
ΓΓ ? ?????????
整理得：
()()222222;,,22m n
mZ Z m n
Z m n e f x m n m n x m n n me ++??Γ ???=-∞<<+∞????ΓΓ+ ? ?????
4、某半导体厂生产的某种零件厚度()2,N ξ
μσ，为保证质量，规定当0.60mm σ≤时，认
为生产过程处于良好控制状态。为此，每隔一定时间抽一个零件测量它的厚度，共抽取20个零件作为一个样本，并计算样本方差2
*S 。若{
}
2
*0.01P S c ≥≤（此时用0.60σ=），则认为生产过程失去控制，必须停产检查，问：（1）c 为何值时，2
*S c ≥的概率才小于或等于0.01？（2）若取得的一个样本的标准差2
*0.84S =，生产过程是否处于良好的控制状态？
解：（1）由定理可知：
()()2
2
2
*11n S
n χσ
--，即
()22
2
*19190.60S χ，所确定的失去良好控制
的标准{
}
2
*0.01P S
c ≥≤，即22
2
*191952.780.990.600.60S c P c ????
<=≥??????
。 由2χ分布表，查得()2
0.991936.191χ=，故52.7836.191c ≥，即0.686c ≥。
（2）根据题意，得：2222*19190.840.99S P c σσ?????=<≥??????
，所以()22
0.992
190.841936.191χσ?==，解得：0.860.60σ=>，因此生产过程处于失控的状态。
5、设总体ξ的密度函数为()2,01
0,x x p x <
其它，取出容量为4的样本()1234,,,ξξξξ，求：（1）
顺序统计量()3ξ的密度函数()3p x ；（2）()3ξ的分布函数()3F x ；（3）()312P ξ?
?>???
?。
解：根据题意，总体ξ的分布函数为()20,0
,011,1x F x x x x
=≤
，当01x <<时，顺序统计量()3ξ的
密度函数
()()()
()()()()
(
)()2
122
3!
121!i n i n p x F x F x p x x x x
x
x i n i --????=
-=-=
-????--，即：
()()52
3241,01
0,x x x p x ?-<
，所以()3ξ的分布函数()6830,043,011,1x F x x x x x
()68
331111243
11430.9492222256P F ξ??????????>=-=--=≈???? ? ? ?????????????
。
第三章 参数估计
1、设总体ξ的密度函数为()()()11;10a
a x
x p x a a ?+<-?
??
0 其它，()12,,,n ξξξ为其样
本，求参数a 的矩估计量?m a
与极大似然估计量?l a ，现得到样本值为0.1，0.2，0.9，0.8、0.7、0.7，求参数a 的估计值。
解：（1）根据题意，()1
1
200
11122a a a a E x a x dx x a a ξ+++=?+==++?。解得，21
1E a E ξξ-=-，所以参
数a 的矩估计量2121?11m E a
E ξξξξ--==--，代入样本均值17
30
ξ=，得：214?113m a
ξξ-==-。
（2）根据题意，似然函数()()()()111,;11a
n n n
n a i i i i L a x p x a a x a x ===?
?==+=+ ???
∏∏∏，取对数
得：()()()()111ln ,ln 1ln 1ln ln 1ln a
n n n
n
i i i i i i L a x a x n a a x n a a x ===??
=+=++=++ ???
∑∏∏。
令
()1
ln ,ln 01n
i i L a x n x a
a =?=+=?+∑，解得：1
1ln n
i
i n
a x
==--∑，所以参数a 的极大似然估计
量1
?1ln l n
i
i n
a
ξ
==--∑，代入样本值，计算得：1
6
?110.211ln 0.007056
ln l n
i
i n
a
ξ
==--=-
-=∑。
2、已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：小时）为：1067、919、1196、785、1126、936、918、1156、920、948，设总体参数均为未知，试用极大似然估计法估计这星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率。
解：由于()2
,N ξ
μσ
，所以其似然函数(
)()
()
2
2
12
22
2
2221
1,2n
i i i n n
i L e ξμξμσ
σμσπσ=----=∑??== ???
，
取对数得：()()
2
221
2
ln ,ln 2ln 22
2n
i i n n
L ξμμσπσσ
=-=---
∑
令()()()()()2212222221
ln ,10ln ,1022n
i i n i i L L n μσξμμσμσξμσσσ==???=-=??????=-+-=????∑∑，解得：()12211?1?n i i n i i n n μξξσξξ==?==??
??=-??∑∑
根据定理，由于()2,N ξ
μσ，所以
()0,1N ξμ
σ
-，故所求概率为：
{}?1300130013000?P P P ξμμξμμξσσσσ----????->=>=>????????
，计算得?997.1μ=，?124.8σ=，代入上式中计算得：
{}?130********.113000?124.8P P P ξμμξμξσσσ----????
->=>=>????????
2.431(2.43)10.99250.0075P ξμσ-??
=>=-Φ=-=????
3、设12,,,n ξξξ是总体(
)2
,N μσ
的一个样本，试选择合适的常数c ，使1
2
11
()n i i
i c ξ
ξ-+=-∑为2σ
的无偏估计量。 解：由于()21
,i N ξμσ+，()2,i N ξμσ，且彼此相互独立，故()210,2i i
N ξξσ+-
，于是
()
0,1N ，从而
()()2
122
12i i ξξχσ+-，()2
212i i E ξξσ+-=，所以
()()()22
2
2111121n n
i i i i i i E c c E c n ξξξξσσ++==??-=-=-????
∑∑，解得：()
1
21c n =
-。
4、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为：2.14、2.10、2.13、2.1
5、2.13、2.12、2.13、2.10、2.15、2.12、2.14、2.10、2.13、2.11、2.14、2.11，设钉长分布为正态的，试求总体均值μ的90%置信区间：当（1）若已知0.01cm σ=；（2）若σ为未知。 解：（1）根据题意， 当00.01cm σσ==为已知时，总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间为：
1122,ααξξ--?? ??
? 其中，16n =，0.10α=，查表得0.95 1.645u =， 2.125ξ=，代入上式中得：()2.1209,2.1291，即：总体均值μ的90%置信区间为()2.1209,2.1291。 （2）根据题意， 当σ为已知时，总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间为：
(
)()11221,1n n ααξξ--??-+- ???
其中，16n =，0.10α=，查表得()0.9515 1.7531t =， 2.125ξ=，0.01713S =，代入上式中得：()2.1175,2.1325，即：总体均值μ的90%置信区间为()2.1175,2.1325。
5、随机地从A 批导线中抽取4根，B 批导线中抽取5根，测得其电阻（Ω）为，A 批导
线：0.143、0.142、0.143、0.137；B 批导线：0.140、0.142、0.136、0.138、0.140，设测试数据分别服从正态分布()
21,N μσ和()
22,N μσ，并且相互独立，又212,,μμσ均为未知，试求12μμ-的95%的置信区间。
解：根据题意，12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为：
(
)()12121212222,2S n n S n n ααξξξξ--??--+--++- ? ???
其中，14n =，25n =，0.05α=，查表得()0.9757 2.3646t =，10.14125ξ=，210.00000825S =，
20.1392ξ=，2
20.00000520S =，所以()()22
1122212110.000006512
w
n S n S S n n -+-=
=+-，代入上式中
得：()0.002,0.006-，即：12μμ-的95%的置信区间为()0.002,0.006-。
6、某自动机床加工同类型套筒，假设套筒的直径服从正态分布，现在从两个不同班次的产品中各抽验了5个套筒，测定它们的直径，得如下数据，A 班：2.066、2.063、2.068、2.060、2.067；B 班：2.058、2.05
7、2.063、2.059、2.060，试求两班次所加工的套筒直径
的方差之比22
A B σσ的90%的置信区间。
解：根据题意，22
A B σσ的置信水平为1α-的置信区间为：
()()22
22
122,
1,11,1A A B B A B A B S S S S F n n F n n αα-?? ? ? ?---- ???
其中，5A B n n ==，0.10α=，查表得()0.954,4 6.39F =，()()0.050.9511
4,40.1564,4 6.39
F F =
==，
20.0000107A S =，20.0000053B S =，代入上式中得：()0.3159,12.9006，即：两班次所加工的套筒直径的方差之比22
A B σσ的90%的置信区间为()0.3159,12.9006。
第四章 假设检验
1、两位化验员A 、B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一种方法做了5次分析，得到修
正样本方差分别为0.4322和0.5006，若A 、B 测定值的总体都服从正态分布，其方差分别
为2A σ、2B σ，试在显著性水平0.05下检验方差齐性，假设22
0:A B H σσ=。 解：根据题意，在显著性水平α下，检验方差齐性，即检验22
22
01::A
B A B H H σσσσ=≠
0H 的拒绝域为：
()()11221,11,1A B A B C F F F n n F F n n αα-
??
=≤--≥--????
或
其中，5A B n n ==，0.05α=，查表得()0.9754,49.60F =，()()
0.0250.97511
4,40.1044,49.60
F F =
=
=，2
20.4322
0.8630.5006
A
B
S F S
=
==。
因为()0.0254,4F F >，所以接受0H ，即认为在显著性水平0.05下方差具有齐性。
2、甲、乙两台机床生产同一型号的滚珠，由过去的经验知道，滚珠的直径服从正态分布，其期望值等于设计值。现从这两台机床的产品中抽取8个和9个，测得滚珠的直径如下，甲机床：15、14.5、15.2、15.5、14.8、15.1、15.2、14.8；乙机床：15.2、15、14.8、15.2、15、15、14.8、15.1、14.8，问：乙机床的加工精度是否比甲机床的高？（0.05α=）
解：根据题意，在显著性水平α下，检验2222
01::A
B A B H H σσσσ≥<，
0H 的拒绝域为：
(){}111,1A B C F F F n n α-=<--
其中8A n =，9B n =，0.05α=，查表得()0.957,8 3.50F =，20.0955A S =，2
0.0261B S =，
2
20.0955
3.6590.0261
A
B
S F S
=
==。
因为()0.957,8F F >，所以接受0H ，即认为在显著性水平0.05下，乙机床的加工精度比甲机床的高。
3、从总体ξ中抽取容量为80的样本，频数分布如下表，试问在显著性水平0.025α=下，
总体ξ的分布密度()2,01
0,x x p x ≤≤?=??其它
是否可信。
解：根据题意，在显著性水平α下，检验0:H 总体ξ的分布函数为()20,0
,011,1x F x x x x
=≤≤??>?
，
0H 的拒绝域为：
(){}
222111C k r αχχχ-=≥--
其中0.025α=，4k =，0r =，查表得()2
0.97539.348χ=，()
2
4
21
i i i i
n np np χ=-=∑
的值列表计算于
因为()22
0.9753χχ<，所以接受0H ，即认为在显著性水平0.025下，总体ξ的分布函数
为()20,0
,011,1
x F x x x x
=≤≤??>?
可信，即总体ξ的分布密度()2,010,x x p x ≤
≤?=??其它可信。
解：根据题意，在显著性水平α下，检验0:H 该种感冒药的疗效与年龄相互独立，
0H 的拒绝域为：
()(){}
2221111C r s αχχχ-=≥--
其中3r s ==，0.05α=，查表得()2
0.9549.488χ=，()
2
211
13.586r
s
ij
i j i j i j
n v
v v nv v χ??==???-===∑∑
。
因为()22
0.954χχ>，所以拒绝0H ，即认为在显著性水平0.05下，该种感冒药的疗效与
年龄有关。
5、甲、乙两个车间生产同一种产品，要比较这种产品的某项指标的波动情况，从这两个车间连续13天取得反映波动大小的数据如下，甲车间：1,13、1.2
6、1.16、1.41、0.86、1.39、1.21、1.22、1.20、0.62、1.18、1.34、1.57；乙车间：1.21、1.31、0.99、1.59、1.41、1.48、1.31、1.12、1.60、1.38、1.60、1.84、1.95。在0.05α=下，用符号检验法检验假设“这两个车间所生产的产品的该项指标的波动性情况的分布重合”。 解：根据题意，在显著性水平α下，检验0:H 这两个车间所生产的产品的该项指标的波动性情况的分布重合，
0H 的拒绝域为：
{}1C S S S α=≤
其中，0.05α=，查表得2S α=，()min ,S n n +-=的值列表计算如下表：
因为()min ,2S n n S α+-===，所以拒绝0H ，即认为在显著性水平0.05下，这两个车间所生产的产品的该项指标的波动性情况的分布不重合。
6、容量19n =，210n =的样品，描述两个班的劳动生产率如下，第一班：28、33、39、40、41、42、45、46、47；第二班：34、40、41、42、43、44、46、48、49、52，在显著性水平0.05α=下，两个班的劳动生产率是否相同？
解：根据题意，在显著性水平α下，检验0:H 两个班的劳动生产率相同，
0H 的拒绝域为：
112**C T T u α-??=≥???
?
其中，19n =，210n =，0.05α=，查表得0.975 1.96u =，*T 的值列表计算如下表：
相同，存在显著性差异。
第五章 回归分析
1、合成纤维的强度y 与其拉伸倍数x 有关，测得实验数据如下，问：（1）求y 对x 的回归
直线；（2）检验回归直线的显著性（0.05α=）；（3）求06x =时，0y 的预测值及预测区间（置信度为0.95）。
解：经计算得，12
1
64.8i i x ==∑，12
11 5.412i i x x ===∑，12
21428.18i i x ==∑，
12
157.5i i y ==∑，1211 4.7912i i y y ===∑，122
1335.63i i y ==∑，121378i i i x y ==∑ （1）()
2
12
12
122
2
211
111428.1864.878.261212xx i i i i i i L x x x x ===??=-=-=-?= ???∑∑∑
()()12
12
1212
11
111137864.857.567.51212xy i i i i i i i i i i L x x y y x y x y ====????
=--=-=-??= ???????∑∑∑∑
()
2
12
12
122
2
21
1
111335.6357.560.111212yy i i i i i i L y y y y ===??=-=-=-?= ???∑∑∑
于是得：167.5?0.862578.26
xy xx L L β===，01
?? 4.790.8625 5.40.1341y x ββ=-=-?=，从而得到y 对x 的回归直线为：?0.13410.8625y
x =+。 （2）在显著性水平α下，检验0111:0
:0H H ββ=≠
0H 的拒绝域为：
(){}111,2C F F F n α-=≥-
其中，12n =，0.05α=，查表得()0.951,10 4.96F =，回归平方和1?0.862567.558.22xy U L β==?=，残差平方和60.1158.22 1.89yy Q L U =-=-=，()58.22
210308.041.89
U F n Q =
?-=?=。 因为()0.951,10F
F ，
所以拒绝0H ，即认为在显著性水平0.05下，直线的回归性显著。 （3）06x =时，0y 的回归值为0?0.13410.86256 5.3091y
=+?=，计算预测半径，得：(
12
2 2.2281 1.0103d t
n α-
=-==，所以0
y 的预测区间为()5.3091 1.0103,5.3091 1.0103-+，即0y 的预测区间为()4.2988,6.3194。 2、某公司在15个地区的某种商品的销售额y 和各地区的人口数1x 以及平均每户总收入数
2x 的统计资料如下表，求：（1）y 对1x 、2x 的回归平面方程；（2）对所得的回归方程进行
显著性检验（0.05α=）；（3）对1x 、2x 的显著性进行检验（0.05α=）。
解：经计算得，15
113626i i x ==∑，151111241.7315i i x x ===∑，152
11
1067614i i x ==∑，15
11647107i i i x y ==∑，
15
2144428i i x ==∑，1522112961.8715i i x x ===∑，152
21
139063428i i x ==∑，15
217096619i i i x y ==∑， 15
12259i i y ==∑，15
11150.615i i y y ===∑，15
21394107i i y ==∑ （1）15
222
11111
15106761415241.73191088.93i i i L x x ==-=-?=∑
15
122112121
151141918115241.732961.87679452.47i i i i i L L x x x x ===-=-??=∑
15
2222222115139063428152961.877473615.73i i i L x x ==-=-?=∑
15
11111564710715241.73150.6101031.4y i i i L x y x y ==-=-??=∑
15
2221
157096619152961.87150.6405762.2y i i i L x y x y ==-=-??=∑
15
2221
1539410715150.653901.6yy i i L y y ==-=-?=∑
采用Matlab 软件计算矩阵L 的逆矩阵1
L -，得：1
50.773290.07030100.070300.01977L ---??=? ?-??
，于
是得1152?0.773290.07030101031.40.4960?10?0.070300.01977405762.20.0092L D βββ--??-??????===??= ? ? ? ? ?-????????
，011??y x ββ=-- 22
?150.60.4960241.730.00922961.87 3.4511x β=-?-?=，从而得到y 对1x 、2x 的回归平面方程为12? 3.45110.49600.0092y
x x =++。 （2）在显著性水平α下，检验012:0H ββ==
0H 的拒绝域为：
(){}11,1C F F F m n m α-=≥--
其中，15n =，2m =，0.05α=，查表得()0.952,12 3.89F =，回归平方和1122??y y
U L L ββ=+= 0.4960101031.40.0092405762.253844.6?+?=，残差平方和53901.653844.6yy Q L U =-=- 57=，153844.612
5667.85572
U n m F Q m --=
?=?=。 因为()0.952,12F
F ，
所以拒绝0H ，即认为在显著性水平0.05下，回归平面方程的回归性显著。 （3）在显著性水平α下，检验()0:0
1,2i i H i β==
0H 的拒绝域为：
()1121i C t t t n m α-??
=≥--????
其中，15n =，2m =，0.05α=，查表得()0.97512 2.1788t =
， 2.179S ===，
所以1?81.86t =
=
=
，2?9.50t =
=
=。
因为()10.97512t t >，()20.97512t t >，所以拒绝0H ，即认为在显著性水平0.05下，各地区的人口数1x 以及平均每户总收入数2x 对某种商品的销售额y 的线性影响都是显著的。 3、某矿脉中13个相邻样本点处某种金属的含量y 与样本点对原点的距离x 有如下实测值：
分别按（1）y a =+（2）ln y a b x =+，（3）y a x
=+建立y 对x 的回归方程，并用相关系数R =
记r =ln s x =，1
t x =。所以，经计算得：13
1
39.5516i i r ==∑，1311 3.042413i i r r ===∑，
132
1132i i r ==∑，1314362.0890i i i r y ==∑；13
127.4678i i s ==∑，13
11 2.112913i i s s ===∑，13
21
64.3713i i s ==∑，13
13030.5645i i i s y ==∑；13
1
2.0509i i t ==∑，13110.157813i i t t ===∑，132
10.5372i i t ==∑，13
1223.3650i i i t y ==∑。 13
11429.17i i y ==∑，13
11109.936213i i y y ===∑，12
21157138.6635i i y ==∑。 （1）()13
13
2
2221
1
1313213 3.042411.6670rr i i i i L r r r r ===-=-=-?=∑∑
()()1313
1
1
134362.089013 3.0424109.936213.9389ry i i i i i i L r r y y r y ry ===--=-=-??=∑∑
()13
13
2
2221
1
13157138.663513109.936221.2105yy i i i i L y y y y ===-=-=-?=∑∑
于是得：113.9389? 1.19511.6670
ry rr L L β===，01
??109.9362 1.195 3.0424106.301y r ββ=-=-?=，从而得到y 对x
的回归直线为：?106.301y
=+
相关系数0.886r R ======
（2）()13
13
2
2221
1
1364.371313 2.1129 6.3343ss i i i i L s s s s ===-=-=-?=∑∑
()()1313
1
1
133030.564513 2.1129109.936210.8568sy i i i i i i L s s y y s y sy ===--=-=-??=∑∑
()13
13
2
2221
1
13157138.663513109.936221.2105yy i i i i L y y y y ===-=-=-?=∑∑
于是得：110.8568? 1.7146.3343
sy ss L L β===，01
??109.9362 1.714 2.1129106.315y s ββ=-=-?=，从而得到y 对x 的回归直线为：?106.315 1.714ln y
x =+。
相关系数0.937s R ===
==
=
（3）()
13
13
2
2221
1
130.5372130.15780.2137tt i i i i L t t
t t ===-=-=-?=∑∑
()()13
13
1
1
13223.3650130.1578109.9362 2.1011ty i i i i i i L t t
y y t y ty ===--=-=-??=-∑∑
()13
13
2
2221
1
13157138.663513109.936221.2105yy i i i i L y y y y ===-=-=-?=∑∑
于是得：1 2.1011?9.8330.2137
ty tt L L β-===-，01??109.93629.8330.1578111.487y t ββ=-=+?=，从而得到y 对x 的回归直线为：9.833
?111.487y
x
=-。
相关系数0.987t R ======，为最
大。
第六章 方差分析及正交试验设计
解：根据题意，在显著性水平α下，检验0:H 由三位教师给出的平均分数无显著性差异，
0H 的拒绝域为：
(){}111,C F F F r n r α-=≥--
其中，3r =，12141339n =++=，
查表得()0.952,36 3.26F =，2
222
3
.1
84610401214
j A j j T T S n n ==-=++∑ ()2
22730844595.21339-=，()2
23
2
11
27306238480160598761132039j n
T ij j i T S x n ===-=++-=∑∑，所以11320595.210724.8e T A S S S =-=-=，595.2
120.99910724.8
36
A
e S r F S n r
-===-。 因为()0.952,36F F <，所以接受0H ，即认为在显著性水平0.05下，由三位教师给出的平均分数无显著性差异。
2、在化工生产中为了提高得率，选了三种不同浓度和四种不同温度情况做试验。为了考
虑浓度与温度的交互作用，在浓度与温度的每一种组合下各做两次试验，其得率数据如下
解：根据题意，在显著性水平α下，检验0:H 不同浓度，不同温度以及它们的相互作用对得率无显著影响，
01H 的拒绝域为：
()(){}
111,1C F F F r rs t α-=≥--
02H 的拒绝域为：
()(){
}
111,1C F F F s rs t α-=≥--
03H 的拒绝域为：
()()()(){}
1111,1C F F F r s rs t α-=≥---
列表计算如下表所示，其中3r =，4s =，2t =，24n =，0.05α=，
查表得()0.952,12 3.89F =，()0.953,12 3.49F =，()0.956,12 3.00F =。计算得：
222..1112502118844.33824r A i i T S T st n ==-=?-=∑，222
..1112501569411.50624
s B j j T S T rt n ==-=?-=∑
2
2
2111111537425044.3311.5027224
r s t A B
ijk A B i j k T S x S S t n ?===??=---=?-?--= ???∑∑∑ 22
2111
1
2752250103.524
r
s
t
T ijk
i j k T S x n ====-=-?=∑∑∑，20.67e T A B A B S S S S S ?=---=
因为()0.952,12A F F >，所以拒绝0H ，即认为在显著性水平0.05下，不同浓度对得率产生显
著影响。
因为()0.953,12B F F <，所以接受0H ，即认为在显著性水平0.05下，不同温度对得率的影响不显著。
因为()0.956,12A B F F ?<，所以接受0H ，即认
为在显著性水平0.05下，浓度与温度的交互作用对得率的影响不显著。
3、选矿用的油膏的配方对矿石回收率有很大的影响，为了提高回收率，分别选取油膏的三种成分的两种水平，所选因素水平如下表所示，选用正交表()342L 来安排试验，结果由
解：根据题意，将以上数据与正交表()342L 结合起来，安排试验，列表如下。
第三章 假设检验 课后作业参考答案 3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为0.06Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件, 测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分 布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 解： {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。
3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从 一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20(2 /cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提高？ 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为3.25？ 解： 010110 2: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=5 0.3419 H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512 0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t t H ααα- ??-?? ?? ==<∴本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。
《应用数理统计》期末考试试题 （2011-11-26上午8：30—10：30） 学院： 学号： 姓名： 注意：所有题目答案均做在答题纸上，该试卷最后随答题纸一同上交，否则成绩无效。 1、（20分）设总体X 服从正态分布(0,1)N ，12,X X 为来自总体X 的简单样本，设112212; Y X X Y X X =+=-。 （1）求二维随机变量12(,)Y Y 的联合密度()21,y y f ； （2）分别求12,Y Y 的边缘密度函数()()2121,y f y f Y Y ； （3）12,Y Y 是否独立？说明根据。 （4）叙述2χ分布的构造性定义。能否通过取适当的常数c ，使得2212()c Y Y +服从2χ分布？若可以，求出c ，并写出所服从的2χ分布的自由度。 2、（20分）设12,,,n X X X 是来自正态总体() 2~0,X N σ的简单样本，记 22221 21111??();1n n i i i i X X X n n σσ===-=-∑∑，其中11n i i X X n ==∑， （1）证明：21?σ是2 σ的渐近有效估计量； （2）证明：22?σ是2 σ的有效估计量； （3）试分别以21?σ，22?σ为基础构造2 σ的两种1α-置信区间。你认为你得到的哪个估计区间会更好一些？为什么？ 3、（20分）（1）简述假设检验的一般步骤； （2）某厂生产一批产品，质量检查规定：若次品率0.05p ≤，则这批产品可以出厂，否则不能出厂。现从这批产品中抽查400件产品，发现有30件是次品，问：在显著性水平0.05α=下，这批产品能否出厂？若取显著性水平0.02α=，会得出什么结论？α是越小越好吗？对你的答案说明理由。 要求：将此问题转化成统计问题，利用所学知识给出合理的、令人信服的推断，推断过程的每一步要给出理由或公式。分位点定义如下： 若随机变量W ，对任意的()1,0∈α，有()α=≤x W P ，称x 为W 的α分位点，记作αx 。
《应用数理统计》复习题 第一章 概率知识 一、一袋中有5个球，编号1、2、3、4、5. 现从中任取3个，以X 表示所取球的号码的最大值， 求X 的概率分布律. 解：X 的可能取值为3、4、5， 1.010 1 }3{35 33== ==C C X P ， 3.0103 }4{352311====C C C X P ， 6.010 6 }5{35 2411== = =C C C X P ， 故X 的概率分布律为 6 .03.01.05 43k p X . 二、设连续型随机变量X 的密度函数为?? ?<≤=., 0, 10,)(其它x Ax x f （1）求常数A ；（2）求X 的分布函数)(x F . 解：（1）由完备性：? ∞+∞ -=1)(dx x f ， 有 11 =?Ax , 解得2=A . （2）t d t f x F x ?∞ -=)()( 当0≤x 时， 0)(}{)(?∞ -==≤=x dt t f x X P x F ， 当10≤
2、0cos 21 )(22 ??∞ ∞--===π πxdx x dx x xf EX ； ???∞ ∞---====22202 2 22 2 14cos cos 21)(πππ πxdx x xdx x dx x f x EX ; 14 )(2 2 2-= -=∴πEX EX DX . 四、若随机(X ,Y )在以原点为中心的单位圆上服从均匀分布，证明X ,Y 不相互独立. 解：依题意有(X ,Y )的概率密度为221/, 1; (,)0, x y f x y π?+≤=??其它. . 故 11, 11()(,)0, 0, X x x f x f x y dy +∞ -∞ ?-≤≤-≤≤?===????? ? 其它其它; 同理 11()0, Y y f y -≤≤=??其它 . 于是(,)()()X Y f x y f x f y ≠, X 与Y 不相互独立. 五、设X 的概率密度为? ? ?≤≤+=.,0,10,)(其它x bx a x f ，且已知EX =127求DX . 解：由概率密度的完备性有： 1= ?? += ∞+∞ -1 d )(d )(x bx a x x f =b a 5.0+, 且有12 7 =EX = ? ? += ∞+∞ -10 d )(d )(x bx a x x x xf = 3 2b a +, 联立上述两式解得: 1,5.0== b a 又= )(2X E 12 5 d )5.0(1 02= +? x x x , 于是 =DX =-22)()(EX X E 2)12 7(125-14411=. 六、1．设随机变量)3,2(~2 N X ，)()(C X P C X P >=<，则=C （ A ）. A . 2 B . 3 C . 9 D . 0 2. 设随机变量),(~2 σμN X ，则随σ增大，}|{|σμ<-X P ( C ). (A) 单调增大； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定
一 填空题 1 设 6 21,,,X X X 是总体 ) 1,0(~N X 的一个样本， 26542321)()(X X X X X X Y +++++=。当常数C = 1/3 时，CY 服从2χ分布。 2 设统计量)(~n t X ，则~2X F(1,n) ， ~1 2 X F(n,1) 。 3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2 σu N X 的一个样本，当常数C = 1/2（n-1） 时， ∑-=+-=1 1 212 )(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。 4 设)),0(~(2σεε βαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。对于固定的0x ， 则0x βα+~ () 2 0201,x x N x n Lxx αβσ?? ? ?- ???++ ??? ?????? ? 。 5．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，，2，2，， 为样本，则λ的矩估计值为?λ ＝ 。 6．设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的 置信区间为 ()()()()22 2212211,11n S n S n n ααχχ-??--????--???? 。 7．设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中??? ? ??=∑??? ? ??=8221, 10μ 令Y ＝X Y Y ???? ??=???? ??202121，则Y 的分布为 ()12,02T N A A A A μ??= ??? ∑ 。 8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）： 表2 极差分析数据表
习题五 1 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，因素A 表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5. 假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= . 检验的问题：01251:,:i H H μμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.1 单因素方差分析表 ‘*’ . 查表0.95(4,15) 3.06F =，因为0.953.9496(4,15)F F =>，或p = 0.02199<0.05， 所以拒绝0H ，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异. 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，设因素A 表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 . 假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中
样本容量不等，i n 分别取值为6，5，3，4 . 检验的问题：012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.2 单因素方差分析表 查表0.95(3,14) 3.34F =，因为0.952.4264(3,14)F F =<，或p = 0.1089 > 0.05， 所以接受0H ，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 . 3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A ， 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用. 设因素,A B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij y i j ==来源于正态总体2 ~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j = .记i α?为对应于i A 的主效应；记j β?为对应于j B 的主效应； 检验的问题：（1）10:i H α?全部等于零，11 :i H α?不全等于零； （2）20:j H β?全部等于零，21:j H β?不全等于零； 计算结果： 表5.3 双因素无重复试验的方差分析表 查表0.95(2,6) 5.143F =，0.95(3,6) 4.757F =，显然计算值,A B F F 分别大于查表值， 或p = 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝1020,H H ，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用. 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量：
第三章测试卷一、单选题 1. (2分)设随机变量X的分布列如下表，则常数c = （）. ? A. 0 ? B. 1 ? C. ? D. C 2. (2分) ? A. 0.9 ? B. 0.5 ? C. 0.75 ? D. 以上都不对 C 3. (2分)
? A. ? B. ? C. ? D. A 4. (2分) 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，对于任意实数x，下列正确的是（）. ? A. ? B. ? C. ? D. B 5. (2分) ? A. 0 ? B. 1 ? C.
? D. C 6. (2分) ? A. 0.625 ? B. 0.25 ? C. 0.5 ? D. 0.0625 D 7. (2分) ? A. ? B. ? C. ? D. C 8. (2分)
? A. 1 ? B. 2 ? C. 3 ? D. 4 B 9. (2分)某车床一天生产的零件中所含次品数ξ的概率分布如下表所示，则平均每天生产的次品数为（）件. ? A. 0.3 ? B. 0.5 ? C. 0.2 ? D. 0.9 D 10. (2分) ? A. 0.5
? C. 1.5 ? D. 0 C 11. (2分) ? A. 9 ? B. 6 ? C. 30 ? D. 36 B 12. (2分) 设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为F(x)、f(x)，则下列选项中正确的是（）. ? A. ? B. ? C. ? D. A 13. (2分)
? B. 0.2 ? C. 0.7 ? D. 条件不足，无法计算B 14. (2分) ? A. 1 ? B. 2 ? C. 3 ? D. π/2 C 15. (2分) ? A. 1 ? B. 0 ? C.
武汉大学2009－2010年度上学期研究生公共课 《应用数理统计》期末考试试题 （每题25分，共计100分） （请将答案写在答题纸上） 1设X 服从),0(θ上的均匀分布，其密度函数为 ?????<<=其它0 01)(θθx x f n X X X ,,,21" 为样本， （1）求θ的矩估计量1?θ和最大似然估计量2 ?θ； （2）讨论1?θ、2?θ的无偏性，1?θ、2?θ是否为θ的无偏估计量？若不是，求使得i c ?i i c θ为θ的无偏估计量，； 1,2i =（3）讨论1?θ、2 ?θ的相合性； （4）比较11?c θ和22?c θ的有效性. 2. 假设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品，测其性能指标X 得到两组数据，经对其作相应运算得 2110.190,0.006,x s == 2220.238,0.008x s == 假设测定结果服从正态分布()()2~,1,2i i X i μσ=， （1）．在显著性水平0.10α=下，能否认为2212σσ=？ （2）．求12μμ?的置信度为90%的置信区间，并从置信区间和假设检验的关系角度分析甲乙两厂生产产品的性能指标有无显著差异。 3.设是来自正态总体的样本, 总体均值n X X X ,,,21"),(2 σμN μ和方差未知，样本均值和方差分别记为2σ2211 11,(1n n i i i i )X X S X X n n ====?∑∑?
（1） 求2211 (n i i X )μσ=?∑的分布； （2）若0μ=，求212212()() X X X X +?的分布； （3）方差的置信度为12σα?的置信区间的长度记为L ，求()E L ； （4）1n X + 的分布。 4.为进行病虫害预报, 考察一只红铃虫一代产卵量Y (单位：粒)与温度x （单位：）的关系, 得到资料如下： C 0x 18 20 24 26 30 32 35 Y 7 11 21 24 66 115 325 假设Y 与x 之间有关系 bx Y ae ε+=, . ),0(~2σεN 经计算：26.43x =，ln 3.612y =，，， 7215125i i x ==∑721(ln )102.43i i y ==∑7 1ln 718.64i i i x y ==∑（1）求Y 对x 的曲线回归方程； x b e a y ???=（2）求的无偏估计； 2σ2?σ （3）对回归方程的显著性进行检验（05.0=α）； （4）求当温度0x =33时,产卵量的点估计。 0Y 可能用到的数据： 0.02282z =，()()0.050.057,8 3.50,8,7 3.73F F ==，()0.0515 1.7531t =，，，，0.025(5) 2.5706t =0.05(5) 2.015t =0.025(7) 2.3646t =0.05(7) 1.8946t =，0.05(1,5) 6.61F =， 0.05(1,7) 5.59F =
北航2010《应用数理统计》考试题及参考解答 09B 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12 15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22 110 22 11152() X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ． 2，?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n n n E θθθ→∞ →∞ ==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2 χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β 的协方差矩阵?βCov()=_______ . 解：1?σ-'2Cov(β) =()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设总体~(1,9)X N ，129(,, ,)X X X 是X 的样本，则___B___ . （A ） 1~(0,1)3X N -； （B ）1 ~(0,1)1X N -； （C ） 1 ~(0,1) 9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的； （B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .
习题五 1 某钢厂检查一月上旬内的五天中生产的钢锭重量，结果如下：(单位：k g) 日期重旦量 1 5500 5800 5740 5710 2 5440 5680 5240 5600 4 5400 5410 5430 5400 9 5640 5700 5660 5700 10 5610 5700 5610 5400 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？ ( =0.05) 解根据问题，因素A表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为 5. 2 假设样本观测值y j(j 123,4)来源于正态总体Y~N(i, ),i 1,2,...,5 检验的问题：H。：i 2 L 5, H i : i不全相等. 计算结果： 注释当=0.001表示非常显著，标记为*** '类似地，=0.01，0.05，分别标记为 查表F0.95(4,15) 3.06，因为F 3.9496 F0.95(4,15)，或p = 0.02199<0.05 ，所 以拒绝H。，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 解 根据问题，设因素A表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为 4 . 2 假设样本观测值y j(j 1,2,..., nJ来源于正态总体Y~N(i, ), i 1,2,...,5 .其中样本容量不等，n分别取值为6，5，3，4 .
日产量 操作工 查表 F O .95（3,14） 3.34，因为 F 2.4264 F °.95（3,14），或 p = 0.1089 > 0.05， 所以接受H 。，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 3 试验某种钢的冲击值（kg Xm/cm2 ）,影响该指标的因素有两个，一是含铜量 A ,另 一个是温度 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？ （ =0.05 ） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用 设因素A,B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为 12. 2 假设样本观测值y j （i 1,2,3, j 1,2,3,4）来源于正态总体 Y j ~N （j , ）,i 1,2,3, j 1,2,3,4 .记i 为对应于A 的主效应；记 j 为对应于B j 的主效应； 检验的问题：（1） H i 。： i 全部等于零，H i — i 不全等于零； （2） H 20 : j 全部等于零，H 21： j 不全等于零； 计算结果： 查表F 0.95（2,6） 5.143 ,局.95（3,6） 4.757 ,显然计算值F A , F B 分别大于查表值, 或p = 0.0005 , 0.0009均显著小于0.05，所以拒绝H i°,H 20，认为含铜量和试验温度 都会对钢的冲击值产生显著影响作用 . 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量: 检验的问题：H 0： 1 计算结果： H i : i 不全相等
4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α） （参考数据：） 4-45. 解：数据的顺序统计量为： 10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 所以 6131 .0][)()1(5 1 ) (=-= -+=∑k k n k k x x a L ， 又 5264.10=x ， 得 38197 .0)(11 1 2 =-∑=i i x x 故 984.0) (11 1 2 2 =-= ∑=i i x x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W 即有 105.0< 应用数理统计答案 学号： 姓名： 班级： 目录 第一章数理统计的基本概念 (2) 第二章参数估计 (14) 第三章假设检验 (24) 第四章方差分析与正交试验设计 (29) 第五章回归分析 (32) 第六章统计决策与贝叶斯推断 (35) 对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社 第一章 数理统计的基本概念 1.1 解：∵ 2 (,)X N μσ ∴ 2 (,)n X N σμ ∴ (0,1)N 分布 ∴(1)0.95P X P μ-<=<= 又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2 2 1.96n σ= 1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为： 800 0.00150 1.2 (800)1(800) 10.0015x P X P X e dx e -->==-<=-=? ∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2 ()P e e --== (2) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为： 3000 0.00150 4.5 (3000)0.00151x P X e dx e --<===-? ∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56 (1)P e -=- 1.4 解： i n i n x n x e x x x P n i i 1 2 2 )(ln 2121)2(),.....,(1 22 =-- ∏∑ = =πσμσ 1.5证： 2 1 1 2 2)(na a x n x a x n i n i i i +-=-∑∑== ∑∑∑===-+-=+-+-=n i i n i i n i i a x n x x na a x n x x x x 1 2 2 2 2 11) ()(222 a) 证： ) (1111 1+=+++=∑n n i i n x x n x ) (1 1 )(1 1 11n n n n n x x n x x x n n -++=++=++ 材料学院研究生会 学术部 2011 年12 月 2007-2008学年第一学期期末试卷 一、(6 分，A 班不做)设x1，x2，?，x n是来自正态总体N( , 2) 的样本，令 2(x1 x2) T (x3 x4)2 (x5 x6)2 ， 试证明T 服从t-分布t(2) 二、( 6 分， B 班不做 ) 统计量F-F(n,m) 分布，证明 1的 (0< <1)的分位点x 是1。 F F1 (n,m) 。 三、(8分)设总体X 的密度函数为 其中1，是位置参数。x1，x2，?，x n是来自总体X 的简单样本， 试求参数的矩估计和极大似然估计。 四、(12分)设总体X 的密度函数为 1x exp ，x p(x; ) 0 , 其它 其中, 已知，0, 是未知参数。x1，x2，?，x n 是来自总体X 的简单样本。 1)试求参数的一致最小方差无偏估计； 2) 是否为的有效估计？证明你的结论。 五、(6分，A 班不做)设x1，x2，?，x n是来自正态总体N( 1, 12) 的 简单样本，y1，y2，?，y n 是来自正态总体N( 2, 22) 的简单样本，且两样本相互独立，其中1, 12, 2, 22是未知参数，1222。为检验假设H0 : 可令z i x i y i, i 1,2,..., n ,1 2 , 1 2, H1 : 1 2, 则上述假设检验问题等价于H0 : 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z1，z2，?，z n，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。 六、(6 分，B 班不做)设x1，x2，?，x n是来自正态总体N( 0, 2) 的简单样本，0 已知，2未知，试求假设检验问题 H0: 202, H1: 202的水平为的UMPT。 七、(6 分)根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？ 八、(6 分)设方差分析模型为 总离差平方和 试求E(S A ) ，并根据直观分析给出检验假设H0 : 1 2 ... P 0的拒绝域形式。 九、(8分)某个四因素二水平试验，除考察因子A、B、C、D 外，还需考察 A B ，B C 。今选用表L8(27 ) ，表头设计及试验数据如表所示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。 研究生 习题2： 2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2 χ分布。 2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η 所以 )1,0(~3 1 N η ， )1,0(~3 2 N η )2(~)(3 1332 22212 22 1χηηηη+=??? ??+??? ?? 由于 2 22 1ηηη+= 因此 当 3 1=c 时，)2(~2 χηc 。 2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2 N 的一个样本，求 ? ?? ???>∑=101244.1i i P ξ 。（参考数据：） 2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(2 1021N ξξξξΛ=， 所以 )1,0(~3 .0N ξ ， 即有)10(~3.0210 12 χξ∑=?? ? ??i i 所以 ??? ???>∑=101244.1i i P ξ??????>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ??????>=∑=10122163.0i i P ξ ? ?? ???≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-= 2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{} 20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样 本均值。（参考数据：） 2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212( -Φ--Φ=)2 1 ()21(-Φ-Φ= 1)2 1 (2-Φ=3830.016915.02=-?= 由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~21 1 16 21N -=-ξξ {} 20≤≤ξP ????? ?-≤-≤-=21122112110ξP ? ?? ???≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-?=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2 N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的 绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2 N ξ， 所以 )1,0(~2 80 100 20 80 N -= -ξξ 所以 {}380>-ξP {} 3801≤--=ξP ?? ? ?????? ?≤--=232801ξP ? ?? ???≤ -≤--=23280 231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-= 2-25. 设总体ξ的密度函数为 ?? ?<<=其它 102)(x x x p 取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求： （1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）??? ? ??>21)3(ξP 。 2-25解：（1）由 ()()[][])()(1)(! !1! )(1)(x p x F x F k n k n x p k n k k -----= ξ 所以 当 10< 北航数理统计期末考试题 2011年2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的样本，令，试证明T服从t-分布t（2） 二、（6分，B班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明。 三、（8分）设总体X的密度函数为其中，是位置参数。x1，x2，…，xn是来自总体X的简单 样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。 四、（12分）设总体X的密度函数为，其中是未知参数。x1，x2，…，xn是来自总体X的简 单样本。 （1）试求参数的一致最小方差无偏估计； （2）是否为的有效估计证明你的结论。 五、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的简单样本，y1，y2，…，yn是 来自正态总体的简单样本，且两样本相互独立，其中是未知参数，。为检验假设可令则上述假设检验问题等价于这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。 六、（6分，B班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体的简单样本，已知，未知，试求假 设检验问题的水平为的UMPT。 七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方 面八、（6分）设方差分析模型为总离差平方和试求，并根据直观分析给出检验假设的拒绝域形式。 九、（8分）某个四因素二水平试验，除考察因子A、B、C、D外，还需考察，。今选用表，表 头设计及试验数据如表所示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。 列号试验号ABCD实验数据 12345671111111112.82111222228.23122112226.14122221135.35212121230.5621221214 .37221122133.3822121124.0十、（8分）对某中学初中12岁的女生进行体检，测量四个变量，身高x1，体重x2，胸围x3，坐高x4。现测得58个女生，得样本数据（略），经计算指标的协方差阵V的极大似然估计为且其特征根为。 （1）试根据主成分85%的选择标准，应选取几个主要成分（2）试求第一主成分。 2006级硕士研究生《应用数理统计》试题一、选择题（每小题3分，共12分） 1.统计量T~t（n）分布，则统计量T2的α（0α1）分位点xα（P{T2≤xα}=α）是（） 应用数理统计复习题 1.设总体，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率. 解：设两样本均值分别为，则 2. 设总体具有分布律 1 2 3 其中为未知参数，已知取得了样本值，求的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计： 令，得. （2）最大似然估计： 得 3. 设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望和方差均未知，抽查10件，测得重量为斤。算出 给定检验水平，能否认为该厂产品的平均重量为5.0斤？ 附：t1-0.025(9)=2.2622 t1-0.025(10)=2.2281 t1- 0.05(9)=1.8331 t1-0.05(10)=1.8125 解: 检验统计量为 将已知数据代入，得 所以接受。 4. 在单因素方差分析中，因素有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平下对因素是否显著做检验。 来源平方和自由度均方和F比 因素 4.2 误差 2.5 总和 6.7 解： 来源平方和自由度均方和F比 因素 4.2 2 2.1 7.5 误差 2.5 9 0.28 总和 6.7 11 ，，认为因素是显著的. 5. 现收集了16组合金钢中的碳含量及强度的数据，求得 ，. （1）建立关于的一元线性回归方程； （2）对回归系数做显著性检验（）. 解：（1） 所以， （2） 拒绝原假设，故回归效果显著. 6.某正交试验结果如下 列号 试验号A B C 1 2 3 结果 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 13.25 16.54 12.11 18.75 （1）找出对结果影响最大的因素； （2）找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好） （3）写出第4号实验的数据结构模型。 解： 列号 试验号A B C 1 2 3 结果 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 13.25 16.54 12.11 18.75 ⅠⅡR 29.79 25.36 32.0 30.86 35.29 28.65 1.07 9.9 3.35 （1）对结果影响最大的因素是B； （2）“算一算”的较优生产条件为 （3） 4号实验的数据结构模型为 ， 2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则U = 服从的分布是_______ . 解：(9)t ． 2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2 ?θ的期望与方差满足_______ . 解：1212 ????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β=_______ . 解：1?-''X Y β= ()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥ 为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2 S 为样本方差，则 ____D___ . （A ）(0,1)nX N ； （B ）2 2()nS n χ ； （C ） (1)()n X t n S - ； （D ）2 12 2 (1)(1,1)n i i n X F n X =--∑ . 2，若总体2(,)X N μσ ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ . （A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方 清华大学应用数理统计课后习题及答案 习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2 (4.55,0.108)X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2 ~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立 统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒 绝 域 为 {} 00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性 变化. 设立统计原假设 2 2 2 2 0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 22220.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑% 22 10.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {} 222200201//K s c s c σσ=><%%或 由于2 2 / 3.167 2.567S σ=>%，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为 x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ:，问这批元件是否合格 （0.05α=）？ 解 由题意知 2 (100,)X N σ:，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {} 00K x c μ=-> 习题一 1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X . 解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ， 11223344555 11 1 55(1) (,,,,)()(1)(1)i i n x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 2）对总体~()X P λ 11223344555 1 1 555 1 (,,,,)()! ! i x n i i i i i x i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ λ λλ-==-========== ∏∏ ∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 3）对总体~(,)X U a b 55 11511 ,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==?≤≤=?==-??? ∏∏ L ，其他 4）对总体~(,1) X Nμ () ()() 2 555 5/22 2 15 1 11 1 (,,)()=2exp 2 i x i i i i i f x x f x x μ πμ - -- = == ?? ==-- ? ?? ∑ ∏ L 2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形. 解设(=0,1,2,3,4) i i代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1： 经验分布函数的定义式为：应用数理统计习题答案 西安交大 施雨
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