第10章压杆稳定
10.1 压杆稳定的概念
在前面讨论压杆的强度问题时，认为只要满足直杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。这个结论只适用于短粗压杆。而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式与强度问题截然不同。例如，一根长300mm的钢制直杆(锯条)，其横截面的宽度11mm和厚度0.6mm，材料的抗压许用应力等于170MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为1122N。但是实际上，约承受4N 的轴向压力时，直杆就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。它明确反映了压杆失稳与强度失效不同。
1907年8月9日，在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的大铁桥在施工中倒塌。灾变发生在当日收工前15分钟，桥上74人坠河遇难。原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致。
杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构，屋面采用预应力密肋网架结构，密肋大梁横截面(600mm×1400mm)，屋面采用现浇板，板厚120mm 。2003年2月18日晚19时，当施工到26～28轴时，支模架失稳坍塌，造成重大伤亡事故。
为了说明问题，取如图10.1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值F cr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图10.1a、b所示，这种能保持原有的直线平衡状态的平衡称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值F cr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图10.1c、d所示，则不能保持原有的直线平衡状态的平衡称为不稳定的平衡。如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，发生突然破坏。
图10.1
上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡
时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr 表示。当压杆所受的轴向压力F 小于临界力F cr 时，杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定性；而当压杆所受的轴向压力F 等于或者大于F cr 时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。
10.2 临界力和临界应力
10.2.1 细长压杆临界力计算公式——欧拉公式
从上面的讨论可知，压杆在临界力作用下，其直线形状的平衡将由稳定的平
衡转变为不稳定的平衡，此时，即使撤去侧向干扰力，压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。当然，如果压力超过这个临界力，弯曲变形将明显增大。所以，上面使压杆在微弯状态下保持平衡的最小的轴向压力，即为压杆的临界力。经验表明，不同约束条件下细长压杆临
界力计算公式——欧拉公式为:
()
2
2l EI
F cr μπ= （10.1） 式中μl 称为折算长度，表示将杆端约束条件不同的压杆计算长度l 折算成两端铰支压杆的长度，μ称为长度系数。几种不同杆端约束情况下的长度系数μ值列于表10.1中。从表10.1可以看出，两端铰支时，压杆在临界力作用下的挠曲线为半波正弦曲线；而一端固定、另一端铰支，计算长度为l 的压杆的挠曲线，其部分挠曲线（0.7l ）与长为l 的两端铰支的压杆的挠曲线的形状相同，因此，在这种约束条件下，折算长度为0.7l 。其它约束条件下的长度系数和折算长度可依此类推。
表11.1 压杆长度系数
10.2.2
欧拉公式的适用范围
1、临界应力和柔度
有了计算细长压杆临界力的欧拉公式，在进行压稳计算时，需要知道临界应力，当压杆在临界力F cr 作用下处于直线临界状态的平衡时，其横截面上的压应力等于临界力F cr 除以横截面面积A ，称为临界应力，用σcr 表示，即
A
Fcr cr =σ
将式（10.1）代入上式，得
()A
l EI
cr 2
2μπσ=
若将压杆的惯性矩I 写成
A
I i A i I ==或2 式中i 称为压杆横截面的惯性半径。 于是临界应力可写为
()2
2222??
?
??==i l E
l Ei cr μπμπσ ，则令i
l
μλ=
22λ
πσE
cr = （10.2）
上式为计算压杆临界应力的欧拉公式，式中λ称为压杆的柔度（或称长细比）。
则： l
i
μλ= (10.3)
柔度λ是一个无量纲的量，其大小与压杆的长度系数μ、杆长l 及惯性半径i 有关。由于压杆的长度系数μ决定于压杆的支承情况，惯性半径i 决定于截面的形状与尺寸，所以，从物理意义上看，柔度λ综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。从式（10.2）还可以看出，如果压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。
2、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此微分方程时，材料必须服从虎克定理。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力σcr 不超过材料的比例极限σp ，即：
P cr E
σλ
πσ≤=22
有
P λπ
≥若设λP 为压杆的临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即
P
P E
σπ
λ= （10.4）
则欧拉公式的适用范围为：
P λλ≥ （10.5）
上式表明，当压杆的柔度不小于λP 时，才可以应用欧拉公式计算临界力或临界应力。这类压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆。从式（10.4）可知，λP 的值取决于材料性质，不同的材料都有自己的E 值和σp 值，所以，不同材料制成的压杆，其λP 也不同。例如Q235钢，σp = 200MPa ，E = 200GPa ，由（10.4）即可求得，λP =100。
10.2.3 中粗杆的临界力计算—经验公式、临界应力总图
1、中粗杆的临界应力计算公式—经验公式 上面指出，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆，即临界应力不超过材料的 比例极限（处于弹性稳定状态）。当临界应力超过比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压杆的稳定属于弹塑性稳定（非弹性稳定）问题，此时，欧拉公式不再适用。对这类压杆各国大都采用从试验结果得到经验公式计算临界力或者临界应力。我国在建筑上目前采用钢结构规范(GBJ17-1988)规定的抛物线公式，其表达式为
2
1cr s c λσσαλ??
????=- ???????
（10.6）
式中α是有关的常数，不同材料数值不同。对Q235钢、16锰钢
，
0.43c αλ==， 对Q235钢：240123s a c MP σλ==，
22400.00682cr σλ=- (MP a ) 对16锰钢： 23500.01447cr σλ=- (MP a )
2、临界应力总图
综合压杆按照其柔度的不同，可以分为二类，并分别由不同的计算公式计算其临界应力。当λ ≥λc 时，压杆为细长杆（大柔度杆），其临界应力用欧拉公式 （10.2）来计算；当λ＜λc 时，压杆为中粗杆，其临界应力用经验公式（10.6）来计算。如果把压杆的临界应力根据其柔度不同而分别计算的情况，用一个简图来表示，该图形就称为压杆的临界应力总图。图10.2即为某塑性材料的临界应力总图。
图10.2
例10.1 如图10.3所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长l = 2m，截面形状为矩形，b = 20 mm、h = 45 mm，材料的弹性模量E = 200GPa 。试计算该压杆的临界力。若把截面改为b = h =30 mm，而保持长度不变，则该压杆的临界力又为多大？
解：一、当b=20mm、h=45mm时
（1）计算压杆的柔度
692.8
l
i
μ
λ===＞123
c
λ=(所以是大柔度
杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
由前述可知，该压杆必在xy平面内失稳，故计算惯性矩
4
4
3
3
10
0.3
12
20
45
12
mm
hb
I
y
?
=
?
=
=
（3）计算临界力
查表10—1得μ = 2，因此临界力为
图10.3
()()
kN N l EI Fcr 70.3370122103102002
8
9222==?????==-πμπ 二、当截面改为b = h = 30mm 时
（1）计算压杆的柔度
461.9l i
μλ===＞123c λ=
(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式) (2)计算截面的惯性矩
444
31075.612
3012mm bh I I z y ?====
代入欧拉公式，可得
()()
N l EI F cr 8330221075.6102002
8
9222=?????==-πμπ 从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得
到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。
例10.2 图10.4所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的弹性模量E=200Gpa ，屈服点应力σs =240MPa ，123c λ=，直径d=40mm ，试分别计算下面二种情况下压杆的临界力： （1）杆长l =1.5m ；（2）杆长l =0.5m 。
解：（1）计算杆长l =1.2m 时的临界力 两端铰支因此 μ=1
惯性半径
401044d i mm =
==== 柔度：11500
15010
l
i μλ?=
=
=＞123c λ=
(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式) 图10.4
225
22
3.1421087.64150
cr a
E MP πσλ??===2
2
33.144087.64110.081011044
cr cr cr d F A N KN πσσ?==?=?=?≈
（2）计算杆长l =0.5m 时的临界力 μ=1，i =10mm
柔度：15005010
l i μλ?===＜123c λ= 压杆为中粗杆，其临界力为
222400.006822400.0068250222.95cr a MP σλ=-=-?=
2
2
33.1440222.95280.021028044
cr cr cr d F A N kN πσσ?==?=?=?≈ 例10.3 某施工现场脚手架搭设的二种，搭设是有扫地杆形式，如图10.5(a)
所示，第二种搭设是无扫地杆形式，如图10.5(b)所示。压杆采用外径为48mm ，内径为41mm 的焊接钢管，材料的弹性模量E = 200GPa,排距为1.8m 。现比较二种情况下压杆的临界应力？
解：（1）第一种情况的临界应力
一端固定一端铰支 因此 μ=0.7，计算杆长l =1.8m
惯性半径
15.78i mm =
==== 柔度：0.71800
79.8515.78
l
i μλ?=
=
=＜123c λ=
所以压杆为中粗杆，其临界应力为
21240
0.00682196.5c r a
MP σλ=-= （2）第二种情况的临界应力
一端固定一端自由 因此 μ=2 计算杆长l =1.8m 惯性半径 15.78i mm == ( b ) 柔度：21800
228.115.78
l
i μλ?=
=
=＞123c λ= 图10.5
所以是大柔度杆，可应用欧拉公式，其临界应力为
2252
22
3.1421037.94228.1cr a E MP πσλ??=== （3）比较二种情况下压杆的临界应力
121196.537.94100%80.6%196.5
cr cr cr σσσ--?== 上述说明有、无扫地杆的脚手架搭设是完全不同的情况，在施工过程中
要注意这一类问题。
10.3 压杆的稳定计算
当压杆中的应力达到（或超过）其临界应力时，压杆会丧失稳定。所以，在工程中，为确保压杆的正常工作，并具有足够的稳定性，其横截面上的应力应小于临界应力。同时还必须考虑一定的安全储备，这就要求横截面上的应力，不能超过压杆的临界应力的许用值〔σcr 〕，即
[]N cr F
A
σσ=≤ （10.7）
[]cr σ为临界应力的许用值，其值为
[]cr σ=
st
cr
n σ （a ）
式中n st 为稳定安全因数。
稳定安全因数一般都大于强度计算时的安全因数，这是因为在确定稳定安全因数时，除了应遵循确定安全系数的一般原则以外，还必须考虑实际压杆并非理想的轴向压杆这一情况。例如，在制造过程中，杆件不可避免地存在微小的弯曲（即存在初曲率）；同时外力的作用线也不可能绝对准确地与杆件的轴线相重合（即存在初偏心）；另外，也必需考虑杆件的细长程度，杆件越细长稳定安全性矛盾越重要，稳定安全因数应越大等，这些因素都应在稳定安全因数中加以考虑。
为了计算上的方便，将临界应力的允许值，写成如下形式：
[]==st
cr
cr n σσφ[]σ （b ）
从上式可知，φ值为
φ=
[]
σσst cr
n （c ） 式中〔σ〕为强度计算时的许用应力，φ称为折减系数，其值小于1。
由式（c ）可知，当〔σ〕一定时，φ取决于σcr 与n st 。由于临界应力σcr 值随压杆的柔度而改变，而不同柔度的压杆一般又规定不同的稳定安全因数，所以折减系数φ是柔度λ的函数。当材料一定时，φ值取决于柔度λ的值。表10.2给出了几种材料的折减系数φ与柔度λ的值。供学习中使用。
表10.2 折减系数表
临界应力cr σ依据压杆的屈曲失效试验确定，还涉及实际压杆存在的初曲度、压力的偏心度、涉及实际材料的缺陷、涉及型钢轧制、加工留下的残余应力及其分布规律等因素。钢结构设计规范(GBJ17—1988)，根据我国常用构件的截面形状、尺寸和加工条件，规定了相应的残余应力变化规律，并考虑11000的初弯曲
度，计算了96根压杆的稳定系数φ与柔度λ的关系值，按截面分三类列表，供设计应用。木结构设计规范(GBJ5—1988)按照树种的强度等级分别给出两组计算公式。例：树种等级及TC15、TC17和TB20时。计算公式如下：
2
1
75180λ?λ≤=
??+ ?
??
λ＞75 2
3000
?λ=
应当明白，[]cr σ与[]σ虽然都是“许用应力”，但两者却有很大的不同。[]σ只与材料有关，当材料一定时，其值为定值；而[]cr σ除了与材料有关以外，还与压杆的长细比有关，所以，相同材料制成的不同（柔度）的压杆，其[]cr σ值是不同的。
将（b ）式代入（10.7）式，可得
F A σ=
≤φ[]σ或[]F A σσ?
=≤ （10.8） 上式即为压杆需要满足的稳定条件。由于折减系数φ可按λ的值直接从表10.2
中查到，因此，按式（10.8）的稳定条件进行压杆的稳定计算，十分方便。因此，该方法也称为实用计算方法。
应当指出，在稳定计算中，压杆的横截面面积A 均采用毛截面面积计算，即当压杆在局部有横截面削弱（如钻孔、开口等）时，可不予考虑。因为压杆的稳定性取决于整个杆件的弯曲刚度，而局部的截面削弱对整个杆件的整体刚度来说，影响甚微。但是，对截面的削弱处，则应当进行强度验算。
应用压杆的稳定条件，可以进行三个方面的问题计算：
1、稳定校核 即已知压杆的几何尺寸、所用材料、支承条件以及承受的压力，验算是否满足公式（10.8）的稳定条件。
这类问题，一般应首先计算出压杆的柔度λ，根据λ查出相应的折减系数φ，再按照公式（10.8）进行校核。
2、计算稳定时的许用荷载 即已知压杆的几何尺寸、所用材料及支承条件，按稳定条件计算其能够承受的许用荷载F 值。
这类问题，一般也要首先计算出压杆的柔度λ，根据λ查出相应的折减系数φ，再按照下式
[]σ?A F ≤
进行计算。
3、进行截面设计 即已知压杆的长度、所用材料、支承条件以及承受的压力F ，按照稳定条件计算压杆所需的截面尺寸。
这类问题，一般采用“试算法”。这是因为在稳定条件（10.8）中，折减系数φ是根据压杆的柔度λ查表得到的，而在压杆的截面尺寸尚未确定之前，压杆的柔度λ不能确定，所以也就不能确定折减系数φ。因此，只能采用试算法，首先假定一折减系数φ值（0与1之间一般采用0.45），由稳定条件计算所需要的截面面积A ，然后计算出压杆的柔度λ，根据压杆的柔度λ查表得到折减系数φ，再按照公式（10.8）验算是否满足稳定条件。如果不满足稳定条件，则应重新假定折减系数φ值，重复上述过程，直到满足稳定条件为止。
例10.4 如图10.6所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为Q235钢，直径d=20mm ，材料的许用应力〔σ〕=170MPa ，已知 h=0.4m ，作用力F=15kN 。试在计算平面内校核二杆的稳定。
图10.6
解：（1）计算各杆承受的压力
取结点A 为研究对象，根据平衡条件列方程 ∑=?-?=030cos 45cos 000NAC NAB x
F F F
， （a ）
030sin 45sin 00
0=-?+?=∑F F F F NAC
NAB y ， （b ） 联立（a ）、（b ）解得二杆承受的压力分别为
AB 杆 kN F F F NAB AB 44.13896.0=== AC 杆 kN F F F NAC AC 98.10732.0===
（2）计算二杆的柔度 各杆的长度分别为
m h l AB 566.04.022=?== m h l AC 8.04.022=?== 则二杆的长细比分别为 11302
.0566
.0144
=??=
=
=
d l i
l AB
AB
AB μμλ
16002
.08
.0144
=??=
=
=
d l i
l AC
AC
AC μμλ
（3）根据柔度查折减系数得 110120
1131130.51510
AB ??
???
-==-?=，
272.0=AC ? （4）按照稳定条件进行验算 AB 杆 362
13.4410
8310830.020.5152AB AB
AB
F
Pa MPa A σ?π?===?=
??
?
???＜[]σ
AC 杆 36
2
10.9810
128101280.020.2722AC AC
AC
F
Pa MPa A σ?π?===?=
??
?
???
＜[]σ
因此，二杆都满足稳定条件，结构稳定。
例10.5
如图10.7所示支架，BD 杆为正方形截面的木杆，其长度,
2m l =截面边长m a 1.0=，木材的许用应力[]MPa 10=σ，试从满足BD 杆的稳定条件考虑，计算该支架能承受的最大荷载max F 。
图10.7
解：（1）计算BD 杆的柔度 m l l BD 31.22
3
2
30cos 0
===
8012
11.031.2112
1=?
?=
=
=
=
a l A
I l i
l BD
BD
BD
BD μμμλ
（2）求BD 杆能承受的最大压力
根据柔度BD λ查表，得470.0=BD ?，则BD 杆能承受的最大压力为 []N A F BD 362max 101.471010470.01.0?=???==σ?
（3）根据外力F 与BD 杆所承受压力之间的关系，求出该支架能承受的最大荷载max F 。
考虑AC 的平衡，可得 ∑=,0A
M 02
32=?-?l F l F BD 从而可求得
BD F F 3
1
=
因此，该支架能承受的最大荷载max F 为 N F F BD 33max max 107.15101.473
1
31?=??==
该支架能承受的最大荷载取值为：
max 15F kN =
10.4 提高压杆稳定的措施
要提高压杆的稳定性，关键在于提高压杆的临界力或临界应力。而压杆的临界力和临界应力，与压杆的长度、横截面形状及大小、支承条件以及压杆所用材料等有关。因此，可以从以下几个方面考虑：
一、合理选择材料
欧拉公式告诉我们，大柔度杆的临界应力，与材料的弹性模量成正比。所以选择弹性模量较高的材料，就可以提高大柔度杆的临界应力，也就提高了其稳定性。但是，对于钢材而言，各种钢的弹性模量大致相同，所以，选用高强度钢并不能明显提高大柔度杆的稳定性。而中粗杆的临界应力则与材料的强度有关，采用高强度钢材，可以提高这类压杆抵抗失稳的能力。
二、选择合理的截面形状
增大截面的惯性矩，可以增大截面的惯性半径，降低压杆的柔度，从而可以提高压杆的稳定性。在压杆的横截面面积相同的条件下，应尽可能使材料远离截面形心轴，以取得较大的轴惯性矩，从这个角度出发，空心截面要比实心截面合理，如图10.8所示。在工程实际中，若压杆的截面是用两根槽钢组成的，则应采用如图10.9所示的布置方式，可以取得较大的惯性矩或惯性半径。
另外，由于压杆总是在柔度较大（临界力较小）的纵向平面内首先失稳，所以应注意尽可能使压杆在各个纵向平面内的柔度都相同，以充分发挥压杆的稳定承载力。
图10.8 图10.9
三、改善约束条件、减小压杆长度
根据欧拉公式可知，压杆的临界力与其计算长度的平方成反比，而压杆的计算长度又与其约束条件有关。因此，改善约束条件，可以减小压杆的长度系数和计算长度，从而增大临界力。在相同条件下，从表11.1可知，自由支座最不利，铰支座次之，固定支座最有利。
减小压杆长度的另一方法是在压杆的中间增加支承，把一根变为两根甚至几根。
本章小结
一、平衡状态的稳定性
稳定平衡：当工作力小于临界力时，压杆能保持原来的平衡状态。
不稳定平衡：当工作力大于、等于临界力时，压杆不能保持原来的平衡状态。
二、临界应力总图
当λ≥λC时，压杆为大柔度杆(细长杆)，可用欧拉公式计算临界力及临界应力。其计算公式：
()
2
2l EI
F cr μπ= 22λπσE cr = 当λ＜λC 时，压杆为中粗杆，可用经验公式计算临界力及临界应力。其计算
公式：
2
1cr s c λσσαλ??
????=- ???????
cr cr F A σ=
对Q235钢： 22400.00682cr σλ=- (MP a ) 对16锰钢： 23500.01447cr σλ=- (MP a ) 三、压杆稳定的实用计算 用?系数法的压稳条件为：
F A σ=
≤φ[]σ或[]F
A σσ?
=≤ 根据压稳条件有三方面的计算，它们分别为：(1)压稳校核、(2)计算许可荷
载、(3)设计压杆的截面尺寸(用逐步逼近法)。
思 考 题
10.1 如何区别压杆的稳定平衡与不稳定平衡？
10.2 什么叫临界力？计算临界力的欧拉公式的应用条件是什么？
10.3 由塑性材料制成的小柔度压杆，在临界力作用下是否仍处于弹性状态？
10.4 实心截面改为空心截面能增大截面的惯性矩从而能提高压杆的稳定性，是否可以把材料无限制地加工使远离截面形心，以提高压杆的稳定性？
10.5 只要保证压杆的稳定就能够保证其承载能力，这种说法是否正确？ 10.6 请你在日常生活中碰到的实例来说明压稳问题的存在？
习 题
10.1 如图所示压杆，截面形状都为圆形，直径d=160mm ，材料为Q235钢，弹性模量
E=200GPa 。试按欧拉公式分别计算各杆的临界力。
题10.1图
10.2 某细长压杆，两端为铰支，材料用Q235钢，弹性模量E=200GPa ，试用欧拉公式分别计算下列三种情况的临界力：
（1） 圆形截面，直径d=25mm ，l =1m ； （2） 矩形截面，h=2b=40mm ，l =1m ； （3） N 016工字钢，l =2m 。
10.3 图示某连杆，材料为Q235钢，弹性模量E=200Gpa ，横截面面积A=44cm 2，惯 性矩444410797,10120mm I mm I z y ?=?=，在xy 平面内，长度系数μz =1；在xz 平面内，长度系数μy =0.5。试计算其临界力和临界应力。
题10.3图
10.4 某千斤顶，已知丝杆长度l =375mm ，内径d=40mm ，材料为45号钢（a=589MPa ，b=3.82MPa ，λP =100，/P λ=60），最大起顶重量F=80Kn ，规定的安全系数n st =4。试校核其稳定性。
10.5 如图所示梁柱结构，横梁AB 的截面为矩形，b ?h=402
60mm ?；竖柱CD 的截面为圆形，直径d=20mm 。在C 处用铰链连接。材料为Q235钢，规定安全系数n st =3。若现在AB 梁上最大弯曲应力σ=140MPa ，试校核CD 杆的稳定性。
题10.5图
10.6 机构的某连杆如图所示，其截面问工字形，材料为Q235钢。连杆承受的最大轴向压力为465kN ，连杆在xy 平面内发生弯曲时，两端可视为铰支；在xz 平面内发生弯曲时，两端可视为固定。试计算其工作安全系数。
10.7 简易起重机如图所示，压杆BD为N020槽钢，材料为Q235。起重机的最大起吊重量F=40kN，若规定的安全系数n st=4，试校核BD杆的稳定性。
题10.6图题10.7图
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ
11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1 d l == mm m；（2）矩形截面2400,1 h b l === m m；（3）16号工字钢，2 l=m l 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力： （1）圆形截面，25,1 d l == mm m： 2 29 2 22 0.025 20010 6437.8 1 cr EI P l π π π ? ??? === N kN （2）矩形截面2400,1 h b l === m m 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳 2 0.040.02 min(,) 12 y z y I I I I ? ===，故： 2 29 2 22 0.040.02 20010 1252.7 1 cr EI P l π π ? ??? === N kN （3）16号工字钢，2 l=m 查表知：44 93.1,1130 y z I I == cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时 4 min(,)93.1 y z y I I I I ===cm，故： 2298 22 2001093.110 459.4 2 cr EI P l ππ- ???? === N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。 解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P λ 2 2 99.35 P P P E π σλ λ =→=== （2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P λ可采用欧拉公式计算临界力。故 0.7 80.83 1.229 0.03 99.35 x P y z l l l l i μ λλ ? ===>> =→mm，
第七章 压杆稳定 一、压杆稳定的基本概念 受压直杆在受到干扰后，由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式，而且干扰撤除后，压杆仍保持为弯曲平衡形式，则称压杆丧失稳定，简称失稳或屈曲。 压杆失稳的条件是受的压力cr P P ≥。cr P 称为临界力。 二、学会各种约束情形下的临界力计算 压杆的临界力A P cr cr σ=，临界应力cr σ的计算公式与压杆的柔度i l μλ=所处的范围有关。以三号钢的压杆为例： p λλ≥，称为大柔度杆，22λ πσE cr = p s λλλ≤≤，称为中柔度杆，λσb a cr -=。 s λλ≤，称为小柔度杆，s cr σσ=。 三、压杆的稳定计算有两种方法 1）安全系数法 st cr n P P n ≥=，st n 为稳定安全系数。 2）稳定系数法 ][][σ?σσ=≤=st A P ，?为稳定系数。 四、学会利用柔度公式，提出提高压杆承载能力的措施 根据i l μλ= ，A I i = ，λ愈大，则临界力（或临界应力）愈低。提高压杆承载能力的措施为： 1）减小杆长。 2）增强杆端约束。 3）提高截面形心主轴惯性矩I 。且在各个方向的约束相同时，应使截面的两个形心主轴惯性矩相等。 4）合理选用材料。
§15-1 压杆稳定的概念 构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。例如，受轴向压力的细长杆，当压 力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图15-1a ），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转（图15-1b ）；受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图15-1c ）。上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。 由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用cr P 表示。 为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，因而压杆是以临界力作为其极限承载能力。 §15-2 细长压杆的临界力 根据压杆失稳是由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式的这一重要概念，可以预料，凡是影响弯曲变形的因素，如截面的抗弯刚度EI ，杆件长度l 和两端的约束情况，都会影响压杆的临界力。确定临界力的方法有静力法、能量法等。本节采用静力法，以两端铰支的中心受压直杆为例，说明确定临界力的基本方法。 1．两端铰支压杆的临界力 两端铰支中心受压的直杆如图15-4a 所示。设压杆处于临界状态，并具有微弯的平衡形式，如图15-4b 所示。建立x v -坐标系，任意截面（x ）处的内力（图15-4c ）为 ),(压力P N = Pv M = 在图示坐标系中，根据小挠度近似微分方程 EI M dx v d -=22，得到 v EI P dx v d -=2 2
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π= 。 [习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动） 解：压杆能承受的临界压力为：2 2) .(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ
（f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2).2(l EI P cr π= 为什么并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。 螺旋千斤顶（图c ）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆是否偏于安全 解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素2=μ，其临界力为：2 min 2).2(l EI P cr π= 。但是，(a) 为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素 2≠μ，因此，不能用2 min 2) .2(l EI P cr π= 来计算临界力。 为了考察（a ）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B ）的转动刚度l EI M C 20 ==? ，且无侧向位移，则： )()("w F x M EIw cr -=-=δ 令 2k EI F cr =，得： δ22"k w k w =+ 微分方程的通解为：δ++=kx B kx A w cos sin kx Bk kx Ak w sin cos ' -= 由边界条件：0=x ，0=w ，C F C M w cr δ?== =' ；l x =，δ=w 解得： Ck F A cr δ= ，δ-=B ，δδδ δ+-=kl kl Ck F cr cos sin 整理后得到稳定方程：20/tan == l EI C kl kl
第十一章 压杆稳定 是非判断题 1 压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响。（ ） 2 同种材料制成的压杆，其柔度愈大愈容易失稳。（ ） 3 细长压杆受轴向压力作用，当轴向压力大于临界压力时，细长压杆不可能保持平衡。（ ） 4 若压杆的实际应力小于欧拉公式计算的临界应力，则压杆不失稳（ ） 5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（ ） 6 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，则其临界力也必定相同。（ ） 7 若细长杆的横截面面积减小，则临界压力的值必然随之增大。（ ） 8 压杆的临界应力必然随柔度系数值的增大而减小。（ ） 9 对于轴向受压杆来说，由于横截面上的正应力均匀分布，因此不必考虑横截面的合理形状问题。 （ ） 填空题 10 在一般情况下，稳定安全系数比强度安全系数要大，这是因为实际压杆总是不可避免地存在 以及 等不利因素的影响。 11 按临界应力总图，1λλ≥的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；1 2λλλ≤≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；2λλ≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 。 12 理想压杆的条件是① ；② ；③ 。 13 压杆有局部削弱时，因局部削弱对杆件整体变形的影响 ；所以在计算临界压力时，都采 用 的横截面面积A 和惯性矩I 。 14 图示两端铰支压杆的截面为矩形，当其失稳时临界压力F cr = ，挠曲线位于 平 面内。 z C 题15图 15 图示桁架，AB 和BC 为两根细长杆，若EI 1＞EI 2，则结构的临界载荷F cr = 。 16 对于不同柔度的塑性材料压杆，其最大临界应力将不超过材料的 。 17 提高压杆稳定性的措施有 ， ，以及 和 。 18 细长杆的临界力与材料的 有关，为提高低碳钢压杆的稳定性，改用高强度钢不经济， 原因时 。 19 b 为细长杆，结构承载能力将 。 B P
外压薄壁圆筒的厚度设计外压封头的稳定性计算加强圈的设计压杆的稳定性计算 力（信号），保持原有状态的能力。在本课程中是指杆件或压力容器在外力作用下，保持原有结稳定性与前两者的联系：都是构件承载能力：强度、刚度和稳定性；区别：变形更大，以至于明显改变了构件的形状。）受轴向压缩的杆 AB 压杆 稳定性分类：轴向稳定性问题和环向稳定性问题 外压容器横向失稳取决于容器的几何特性和材料的机械性能： 圆筒的外径与有效厚度的比值D 0/δe ；圆筒的长度与外径的比值L/D 0； 材料的机械性能，主要是弹性模量E 泊松常数μ，而不是材料的屈服极限σs ，断裂极限σb 或者是弹性极限σp 。稳定性计算的两种方法：解析法和图表法。 ：是指保持容器稳定（或者说不失去稳定）的最大压力。 许用压力：与材料力学的许用应力、许用载荷是同样的3 cr 0 MPa L L e D δ??≥???? 当长圆筒许用压力计算公式 cr mm L L 2.2mp C E +当长圆筒的壁厚设计公式： ”和“短”的区分长度。一般认 为，长圆筒的两端封头对中央筒体部分没有支撑作用，而短圆筒则两端封头有支撑筒体作用。 1.17cr e D L D δ=临界长度计算公式：短圆筒的壁厚设计公式： 0.4 0 mm L L 2.59p L C E D ? ??+≤? ?? 当设计参数的选取讨论 圆筒的计算长度L
有加强圈的筒体的计算长度计算 计算长度的椭圆形封头部分 外压容器：取不小于正常工作过程中可能产生的最有安全控制装置时，取1.25倍最大内外压力差或两者中的较小值；无安全控制装置时，取0.1MPa ； 对带夹套的真空容器，按上述原则再加交通的设液压试验和液压实验压力，容器制造组装完成后，同样 需要进行压力试验，计算公式略。 反应釜 计算公式，并与筒体的实际长度L 相比较，判定筒体是长圆筒或者是短圆筒；设计参数代入长圆筒或短圆筒的许用压力计算公式， 和[p]，如果p < [p]且比较接近，则所假 符合要求。否则，再另设δn ，重复计算，直到满2cr MPa L L e o e D δ≤当22 2 2.52.59 2.59()e o o o o e o e E E D L D D D mL D D δδδ== ?? (,)o e o D E L E f A m D m δ?=?ε σ?=E e n e o o A 值； 根据选用的材料，选取相应的B －A 曲线，得值；如果 值在没有画出的斜线部分，根据公式B ＝2/3EA 计算； 根据下面公式得许用操作压力，比与设计外压p 比较， 稍大于等于p ，则开始所取的名义厚度可以作为计算结果，如果小于p 或者超出p 太多，应重新假设名义[p]稍大于等于p ”条件满足为止。 o e D B p δ? =][
第九章压杆稳定习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆， 按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式 2 2 l EI P cr 。试分析当分别取图 b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得 cr F 公式又 是否相同。 解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )(" x M EIw 。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)(" x M EIw ，显然，这微分方程与（ a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关， 与坐标系的选取、挠曲线的 位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即： 2 2 l EI P cr 。
[习题9-2]图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为：22 ) .(l EI P cr 。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与原压相的相当长度 l 的平方成反比，其中， 为与约束情况有关的长 度系数。（a ）m l 551（b ）m l 9.477.0（c ）m l 5.495.0（d ）m l 422（e ）m l 88 1（f ） m l 5.35 7.0（下段）； m l 5.25 5.0（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接， 但第一根杆（图a ）的基础放在弹性 地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为 2 min 2 ) .2(l EI P cr ？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
材料力学章节重点和难点 第一章绪论 1．主要内容：材料力学的任务；强度、刚度和稳定性的概念；截面法、内力、应力，变形和应变的基本概念；变形固体的基本假设；杆件的四种基本变形。 2．重点：强度、刚度、稳定性的概念；变形固体的基本假设、内力、应力、应变的概念。 3．难点： 第二章杆件的内力 1．主要内容：杆件在拉压、扭转和弯曲时的内力计算；杆件在拉压、扭转和弯曲时的内力图绘制；平面弯曲的概念。 2．重点：剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图。 3. 难点：绘制剪力图和弯矩图、剪力和弯矩间的关系。 第三章杆件的应力与强度计算 1．主要内容：拉压杆的应力和强度计算；材料拉伸和压缩时的力学性能；圆轴扭转时切应力和强度计算；梁弯曲时正应力和强度计算；梁弯曲时切应力和强度计算；剪切和挤压的实用计算方法；胡克定律和剪切胡克定律。 2．重点：拉压杆的应力和强度计算；材料拉伸和压缩时的力学性能；圆轴扭转时切应力和强度计算；梁弯曲时正应力和强度计算。 3．难点：圆轴扭转时切应力公式推导和应力分布；梁弯曲时应力公式推导和应力分布；
第四章杆件的变形简单超静定问题 1．主要内容：拉（压）杆的变形计算及单超静定问题的求解方法；圆轴扭转的变形和刚度计算；积分法和叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定梁。 2．重点：拉（压）杆的变形计算；；圆轴扭转的变形和刚度计算；叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定梁。 3．难点：积分法和叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定结构。 第五章应力状态分析? 强度理论 1．主要内容：应力状态的概念；平面应力状态分析的解析法和图解法；广义胡克定律；强度理论的概念及常用的四种强度理论。 2．重点：平面应力状态分析的解析法和图解法；广义虎克定律；常用的四种强度理论。 3．难点：主应力方位确定。 第六章组合变形 1．主要内容：拉伸(压缩)与弯曲、斜弯曲、扭转与弯曲组合变形的强度计算； 2．重点: 弯扭组合变形。 3．难点：截面核心的概念 第七章压杆稳定 1．主要内容：压杆稳定的概念；各种支座条件下细长压杆的临界载荷；欧拉公式的适用范围和经验公式；压杆的稳定性校核。
第十四章 压 杆 稳 定 14.1某型柴油机的挺杆长度l =25.7cm,圆形横截面的直径d =8mm,钢材的E=210Gpa,MPa p 240=σ。挺杆所受最大压力kN P 76.1=。规定的稳定安全系数 5~2=st n 。试校核挺杆的稳定性。 解：计算柔度，挺杆两端可认为较支，μ=1, 1294 /008.0257.01== =?i l μλ 而 9.926 9 22102401021014.31== = ???p E σπλ 1λλ 用欧拉公式计算临界压力，校核稳定性。 kN P L EI lj 30.62 644 )5108(14.3922 2 ) 257.01(1021014.3)(== = ?? ??-??μπ 58 .376.130 .6=== P P lj n 在2~5之间，安全。 14.4图中所示为某型飞机起落架中承受压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径D=52mm ，内径d =44mm,l =950mm.材料为30CrMnS i N i 2A, 试求斜撑杆的临界压力lj P 和临界应力 lj σ。（原图见教材P173.）(GPa E MPa MPa p b 210,1200,1600===σσ) 解：斜撑两端按铰支座处理， 5 .419 .55017.0044.0052.06 921012001021014.31017.095.01224 1224 1 == = ====+= += ????p E i l m d D i σπμλλ 1λλ ，可用拉欧公式计算 2 )044.0052.0(1040164 ) 044.0052.0(14.3) 95.01(1021014.3)(/665401224 3 4 49 222m MN kN P A P lj l EI lj lj == = =?= = -?-???π σμπ 14.5三根圆截面压杆，直径均为d=160mm,材料为A3钢，E=200Gpa,MPa s 240=σ.两端均为铰支，长度分别为l 1l 2和l 3，且m l l l 532321===。试求各杆的临界压力lj P 。 解：对于A3钢 1.57,10012 .1240 3042===≈--b a s σλλ 分别计算三杆的柔度 3 .31)3(5.62)2(125)1(4 /16.025.114/16.05.214/16.05 13 32 21 1== = ======???i l i l i l μμμλλλ
第十章 压杆稳定 学时分配：共6学时 主要内容：两端铰支细长压杆的临界压力，杆端约束的影响，压杆的长度系数μ，临界应力欧拉公式的适用范围；临界应力总图、直线型经验公式λσb a cr -=，使用安全系数 法进行压杆稳定校核。 $10.1压杆稳定的概念 1．压杆稳定 若处于平衡的构件，当受到一微小的干扰力后，构件偏离原平衡位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳定平衡。 2．临界压力 当轴向压力大于一定数值时，杆件有一微小弯曲，一侧加一微小干扰且有一变形。任一微小挠力去除后，杆件不能恢复到原直线平衡位置，则称原平衡位置是不稳定的，此压力的极限值为临界压力。 由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力 的临界值称为临界压力（或临界力），用 τ c P 表示。 3．曲屈 受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。 $10.2细长压杆临界压力的欧拉公式 1．两端铰支压杆的临界力 选取如图所示坐标系xOy 。距原点为x 的任意截面的挠度为v 。于是有 Pv M -= 2．挠曲线近似微分方程： 将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得 ()Pv x M EIv -=='' 令 EI P k = 2 则有 0'2''=+v k v 该微分方程的通解为 kx B kx A v cos sin += c r c r
式中A 、B ——积分常数，可由边界条件确定 压杆为球铰支座提供的边界条件为 0=x 和l x =时，0=v 将其代入通解式，可解得 0=B ，0sin =kl A 上式中，若A=0，则0=v ；即压杆各处挠度均为零，杆仍然保持直线状态，这与压杆处于微小弯曲的前提相矛盾。因此，只有 0sin =kl 满足条件的kl 值为 πn kl =),2,1,0(Λ=n 则有 l n k π= 于是，压力P 为 2222 l EI n EI k P π= = 1=n 得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力τc P 于是可得临界压力为 2 2l EI P c πτ= 此式是由瑞士科学家欧拉（L. Euler ）于1744年提出的，故也称为两端铰支细长压杆的 欧拉公式。 此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。 $10.3其他条件下压杆的临界压力 欧拉公式的普遍形式为 22)(l EI P cr μπ= 式中μ称为长度系数，它表示杆端约束对临界压力影响，随杆端约束而异。l μ表示把压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度，称为相当长度。 两端铰支，1=μ；一端固定另一端自由2=μ；两端固定，2 1=μ；一端固定令一 端铰支，7.0=μ。
第十三章 压杆稳定 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。 1.2 临界压力 细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。 1.3 稳定计算 为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算： st cr n F F n ≥= －稳定条件 2 重点与难点及解析方法 2.1临界压力 临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。 2.2稳定计算 压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。 利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。 稳定计算要求掌握安全系数法。 解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据 柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。 3典型问题解析 3.1 临界压力
mm .h A I i min 55113 2===mm .a A I i 31632===例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm 2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm 、(2)、a=56.5mm 、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm 。若已知材料的E =200GPa ，σs =235MPa ，σcr =304－1.12λ，λp =100，λs =61.4，试计算各杆的临界荷载。 [解] 压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。 (1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm 时 λ＞ λP 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力 (2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm 时 所以 9.12910 55.113 5.031=??==-i l μλkN 37521 21=?=?=A E A F cr cr λπ σ 0.7d 图13－1
第11章压杆稳定 [内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。 11.1 压杆稳定的概念 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。 为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。 P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值 cr P时，杆件虽位置上保持平衡。但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P= cr 然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。 P= cr
第10章压杆稳定 10.1 压杆稳定的概念 在前面讨论压杆的强度问题时，认为只要满足直杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。这个结论只适用于短粗压杆。而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式与强度问题截然不同。例如，一根长300mm的钢制直杆(锯条)，其横截面的宽度11mm和厚度0.6mm，材料的抗压许用应力等于170MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为1122N。但是实际上，约承受4N 的轴向压力时，直杆就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。它明确反映了压杆失稳与强度失效不同。 1907年8月9日，在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的大铁桥在施工中倒塌。灾变发生在当日收工前15分钟，桥上74人坠河遇难。原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致。 杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构，屋面采用预应力密肋网架结构，密肋大梁横截面(600mm×1400mm)，屋面采用现浇板，板厚120mm 。2003年2月18日晚19时，当施工到26～28轴时，支模架失稳坍塌，造成重大伤亡事故。 为了说明问题，取如图10.1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值F cr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图10.1a、b所示，这种能保持原有的直线平衡状态的平衡称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值F cr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图10.1c、d所示，则不能保持原有的直线平衡状态的平衡称为不稳定的平衡。如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，发生突然破坏。 图10.1 上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡
第10章压杆稳定 提要：本章着重讨论受压直杆的稳定性计算。通过对两端铰支细长压杆的稳定性分析，阐明压杆的平衡稳定性的基本概念，明确压杆的临界力的意义及其确定方法，并进一步讨论了不同支承情况对临界力的影响及其欧拉公式的统一形式。通过临界应力总图明确了压杆的柔度的物理意义，并揭示了压杆的强度和稳定性之间的关系，从而明确了欧拉公式的适用范围。介绍了运用长、中柔度杆稳定计算公式进行简单的压杆稳定校核的方法。 10.1 压杆稳定的概念 在绪论中已指出，衡量构件承载能力的指标有强度、刚度、稳定性。关于杆件在各种基本变形以及常见的组合变形下的强度和刚度问题在前述各章节中已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上，杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。 在材料的拉压力学性能实验中，当对高为20mm，直径为10mm的短粗铸铁试件进行压缩试验时，其由于强度不足而发生了破坏。从强度条件出发，该试件的承载能力应只与其横截面面积有关，而与试件的长度无关。但如果将该试件加到足够的长度，再对其施加轴向压力时，将会发现在杆件发生强度破坏之前，会突然向一侧发生明显弯曲，若再继续加力就会发生折断，从而丧失承载能力。由此可见，这时压杆的承载能力并不取决于强度，而是与它受压时的弯曲刚度有关，即与压杆的稳定性有关。 在工程建设中，由于对压杆稳定问题没有引起足够的重视或设计不合理，曾发生了多起严重的工程事故。例如1907年，北美洲魁北克的圣劳伦斯河上一座跨度为 548米的钢桥正在修建时，由于两根压杆失去稳定，造成了全桥突然坍塌的严重事故。又如在19世纪末，瑞士的一座铁桥，当一辆客车通过时，桥桁架中的压杆失稳，致使桥发生灾难性坍塌，大约有200人遇难。还有在1983年10月4日，地处北京的中国社会科学研究院科研楼工地的钢管脚手架距地面5~6处突然外弓，刹那间，这座高达54.2米，长17.25米，总重565.4kN的大型脚手架轰然坍塌，5人死亡，7人受伤，脚手架所用建筑材料大部分报废，而导致这一灾难性事故的直接原因就是脚手架结构本身存在严重缺陷，致使结构失稳坍塌。实际上，早在1744年，出生于瑞士的著名科学家欧拉(L. Euler)就对理想压杆在弹性范围内的稳定性进行了研究，并导出了计算细长压杆临界压力的计算公式。但是，同其它科学问题一样，压杆稳定性的研究和发展与生产力发展的水平密切相关。欧拉公式面世后，在相当长的时间里之所以未被认识和重视，就是因为当时在工程与生活建造中实用的木桩、石柱都不是细长的。直到1788年熟铁轧制的型材开始生产，然后出现了钢结构。特别是19世纪，随着铁路金属桥梁的大量建造，细长压杆的大量出现，相关工程事故的不断发生，才引起人们对压杆稳定问题的重视，并进行了不断深入的研究。 除了压杆以外，还有许多其它形式的构件也同样存在稳定性问题，如薄壁球形容器在径向压力作用下的变形(图10.1(a))；狭长梁在弯曲时的侧弯失稳(图 10.1(b))；两铰拱在竖向载荷
9-1(9-2)图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与成反比，此处，为与约束情况有关的长度系数。 （a）=1×5=5m （b）=0.7×7=4.9m （c）=0.5×9=4.5m （d）=2×2=4m （e）=1×8=8m （f）=0.7×5=3.5m 故图e所示杆最小，图f所示杆最大。 返回 9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为时安装在两个固定支座之间， 这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？ 解：
返回 9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按 细长杆考虑），确定最小临界力的算式。 解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况： （a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳： （b）两根立柱一起作为下端固定而上 端自由的体系在自身平面内失稳 失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆 组成一组合截面。 （c）两根立柱一起作为下端固定而上端 自由的体系在面外失稳
故面外失稳时最小 =。 返回 9-4(9-7)图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点，。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。 解：杆DB为两端铰支，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故 返回 9-5(9-9) 下端固定、上端铰支、长m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力，试求压杆的许可荷载。
第七章压杆稳定 本章重点介绍有关压杆稳定的基本概念和压杆临界力的计算方法，简单说明其它形式构件的稳定性问题。 第一节压杆稳定的概念 考察图7-1所示的受压理想直杆，当压力F小于某一数值时，在任意小的扰动下，压杆偏离其直线平衡位置，产生轻微弯曲，当扰动除去后，压杆又回到原来的直线平衡位置。这表明压杆的直线平衡是稳定的。当压力逐渐增加达到一定数值时，压杆在外界扰动下，偏离直线平衡位置，扰动去除，则不能再回到原来的直线平衡位置，而在某一弯曲状态下达到新的平衡，因此称该直线平衡是不稳定的。从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的压力极限值，称为临界载荷或临界力，用F cr表示。压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳定，简称失稳。 图7-1 杆件失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增大，从而使杆件丧失承载能力。但细长压杆失稳时，杆内的应力不一定高，有时甚至低于材料的比例极限。可见，压杆失稳并非强度不足，而是区别于强度、刚度失效的又一种失效形式。由于压杆稳定是突然发生的，因此所造成的后果也是严重的。历史上瑞士和俄国的铁路桥，都发生过因为桥桁架中的压杆失稳而酿成的重大事故。因此在工程实际中，对于压杆稳定性问题必须充分重视。 当压杆的材料、尺寸和约束等情况已经确定时，临界力是一个确定的值。因此可根据杆件实际的工作压力是小于还是大于压杆的临界力，来判断压杆是稳定的还是不稳定的。可见解决压杆稳定的关键问题是确定压杆的临界力。 第二节细长压杆的临界载荷
一、两端铰支细长压杆的临界力 取一根两端为球铰的细长压杆，使其处于微弯的平衡状态，选取相应的坐标系（图7-2a）。考察微弯状态下任意一段压杆的平衡（图7-2 b），则杆件横截面上的弯矩为 (a) 根据挠曲线近似微分方程，有 (b) 将式(a)代入式(b),有 (c) 其中 (d) 微分方程(c)的一般解为 (e) 其中Ｃ1、Ｃ2常数,可根据两端支承的约束边界条件确定，在两端铰支的情况下，边界条件为 （０）＝（ｌ）＝０ 将微分方程的解代入，得 Ｃ2=0, Ｃ1sinkl=0 (f) 后式表明,Ｃ1或者sinkl等于零。但若Ｃ1=0，则y=0，杆轴为直线，这与压杆处于微弯的平衡状态相矛盾。因此，只能是 sinkl=0 解得 (n=0,1,2,...） 由此得
第九章压杆稳定习题解 [ 习题9-1] 在§9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线 形状，导出了临界应力公式 2 EI P cr 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形2 l 状时，压杆在F作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得F cr 公式又cr 是否相同。 解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 " M x EIw ( ) 。（c）、(d) 的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程： " M x EIw ( )，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的 位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即： 2 EI P cr 。 2 l
1
[ 习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为： 2 EI P cr 。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，2 ( .l) 它们能承受的压力与原压相的相当长度l 的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。 （a）l 1 5 5m （b）l 0.7 7 4. 9m （c）l 0.5 9 4.5m （d）l 2 2 4m （e）l 1 8 8m （f ）l 0.7 5 3.5m （下段）；l 0.5 5 2. 5m （上段） 故图 e 所示杆F最小，图 f 所示杆F cr 最大。 cr [ 习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性 地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为P cr 2 EI min 2 ( 2.l ) ？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
09工程力学答案第11章压杆稳定
11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1 d l == mm m；（2）矩形截面2400,1 h b l === m m；（3）16号工字钢，2 l=m l 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力： （1）圆形截面，25,1 d l == mm m： 2 29 2 22 0.025 20010 6437.8 1 cr EI P l π π π ? ??? === N kN （2）矩形截面2400,1 h b l === m m 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳 2 0.040.02 min(,) 12 y z y I I I I ? ===，故： 2 29 2 22 0.040.02 20010 1252.7 1 cr EI P l π π ? ??? === N kN （3）16号工字钢，2 l=m 查表知：44 93.1,1130 y z I I == cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时4 min(,)93.1 y z y I I I I ===cm，故： 2298 22 2001093.110 459.4 2 cr EI P l ππ- ???? === N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。 解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P λ 2 2 99.35 P P P E π σλ λ =→=== （2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P λ可采用欧拉公式计算临界力。故
一、是非题 14.1 由于失稳或由于强度不足而使构件不能正常工作，两者之间的本质区别在于：前者构件的平衡是不稳定的，而后者构件的平衡是稳定的。（） 14.2 压杆失稳的主要原因是临界压力或临界应力，而不是外界干扰力。（） 14.3 压杆的临界压力（或临界应力）与作用载荷大小有关。（） 14.4 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，其临界压力也一定相同。（） 14.5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（） 二、选择题 14.6 在杆件长度、材料、约束条件和横截面面积等条件均相同的情况下，压杆采用图（）所示的截面形状，其稳定性最好；而采用图（）所示的截面形状，其稳定性最差。 14.7一方形横截面的压杆，若在其上钻一横向小孔（如图所示），则该杆与原来相比（）。 A. 稳定性降低，强度不变 B. 稳定性不变，强度降低 C. 稳定性和强度都降低 D. 稳定性和强度都不变 14.8 若在强度计算和稳定性计算中取相同的安全系数，则在下列说法中，（）是正确的。
A. 满足强度条件的压杆一定满足稳定性条件 B. 满足稳定性条件的压杆一定满足强度条件 C. 满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 D. 不满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 三计算题 14.9无缝钢管厂的穿孔顶针如图所示。杆端承受压力。杆长l =4.5m ，横截面直径d =15cm ，材料为低合金钢，E =210 Gpa 。两端可简化为铰支座，规定的稳定安全系数为=3.3 。试求顶杆的许可载荷。 14.10某厂自制的简易起重机如图所示，其压杆BD 为20号槽钢，材料为A3 钢。起重机的最大起重量是P = 40 kN 。若规定的稳定安全系数为=5 ，试校核BD 杆的稳定性。 14.11 10 号工字梁的C 端固定，A 端铰支于空心钢管AB 上。钢管的内径和外径分别为30mm 和40mm ，B 端亦为铰支。梁及钢管同为A3 钢。当重为300N 的重物落于梁的 A 端时，试校核A B 杆的稳定性。规定稳定安全系数=2.5 。