高三年级数学教研组集体备课资料
江津八中
备课内容：第四章三角函数
§4.1任意角的三角函数
§4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式
§4.3两角和与差的正弦、余弦、正切
§4.4二倍角的正弦、余弦、正切
§4.5三角函数的图像
§4.6三角函数的性质
主讲人：黄猛
教学目标：
1、角的概念的推广.弧度制.
2、任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα，tanαcotα=1.正弦、余弦的诱导公式.
3、两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
4、正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.
5、正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.
考纲导读：
1、了解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.
2、理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.
3、掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
4、能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
5、理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用"五点法"画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义.
6、会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示.
7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.
知识网络：
考导航：
三角函数、数列与不等式、函数与导数、解析几何、立体几何、排列组合与概率统计是高考数学考查的6大板块。三角函数在近几年高考中的分别与所占分值如下表：
其中2009年理科三角函数选择题平均分：3.67，难度系数：0.73，大题平均分：7.98，难度系数0.61；2009年文科三角函数选择题平均分：3.50，难度系数：0.70，大题平均分：6.84，难度系数0.53；2010年理科三角函数选择题平均分：1.40，难度系数：0.28，大题平均分：6.36，难度系数：0.53；2010文科选择题平均分：2.86，难度系数：0.58，填空题：平均分：0.78，难度系数：0.16，大题平均分：7.39，难度系数：0.57；2011年理科三角函数选择题平均分：4.45，难度系数：0.89，填空题平均分：1.56，难度系数：0.31，大题平均分：8.40，难度系数：0.65；2011年文科三角函数选择题平均分：2.59，难度系数：0.52，填空题平均分：3.14，难度系数：0.63，大题平均分：5.17，难度系数：0.40。从以上数据可以看出，近几年来重庆高考对三角函数的考查基本以简单题为主，题目位置都比较固定，特别是大题，理科基本是在第一个，并且难度都不大，属于学生必须掌握的板块。文科在2010年把数列提前后，从第二个大题变成第三个，难度也不大。通过对以上近5年高考三角函数试题的分析，发现以下命题特点：
（1）、三角函数在高考中长期占据着中档题的舞台，是送分题的主要代表，分值一般在20分左右。
（2）、试题一般含一两个小题和一个解答题。
1、两个小题中，一个较容易，另一个较灵活；解答题一般都为基础题，处在送分题的位置。
2、选择题、填空题：主要以考查三角函数基本概念、基本公式、正弦函数的图像及基本性质，尤其是三角函数的图像及性质，多是基础题。
3、解答题：主要以考查的性质，以为主角，围绕这个标准函数做文章。
（3）、以三角形为载体，以三角函数为核心，以正余弦公式为主体，考查三角变换及其应用的能力。
（4）、强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其他知识的综合，如与向量知识、三角问题、解析几何、立体几何的综合。
基于以上分析，三角函数在高考命题中有如下趋势：
考查三角函数基本概念、基本公式、正弦函数的图像及基本性质，多为选择题、填空题。1、考查三角函数的图像和性质，即图像的平移、伸缩变换与对称变换，画图与识图，与单调性、周期性和对称性、最值有关的问题。
2、强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其他知识的综合，如与向量知识、三角问题、解析几何、立体几何的综合。
3、以三角形为载体，以三角函数为核心，以正余弦公式为主体，考查三角变换及其应用的能力已成为考试热点。
最后我们向正在复习备考的广大高中生提几点备考建议，以供参考。
1、切实掌握三角函数的概念、图像和性质
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图像和性质的考查，函数性质是函数的一个重要内容，它既是学习高等数学和应用学科的基础，又是解决生产实际问题的工具。因此，三角函数的性质是复习中的一个重点，在复习时应充分将“数”与“形”结合起来，利用图像的直观性得出函数的有关性质，这样既有利于掌握函数的图像和性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法来解决问题。
2、切实掌握三角函数的基本变换思想
三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中必考，而且在图像与性质问题中也要考查，故有“没有三角函数的恒等变形就谈不上性质和图像的应用”的说法，而解决三角函数的恒等变形问题，其关键在于掌握基本变换思想。
3、切实加强三角函数的应用意识
既要注意在实际问题中建立三角函数模型，利用三角函数知识来解决问题，更要注意在代数、平面几何、立体几何、解析几何、导数等问题中恰当地建立三角函数模型，使复杂问题得到简化。
4、切实加强对以三角形为载体题型的练习
从近几年来看，高考的大题主要以此类题型为主，以三角函数为核心，以正弦公式为主体，考查三角变换及其应用的能力。因此，一定要加强该类题型的练习和总结。
本单元重点与难点：
重点：让学生掌握三角函数的图象；在理解各组三角公式的基础上掌握并熟练运用三角公式。
难点：两个变换，“图象变换”和“三角变换”。
课时安排建议：
§4.1任意角的三角函数 1课时
§4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式 2课时 §4.3两角和与差的正弦、余弦、正切 3课时 §4.4二倍角的正弦、余弦、正切 2课时
§4.5三角函数的图像 3课时 §4.6三角函数的性质 3课时
各小节内容规纳总结：
第一节：任意角的三角函数
1. 角的概念
2. 象限角
第I 象限角的集合：??
??
??∈+< παπα 第II 角限角的集合：?? ?? ??∈+<<+Z k k k ,222ππαπ πα 第III 象限角的集合： ?? ?? ??∈+<<+Z k k k ,23 22ππαππα 第IV 象限角的集合： ?? ????∈+<<+Z k k k ,)1(223 2παππα 3. 轴线角 4. 终边相同的角 ①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ; ②终边在x 轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,180|οββ; ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180|οοββ; ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ. 5. 弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角 角度制与弧度制的互化：π=?180 180 1π = ? 1弧度?≈? = 3.57180π 6.弧度制下的公式 扇形弧长公式r = l α，扇形面积公式211||22 S R R α==l ，其中α为弧所对圆心角的弧 度数。 7. 任意角的三角函数定义: 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y == +， 则sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=， 注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.（2）正弦、余弦、正切函数的定义域 8. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦 第二节：同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、基础知识 （一） 同角三角函数的基本关系式： ①平方关系；1cos sin 2 2 =+αα ②商式关系； αα α tan cos sin = ③倒数关系。1cot tan =αα 注：关于公式1cos sin 22=+αα的深化 ()2 cos sin sin 1ααα±=±；αααcos sin sin 1±=±； 2 cos 2 sin sin 1α α α+=+ 如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=- （二） 正弦余弦的诱导公式：)(2 Z k k ∈±?απ 与α的三角函数关系是“奇变偶不变，符号 看象限”。 注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为00~ 900 角的三角函数。 2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值 b) 化简同角三角函数式；c)证明同角的三角恒等式。 第三节: 两角和与差的正弦、余弦、正切（见书） 第四节: 二倍角的正弦、余弦、正切（见书） 第五节：三角函数的图象 一、主要知识： 1．三角函数线；注：)tan sin ),2 , 0((αααπ α<<∈则 2．的图象x y x y x y tan ,cos ,sin === 3．的图象)sin(??+=x A y ①用五点法作图 ②图象变换：平移、伸缩两个程序 )sin() ()2()sin()sin()1(sin ????????+=+=→=+=→+==x A y x six y x y x y x y x y ③A---振幅 ? π 2= T ----周期 π ω 21= = T f ----频率 相位--+?ωx 初相--? 4．图象的对称性 ①x y x y cos sin ==与的图象既是中心对称图形又是轴对称图形。 ②x y tan =的图象是中心对称图形，有无穷多条垂直于x 轴的渐近线。 二、主要方法： 1．“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ω?=+的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点； 2．给出图象求sin()y A x B ω?=++的解析式的难点在于,ω?的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω． 第六节：三角函数的图像 一、知识梳理： 1、三角函数的性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 定义域 R R ???? ?? +≠∈2,|ππk x R x x 值域和最值 [-1,1] 当22 x k π π=- +时， min 1y =-， 当22 x k π π= +时， max 1y =， [-1,1] 当2x k ππ=+时， min 1y =-， 当2x k π=时， max 1y =， R 无最值 周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调区间 增区间： ?? ? ? ??++-ππππk k 22 ,22 减区间： ? ? ????++ππππk k 22 3,22 增区间： []πππk k 2,2+- 减区间： []πππk k 2,2+ 增区间： 每一个?? ? ??++-ππππk k 2 ,2 减区间：无 对称轴 2 π π+ =k x π k x = 无 对称中心 ()0,πk ??? ??+0,2ππk ?? ? ??0,2πk 2、函数sin()y A x ω?=+），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期 是ω π 2= T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?； 对称轴的位置：图象的最高点处；对称中心的位置：函数的零点处。而函数cos()y A x ω?=+），（其中00>>ωA 对称轴的位置：函数的零点处；对称中心的位置：图象的最高点处。 3、思想方法: （1）总是用图象得函数的各性质, （2）选取一个恰当的周期讨论性质从而加上周期推广到整个定义域。 （3）在研究函数)sin(?ω+=x A y 的各项性质的时候总是设u x =+?ω，从而只需讨论 u y sin =的各项性质就可得到)sin(?ω+=x A y 的各项性质和由u 的范围得到x 的范围. （4）合一： y=asinx+bcosx= sin （x +?） = （x +θ） 这里，cos sin ??? =? ? ??= ?? 第二部分：三角函数的概念、性质和图象 1. 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算． 2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义．会求y ＝ A sin(ωx ＋?)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运 用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式． 3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y ＝A sin(ωx ＋?)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题． 4.正弦函数、余弦函数的对称轴，对称点的求法。 5．形如y x y y x y cos sin cos sin -=+=或 的辅助角的形式，求最大、最小值的总题。 6．同一问题中出现y x y x x x cos sin ,cos sin ,cos sin ?-+，求它们的范围。如求y x y x y cos sin cos sin ?++=的值域。 7．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。 如已知求,2tan =x 4 cos cos sin 2sin 22++?+y y x x 的值。 8 正弦定理： ）R R C c swinB b A a 为三角形外接圆的半径(2sin sin === C B A c b a sin :sin :sin ::= 余弦定理：A ab c b a cos 22 2 2 -+=，…ab a c b A 2cos 2 22-+= 三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、三角函数线、同角三角函数的关系式与诱导公式，以及两角和与差的三角函数，二倍角，降次公式等。 1. 三角函数的图象与性质和性质 2. 三角函数作为基本初等函数，它必然具备函数的共性；作为个体，它又具有自身的 个性特点．例如周期性、弦函数的有界性，再如三角函数的单调性，具有分段单调的特征．通过复习对这些特性必须很好掌握，其中三角函数的周期性是高考中出现频率最高的试题．根据《考纲》的要求，只需要会求经过简单的恒等变形可化为正弦、余弦、正切、余切函数及 y ＝A sin(ωx ＋?)等形式的三角函数的周期，不必去研究周期函数的和、差、积、商的函数 的周期． 重庆高考题参考： (2008理10)函数f(x) 02x π≤≤) 的值域是（B ）（A ） [-2] (B)[-1,0] （C ） ] （D ） ] 【解析】特殊值法， sin 0,cos 1x x ==则f(x) 1=- 排除A ， 令=26(sin 1)cos 4x x -+=当时sin 1x =-时3 cos 2x =所以 矛盾()f x ≠排除C ， D （2008理17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求： （Ⅰ） a c 的值； （Ⅱ）cot B +cot C 的值. 解：（Ⅰ）由余弦定理得 2222cos a b c b A =+- ＝22 21 117()2,3 329 c c c c c +-= g g g 故 3 a c = （Ⅱ）解法一：cot cot B C + ＝ cos sin cos sin sin sin B C C B B C + ＝ sin()sin ,sin sin sin sin B C A B C B C += 由正弦定理和（Ⅰ）的结论得 22 7sin 19··1sin sin sin ·3 c A a B C A bc c c ==== 故143 cot cot .9 B C += 解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有 2222 2 2 71() 93cos 27 23 c c c a c b B ac c c +-+-==g g ＝ 5.27 故2253sin 1cos 1.2827 B B =-=-= 同理可得 2222 2 2 71199cos ,27127 233 c c c a b c C ab c c +-+-= ==-g g 2133sin 1cos 1.2827 C C =-=- = 从而cos cos 51143 cot cot 33.sin sin 399 B C B C B C += +=-= （2009理7）设ABC ?的三个内角,,A B C ，向量(3sin ,sin )A B =m ， (cos ,3cos )B A =n ，若1cos()A B =++g m n ，则C =（ C ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 【解析】3sin cos cos sin 3sin()1cos()m n A B A B A B A B ?=?+?=+=++ ,3sin 1cos 3sin cos 12sin 16 A B C C C C C C π π++==-+=+=所以即，（） 152sin(62663 C C C ππππ ?+=+== ），由题，即 （2009理16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．） 设函数2()sin( )2cos 1468 x x f x ππ π=--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期． （Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4 [0,]3 x ∈时 ()y g x =的最大值． 解：（Ⅰ）()f x =sin cos cos sin cos 4 6 4 6 4 x x x π π π π π -- = 33sin cos 424 x x ππ - =3sin( )43 x π π - 故()f x 的最小正周期为T = 24 π π =8 (Ⅱ)解法一： 在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - . 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而 ()(2)3sin[ (2)]43g x f x x π π=-=--=3sin[]243 x πππ -- =3cos( )43 x π π + 当304x ≤≤ 时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3 上的最大值为 max 3 3cos 3 2 g π == 解法二： 因区间4[0,]3关于x = 1的对称区间为2[,2]3 ，且()y g x =与()y f x =的图象关于x = 1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3 上的最大值 由（Ⅰ）知()f x 3sin()43 x π π - 当 223x ≤≤时，6436 ππππ -≤-≤ 因此()y g x =在4 [0,]3 上的最大值为 max 336 2 g π = = . （2010理6）已知函数()sin (0,)2 y x π ω?ω?=+><的部分图象如题（6）图所示，则 （D ） A. ω=1 ?= 6π B. ω=1 ?=- 6π C. ω=2 ?= 6π D. ω=2 ?= -6 π （2010理16）（本小题满分13分，（I ）小问7分，（II ）小问6分） 设函数() 22cos 2cos ,32 x f x x x R π? ?=+ +∈ ???。 （Ⅰ）求()f x 的值域； （Ⅱ）记ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()f B =1，b=1,c=3，求a 的值。 【解析】2=∴=?πT Θ 由五点作图法知2 3 2π ?π = +? ，?= -6 π （2011理6）若ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22 a b 4（）c +-=，且C=60°，则ab 的值为（A ） （A ） 43 （B ）8-2 3 （2011理14）已知1sin cos 2α= +α，且0,2π?? α∈ ??? ，则cos 2sin 4πα ? ?α- ? ? ? (16) (本小题满分13分) 设a R ∈，()()2 cos sin cos cos 2f x x a x x x π?? =-+- ??? 满足()3f π-(0)f =，求函数 ()f x 在11424ππ?? ,???? 上的最大值和最小值 解：（1）()2sin(2)6 f x x π =-； （2）当[ ,]43x ππ∈时，2[,]632x πππ -∈，函数()f x 递增； 当11[,]324x ππ∈时，32[,]624 x πππ-∈，函数()f x 递减； 所以()f x 在11[,]424x ππ∈上的最大值为()23 f π = 又11()()424f f ππ==()f x 在11[,]424x ππ∈上的最小值为11()24 f π= （2008文12）函数f (x (0≤x ≤2π)的值域是（C ） (A)[- 11,44] (B)[-11 , 33] (C)[-11,22 ] (D)[-22,33 ] （2008文17）（本小题满13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.） 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知2 2 2 b c a +=，求： （Ⅰ）A 的大小; （Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值. 解：(Ⅰ)由余弦定理，2 2 2 2cos ,a b c bc A =+- 22233 cos, 2 . 6 b c a bc A bc A π +- === = 故 所以 (Ⅱ) 2sin cos sin() B C B C -- 2sin cos(sin cos cos sin) sin cos cos sin sin() sin() 1 sin. 2 B C B C B C B C B C B C A A π =-- =+ =+ =- == （2009文6）下列关系式中正确的是（C） A．sin11cos10sin168 ??? < ??? << C．sin11sin168cos10 ??? < ??? << （2009文16）（本小题满分13分，（I）小问7分，（Ⅱ）小问6分。） 设函数22 ()(sin cos)2cos(0) f x x x x ωωωω =++>的最小正周期为 2 3 π（I）求ω的值； （Ⅱ）若函数() y g x =的图像是由() y f x =的图像向右平移 2 π 个单位长度得到，求() y g x =的单调增区间。 （2010文6）下列函数中，周期为π，且在[,]42 ππ 上为减函数的是（A ） （A ）sin(2)2y x π =+ （B ）cos(2)2y x π=+ （C ）sin()2y x π=+ （D ）cos()2 y x π =+ 【解析】C 、D 中函数周期为2π，所以错误 当[ ,]42 x ππ ∈时，32,22x πππ?? +∈????，函数 sin(2)2y x π=+为减函数而函数cos(2)2 y x π =+为增函数，所以选A （2010文15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段 弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为 (1,2,3)i i α=，则23 23 1 1 cos cos sin sin 3 3 3 3 αααααα++-=____________ . 【答案】1- 2 【解析】23 23 123 1 1 cos cos sin sin cos 3 3 3 33 ααααααααα++++-= 又1232αααπ++=，所以123 1 cos 3 2 ααα++=-. (2010文18).(本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.) 设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且 32b +32 c -32a =42bc . (Ⅰ) 求s inA 的值； (Ⅱ)求 2sin()sin() 441cos 2A B C A ππ +++-的值. （2011文8）若△ABC 的内角,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C -=，则cos B = （A ） 154 （B ）34 （C ） 31516 ）1116 (2011文12)若，且，则 ＝ . (2011文18) (本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.) 设函数 . (Ⅰ)求 的最小正周期; (Ⅱ)若函数的图象按,平移后得到函数的图象,求在 ,上的最大值. 解：(Ⅰ)3 ()sin(2)3 2 f x x π =+ + ，所以函数()f x 的最小正周期为π； (Ⅱ)3()()sin(2)34 26 g x f x x π π =-+ =-+由[0, ]2[,]4 663x x π π ππ∈?- ∈-，()g x 为增函数，所以()g x 在[0,]4 π 上的最大值为33 ()42 g π=。 43 第四章 三角函数教材分析 2006.3.3 三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的式子变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。本章所学的知识内容，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继知识内容和高等数学的基础。 (一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等。 (二)章头引言安排了一个实际问题——求半圆内接矩形的最大面积。这个问题可以用二次函数来解决，但如果设角度为自变量，就会得到三角函数式，学生尚未学过求它的最大值。 (三)第一单元是“任意角的三角函数”。首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的基本关系式及正弦、余弦的诱导公式。而且教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用。 1.任意角，包括任意大小的正角、负角和零角，应该注意掌握终边相同的角、象限角、轴上的角（限界角）等概念的联系与区别，要求能准确地表示，还要注意与这些角有关的角的表示，如：已知角α是第几象限的角，求2α、3 α角所在的象限和2α角所在的位置；运用“整数集=奇数集∪偶数集”写出终边在x 轴或y 轴上的角α的集合。 注意：“角α的终边在x 轴的非负半轴上”的叙述方式，与过去的说法“角α的终边在x 轴的正 2.由于任意角α的三角函数值仅与角α的终边所在的位置有关，与其终边上的点的位置选取无关；而且三角函数的定义是同角三角函数关系式，乃至整章知识的基础，所以必须牢固掌握任意角的三角函数的定义。要结合单位圆内的三角函数线，掌握数形结合的数学思想方法解决三角函数问题。 3.三角函数线：单位圆中的三角函数线是三角函数的一种几何表示。用三角函数线的数值来代替三角函数值要比由定义所规定的比值来求得三角函数值要直观得多，因此三角函数线是讨论三角函数性质的一个重要工具，特别是在求取值范围、比较大小、解三角不等式等问题时，用三角函数线来求解十分简捷。另外，三角函数线又是绘制正弦曲线、正切曲线的基础。 4.诱导公式在三角函数求值、化简三角函数式、证明三角恒等式中起着重要的桥梁作用，一定要熟记在心。可以用“奇变偶不变，符号看象限”或“纵变横不变，符号看象限”来帮助记忆。 5. 同角三角函数基本关系式，可用“正六边形记忆法”来记忆。当已知一个角的一个三角函数值时，可以按照“正 六边形”图示来求出这个角的其他三角函数值，值得提示的 是：应该首选倒数关系，尽量少用平方关系，因为用平方关 系时，需要讨论三角函数值的符号。 (四)第二单元是“两角和与差的三角函数”。先引入平面内两点间距离公式(只通过画图说明公式的正确性，不予 严格证明)，用距离公式推出和角的余弦公式，然后顺次推 出其他公式，同时安排了这些公式的简单应用和实际应用， 包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式让学生有所了解。 1.两角和与差的三角函数公式是本节所有公式（二倍角公式、半角公式以及万能公式、积化和差公式与和差化积公式）的基础，在教学过程中，要将公式之间的内在联系讲透。既要重视公式的正向运用，也要重视公式的逆用与变形运用训练，提高公式的灵活应用水平。 2.三角公式的主要运用是三角函数式的化简、求值及证明三角恒等式。 在三角变换时要选准解决问题的突破口，要善于观察角的差异，注意拆角和拼角的技巧；观察函数名称的异同，注意切割化弦、化异为同的方法的选用；观察函数式结构的特点等。 i ）注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧： ①常值代换，特别是“1”的代换，如：θθctg tg =1，θθ2 2cos sin 1+=，θθ22csc 1ctg -=，θθ22sec 1tg -=等等； ②项的分拆与角的配凑； ③降次与升次； ④万能代换。 ii ）对于形如θθcos sin b a +的式子，要引入辅助角?并化成)sin(22?θ++b a 的形式，这里辅助角?所在的象限由b a ,的符号决定，?角的值由a b tg = ?确定。对这种思想，务必强化训练，加深认识。 αααcot 锐角三角函数 1．把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2．如图1，已知P 是射线OB 上的任意一点，PM ⊥OA 于M ，且PM ：OM=3：4，则cos α的值等于（ ） A ．34 B ．43 C ．45 D ．35 图1 图2 图3 图4 图5 3．在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=23 ，则tanB 等于（ ） A ．35 B C ．25 D 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，?tanA=_______． 6．如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC ：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______． 7．如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，b=20，，则∠B 的度数为_______． 8．如图4，在△CDE 中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D 的三个三角函数值． 9．已知：α是锐角，tan α=724 ，则sin α=_____，cos α=_______． 10．在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为 10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，?另一边经过点P （2，，求角α的三个三角函数值． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，∠CBD=α，AB=3，?BC=4，?求sin α，cos α， tan α的值． 锐角三角函数 中考主要考查点： 1． 锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 2． 解直角三角形；解直角三角形的应用； 3． 直角三角形的边角关系的应用 ? 知识点1. 直角三角形中边与角的关系 中，∠C=90° （1）边的关系： （2）角的关系： （3）边与角的关系： sinA = cosA= tanA= cotA= sinA ＝cosB ＝ a c ， cosA ＝sinB ＝ b c ，tanA ＝＝a b ， tanB ＝b a , cotA=b a ? 知识点2. 特殊角的三角函数值 特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下： α sinα cosα tanα 30° 1 2 33 45° 22 22 1 60° 1 2 斜边 的对边 A ∠斜边 的邻边A ∠邻边的对边A ∠ 对边的邻边A ∠2 3 233 ? 知识点3. 三角函数的增减性 已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而 增大 ，tanA 随着角度的增大而 增大 ， cosA 随着角度的增大而 减小 。 例1. 已知∠A 为锐角，且cosA≤ 2 1 ，那么（ ） （A ） 0°＜A≤60°（B ）60°≤A ＜90°（C ）0°＜A≤30°（D ）30°≤A ＜90° ? 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。 1. 同角三角函数的关系 1cos sin 22=+A A A A A cos sin tan = 1cot tan =?A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A B A B A sin cos cos sin == ?=47cos 43sin ο 1tan tan =?B A ? 知识点5. 直角三角形的解法 直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是 正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）. 重要类型: 1.已知一边一角求其它。 2.已知两边求其它。 例2. 在中，∠C=90°，，∠A －∠B=30°，试求的值。 A C B 第一章 三角函数教材分析 三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础 本章教学时间约用16课时，具体分配如下(仅供参考)： 1.1任意角和弧度制 约2课时 1.2 任意角的三角函数 约3课时 1.3 三角函数的诱导公式 约2课时 1.4 三角函数的图象和性质约4课时 1.5 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象 约2课时 1.6 三角函数模型的简单应用 约2课时 小结与复习 约1课时 一、 内容与要求 (一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、以及三角函数的图象和性质和三角函数模型的简单应用 (二)章头引言安排了一个天体运动问题——地球与月亮、月亮的圆缺和农历日期的周期对应的规律 第一大节是“任意角和弧度制”教科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，和换算关系等； 第二大节是“任意角的三角函数”，由锐角三角函数直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的两个基本关系式 第三大节是“三角函数的诱导公式” 能够通过诱导公式化简和计算. 第四大节是“三角函数的图象和性质”x y sin = ，x ∈ [0,π2]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动2 π个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质 第五大节是“函数y=Asin(ωx+φ) 的图象” 通过图像研究性质. 第六大节是“三角函数模型的简单应用” 三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型. (三)本章的教学要求是： 1．使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算 2．使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式 3．使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力 4．三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型，初步掌握其实际应用方法 初中数学锐角三角函数的真题汇编含答案 一、选择题 1．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为（） A．43B．12﹣43C．12﹣63D．63 【答案】B 【解析】 【分析】 过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，进而可得出答案． 【详解】 解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122， ∴BC＝AC＝122． ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin45°＝ 2 12212 ?= CM＝BM＝12， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°， ∴∠EDF＝60°， ∴MD＝BM÷tan60°＝43， ∴CD＝CM﹣MD＝12﹣43． 故选B． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答． 2．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离AB，采取了如下措施：如 图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40?，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米， CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64?≈，cos400.77?≈，tan 400.84?≈） A ．78.6米 B ．78.7米 C ．78.8米 D ．78.9米 【答案】C 【解析】 【分析】 如下图，先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长，再利用Rt △ADG 求AG 的长，进而得到AB 的长度 【详解】 如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点F ，延长DE 交AB 延长线于点G ∵BC 的坡度为1:0.75 ∴设CF 为xm ，则BF 为0.75xm ∵BC=140m ∴在Rt △BCF 中，()2 220.75140x x +=，解得：x=112 ∴CF=112m ，BF=84m ∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ADG 是直角三角形 ∵DE=55m ，CE=FG=36m ∴DG=167m ，BG=120m 设AB=ym ∵∠DAB=40° ∴tan40°= 167 0.84120 DG AG y ==+ 解得：y=78.8 故选：C 【点睛】 本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值. 【锐角三角函数全章教案】 锐角三角函数（第一课时） 教学三维目标： 一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。 三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。 教材分析： 1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念 2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切 教学程序： 一．探究活动 1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。 siaA= 斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边 的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60° 2. 求下列各式的值 （1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)0 4530cos sia +ta60°-tan30° 三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四．小结 五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10 解直角三角形应用（一） 一．教学三维目标 (一)知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)能力训练点 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动 1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析 xx镇中学~~ 学年度下学期 单元教学计划（第一单元） 科目：数学任教班级：备课人：xx 年月日 教学目标1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解a（a≥0）是一个非负数，（a）2=a（a≥0），2 a=a（a≥0）． （3）掌握a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b； a b =a b （a≥0，b>0），a b =a b （a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念， 来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和 化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根 式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 启发式教学 教学 方法 1.利用逆向思维帮助学生去解决相关问题。 学法 指导 教学重难点及突破措施教学重点 1.二次根式a（a≥0）的内涵．a（a≥0）是一个非负数；（a）2＝a（a≥0）； 2 a=a（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对a（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（a）2＝a （a≥0）及2a=a（a≥0）的理解及应用． 2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 突破措施 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神． 《三角函数》教材分析及教学建议 一、新旧教材对比分析 三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。三角恒等变换在数学中有一定的应用。三角函数与三角恒等变换是高中数学课程的传统内容，因此，本模块的内容属于“传统内容”。与以往的教科书相比较，本书在内容、要求以及处理方法上都有新的变化。 1．以基本概念为主干内容贯穿本书，削枝强干，教材体系更显合理。 “标准”设定的三角函数与三角恒等变换学习目标是： （1）通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用； （2）运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。 根据上述学习目标，在编写教科书过程中，特别注意突出主干内容，强调模型思想、数形结合思想。 “三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。即通过现实世界的周期现象，在学生感受引入三角函数必要性的基础上，引出三角函数概念，研究三角函数的基本性质，并用三角函数的基础知识解决一些实际问题。 与传统的处理方法不同，这里把三角恒等变换从三角函数中独立出来，其目的也是为了在三角函数一章中突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。 为了实现削枝强干的目标，教科书除了将三角恒等变换独立成章外，还在具体内容上进行了处理。在三角函数部分删减了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数值求角以及符号x , arccos arcsin等内容。任意角、弧度制概念，同角三角函 x arctan , x 数的基本关系式，周期函数与最小正周期，三角函数的奇偶性等内容都降低了要求。三角恒等变换中，两角和与差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出。积化和差、和差化积、半角公式都作为三角恒等变换基本训练的例题，不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒等变形。 根据上述考虑，本模块先安排三角函数，再安排平面向量，然后再把三角恒等变换作为平面向量的一个应用，安排在第3章，紧接着再安排解三角形的内容（放在数学5的第1章）。这样的教材体系的合理性在于： （1）以已有的集合与函数、指数函数与对数函数的知识为基础，三角函数置于其上位概念（即函数）之下，使三角函数的学习有一个好的“先行组织者”，找到一个有力的“固着点”。三角函数的学习是一种“逐渐分化”式的学习。 （2）三角函数的学习为平面向量的学习作了必要的准备，因为平面向量的某些 解直角三角形 学习目标、重点、难点 【学习目标】 1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2．会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． 【重点难点】 1.直角三角形的解法． 2.三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3.实际问题转化成数学模型. 知识概览图 解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元 素的过程 三边关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理) 两锐角关系：两锐角互余 边角关系：三角函数 30°角所对的直角边等于斜边的一 半 两边一角：由勾 股定理求另一边，再求角 一边一角：由三 角函数求另两边，再求角 新课导引 【生活链接】如右图所示，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一个长6 m 的梯子． (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙?(结果保留小数点后一位) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角a 等于多少?这时人 解直角三角形 直角三角形的有关性质 解直角三角形的基本类型及方法 是否能够安全使用这个梯子?(结果保留整数) 【问题探究】对于问题(1)，当梯子与地面所成的角α为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能安全攀到的最大高度，即在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．由sin A＝BC AB ，得BC＝AB2sin A＝6sin75°．由计算器求得sin 75°≈0.97，∴BC≈630.97≈5.8(m)．那么对于问题(2)，该如何求解呢? 教材精华 知识点1 解直角三角形的概念 如图28－30所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，c ＝5，如何求∠B，a，b呢? 由∠A＋∠B＝90°，∠A＝50°，得∠B＝90°－∠A＝40°． 由sin A＝a c ，得a＝c2sin A＝52sin 50°≈530.7660＝3.83． 由cos A＝b c ，得b＝c2cos A＝52cos 50°≈530.6428＝3.214．上述问题中，除直角外，已知一条边和一个锐角，求另外两条边和一个锐角，于是有： 一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 拓展直角三角形中一共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，另外的五个元素中，只要已知一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素． 知识点2 解直角三角形的理论依据 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边． (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)． (2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°． (3)边角之间的关系：sin A＝a c ，cos A＝b c ，tan A＝a b ，sin B＝b c ，cos B＝a c ，tan B＝b a . (4)直角三角形中的有关定理． 《锐角三角函数》教案 教学目标 1．知识与技能： （1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切正弦、余弦的意义和与现实生活的联系． （2）能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等． （3）能够根据直角三角形的边角关系，用正切、正弦、余弦进行简单的计算． 2．过程与方法： 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题． 3．情感态度与价值观： 进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物，形成良好的数学思维习惯和思维品质． 教学重点 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系． 教学难点 理解正切、正弦、余弦的意义，并用它来表示两边的比． 教学过程 第一环节创设问题情境 活动内容：观察梯子的倾斜程度 梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？为了描述梯子的这种倾斜程度，先给大家介绍三个简单的概念：倾斜角，铅垂高，水平宽．1．图1—1和图1—2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？ 2．图1—3中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你又是如何判断的？ 对于图1—3，学生可能难于下手，这时老师可以借助几何画板的动态演示，引导学生比较对边与邻边的比值，即比较表一中的1t 与2t 大小，当12t t >、12t t <、12t t 时，借助几何画板直观的验证梯子的倾斜程度，以突破学生认识上的障碍．（为了方便研究，表格中的数据精确到十分位）． 活动目的：先让学生从图1-1和图1-2中直观感受梯子的倾斜程度，再让学生理性思考该如何寻找方法判断图1-3中梯子的倾斜程度．这样学生会感到知识上的匮乏，从而对数学产生好奇心和求知欲．让他们从实例中体会不同情况下比较梯子的倾斜程度只靠直观感受是不够的，还需要其他方法——用边的比进行比较． 第二环节 探求新知 活动内容1：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？ 图1— 1 图1—2 图1— 3 表 1 C B C B C B 锐角三角函数单元教案 第1课时 正弦 教学目标 1、知识目标 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能力目标 能根据正弦概念正确进行计算，逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。 3、情感目标 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 教学重点 理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 教学难点 当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 教学过程 一、知识回顾 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB 2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC 二、 探究活动 问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？? 如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 教师点拨： 从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时， ∠A 的对边与斜边的比都等于1 2，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的 比都等于 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数 锐角三角函数 一.知识框架 二.知识概念 1.Rt △ABC 中 (1∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦,记作sinA = ∠A 的对边 斜边 (2∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦,记作cosA = ∠A 的邻边斜边 (3∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切,记作tanA = ∠A 的对边 ∠A 的邻边 (4∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切,记作cota = ∠A 的邻边∠A 的对边 2.特殊值的三角函数: 锐角三角函数(1 基础扫描 1. 求出下图中sinD ,sinE 的值. 2.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′ C ′,那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为( . A . sinA =sinA ′ B . sinA =2sinA ′ C . 2sinA =sinA ′ D . 不能确定 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AB =5,AC =4,则sinB 的值是( A . 35 B . 45 C . 34 D . 4 3 4. 如图,△ABC 中,AB=25,BC=7,CA=24.求sinA 的值. 25 24 7C B A 5. 计算:sin30°·sin 60°+sin45°. 能力拓展 6. 如图,B 是线段AC 的中点,过点C 的直线l 与AC 成60°的角,在直线上取一点P ,连接AP 、PB ,使sin ∠APB=1 2,则满足条件的点P 的个数是( A 1个 B 2个 C 3个 D 不存在 7. 如图,△ABC 中,∠A 是锐角,求证:1 sin 2 ABC S AB AC A ?= ?? 8.等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,求sinA 、sinB . l C B A (第7题图 85 F E D 创新学习 9. 如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠BAC等于( A. B C. 第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（2） 一、知识点 1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦 2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标 知识与技能 1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点 重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知 探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2） 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. B 1 B 2 A C 1 C 2 锐角三角函数教学设计 §28.1锐角三角函数（一） 一．指导思想 建构主义学习理论的核心是：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索，主动发现和对所学知识意义的主动建构；教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用，并不要求教师直接向学生传授和灌输知识。 《数学课程标准》提出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者；有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流活动。教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在动手实践、自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 因此，在本节课的每个教学活动中，教师努力做到：给予学生充分的独立思考、探究的时间，使学生面对新问题，寻求新的解决办法；参与到学生活动中，适时进行点拨与指导，对学生在活动中的各种表现，都应该及时给予鼓励，使他们真正体验到自己的进步，感受到成功的喜悦；为学生提供协作、交流的机会，使每个学生的个性得以张扬，自我表现意识和团队精神得以增强。 二．教学背景分析 （一）教学内容分析： 1．地位及作用 《锐角三角函数概念》是人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级下册第28章第一节的内容。 锐角三角函数的概念是以相似三角形的知识为基础的，它的建立是对代数中已初步涉及的函数概念的一次充实和进一步开阔视野，也将是高中阶段学习任意角的三角函数的基础。锐角三角函数的概念, 既是本章的重点，也是难点. 又是学好本章内容的关键.因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。此内容又是数形结合的典范.因此，学好本节内容是十分必要的，对本单元的学习必须引起足够的重视. 2.课时安排 本节教材共分三课时完成，；第一课时是正弦概念的建立及其简单应用；第二课时是余弦、正切概念的建立及其简单应用；第三课时是综合应用。 （二）学生情况分析： 学生前面已经学习了三角形、四边形、相似三角形和勾股定理的知识，为锐角三角函数的学习提供的研究的方法，具备了一定的逻辑思维能力和推理能力。通过以前的合作学习，具备了一定的合作与交流能力. 三．教学策略 1．利用课件，解释知识形成的过程，进而促成学生对知识的主动建构；为学生的探究提供学习资源和支持. 2．在整个过程中，让学生亲自动手实践，通过学生自主学习、亲身体验探索、发现新知识，并运用数学知识解决问题。 四．教学方式的设计 本节课采用“探究与合作交流”的教学方法，通过自主探索、合作交流对锐角三角函数 三角函数教材分析 学号::105012011112 姓名：冯远翔 班级:教师3-2班 一、内容组织 1、内容简介 本章内容主要包括三角寒素任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、诱导公式、三角函数的图象和性质、三角函数模型及其应用. 三角函数是一种基本初等函数，它是描述周期现象的数学模型，在数学与其他领域中具有重要的作用，三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础.本章内容可以看成是数学中“函数”一章的延伸和拓展，因此，在学习过程中药注意体会三角函数与一般函数之间的关系，即共性与个性的关系.三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数.也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义.三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具. 三角函数也属于函数范畴，那么，之前学习函数时所研究函数的图像及性质，对于三角函数同样的需要研究.函数的种类很多，而三角函数则是函数研究几何的一种工具，通过角度来认识代数关系.三角函数同样有函数的三要素、符号和表达式. 为了更好的学习三角函数，教材引进了任意角和弧度制的概念作为基础认识.本节教材重点研究三角函数的诱导公式、三角函数线、三角函数()b x A y ++=?ωsin 的奇偶性，单调性、周期性、最大和最小值. 以下是三角函数的定义. 任意角与 弧度制；单位圆 任意角的三角函数 三角函数线；三角函数的图像及性质 三角寒素模型的简单应用 诱导 公式 同角三角函数的基本关系式 23.1锐角的三角函数 1. 锐角的三角函数 第一课时正切 教学目标 ◆知识与技能 1.初步了解角度与数值的一一对应的函数关系。 2.会求直角三角形中某个锐角的正切值。 3.了解坡度的有关概念。 ◆过程与方法 让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 ◆情感态度 通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索，合作交流，培养学生的创新意识。 教学重点： 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。 教学难点： 锐角三角函数的概念的理解。 教学准备 多媒体课件制作 教学设计 一、导入新课 导语：因为这座桥的设计让它成为了旅游新热点，火起来的原因不是因为怪异的设计或者美不胜收的景色，而是大家都很好奇这个桥的坡度到底有多陡？陡峭堪比过山车！ 不少人给这座桥赋予了极不靠谱的数据，实际上这个坡的斜率仅为6.1%，如果按咱们口头常用单位来讲还不足4度。 大家看到这个图片后一定很吃惊，那我们要想了解这副图的背景故事，我们就要来学习这里出现的数据6.1%和4度代表了什么? （导入课题锐角三角函数） 二、推进新课 1．交流合作 【问题1】在图23－2中有两个直角三角形，直角边AC与A 1C 1 表示水平面，斜 边AB与A 1B 1 分别表示两个不同的坡面，哪个更陡？你是怎么判断的？ 学生可由水平长度相等，铅直高度不同进行判断． 【问题2】当水平长度和铅直高度都不相等时，类似的在图23－3中，坡面AB 与A 1B 1 哪个更陡？你又是如何判断呢？ 《锐角三角函数》 一、选择题 1. 4 sin tan 5 ααα= 若为锐角,且，则为 ( ) 933425543 A B C D ． ． ． ． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ．sinA = sin B B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+∠B=90° 3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ） A ．10 B ．22 C ．10或27 D ．无法确定 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c = sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan a A | 5、 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 2 B. 2 1 3+ C. 3 D. 1 6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( ) A. 3 B. 300 C. 50 3 D. 150 7．当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于 12 B ．小于12 C ．大于3 D ．小于3 8．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ． 23 3 9．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）23 （D ）83 3 \ 10．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．32 3 C ．10 D ．12 二、填空题 11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 12．若sin28°=cos α，则α=________． 13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______． 6.1锐角三角函数⑴教学设计 一.教学目标： 1.知识与技能： 了解三角函数的概念，理解正弦、余弦、正切的概念； 掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与两边之比的对应关系； 掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角的三角函数值. 2.过程与方法： ⑴ 通过经历三角函数概念的形成过程,丰富学生的数学活动经验； ⑵ 渗透数形结合的数学思想方法. 3.情感态度与价值观： ⑴ 让学生感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历； ⑵ 培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神. 二.重点、难点： 重点：锐角三角函数的概念. 难点：锐角三角函数概念的形成. 三.教学过程： （一）、创设情境，激趣设疑 通过创设“生活中测量塔的高度、山坡上修建的扬水站需要的水管 ”的情境，让学生思考利用直角三角形的边角关系能否求物体的高度和长度. 设计意图：从生活中的实例出发，设置疑问，激发学生的求知欲. （二）、合作探究，引出新知 1．实践：已知一个45°的∠A ，在角的一边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C.量出BC ，AB 的长度（精确到1毫米）.计算AB BC 的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较. 设计意图：通过动手操作、合作、交流，直观感知比值AB BC 非常接近，大小和点B 的位置无关，并由此猜想比值是个定值。在活动的过程中，教给学生探 究的常用方法：观察、测量、比较、归纳、猜想等，有效培养学生的探究能力，丰富学生的数学活动经验。同时学生的实践活动，让他们经历了三角函数的概念的初步形成过程. 教师引导学生验证:对于给定一锐角α，比值AB BC 是一定值. ① 利用相似三角形的性质，说明“对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点B,作BC ⊥AC 于点C,比值AB BC 都是一个确定的值,与点B 在角的边上的位置无关”. ② 出示几何画板，演示对应于不同大小的角度，总有相应的比值AB BC ，让学生直观感知比值AB BC 与角度的对应. 设计意图：利用相似三角形对应边成比例的性质,验证第一环节的猜想是正 确的,即:当角度确定时,比值AB BC 是个定值.同时利用几何画板的直观演示,让学生 进一步感知:对应于每一个不同的角度, AB BC 都会有一个确定的值.至此，锐角三角函数的概念已是呼之欲出. 教师引导学生发现当锐角α确定时,AB AC ,AC BC 的比值也是定值,并说明理由. 设计意图： 先给出比值AB BC 是定值的验证，然后类比2的验证过程得出另两个比值也是定值，这样的设计可以降低难度，并渗透“类比”的数学思想方法和探究方法. 4.新知应用、变式1、变式2于学生掌握新知，为本节课的后续学习打下基础。 5.教师引导学生说出锐角α与AB BC ,AB AC ,AC BC三角函数教材分析()
最新锐角三角函数练习题及答案
(完整)初中锐角三角函数教案
三角函数教材分析解读
初中数学锐角三角函数的真题汇编含答案
省优秀课一等奖：锐角三角函数全章教案
八年级数学单元备课
三角函数教材分析及教学建议
锐角三角函数练习及其答案
《锐角三角函数》教案
人教版,新课标,九年级,第28章,锐角三角函数,教案
锐角三角函数知识点及试题(含答案).
锐角三角函数教案
锐角三角函数教学设计 数学优秀教学设计案例实录能手公开课示范课
三角函数教材分析
锐角三角函数-正切教学设计
《锐角三角函数》习题(含答案)正确无误版
锐角三角函数教学设计
相关主题
文本预览