13.4最短路径问题
知识要点：
1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．
2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
一、单选题
1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在()
A．在A的左侧B．在AB之间C．在BC之间D．B处
【答案】D
2．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P 的位置应在（）
A．线段AB上B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上D．直线l上
【答案】A
3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）
A．B．C．
D．
【答案】D
4．已知：如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A＜△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则△A的度数是（）
A．30° B．36° C．50° D．60°
【答案】A
5．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）
A．2.4B．4 C．4.8D．5
【答案】C
6．如图所示,△ABC中,AB=AC,△EBD=20°,AD=DE=EB,则△C的度数为()
A．70°B．60°C．80°D．65°
【答案】A
7．如图所示,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是()
A．13 cm B．6.5 cm
C．30 cm D．cm
【答案】B
8．如图所示，从点A到点F的最短路线是()
A．A→D→E→F B．A→C→E→F
C．A→B→E→F D．无法确定
【答案】C
9．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）
A．12
5B．4 C．24
5
D．5
10．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是
A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）
【答案】D
11．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，
欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的
管道，则铺设的管道最短
．．的是（）
二、填空题
12在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）、B（4，1），点P在轴上，则PA+PB的最小值是______________。
【答案】5
13．如图所示,已知△ABC关于直线y=1对称,点C到AB的距离为2,AB长为6,则点A,B的坐标分别为____.
【答案】(2,-2),(2,4)
14．如图，已知△AOB＝30°，OC平分△AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为________ ．
【答案】5cm
AD=，E是AD上的一个动点，F是15．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线4
+的最小值是______．
边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，EB EF
【答案】4
16．在平面直角坐标系中，点P （2，0），Q （2，4），在y轴有一点M，若PM + QM最小，则M的坐标为．
【答案】（0，2）
三、解答题
17．如图所示，A，B是两个村庄，若要在河边l上修建一个水泵站往两村输水，则水泵站应修在河边的什么位置，才能使铺设的管道最短？请说明理由．
解：连接AB，与直线l的交点P为所求水泵站的位置．因为两点之间的所有连线中，线段最短．
18．如图1，在一条河同一岸边有A和B两个村庄，要在河边修建码头M，使M到A和B 的距离之和最短，试确定M的位置；
试题解析：所求点如下图所示：
∵两点之间线段最短，
∵需要能将AM、BM两边转化到一条直线上，
∵用轴对称可以办到，
求点M的位置的具体步骤如下：
∵作作点A关于直线BC的轴对称点A’，
∵连结A’B交BC于点M，
∵连结AM，
则点M就是所求作的点，能够使M到A和B的距离之和最短.
19．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．
试题解析：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′，
(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．
20．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？
（1）过点A作河岸a的垂线AE；
（2）在a的垂线AE上截取AA′等于河宽（即桥长CD），从而确定点A′的位置；
（3）连接A′B与河岸b相交于点C；
（4）过点C作河岸b的垂线，交河岸a于点D.
所以，CD就是桥所在的位置.
21．如图所示,在△ABC中,△ABC和△ACB的平分线交于点O,过点O作EF△BC,交AB于点E,交AC于点F.
(1)若△ABC=40°,△ACB=60°,求△BOE+△COF的度数;
(2)若△AEF的周长为8 cm,且BC=4 cm,求△ABC的周长.
【答案】（1）∵BOE+∵COF=50°；（2）12cm.
解:(1)∵EF∵BC,
∴∵OCB=∵COF,∵OBC=∵BOE.
又∴BO,CO分别是∵BAC和∵ACB的角平分线,
∴∵COF=∵FCO=1
2
∵ACB=30°,∵BOE=∵OBE=
1
2
∵ABC=20°.
∵∵BOE+∵COF=50°.
(2)∵∵COF=∵FCO,∴OF=CF.
∴∵BOE=∵OBE,∴OE=BE.
∴∵AEF的周长=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=8 cm.∵∵ABC的周长=8+4=12(cm).
最新修正版 C B A C B A D C B A c b a C B A 八年级下册数学复习资料 姓名 第一章 直角三角形 1、直角三角形的性质： ①直角三角形的两锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 如图，在Rt ?ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴1 2 CD AB = 。 例·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 . ③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角 边等于斜边的一半。 如图，在Rt ?ABC 中，∵∠A=30°，∴1 2 BC AB = 。 例·在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则下列结论中正确的是（ ）。 A ．AB=2BC B ．AB=2AC C ．AC 2+AB 2=BC 2 D ．AC 2+BC 2=AB 2 ④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°。 如图，在Rt ?ABC 中，∵1 2 BC AB = ，∴∠A=30°。 例·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是 。 ⑤勾股定理及其逆定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等 于斜边c 的平方，即2 2 2 a b c +=。 求斜边，则22c a b =+；求直角边，则22a c b =-或22 b c a =-。 例·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD ⊥AB ，，∠CAD=60°， 则拉线AC 的长是________m 。 例·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。 （2）逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。 分别计算“2 2 a b +”和“2 c ”，相等就是Rt ?，不相等就不是Rt ?。 例·在Rt △ABC 中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是（ ）。 A ．∠C=90° B ．∠B=90° C ．△ABC 是锐角三角形 D ．△ABC 是钝角三角形
初二下学期数学练习题 一、选择题（每小题3分） 1．下列各数是无理数的是（） A．B．﹣C．πD．﹣ 2．下列关于四边形的说法，正确的是（） A．四个角相等的菱形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．有两边相等的平行四边形是菱形D．两条对角线相等的四边形是菱形 3．使代数式有意义的x的取值范围（） A．x＞2 B．x≥2 C．x＞3 D．x≥2且x≠3 4．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，若∠A=45°， ∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（） A．55°B．75°C．95°D．110° 5．已知点（﹣3，y1），（1，y2）都在直线y=kx+2（k＜0）上，则y1，y2大小关系是（） A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较 6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD 的面积为（） A．6 B．12 C．20 D．24 7．不等式组的解集是 x＞2，则m的取值范围是（） A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 8．若+|2a﹣b+1|=0，则（b﹣a）2016的值为（） A．﹣1 B．1 C．52015D．﹣52015
9．如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（） A．①B．②C．③D．④ 10．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（） ①平行四边形；②菱形；③矩形；④对角线互相垂直的四边形． A．①③B．②③C．③④D．②④ 11．如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝， DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（） A. 2cm B. 4cm C. 6 cm D. 8cm 12．一果农贩卖的西红柿，其重量与价钱成一次函数关系．小华向果农买一竹篮的西红柿，含竹篮称得总重量为15公斤，付西红柿的钱26元，若再加买0.5公斤的西红柿，需多付1元，则空竹篮的重量为多少？（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 13．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（） A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形 14．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（） A．B．C．﹣D．﹣ 15．某商品原价500元，出售时标价为900元，要保持利润不低于26%，则至少可打（） A．六折B．七折C．八折D．九折 16．已知2+的整数部分是a，小数部分是b，则a2+b2=（） A．13﹣2B．9+2C．11+D．7+4 17．某星期天下午，小强和同学小颖相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小颖到了后两人一起乘公共汽车回学校，图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用时间x（分）之间的函数关系，下列说法中错误的是（） A B C D 第11题图 E
第五讲最短路径 一、知识点 二、课前练习 1、如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______( 取3) [ 2、如图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( ) A.7 cm B.5 cm C.8 cm D.10 cm 3、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明） 4、某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） 5、如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹） 6、加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于________米． 7、如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？ 8、如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M，N,使△AMN 周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数. 三、例题讲解 1、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少 2、如图,在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，求EC+ED 的最小值 3、如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB+MN最小，请找点M的位置，并求出MB+MN最小值. 4、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是坐标轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，求点C的坐标 5、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m，3 m）（m为非负数），求CA＋CB的最小值 三、练习
1、△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，ED ⊥BC ，DF//AB ，求证：AD 与EF 互相垂直平分。 A B C D E F 2、我市某中学举行“中国梦?校园好声音”歌手大赛，初、高中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． （1）根据图示填写下表； （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； （3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 3、在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，则△OAB 为此函数的坐标三角形． （1）求函数3 34y x =- +的坐标三角形的三条边长； （2）若函数3 4 y x b =-+（b 为常数）的坐标三角形周长为16， 求此三角形的面积． 选手编号
4、如图，已知在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G，H分别在BA和DC 的延长线上，且AG=CH，连接GE，EH，HF，FG．求证：四边形GEHF是平行四边形． F G E H C D B A 5、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆．图中折线OA-AB-BC和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）小聪在图书馆查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为_________千米/分钟； （2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式； （3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 6、“如图1，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD， （1）求证：EF⊥AE． （2）将“正方形”改为“矩形”、其他条件均不变，如图2，你认为仍然有“EF⊥AE”．若你同意，请以图2为例加以证明；若你不同意，请说明理由．
第 1 页 共 3 页 1．若分式 1 -x x 有意义，则x 的取值范围为 A ．x ≠1 B ．x ＞1 C ．x ≥1 D ．x ＜1 2．下列四个点，在反比例函数x y 3= 图象上的是 A ．（1, 2） B ．（3, －1） C ．（－1, －2） D ．（2 3, 2） 3．下列计算正确的是 A ．4 2 2--=?a a a B ．422)(a a =- C ．4212 =? ? ? ??-- D ．414 -=- 4．下列分式的变形：①b a b a 22- =-；② n mn m 1= ；③ xy y y x y += +2 1. 其中正确的个数有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．下列命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它 们的积是正数.其中逆命题是正确的个数有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．若A （1x ，－1 ）、B （2x ，－3）两点均在反比例函数x k y = （k ＜0）的图象上，则1x 与2x 的大小关系为 A ．1x ＞2x B ．1x ＜2x C ．1x =2x D ．无法判断 7．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧 化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变. 密度y 是体积V 的反比例函数，它的图象如图所示. 则当V=3 m 3时，二氧化碳的密度y 为 A ．1.1kg/m 3 B ．2.2 kg/m 3 C ．3.3 kg/m 3 D ．4.4 kg/m 3 8．下列图形中阴影部分面积相等的是 A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．③④ 9.已知x 为整数,且分式 2 221 x x +-的值为整数,则x 可取的值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ） （第9题）
A B C D E P A B C D E 12 3 O 习 题 课 1、 已知，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=50°，则 ∠B= ； 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，则 ∠A 与∠B ； 3、在△ABC 中，若∠B 与∠C 互余，则△ABC 是 三角形。 PE+PD= 。 (6) (7) （8）
14、如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相较于点H，E为AC的中点，EH=2cm，求AC的长。 A B E H C D 15、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=AD，DE⊥AC，垂足为D，∠C=28°， 求∠AED的度数。 A D B E C 16、△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB。求证：AE=2CE。 17、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线， 且∠BCD=3∠DCA。求证：DE=DC。
18、如图：AB=AC，AD⊥BC于D，AF=FD，AE∥BC且交BF的延长线于E，若AD=9，BC=12，求BE的长。 19、在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。 求证：AE=DF。 20、已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长。 21、已知:△ABC中,∠ACB=90°,CD是高, ∠A=30°.求证:BD=1 4 AB. A D C B
22、(2008,湖北)已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD= 1 2 AC. 则∠A=_____. 23、已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC. 24、如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ， 求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线 （2）AB=AC 25、已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ， 垂足分别为B 、C.试说明EB=FC. 26、如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由． A B C D F E A E D C B F 1 2 A B C 12 E F 图3D
初二数学最短路径问题家庭作业_题型归纳 一、精心选一选 1.在平面直角坐标系中有两点，要在轴上找一点，使它到的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是() A. B. C. D. 考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想. 答案：D. 解析：利用轴对称的性质，把y轴同侧的两点转化为y轴异侧的两点，根据“两点之间，线段最短”，找到点C的位置，故选D. 2.如图，在等边△ABC中，边BC的高AD=4，点P是高AD上的一个动点，E是边AC的中点，在点P运动的过程中，存在PE+PC的最小值，则这个最小值是() A.4 B.5 C.6 D.8 考查目的：本题主要考查等边三角形的性质及利用轴对称解决最短的线段和问题. 答案：A. 解析：根据等边三角形的性质可知点B是点C关于AD的对称点，PE+PC的最小值就是BE 的长，即等边△ABC的高，故选A. 3.如图，正方形ABCD的边长为8，△BCE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为() A.4 B.6 C.8 D.10
考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想. 答案：C. 解析：由题意知，点B是点D关于AC的对称点，因此，PD+PE的和可以转化为PB+PE的和.因为PB+PE的和的最小值BE，即为8，故选C. 二、细心填一填 4.两点的所有连线中，最短. 考查目的：本题主要考查“两点之间，线段最短”的基本事实. 答案：线段. 解析：根据基本事实“两点之间，线段最短”即可得出答案. 5.连接直线外一点与直线上各点所有连线中，最短. 考查目的：本题主要考查连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短的基础知识.答案：垂线段. 解析：连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短. 6.如图，四边形ABCD中，△BAD=120°，△B=△D=90°，在BC，CD上分别找一点F，使△AEF周长最小，此时△AEF+△AFE的度数为. 考查目的：本题主要考查利用轴对称解决较复杂的路径问题.分别作点A关于CD、BC的对称点，画出基本图形是解题的关键. 答案：120°. 解析：如下图，分别作点A关于CD、BC的对称点A1，A2，连接A1A2，分别交CD、BC于点F，E，即此时△AEF周长最小.由对称可知△A1=△DAF，△A2=△BAE，因为△A1+△A2=180°-△BAD=60°，所以△DAF+△DAF=△A1+△A2=60°，所以△EAF =60°，所以△AEF+△AFE=180°-△EAF=120°.
北师大版八年级数学下册各章重点难点题汇总 第一章三角形的证明 1等腰三角形 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（） A．45° B．135° C．45°或67.5° D．45°或135° 【答案】D 【解析】 ①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD=45°， ∴∠A=45°， 即顶角的度数为45°. ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA=45°， ∴∠BAD=45°， ∴∠BAC=135°. 故选：D． 2．如图，在△AB C中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE ＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 【答案】D 【解析】在△AB C中，∠A=36°，AB=AC，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC是等腰三角形；因为CD是△ABC的角平分线，所以∠ACD=∠DCB=36°，所以△ACD是等腰三角形；在△BD C中，由三角形的内角和求出∠BDC=72°，所以△BDC是等腰三角形；所以BD=BC=BE，所以△BDE 是等腰三角形；所以∠BDE=72°，∠ADE=36°，所以△ADE是等腰三角形．共5个． 故选D 3．如图，在△AB C中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为() A．15° B．17.5° C．20° D．22.5° 【答案】A 【解析】在△AB C中，AB=AC，∠A=30°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=75°，所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-75°=105°，根据角平分线的性质可得∠DBC=37.5°，∠ACD=52.5°，即可得∠BCD=127.5°，根据三角形的内角和定理可得∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-37.5°-127.5°=15°，故答案选A． 4．如图，在△AB C中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为() A．30° B．40° C．45° D．60° 【答案】D 【解析】∵△AB D中，AB=AD，∠B=80°， ∴∠B=∠ADB=80°，
1..(8分)(2013·昭通中考)如图,在菱形ABCD 中,AB=2,∠DAB=60°,点E 是AD 边的中点,点M 是AB 边上的一个动点(不与点A 重合),延长ME 交CD 的延长线于点N,连接MD,AN. (1)求证:四边形AMDN 是平行四边形. (2)当AM 为何值时,四边形AMDN 是矩形?请说明理由. 2、梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠A=90°AB=8cm ，AD=24cm ，BC=26cm 点，点P 从A 出发沿线段AD 的方向以1cm/s 的速度运动；点Q 从C 出发沿线段CB 的方向以3cm/s 的速度运动，点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当点P 运动到点D 时，点Q 随之停止运动.设运动时间为t （秒）. （3分）(1)设四边形PQCD 的面积为S ，写出S 与t 之间的函数关系（注明自变量的取值范围）； 解： （3分）(2)当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？ 解： 3.在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，，( ， ),( ,______) （2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的 坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标 y C ()A (40)D ， (12)B ， O x 图1 y C ()A (0)D e ， ()B c d ， O x 图2 y C ()A a b ， ()D e b ， ()B c d ， O x 图3 Q P D C y C ()A a b ， ()D e f ()B c d ， O x 图4
初二数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： -①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． -③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径． 【问题原型】．“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．】【十二个基本问题
】1作法图形【问题原理 A A 两点之间线段最短．P l．交点即为P连AB，与l l PA+PB 最小值为AB．B B，使上求一点P在直线l 值最小．PA+PB 【问题2】“将军饮马”作法图形原理 A A B＇B关于作B l 的对称点两点之间线段最短．B
l l PA+PB 最小值为 A B P．＇．连A B ＇，与l 交点即为 P，使P在直线l 上求一点B' PA+PB 值最小． 3】作法图形原理【问题 P'l 1l 1 分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短．M P PM +MN +PN 的最小值为对称点P＇和P＇，连P＇P＇，P l l l 、上2．M，P＇＇＇的长．N与两直线交点即为线段P 分别求点在直线l212N M 、N，使△PMN的周长P'' 最小． 4】作法【问题图形原理 l 1l1Q' Q关于直线分别作点Q 、P Q两点之间线段最短．MP l 、l P＇Q＇和的对称点21P周长的最小四边形PQMN l2＇，与两直线交点即Q连＇P值为线段P＇P＇＇的长．l 2、l l 上分别求点在直线．，N为M21N ，使四边形N 、M PQMN P' 的周长最小． 【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文
C B A C B A D C B A c b a C B A 八年级下册数学复习资料姓名 第一章直角三角形 1、直角三角形的性质： ①直角三角形的两锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 如图，在Rt?ABC中，∵CD是斜边AB的中线，∴ 1 2 CD AB =。 例·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 . ③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角 边等于斜边的一半。 如图，在Rt?ABC中，∵∠A=30°，∴ 1 2 BC AB =。 例·在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则下列结论中正确的是（）。 A．AB=2BC B．AB=2AC C．AC2+AB2=BC2 D．AC2+BC2=AB2 ④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°。 如图，在Rt?ABC中，∵ 1 2 BC AB =，∴∠A=30°。 例·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是。 ⑤勾股定理及其逆定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等 于斜边c的平方，即222 a b c +=。 求斜边，则 22 c a b =+；求直角边，则22 a c b =-或22 b c a =-。 例·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD⊥AB，，∠CAD=60°，则拉线AC 的长是________m。 例·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。（2）逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。 分别计算“ 22 a b +”和“2c”，相等就是Rt?，不相等就不是Rt?。
八年级数学最短路径问题 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P， 使得PA+PB最小。 练习、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 练习：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC，使三角形周长最小. 练习1：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC周长最小值为OA.求∠MON的度数。 练习2：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 提高训练 一、题中出现一个动点。 1.当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值. 例：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点， 且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。
八年级期末测试一 一、选择题（每题2分，共24分） 1、下列各式中，分式的个数有（ ） 31-x 、12+a b 、πy x +2、21--m 、a +21、2 2 ) ()(y x y x +-、x 12-、115- A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、如果把 223y x y -中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） A 、扩大5倍 B 、不变 C 、缩小5倍 D 、扩大4倍 3、已知正比例函数y =k 1x (k 1≠0)与反比例函数y =2 k x (k 2≠0)的图象有一个交点的坐标为(-2，-1)，则它的另一个交点的坐标是 A. (2，1) B. (-2，-1) C. (-2，1) D. (2，-1) 4、一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断 ） D 、菱形或直角梯形 ( ) ．1+(1-x)=x-2 ABC 是（ ） D 、以上答案都不对 （第9题） 8、如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD 的面积是 （ ） A 、1516 B 、516 C 、1532 D 、1716 9、如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的
G 值的x 的取值范围是（ ） A 、x ＜－1 B 、x ＞2 C 、－1＜x ＜0，或x ＞2 D 、x ＜－1，或0＜x ＜2 10、在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的方差为 2S 172甲＝，2S 256乙＝。下列说法：①两组的平均数相同；②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳 （A 11n 千米/A 、 2n m +12、 2＜16、梯形ABCD 中，BC AD //，1===AD CD AB ，?=∠60B 直线MN 为梯形ABCD 的对 称轴，P 为MN 上一点，那么PD PC +的最小值 。 A E D
第十三章轴对称 13.4 课题学习最短路径问题【教材分析】 教学目标知识 技能 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用. 过程 方法 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想. 情感 态度 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性. 重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 【教学流程】 环节导学问题师生活动二次备课 情境引入如图所示，从A地到B地有三条路可供选择， 走哪条路最近？你的理由是什么？ 前面我们研究过一些关于“两点的所有连 线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题， 我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常 涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学 知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”． 教师出示问题，引导学生思 考、回答，引入课题。 自主探究 探究点一探索最短路径问题 活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里 有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天， 一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其 解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可 使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用 教师出示问题情境，激发学生 学习兴趣和探究欲望.
合 作 交 流 自 主 探 究 合 作 交 流 轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后 来被称为“将军饮马问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问1这是一个实际问题，你打算首先 做什么？ 答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽 象为一条直线． 追问2你能用自己的语言说明这个问 题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 答：(1)从A地出发，到河边l饮马，然 后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多 处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段 的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到 B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出 使两条线段长度之和为最短的直线l上的 点．设C为直线上的一个动点，上面的问题 就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与 CB的和最小(如图)． 问题2：如图，点A，B在直线l的同侧， 点C是直线上的一个动点，当点C在l的什 么位置时，AC与CB的和最小？ 追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C， 都保持CB与CB′的长度相等？ 追问4：你能利用轴对称的有关知识，找 到上问中符合条件的点B′吗？ 展示点评：作法： (1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′，与直线l交于点C. 则点C即为所求． 追问5、你能用所学的知识证明AC＋ BC最短吗？ 让学生将实际问题抽象为数 学问题，即将最短路径问题抽 象为“线段和最小问题” 学生尝试回答, 并互相补 充,最后达成共识: 教师引导学生，联想轴对 称知识解决，尝试作法，师生 共同矫正， 教师引导学生通过合作 交流完成证明；
八年级数学下册知识点总结 第十六章 分式 1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 （0≠C ） 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式， 然后再加减 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10 ≠=a a ；当n 为正整数时，n n a a 1 = - （)0≠a 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=?； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方：n n n b a ab =)(； （4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)； （5）商的乘方：n n n b a b a =)(()；(b ≠0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。 解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 解分式方程的步骤 ： (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根． 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答． 应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 v 顺水=v 静水+v 水． v 逆水=v 静水-v 水． 8.科学记数法：把一个数表示成n a 10?的形式（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法． 用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是1-n 用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0) 例 1 如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(C B C A B A ??= C B C A B A ÷÷=
第6讲最短路径问题 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 知识梳理 讲解用时：20分钟 两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？ 选A-B，因为两点之间，直线最短 垂线段最短 如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各 点的所有连线中，哪条最短？ PC最短，因为垂线段最短
课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据作图的方法即可得到结论． 解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小， ∴D的作法正确， 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1.1】 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需
管道最短的是（） A． B． C．D． 【答案】D 【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 【练习1.2】 如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大． 【答案】见解析 【解析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大． 解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．
D A B C A B C D E G 水洛中学初二级期末复习测试题 学号_______ 班级______姓名_______ A 卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、下列各式中，分式的个数有（ ） 3 1-x 、 1 2 +a b 、 π y x +2、2 1-- m 、 a +2 1、 2 2) ()(y x y x +-、x 12- 、11 5- A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.四个角是直角 3、已知正比例函数y =k 1x (k 1≠0)与反比例函数y = 2k x (k 2≠0)的图象有一个交点的坐标为(-2， -1)，则它的另一个交点的坐标是（ ） A. (2，1) B. (-2，-1) C. (-2，1) D. (2，-1) 4、一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A ．10米 B ．15米 C ．25米 D ．30米 5、一组对边平行，并且对角线互相垂直且相等的四边形是（ ） A 、菱形或矩形 B 、正方形或等腰梯形 C 、矩形或等腰梯形 D 、菱形或直角梯形 6、把分式方程 1212 1=----x x x 的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得( ) A ．1-(1-x)=1 B ．1+(1-x)=1 C ．1-(1-x)=x-2 D ．1+(1-x)=x-2 7、如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（ ） A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、以上答案都不对 8、如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD 的面积是（ ） A 、1516 B 、516 C 、1532 D 、1716 9、在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的方差为2 S 172甲＝， 2 S 256 乙＝。下列说法：①成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲 组好；②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定；③甲组成绩的众数＞乙组成绩的众数；④两组成绩的中位数均为80，但成绩≥80的人数甲组比乙组多，从中位数来看，甲组成绩总体 （A 10、李大伯承包了一个果园，种植了 100棵樱桃树，今年已进入收获期。收获时，从中任园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为（ ） A. 2000千克，3000元 B. 1900千克，28500元 C. 2000千克，30000元 D. 1850千克，27750元 二、填空题（每题3分，共30分） 11、当x 时，分式 15 x -无意义。 12、小林在初三第一学期的数学书面测验成绩分别为：平时考试92分；期中考试得82分；期末考试得90分.如果按照平时、期中、期末的权重分别为10%、30%、60%计算，那么小林该学期数学书面测验的总评成绩应为___________分。 13、已知双曲线x k y = 经过点（－1，3），如果A (11, b a )，B (2 2,b a )两点在该双曲线上，且 1a <2 a <0，那么1b 2 b ． 14、 在一次比赛中，抽取了甲、乙两个样本，甲样本的方差是1.21，乙样本的方差是3.98，这两个样本数据波动的大小是__________. 15、已知任意直线l 把□ABCD 分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在位置需满足的条件是 _________ 16、如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点G 处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC 的长为 ． A B C
25 (1) ——; (2) 0.36 ; (3) 15 ; (4) 10-2 144 二、求下列各数的立方根。 343 (1) －——; (2) -2 ; (3) 0.216 ; (4) 1024 8 三、解下列方程组。 5a＝9b－6 3x＋6y＝1 { { 2a＝b＋6 5x＝y－12 4x＋6y＝107 8m＋8b＝11 { { 7y－x＝107 -8m－b＝14
36 (1) ——; (2) 0.09 ; (3) 17 ; (4) 10-10 256 二、求下列各数的立方根。 216 (1) －——; (2) -5 ; (3) 0.001 ; (4) 1021 27 三、解下列方程组。 4a＝b－19 8x－y＝4 { { 4a＝7b＋15 4x＝y－17 8x－y＝118 2m＋2b＝19 { { 7y－2x＝118 -8m－9b＝5
25 (1) ——; (2) 0.81 ; (3) 19 ; (4) 10-20 121 二、求下列各数的立方根。 216 (1) －——; (2) -10 ; (3) 0.001 ; (4) 1027 8 三、解下列方程组。 7a＝4b－15 2x－2y＝15 { { 9a＝9b－16 3x＝y＋6 9x＋2y＝28 4m＋b＝25 { { 9y－3x＝28 -3m－6b＝26
81 (1) ——; (2) 0.49 ; (3) 30 ; (4) 10-2 169 二、求下列各数的立方根。 512 (1) －——; (2) -6 ; (3) 0.027 ; (4) 106 8 三、解下列方程组。 4a＝2b＋8 5x－2y＝10 { { 9a＝3b＋15 7x＝5y＋3 3x－3y＝29 6m－8b＝29 { { 5y＋9x＝29 -3m－5b＝19