第二章 泛函极值及变分法（补充内容）
2.1 变分的基本概念
2.1.1 泛函和变分
泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。
例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到：
dx dx dy J B
A
x x ?
+=
2)/(1
（2.1.1） 显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。
图2.1.1 两点间任一曲线的长度
例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。
图2.1.2 最速降线问题
选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：
ds
v dt ==
其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：
dt =
设重力加速度为g ，则gy v 2=。
因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为：
1
[()]x x J y x =?
2
1
1/2
211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ??'+=??-??
?
（2.1.2）
则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。 回顾函数的微分：
对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：
),()()()(x x x x A x y x x y y ?+?=-?+=?ρ （2.1.3） 其中A （x ）与?x 无关，且有?x →0时ρ（x ,?x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其
线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=?=?，函数的微分就是函数增量的主部。
函数微分的另外一种定义：
通过引入一小参数ε，对)(x x y ?+ε关于ε求导数，并令ε→0的途径得到，即：
dy x x y x x x y d x x dy =?'=??+'=?+→→)()()
(00
εεεε
ε
（2.1.4）
上式说明)(x x y ?+ε在ε=0处关于ε的导数就是函数y (x )在x 处的微分。相应地，在泛函J [y (x )]中，变量函数y (x )的增量在其很小时称为变分，用δy (x )或δy 表示，
指y (x )与它相接近的y 1(x )的差，即：)()()(1x y x y x y -=δ。
泛函的变分也有类似的两个定义：
对于函数y (x )的变分δy (x )所引起的泛函的增量为)]([)]()([x y J x y x y J J -+=?δ，当
0)(→x y δ时泛函增量的线性主部就称为泛函J 在函数y (x )处的变分，记为δJ ，即：
{})](),([)]([)]()([0x y x y L x y J x y x y J J y δδδδ=-+=→ （2.1.5）
其中L [y (x ),δy (x )]是泛函增量的线性主部，而且其对于变分δy (x )是线性的。 另一种定义：
拉格朗日的泛函变分定义为：
泛函变分是)]()([x y x y J εδ+对ε的导数在ε=0时的值，即：
)](),([)]()([0x y x y L x y x y J J δεδε
δε=+??
=
→ （2.1.6）
首先，我们进行泛函：
?
'==2
1
))(),(,()]([x x dx x y x y x F x y J J （2.1.7）
的变分。
此泛函的增量可以用Taylor 展式表示为：
()()2
1,()(),()(),(),()x x J F x y x y x y x y x F x y x y x dx '''?=?+?+?-??
?? 2
1
2222222
1()()2()x x F F F F F y y y y y y dx y y y y y y ???????????
'''=?+?+?+??+?+????'''????????????
?
L （2.1.8）
当0→?y ，上式积分中的前两项是增量的线性主部，后面的项为高阶无穷小量。 根据变分的定义，该泛函的变分为：
?
???
? ??''??+??=
2
1
x x dx y y F
y y F J δδδ （2.1.9） （2.1.9）也称为泛函J 的一阶变分，而（2.1.8）式的后三项为二阶变分，记作δ2J ，即：
?
??
????''??+''???+??=
21
22222
222
)()()(x x dx y y F y y y y F y y F
J δδδδδ （2.1.10） 也可以通过拉格朗日泛函变分的定义，得到：
[]?
→→?
??
???
'+'+??=+??
=
21
0),,()()(x x dx y y y y x F x y x y J J εεεδεδεεδε
δ dx y y F
y y F x x ?
''
??+??=
2
1
)(
δδ （2.1.11）
此结果与（2.1.9）是相同的。
类似地，如果泛函的值决定于两个函数，并且这些函数是两个变量的函数，如：
[](,),(,)(,,,,,,,)s x y x y J J u x y v x y F x y u v u u v v ds ==?
（2.1.12） 其变分为：
s x y x y x y x y F F F F F F
J u v u u v v ds u
v u u v v δδδδδδδ????????=+
++++?
???????????
?
（2.1.13）
依此类推，不难得到多个多元函数的变分。 此处，泛函的变分满足下面的一些运算规律：
（1）[][]{}[][]1212()()()()J y x J y x J y x J y x δδδ+=+
（2.1.14a ）
（2）[][]{}[][][][]121212()()()()()()J y x J y x J y x J y x J y x J y x δδδ?=?+?
（2.1.14b ）
（3）[][][][][][][]{}112122
22()()()()()()()J y x J y x J y x J y x J y x J y x J y x δδδ???-???=??????
（2.1.14c ）
（4）[]{}[]{}
[]1
()()()n
n J y x n J y x J y x δδ-=?
（2.1.14d ）
2.1.2 泛函的极值和变分问题
本节将讨论泛函的极值和变分。 微积分知识：
函数取极值的必要条件（但不是充分条件）：对于一个连续可导函数，如果其在定义域的某（些）点函数有极值，那么这个函数的一阶导数在这（些）点等于零，这个（些）点就是函数的极值点或驻点。
对于泛函的极值问题，也有类似的结论，即泛函取极值的必要条件是其一阶变分0=J δ。 简要证明：
假设函数y (x )是泛函J 所定义的函数集合中的任一函数，这里不妨设泛函J [y (x )]在函数
y (x )处有极大值，那么对于任一实变量α，必有：
[][])()(≥)(x y x y J x y J αδ+
（2.1.15）
令[])()()(x y x y J f αδα+=，则有：
[][]0
()
()()()()f J y x J y x y x f αααδα==≥+= （2.1.16）
上式表示)(αf 在0=α处有极大值，根据函数取极值的必要条件：
()0df d ααα
==，得到：
[]
0)()()(00
==+=
==J d x y x y dJ d df δα
αδα
ααα
（2.1.17）
由此就得到泛函取极大值的必要条件是其一阶变分为零。
同样的方法可以证明，泛函取极小值的必要条件也是其一阶变分为零。
泛函实现局部极大或极小值的充要条件：
泛函实现局部极大或极小值的充要条件与函数取极值的充要条件类似，除了其一阶变分为零外，还需要考察二阶变分的情况：
1) 若泛函J [y (x )]在y (x )处取局部极大值，其充分必要条件为：
[],0)(=x y J δ []＜0)(2x y J δ （2.1.18） 2) 若泛函J [y (x )]在y (x )处取局部极小值，其充分必要条件为：
[],0)(=x y J δ []＞0)(2x y J δ （2.1.19） 通常，我们将求泛函极值的问题称为变分问题。
变分法的基本预备定理：
如果函数F （x ）在线段（x 1,x 2）上连续，且对于只满足某些一般条件的任意选取的函数)(x y δ，有：
?
=2
1
0)()(x x dx x y x F δ （2.1.20）
则在线段（x 1,x 2）上有：0)(=x F （2.1.21） 这里)(x y δ满足的一般条件为： ① 一般或若干阶可微； ② 在（x 1,x 2）的端点外为0；
③ ()y x δε<或()()y x y x δεδε'<<和等。
对于多变量问题，也有类似的变分定理。
二维：函数F （x ，y ）在（x ，y ）平面S 内连续，设),(y x u δ在S 的边界上为零，
,,y u u u δεδεδε<<<且满足连续性以及一阶或若干阶的可微性，对于这样选取的(,)u x y δ，若有：
(,)(,)0s
F x y u x y dxdy δ=?
（2.1.22）
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B .1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（）. A. 等价于0且,0==≥x x x C.y x y x +≤+ 3 ? 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1 1p q +的值为（）. A.1- B. 12C.1D.12 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l 的共轭空间是（）。 4、设X 按内积空间
当且仅当x 与y 线性相关时不等式等号成立。 5、设T 为复希尔伯特空间X 上有界线性算子，则T 为自伴算子的充要条件是（）。 三、判断题（每个3分，共15分） 1、设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。() 2、?距离空间中的列紧集都是可分的。() 3、?若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。() 4、?任何一个Hilbert 空间都有正交基。() 5、设X 是线性赋范空间，T 是T 有逆算子。() 四、计算题（10分） 叙述1l 空间的定义，并求1l 12,证 明3i X 与n R 按范数1 ||||||n i i x ξ==∑组成的赋范线性空 间Y 共轭。 4、设X 是可分Banach 空间，M 是X '中的有界集，证明M 中每个点列含有 一个弱*收敛子列。 5、设H 是内积空间，M 为H 的子集，证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线性子空间。 泛函分析期末考试试卷答案 一、选择题 1、A 2、D 3、B 4、D 5、D 二、填空题 1、柯西点列 2、巴拿赫空间 3、∞ l 4、|
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
主要内容 本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别. 我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求. 本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论. 本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和 型集逼近. 正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用. 本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. 复习题 一、判断题
1、对任意n E R ?，* m E 都存在。（√ ） 2、对任意n E R ?，mE 都存在。（× ） 3、设n E R ?，则* m E 可能小于零。（× ） 4、设A B ?，则** m A m B ≤。（√ ） 5、设A B ?，则** m A m B <。（× ） 6、* *1 1( )n n n n m S m S ∞ ∞===∑。（× ） 7、* *1 1 ( )n n n n m S m S ∞ ∞==≤∑。（√ ） 8、设E 为n R 中的可数集，则* 0m E =。（√ ） 9、设Q 为有理数集，则* 0m Q =。（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则* m I mI I ==。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则* m I =+∞。（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。（× ） 14、E 是可测集?c E 是可测集。（√ ） 15、设{n S }是可测集列，则 1 n n S ∞=， 1 n n S ∞=都是可测集。 （√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ） 19、若E =?，则* 0m E >。（× ） 20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ） 22、在n R 中必存在测度为零的无界集。（√ ）
第四章习题第一部分(1-18) 1. 在1中令1(x , y ) = (x y )2，2(x , y ) = | x y |1/2，，问1, 2 是否为1上的距离 [解] 显然1, 2满足距离空间定义中的非负性和对称性． 但1不满足三角不等式：取点x = 1, y = 0, z = 1，则 1(x , z ) = 4 > 2 = 1(x , y ) + 1(y , z )，所以1不是 1 上的距离。 而x , y , z 1 ， 2 (x , y ) = ||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -?-+-+-≤-+-≤- ||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==2 (x , z ) + 2 (z , y )； 所以2是1上的距离． 2. 设(X , )是距离空间，令 1 (x , y ) = n y x ),(ρ，x , y X ．证明(X , 1 ) 也是距离空间． [证明] 显然1满足距离空间定义中的非负性和对称性， 故只需证明1满足三角不等式即可． 实际上x , y , z X ，n n y z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤= n n n n n y z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤ ),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=． 3. 设(X , )是距离空间，证明 | (x , z ) (y , z ) | (x , y )，x , y , z X ； | (x , y ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )，x , y , z , w X ． [证明] x , y , z , w X ，由三角不等式有 (x , y ) (x , z ) (y , z ) (x , y )，故第一个不等式成立． 由第一个不等式可直接推出第二个不等式： | (x , y ) (z , w ) | | (x , y ) (y , z ) | + | (y , z ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )． 4. 用Cauchy 不等式证明(| 1 | + | 1 | + ... + | n | )2 n (| 1 |2 + | 1 | 2 + ... + | n |2 )． [证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | i |，b i = 1，i = 1, 2, ..., n 即可． 5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)． [注] 我不明白此题意义，建议不做． 6. 设(X , d )是距离空间，A X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A )是开集． [证明] 若A = ，则int(A ) = ，结论显然成立． 若A ，则x A ，r > 0使得S (x , r ) A ． 对y S (x , r )，令s = r d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) S (x , r )
-、(10分)设d(x, y)为空间X上的距离。证明 l + d(3) 也是X上的距离。 1、求证/(X,r)为3空间。(其中X为/空间，丫为B空间) 2、S是由一切序列兀=(召，兀2,?…,￡，???)组成的集合，在S中定义距离为 p(x，y ,求证S是一个完备的距离空间。 3、Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。 4、附加题 开映射定理(P92) 设x,y都是B空间，若TG/(x,r)是一个满射，则卩是开映射。Hahn—Banach延拓定理(%) 设X是T空间，X。是X的线性子空间，人是定义在X。上的有界线性泛函，则在X上必有有界线性泛函/满足: ⑴芦(兀)=九(兀)(办丘Xo)(延拓条件); (2)||/|| = UII0(保范条件), 其中表示人在X。上的范数。 闭图像定理(乙8)设都是3空间，若丁是X T Y的闭线性算子，并且D(T)是闭的，则卩是连续的。 共鸣定理(毘9)设X是B空间，丫是￡空间，如果 Wu/(X,Y),使得sup||Ar|| x-x0 = inf x-y yeM 七、（15分）设/（兀）=匸兀（『）力—[比）力，求证：/G（C[-1,1]）\且求||/||。 八、（15分）简答题 1?试说明C[a,b]与I3[a,b]中函数的差异; 2.泛函分析也称无穷维分析，为什么耍研究无穷维分析，试举例说明； 3.H订bert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要说明。 一、在C[-1,1]上定义内积V /,g〉=[/（f）ga）〃，若记M为C[-1,1]屮奇函数全 体，N为C[-l,l]中偶函数全体，求证：M十W二且丄。 设厶为内积空间H中的一个稠密子集，且x丄厶，证明x = 0. 二、在R中赋予距离p（x,y） =| arctan x-arctan y |,问（R,p）是完备空间吗?为什么？设Tx（t） = rx（r）,若T是从厶[0,1] t厶[0,1]的算了，计算||T||;若T是从 Q0,1]T Q0,1]的算子再求||门 四论述题： 1、证明C[a,b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。 2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。 3、证明||x||=maxx（r）为心，刃上范数，并论述证明范数的一般步骤。 ie[a,b] 设H是内积空间，￡，兀儿则当X" t X,儿Ty时，（￡,几）T（x,y）,即内积 关于两变元连续。 10?设叭叭皿赋范空何，?“ 八码），证明 ⑴+ 7V, （2） fit （】）任取f€E;及则 （T: + T t） V（r）r s）?> f（T^） + /（r?z > -r：/（z） + Ty（x） = （T： +T；）/（z） ? 山人工的任尴性.得： 《珀 + T护= + <2）由共馳算子性质1?■即得:工 10-1 试求下列性能泛函达到极值的必要条件 dt t x x g x J f t t ),,()(0 ?? = 给定边界条件为:f f f t x t x x t x ,)(,)(00==自由. 10-2 已知状态初值和终值为: 1,4)(,100>==f t t x t 但自由,,试求试下列性能泛函达到极值的极值曲线 )(t x * dt t x t x x J f t t ? ? +=0 )](2 1)(2[)( 10-3 试利用变分公式 0)]([ =+?? =εεσε σx x J J 求泛函 dt x x x F x J f t t ),,()(0 ? ???= 的变分，并写出欧拉方程。 10-4 求通过x(0)=1,x(1)=2,使下列性能指标为极值的曲线 dt x x J f t t )1()(20 +=? ? 10-5 设x=x(t),10≤≤t ,求从x(0)=0到x(1)=1间的最短曲线.Unknown 求性能指标 dt x x J )1()(210 +=? ? 在边界条件x(0)=0,x(1)自由情况下的极值曲线. 10-6 已知性能指标函数为 dt t tx t x x J )]()([)(21 0+=? 试求:(1)J δ的表达式; (2)当t x t t x 1.0,)(2==δ和t x 2.0=δ时的变分1J δ和2J δ的值. 10-7 试求下列性能指标的变分J δ dt x x t x J f t t )()(22 20 ?++ =? 10-8 试求泛函 dt x x x J )()(222 -=? ?π 在满足边界条件x(0)=1,2)2 (=π x 的极值曲线. 10-9 设泛函 第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x 泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1), ,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页 泛函和泛函的极值 泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值。 作为变分法的简单例题。考察x,y 平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。 设P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2）为平面上给定的两点，y （x ）为连接两点的任意曲线。于是，这一曲线的长度为 连接P 1，P 2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L 值与其对应。满足边界条件的y （x ）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L 最小的一条。 根据上式，L [y ]依赖于y （x ），而y （x ）是x 的函数，因此称y （x ）为自变函数；L [y ]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。 求解最短程线问题，即在满足边界条件 在x =x 1时， y （x ）=y 1 y'（x 1）= y'1 在x =x 2时， y （x ）=y 2 y'（x 1）= y'1 的函数y （x ）中，求使得泛函L [y ]为极值的特定函数。因此 y （x ）称为容许函数。 上述问题应用变分法可以概括为求解泛函 在边界条件 y （x 1）=y 1, y （x 2）=y 2的极小值问题。 假设函数y（x）是使得泛函L[y]为最小的特定函数（真实的）。变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数引起泛函L []的改变。设 其中ε 为小参数，而η (x)为边界值为零的任意函数。当x固定时，容许函数 与y（x）的差 δ y称为泛函自变函数的变分，即 类似地，容许函数的斜率与y（x）斜率的差δ y', 称为泛函自变函数斜率的变分，即 应该注意δ y与函数y（x）的微分d y之间的差别，d y是自变量x的改变量d x 引起的y（x）的无穷小增量。而变分δ y是y（x）的任意一个微小的改变量。设泛函增量 泛函分析期末复习题（2005-2006年度） （1）所有矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么？ （2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？ （3）什么是线性流形？ （4）什么是线性空间中的凸集？ （5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义 （6）距离空间上的收敛是如何定义的？ （7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？ （8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？ （9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？ （10）什么是希尔伯特空间？ （11）空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子的定义域是一个子空间？ （13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。 （14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？ （15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。 （16）算子的强收敛是如何定义的？ （17）设为一个线性赋范空间，而为一个Banach空间。那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间？ （18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？ （19）什么是泛函？什么是泛函的范数？ （20）什么是线性赋泛空间的共轭空间？线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？ （22）什么是的Gateaux微分？ （23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？ （24）形如的泛函，其对应的Euler-Lagrange方程是什么？ （25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数 （27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。（28）什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。（29）什么是Hellinger-Reissner混合变分原理？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。 第二章 泛函极值及变分法（补充内容） 2.1 变分的基本概念 2.1.1 泛函和变分 泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。 例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到： dx dx dy J B A x x ? += 2)/(1 （2.1.1） 显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。 图2.1.1 两点间任一曲线的长度 例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。 图2.1.2 最速降线问题 选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为： ds v dt == 其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是： dt = 设重力加速度为g ，则gy v 2=。 因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为： 1 [()]x x J y x =? 2 1 1/2 211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ??'+=??-?? ? （2.1.2） 则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。 回顾函数的微分： 对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量： ),()()()(x x x x A x y x x y y ?+?=-?+=?ρ （2.1.3） 其中A （x ）与?x 无关，且有?x →0时ρ（x ,?x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其 线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=?=?，函数的微分就是函数增量的主部。 函数微分的另外一种定义： 通过引入一小参数ε，对)(x x y ?+ε关于ε求导数，并令ε→0的途径得到，即： dy x x y x x x y d x x dy =?'=??+'=?+→→)()() (00 εεεε ε （2.1.4） 上式说明)(x x y ?+ε在ε=0处关于ε的导数就是函数y (x )在x 处的微分。相应地，在泛函J [y (x )]中，变量函数y (x )的增量在其很小时称为变分，用δy (x )或δy 表示， 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间 复习要点:课上讲的重要知识点掌握基本结论和例子. 特别是几个重要的定理(压缩映象原理;开映象地理;Banach 逆算子定理;闭图像定理;共鸣定理;Hahn-Banach 定理及几何形式;凸集分离定理) 重要复习题: 一课堂例题 1.设X 是Hilbert 空间,M 是X 的闭子空间.证明: M M =⊥⊥)(. 2.设X 是Hilbert 空间,M 是X 的非空子集.证明:X spanM =的充分必要条件是 }0{=⊥ M . 3.设T 是],[b a L 到],[b a C 的线性算子,对],[b a L f ∈?,定义? =x a dt t f x Tf )())((, (],[b a x ∈?). 求.||||T 4.设T 是],[b a L 到],[b a L 的线性算子,对],[b a L f ∈?,定义? =x a dt t f x Tf )())((, (],[b a x ∈?). 求.||||T 5.在1l 上定义右推移算子T : ),,,,(21n x x x ),,,,,0(21 n x x x ,求T 的共轭算子*T 以及.||||T 6.用闭图像定理证明Banach 逆算子定理. 7.设X 是Banach 空间,线性算子X X T →:是幂等的,即T T =2,且T 的零空间 )(T N 和值域)(T R 均是闭的.证明: T 是有界线性算子. 8.X 是线性赋范空间,X x ∈0.证明:|)(|sup ||||01 ||||0* x f x f X f =∈= 二课后习题 1.5.1.; 1.6.5; 2. 3.2; 2. 4.5; 2.4.6; 2. 5.12; 2.5.18; 2.5.20. §6.3 泛函的条件极值 一、泛函条件极值问题的提出（等周问题） 求在连接A 、B 长度为L 的所有曲线中与直线AB 所围成面积最大的曲线？ AB 弧长：dx y L b a ∫+=2'1 （1） 曲线AB 与直线AB 所围成面积：()∫=b a dx x y S （2） 边界条件：()()0,0== b y a y （3） 在满足约束条件（1）和边界条件（3）的情况下，寻找满足由方程（2）的构成泛函问题的极小曲线函数。 二、一般泛函条件极值的E-L 方程 其中[][]()()2120,,,y b y y a y b a C y y y D ==∈=。 设()x y 是所求泛函的极值函数，取任意光滑函数()[]b a C x ,2 0∈η ()()()x x y x y εη+=1，()()0,0==b a ηη 从而构成一元函数 ()[]()∫++=+=b a dx y y x F y J '',,εηεηεηε? ()L dx y y x G b a =++∫'',,εηεη 利用拉格朗日乘子法，定义新的泛函 ()()()[]∫+++++=Φb a dx y y x G y y x F '',,'',,,εηεηλεηεηλε （4） 其中，λ为常数。 泛函()λε,Φ取极值，即需() 0,0=Φ=εελεd d () ()0'''',''''''''''0=???????+?=??++??+=+++=+++=Φ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=b a y y y y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y y y y dx G dx d G F dx d F dx G dx d G dx G dx F dx d F dx F dx G dx G dx F dx F dx G G F F d d ηλληληληληηηηληληηηληληηε λεε 北京理工大学2012-2013学年第一学期 2010级泛函分析试题（A 卷） 一、（10分）设T 是赋范线性空间X 到自身的线性映射。证明以下三条等价： （1）T 连续； （2）T 在零点连续； （3）T 有界。 二、（10分）设H 是Hilbert 空间。证明： （1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →； （2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。 三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2 ,,x H Ax x m x ?∈≥，证明：存在()1A B H -∈。 四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间。证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。 注：M 仅为H 的子集时充分性不成立，试举反例 五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈， 令[] ()0,1max x f f x ∈=。证明： （1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间； （2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。 六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。证明：lim k k f f →∞ =当 且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]1 2 22 0,1,0,1f f x dx f L ?? ?=∈ ? ?? ?。 七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性无关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I 。 证明：（1）M 是闭的线性子空间； （2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈￡。（附加：试证明在题设条件下此分解式唯一。） 八、（15分）在[]0,1C 上分别令[] ()()1 10 0,1max ,t x x t x x t dt ∞ ∈==?，其中[]0,1x C ∈。 （1）分别证明 ∞和 1 是[]0,1C 上的范数；（2）比较这两种范数的强弱； （3）它们是否等价？给出理由。（要求使用两种方法） 注：2010级为闭卷 第一章 变分原理与变分法 1、1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总就是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理就是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也就是光传播最短路径(Heron); ③ 光线折射遵循时间最短的途径 CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上就是势能最小的原理。 二、变分法就是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学 方法),就是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间的(映 射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分: 函数空间 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量就是集合中的元素(定义域);值域就是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些就是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i 、 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii 、 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii 、 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv 、 系统总的势能: 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系统 势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 与B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得有 重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i 、 通过A 与B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii 、 建立泛函: x 第2章 泛函的极值 在讨论泛函的极值以前, 我们先来回顾一下函数的极值问题。 2.1函数的极值性质 2.1.1 函数的连续性 任意一个多元函数12(),(,,...,)T n n f x x x R =∈x x , 0>?ε, 如果0)(>=?εδδ, 当0δ- 第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 )()(1)()(ma x 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ 证明],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ )()(1)()()()(1)()(ma x 21 )()()()()()()()(0 t g t h t g t h t g t f t g t f r r r r r r r r b t a r r -+-+-+-≤≤≤∞ =∑ )()(1)()(max 21 )()(1)()(max 21)()()()(0 )()()()(0t g t h t g t h t g t f t g t f r r r r b t a r r r r r r b t a r r -+-+-+-≤≤≤∞=≤≤∞ =∑∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10< 。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1。若n n o x ∞=?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1<，因此 )(∞?→??→?n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1。 4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d +=试求下列性能泛函达到极值的必要条件
变分原理与变分法
泛函分析试题B
泛函和泛函的极值
泛函分析答案2：
第二章-泛函极值及变分法(补充内容)
泛函分析试卷(优选.)
泛函分析复习重点
泛函条件极值
(完整word版)北京理工大学数学专业泛函分析期末试题(MTH17060)
变分原理与变分法
泛函的极值word版
泛函分析第七章 习题解答1-25
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