复旦大学数学分析答案
【篇一:复旦大学2009年数学分析考研真题】
s=txt>一.填空题
xln(1?x)
=_____
x?01?cosx
y(1?x)
(2)微分方程y=的通解是____,这是变量可分离方程
x
(1)lim(3)设
?
是锥面
(0?z?1)的下侧,则
?
??xdyd?z2
ydz?d3x(?1z)d?xdy____
(4)点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离d=____ (5)设a=? ?21?
?,2阶矩阵b满足ba=b+2e,则b=____
??12?
(6)设随机变量x与y相互独立,且均服从区间?0,3?上的均匀分布,则p{max(x,y)?1}?____ 一、选择题
(1)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f(x)?0,f(x)?0,?x为自变量x在
x
,处的增量,?y与dy分别为f(x)在点
x
处对应的增量与微分,若
?x?0,则()
(a)0?dx??y (b)0??y?dy (c)?y?dy?0 (d)dy??y?0 (2)设f(x,y)为连续函数,则(a
)(c
)
?
?
d??f(rcos?,rsin?)rdr等于()
1
n
xf(x,y)dy(b
)
0f(x,y)dy f(x,y)dx
0y
f(x,y)dx(d
)0
(3)若级数
?a
n?1?
?
收敛,则级数()
(a)
?a
n?1?
n
收敛(b)
?(?1)a收敛
nn
n?1?
?
(c)
?anan?1收敛(d)?
n?1
an?an?1
收敛 2n?1
(4)设f(x,y)和?(x,y)均为可微函数,且?y(x,y)?0,已知(x0,y0)是f(x,y)在
约束条件?(x,y)?0下的一个极值点,下列选项正确的是()(a)若fx(x0,y0)?0,则fy(x0,y0)?0(b)若fx(x0,y0)?0,则
fy(x0,y0)?0 (c)若fx(x0,y0)?0,则fy(x0,y0)?0 (d)若
fx(x0,y0)?0,则fy(x0,y0)?0
(5)设?1,?2,?,?s都是n维向量,a是m?n矩阵,则()成立(A)若?1,?2,?,?s线性相关,则a?1,a?2,?a?s线性相关(B)若?1,?2,?,?s线性相关,则a?1,a?2,?a?s线性无关(C)
若?1,?2,?,?s线性无关,则a?1,a?2,?a?s线性相关(D)
若?1,?2,?,?s线性无关,则a?1,a?2,?a?s线性无关
(6)设A是3阶矩阵,将a的第2列加到第1列上得b,将b的第一列的?1倍加到
?110?
??
第2列上得c,记p??010?,则()
?001???
(a)c?pap(b)c?pap (c)c?pap(d)c?pap
(7)设a,b为随机事件,p(b)?0,p?a|b??1,则必有()(a)p?a?b??p(a)(b)p?a?b??p(b) (c)p(a?b)?p(a)(d)
p(a?b)?p(b)
2
(8)设随机变量x服从正态分布n(?1,?1),y服从正态分布
n(?2,?2),且
2
t
t
?1
?1
p{x??1?1}?py??2?1},则()
(a)?1??2 (b)?1??2 (c)?1??2 (D)?1??2
三、简答题
(1)设区域d?{(x,y)|x2?y2?1,x?0},计算二重积分i?
1?xy
22??1?x?yd
(2)设数列{xn}满足0?x1??,xn?1?sinxn(n=1,2?),求:(i)
证明limxn存在,并求之
x??
1
(ii)
?xn?1?xn2
计算lim?? x??
?xn?
(3)设函数f(u)在(0,?
)内具有二阶导数,且z?f满足等式
?2?0 2
?x?y
(i)
f(u)
?0 验证f(u)?u
(ii)
若f(1)?0,f(1)?1,求函数f(u)的表达式
(4)设在上半平面d?{(x,y)|y?0}内,函数f(x,y)是有连续偏导数,且对任意
2
的t?0都有f(tx,ty)?tf(x,y)
证明:对l内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
?
l
yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0
(5)已知非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4??1?
?4x1?3x2?5x3?x4??1有3个线性无关的解
?ax?x?3x?bx?1
34?12
(I)证明方程组系数矩阵A的秩 r(a)?2 (ii)求 a , b 的值及方程
组的通解
(6)设3阶实对称矩阵a的各行元素之和均为3,向
量?1?(?1,2,?1)t,?2?(0,?1,1)t
实线性方程组ax?0的两个解,(i)求a的特征值与特征向量(ii)求:正交矩阵Q与对角矩阵A,使得qaq?a
t
?1
?2,?1?x?0??1
(7)随机变量x的概率密度为fx(x)??,0?x?2令y?x2,f(x,y)为二
维随机变
?4
?0,其他??
量(x,y)的分布函数
(I)求Y的概率密度fy(y) (ii)f??
?1?
??,0?x?1
?
(8)设总体x的概率密度f(x,0)??1??,1?x?2其中?实未知参数(0???1),
?0,其他?
x1,x2,?,xn为来自总体x的简单随即样本,记n为样本值
x1,x2,?,xn中小于
1的个数,求?的最大似然估计
【篇二:复旦《数学分析》答案第四章1、2节】
题 4.1 微分和导数
⒈半径为
1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜,试用求微
?43
?r
3
,每只球镀铜所需要铜的质量为
2
m???v?4??r?r?1.12
g。
?0
⒉用定义证明,函数y点之外都是可微的。证当x?0时,?y?微。当x?0时,
?y??
?
3
x2
在它的整个定义域中,除了x这一
?x
2
是?x的低阶无穷小,所以y
?
x2
在x?0不可
?x?x?o(?x),
所以y
?
在x?0是可微的。
习题 4.2 导数的意义和性质
1.设f?(x0)存在,求下列各式的值:⑴⑵⑶ lim
?x?0
f(x0??x)?f(x0)
?x
;
lim
x?x0
f(x)?f(x0)
x?x0
;
。
f(x0?(??x))?f(x0)
(??x)
??f(x0)。
lim
h?0
f(x0?h)?f(x0?h)
h
解 (1)lim
⑵⑶
f(x0??x)?f(x0)
?x
f(x)?f(x0)
x?x0
?x?0
??lim
?x?0
x?x0
lim?lim
f(x0?(x?x0))?f(x0)
x?x0
x?x0?0
?f(x0)。
lim
f(x0?h)?f(x0?h)
f(x0?h)?f(x0)
h
h?0
f(x0?h)?f(x0)
h
h?0
?lim
h?0
?lim
?2f(x0)
。
2.⑴用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数;⑵求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程;⑶求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程;
⑷问该抛物线上是否有(a,b),过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行?解 (1)因为
?y?x
?
2(x??x)?3(x??x)?1?(2x?3x?1)
?x
f(x)?lim
?y?x
?4x?3。
2
2
?4x?3?2?x,所以
?x?0
(2)由于(3)由于
f(?1)??1,切线方程为y??1?[x?(?1)]?(?2)??x?3。 f(?2)??5,法线方程为y??
1?5
[x?(?2)]?1?
x?75
。
(4) 抛物线顶点与焦点的连线平行于y轴,即斜率为无穷大,由(1)可
知不存在x,使得f(x)??,所以这样的点(a,b)不存在。 3.设f(x)为(??,??)上的可导函数,且在x?0的某个邻域上成立
f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x),
其中?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小。求曲线y?处的切线方程。解记f(x)?由lim
lim
f(x)x
x?0
f(x)在(1,f(1))
可得limf(x)??2f(1)?0,即f(1)?0f(1?sinx)?3f(1?sinx),
x?0
。
?lim
8x??(x)
x
x?0
?8
与
,
f(x)x
x?0
?f(1?sinx)?f(1)sinx??f(1?sinx)?f(1)sinx?
?lim???3lim??4f(1)???x?0x?0sinxx?sinxx???
得到f(1)?2。于是曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y?2(x?1)。 4.证明:从椭圆的一个焦点发出的任一束光线,经椭圆反射后,反
射光必定经过它的另一个焦点。(见图4.2.5)
证设椭圆方程为
xa
22
?
yb
22
?1,a?b?0,焦点坐标为
a?b
2
2
(?c,0),c?
。假设(x0,y0)为椭圆
上任意一点,当y0斜率为tan?
??
bx0ay0
22
?0时结论显然成立。现设y0?0,则过此点的切线 y0x0?c
2
2
,(x0,y0)与焦点(?c,0)连线的斜率为tan?1?,和此连线与切线夹角的正切为k
x0a
22
?
tan?1?tan?1?tan?1tan?
。利用c2
?a?b
?
y0b
2
2
?1代入计算,得到
y0
k?
x0?c1?
y0
?
bx0ay0?bx0
222
2
?
ay0?bx0?cx0b
2
2
2
22222
(a?b)x0y0?acy0
?
ab?cx0b
2
222
cx0y0?acy0
?
b
2
cy0
。
x0?cay0
(x0,y0)与另一焦点(c,0)连线的斜率为tan?2? y0x0?c
,此连线与切线
夹角的正切为
tan??tan?21?tan?tan?2
??
bx0ay0
y0
22
?
y0x0?cbx0
2
?
cx0b?ay0?bx0
2
2
2
22222
1?
?2
x0?cay0
(a?b)x0y0?acy0
?
cx0b?ab
2
2
222
cx0y0?acy0
?
2
cy0
?k
。
由于两个夹角的正切相等,所以两个夹角相等,命题得证。 5.证明:双曲线xy
?a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三
2
角形的面积恒为2a。
证假设(x0,y0)为双曲线上任意一点,则x率为yx
??
y0?a
2
,过这一点的切线斜
a
22
x0
??
y0x0
,切线方程为
y?y0??
y0x0
(x?x0),
易得切线与两坐标轴的交点为(0,2y0)和(2x0,0)。切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积为
s?
12
(2y0)(2x0)?2x0y0?2a
2
。
6.求函数在不可导点处的左导数和右导数。
⑴ y⑶ y
?|sinx|;
⑵ y
??cosx
;
?e?|x|;
?f(x)?|sinx|
⑷ y?|ln(x?1)|.
解(1)对y,当x?0时,
f?(0)?lim
|sin?x|?|sin0|
?x
|sin?x|?|sin0|
?x
?x?0?
?lim
sin?x?x?x?sin?x
?x?0?
?1, ??1,
f?(0)?lim
?x?0?
?lim
?x?0?
所以x?0是不可导点。又由于函数y是周期为?的函数,所有不可导点为x?k? (2)y
为x?2k?
(k?z),且f??(k?)??1,?f(x)?
f??(k?)?1。
?
x2
?,由(1)可知不可导点
2
(k?z),且经计算得到
f??(2k?)??
?|x|
,f??(2k?)?
2
。
(3)y?
?
f(x)?e
不可导点只有x?0,且
e
f(0)?lim
?1
?x?0?
?x
??1,f(0)?lim
?
e
?x
?1
?x?0?
?x
?1。
(4)y?
f(x)?ln(x?1)f?(0)?limf?(0)?lim 不可导点只有x?0,且
?1, ?x
?ln(?x?1)
?lim??1。 ?x?0??x?lim
?x?0?
|ln(?x?1)|?ln1?x
|ln(?x?1)|?ln1
?x
ln(?x?1)
?x?0?
?x?0?
7.讨论下列函数在x
⑴⑶
?|x|1?asiny??
?0,
1x
?0处的可导性:
,(a?0)x?0,x?0;
⑵⑷
?x2,y??
?ax?b,
a
??ex2,y??
x?0,x?0;x?0,x?0.
?xex,
y??2
?ax,
x?0,x?0;
1?a
解(1)?lim
x?0
?y?x
|?x|?lim
?x?0
sin
1
?lim?|?x|asgn(?x)sin1??0
???x?0x??
?x
,所以函数
在x?0可导。
(2)如果函数在x?0可导,则必须在x?0连续,由f(0?)?可得b?0。当b?0时,f
?
f(0)?b
(0)?lim
?x?0?x
2
?x?0?
?0,f?(0)?lim
a?x?0?x
?x?0?
?a
,