八年级下册数学讲义
目录 第一节等腰三角形 (1) 第二节直角三角形 (7) 第三节线段的垂直平分线 (12) 第四节角平分线 (16) 第五节一元一次不等式 (20) 第七节一元一次不等式组 (30) 第八节一元一次不等式组的应用 (33) 第十节图形的平移与旋转 (44) 第十一讲中心对称 (49) 第十二讲本章复习 (54)
第一节等腰三角形 知识点一:等腰三角形的两腰相等,两个底角相等(简写成“等边对等角”) 例1. 等腰三角形的一个角是70°,它的一个底角的度数是。 例2. 已知等腰三角形两边长为4 和3,则周长为。 例3. 如图1,△ABC 中,AB=AC=BD,DA=DC,则∠BAC 的度数是。 图1 图2 知识点二:等腰三角形的三线合一即等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,也就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 例4. 如图2,在三角形ABC 中,AB=AC。 若AD⊥BC,则,; 若BD=CD,则,; 若AD 平分∠BAC,则,; 例5. 如图3,在△ABC 中,AB=AC,AD 是BC 边上的中线,BE⊥AC 于点 E.求证:∠CBE=∠B AD. 知识点三:两边相等证等腰三角形 例6. 如图,点D,E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上,AE 与BD 相交于点F,∠1=∠2;AD=BE。 求证:△ABF 是等腰三角形. 1
知识点四:两角相等证等腰三角形(等角对等边) 例7. 如图1,△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线, 且相交于点F,则图中的等腰三角形有() A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 例8. 如图,点D,E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上,AE 与BD 相交于点F,∠1=∠2;AD=BE。 求证:△ABC 是等腰三角形. 知识点五:角平分线+平行线=等腰三角形 例9. 在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E,过点E 作MN∥BC 交AB 于M,交AC 于N,求证:BM+CN=MN 2
八年级下册数学复习专题_最新修正版
最新修正版 C B A C B A D C B A c b a C B A 八年级下册数学复习资料 姓名 第一章 直角三角形 1、直角三角形的性质: ①直角三角形的两锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 如图,在Rt ?ABC 中,∵CD 是斜边AB 的中线,∴1 2 CD AB = 。 例·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 . ③在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角 边等于斜边的一半。 如图,在Rt ?ABC 中,∵∠A=30°,∴1 2 BC AB = 。 例·在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,则下列结论中正确的是( )。 A .AB=2BC B .AB=2AC C .AC 2+AB 2=BC 2 D .AC 2+BC 2=AB 2 ④在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么 这条直角边所对的角等于30°。 如图,在Rt ?ABC 中,∵1 2 BC AB = ,∴∠A=30°。 例·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是 。 ⑤勾股定理及其逆定理 (1)勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等 于斜边c 的平方,即2 2 2 a b c +=。 求斜边,则22c a b =+;求直角边,则22a c b =-或22 b c a =-。 例·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD ⊥AB ,,∠CAD=60°, 则拉线AC 的长是________m 。 例·若一个直角三角形的两边长分别为6和10,那么这个三角形的第三条边长是______。 (2)逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222 a b c +=,那么这个三角形是直角三角形 。 分别计算“2 2 a b +”和“2 c ”,相等就是Rt ?,不相等就不是Rt ?。 例·在Rt △ABC 中,若AC=2,BC=7,AB=3,则下列结论中正确的是( )。 A .∠C=90° B .∠B=90° C .△ABC 是锐角三角形 D .△ABC 是钝角三角形
(完整word)新湘教版八年级下册数学复习资料及训练
c b a C B A P E D C B A E D C B A P F E D C B 21A 直角三角形题型训练(一) 1、角平分线: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图,∵AD 是∠BAC 的平分线(或∠1=∠2), PE ⊥AC ,PF ⊥AB ∴PE=PF ·如图,在ΔABC 中,∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D, 若BD=10厘米,BC=8厘米,DC=6厘米,则点D 到直线AB 的距 离是________厘米。 ·如图:在△ABC 中,,O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。 求证:点O 在∠A 的平分线上。 2、线段垂直平分线:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 。 如图,∵CD 是线段AB 的垂直平分线, ∴PA=PB ·如图,△ABC 中,DE 是AB 的垂直平分线,AE=4cm ,△ABC 的周长是18 cm ,则△BDC 的周长是__。 ·已知:如图,求作点P ,使点P 到A 、B 两点的距离相等, 且P 到∠MON 两边的距离也相等. 3、勾股定理及其逆定理 ①勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等 于斜边c 的平方,即222 a b c +=。 求斜边,则22c a b =+;求直角边,则22a c b =-或22 b c a =-。 ·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD ⊥AB ,, ∠CAD=60°,则拉线AC 的长是________m 。 ·若一个直角三角形的两边长分别为6和10,那么这个三角形的第三条边长是______。 O C B A O N M · · A B
初二下学期数学练习题--含答案及解析
初二下学期数学练习题 一、选择题(每小题3分) 1.下列各数是无理数的是() A.B.﹣C.πD.﹣ 2.下列关于四边形的说法,正确的是() A.四个角相等的菱形是正方形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.有两边相等的平行四边形是菱形D.两条对角线相等的四边形是菱形 3.使代数式有意义的x的取值范围() A.x>2 B.x≥2 C.x>3 D.x≥2且x≠3 4.如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′,若∠A=45°, ∠B′=110°,则∠BCA′的度数是() A.55°B.75°C.95°D.110° 5.已知点(﹣3,y1),(1,y2)都在直线y=kx+2(k<0)上,则y1,y2大小关系是() A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.不能比较 6.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD 的面积为() A.6 B.12 C.20 D.24 7.不等式组的解集是 x>2,则m的取值范围是() A.m<1 B.m≥1 C.m≤1 D.m>1 8.若+|2a﹣b+1|=0,则(b﹣a)2016的值为() A.﹣1 B.1 C.52015D.﹣52015
9.如图,在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑,使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形,该小正方形的序号是() A.①B.②C.③D.④ 10.顺次连接一个四边形的各边中点,得到了一个矩形,则下列四边形中满足条件的是() ①平行四边形;②菱形;③矩形;④对角线互相垂直的四边形. A.①③B.②③C.③④D.②④ 11.如图,在□ABCD中,已知AD=8㎝, AB=6㎝, DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于() A. 2cm B. 4cm C. 6 cm D. 8cm 12.一果农贩卖的西红柿,其重量与价钱成一次函数关系.小华向果农买一竹篮的西红柿,含竹篮称得总重量为15公斤,付西红柿的钱26元,若再加买0.5公斤的西红柿,需多付1元,则空竹篮的重量为多少?()A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 13.如图,在?ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作EF⊥AC交BC于点E,交AD于点F,连接AE、CF.则四边形AECF是() A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形 14.已知xy>0,化简二次根式x的正确结果为() A.B.C.﹣D.﹣ 15.某商品原价500元,出售时标价为900元,要保持利润不低于26%,则至少可打() A.六折B.七折C.八折D.九折 16.已知2+的整数部分是a,小数部分是b,则a2+b2=() A.13﹣2B.9+2C.11+D.7+4 17.某星期天下午,小强和同学小颖相约在某公共汽车站一起乘车回学校,小强从家出发先步行到车站,等小颖到了后两人一起乘公共汽车回学校,图中折线表示小强离开家的路程y(公里)和所用时间x(分)之间的函数关系,下列说法中错误的是() A B C D 第11题图 E
八年级最数学最短路径稳妥(供参考)
第五讲最短路径 一、知识点 二、课前练习 1、如图,有一个圆柱体,它的高为20,底面半径为5.如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点,沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点,则蚂蚁爬的最短路线长约为______( 取3) [ 2、如图所示,P为∠AOB内一点,P1,P2分别是P关于OA,OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( ) A.7 cm B.5 cm C.8 cm D.10 cm 3、在某一地方,有条小河和草地,一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马,再到小河饮马,你能为他设计一条最短的路线吗?(在N上任意一点即可牧马,M上任意一点即可饮马.)(保留作图痕迹,需要证明) 4、某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂,将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工,以提高经济效益.请你在图中标明加工厂所在的位置C,使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短.(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明) 5、如图,△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N,请在BC边上找一点P,使得△PMN的周长最短.(写出作法,保留作图痕迹) 6、加油站A和商店B在马路MN的同一侧(如图),A到MN的距离大于B到MN的距离,AB=7米,一个行人P在马路MN上行走,问:当P到A的距离与P到B的距离之差最大时,这个差等于________米. 7、如图,村庄A,B位于一条小河的两侧,若河岸a,b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近? 8、如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN 周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数. 三、例题讲解 1、如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A处,求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少 2、如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=4,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,求EC+ED 的最小值 3、如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD平分∠CAB,N点是AB上的一定点,M是AD上一动点,要使MB+MN最小,请找点M的位置,并求出MB+MN最小值. 4、如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是坐标轴上一个动点,且A、B、C三点不在同一条直线上,当△ABC的周长最小时,求点C的坐标 5、在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(2,0 ),(4,0),点C的坐标为(m,3 m)(m为非负数),求CA+CB的最小值 三、练习
人教版八年级数学下精品讲义
第十六章 二次根式 第一节二次根式的相关概念 一、课标导航 二、核心纲要 1.二次根式 形如()0≥a a 的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号. 注:(1)在二次根式中,被开方数a 可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式. (2) 0≥a 是a 为二次根式的前提条件. (3)形如()0≥n n m 的式子也是二次根式,它表示m 与n 的乘积. 2.二次根式的性质 (1) ()00≥≥a a 具有双重非负性. (2) () ()02 ≥=a a a . ()() ()()?? ???<-=>==000032a a a a a a a 或()()?? ?<-≥==002a a a a a a 或()()???≤->==002 a a a a a a . 注:(1)化简2 a 时,一般先将它化成a ,再根据绝对值的意义进行化简. (2) ()2 a 与 2a 的区别和联系.
区别:以a2中的a可以取任意实数,而(a)2中的“必须是非负数.当a<0时,(a)2无意义,而a2=-a. 联系:当a≥0时,(a)2=a2=a. 3.非负数的三种常见形式 (1)绝对值:|a|≥0. (2)偶次幂:a2n≥0(n为正整数). (3)二次根式:a≥0(a≥0). 若|a|+b2+c=0,则a=b=c=0 4.积、商的算术平方根的性质 (1)积的算术平方根的性质:ab=a?b(a≥0,b≥0) (2)商的算术平方根的性质:a b= a b (a≥0,b>0). 5.确定二次根式所含字母的取值范围 若二次根式有意义,只要被开方数大于或等于零即可.即当a≥0时,a有意义. 6.最简二次根式 (1)被开方数中不含分母,即根号内无分母,分母内无根号. (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,即开方开得尽. 我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式. 7.同类二次根式 如果几个二次根式化成最简二次根式后,它们的被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 注:(1)前提条件:二次根式是最简二次根式. (2)被开方数相同. 本节重点讲解:两个性质,三个概念
初二数学下册练习题
1、△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC ,ED ⊥BC ,DF//AB ,求证:AD 与EF 互相垂直平分。 A B C D E F 2、我市某中学举行“中国梦?校园好声音”歌手大赛,初、高中部根据初赛成绩,各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示. (1)根据图示填写下表; (2)结合两队成绩的平均数和中位数,分析哪个队的决赛成绩较好; (3)计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定. 3、在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如,图中的一次函数的图象与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形. (1)求函数3 34y x =- +的坐标三角形的三条边长; (2)若函数3 4 y x b =-+(b 为常数)的坐标三角形周长为16, 求此三角形的面积. 选手编号
4、如图,已知在□ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G,H分别在BA和DC 的延长线上,且AG=CH,连接GE,EH,HF,FG.求证:四边形GEHF是平行四边形. F G E H C D B A 5、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料,学校与图书馆的路程是4千米.小聪骑自行车,小明步行,当小聪从原路回到学校时,小明刚好到达图书馆.图中折线OA-AB-BC和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系,请根据图象回答下列问题: (1)小聪在图书馆查阅资料的时间为________分钟,小聪返回学校的速度为_________千米/分钟; (2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式; (3)当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是多少千米? 6、“如图1,在正方形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC边上的一点,且∠FAE=∠EAD, (1)求证:EF⊥AE. (2)将“正方形”改为“矩形”、其他条件均不变,如图2,你认为仍然有“EF⊥AE”.若你同意,请以图2为例加以证明;若你不同意,请说明理由.
八年级下数学重点题型(二)
第 1 页 共 3 页 1.若分式 1 -x x 有意义,则x 的取值范围为 A .x ≠1 B .x >1 C .x ≥1 D .x <1 2.下列四个点,在反比例函数x y 3= 图象上的是 A .(1, 2) B .(3, -1) C .(-1, -2) D .(2 3, 2) 3.下列计算正确的是 A .4 2 2--=?a a a B .422)(a a =- C .4212 =? ? ? ??-- D .414 -=- 4.下列分式的变形:①b a b a 22- =-;② n mn m 1= ;③ xy y y x y += +2 1. 其中正确的个数有 A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 5.下列命题:①对顶角相等;②全等三角形的对应边相等;③如果两个实数是正数,它 们的积是正数.其中逆命题是正确的个数有 A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 6.若A (1x ,-1 )、B (2x ,-3)两点均在反比例函数x k y = (k <0)的图象上,则1x 与2x 的大小关系为 A .1x >2x B .1x <2x C .1x =2x D .无法判断 7.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧 化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变. 密度y 是体积V 的反比例函数,它的图象如图所示. 则当V=3 m 3时,二氧化碳的密度y 为 A .1.1kg/m 3 B .2.2 kg/m 3 C .3.3 kg/m 3 D .4.4 kg/m 3 8.下列图形中阴影部分面积相等的是 A .①③ B .②④ C .①④ D .③④ 9.已知x 为整数,且分式 2 221 x x +-的值为整数,则x 可取的值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ) (第9题)
人教版初二数学下册同步精编讲义
第1讲二次根式 知识点1 二次根式的概念 二次根式的概念:一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 注意:①“”称为二次根号; ②a(a≥0)是一个非负数. 【典例】 【题干】下列各式中:①;②;③;④;⑤, 一定是二次根式的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【方法总结】 本题考查了二次根式的定义:一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.根据二次根式的定义进行判断即可.
【随堂练习】 1.(2018春?滨江区期末)当a=﹣3,则=____. 2.(2018春?东西湖区期中)已知是整数,则满足条件的最小正整数n是____. 知识点2 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件: (1)二次根式的概念.形如(a≥0)的式子叫做二次根式. (2)二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数. (3)二次根式具有非负性.(a≥0)是一个非负数. 【典例】 1.若代数式有意义,则x满足的条件是______________. 【方法总结】 本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围.注意:当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零.
【随堂练习】 1.(2018春?汶上县期末)若已知a、b为实数,且+2=b+4,则a+b= ___. 2.(2018春?瑶海区期中)若在实数范围内有意义,则x_____. 3.(2018春?黄陂区期中)若x,y为实数,y=,则4y﹣3x的平方根是____. 知识点3 二次根式的性质与化简 二次根式的性质与化简 (1)二次根式的基本性质: ①≥0;a≥0(双重非负性). ②=a(a≥0). ③=|a|= (2)二次根式的化简: ①利用二次根式的基本性质进行化简; ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.=?(a≥0, b≥0),=(a≥0,b>0) (3)化简二次根式的步骤:
八年级下册数学三角形练习题
A B C D E P A B C D E 12 3 O 习 题 课 1、 已知,Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=50°,则 ∠B= ; 2、在Rt △ABC 中,∠C=90°,则 ∠A 与∠B ; 3、在△ABC 中,若∠B 与∠C 互余,则△ABC 是 三角形。 PE+PD= 。 (6) (7) (8)
14、如图,AB∥CD,∠BAC和∠ACD的平分线相较于点H,E为AC的中点,EH=2cm,求AC的长。 A B E H C D 15、如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=AD,DE⊥AC,垂足为D,∠C=28°, 求∠AED的度数。 A D B E C 16、△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,AE平分∠CAB。求证:AE=2CE。 17、已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,CE为AB边上的中线, 且∠BCD=3∠DCA。求证:DE=DC。
18、如图:AB=AC,AD⊥BC于D,AF=FD,AE∥BC且交BF的延长线于E,若AD=9,BC=12,求BE的长。 19、在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边的中点,点F在AC边上,DE与CF平行且相等。 求证:AE=DF。 20、已知,如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD⊥BC于D,E为AC的中点,AB=6,求DE的长。 21、已知:△ABC中,∠ACB=90°,CD是高, ∠A=30°.求证:BD=1 4 AB. A D C B
22、(2008,湖北)已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD= 1 2 AC. 则∠A=_____. 23、已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC. 24、如图3,AD 是ΔABC 的中线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,且BE=CF , 求证:(1)AD 是∠BAC 的平分线 (2)AB=AC 25、已知如图,AE ⊥ED ,AF ⊥FD ,AF=DE ,EB ⊥AD ,FC ⊥AD , 垂足分别为B 、C.试说明EB=FC. 26、如图,已知BE ⊥AD ,CF ⊥AD ,且BE =CF .请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线?请说明你判断的理由. A B C D F E A E D C B F 1 2 A B C 12 E F 图3D
初二数学最短路径问题家庭作业_题型归纳
初二数学最短路径问题家庭作业_题型归纳 一、精心选一选 1.在平面直角坐标系中有两点,要在轴上找一点,使它到的距离之和最小,现有如下四种方案,其中正确的是() A. B. C. D. 考查目的:本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题,体现了转化的思想. 答案:D. 解析:利用轴对称的性质,把y轴同侧的两点转化为y轴异侧的两点,根据“两点之间,线段最短”,找到点C的位置,故选D. 2.如图,在等边△ABC中,边BC的高AD=4,点P是高AD上的一个动点,E是边AC的中点,在点P运动的过程中,存在PE+PC的最小值,则这个最小值是() A.4 B.5 C.6 D.8 考查目的:本题主要考查等边三角形的性质及利用轴对称解决最短的线段和问题. 答案:A. 解析:根据等边三角形的性质可知点B是点C关于AD的对称点,PE+PC的最小值就是BE 的长,即等边△ABC的高,故选A. 3.如图,正方形ABCD的边长为8,△BCE是等边三角形,点E在正方形内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为() A.4 B.6 C.8 D.10
考查目的:本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题,体现了转化的思想. 答案:C. 解析:由题意知,点B是点D关于AC的对称点,因此,PD+PE的和可以转化为PB+PE的和.因为PB+PE的和的最小值BE,即为8,故选C. 二、细心填一填 4.两点的所有连线中,最短. 考查目的:本题主要考查“两点之间,线段最短”的基本事实. 答案:线段. 解析:根据基本事实“两点之间,线段最短”即可得出答案. 5.连接直线外一点与直线上各点所有连线中,最短. 考查目的:本题主要考查连接直线外一点与直线上各点所有连线中,垂线段最短的基础知识.答案:垂线段. 解析:连接直线外一点与直线上各点所有连线中,垂线段最短. 6.如图,四边形ABCD中,△BAD=120°,△B=△D=90°,在BC,CD上分别找一点F,使△AEF周长最小,此时△AEF+△AFE的度数为. 考查目的:本题主要考查利用轴对称解决较复杂的路径问题.分别作点A关于CD、BC的对称点,画出基本图形是解题的关键. 答案:120°. 解析:如下图,分别作点A关于CD、BC的对称点A1,A2,连接A1A2,分别交CD、BC于点F,E,即此时△AEF周长最小.由对称可知△A1=△DAF,△A2=△BAE,因为△A1+△A2=180°-△BAD=60°,所以△DAF+△DAF=△A1+△A2=60°,所以△EAF =60°,所以△AEF+△AFE=180°-△EAF=120°.
八年级数学培优讲义下册
第十六章 分式 测试1 从分数到分式 学习要求 掌握分式的概念,能求出分式有意义,分式值为0、为1的条件. 课堂学习检测 一、填空题 1.用A 、B 表示两个整式,A ÷B 就可以表示成的形式,如果除式B 中,该分式的分式. 2.把下列各式写成分式的形式: (1)5÷为. (2)(3x +2y )÷(x -3y )为. 3.甲每小时做x 个零件,做90个零件所用的时间,可用式子表示成小时. 4.n 公顷麦田共收小麦m 吨,平均每公顷的产量可用式子表示成吨. 5.轮船在静水中每小时走a 千米,水流速度是b 千米/时,轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时. 6.当x =时,分式 1 3-x x 没有意义. 7.当x =时,分式1 1 2--x x 的值为0. 8.分式 y x ,当字母x 、y 满足时,值为1;当字母x ,y 满足时值为-1. 二、选择题 9.使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是( ) A .a ≠0 B .a ≠1 C .a ≠-1 D .a +1>0 10.下列判断错误.. 的是( ) A .当32 =/x 时,分式2 31-+x x 有意义 B .当a ≠b 时,分式2 2b a ab -有意义 C .当2 1- =x 时,分式x x 41 2+值为0 D .当x ≠y 时,分式x y y x --2 2有意义 11.使分式 5 +x x 值为0的x 值是( ) A .0 B .5 C .-5 D .x ≠-5 12.当x <0时, x x | |的值为( ) A .1 B .-1 C .±1 D .不确定 13.x 为任何实数时,下列分式中一定有意义的是( ) A .x x 12+ B . 1 1 2--x x C . 1 1 +-x x D . 1 1 2+-x x
最新北师大版八年级数学下册各章重点难点题汇总 附解析
北师大版八年级数学下册各章重点难点题汇总 第一章三角形的证明 1等腰三角形 1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则其顶角为() A.45° B.135° C.45°或67.5° D.45°或135° 【答案】D 【解析】 ①如图,等腰三角形为锐角三角形, ∵BD⊥AC,∠ABD=45°, ∴∠A=45°, 即顶角的度数为45°. ②如图,等腰三角形为钝角三角形, ∵BD⊥AC,∠DBA=45°, ∴∠BAD=45°, ∴∠BAC=135°. 故选:D. 2.如图,在△AB C中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE =BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】在△AB C中,∠A=36°,AB=AC,求得∠ABC=∠C=72°,且△ABC是等腰三角形;因为CD是△ABC的角平分线,所以∠ACD=∠DCB=36°,所以△ACD是等腰三角形;在△BD C中,由三角形的内角和求出∠BDC=72°,所以△BDC是等腰三角形;所以BD=BC=BE,所以△BDE 是等腰三角形;所以∠BDE=72°,∠ADE=36°,所以△ADE是等腰三角形.共5个. 故选D 3.如图,在△AB C中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为() A.15° B.17.5° C.20° D.22.5° 【答案】A 【解析】在△AB C中,AB=AC,∠A=30°,根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=75°,所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-75°=105°,根据角平分线的性质可得∠DBC=37.5°,∠ACD=52.5°,即可得∠BCD=127.5°,根据三角形的内角和定理可得∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-37.5°-127.5°=15°,故答案选A. 4.如图,在△AB C中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为() A.30° B.40° C.45° D.60° 【答案】D 【解析】∵△AB D中,AB=AD,∠B=80°, ∴∠B=∠ADB=80°,
八年级数学下册培优讲义(人教版)
2016年最新人教版八年级数学下册培优辅导讲义 第1讲 二次根式的概念及性质 考点·方法·破译 1.二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一 个非负数时, 才有意义. 非负性:a a ()≥0是一个非负数. 注意:此性质可作公式 记住,后面根式运算中经常用到. 2. ()( )a aa 20 =≥ 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一 个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:a a a =≥() ()20 3. a a a a a a 200==≥-? ? ||()() 注意:(1)字母不一定是正数.(2)能开得尽方的因式移到根 号外时,必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外. 4. 公式a a a a a a 200==≥ - ? ? ||( )()与()()a aa 20=≥的区别与联系(1)a 2表示求一个数的平方的算术根,a 的范围是一切实数(2)()a 2表示一个数的算术平方根的平方,a 的范围是非负数.(3)a 2和()a 2的运算结果都是非负的. 经典·考题·赏析 【例1】下列各式1, 其中是二次根式的是_________(填序号). 【变式题组】 1、下列各式中,一定是二次根式的是( )A D 2______个 【例2】有意义,则x 的取值范围是 . 【变式题组】 1、使代数式有意义的x 的取值范围是( ) A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 -4 3 --x x
3、如果代数式mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=++2009,则x+y= 解题思路:式子(a ≥0), ,y=2009,则x+y=2014 【变式题组】 1、 ,则x -y 的值为( ) A .-1 B .1 C .2 D .3 2、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求xy 的值 3、当a 1+取值最小,并求出这个最小值 。 4、已知a b 是1 2 a b + +的值 。 5、若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3 。 6、若17的整数部分为x ,小数部分为y ,求 y x 1 2+ 的值 . 【例4】若则 . 【变式题组】 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数,且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A .3 B .– 3 C .1 D .– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x 2 -4|+652+-y y =0,则第三边长 为 . 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 【例5】 化简: 的结果为( )A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 【变式题组】 1、在实数范围内分解因式: 2 3x -= ;4244m m -+= 429__________,2__________x x -=-+= 2、 1-= 5-x x -5a 50 ,50x x -≥??-≥? 5x =2 ()x y =+()2 240a c --=,= +-c b a 21a -+
八年级数学下册总复习题
1..(8分)(2013·昭通中考)如图,在菱形ABCD 中,AB=2,∠DAB=60°,点E 是AD 边的中点,点M 是AB 边上的一个动点(不与点A 重合),延长ME 交CD 的延长线于点N,连接MD,AN. (1)求证:四边形AMDN 是平行四边形. (2)当AM 为何值时,四边形AMDN 是矩形?请说明理由. 2、梯形ABCD ,AD ∥BC ,∠A=90°AB=8cm ,AD=24cm ,BC=26cm 点,点P 从A 出发沿线段AD 的方向以1cm/s 的速度运动;点Q 从C 出发沿线段CB 的方向以3cm/s 的速度运动,点P 、Q 分别从A 、C 同时出发,当点P 运动到点D 时,点Q 随之停止运动.设运动时间为t (秒). (3分)(1)设四边形PQCD 的面积为S ,写出S 与t 之间的函数关系(注明自变量的取值范围); 解: (3分)(2)当t 为何值时,四边形PQCD 为等腰梯形? 解: 3.在图1,2,3中,给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ,,的坐标(如图所示),写出图1,2,3中的顶点C 的坐标,它们分别是(52),,( , ),( ,______) (2)在图4中,给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ,,的 坐标(如图所示),求出顶点C 的坐标 y C ()A (40)D , (12)B , O x 图1 y C ()A (0)D e , ()B c d , O x 图2 y C ()A a b , ()D e b , ()B c d , O x 图3 Q P D C y C ()A a b , ()D e f ()B c d , O x 图4
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括: -①确定起点的最短路径问题即已知起始结点,求最短路径的问题.-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题. -③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径. ④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径. 【问题原型】.“将军饮马”,“造桥选址”,“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等. 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.】【十二个基本问题
】1作法图形【问题原理 A A 两点之间线段最短.P l.交点即为P连AB,与l l PA+PB 最小值为AB.B B,使上求一点P在直线l 值最小.PA+PB 【问题2】“将军饮马”作法图形原理 A A B'B关于作B l 的对称点两点之间线段最短.B
l l PA+PB 最小值为 A B P.'.连A B ',与l 交点即为 P,使P在直线l 上求一点B' PA+PB 值最小. 3】作法图形原理【问题 P'l 1l 1 分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短.M P PM +MN +PN 的最小值为对称点P'和P',连P'P',P l l l 、上2.M,P'''的长.N与两直线交点即为线段P 分别求点在直线l212N M 、N,使△PMN的周长P'' 最小. 4】作法【问题图形原理 l 1l1Q' Q关于直线分别作点Q 、P Q两点之间线段最短.MP l 、l P'Q'和的对称点21P周长的最小四边形PQMN l2',与两直线交点即Q连'P值为线段P'P''的长.l 2、l l 上分别求点在直线.,N为M21N ,使四边形N 、M PQMN P' 的周长最小. 【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文
八年级下册数学复习专题
C B A C B A D C B A c b a C B A 八年级下册数学复习资料姓名 第一章直角三角形 1、直角三角形的性质: ①直角三角形的两锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 如图,在Rt?ABC中,∵CD是斜边AB的中线,∴ 1 2 CD AB =。 例·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 . ③在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角 边等于斜边的一半。 如图,在Rt?ABC中,∵∠A=30°,∴ 1 2 BC AB =。 例·在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则下列结论中正确的是()。 A.AB=2BC B.AB=2AC C.AC2+AB2=BC2 D.AC2+BC2=AB2 ④在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么 这条直角边所对的角等于30°。 如图,在Rt?ABC中,∵ 1 2 BC AB =,∴∠A=30°。 例·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是。 ⑤勾股定理及其逆定理 (1)勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等 于斜边c的平方,即222 a b c +=。 求斜边,则 22 c a b =+;求直角边,则22 a c b =-或22 b c a =-。 例·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD⊥AB,,∠CAD=60°,则拉线AC 的长是________m。 例·若一个直角三角形的两边长分别为6和10,那么这个三角形的第三条边长是______。(2)逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系222 a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。 分别计算“ 22 a b +”和“2c”,相等就是Rt?,不相等就不是Rt?。
八年级数学最短路径问题
八年级数学最短路径问题 一、两点在一条直线异侧 例:已知:如图,A,B在直线L的两侧,在L上求一点P, 使得PA+PB最小。 练习、如图,A.B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直) 二、两点在一条直线同侧 例:图所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短. 练习:如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同侧,为了方便灌溉作物,?要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两地,问该站建在河边什么地方,?可使所修的渠道最短,试在图中确定该点。
三、一点在两相交直线内部 例:已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形ABC,使三角形周长最小. 练习1:已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形ABC周长最小值为OA.求∠MON的度数。 练习2:某班举行晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO,BO),AO桌面上摆满了桔子,OB 桌面上摆满了糖果,坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短? 提高训练 一、题中出现一个动点。 1.当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值. 例:如图,在正方形ABCD中,点E为AB上一定点, 且BE=10,CE=14,P为BD上一动点,求PE+PC最小值。
人教版八年级数学下期末复习题及答案
八年级期末测试一 一、选择题(每题2分,共24分) 1、下列各式中,分式的个数有( ) 31-x 、12+a b 、πy x +2、21--m 、a +21、2 2 ) ()(y x y x +-、x 12-、115- A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、如果把 223y x y -中的x 和y 都扩大5倍,那么分式的值( ) A 、扩大5倍 B 、不变 C 、缩小5倍 D 、扩大4倍 3、已知正比例函数y =k 1x (k 1≠0)与反比例函数y =2 k x (k 2≠0)的图象有一个交点的坐标为(-2,-1),则它的另一个交点的坐标是 A. (2,1) B. (-2,-1) C. (-2,1) D. (2,-1) 4、一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下,倒下部分与地面成30°夹角,这棵大树在折断 ) D 、菱形或直角梯形 ( ) .1+(1-x)=x-2 ABC 是( ) D 、以上答案都不对 (第9题) 8、如图,等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AD=BC=8,AB=10,CD=6,则梯形ABCD 的面积是 ( ) A 、1516 B 、516 C 、1532 D 、1716 9、如图,一次函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点,则图中使反比例函数的值小于一次函数的
G 值的x 的取值范围是( ) A 、x <-1 B 、x >2 C 、-1<x <0,或x >2 D 、x <-1,或0<x <2 10、在一次科技知识竞赛中,两组学生成绩统计如下表,通过计算可知两组的方差为 2S 172甲=,2S 256乙=。下列说法:①两组的平均数相同;②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳 (A 11n 千米/A 、 2n m +12、 2<16、梯形ABCD 中,BC AD //,1===AD CD AB ,?=∠60B 直线MN 为梯形ABCD 的对 称轴,P 为MN 上一点,那么PD PC +的最小值 。 A E D