习题9－2图
习题20-3图
Ox
F Oy F g
m g
m 2D
d
α
习题20-3解图
第9章 动量矩定理及其应用
9－1 计算下列情形下系统的动量矩。
1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。
2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。
解：1、2
s m L O ω=（逆） 2、（1）
)1()(R
e mv e v m mv p A A C +
=+==ω
R
v me J R
e R mv J e R mv L A A A
C C B )
()
()(2
2
-++=++=ω
（2）)(e v m mv p A C ω+==
ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++=
9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。 解：
ω)(2
2r m R m J L B A O O ++=
9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。不计铰链摩擦。
解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6565=
=
=l OD d
刚体作定轴转动，初瞬时ω=0 l
m g l m g J O ?+?
=22
α
2
2
2
2
32)2(212
131ml
ml l m ml J O =+??+
=
即mgl
ml 2
532=
α
2
r a d /s 17.865==
g l
α
g
l a D 36256
5t
=
?=
α
由质心运动定理： Oy D F mg a m -=?33t
44912
1136
2533==
-=mg g m
mg F Oy N （↑）
=ω，0n
=D
a ， 0=Ox F
(a)
v (b)
习题9－1图
（b ）
习题9－5解图
J
习题9－5图
9－4 卷扬机机构如图所示。可绕固定轴转动的轮B 、C ，其半径分别为R 和r ，对自身转轴的转动惯量分别为J 1和J 2。被提升重物A 的质量为m ，作用于轮C 的主动转矩为M ，求重物A 的加速度。
解：对轮C ：
r F M J C T 2-=α 对轮B 和重物A ：
mgR R F mR J -'=+T 2
1)(α
运动学关系：
ααR r a C ==
2
2
2
22
12)(r
mR R J r J rR
mgr M a ++-=
9－5 图示电动绞车提升一质量为m 的物体，在其主动轴上作用一矩为M 动力偶。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件对各自转动轴的转动惯量分别为J 1和J 2；传动比r 2 : r 1 = i ；吊索缠绕在鼓轮上，此轮半径为R 。设轴承的摩擦和吊索的质量忽略不计，求重物的加速度。
解：对轮1（图a ）： 111Fr M J -=α 对轮2（图b ）：
mgR r F mR J -'=+222
2)(α
2211ααr r =；21ααi =
2
12
22i
J mR
J mgR Mi ++-=
α
重物的加速度：2
12
22)(i
J mR
J R mgR Mi R a ++-=
=α
9－6 均质细杆长2l ，质量为m ，放在两个支承A 和B 上，如图所示。杆的质心C 到两支承的距离相等，即AC = CB = e 。现在突然移去支承B ，求在刚移去支承B 瞬时支承A 上压力的改变量ΔF A 。
解：mge J A =α，mge me ml =+α)3
1
(2
2
A C F mg ma -=
2
2
233e l ge
e a C +==α
2
2
233e l mge
mg F A +-=
mg e l l
e mg e
l mge
F mg F A A )
3(232
332
2
2
222
2
2+-=
-
+=
-=
?
习题9－6图
习题9－4图
题9-4解图
习题9－6解图
α
习题9－7图
习题9－8图
(b) 习题9－7解图
9－7 为了求得连杆的转动惯量，用一细圆杆穿过十字头销A 处的衬套管，并使连杆绕这细杆的水平轴线摆动，如图a 、b 所示。摆动100次所用的时间为100s 。另外，如图c 所示，为了求得连杆重心到悬挂轴的距离AC = d ，将连杆水平放置，在点A 处用杆悬挂，点B 放置于台秤上，台秤的读数F = 490N 。已知连杆质量为80kg ，A 与B 间的距离l =1m ，十字头销的半径r = 40mm 。试求连杆对于通过质心C 并垂直于图面的轴的转动惯量J C 。
解：图（a ），1<<θ时，
θθ
)(r d mg J A +-= 0)(=++θθr d mg J A 0
)
(=++θθ
A
J r d mg
A J r d m g )
(n +=
ω
)
(π
2π
2n
r d m g J T A
+==
ω （1）
2
)
(r d m J J C A ++=
（2）
由图（b ）： 0
=∑A
M ，625
.085===
mg
Fl d
m
代入（1）、（2），注意到周期s
2=T
，得
2
2
2
2
2
m
kg 45.17)
665.0π
8.9(665.080)]
(π
)[()(π
)
(?=-??=+-+=+-+=
r d g r d m r d m r d m g J C
9－8 图示圆柱体A 的质量为m ，在其中部绕以细绳，绳的一端B 固定。圆柱体沿绳子解开的而降落，
其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度h 时圆柱体中心A 的速度υ和绳子的拉力F T 。
解：法1：图（a ） T F mg ma A -= （1） r F αJ A T = （2） r α
a A =
（3）
2
21mr
J A =
解得 mg
F 3
1T =
（拉）
g
a A 3
2=
（常量）
（4）
习题9－10图
习题9－9图
C
T
F
(a)
由运动学
gh
h a v A A 33
22=
=（↓）
法2：由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可对瞬心C 用动量矩定理：
m g r J C =? （5） 2
2
2
3m r
m r J J A C =
+=
又 r
a A =?
g
a A 3
2=（同式（4））
再由 T
F mg ma
A
-=
得 mg
F 3
1T =
（拉）
gh
h a v A A 33
22=
=（↓）
9－9 鼓轮如图，其外、内半径分别为R 和r ，质量为m ，对质心轴O 的回转半径为ρ，且ρ2
= R ·r ，鼓轮在拉力F 的作用下沿倾角为θ的斜面往上纯滚动，F 力与斜面平行，不计滚动摩阻。
试求质心O 的加速度。
解：鼓轮作平面运动，轴O 沿斜面作直线运动：
θs i n f mg F F ma O --= （1） R F Fr m f 2
+=αρ （2） 纯滚：αR a O = （3）
代入（2） R F Fr R
a m O f 2
+=?
ρ
（4）
解（1）、（4）联立，消去F f ，得 )
(s i n )(2
2
2
ρθ
+-+=
R m m g R r R FR a O
9－10 图示重物A 的质量为m ，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C 沿水平轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮D 并绕在滑轮B 上。滑轮B 与滚子C 固结为一体。已知滑轮B 的半径为R ，滚子C 的半径为r ，二者总质量为m ′，其对与图面垂直的轴O 的回转半径为ρ。求：重物A 的加速度。
题9-9解图 f
习题9－11图
习题9－12图
(a)
解：法1：对轮： Fr TR J O -=α （1）
T
F a m O -=' （2）
对A ： T
mg
ma A -=
（3）
又：t H
H A a a a ==绳 以O 为基点： t n n t
HO
HO
O H
H
a
a
a a
a
++=+
ααα)(t
t r R r R a a a O HO H -=-=-=（→）
α)(r R a A -=（↓） （4）
由上四式联立，得（注意到2
ρ
m J O
'=）
1
)
()
()
()()
(22
2
2
2
2
2
+-+?'=
-++'-=
r R r m m g
r R m r m r R mg a A ρρ
法2：对瞬心E 用动量矩定理（本题质心瞬心之距离为常数）
)(r R T J E -=α T mg ma A -= 又α)(r R a A -=
)(2
22r m r m J J O E +'='+=ρ 可解得：1
)
()(22
2
+-+?'=
r R r m m g
a A
ρ
9－11 图示匀质圆柱体质量为m ，半径为r ，在力偶作用下沿水平面作纯滚动。若力偶的力偶矩M 为常数，滚动阻碍系数为δ，求圆柱中心O 的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。
解：f
M
M J D -=α
（1）
N
f
F M
δ=
mg
F =N 2
23mr
J D =
r
a =
α
代入（1），得
mr
mg M a 3)
(2δ-=
又：F ma
=
r
mg M F 3)
(2δ-=
9－12 跨过定滑轮D 的细绳，一端缠绕在均质圆柱体A 上，另一端系在光滑水平面上的物体B 上，如图所示。已知圆柱A 的半径为r ，质量为m 1；物块B 的质量为m 2。试求物块B 和圆柱质心C 的加速度以及绳索的拉力。滑轮D 和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。 解：对轮C ： r F J C T =α
T 11F g m a m C -=
对物块B ：T 2F a m B = 且：αr a a B C +=；2
121r m J C =
解得：g
m m m a B
2
113+=
；g m m m a C
2
12132++=
g m m m m F 2
121T 3+=
t
HO
a
O a
(b)
g
m F
绳
H a H
T '
O
α
T
(a)
a A
F
·
E
题9-12解图
T ′
1
(a)
x
(b)
9－13 图示匀质圆轮的质量为m ，半径为r ，静止地放置在水平胶带上。若在胶带上作用拉力F ，并使胶带与轮子间产生相对滑动。设轮子和胶带间的动滑动摩擦因数为f 。试求轮子中心O 经过距离s 所需的时间和此时轮子的角速度。
解：图（a ），轮O 平面运动： 1F ma O =
（1） mg F -=N 0
（2） r
F J O 1=α
（3）
由（2），
mg
F =N
动滑动时，
fmg
fF F ==N 1
（4） （4）代入（1），得
fg a O = （5）
（4）代入（3），得（2
21m r
J O
=）
r
fg 2=
α （6）
由（5）代入下式：
2
21t
a s O =
得
fg
s t 2=
fgs
r
t 22=
=αω（逆）
9－14 图示匀质细杆AB 质量为m ，长为l ，在图示位置由静止开始运动。若水平和铅垂面的摩擦均略去不计，试求杆的初始角加速度。
解：法1：P 为AB 杆瞬心，2
l PC
=
，图（a ）：
θ
αsin 2
l m g J P ?
=
2
31ml
J P =
θ
αsin 23l
g =
∴
（1）
法2：AB 杆平面运动
B C F x
m = （2）
mg F y
m A C -= （3）
θ
θαcos 2sin 2
l F l F J B
A C -?= （4）
θ
sin 2l x C =，θcos 2
l y C
=
θθ ?=cos 2l x C ，
θθ ?-=sin 2
l y C θ
θθθθ
θ ?=?+
?-=cos 2
cos 2
sin 22
l l l
x
C （5）
θθθ
θθθ ?-=?-?-=sin 2
sin 2cos
22l l l
y
C
（6） （∵初瞬时0=θ ）
αθ
= （7） 将（5）、（6）、（7）代入（2）、（3）、（4）得
B F m l =?αθcos 2
（8）
习题9－13图
习题9－14图
IC
F IC
F 'C
(a)
mg
F m l A -=?-αθsin 2
（9）
θ
θαcos 2sin 2
12
1
2
B A F l F l ml -
=?
（10）
解得：l
g 2sin 3θα=
，与（1）式相同。
9－15 圆轮A 的半径为R ，与其固连的轮轴半径为r ，两者的重力共为W ，对质心C 的回转半径为ρ，缠绕在轮轴上的软绳水平地固定于点D 。均质平板BE 的重力为Q ，可在光滑水平面上滑动，板与圆轮间无相对滑动。若在平板上作用一水平力F ，试求平板BE 的加速度。
解：对轮C ：r F R F J C T f -=α；2ρg
W J C =
f T F F a
g W C -=；αr a C =
对板BE ： f F F a g
Q BE -=；α)(r R a BE -=
求得：)
()()(2
222
r W r R Q g
r R F a BE ++--=ρ
*9－16 图示水枪中水平管长为2l ，横截面面积为A ，可绕铅直轴z 转动。水从铅直管流入，以相对速度υr 从水平管喷出。设水的密度为ρ，试求水枪的角速度为ω时，流体作用在水枪上的转矩z M 。
解：水平管上各点科氏加速度相同
r C 2v ωa ?= r C 2v ωa =
科氏惯性力均布，其合力（如图）：
lA v a lA F ρωρr C IC 2=??=
r
2
IC 22
2v A l l F M
z
ωρ?=?
?=
*9－17 图示匀质细长杆AB ，质量为m ，长度为l ，在铅垂位置由静止释放，借A 端的水滑轮沿倾斜角为θ的轨道滑下。不计摩擦和小滑轮的质量，试求刚释放时点A 的加速度。
解：图（a ），初瞬时0=AB ω，以A 为基点，则
τ
CA
a a a a a +=+=A Cy Cx C 即θ
αθcos 2
cos τ
l a a a a A CA A Cx
-=-=
（1） θ
αθsin 2
sin τ
l a a CA Cy =
=
（2）
由平面运动微分方程：
习题9－15图
习题9－17图
习题9－16图
习题9－15解图
(a)
A
(a)
(a)
θ
sin mg ma
Cx
=
∴θ
sin g a Cx
=
（3）
N cos F mg ma Cy -=θ
（4）
θ
αsin 2N l F J C ?
=
即
θ
αsin 2
12
1N 2
l F m l ?
=
（5）
解（2）、（4）、（5）联立，得 )
sin 31(2sin 32
θθα+=
l g （6）
由（1）、（3），得 θαθsin cos 2
g l
a A =?-
（6）代入，得
g a A θ
θ
2
sin 31sin 4+=
*9－18 匀质细长杆AB ，质量为m ，长为l ，CD = d ，与铅垂墙间的夹角为θ，D 棱是光滑的。在图示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C 的加速度和D 处的约束力。
解：初始静止，杆开始运动瞬时，D v 必沿支承处切向，即沿AB 方向，所以D a 此时沿AB 方向，如图（a ），以D 为基点：
由t
n CD CD D Cy Cx a a a a a ++=+
1t
α?==d a a CD Cx
（1）
由AB 作平面运动：
N
sin F mg ma
Cx
-=α
（2） αcos mg ma Cy = （3）
d
F ml N 12
12
1=?α
（4）
由（3），α
c o s g a Cy
=
解（1）、（2）、（4）联立
22
2
12sin 12d
l gd a Cx +=α
2
2
2N 12sin d
l mgl F +=
α
9－19 如图所示，足球重力的大小为4.45N,以大小1v =6.1m/s,方向与水平线夹400角的速度向球员飞来，形成头球。球员以头击球后，球的速度大小为1v '=9.14m/s ，并与水平线夹角为200角。若球－头碰撞时间为0.15s 。试求足球作用在运动员头上的平均力的大小与方向。
解：击球前后球的动量改变为)(1v v p 1
-'=m ?
)]
40sin 1.6(20sin 14.9),40cos 1.6(20cos 14.9[45.4o
o o o -----=g
p ?
=0.454（13.26,0.795）=（6.02,0.361）N·s
设p ?与水平夹角α
06
.002
.6361.0tan ==
=αx
y p p ??
o
431.3=α
03
.622=+=
y
x
p
p p ??? N·s
2.4015.003
.6==
=
t
p F ?N
人头受力F
与p
?反向，即向左下方。
习题9－18图
习题9－19图
碰末
(b) 碰前 (a) 转到最高处
ωC v
(c)
(a)
(b)
9－20 边长为a 的方形木箱在无摩擦的地板上滑动，并与一小障碍A 相碰撞。碰撞后绕A 翻转。试求木箱能完成上述运动的最小初速0v ；木箱碰撞后其质心的瞬时速度C v 与瞬时角速度ω。
解：碰前方箱以初速度0v 平移，碰后箱绕A 点转动直到翻倒，碰撞中箱只在A 点受冲量，重力等其它有限力的冲量可忽略不计，因此碰撞前后箱对A 点的动量矩守恒。
设箱的质量为m
2
2
2
2
3
2)
22(
6
1ma
a m ma
J md
J C A =
+=
+=
对A 动量矩守恒：ω
2
03
2
2
ma a mv =
a
v 430=ω
（1）
若箱刚能完成翻转，则转到最高点时0
=ω，从碰后到
最高点机械能守恒，即
a
mg
ma a mg
22322122
2=+
ω
由（1）得，a
mg a
v ma
)2
12(
1693
12
202
-=?
ag
v 207.016
32
0=
ag
v 05
.10= 由此，a
g a
v 788
.0430==
ω
，
ag
a v C 557.02
==
ω（方向如图示）
*9－21 台球棍打击台球，使台球不借助摩擦而能作纯滚动。假设棍对球只施加水平力，试求满足上述运动的球棍位置高度h 。
解：设杆给球的冲量为I ，受击后球心速度为v ，球的角速度为ω，球质量为m 。
动量定理：v m I = （1）
对质心动量矩定理：ω
2
52)(mr r h I =
-（2）
纯滚动：ωr v =
（3）
（1）、（3）代入（2），消I 、v 得
习题9－20图 习题9－21图
A
'(a)
r
r h 5
2=
- d
r h 10
75
7=
=
*9－22 匀质杆长为l ，质量为m ，在铅垂面内保持水平下降并与固定支点E 碰撞。碰撞前杆的质心速度为C v ，恢复因数为e 。试求碰撞后杆的质心速度C v '与杆的角速度ω。
解：碰后E 点不动，C ev v ='n
杆只有D 点受冲量，故相对D 点动量矩守恒
ω
)16
12(
42
2
ml l m l mv C +
=?
由此可解出：l
v C 712=
ω
设碰后C 点速度C v '出向上，由图(a)可知
C
D
C v e l v v )7
3(4
-
=-'='ω
由此式知，当7
3>
e 时，C
v '确实向上，若7
3 v '应向下。 习题9－22图 绪论单元测试 1 【多选题】(2分) 下面哪些运动属于机械运动？ A. 发热 B. 转动 C. 平衡 D. 变形 2 【多选题】(2分) 理论力学的内容包括：。 A. 动力学 B. 基本变形 C. 运动学 D. 静力学 3 【单选题】(2分) 理论力学的研究对象是：。 A. 数学模型 B. 力学知识 C. 力学定理 D. 力学模型 4 【多选题】(2分) 矢量力学方法（牛顿-欧拉力学）的特点是：。 A. 以变分原理为基础 B. 以牛顿定律为基础 C. 通过力的功（虚功）表达力的作用 D. 通过力的大小、方向和力矩表达力的作用 5 【多选题】(2分) 学习理论力学应注意做到：。 A. 准确地理解基本概念 B. 理论联系实际 C. 熟悉基本定理与公式，并能在正确条件下灵活应用 D. 学会一些处理力学问题的基本方法 第一章测试 1 【单选题】(2分) 如图所示，带有不平行的两个导槽的矩形平板上作用一力偶M,今在槽内插入两个固连于地面的销钉，若不计摩擦，则。 A. 板不可能保持平衡状态 B. 板必保持平衡状态 C. 条件不够，无法判断板平衡与否 D. 在矩M较小时，板可保持平衡 2 【单选题】(2分) A. 合力 B. 力螺旋 C. 合力偶 3 【单选题】(2分) 关于力系与其平衡方程式，下列的表述中正确的是： A. 在求解空间力系的平衡问题时，最多只能列出三个力矩平衡方程式。 B. 在平面力系的平衡方程式的基本形式中，两个投影轴必须相互垂直。 C. 平面一般力系的平衡方程式可以是三个力矩方程，也可以是三个投影方程。 D. 任何空间力系都具有六个独立的平衡方程式。 E. 平面力系如果平衡，则该力系在任意选取的投影轴上投影的代数和必为零。 4 【单选题】(2分) C (a-2) D R (a-3) (b-1) D R 第1篇 工程静力学基础 第1章 受力分析概述 1－1 图a 、b 所示，Ox 1y 1与Ox 2y 2分别为正交与斜交坐标系。试将同一力F 分别对两坐标系进行分解和投影，并比较分力与力的投影。 习题1－1图 解：（a ）图（c ）：11 s i n c o s j i F ααF F += 分力：11 cos i F αF x = ， 11 s i n j F αF y = 投影：αcos 1F F x = ， αs i n 1F F y = 讨论：?= 90°时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。 （b ）图（d ）： 分力：22)cot sin cos (i F ?ααF F x -= ，22sin sin j F ? α F y = 投影：αcos 2F F x = ， )cos(2α?-=F F y 讨论：?≠90°时，投影与分量的模不等。 1－2 试画出图a 和b 习题1－2图 比较：图（a-1）与图（b-1）不同，因两者之F R D 值大小也不同。 （c ） 2 2 x （d ） 1－3 试画出图示各物体的受力图。 习题1－3图 B 或(a-2) B (a-1) (b-1) F (c-1) 或(b-2) (e-1) F (a) 1－ 4 图a 所示为三角架结构。荷载F 1作用在铰B 上。杆AB 不计自重，杆BC 自重为W 。试画出b 、c 、d 所示的隔离体的受力图，并加以讨论。 习题1－4 图 1－ 5 图示刚性构件ABC 由销钉A 和拉杆D 支撑，在构件C 点作用有一水平力F 。试问如果将力F 沿其作用线移至D 或E （如图示），是否会改为销钉A 的受力状况。 解：由受力图1－5a ，1－ 5b 和1－5c 分析可知，F 从C 移至E ，A 端受力不变，这是因为力F 在自身刚体ABC 上滑移；而F 从C 移至D ，则A 端受力改变，因为HG 与ABC 为不同的刚体。 1 (f-1) 'A (f-2) 1 O (f-3) F F'F 1 (d-2) F y B 21 (c-1) F A B 1 B F Dx y (b-2) 1 (b-3) F y B 2 A A B 1 B F 习题1－5图 2-3 圆盘绕杆AB 以角速度rad/s 转动，AB 杆及框架则绕铅垂轴以角速度 100=?10=ωrad/s 转动。已知mm ，当140=R °=90θ，rad/s ，时，试求圆盘上两相互垂直半径端点C 点及D 点的速度和加速度。 5.2=θ 0=θ 解：圆盘的运动是由三个定轴转动组成的复合运动，且三个轴交于O 点。取O 点为基点，建立动坐标系Oxyz ，Oxyz 绕铅垂轴以角速度ω转动，则牵连角速度e ω=?ωk 。圆盘相对于动坐标系的运动是由框架绕Ox 轴的转动和圆盘绕Oy 轴的转动组成，则圆盘的相对角速度为： r θ =?+?ωi j 所以圆盘的绝对角速度为： r θω′=?+??e ω=ω+ωi j k C 点及 D 点的矢径分别为： 0.140.5()C m =?+r i j 0.50.14()D m =+r j k 由公式可得C 点及D 点的速度： =×v ωr 5 1.412.75(/)C C m s ′=×=++v ωr i j k 190.35 1.25(/)D D m s ′=×=+?v ωr i j k 下面来求加速度。首先求圆盘相对于动系的相对角加速度ε，在动系中，我们可以步将 框架绕Ox 轴的转动看作牵连运动，牵连加速度为r 1e θ=?ωi 1r ，牵连角加速度为ε；将圆盘绕Oy 轴的转动看作相对运动，相对角速度为1e = θ =?j 0ωθ ，相对角加速度为。则根据角加速度合成公式并由此时1r 0==ε? e e r r =+×+εεωωε= 可得： 211250(/)r e r rad s θ =×=?×?=?εωωi j k 接下来求圆盘的绝对角加速度，再次利用角加速度合成公式，并由0e =ε可得： 2100025250(/)e r r rad s ′=×+=+?εωωεi j k 利用公式a 可得C 点及D 点的加速度 ： (=×+××εr ωωr ) 第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂 线的夹角 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时， 轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A ==ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度＝12 rad/s ，＝30，＝60，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 A B C v 0 h 习题6－2图 P AB v C A B C v o h 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v F DB CB DB F ' 习题3－3图 第3章 静力学平衡问题 3－1 图示两种正方形结构所受荷载F 均已知。试求其中1，2，3各杆受力。 解：图（a ）：045cos 23=-?F F F F 2 2 3= （拉） F 1 = F 3（拉） 045cos 232=?-F F F 2 = F （受压） 图（b ）：033='=F F F 1 = 0 F 2 = F （受拉） 3－2 图示为一绳索拔桩装置。绳索的E 、C 两点拴在架子上，点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接，在点D 加一铅垂向下的力F ，AB 可视为铅垂，DB 可视为水平。已知α= 0.1rad.，力F = 800N 。试求绳AB 中产生的拔桩力（当α很小时，tan α≈α）。 解：0=∑y F ，F F ED =αsin αs i n F F ED = 0=∑x F ，DB ED F F =αcos F F F DB 10tan == α 由图（a ）计算结果，可推出图（b ）中：F AB = 10F DB = 100F = 80 kN 。 3－3 起重机由固定塔AC 与活动桁架BC 组成，绞车D 和E 分别控制桁架BC 和重物W 的运动。桁架BC 用铰链连接于点C ，并由钢索AB 维持其平衡。重物W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点B 的滑轮，并沿直线BC 引向绞盘。长度AC = BC ，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角?=∠ACB 的函数来表示钢索AB 的张力F AB 以及桁架上沿直线BC 的压力F BC 。 (b-1) 习题3－1图 (a-1) (a-2) '3 (b-2) 习题3－2图 F 6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?c o s )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 习题6－2图 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB 解：如图（a ），应用虚位移原理： F 1 ?術 F 2 ? 8r 2 = 0 书鹵 / 、 8r 1 8r 2 tan P 如图（b ）： 8 廿y ； 8 厂乔 8r i 能的任意角度B 下处于平衡时，求 M 1和M 2之间的关系 第12章 虚位移原理及其应用 12-1图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。 试求平衡时, 解：应用解析法，如图(a )，设0D = y A = 2l sin v ； y^ 61 sin v S y A =21 cos ：心； 溉=61 COST 心 应用虚位移原理： F 2 S y B - R ? S y A =0 6F 2 —2R =0 ; F i =3F 2 习题12-1图 F 2之值。已知：AC = BC 12-2图示的平面机构中, D 点作用一水平力F t ，求保持机构平衡时主动力 =EC = DE = FC = DF = l 。 解：应用解析法，如图所示： y A =lcos ) ； x D =3lsin v S y A - -l sin^ 心；S x D =3I COS ^ & 应用虚 位移原理： —F 2 ? S y A - F I 8x^0 F 2sin J - 3F t cos ^ - 0 ； F 2 = 3F t cot^ 12-3图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为 小关系 习题12-3 B 和3不计楔块自重与摩擦。求竖向力 F 1与F 2的大 F i F 2| (a ) (b) F i 8i - F 2 12-4图示摇杆机构位于水平面上，已知 OO i = OA 。机构上受到力偶矩 M 1和M 2的作用。机构在可 清华大学2004至2005年理论力学本科期末考试试卷 考试课程：理论力学 2004 年 1 月 班级姓名学号成绩 一、填空题（ 20 分，每小题 5 分） 1. 平面内运动的组合摆，由杆OA、弹簧及小球m组成(如图 1 示)。此系统的自由度数是 3 。 2. 质量为m1的杆OA 以匀角速度ω绕O 轴转动，其A 端用铰链与质量为 m、半径为r的均质小圆盘相连，小圆盘在半径为的固定2 圆盘的圆周表面作纯滚动，如图 2 所示。系统对O 轴的动量矩的大小为 系统的动能为。 3. 图 3 所示半径为R 的圆环在力偶矩为M 的力偶作用下以角速度ω匀速转动，质量为m的小环可在圆环上自由滑动。系统为理想、完整、非定常、双面约束系统，自由度数为 1 。 4．均质细杆AB 长L，质量为m，与铅锤轴固结成角α = 30°，并以匀角速度ω转动，如图 4 所示。惯性力系的合力的大小等于 。 二、判断题(每题 2 分，共 20 分):请在每道题前面的括号内画×或√ ( √ )1. 在定常约束下质系的一组无穷小真实位移就是虚位移。( √ )2. 任意力系都可以用三个力等效代替。 ( × )3. 首尾相接构成封闭三角形的三个力构成平衡力系。 ( √ )4. 速度投影定理既适用于作平面运动的刚体，也适用于作一般运动的刚体。 ( √ )5. 如果一个两自由度系统的第二类拉格朗日方程存在两个独立的第一积分， 则其中至少有一个是广义动量积分。 ( × )6. 如果刚体的角速度不为零，在刚体或其延拓部分上一定存在速度等于零的点。 ( × )7. 作定轴转动的刚体的动量矩向量一定沿着转动轴方向。( √ )8. 刚体只受力偶作用时，其质心的运动不变。 ( × )9. 如果系统存在广义能量积分，不一定机械能守恒；而如果 第一章 习题4-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。 解：(1) 取O点为简化中心，求平面力系的主矢： 求平面力系对O点的主矩： (2) 合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力偶，大小是260Nm，转向是逆时针。 习题4－3．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。 解：(1) 平行力系对A点的矩是： 取B点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对B点的主矩是： 向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B，且： 如图所示； 将R B向下平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R B。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的矩形面积，作用点通过矩形的形心。 (2) 取A点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对A点的主矩是： 向A点简化的结果是一个力R A和一个力偶M A，且： 如图所示； 将R A向右平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R A。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的 三角形面积，作用点通过三角形的形心。 习题4-4．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m。 解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 (2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。校核： 结果正确。 (3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 习题4-5．重物悬挂如图，已知G=1.8kN，其他重量不计；求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。 解：(1) 研究整体，受力分析（BC是二力杆），画受力图： 习题9－2图 习题20-3图 Ox F Oy F g m g m 2D d α 习题20-3解图 第9章 动量矩定理及其应用 9－1 计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。 2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。 解：1、2 s m L O ω=（逆） 2、（1） )1()(R e mv e v m mv p A A C + =+==ω R v me J R e R mv J e R mv L A A A C C B ) () ()(2 2 -++=++=ω （2）)(e v m mv p A C ω+== ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++= 9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。 解： ω)(2 2r m R m J L B A O O ++= 9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。不计铰链摩擦。 解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6565= = =l OD d 刚体作定轴转动，初瞬时ω=0 l m g l m g J O ?+? =22 α 2 2 2 2 32)2(212 131ml ml l m ml J O =+??+ = 即mgl ml 2 532= α 2 r a d /s 17.865== g l α g l a D 36256 5t = ?= α 由质心运动定理： Oy D F mg a m -=?33t 44912 1136 2533== -=mg g m mg F Oy N （↑） =ω，0n =D a ， 0=Ox F (a) v (b) 习题9－1图 静力学习题及解答—静力学基础 静力学习题及解答—静力学基础 第12章 虚位移原理及其应用 12－1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。试求平衡时，主动力F 1与F 2的大小关系。 解：应用解析法，如图（a ），设OD = l θsin 2l y A =；θsin 6l y B = θθδcos 2δl y A =；θθδcos 6δl y B = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?A B y F y F 02612=-F F ；213F F = 12－2图示的平面机构中，D 点作用一水平力F 1，求保持机构平衡时主动力F 2之值。已知：AC = BC = EC = DE = FC = DF = l 。 解：应用解析法，如图所示： θcos l y A =；θsin 3l x D = θθδsin δl y A -=；θθδcos 3δ l x D = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?-D A x F y F 0cos 3sin 12=-θθF F ；θcot 312F F = 12－3 图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。求竖向力F 1与F 2的大小关系。 解：如图（a ），应用虚位移原理：0δδ2211=?+?r F r F 如图（b ）： β θtan δδtan δ2 a 1r r r ==；12 δ tan tan δr r θ β = 0δtan tan δ1211=? -?r θβF r F ；θ β tan tan 21?=F F 12－4 图示摇杆机构位于水平面上，已知OO 1 = OA 。机构上受到力偶矩M 1和M 2的作用。机构在可能的任意角度θ下处于平衡时，求M 1和M 2之间的关系。 习题12-1图 （a ） 习题12-2解图 习题12－3 （a ） r a （b ） 清华大学理论力学试题专用纸 考试类型：期中考试 考试时间：2006年11月12日 班级：__________ 姓名：__________ 学号：_________ 成绩：________ 一．判断下列说法是否正确，并简要说明理由（共5题，15分） 1. 速度投影定理给出的刚体上两点速度间的关系只适用于作平面运动的刚体。 2. 圆轮沿曲线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 3. 在复合运动问题中，相对加速度是相对速度对时间的绝对导数。 4. 虚位移是假想的、极微小的位移，它与时间、主动力以及运动的初条件无关。 5. 气象卫星在北半球上空拍摄到的旋风的旋转方向为顺时针方向。 二．填空题（共3题，25分） 1. (5分) 图1所示滑道连杆机构由连杆BC 、滑块A 和曲柄OA 组成。已知BO = OA = 0.1 m ，滑道连杆BC 绕轴B 按10rad t ?=的规律转动。滑块A 的速度为 ，加速度为 。 2. (5分) 点P 沿空间曲线运动，某瞬时其速度43(m/s)=+v i j ，加 速度的大小为210m/s ，两者之间的夹角为030。该瞬时点的轨迹在密切面内的曲率半径为 ，P 点的切线加速度为 。 3. (15分) 图2所示曲柄压榨机构，已知OA = r ，BD = DC = ED = l ，∠OAB = 90°，α = 30°。 记OA 杆的转动虚位移为δ?，则A r δ= ，B r δ= ，C r δ= ， D r δ= ，并请在图中标出它们的方向。 图1 三、计算题（25分） 在图3所示机构中，连杆AB 以 2.5rad/s ω=的匀角速度转动，杆BD 可沿与杆EF 固连的套筒滑动。求在图示位置时杆EF 的角速度和角加速度。 四、计算题（20分）图4所示起重机左侧履带较右侧履 带快，使机身在圆弧形轨道上前进。如已知起重机机臂的根部A 点在半径为15 m 的圆弧上 以速度v = 2 m/s 运动，机臂仰角arcsin 0.6θ=，角速度4rad/s θ=? ，角加速度20.5rad/s θ= ，机臂长AB = 30 m 。试求： 1. 机臂的绝对角速度和角加速度。 2. 机臂端点B 的速度和加速度。 五、计算题（15分） 图5中OA 杆以等角速度0ω绕O 轴转动，半径为r 的滚轮在OA 杆上作纯滚动， 已知1O B =，图示瞬时O 、B 在同一水平线上，1O B 在铅垂位置，30AOB ∠=°，求在此瞬时1O B 杆的角速度与角加速度以及滚轮的角速度与角加速度 提示：依次采用点的复合运动理论和刚体复合运动理论。 δ? 图2 B n 图5 图4 《理论力学》课程习题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】：本课程《理论力学》（编号为06015）共有单选题,计算题,判断题, 填空题等多种试题类型，其中，本习题集中有[判断题]等试题类型未进入。 一、单选题 1. 作用在刚体上仅有二力A F 、B F ，且0+=A B F F ，则此刚体________。 ⑴、一定平衡 ⑵、一定不平衡 ⑶、平衡与否不能判断 2. 作用在刚体上仅有二力偶，其力偶矩矢分别为A M 、B M ，且A M ＋0=B M ，则此刚体________。 ⑴、一定平衡 ⑵、一定不平衡 ⑶、平衡与否不能判断 3. 汇交于O 点的平面汇交力系，其平衡方程式可表示为二力矩形式。即()0=∑A i m F ，()0=∑B i m F ，但________。 ⑴、A 、B 两点中有一点与O 点重合 ⑵、点O 不在A 、B 两点的连线上 ⑶、点O 应在A 、B 两点的连线上 ⑷、不存在二力矩形式，∑∑==0,0Y X 是唯一的 4. 力F 在x 轴上的投影为F ，则该力在与x 轴共面的任一轴上的投影________。 ⑴、一定不等于零 ⑵、不一定等于零 ⑶、一定等于零 ⑷、等于F 5. 若平面一般力系简化的结果与简化中心无关，则该力系的简化结果为________。 ⑴、一合力 ⑵、平衡 ⑶、一合力偶 ⑷、一个力偶或平衡 6. 若平面力系对一点A 的主矩为零，则此力系________。 ⑴、不可能合成一个力 ⑵、不可能合成一个力偶 ⑶、一定平衡 ⑷、可能合成一个力偶，也可能平衡 7. 已知1F 、2F 、3F 、4F 为作用刚体上的平面共点力系，其力矢关系如图所示为平行四边形，因此可知________。 ⑴、力系可合成为一个力偶 ⑵、力系可合成为一个力 ⑶、力系简化为一个力和一个力偶 ⑷、力系的合力为零，力系平衡 8. 已知一平衡的平面任意力系1F 、2F ……1n F ，如图，则平衡方程∑=0A m ，∑=0B m ，∑=0Y 中（y AB ⊥），有________个方程是独立的。 ⑴、1 ⑵、2 ⑶、3 9. 设大小相等的三个力1F 、2F 、3F 分别作用在同一平面内的A 、B 、C 三点上，若AB BC CA ==，且其力多边形如b <>图示，则该力系________。 ⑴、合成为一合力 ⑵、合成为一力偶 ⑶、平衡 第8章 动量定理及其应用 8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA ＝AB ＝l ，θ＝45°，ω为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。 (2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。 (3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一 端O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。 解：（1）p = mv C = ωm l 2 5 ，方向同C v （解图（a ） ）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ω，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））； （3）j i p )60sin 2 60sin ()]60cos 2()60cos ([2121?+?+?-+?-=ωωωωl m l m l v m l v m j i 4 23]42)[(212121m m l l m m v m m +++- +=ωω（解图（c ））。 8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。 解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B ω ωωm l m l l m p p p BC AB 29 42=+=+= 方向同v B 。 习题8-1解图 (a) (b) (c) 习题8-1图 v (a) (b) (c) C 习题8－2解图2020年智慧树知道网课《理论力学(西安交通大学)》课后章节测试满分答案
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第 1 周习题为 1.2～1.9； 1.10～1.12 为选作。 1.1 举例说明由 F1 ? r = F2 ? r ，或者由 F1 × r = F2 × r ，不能断定 F1 = F2 。 解：若 F1 与 F2 都与 r 垂直，则 F1 ? r = F2 ? r = 0 ，但显然不能断定 F1 = F2 ； 若 F1 与 F2 都与 r 平行，则 F1 × r = F2 × r = 0 ，也不能断定 F1 = F2 ；
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
1.2 给定力 F = 3 (? i + 2 j + 3k ) ，其作用点的坐标为 (?3,?4,?6) 。已知 OE 轴上的 单位矢量 e =
3 (i + j + k ) ，试求力 F 在 OE 轴上的投影以及对 OE 轴之矩。 3 解：力 F 在 OE 轴上的投影
FOE = F ? e = 3 (?i + 2 j + 3k ) ?
3 (i + j + k ) = ?1 + 2 + 3 = 4 3
力 F 对坐标原点 O 之矩 i j k mO ( F ) = ? 3 ? 4 ? 6 = 3 (15 j ? 10k ) ? 3 2 3 3 3 根据力系关系定理，力 F 对 OE 轴之矩
mOE ( F ) = mO ( F ) ? e = 3 (15 j ? 10k ) ? 3 (i + j + k ) = 15 ? 10 = 5 3
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