§1.1.1 集合的含义与表示
学习目标
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
探究学习 ※ 探索新知
探究1：观察下列实例：
① 1～20以内所有的质数； ②2014年参加世界杯的国家； ③ 所有的锐角三角形； ④2x , 32x +, 35y x -, 22x y +； ⑤ 淄博市实验高一级的全体学生； ⑥方程230x x +=的所有实数根； ⑦ 张店区2014年参加中考的所有同学； ⑧ 中华人民共和国境内的四大高原
试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？
新知1：一般地，把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.
探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？
新知2：集合元素的三大特征
①确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何对象或者是该集合的元素，或者不是该集合的元素。
如：“地球上的四大洋”（太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋）可以构成集合。 “数学必修1课本上的所有难题”就不能构成集合，因为“难题”的标准不确定。 ②互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.相同的元素归入一个集合尽算一个元素。
如：student 中的字母构成的集合中两个“t ”只写一次。
③无序性：集合中的元素没有顺序限制。集合｛1，2｝与｛2，1｝是一样的。 定义：只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 . 【练习】
1.下列对象能否组成集合并说明理由：
(1)数字1、2、5、7；
(2)到定点的距离等于定长的所有点； (3)满足323x x ->+的全体实数； (4)未来世界的高科技产品；
(5)所有绝对值小于3的整数； (6)中国男子足球队中技术很差的队员；
(7)2014年参加山东夏季高考的学生；
2.由1
2
，0.5，0.5-，-0.5组成的
集合有_______个元素。
3.由1，2a ，
b 组成的集合与由1,2,a 组成的集合相等，求,a b
新知3：元素与集合的关系：
集合通常用大写的拉丁字母,,A B C ,…表示，集合的元素用小写的拉丁字母
,,a b c ,…表示.
如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作：a ∈A ； 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作：a ?A .
注：①符号“∈”和“?”只用于表示元素与集合之间的关系；②“∈”和“?”具有方向性，左边是元素，右边是集合。
【练习】设B 表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B ，0.5 B ， 0 B ，－1 B .
新知4：常见数集的表示
非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ； 正整数集：所有正整数的集合，记作N *或N +； 整数集：全体整数的集合，记作Z ； 有理数集：全体有理数的集合，记作Q ； 实数集：全体实数的集合，记作R . 【练习1】下列关系中，正确的个数为（ ）
①1
2
R ∈ ②2?Q
③3N -∈ ④4Z -∈ A.1 B.2 C.3 D.4 【练习2】下列结论中，不正确的是（ ）
A.,-a N a N ∈?若则
B.2,a Z a Z ∈∈若则
C.a ∈若Q,则a ∈Q
D.若3,a R a R ∈∈则
【练习3】填∈或?：0 N ，0 R ，3.7 N ，3.7 Z ，3- Q ，
32-___R .
二、集合的表示方法：
1、列举法：把集合的元素一 一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法。
注：（1）用列举法表示集合时，元素间用“，”隔开；（2）对于有限集，在元素不太多时，宜用列举法表示；（3）对于元素较多的有限集或无限集，一般不采用列举法，但当元素有一定规律时也可用列举法表示，需将规律表示清楚后再用“…”表示。如从51到100的所有整数组成的集合：｛51，52，53，…,100｝ 2、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 如：所有奇数的集合{21,}A x x k k Z ==+∈,不等式73x -<的解集{10}B x x =< 注：①写清集合的代表元素；②集合的元素与其所采用的字母无关，只与集合中元素的共同特征有关；③所有描述的内容都要写在花括号内；④在不引起混淆的情况下，元素的取值范围常常省略。
3、Venn 图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。常用圆、椭圆、正方形、长方形等表示集合。 【练习】
1、用列举法表示下列集合： （1）15以内的质数；
（2）方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合；
（3）能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；
（4）一次函数y x =与21y x =-的图象的交点组成的集合.
（5）小于1000的所有自然数组成的集合
2、用描述法表示下列集合：
（1）小于10的所有非负整数的集合；
(2)方程25x y +=的解集；
(3)x 轴上所有点的集合；
(4)能被3整除的整数的集合
(5)平面直角坐标系中第二、四象限点的集合；
(6)｛1，3，5，7，…｝
(7)非负偶数的集合
3、用描述法分别表示下列集合 (1)抛物线2y x =上的点的集合；
(2)抛物线2y x =上点的横坐标的集合
(3)抛物线2y x =上点的纵坐标的集合
【注意】(1)对某一具体的集合而言，其表示方法并不是唯一的；(2)表示集合时，花括号内不用写“所有”二字，因为花括号本身就有“全部”“所有”
的意思。
典例精析
例1：下列说法正确的是（ ） A.数学成绩较好的同学可以组成一个集合
B.所有绝对值接近于零的数可以组成一个集合
C.集合{1,2,3}和{3,2,1}表示同一个集合
D.1，0.5，124
,,236
组成一个含有5个
元素的集合
例2：若集合A ={23,21,4a a a ---},且3A -∈,求实数a 的值。 例
3：定义集合运算
A *
B ={(),,z z xy x y x A y B =+∈∈}，
设集合A ={0,1},B ={2,3},则集合
A *
B 的所有元素之和为（ ）
A.0
B.6
C.12
D.18
【方法技巧】（1）考察一组对象是否能组成一个集合，关键是看这组对象是否具备确定无疑的具体特征（或标准），即确定性。（2）集合元素的互异性常隐形考查，相同的元素在一个集合中只能算作一个元素。
【方法技巧】运用分来讨论的思想，分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法。
【方法技巧】与集合有关的创新题主要以集合的表示方法和元素与集合的关系为背景，经常是给出新的定义，依据新背景或新定义，借助于集合的含义与表示和元素与集合的关系来解决问题。 拓展提升
1.下面四个命题正确的是（ ） A.10以内的质数集合是{0,3,5,7} B.“个子较高的人”不能构成集合 C.方程2210x x -+=的解集是{1,1} D.偶数集为{2,x x k x N =∈}
2.已知集合{,,}S A B C =中三个元素是
ABC 的三个边长，那么ABC 一定不
是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形 3.已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(,x
),,y x A y A x y A ∈∈-∈},则B 中所含
元素的个数为（ ） A.3 B.6 C.8 D.10 4.直线23y x =+上的点的集合为P ,则P =____________。点（2，7）与P 的关系为（2，7）_________P 5.集合{812,}A x x x N =<<∈，用列举法可表示为________________ 6.已知集合{(,)21}A x y y x ==-，
{(,)3}B x y y x ==+，a A ∈,a B ∈,求
a 。
7.用列举法和描述法分别表示下列集合. （1）方程340x x +=的所有实数根组成的集合；
（2）所有奇数组成的集合. 8.
已
知
集
合
22{2,334,4}M x x x x =-+-+-，若
2M ∈,求满足条件的x 组成的集合。
9.已知集合A ={,1,1}x x +，22{,,}B x x x x =+，且A B =,求实数x 。 10.
已
知
集
合
2{
3
2
,
A x R a x x =∈
-+
= (1)若A 中不含有任何元素，求a 的取值范围；
(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；
(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。
§1.1.2 集合间的基本关系
学习目标
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2.理解子集、真子集的概念；
3.能利用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
4.了解空集的含义.
探究学习
思考1：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
思考2：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
{3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且；
{}C =东升高中学生与{}D =东升高中高一学生； {|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.
新知：子集、相等、真子集、空集的概念.
1、子集：一般地，对于两个集合,A B ,如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有________关系，称集合A 是集合B 的_______（subset ），记作：_________________，读作：A 含于B ，或B 包含A . 当集合A 不包含于集合B 时，记作A úB . 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：
()B A
()A B B A ??或
2、集合相等：若A B B A ??且，则A B 与中的元素是一样的，因此________.
3、真子集：若集合A B ?，存在元素x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的_________，记作：________________，读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.
【拓展】（1）两个集合间的“包含”关系包括“真包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系。（2）要注意“∈”和“?”的区别，“∈”只用于元素与集合之间，“?”用于集合与集合之间。
B
A
4、空集：不含有任何元素的集合称为________（empty set ），记作：________.例如，2{10}x x +==?，{10,0}x ax a +===?。
并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 5、常用结论：
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ?。
(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 (3)对于集合,,A B C ,如果A B ?,B C ?,那么A C ?。 【练习】
1、用适当的符号填空.
（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；
（2）? 2{|30}x x +=，? R ； （3）N {0,1}，Q N ； （4）{0} 2{|0}x x x -=. 2、已知{1,2,3,4,5}M =,{1,4}N =,则有（ ）
A.M N ?
B.N üM
C.N M ∈
D.M N =
3.写出数集N *,N,Z,Q,R 之间的关系。
典型例题
例1 写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.
例2 判断下列集合间的关系：
{|32}A x x =->与{|250}B x x =-≥；
例
3：若集合{|}A x x a =>，
{|250}B x x =-≥，且满足A B ?，求实
数a 的取值范围.
【方法技巧】如果一个集合含有n 个元素，那么它的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个.
【方法技巧】判断集合间的关系，其方法主要有：（1）一 一列举观察；（2）集合元素特征法。首先明确集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断。（3）数形结合法，利用数轴或Venn 图。
【易错提醒】对于A B ?,不要忽略
A =?的情况。
拓展提升
1. 下列结论正确的是（ ）.
A. ?üA
B. {0}?∈
C. {1,2}Z ?
D. {0}{0,1}∈ 2. 设{}{}1,A x x B x x a =>=>，且A B ?，则实数a 的取值范围为（ ）. A. 1a < B. 1a ≤ C. 1a > D. 1a ≥ 3. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）.
A. 3,2b c =-=
B. 3,2b c ==-
C. 2,3b c =-=
D. 2,3b c ==- 4. 满足},,,{},{d c b a A b a ??的集合A 有 个.
5. 已知集合A ü{1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有______个。
6. 下列集合为空集的是（ ）
A.{0}
B.{1}
C.{0}x x <
D.2{10}x x += 7. 设集合{},{},{}A B C ===四边形平行四边形矩形，{}D =正方形，则它们之间的关系是 ，并用Venn 图表示.
8. 已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ?，求实数p 、q 所满足的条件.
9.已知集合{25}A x x =-<<，{121}B x m x m =+<<-，且B A ?,求实数m 的取值范围。
1.1-1集合的含义及其表示（一） 教学目标：使学生初步理解集合的基本概念，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法和集合中元素的特性. 了解有限集、无限集、空集概念， 教学重点：集合概念、性质；“∈”，“?”的使用 教学难点：集合概念的理解； 课型：新授课 教学手段： 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。（参看阅教材中读材料P17）。 下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。 二、新课教学 “物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。 如：自然数的集合0，1，2，3，…… 如：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。 如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，… 集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，… 2、元素与集合的关系 a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作a∈A ， a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A 思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，
第一章第一节 集合的含义与表示 1.1典型例题 例1：判断下列各组对象能否构成一个集合 （1）班级里学习好的同学 （2）考试成绩超过90分的同学 （3）很接近0的数 （4）绝对值小于0.1的数 答： 否 能 否 能 例2：判断以下对象能否构成一个集合 （1）a ，-a （2）12，0.5 答：否 否 例3：判断下列对象是否为同一个集合 ｛1，2，3｝ ｛3，2，1｝ 答：是同一个集合 例4：42=x 解的集合 答：｛2，-2｝ 例5：文字描述法的集合 （1）全体整数 （2）考王教育里的所有英语老师 答：｛整数｝ ｛考王教育的英语老师｝ 例6：用符号表示法表示下列集合 （1）5的倍数 （2）三角形的全体构成的集合 （3）一次函数12-=x y 图像上所有点的集合 （4）所有绝对值小于6的实数的集合 答： （1）},5z k k x x ∈=｛ （2）｛三角形｝ （3）(){}12,-=x y y x （4）{} R x x x ∈<<-,66
例如7：用韦恩图表示集合A={1，2，3，4} 答： 例8：指出以下集合是有限集还是无限集 （1）一百万以内的自然数； （2）0.1和0.2之间的小数 答：有限集；无限集 例9：(1)写出x^2+1=o 的解的集合。 (2)分析并指出其含义：0；｛0｝；?；{}；{?} 答：（1）?； （2）分别是数字零，含有一个元素是0的集合；空集；空集；含有一个元素是空集的集合。 1.1 随堂测验 1、｛x^2,x ｝是一个集合，求x 的取值范围 2、集合{} 2,1,2--=x x A ,{}2,12,2---=x x B ,A 、B 中有且仅有一个相同的元素-2，求x. 3、指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。 （1）young 中的字母； （2）五中高一（1）班全体学生； （3）门前的大树 （4）漂亮的女孩 4、用列举法表示下列集合 （1）方程()()0422 =--x x 的解集；
.1集合的含义及其表示 一.课标解读 1.《普通高中数学课程标准》明确指出：“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系；能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.” 2.重点:集合的概念与表示方法. 3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合. 二.要点扫描 1.集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。 2.集合元素的特征 由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质： ⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。 设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居 其一，且只居其一。 ⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。 3.集合与元素之间的关系 集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。例如：是集合的元素，记作，读作“ 属于”；不是集合的元素，记作，读作“ 不属于”。 4.集合的分类 集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。 5.集合的表示方法 ⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。 ⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。 例如：集合可以用它的特征性质描述为{ }，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。 除此之外，集合还常用韦恩图来表示，韦恩图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法（有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素），同学们在下节课中会接触到这个内容。 三.知识精讲 知识点1.集合与元素 一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素；而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。班级相对于你是集合，相对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的。 知识点2.区分、{ }与{ } 是空集，是不含任何元素的集合；{ }不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以{ }；{ }也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素，可见{ }，{ }，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。 知识点3.解集合问题的关键
1.1.1集合的含义与表示 一、教材分析 本节课选自人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》必修1，第一章1.1.1集合的含义与表示。《课程标准》对本课内容的要求是：通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。 集合在高中阶段的数学课程中，具有十分重要的地位。集合是高中阶段数学课程引入的第一个概念，是整个高中数学课程内容的基础，集合的初步知识与后续内容的学习有着密切的联系。集合是学习掌握使用数学语言的基础，集合形象化的将生活实际问题用数学符号表示出来，从而简化了用数学分析实际问题的语言，为相关数学知识奠定一定的理论基础。许多重要的高中数学内容，如函数，方程，不等式，立体几何解析几何，概率统计的，都需要用集合的语言来表述相关问题及核对这些内容的后续学习均发挥了显著作用。 集合是集合论中的原始的不定义只描述的概念。在初中数学不等式解集的定义中涉及过集合，学生已经有了一定的感性认识，在此基础上，本节结合实例引出集合与集合中元素的相关概念，集合中元素的特征，及集合的表示方法等。 二、学情分析 学生在初中阶段的学习中，已经有了对集合的初步认知，有了对周围事物的发现总结能力。对部分粗心大意的学生，培养其细致的观察力，在本节的学习中学生可能会对集合的表示方法：列举法和描述法会有所混淆，通过不断的练习巩固来达到标准要求。学生可能会用初中熟知的记忆学习方法来学习，鼓励学生理解学习，事半功倍。 三、教学目标 1、知识与技能目标：通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。 2、过程与方法目标：通过集合含义教学，培养学生的抽象思维能力。通过集合表示方式的教学，培养学生运用数学语言学习数学、进行交流的能力。树立用集合语言表示数学内容的意识。 3、情感态度与价值观目标：学生在掌握集合相关的基本概念的基础上，解决相关问题，获得数学学习的成就感；学生的数学学习进入到新阶段，培养学生对数学学习的兴趣。 四、教学重点和难点 1、教学重点：集合的含义与集合的表示方法； 2、教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。 五、教学设计 （一）新课引入 体育课上课时，老师总说“请同学们集合”，同学们便会从四面八方集合到老师身边。这里的集合是一个动词，让同学们集中在一起。我们在数学中也有“集合”，这里的集合是一个名词，但是他的意义和以上说的动词集合有相似之处。这一节课，我们便来学习数学中的集合的含义与他的表示方法。（板书课题：集合的含义与表示） 那什么是集合呢？其实在我们生活中存在着很多集合的例子，比如我们全班同学这一个整体，他就是是一个集合；还有校园中所有的树，也构成一个集合；高一一班教室里所有的笔……在小学和初中的学习过程中，我们也已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（圆），那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？
集合概念与单独概念、普遍概念 【作者】王心铭 【提要】集合概念与单独概念、集合概念与普遍概念之间分别表现为交叉关系要搞清它们的区别和联系首先应把握客观事物中类和分子、整体和部分、集合体和个体三种不同关系。在此基础上要把一个概念放在具体的环境中去考察才能准确判定它的类属。这样才不会在概念的使用上出现误用集合的逻辑错误。 【关键词】类、整体、集合体、集合概念 概念的逻辑分类，是根据概念的内涵和外延的不同特征给概念进行的划分。单独概念对应于普遍概念，划分根据是概念所反映的对象的数量。反映某一特定对象的概念，是单独概念其外延独一无二；反映某一类对象的概念是普遍概念，其外延最少两个。集合概念对应于非集合概念，划分根据是概念所反映的对象是否为一类事物的集合体。反映集合体的概念是集合概念，反映非集合体的概念是非集合概念。因而，每一种划分的子项之间是互相排斥的。即单独概念与普遍概念之间的关系是不相容的，集合概念和非集体概念之间也是不相容的。但是，由于它们是采用不同的根据从不同的方面对概念进行的两种划分，因此，两种划分所得的不同系列的子项之间并不互相排斥，其中集合概念与单独概念、集合概念与普遍概念之间分别表现为交叉关系。只有把握好这三种概念之间的区别和联系，对一个具体概念进行正确的归类，才能做到使用准确。
一 弄清客观事物中类与分子、整体与部分、集合体与个体三种关系是区别三种概念的根据。 客观事物中的类是许多具有相同或相似属性事物的综合，从属于类的每个对象叫做分子，属于一个类的任何分子都具有这类事物的属性并能独立存在。比如综合大学是由一所所象山东大学、山西大学、西北大学等设有文科、理科方面各种专业的大学组合而成的类，综合大学所具有的多科系的高等学校这一属性作为分子的每个具体的大学必定具有，用造句法检验时，山东大学是综合大学这样的语句必定成立。综合大学与山东大学之间就是类与分子的关系。反映类的概念和反映分子的概念在外延上表现为属种关系。 整体是由部分组成，每个单独事物都可看作一个单个整体，整体依赖部分，部分不能脱离整体而独立存在，整体所具有属性部分并不具有。比如山西大学是由山西大学组织部、山西大学后勤处、山西大学哲学系等党务、业务、行政方面许多具体部门组成，任何一个部门不可脱离山西大学而独立存在。比如离开了山西大学，也就没有山西大学哲学系。同时，这些部门也都不具有山西大学所具有的高等学校这一属性。用造句法作检验时，山西大学哲学系是大学这一语句必定不能成立，山西大学与山西大学哲学系就是整体和部分的关系。反映整体的概念和反映部分的概念在外延上表现为全异关系。 集合体是由许多同类个体有机构成的不可分割的统一体（或叫群体），这个统一体形成后，有着自己的本质属性，组成集合体的个体，虽然可以
集合的含义及表示 一、单选题(共14道，每道7分) 1.在直角坐标内，坐标轴上的点构成的集合可表示为( ) A. B. C. D. 2.已知集合，用列举法可表示为( ) A.{0，1，2} B.{-3，-1，0，1} C.{-3，0，1，2} D.{-2，-1，1，2} 3.设集合，，则下列关系中正确的是( ) A. B. C. D. 4.下面关于集合的表示，正确的个数是( ) ①；②；③． A.0 B.1 C.2 D.3 5.下列集合中，是空集的是( ) A. B. C. D. 6.下列集合中与相等的是( )
A.{1，-1} B.{1，0，-1} C.{2，-2} D.{2，0，-2} 7.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 8.已知：①；②；③； ④，上述四个关系中，错误的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.若集合中只有一个元素，则a=( ) A.4 B.2 C.0 D.0或4 10.若以正实数a，b，c，d四个元素构成集合A，则以A中四个元素为边长构成的四边形可能是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 11.下面各数中，集合中的x不能取的一个值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 12.若，则x的值为( ) A.-1 B.2 C.-1或2 D.1或-2 13.已知集合，集合．若集合A=B，则a的值为( )
A.1 B.3 C.0 D.0或1 14.已知集合，且A=B，则x，y的值分别为( ) A.-1，0 B.1，0 C.1，-1或0 D.-1，1
模块纵览 课标要求 1.知识与技能 认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和理解它们的有关性质和运算.具有一定的把函数应用于实际的能力. 2.过程与方法 通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生体会过程的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法. 3.情感、态度与价值观 教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观. 内容概述 本模块共三章:第一章集合与函数概念;第二章基本初等函数(Ⅰ);第三章函数的应用. 本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等;然后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念;进而又给出了函数的性质:单调性、最值、奇偶性,这也是对函数的深化;接下来再回到特殊的函数——几个基本初等函数,继续认识函数,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数;最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数的价值得到体现,也是进一步巩固函数的概念,更加强了数学应用. 概括地说,本模块的核心内容是“函数”.函数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,是贯穿整个高中数学的纽带,是学生进一步学习的准备,是未来公民的必需,因此,整个模块以函数作为中心,以函数思想作为指导思想. 本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律.对方程的认识和研究,也是从函数出发,把它与两个函数相结合,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识,方程则被看成是包含于函数的局部. 教学建议 教师,对数学应该有自己深入的想法,只有教师深入了才能有教学的浅出;教师,对于教学也应该有自己的想法,唯其有自己的想法,才能发挥自己的特长,教出具有独到想法的学生. 1.抓住核心,重点突破 由于函数是本模块的重点和核心,因此教师要重视函数的教学,向学生贯彻函数的数学思想,逐步让学生掌握学会函数,更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试列举具体函数,构建函数的一般定义.要注意：①构成函数的要素和相同函数的含义,②函数的三种表示法的联系、区别与适用性,③分段函数的意义,④映射的概念和判断.教学中应强调对函数概念本质的理解,在求函数定义域、值域时,要控制难度. 2.用课本教,而非教课本 《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要(试行)》的指导下编写的,是数学学科教育目标的具体化,体现数学学科对学生最起码的要求,是编制高考大纲的依据,是数学教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性.《普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标:知识与技能,过程与方法,情感、态度与价值观.在这种教学过程中,课本仅仅是一种学习工具,是课程标准的具体化,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体,并不要求学生将课本内容全部掌握.由于高中数学课本版本的多样化,高考数学
集合的含义及其表示 一、集合 1．集合 某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A a∈；若b不是集合A的元素，记作A b?； （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的 元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列 顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作N； ； 正整数集，记作N*或N + 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q；
实数集，记作R 。 2．集合的包含关系 （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ， 记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ； （3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ； （4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集 （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S =Φ，ΦS C =S 。 4．交集与并集 （1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。交集}|{B x A x x B A ∈∈=?且。 （2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。}|{B x A x x B A ∈∈=?或并集。 注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
第一章 集合与函数概念 1.1集合 1.1.1 集合的含义及其表示 教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法； （2）初步了解“属于”关系的意义； （3）初步了解有限集、无限集、空集的意义； 教学重点：集合的含义与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。 教学过程： 一、问题引入： 我家有爸爸、妈妈和我； 我来自燕山中学； 省溧中高一（1）班； 我国的直辖市。 分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。 二、建构数学： 1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B …… 集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a 、b 、c 、p 、q …… 指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。 （1）我国的直辖市； （2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 （4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。 2．关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。 3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ?A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．有限集、无限集和空集的概念： 5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应 的=R
1.1集合的含义及其表示1.1.1课题：集合的含义及常用数集【学习目标】 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系; 2.理解集合中元素的三个性质。 【教学过程】 1.学生自读学案，质疑探究; 2.教师答疑，根据本课重难点设问: ①集合的定义、记法、常用数集及其符号表示; ②构成集合的元素必须具备的特点：确定性，互异性，无序性; ③元素与集合的关系：a€ A, a艺A; 3.引导学生读懂教材。 1.1.2课题：集合的表示方法 【教学过程】 1.学生自读学案，质疑探究; 2.教师答疑，根据本课重难点设问: 列举法、描述法、图示法及集合相等的概念; 3.引导学生读懂教材，讲解例题。 1.1.3课题：集合的分类 【学习目标】
掌握空集、有限集和无限集的概念； 教学过程】 1.学生自读学案，质疑探究； 2.教师答疑，根据本课重难点设问： 空集、有限集和无限集的概念及空集的表示； 3.引导学生读懂教材，讲解例题。 对不同层次学生的问题预设：对于一般基础的学生，完全掌握课后练习题；对于基础较好的学生，要求完全掌握学案上面所有的内容。 教学反思：本章的主要内容是集合的概念、表示方法。教师需要： 1．重视对学生数学学习过程的评价：关注学生在数学语言的学习过 程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣；在学习过程中，能否体会集合语言准确、简洁的特征。 2．正确评价学生的数学基础知识和基本技能：关注学生在学习中， 能否正确理解以及恰当运用集合语言。能正确掌握有关符号；使用集合语言表述数学问题；针对不同的具体问题时，是否恰当地选择集合语言进行描述。
1.2子集全集补集 教学目标: (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 (2)能使用维恩图表达集合间的关系 教学重、难点: 重点：子集、真子集的概念和性质难点：元素与子集、属于与包含间的区别 教学过程: 自主探究阶段: 自学P8-9,理解: 1. 子集、真子集、补集的概念及符号表示; 2. 空集是任何集合的子集; 3. 会写集合的真子集; 4. 运用韦恩图及数轴表示集合; 二、小组讨论，解决学生困惑；询问教师小组无法解决的问题; 三、教师发问，由学生自主回答；重点解决分析: 1. A匸A，?匸A ; 2.子集与真子集的区别; 四、巩固运用，学生自主解决学案上的题目。
第一章 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 一、选择题 1．下列各组对象 ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体； ⑤2的近似值的全体． 其中能构成集合的组数有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}， N ＝{小于1050 的正整数}， P ＝{定圆C 的内接三角形}， Q ＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( ) A ．M 、N 、P B ．M 、P 、Q C ．N 、P 、Q D ．M 、N 、Q 3．下列命题中正确的是( ) A ．{x ｜x 2 ＋2＝0}在实数范围内无意义 B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合 4．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( ) A ．第一象限内的点 B ．第三象限内的点 C ．第一或第三象限内的点 D ．非第二、第四象限内的点 5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( ) A ．x ＋y ∈M B ．x ＋y ∈X C ．x ＋y ∈Y D ．x ＋y ?M 6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( ) A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0} B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2 ＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2 ＋1，x ∈R } C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R } D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z } 二、填空题 7．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 8．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______． 9．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 10．用符号∈或?填空： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ② 2 1______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______． 12．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．
新课标 集合的含义及其表示 姓名：_________ 一、选择题： 1.下面四个命题：(1)集合N 中的最小元素是1：（2）若a N -?，则a N ∈ （3）244x x +=的解集为{2，2}；（4）0.7Q ∈，其中不正确命题的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C.2 D.3 2.下列各组集合中，表示同一集合的是 （ ） A.(){}(){}3,2,2,3M N = B.{}{}3,2,2,3M N == C.(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+= D. {}(){}1,2, 1.2M N == 3.下列方程的实数解的集合为12,23?? -???? 的个数为 （ ） （1）224941250x y x y +-++=;(2)2620x x +-=; (3) ()()2 21320x x -+=;(4) 2 620x x --= A.1 B.2 C.3 D.4 4.集合{} (){} 2 2 10,6100 A x x x B x N x x x =++==∈++=，{}450 C x Q x =∈+<， {}2D x x =为小于的质数 ，其中时空集的有 （ ） A. 1个B.2个 C.3个 D.4个 5. 下列关系中表述正确的是 （ ） A.{}200x ∈= B.(){}00,0∈ C. 0∈? D.0N ∈ 6. 下列表述正确的是（ ） A.{}0=? B.{}{}1,22,1= C.{}?=? D.0N ? 7. 下面四个命题：(1)集合N 中的最小元素是1：（2）方程()()()3 1250x x x -+-=的 解集含有3个元素；（3）0∈?（4）满足1x x +>的实数的全体形成的集合。其中正确命题的个数是 （ ） A.0 B. 1 C. 2 D.3 二．填空题： 8.用列举法表示不等式组240121x x x +>??+≥-?的整数解集合为 9.已知集合12,6A x x N N x ?? =∈∈??-?? 用列举法表示集合A 为 10.已知集合241x A a x a ??-?? ==??+???? 有惟一解，又列举法表示集合A 为 三、解答题： 11．已知{}{}2A=1,a,b ,,,B a a ab =，且A=B ，求实数a,b ; 12. 已知集合{} 2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数 （1）若A 是空集，求a 的取值范围（2）若A 是单元素集，求a 的值 （3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围 13. 设集合{} 22,M a a x y a Z ==-∈ （1）请推断任意奇数与集合M 的关系 （2）关于集合M ，你还可以得到一些什么样的结论
集合的含义及其表示教案 教材分析：集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸． 教学目标： 知识目标： ①通过实例了解集合的含义； ②知道常用数集及其专用记号； ③了解集合中元素的确定性、互异性、无序性； ④会用集合语言表示有关数学对象。 ⑤能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 ⑥培养学生抽象概括的能力。 能力目标： ①通过实例抽象概括集合的共同特征，从而引出集合的概念是本节课的重要任务之一。因此教学时不仅要关注集合的基本知识的学习，同时还要关注学生抽象概括能力的培养。 ②教学过程中应努力创造培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力，训练学生分析问题和处理问题的能力。 情感目标： 培养数学的特有文化——简洁精炼，体会从感性到理性的思维过程。 教学重点：集合的含义与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。
教学方法：学生的自主探究、主动参与与教师的引导相结合，充分体现学生在课堂中的主体作用和教师的主导作用。 教学用具：多媒体 课时安排：1课时 教学过程： 一、引入新课 （情境设置）：一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也搞不明白集合的意义，于是他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么?”因为集合是不加定义的概念，数学家很难回答这位渔民。 有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动。 数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！” 你能理解数学家的这句话吗？
§1.1集合的概念及其关系 能力目标： 知识梳理： 1.【基础+中等+培优】集合的概念 ①集合：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 元素与集合的关系
②只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 ③常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . （知识点讲法：举例子解释元素的确定性，例如：2班中个子比较高的学生和2班中身高大 于1.7米的学生，用{1，2，3}和{3,2,1}来解释无序性，并解释集合相等） 2.【基础+中等+培优】集合的表示方法： ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （知识点讲法：举例子说明，描述法一定要强调“|”，例如{x| }{ y| }来解释注意观察“|” 符号前边的元素区别） 3.【基础+中等+培优】集合间的基本关系 ①子集： 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素， 则称集合A 是集合B 的子集。记作B A ?. ②真子集：如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. ③空集： 把不含任何元素的集合叫做 空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. ④如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集，21n -个真子集,非空子集21n -， 非空真子集22n -. . （知识点讲法:①举例子解释，例如用集合A={1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，C={1,2,3,4}，D={5,4,3,2,1}，B ，C,D,都是集合A 的子集，其中B ，C 是A 的真子集，D=A ②把集合A 的所有子集和真子集写出来）
§1．1集合的含义与表示 人教版数学必修一第一章第一节 【教材分析】 1．知识内容与结构分析 集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础，集合论以及它所反映的数学思想在越来越广泛的领域中得到应用．课本从学生熟悉的集合（自然数集合、有理数的集合等）出发，结合实例给出了元素、集合的含义，学生通过对具体实例的抽象、概括发展了逻辑思维能力． 2．知识学习意义分析 通过自主探究的学习过程，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3．教学建议与学法指导 由于本节新概念、新符号较多，虽然内容较为浅显，但不应讲得过快，应在讲解概念的同时，让学生多阅读课本，互相交流，在此基础上理解概念并熟悉新符号的使用．通过问题探究、自主探索、合作交流、自我总结等形式，调动学生的积极性． 【教学目标】 1．知识与技能 （1）学生通过自主学习，初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，了解集合元素的确定性、互异性，无序性，任意性，知道常用数集及其记法； （2）掌握集合的常用表示法——列举法和描述法． 2．过程与方法 通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言（如自然语言、图形语言、集合语言）描述不同的具体问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识．3．情态与价值 在掌握基本概念的基础上，能够解决相关问题，获得数学学习的成就感，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识． 【重点难点】 1．教学重点：集合的基本概念与表示方法． 2．教学难点：选择合适的方法正确表示集合． 【教学环境】
1集合的概念和表示方法教材分析 集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合． 教学目标 1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法． 2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质． 3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力． 任务分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握． 教学设计 一、问题情境 1.在初中，我们学过哪些集合？ 2.在初中，我们用集合描述过什么？ 学生讨论得出：
在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？ 学生讨论得出： “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，…… 4.请写出“小于10”的所有自然数． 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合． 5.什么是集合？ 二、建立模型 1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义） （1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集． （2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素． （3）集合中的元素与集合的关系： a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A； a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作a A． 例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B． 2.集合中的元素具备的性质 （1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的． （2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的． 例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素． （3）无序性：集合中的元素无顺序．
集合的概念与关系练习题 1．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为 ( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5} 2．给出下列几个关系，正确的个数为 ( ) ①3∈R ；②0.5D ∈/Q ；③0∈N ；④－3∈Z ；⑤0∈N ＋. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．下列集合中，结果是空集的是 ( ) A ．{x ∈R |x 2－1＝0} B ．{x |x ＞6或x ＜1} C ．{(x ，y )|x 2＋y 2＝0} D ．{x |x ＞6且x ＜1} 4．将集合????? (x ，y )|??? ??? ??? ?x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是 ( ) A ．{2,3} B ．{(2,3)} C ．{(3,2)} D ．(2,3) 5．下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( ) A ．{x |x ＝1} B ．{y |(y －1)2＝0} C ．{x ＝1} D ．{1} 6．下列正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是 ( )
7．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 8．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) A ．2 B ．3 C ．0或3 D ．0,2,3均可 9．集合M ＝{(x ，y )|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }是 ( ) A ．第一象限内的点集 B ．第三象限内的点集 C ．第四象限内的点集 D ．第二、四象限内的点集 10．下列命题：①空集无子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ??，则A ≠?.其中正确的有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 11．集合M ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n ＋1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m ＋1，m ∈Z }之间 的关系是 ( ) A ． S P M ?? B ． S P M =? C ．S P M ?= D ． P M S =? 12．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号) ①不超过π的正整数； ②本班中成绩好的同学； ③高一数学课本中所有的简单题； ④平方后等于自身的数． 13．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab | 可能取的值组成的集合是________． 14．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a . 15．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ?A ，则实数m ＝________. 16．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． 17．已知集合A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A B ?，则实数a 的取值范围是________．