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三角函数---基本概念

1. 角的定义：

①角的静态定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 ②角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，所旋转的射线的端点叫做角的顶点，所旋转的射线的开始位置叫做角的始边，所旋转的射线的终止位置叫做角的终边。

2. 角的符号：

∠。

3. 角的分类：

⑴按旋转方向分??

???

正角角零角负角。

⑵按终边所在位置分??

?象限角角轴线角

，

象限角：置角的顶点于原点，始边重合于X 轴的非负半轴，终边落在第几象限就是第

几象限角。

轴线角：终边落在坐标轴上的角。 ①与角α同终边的角的集合{}

360(0360)S k ββαα==?+≤<，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍。； ②终边在y 轴上的角的集合

{}{}

{}

S |902180,|270(21)180,|90180,k k Z k k Z n n Z ββββββ==+?∈=++?∈==+?∈ ；

③终边在x 轴线的角的集合{}|180,S n n Z ββ==?∈；

④轴线角的集合{}|90,S n n Z ββ==?∈； ⑤象限角的集合{}|90,P n n Z ββ=

≠?∈；

⑥第一象限角的集合{}|360

36090,M k k k Z ββ=

⑦第二象限角的集合{}|90360180360,P k k k Z ββ=+?<<+?∈； ⑧第三象限角的集合{}

|90360180360,N k k k Z ββ=+?<<+?∈； ⑨第四象限角的集合{

}

|270360360360,Q k k k Z ββ=+?<<+?∈。 ⑶按大小分：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角10种：①锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。 ②直角：等于90°的角叫做直角。 ③大于90°而小于180°的角叫做钝角。

④平角：等于180°的角叫做平角。

⑤优角：大于180°小于360°叫优角。

⑥劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。

⑦周角：等于360°的角叫做周角。

⑧负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。

⑨正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角。

⑩0角：等于零度的角。如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。射线不做旋转时形成的角。

4.角的关系：

⑴数量关系：

①余角：两角之和为90°则两角互为余角。等角的余角相等。

②补角：两角之和为180°则两角互为补角。等角的补角相等。

⑵位置关系：

①对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延

长线，这样的两个角叫做互为对顶角。两条直线相交，构成两对对顶角。互为对顶角的两个角相等。

②同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角

叫做同位角(corresponding angles)，截取出来的同位角呈“F”字形（多数情况下呈不规则形状如╓，╒╘╙等等）。

③内错角：两个角分别在截线的两侧，且在被截的两条直线之间，具有这样位置

关系的一对角互为内错角，内错角的截取出的特点z形。

④同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关

系的一对角互为同旁内角，截取出来的同旁内角呈"ㄈ"形(或反置)或C形或U形。

5. 弧度制定义：

等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。以已知角a的顶点为圆心，以任意值R为半径作圆弧，则a角所对的弧长与R之比是一个定值﹝与R无关﹞，我们称=R时的正角为1弧度的角。以1弧度角为量角大小的单位，称此度量制为弧度制，以示与角的另一种度量制──角度制区别。

6. 弧度制的基本思想：

弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度。印度著名数学家阿利耶毗陀﹝476？

-550？﹞定圆周长为21600分，相度地定圆半径为3438分﹝即取圆周率π3.142﹞，但阿利耶毗陀没有明确提出弧度制这个概念。严格的弧度概念是由瑞士数学家欧拉

﹝1707-1783﹞于1748年引入。欧拉与阿利耶毗陀不同，先定半径为1个单位，那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为0，就记为sinπ= 0，同理，1/4圆周的弧长为π/2，此时的正弦为1，记为sin(π/2)=1。从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。其它的角也可依此类推。

7. 弧度制的精髓：

弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。

8. 1弧度的大小：

等于半径长的圆弧所对圆心角叫做1弧度的角。1弧度约等于57.3°，大约是57°17′

45″，但准确的是等于

180

，180°=πrad。

9. 弧度制与角度制的换算公式：

1 rad =180/π°，1°=π/180 rad 。

10. 弧度制与角度制的比较：

弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制。以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零

角的弧度数是0。角α的弧度数的绝对值l r

α=

，（l 为弧长，r 为半径）。 11. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：

⑴弧长公式： l r α=； ⑵扇形面积：S 扇形=

lr 。 12. 用弧度制表示角的大小：

⑴锐角：0,

2πθ??

∈ ??

?；⑵直角：2

θ=； ⑶钝角：,2πθπ??

∈

???

；⑷平角：θπ=；⑸周角：2θπ=； (6)0°到90°的角：[0,

)2π

θ∈；⑺小于90°角：(,)2

θ∈-∞；

⑻0°到180°的角：[0,)θπ∈；⑼0°到360°的角：[0,2)θπ∈。

13. 各种三角函数：

正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。各种三角函数(初等基本表示)：（斜边为r ，对边为y ，邻边为x 。）在平面直角坐标系xOy 中，从点O 引出一条射线OP ，设旋转角为θ，设

OP=r ，P 点的坐标为(x,y)有

正弦函数：sin y

r θ=，角θ的对边比斜边；余弦函数：cos x

r θ=，角θ的邻边比斜边；

正切函数：tan y

θ=，角θ的对边比邻边；

余切函数：cot x

θ=

，角θ的邻边比对边；正割函数：sec r

θ=，角θ的斜边比邻边；余割函数：csc r

θ=

，角θ的斜边比对边。正矢函数：sin 1cos ver θθ=-；余矢函数：cov s 1sin er θθ=-。

14. 函数三要素：

定义域、对应法则、值域。

15. 实数与三角函数的关系：

??→ ???

()

其弧度数等实数可取的三角函数值于这个实数

cos 余弦：cosine tan 正切：tangent cot 余切：cotangent sec 正割：secant csc 余割：cosecant

versin 正矢：versed sine covers 余矢：coversed sine 或versed cosine

19. 同角三角函数关系：

⑴平方关系①2

sin cos 1αα+=；②2

1tan sec αα+=；③2

1cot csc αα+=。 ⑵比值关系①sin tan cos ααα=

；②cos cot sin α

αα

=。 ⑶倒数关系①sin csc 1αα?=；②cos sec 1αα?=；③tan cot 1αα?=。

21. 已知一个角（定义域内），求出它的一个三角函数值，反之，已知一个三角函数值，如

何求出与它对应的角？

22. 当三角函数值不是1或0时，已知角x 的一个三角函数值求角，解法分以下几步：

⑴、决定角x 可能是第几象限角；

⑵、如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x ； ⑶、如果函数值为负数，则根据角x 可能是第几象限角，得出( 0 , 2π ) 内对应的角----第二象限角1x π-；第三象限角1x π+；第四象限角12x π-。

23. 正弦函数：

y=Asin(ωx+φ)。

24.正切函数的概述：

正切函数是三角函数的一种，正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性。

25.正切函数的定义：

对于任意一个实数x，都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正切值tan x与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为正切函数。

26.正切函数的形式：

f(x)=tanx。

27.正切函数的性质：

⑴定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}。

⑵值域：实数集R。

⑶奇偶性：奇函数。

⑷单调性：在区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)，k∈Z上都是增函数。

对称k∈Z。实

2020年高考数学三角函数专题解题技巧

三角函数专题复习在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。二、典例剖析例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=．（Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值；（Ⅱ）求cos2θ的值．【解析】（Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值．例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是．对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为．对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．2 3

三角函数的基本概念与诱导公式

三角函数的概念、基本关系式及诱导公式一、角的相关概念 1、按旋转方向的不同形成_________,___________,___________ 2、终边位置的不同形成__________,__________,____________ 例如：第一象限角的集合________________ 终边在y 轴上角的集合_________________ 终边在x 轴上角的集合_________________ 3、终边相同的角的集合________________ 4、注意第一象限角、锐角的不同，钝角与第二象限角的不同 5、已知α是第二象限的角，则 2 α是第几象限的角？二、弧度制与角度制： 1、弧度制的定义：圆周上弧长等于_______的弧所对的圆心角的大小为1弧度（1rad ） 2、 3602=π 180=π _______1=rad rad _______1= 弧度制与角度制的换算_________________________________ 3、扇形的弧长、面积公式 ____________________________________________ 例1、已知一扇形周长为)0(>C C ，当扇形中心角为多少弧度时，它的面积最大？例2、扇形中心角为 120，则扇形面积与其内切圆的面积之比为_____________ 三、任意角的三角函数： 1、定义：设α是一个任意角，α的终边上任一点),(y x P O 为坐标原点，则 )(022y x r r OP +=>=则 r y = αsin r x =αcos x y =αtan y r =αcsc _____sec =α _____cot =α 实质是____________________ 2、三角函数的符号___________________________ 3、特殊角的三角函数值： ___________________________________________________________ 四、单位圆与三角函数线： 1、第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的角的三角函数线 2、三角函数线的应用——用来解决三角不等式

-高中三角函数知识点复习总结

第四章三角函数一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+?=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1) (180'≈==οο ο π π弧度弧度 (3)弧长公式:r l ?=α 扇形面积公式:22 1 21r lr S α== 3.任意角的三角函数 y x x y x r r x y r r y = ===== ααααααcot tan sec cos csc sin 注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式（一）诱导公式： α±? 2 k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号看象限”。如： ()?? ? ??--??? ??+απαπαπ25sin ;5tan ,27cos 等。（二）同角三角函数的基本关系式：①平方关系1 cos sin 22 =+αα； α ααα22 22tan 11cos cos 1tan 1+=?= +②商式关系 α α α tan cos sin =；αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。（三）关于公式1cos sin 22 =+αα的深化

() 2 cos sin sin 1ααα±=±； α ααcos sin sin 1±=±； 2 cos 2 sin sin 1α α α+=+ 如： 4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=- 注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为ο0~ο90角的三角函数。 2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式。三、两角和与差的三角函数（一）两角和与差公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()β αβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan μ±= ± （二）倍角公式 1、公式βαα cos sin 22sin = cos 2α= 2 2cos 1α + sin 2α= 2 2cos 1α - ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α αα2tan 1tan 22tan -= α α ααα sin cos 1cos 1sin 2 tan -= += )sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注：（1）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。（2）掌握“角的演变”规律（3）将公式和其它知识衔接起来使用。（4）倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。 2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：（1）求值 ①“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 ②“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 ③ “给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 ④ “给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的变形和公式的变形，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论

锐角三角函数经典总结

锐角三角函数与特殊角专题训练【基础知识精讲】一、正弦与余弦： 1、在ABC ?中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos . 斜边的邻边斜边的对边 A A A A ∠= ? ∠= cos sin . 若把A ∠的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ，则c a A = sin ，c b A =cos 。 2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<