第十七章 反比例函数
17．1．1反比例函数的意义
一、教学目标
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式
3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想
二、重、难点
1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式
2．难点：理解反比例函数的概念
3．难点的突破方法：
（1）在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解
（2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式x
k y =，等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，自变量x 在分母上，且x 的指数是1，分子是不为0的常数k ；看自变量x 的取值范围，由于x 在分母上，故取x ≠0的一切实数；看函数y 的取值范围，因为k ≠0，且x ≠0，所以函数值y 也不可能为0。讲解时可对照正比例函数y ＝kx （k ≠0），比较二者解析式的相同点和不同点。
（3）x
k y =（k ≠0）还可以写成1-=kx y （k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）的形式 三、例题的意图分析
教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。
教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。
补充例1、例2都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。
四、课堂引入
1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？
2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？
五、例习题分析
例1．见教材P47
分析：因为y 是x 的反比例函数，所以先设x k y =
，再把x ＝2和y ＝6代入上式求出常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。
例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数
（1）3
x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-=
（6）31+=x
y （7）y ＝x －4 分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成x
k y =
（k 为常数，k ≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x ，（6）改写后是x x y 31+=，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式
例2．（补充）当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？ 分析：反比例函数x
k y =（k ≠0）的另一种表达式是1-=kx y （k ≠0），后一种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误。
解得m ＝－2
例3．（补充）已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5
（1） 求y 与x 的函数关系式
（2） 当x ＝－2时，求函数y 的值
分析：此题函数y 是由y 1和y 2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y 1、 y 2与x 的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y 1与x 和y 2与x 的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k ，要用不同的字母表示。
略解：设y 1＝k 1x （k 1≠0），x k y 22=
（k 2≠0），则x k x k y 21+=，代入数值求得k 1＝2， k 2＝2，则x
x y 22+=，当x ＝－2时，y ＝－5 六、随堂练习
1．苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，则y 与x 之间的函数关系式为
3．矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，则y 与x 的函数解析式为
4．已知y 与x 成反比例，且当x ＝－2时，y ＝3，则y 与x 之间的函数关系式是 ， 当x ＝－3时，y ＝
\七、课后练习
已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x ＋1成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝0；当x ＝4时，y ＝9，求当x ＝－1时y 的值
17．1．2反比例函数的图象和性质（1）
一、教学目标
1．会用描点法画反比例函数的图象
2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质
3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法
二、重点、难点
1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质
2．难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质
3．难点的突破方法：
画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：列表、描点、连线，其中列表取值很关键。反比例函数x
k y =（k ≠0）自变量的取值范围是x ≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。
在探究反比例函数的性质时，可结合正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容。这里要强调一下，反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k 的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出k 的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。
三、例题的意图分析
教材第48页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。
补充例1的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。
补充例2是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让学生理解并掌握反比例函数解析式x
k y =（k ≠0）中k 的几何意义。 四、课堂引入
提出问题：
1．一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y ＝kx （k ≠0）呢？
2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？
3．反比例函数的图象是什么样呢?
五、例习题分析
例2．见教材P48，用描点法画图，注意强调：
（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线
（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴
例1．（补充）已知反比例函数32)1(--=m x
m y 的图象在第二、四象限，求m 值，并
指出在每个象限内y 随x 的变化情况？
分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即1-=kx y （k ≠0）自变量x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k ＜0，则m －1＜0，不要忽视这个条件
略解：∵32)1(--=m x m y 是反比例函数 ∴m 2－3＝－1，且m －1≠0
又∵图象在第二、四象限 ∴m －1＜0 解得2±=m 且m ＜1 则2-=m
例2．（补充）如图，过反比例函数x
y 1=（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，
连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比
较它们的大小，可得（ ）
（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2
（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定
分析：从反比例函数x
k y =
（k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积k xy S ==，由此可得S 1＝S 2 ＝21 ，故选B
17．1．2反比例函数的图象和性质（2）
一、教学目标
1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质
2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法
二、重点、难点
1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题
2．难点：学会从图象上分析、解决问题
3．难点的突破方法：
在前一节的基础上，可适当增加一些较综合的题目，帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质，要让学生学会如何通过函数图象分析解析式，或由函数解析式分析图象的方法，以便更好的理解数形结合的思想，最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。
三、例题的意图分析
教材第51页的例3一是让学生理解点在图象上的含义，掌握如何用待定系数法去求解析式，复习巩固反比例函数的意义；二是通过函数解析式去分析图象及性质，由“数”到“形”，体会数形结合思想，加深学生对反比例函数图象和性质的理解。
教材第52页的例4是已知函数图象求解析式中的未知系数，并由双曲线的变化趋势分析函数值y 随x 的变化情况，此过程是由“形”到“数”，目的是为了提高学生从函数图象中获取信息的能力，加深对函数图象及性质的理解。
补充例1目的是引导学生在解有关函数问题时，要数形结合，另外，在分析反比例函数的增减性时，一定要注意强调在哪个象限内。
补充例2是一道有关一次函数和反比例函数的综合题，目的是提高学生的识图能力，并能灵活运用所学知识解决一些较综合的问题。
四、课堂引入
复习上节课所学的内容
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？
五、例习题分析
例3．见教材P51 分析：反比例函数x k y =的图象位置及y 随x 的变化情况取决于常数k 的符号，因此要先求常数k ，而题中已知图象经过点A （2，6），即表明把A 点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k ，这样解析式也就确定了。
例4．见教材P52
例1．（补充）若点A （－2，a ）、B （－1，b ）、C （3，c ）在反比例函数x k y =（k ＜0）图象上，则a 、b 、c 的大小关系怎样？
分析：由k ＜0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，因为A 、B 在第二象限，且－1＞－2，故b ＞a ＞0；又C 在第四象限，则c ＜0，所以 b ＞a ＞0＞c
说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y 随x 的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k ＜0时y 随x 的增大而增大，就会误认为3最大，则c 最大，出现错误。
此题还可以画草图，比较a 、b 、c 的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。 例2． （补充）如图， 一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x m y =
的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点
（1）求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取
值范围
分析：因为A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数
的解析式x
y 2-=，又B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出n 的值，最后再由A 、B 两点坐标求出一次函数解析式y ＝－x －1，
第（2）问根据图象可得x 的取值范围x ＜－2或0＜x ＜1，这是因
为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。
六、随堂练习
1．若直线y ＝kx ＋b 经过第一、二、四象限，则函数x
kb y =的图象在（ ） （A ）第一、三象限 （B ）第二、四象限
（C ）第三、四象限 （D ）第一、二象限
2．已知点（－1，y 1）、（2，y 2）、（π，y 3）在双曲线x
k y 12+-=上，则下列关系式正确的是（ ）
（A ）y 1＞y 2＞y 3 （B ）y 1＞y 3＞y 2
（C ）y 2＞y 1＞y 3 （D ）y 3＞y 1＞y 2
17．2实际问题与反比例函数（1）
一、教学目标
1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力
二、重点、难点
1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式
3．难点的突破方法：
用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。
三、例题的意图分析
教材第57页的例1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。
教材第58页的例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1稍复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。
补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题
四、课堂引入
寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？
五、例习题分析
例1．见教材第57页
分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积＝底面积×高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3）问则是与（2）相反
例2．见教材第58页
分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值是多少？
例1．（补充）某气球内充满了一定质量的气体，当
温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V
（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种
压强单位）
（1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少
千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为
了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
分析：题中已知变量P 与V 是反比例函数关系，并且图象经过点A ，利用待定系数法可以求出P 与V 的解析式，得V
P 96=，（3）问中当P 大于144千帕时，气球会爆炸，即当P 不超过144千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P 随V 的增大而减小，可先求出气压P ＝144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于
32立方米
六、随堂练习
1．京沈高速公路全长658km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t （h ）与行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系式为
2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x 人完成这项任务，试写出人均报酬y （元）与人数x （人）之间的函数关系式
3．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m 3）是它的体积V （m 3）的反比例函数，当V ＝10时，ρ＝1.43，（1）求ρ与V 的函数关系式；（2）求当V ＝2时氧气的密度ρ 答案：ρ＝V
3.14，当V ＝2时，ρ＝7.15
七、课后练习
1．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v （米/分），所需时间为t （分）
（1）则速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？
（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？ 答案：t
v 3600=，v ＝240，t ＝12 2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x 吨，那么这批煤能维持y 天
（1）则y 与x 之间有怎样的函数关系？
（2）画函数图象
（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？
17．2实际问题与反比例函数（2）
一、教学目标
1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型
二、重点、难点
1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题
3．难点的突破方法：
本节的两个例题与学生的日常生活联系紧密，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模
型并进行解释与应用，不但能巩固所学的知识，还能提高学生学习数学的兴趣。本节的教学，要引导学生从已有的生活经验出发，按照上一节所讲的基本思路去分析、解决实际问题，注意体会数形结合及转化的思想方法，要告诉学生充分利用函数图象的直观性，这对分析和解决实际问题很有帮助。
三、课堂引入
1．小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢？其原理是什么？
2．台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？
四、例习题分析
例3．见教材第58页
分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F 是自变量动力臂l 的反比例函数，当l ＝1.5时，代入解析式中求F 的值；（2）问要利用反比例函数的性质，l 越大F 越小，先求出当F ＝200时，其相应的l 值的大小，从而得出结果。
例4．见教材第59页
分析：根据物理公式PR ＝U 2，当电压U 一定时，输出功率P 是电阻R 的反比例函数，则R P 2220=，（2）问中是已知自变量R 的取值范围，即110≤R ≤220，求函数P 的取值范围，根据反比例函数的性
质，电阻越大则功率越小，
得220≤P ≤440
五、随堂练习
1．某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y 与平均每
天烧的吨数x 之间的函数关系是（ ）
（A ）x y 300=（x ＞0） （B ）x
y 300=（x ≥0） （C ）y ＝300x （x ≥0） （D ）y ＝300x （x ＞0）
3．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着
数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度
y （m ）是面条的粗细（横截面积）S （mm 2）的反比
例函数，其图象如图所示：
（1）写出y 与S 的函数关系式；
（2）求当面条粗1.6mm 2时，面条的总长度是多少米？
六．课后练习
一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t 分钟，排水量为a 米3/分，且排水时间为5～10分钟
（1）试写出t 与a 的函数关系式，并指出a 的取值范围；
（2）请画出函数图象
（3）根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？
确定二次函数表达式 一、导入新课 复习回顾：先复习二次函数的概念及二次函数的表达式，再通过一次函数，反比例函数的求法，引入确定二次函数表达式的方法。 二、学习目标 1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思 想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以 便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程。 三、教学过程 1、先复习二次函数的概念及二次函数的表达式，再通过一次函数， 反比例函数的求法，引入确定二次函数表达式的方法----待定系数法。 2、指出本节课的教学目标： （1）经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法,培养数学应用意识. （2）会利用待定系数法求二次函数的表达式.
（3）灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程。 3、精讲例题1，学习具体求解方法。 例1 已知二次函数y=ax2+c 的图象经过点（2，3）和 （－1，－3），求出这个二次函数的表达式. 解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数y=ax 2+c 中，得 ? ??4a+c=3a+c=－3 解这个方程组，得? ??a=3c=－5 ∴所求二次函数表达式为：y=2x 2－5. 4、让学板演评测题：做一做，并点评，介绍两种解法。说明什么时候设一般式。 做一做：已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 5、继续学习例题2，例3，并讲解不同解法，说明什么时候设顶点式，什么时候设交点式 例题2二次函数y=ax2+bx+c 的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。 例3已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。
22.1.1 二次函数 A 组 ◆基础练习 1、分别说出下列函数的名称： (1) y= 21x-1, (2)y=-3x 2, (3)y= x 2 (4)y=3x-x 2 (5)y=x 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)d= 21n 2-2 3n , (2)y=1-x 2 , (3)y=-x(x-3) 3、 二次函数y=ax 2 +c 中，当x=3时，y=26 ;当x=2时，y=11 ;则当x=5时， y= . 4、已知一个直角三角形的两条直角边的和为10cm 。 （1）求这个直角三角形的面积S 与其中一条直角边长x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围； （2）求当x=5cm 时直角三角形的面积。 5、函数y=ax 2 +bx+c (a 、b 、c 是常数)，问当a 、b 、c 满足什么条件时， （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？ ◆能力拓展 6、若() m m x m m y -+=2 2是二次函数，求m 的值。 7、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表： 时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式。 8、 富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如 图，它们的平面图是一排大小相等的长方形。 （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2 ）与x 有怎样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2 ，应该如何安排猪舍的长B C 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
2.4.1《函数的零点》教学设计 一、教材与教学分析 1．函数的零点在教材中的地位 本节课是人教B版必修一2.4.1《函数与方程》第一课时的内容，它是在学习了一次函数和二次函数以及函数的基本性质基础上，对函数知识的进一步延伸和拓展，为了下节学习“求函数零点近似解的一种计算方法——二分法”和后续的“算法学习”做好了铺垫。它在整个高中数学教材体系中起着承上启下的作用，地位至关重要。 2．教学目标分析 ①知识能力方面： （1）.掌握函数零点的概念，会求函数的零点. （2）.掌握二次函数零点的判定方法. （3）.会运用性质做出简单三次函数的大致图像. ②数学核心素养方面： （1）.在探索方程根与函数零点的关系中，构建函数零点的概念，提升学生数学抽象与数学建模素养； (2).在判定二次函数零点的个数及探索零点性质的过程中；培养学生数形结合与直观想 象的核心素养. 3.教学的重点：函数零点的概念与性质；判定二次函数零点的个数；会求函数的零点. 教学的难点：函数零点的应用
值为 四、函数零点的性质 性质1， 问题1．请同学们通过列表研究一次，二次函数零点左右的函数值的符号如何变化的？ 问题2．如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时，函数值变号吗？ 问题3．如果零点左右的函数值连续变号，函数图象与x 轴一定有什么关系？ 性质2， 问题4.通过几何画板观察一次函数，二次函数在零点分成的区间上，函数值有什么特点？ 1.通过列表，学生从数上理解函数零点的性质1 2.通过几何画板的演示，使学生直观地观察到连续i 函数在零点分成的区间上函数值保持同号。 3.培养学生分析问题探究问题的能力，培养学生数形结合思想，直观想象的核心素养。 师：观察函数12-=x y ， 2()6f x x x =--的图像，在零点两侧 附近函数值的符号是如何变化的？ 一生投影展示，大胆给出结论 师：性质1.（板书） 师：如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时，函数值变号吗？ 生：不变号 师：如果零点左右的函数值连续变号，函数图象与x 轴有什么关系？ 生：相交 师：通过几何画板观察一次函数，二次函数在零点分成的区间上，函数值有什么特点？ 师：性质2（板书） 五、性质简单应用 1.运用零点的性质，求函数 22)(23+--=x x x x f 的 零点，画出函数的图像。 2.变式：求函数 f (x )= 通过例题的练习，初步掌握利用三次函数图像的大致 画法。 例2教师板书：规范步骤。 强调：（1）求函数的零点 （2）取值列表 取与x 轴交点，与y 轴交点，以及零点分成区间内部至少一点。遇到对称值，可以再取点。 （3）描点连线，用平滑的曲线连接。 师：明确了作三次函数图像的步骤，变式：求f (x )=12432 3 +--x x x 的零点，并画出它的图象．
西点教育个性化辅导学员学案 学科: 八年级数学 任课教师： 授课日期： 年 月 日 (星期 ) 3、已知反比例函数 ，若X1 ＜x2 ,其对应值y1,y2 4、如图在坐标系中，直线y=x+ k 与双曲线 x k y =在第一象限交与点垂直x 轴，垂足为B ，且S △AOB ＝1 1）求两个函数解析式 2）求△ABC 的面积 x 1y = 21
5、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条学生签字：教学主管：
第十七章 反比例函数 1.定义：形如y ＝ x k （k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k 1-=kx y x k y 1= 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。对称中心是：原点 3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小； 当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 作业： 一、 选择题： 1. 已知反比例函数x k y =的图象经过点)2,1(，则函数kx y -=可确定为（ ） A. x y 2-= B. x y 21- = C. x y 2 1= D. x y 2= 2. 如果反比例函数的图象经过点)2,3(，那么下列各点在此函数图象上的是（ ） A. )23,2(- B. )3 2, 9( C. )32,3(- D. )23, 6( 3. 如右图，某个反比例函数的图象经过点P ，则它的解析式为（ ） A. )0(1>=x x y B. )0(1>-=x x y C. )0(1<= x x y D. )0(1<- =x x y 4、 已知反比例函数x y 1-= 的图象上有两点),(11y x A 、),(22y x B 且21x x <，那么下列结论正确的是（ ） A. 21y y < B. 21y y > C. 21y y = D 1y 与2y 之间的大小关系不能确定 6、已知反比例函数x k y =的图象如右图，则函数2-=kx y 的图象是下图中的（ ） 7、已知关于x 的函数)1(-=x k y 和x k y - =（k ≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D
数学：第17章反比例函数综合检测题 A （人教新课标八年级下） 一、选择题（每小题3分，共30分） n 亠5 1、 反比例函数 y = -------- 图象经过点（2, 3）,则n 的值是（ ）. x A 、一 2 B 、一 1 C 、0 D 、1 k 2、 若反比例函数y =—（ k 丰0）的图象经过点（一1,2），则这个函数的图象一定经过点 （ ） . x 1 1 A 、（2,- 1） B 、（一 一，2） C 、（- 2,- 1） D 、（一，2） 2 2 3、 （08双柏县）已知甲、乙两地相距 s （km ）,汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的 时间 t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ） k 5、一次函数y = kx — k , y 随x 的增大而减小，那么反比例函数 y = 满足（ ）. x C 、图象分布在第一、三象限 D 、图象分布在第二、四象限 6、如图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点 P 作x 轴的垂 1 线PQ 交双曲线y = 于点Q ,连结OQ ,点P 沿x 轴正方向运动时, x Rt A QOP 的面积（ ）. A 、逐渐增大 B 、逐渐减小 C 、保持不变 D 、无法确定 7、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 m 的某种气体，当改变容积 V 时，气体的密度p 也随之改变. P 与V 在一定范围内满足p =―，它的图象如图所示，则该 V 气体的质量m 为（ ）. A 、1.4kg B 、5kg C 、6.4kg D 、7kg 8、若 A (— 3, yj , B (— 2, y 2), C (— 1, yj 三点都在函数 y 2, y 的大小关系是（ ）. A 、y 1 > y 2> y 3 B 、y 1 < y 2< y C 、y 1 = y 2= y 3 D 、y 1< y 3< y 2 A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成正比例也不成反比例 ）. D 、无法确定 A 、当 x >0 时，y >0 B 、在每个象限内，y 随x 的增大而减小 1 y =—-的图象上，贝U y 1, x 4、若y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，则 y 与z 之间的关系是（
1、二次函数 1． 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t 时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式。 2． 若() m m x m m y -+=2 2是二次函数，求m 的值。 3． 用100cm 长的铁丝围成一个扇形，试写出扇形面积S （cm 2）与半径R （cm ）的函数关系式。 4． 已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式。 5． 等边三角形的边长为4，若边长增加x ，则面积增加y ，求y 关于x 的函数关系式。 6． 富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的 平面图是一排大小相等的长方形。 （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
2、函数2ax y =的图象与性质 1． 在同一坐标系内，画出下列函数的图象：（1）221x y = ；（2）2 2 1x y -=。 根据图象填空：（1）抛物线2 2 1x y = 的对称轴是 （或 ） ，顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x 轴的 方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线2 2 1x y - =的对称轴是 （或 ） ，顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x 轴的 方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 2． 已知函数()4 2 2-++=m m x m y 是关于x 的二次函数，求： （1） 满足条件的m 的值； （2） m 为何值时，抛物线有最底点？求出这个最底点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 3． 对于函数2 2x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增 大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称。其中正确的是 。 4． 二次函数1 2 -=m mx y 在其图象对称轴的左则，y 随x 的增大而增大，求m 的值。 5． 二次函数2 2 3x y - =，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系。 6． 函数2 ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）
9.1 反比例函数 【教学目标】 知识与能力：（1）理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别反比例函数； （2）能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 过程与方法：经历从实际问题中概括出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实际问题。 情感、态度与价值观：（1）经历反比例函数的形成过程，使学生体会到函数是描 述变量间对应关系的重要数学模型。 （2）通过学习反比例函数，培养学生合作交流和探索的能 力。 【教学重难点】 重点：根据已知条件确定反比例函数的表达式. 难点：理解反比例函数的意义. 【教学过程】 一、创设情境，引入新课 同学们，你们还记得在小学里学过的，两个变量满足什么条件时成反比例关系吗？你能写出下列例子中的等式吗？ 1.当路程s 一定时，时间t 与速度v的关系 2.当矩形面积S一定时，长a与宽b的关系 3.当三角形面积S 一定时，三角形的底边y 与高x的关系 学生通过回忆已学知识回答：如果两个量x和y满足xy=k（k为常数, k ≠0）那么x、y就成反比例关系. 现在我们来看生活中的例子。 活动一汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用的时间t（h）随着速度v（km/h）的变化而变化。 （1）你能用含v的代数式表示t吗?
（2）利用（1）的关系式完成下表： 随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？ （3）时间t是速度v的函数吗？ （4）时间t是速度v的一次函数吗？是正比例函数吗？ 引导学生回忆函数、一次函数、正比例函数有关的概念，引出新知：反比例函数. 二、引导学生探索反比例函数的概念和表达式 活动二用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系: 1.一个面积是64002 m的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化，则a与b的关系式为＿＿＿＿＿. 2.京沪线铁路全程为1463 km，某列车平均速度为v（km／h），全程运行时间为t（h），则v与t的关系式为＿＿＿＿＿ 3.已知三角形的面积是8,它的底边长y与底边上的高x之间的关系式为＿＿＿＿＿ 4.实数m与n的积是—200,m与n的关系式为＿＿＿＿＿ 【讨论、交流】 1. 函数关系式 6400 a b =、 1463 v t =、 16 y x =、 200 m n =-具有什么共同特征？ 2它们与正比例函数关系式有什么不同？ 3.你能仿照y=kx的形式表示一下上面函数的一般形式吗? 结论：反比例函数的定义: 一般的,形如 (k为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。 注：(1)有时反比例函数也写成y=1 kx-或k=xy的形式. (2)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
一、【课程分析】 指数函数是学生升入高中后，在学习了一般函数的相关知识后，新接触的一 个重要初等函数，是必修一第三章的（一）单元第2节的内容。学习指数函数既是对第二章函数知识的巩固，也为后面学习对数函数奠定良好的基础。“指数函数”这节教材所蕴含的数形结合，分类讨论等数学思想，也是高考的必考内容。 结合新课标及教材内容，我确定本节的的重点是掌握指数函数的图像和性质； 难点是对于底数a>1与0 高中数学教材分析 第一章集合与简易逻辑 一、本章教学要求、重点、难点 本章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容，集合的初步 知识包括集合的 有关概念、表示、集合间的相互关系，简单的绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及用集合来表示不等式的解集。简易逻辑主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”的意义，四种命题及其相互关系，充要条件的有关知识。本章的重点是有关集合的基本概念，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件。 在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其它内容密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点， 二、教学中的几个问题 1、为什么教科书在“集合”与“简易逻辑”之间插入了“含绝对值不等式解法”和“一元二次不等式的解法”这两节属于不等式的内容？ 答：这两小节属于不等式的内容，学生学习不会困难，并且安排在这个位置上至少有以 下两个优点： （1）巩固学生已经学过的有关集合的基本概念； （2）为下一章求某些函数的定义域和值域以及学习函数的单调性作必要 的准备。 因此，在教学中，既要让学生掌握含绝对值不等式和一元二次不等式的解法，另外， 又要控制不等式的难度，对一般学生来说，不要超出教科书的要求。 2、在新教材中为什么要增加“简易逻辑”？ 答：逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科，任何科学都要使用 逻辑，而以“严 谨性”著称的数学，因需要全面地理解概念，正确地进行表述、判断、推理，就更离不开对逻辑知识的掌握和应用。因此，新教材中新增了“简易逻辑”这部分的内容。 3、怎样理解逻辑联结词“或”的意义？ 答：“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是 指a，b中的某一个，但不是两者，日常生活中有时采用这一解释，如“你去或我去”，人们在理解上不会有你我都去这种可能。另一是“可兼有”，即“a 或b”是指a，b中的任何一个或两者，如“”，是指：x可能属于A但不属于B，x也可能属于B但不属于A，x还可能既属于A也属于B。在数学书籍中一般采用后一种解释，即“可兼有”，我们在解题时都要遵循这一点，还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”。4、大纲中没有真值表这一知识点，教科书中讲真值表是否超纲？ 答：不算超纲。大纲要求学生理解“或”、“且”、“非”三个逻辑联结词的意义，但对于“p或q”形式的复合命题，学生理解起来有困难，引进真值表是为了克服这种困难。真值表在这里只是一种数学语言，由于采用了表格形式，比较形象，容易接受。 5、教材中把“集合”与“简易逻辑”放在同一章中，这两者之间有内在联系吗？ 答：简易逻辑与集合有着密切的联系，简易逻辑中的很多问题我们可以转化为集合的观点用集合思想来解决。 （1）．三个逻辑联结词与集合的交、并、补运算的关系。 ①对“或”的理解可联想到集合中“并集”的概念，或 中的“或”，它是指“x∈A”或“x∈B”中至少有一个是成立。 ②对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念， 且中的“且”是指“x∈A”和“x∈B”这两个条件都要 满足。 ③对“非”的理解，可联想到集合中的“补集”概念，若命题中对应于 集合P，则命题非P就应对应着集合P在全集U中的补集CuP。 (2)．用集合观点来理解“充分条件”、“必要条件”、“充要条件” ①若p q，则p是q的充分条件；若p q，则p是q的必要条件。 设A={x|p} B={x|q}，如果A B，就是x∈A则x∈B，则A是B的充分条件， 即p q。如图： A 2.2 二次函数的图像与性质同步练习 一、选择题： 1、抛物线 y = - x 2 + 4 x + 7 的顶点坐标为（ ） A 、（-2,3） B 、（2,11） C 、（-2,7） D 、（2，-3） 2、若抛物线 y = x 2 - 2 x + c 与 y 轴交于点（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A 、抛物线开口方向向上 B 、抛物线的对称轴是直线 x = 1 C 、当 x = 1时， y 的最大值为-4 D 、抛物线与 x 轴的交点为（-1,0），（3,0） 3、要得到二次函数 y = - x 2 + 2 x - 2 的图象，需将 y = - x 2 的图象（ ） A 、向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位 B 、向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位 C 、向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位 D 、向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位 4、在平面直角坐标系中，若将抛物线 y = 2x 2 - 4x + 3 先向右平移 3 个单位长度，再向 上平移 2 个单位长度，则经过这两次平移后，所得到的抛物线的顶点坐标为（ ） A 、（-2,3） B 、（-1,4） C 、（1,4） D 、（4,3） 5、抛物线 y = x 2 + bx + c 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得图象的 解析式为 y = x 2 - 2 x - 3 ，则 b 、 c 的值为（ ） A 、 b = 2, c = 2 B 、 b = 2, c = 0 C 、 b = -2, c = -1 D 、 b = -3, c = 2 6、二次函数 y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，）．设 t=a+b+1， 则 t 值的变化范围是（ ） A ．0＜t ＜1 B ．0＜t ＜2 C ．1＜t ＜2 D ．-1＜t ＜1 正、反比例函数的内容特点及教材分析 第一部分：初中函数内容的知识框架结构 1.函数在初中数学知识体系中的地位和作用 函数是初中数学中的重要内容之一，它是从现实世界中抽象出来的，是从数量关系的角度刻画事物运动变化规律的工具。函数知识渗透在初中数学的许多内容中，它又与物理、化学等学科知识密切相关。同时函数本身也是一种重要的数学思想，运用函数的思想和方法，可以加深对一些代数问题的理解。 2.初中学习函数的意义和要求 初中学习函数的意义是初步感受现实世界中除了确定的一些量——常量外，还有不少的量——变量，初步知道两个变量之间存在的关系，能利用这些关系来研究它们之间的一些基本性质。 初中学习函数的要求是理解函数的意义，理解正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的概念，能画出它们的图像，并根据图像知道它们的一些基本性质。 3.教材内容安排的方式及要求所体现的思想 函数内容在初中教材中主要分布在八年级和九年级中，八年级第一学期学习函数的概念，研究两个最简单的函数——正比例函数和反比例函数的有关图像和性质；八年级第二学期学习一次函数的有关图像和性质；九年级第一学期学习二次函数的有关图像和性质，九年级第二学期在拓展II中进一步对二次函数进行深入的研究。这样首先出示基本概念，然后由易到难研究一些特殊函数的编排方式符合学生的认知规律，帮助学生充分理解函数的基本思想。 4.高中函数教学的介绍 课程标准中指出：在初中学习函数的基础上，进一步理解函数是变量之间相互依赖关系的反映；学习用集合与对应的语言刻画函数，再从直观到解析、从具体到抽象，研究函数的性质，并能从解析的角度理解有关性质。 函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想和方法贯穿于高中数学。 第二部分：函数知识内容的教学研究 （一）函数内容的知识体系 初中学习函数主要是让学生对函数有一个初步的认识，知道生活中的变量关系，能用函数的思想处理一些简单的问题，因此初中函数内容的知识体系是，先介绍函数的概念，然后以两个最简单的函数（正比例函数和反比例函数）作为载体，让学生理解函数的图像与一些性质，再介绍函数常用的三种表示方法，最后再分别研究现实生活中经常遇到的另外两个简单而常用的函数（一次函数和二次函数），使学生对函数有一个较完整的理解，并能进行简单的应用。 （二）函数内容的教材分析及教学注意事项 1．函数的相关概念教材分析及教学注意事项 (1)函数相关内容的概念框架与知识结构 函数的定义域 第十七章反比例函数单元检测卷 1．如果双曲线经过点（2，－1），那么m=； 2．己知反比例函数(x >0)，y随x 的增大而增大，则m的取值范围是．3．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与(k≠0)的图像大致是（） 4．如果变阻器两端电压不变，那么通过变阻器的电流y与电阻x的函数关系图像大致是（） 5．如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像相交于A、B两点， （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； > （2）根据图像写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． ^ 6．如图，已知反比例函数的图像与一次函数y＝kx＋4的图像相交于P、Q两点，并且P点的纵坐标是6． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求△POQ的面积． ~ 7．给出下列函数：(1)y=2x; (2)y=-2x+1; (3)y=(x>0) (4)y=x2(x<-1)其中，y随x增大而减小的函数是（） ; A．（1）、（2）B．（1）、（3） C．(2)、(4) D．（2）、（3）、（4） 8.设双曲线y=与直线y=-x+1相交于点A、B，O 为坐标原点，则∠AOB是（）A．锐角B．直角C．钝角D．锐角或钝角 9．如图，在直角坐标系中，直线y=6-x与函数y=(x>0)的图像相交于点A、B，设点A 的坐标为(x1，，y1)，那么长为x1,宽为y1的矩形面积和周长分别为( ) A．4，12 B．8，12 C．4，6 D．8，6 10．在压力不变的情况下，某物体承受的压强p(Pa) 是它的受力面积S(m2)的反比例函数，其图像如图所示。 (1)求p与S之间的函数关系式； (2)求当S=时,物体承受的压强p。 @ , 11．如图，等腰梯形ABCD中，AB = CD，AD//BC，AD = 2，BC = 4，．如果P是 BC上一点，Q是AP上一点，且． ⑴求证：⊿ABP ∽⊿DQA； ⑵当点P在BC上移动时，线段DQ的长度也随之变化，设PA = x，DQ = y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围． ( 二次函数的定义练习题 一、选择题 1、下列函数中,不是二次函数的是( ) x 2 B.y=2(x-1)2+4; C.y=1 2 (x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x 2 2、下列函数中，是二次函数的有 ( ) ①2 21x y -= ②2 1 x y = ③)1(x x y -= ④)21)(21(x x y +-= A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、若二次函数32)1(2 2 --++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值必为( ) A 、-1或3 B 、-1 C 、3 D 、无法确定 4、在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为( ) A.y=πx 2-4 B.y=π(2-x)2; C.y=-(x 2+4) D.y=-πx 2+16π 5、若y=(2-m)2 2 m x -是二次函数,则m 等于( ) A.±2 B.2 C.-2 D.不能确定 6、下列结论正确的是( ) A.二次函数中两个变量的值是非零实数; B.二次函数中变量x 的值是所有实数; C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数; D.二次函数y=ax 2+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零 二、填空题 7、已知函数y=(k+2)2 4 k k x +-是关于x 的二次函数,则k=________. 8、已知正方形的周长是acm,面积为Scm 2,则S 与a 之间的函数关系式为_____. 9.、填表: 10、在边长为4m y,则y 与x 间的 函数关系式为_________. 11、用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m 2)与x(m)之间的函数关 系式为________. 三、解答题 12、已知y 与x 2成正比例,并且当x=1时,y=2,求函数y 与x 的函数关系式,并求当x=-3时,y 的值.当y=8时, 求x 的值. “反比例函数”集体备课 一、教材分析 本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、性质和图象．本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再次进入函数范畴，使学生进一步理解函数的内涵，并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是后续学习各类函数的基础． 二、重点难点 反比例函数是继一次函数之后又一重要的基本函数，它为今后学习图象和曲线的关系（如二次函数）提供了研究方法．反比例函数本身在日常生活和生产中也有着许多直接应用，这对学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数是本章教学的重点． 反比例函数图象的两个分支，给反比例函数的性质带来复杂性，学生不易理解，是本章教学的难点之一；综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题时，往往会遇到较复杂的问题情境，需要建模，利用图象以及综合运用方程、不等式及其他数学模型，所以综合运用反比例函数知识解较复杂的实际问题是本章教学又一主要难点． 三、课时安排 1.1 反比例函数 1课时 1.2 反比例函数的图象和性质 2 课时 1.3 反比例函数的应用 1课时 复习、评价2课时，机动使用2课时，合计8课时． 四、教学建议 （1）反比例函数概念和形成过程，应充分利用学生的生活经验和背景知识．生活经验就是学生已经知道两个量成反比例的概念，建立反比例函数离不开反比例关系这个基础；背景知识是八年级上册的“图形与坐标”及“一次函数”．所以在学习本章内容前可先与学生一起回顾一下以上已学内容，对扫清障碍，理解接受新概念很有益处． （2）注重数学思想的渗透，从数学自身发展过程看，正是由于变量与函数概念的引入，标志着初等数学向高等数学迈进，尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴涵的数学思想方法，对学生分析问题解决问题是十分有益的．教学中应让学生充分体会诸如变化与对应思想、数形结合思想，建模思想等． 《二次函数的应用》教学设计 3 5 321212++- =x x y 3 532121-2++=x x y 教学环节 教学内容 学生活动 环节目标 创设情境问题 引入 1.已知二次函 数 ，求出抛物 线的顶点坐标与对称轴。 2.已知二次函数图象的顶点坐标是（6,2.6），且经过点（0,2），求这个二次函数的表达式 。 3.抛物线 c bx x y ++=26 1 -经过点（0,4）经过点（3,2 17 ），求抛物线的关系式。 问题： （1）求二次函数顶点坐标的方法 （2）设表达式的思路 （3）如何求二次函数与x 轴及y 轴的交点坐标 课前布置，独立完成，上课时没完成的继续完 成，之后组 内批阅，找学生上台板演，并回答老师提出的问题。 这三个小题是后面实际应用问题的答案，学生在复习二次函数基础知识的同时，把后面的计算提到前面来，便于后面把教学重点放在解题思路的分析与掌握上，减少学生的计算量。 探索交流获得新知 1例题解析 例 1 ：这是王强在训练掷铅球时的高度y （m)与水平距离x(m)之间的函数图像，其关系式为 ，则铅球达到的最大高度是_____米，此时离投掷点的水平距离是____米。铅球出手时的高度是_____米，此次掷铅球的成绩是____米。 2、跟踪练习： 如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从1、学生独立思考后回答问题答 案。 2、根据图像回答解题思路。（前面已经求过前两个空，只计算后面两个即可） 引导学生得到解决问题的方法：这四个问题都是求线段的长度，共同点为已知点的 一个坐标，可将其代入表达式求另一个坐标，再把坐标转化成线段的长。 O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，出手后水平运行6米达到最大高度2.6米， (1) 运行的高度记为y(m)，运行的水平距离记为x(m)，建立平面平面直角坐标系如图，求y 与x的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2) 若球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m。球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由 3、总结解决抛物线型问题的思路： （1）建立二次函数模型。（求表达式） （2）代入点的其中一个的坐标，求另一坐标。（3）将坐标转化为问题答案。 关键：线段的长与坐标之间的互相转化。1、学生回 答：先分析 各点的坐标 的怎样找到 的；再回答 如何求表达 式（3种方 法）（也不用 求了，前置 练习中第2 小题已求 过。 2、学生回 答解题思 路，独立完 成计算。 3、组内分 析讨论第三 小题，找出 解题方案。 发展学生的口 语表达能力， 明确坐标与线 段长度的互相 转化。 应用新知体验成功知识应用 （2015青岛10分）如图隧道的截面由抛物 线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按 照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 c bx x y+ + =2 6 1 -表示，且 抛物线上的点C到OB的水 平距离为3m，到地面OA的 距离为 2 17 m。 1、学生分 析各点的坐 标，强化线 段与坐标的 转化过程。 2、小组内 讨论如何解 决，学生回 答，后独立 由于前置练习 中已经做过第 一小题，学生 说出解题思路 即可。 关键分析后面 第十七章 反比例函数 17．1．1反比例函数的意义 一、教学目标 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 二、重、难点 1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解反比例函数的概念 3．难点的突破方法： （1）在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解 （2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式x k y =，等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，自变量x 在分母上，且x 的指数是1，分子是不为0的常数k ；看自变量x 的取值范围，由于x 在分母上，故取x ≠0的一切实数；看函数y 的取值范围，因为k ≠0，且x ≠0，所以函数值y 也不可能为0。讲解时可对照正比例函数y ＝kx （k ≠0），比较二者解析式的相同点和不同点。 （3）x k y =（k ≠0）还可以写成1-=kx y （k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）的形式 三、例题的意图分析 教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。 教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。 补充例1、例2都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。 四、课堂引入 1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？ 2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ 五、例习题分析 例1．见教材P47 分析：因为y 是x 的反比例函数，所以先设x k y = ，再把x ＝2和y ＝6代入上式求出常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。 例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3 x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= 二次函数的图像和性质 习题精选 1．二次函数2y ax =的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。 2．关于213 y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不准确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不准确的是（ ） 4．在抛物线2y x =-上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ） A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ≠0 D ．x ≥0 5．对于抛物线2y x =与2y x =-下列命题中错误的是（ ） A ．两条抛物线关于x 轴对称 B ．两条抛物线关于原点对称 C ．两条抛物线各自关于y 轴对称 D ．两条抛物线没有公共点 6．抛物线y=－b 2x ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。 7．抛物线y=－21(2)2 x +－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。 8．抛物线2 2(1)3y x =+-的顶点坐标是（ ） A ．（1，3） B ．（-1，3） C ．（1，-3） D ．（-1，-3） 9．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ） A ．y=32(1)x -－2 B ．y=32(1)x +＋2 C ．y=32(1)x +－2 D ．y=－32(1)x +－2 10．二次函数2y ax =的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ） A ．y=a 2(2)x -＋3 B ．y=a 2(2)x -－3 C ．y=a 2(2)x +＋3 D ．y=a 2(2)x +－3 2.1.4《函数的奇偶性》 一、教材分析 （一）教材所处的地位和作用 函数的奇偶性是普通高中标准实验教科书数学必修一B版第二章函数的第4小节，函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟知的函数入手，结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称感受奇函数和偶函数的图像特征，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地学习函数的奇偶性。从知识结构上，奇偶性既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究基本初等函数的基础。起着承上启下的作用。 （二）学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。 从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题． （三）教学目标 基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标： 【知识与技能】 1．理解函数奇偶性的概念和图象特征。 2．能判断一些简单函数的奇偶性。 【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】 通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。 （四）教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性。 “函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验f(-x)=f(x)及f(-x)=-f(x) 成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。 难点：对函数奇偶性概念理解与认识。 二、教法与学法分析 （一）教法 根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主高中数学教材分析
2.1二次函数的图像与性质同步练习3
正反比例函数的内容特点及教材分析
第十七章反比例函数单元检测卷
最新二次函数课时同步练习题
反比例函数集体备课教材分析
初中数学_《二次函数的应用》(复习)教学设计学情分析教材分析课后反思
第17章反比例函数教材分析
二次函数的图像和性质同步练习
高中数学_函数的奇偶性教学设计学情分析教材分析课后反思
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