内容 基本要求 略高要求
较高要求
二次根式的
化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则
会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）
板块一 二次根式的乘除
最简二次根式：
a 0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式
二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 二次根式的乘法法则a b ab 0a ≥，0b ≥） 二次根式的除法法则a a b
b =
（0a ≥，0b >）
利用这两个法则时注意a 、b ab a b =a 、b 都非负，否则不成立， (7)(5)(7)(5)-?---
一、二次根式的加减
1.同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：(x x a b x +=+
【例1】 35a -3a +是可以合并的二次根式，则____a =。
【例2】 a ）
A ．2a
B ．23a
C ．3a
D ．4a
中考要求
例题精讲
二次根式基本运算、分母有理化
【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：
【例3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）
．
【例4】若最简二次根式a2b
-的值．
a
【巩固】若a b
，的值是（）
，为非负数，a a b
A．02
a b
，或11
==
，D．20
==
==
，
a b
==
a b
，B．11
a b
，C．02
==
a b
【例5】已知最简根式a a,b的值（）
A．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组
【巩固】若a a，b为整数，则a=______，b=________；
【例6】=的整数解有组.
…这1999是同类二次根式的共有多少个？
2.二次根式的加减
【例7】
【例8】
【巩固】-
【例9】3
【例10】计算：+
【巩固】计算：-
【例11】 计算：-
【巩固】+-
【例12】 先化简后求值。当149
x y ==，
【例13
【例14】 设直角三角形的两条直角边分别为a b ，，直角边为c ，周长为C 。
（1）如果a b ==C 。
（2）如果a b ==，求C 。
3.二次根式的混合运算
【例15】 计算(-
【巩固】计算：
【巩固】计算：(
?- ?
【例16】 计
【例17】 计算：?
÷
?
【例18】 计算：)
1
2
【巩固】计算：
【巩固】计算：
【例19】 计算：
【例20】 计算：
【巩固】计算：2+=_________.
【巩固】计算：(1x x
++++-
【巩固】计算：(=_________.
【例21】计算：22
【巩固】计算：1617
+
【例22】计算：22
+-
【例23
++
【例24】计算：2
[+÷
【例25】求下列式子的值：22
-+，其中x y
x xy y
==-
【巩固】求下列式子的值：((272x x ++++，其中2x
=-
【例26
】 计
-÷
【例27】 计
-
=_______．
【例28】 计
【例29】
计算：(a b
-0a
b >>)
1.
下列各组二次根式中，属于可以合并的是（
）
A
B
C
D
2.
如果最简根式a +与2a +是同类二次根式，求100()a b +的值.
课后作业
4.计算：
5.÷
6.(5+.
7.-
8.下列计算中，正确的是（）
A．2222
=-=B．321
=-=
C．a
=-D．10 9.
16.3二次根式加减法教学设计（第一课时） 一、教材分析： 本节主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混和运算。学习本节之前，学生已经掌握了把二次根式化简成最简二次根式的方法，这是学习本节课的基础。本节课的重点是二次根式的加减及混合运算。本节课在以前及后续学习中起承上启下作用，因为本节既是第五章相关内容的发展，又是后面将学习的解直角三角形、一元二次方程、等章节的重要基础。 二、学情分析 我所带八年级一二班学生基础较差，两极分化较严重有部分学生对第五章平方根、立方根的知识掌握的不够扎实，对整式加减运算欠账比较多，因此学习本章时有困难。 三、教学目标： 1.知识与技能：探究二次根式加减法运算法则，会用二次根式加减法法则进行计算。 2.过程与方法：学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力。通过加减法运算，培养学生的运算能力。 3.情感态度与价值观：通过加减法运算解决生活中实际问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。 四、教学重难点 1.重点：首先把二次根式化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式。 2.难点：二次根式加减法的实际应用，去括号问题。 五、教学方法：自主探究、合作、讨论。 六、教学媒体：多媒体，白板。 七、教学活动过程 1、引入新课 【活动一】：计算下列各式 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合
并就是字母不变，把系数相加减。 【活动二】： 现有一块长7.5dm 、宽5dm 的木板，能否采用如教科书图16.3-1所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板？ 分析：由于大小正方形的边长分别为8和18，显然木板够宽，下面考虑木板是否够长。由于两个正方形的边长和为188+，这实际上是求8和18这两个二次根式的和，计算188+之前，我们先来看下面几道题怎么算？ 22+32（1）8-38+58（2）2 7+27+397 ?（3）3-23+2（4）3 师生行为:（1）学生分组讨论，探求方案。 （2）教师倾听学生的交流，指导学生探究。 教师关注：学生能否将8和18化成最简二次根式；能否将分配律运用到计算 中 。 师生行为：分析188+的计算过程 教师讲解点评： 师：用自己的语言描述二次根式加减法的法则. 生：二次根式加减法时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方
(分母有理化、二次根式化简 一、选择题 1. （2011?台湾17，4分）计算 6 3 125412 9? ÷ 之值为何（ ） A 、 12 3 B 、 63 C 、33 D 、 4 3 3 考点：二次根式的乘除法。 分析：把分式化为乘法的形式，相互约分从而解得． 解答：解：原式=63541212 9? ? =6 3． 故选B ． 点评：本题考查了二次根式的乘除法，把分式化为乘法的形式，互相约分而得． 2. （2011?贺州）下列计算正确的是（ ） A 、=﹣3 B 、（）2=3 C 、=±3 D 、+= 考点：二次根式的混合运算。 专题：计算题。 分析：根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可． 解答：解：A 、=3，此选项错误； B 、（）2=3，此选项正确； C 、=3，此选项错误；
D、+=+，此选项错误． 故选B． 点评：本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是注意开方的结果是≥0的数． 3.（2011黑龙江大庆，3，3分）对任意实数a，则下列等式一定成立的是（） A、a=a B、2a=－a C、2a=±a D、2a＝a 考点：二次根式的性质与化简。 专题：计算题。 分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误； B、a为正数时不成立，故本选项错误； C、=|a|，故本选项错误． D、故本选项正确． 故选D． 点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键． 4.（2011，台湾省，17,5分）下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（） A、3 B、6 C、2﹣1 D、3+3 考点：二次根式的混合运算；解一元一次方程。 专题：计算题。 分析：方程两边同除以（﹣1），再分母有理化即可． 解答：解：方程（﹣1）x=12，两边同除以（﹣1），得x=，
16.3二次根式的加减(1) 王义贞镇初级中学——陈莹英 一、复习回顾: 1.什么时最简二次根式？ （1）被开方数不含分母；分母不含根号； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2.把下列各根式化简： 3 11(8) 45(7) 32(6) 21)5(50 (4) 18(3) 48(2) 12)1( 3.下列3组根式各有什么特征? Λ23221522232)1(，，，，- Λ 3132,317,36,35,3)2(- Λ2 1,32,185,8,2)3(- 归纳总结：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数 相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 判断同类二次根式的关键是什么？ (1)化成最简二次根式， (2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
二、例 题 解 析 例1: 下列各式中,哪些是同类二次根式? 45 32481850121 2 注意： 判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次根式前面的因式及符号无关． 练习： 1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） 12,2.A 21,2.B 2,4.ab ab C 1,1.+-a a D 2.与 12是同类二次根式的是( ) A. 32 B 24 C. 125 27 16.D 三、思考与探究 例1.计算: 7 672)2(7 672)1(-+ 如何合并同类二次根式? 与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部都不变,二次根式的加减实质是合并同类二次根式．
292 )432(2 423222 4188=++=++=++ 总结二次根式加减运算的步骤 二次根式加减法的步骤： （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。 一化 二找 三合并 a a 259.345 -80.275 12.1++）（）（）（练习计算： 比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 二次根式的加减实质是合并同类二次根式．整式的加减的实质是合并同类项． 练习： 1.判断:下列计算是否正确?为什么? 22223.39494.23 838.1=-+=+-=+）（）（）（
上海市延吉第二初级中学数学拓展教学案 年级：八授课教师：丁晓玲授课时间：2013 年9 月日 课题1:二次根式分母分子有理化课时2 第1课时 （本章总课时：11） 课型新授 学习目标（涵盖教学目标的三个维度）1．理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化 2．能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算，会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式. 3．在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法。 教学重点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。教学难点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。 教学过程教师活动学生活动教学设 计说明 一、复习 引入新课回顾如何将 x 1分母有理化 二、典例讲解、 巩固练习一、解答题(共15道，每道8分) 1.已知a<0，化简— 答案：解：原式= = ∵∴从而 求得：又∵a<0, ∴a=-1. 解题思路：先用完全平方式对根号下的式子化简，然后根据算术平方根的双重非负性得出a的值，代入求解 易错点：算术平方根的双重非负性和完全平方式 试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算 2.若，求
答案：解：∴ ∵0 二次根式加减乘除运算 上次课程检测： 1.下列二次根式中与8不是同类二次根式的是（ ） A . 21 B. 50 C. 8 1 D . 54 2． ）． A ．20 3 B ． 2 3 C ． 2 3 D ．20 3 3.计算： （1 ）?÷ ?（2 ）10120096-??-+- ??? 4.当715+=x ,715-=y ,求22y xy x +-的值. 5.如图1，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有多少米. 新授 一、选择题： 1.估计4 18?的运算结果应在（ ） A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间 211x -= ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1 3.设a ＞0，b ＞0，则下列运算错误的是（ ） A . b a ab ?= B . b a b a +=+ C . a a =2)( D . b a b a = 图1 4. ① 3= 1 71 （ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 5.下列判断⑴12 3 和13 48 不是同类二次根式；⑵145 和125 不是同类二次根式； ⑶8x 与8x 不是同类二次根式，其中错误的个数是（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 6.如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） A 、 a B 、 1a 2 C 、3－a D 、－a 2 7．如图1，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ） A.S 1＝S 2 B.S 1＜S 2 C.S 1＞S 2 D.无法确定 8．如图2，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A ． B ．25 C ．5 D ．35 图2 图3 图4 二、填空 1．如图3，从点()02A ，发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 ． 2．如图4，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 3、二次根式外（内）的因式移到根号内（外） （1）化简a a 1-的结果是________． （2）已知a 二次根式分母有理化及应用 一、分母有理化 1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2. 有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式： a =来确定， ，b a -与b a -等分别互为有理化因式； ②两项二次根式：利用平方差公式来确定， 如： a + a 等分别互为有理化因式。 3. 分母有理化的方法与步骤 二、两种特殊有理化方法 1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。 6====； 2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。 分母有理化： 2 2 2 22222+ +?= ==。 总结： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 分母中含有 中分子分母同乘以分母中含有 例题1 )12013)(2012 201313 412 311 21( +++ +++ ++ + =（ ） A. 2010 B. 2011 C. 2012 D. 2013 解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。 答案：解：)12013)(2012 20131 341 231 121 ( +++ +++ ++ + =)12013)(20122013342312(+-++-+-+- =2013－1 =2012。 故选C 。 点拨：考查二次根式的分母有理化。主要利用了平方差公式，所以一般来说，二次根式的有理化因式是符合平方差公式特点的式子。 例题2 与2 12171-最接近的整数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：将原式进行分母有理化，再进行估算。 答案：解：原式= 832171 ?- = 2 2 )8(83231 +?- =2 )83(1-=8 31-=83+=223+≈5.828。 与6最接近。故选B 。 点拨：考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再进行分母有理化是解题的关键。 有理化在方程中的应用 示例 已知225x -－215x -＝2，则225x -+215x -的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：根据题意，225x -－215x -＝2，变形为225x -＝2+215x -，两边平方得x 2 =12 4 3 ，代入求值即可。 答案：∵225x -－215x -＝2，∴225x -＝2+215x -，两边平方得25－x 2 =4+15－x 2 +4215x -，即4215x -=6，2215x -=3，两边再平方得4（15－x 2 ）=9， 16.3二次根式加减法教学设计 （第一课时） 一、教材分析： 本节主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混和运算。学习本节之前，学生已经掌握了把二次根式化简成最简二次根式的方法，这是学习本节课的基础。本节课的重点是二次根式的加减。 二、学情分析 我班学生基础较差，两极分化较严重有部分学生对平方根、立方根的知识掌握的不够扎实，对整式加减运算欠账比较多，因此学习本章时有困难。 三、教学目标： 1.知识与技能：探究二次根式加减法运算法则，会用二次根式加减法法则进行计算。 2.过程与方法：学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力。通过加减法运算，培养学生的运算能力。 3.情感态度与价值观：通过加减法运算解决生活中实际问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。 四、教学重难点 1.重点：首先把二次根式化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式。 2.难点：二次根式加减法的实际应用，去括号问题。 五、教学方法：自主探究、合作、讨论。 六、教学媒体：多媒体，白板。 七、教学活动过程 1、引入新课 【活动一】：计算下列各式 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，把系数相加减。 【活动二】： 现有一块长7.5dm 、宽5dm 的木板，能否采用如教科书图16.3-1所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板？ 分析：由于大小正方形的边长分别为8和18，显然木板够宽，下面考虑木板是否够长。由于两个正方形的边长和为188+，这实际上是求8和18这两个二次根式的和，计算188+之前，我们先来看下面几道题怎么算？ 22+32（1）8-38+58 （2）2 7+27+397 ?（3）3-23+2（4）3 师生行为:（1）学生分组讨论，探求方案。 （2）教师倾听学生的交流，指导学生探究。 教师关注：学生能否将8和18化成最简二次根式；能否将分配律运 用到计算中 。 师生行为：分析188+的计算过程 教师讲解点评： 16.3二次根式的加减(一） 一、教学目标 知识与技能目标：通过自主探究概括同类二次根式的概念及二次根式加减法 法则 过程与方法目标：了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式，会利用 法则进行二次根式的加减运算 情感态度与价值观目标：通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣 二、教学重难点 重点：同类二次根式的概念及二次根式加减运算法则 难点：探讨二次根式加减法运算的方法，准确进行二次根式加减法的运算 三、教法学法 启发式、探讨式 四、教学过程设计 （一）类比引入，探求新知. 1、化简下列两组二次根式 2、观察上述两组二次根式，他们各有什么特征？ 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 3. 与 是同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 4、做一做 如何合并同类二次根式? ()=801=45()=a 92= a 255354)1(、）（、）（0532≥a a a 2412325 ()=-53541()= +a a 5323 与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部都不变. （二）理解应用，体验成功 1、例题讲解 总结：二次根式加减法的步骤 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式 （3）合并同类二次根式。 简称为：一化、二找、三合并 （三）课内练习 1.判断:下列计算是否正确? 2.计算 三.清点收获 由教师开出清单，学生进行清点 1.同类二次根式的定义? 2.二次根式加减运算的步骤? 3.如何合并同类二次根式? （六）课后作业 P14 1、2 2 4188)2(++7512)1(-()1232=-()94943+=+()2 22234=-) 62()5.024)(5(--+)53()2012)(3(-++) 2798(18)4(--5 2080)2(+-()3 121=+7 672)1(- 6 8 1 2 24 a + 1 a +1 2 3 5 6 6 2 3 3 3 75 8 32 二次根式加减运算（讲义） ? 课前预习 1. 有理数混合运算的操作步骤： ①观察 ，划 ； ②有序操作，依 ； ③ ． 2. 两大公式： ①平方差公式 ； ②完全平方公式 ． 3. 数轴上 A ，B 两点对应的实数分别为 1，3，点 B 关于点 A 的 对称点为 C ，若点 C 表示的数为 x ，则 x = ． ? 知识点睛 1. 同类二次根式： ． 2. 二次根式的加减法则： ① ；② ． 3. 实数混合运算顺序： 先算 ，再算 ，最后算 ．如果有括号， 先算括号里面的． ? 精讲精练 1. 下列各式与 是同类二次根式的是（ ） A. B ． C ． D ． 2. 与最简二次根式5 是同类二次根式，则 a = ． 3. 已知最简二次根式2 与则 a = ． 的和是一个二次根式， 4. 下列计算正确的是（ ） A ． + = B ． + = 6 C ． 2 + = 2 5. 计算： D ． 2 - = （1） 3 + ； （2） 3 - 5 ； 解：原式= 解：原式= 3 12 4 - 2a 2 3 24 2 3 18 8 9 2 3 1 10 10 24 1 2 2 28 700 1 3 48 32 8 49 2 1 8 2 （3） - 9 ； （4） - ； 解：原式= 解：原式= （5） - ； （6） -10 + ； 解：原式= 解：原式= （7） + - 54 ； （8） - 3 + ； 解：原式= 解：原式= （9） - + ； （10） 2 - 6 + 3 ． 解：原式= 解：原式= 6. 计算： （1） 50 ? ÷ - ；（2）( 45 + ? 18) - 2 ? - 20 ； ? ? ? 解：原式= 解：原式= （3） 1 ( + 3) - 3 ( + 27) ； 2 4 解：原式= 3 2 40 25 6 32 1 7 12 2 初二数学专题练习《二次根式》 一．选择题 1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 2．若1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（）A．=2B．= C．=x D．=x 4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 5．化简+﹣的结果为（）A．0 B．2 C．﹣2D．2 6．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x 7．下列式子运算正确的是（）A．B．C．D． 8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A．B．C．D． 二．填空题 9．要使代数式有意义，则x的取值范围是． 10．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为． 11．计算：=．12．化简：=．13．计算：（+）=．14．观察下列等式： 第1个等式：a1==﹣1， 第2个等式：a2==﹣， 第3个等式：a3==2﹣， 第4个等式：a4==﹣2， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个等式：a n=； （2）a1+a2+a3+…+a n=． 15．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=．16．已知：a＜0，化简=． 17．设，，，…，． 设，则S=（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．三．解答题 18．计算或化简：﹣（3+）； 19．计算：（3﹣）（3+）+（2﹣） 20．先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0． 21．计算：（+）×． 22．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3． 23．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0． 24．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：． 25．阅读材料，解答下列问题． 例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身； 当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零； 当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数． ∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即， 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想． 问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况； （2）猜想与|a|的大小关系． 26．已知：a=，b=．求代数式的值． 二次根式的加减说课稿 今天我说课的内容是义务教育课程标准试验教科书数学九年级上册，第二十一章《二次根式》第三节《二次根式的加减》第一课时。下面我将从教材分析、教学方法、学法指导、教学程序、板书设计等五个方面进行陈述。 一. 说教材 1，教材所处的地位和作用 本节是在上节学习的化简二次根式的基础上，进一步学习二次根式的加减。在化简二次根式的同时，引导学生概括出同类二次根式的概念。类比整式的加减运算中的合并同类项，给出二次根式的加减运算法则，进而进行二次根式的加减混合运算。 2,教学目标 知识与能力 1、了解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法。 2、使学生能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算， 过程与方法 正确掌握合并同类二次根式的方法 情感、态度与价值观 在探究合并同类二次根式的方法过程中，发展合作意识和合情推理能力. 教学准备制作课件，提高学生的学习兴趣 教学重点 : 二次根式加减法则及其应用。 教学难点 : 法则的探索与理解。 二，教法与学法：由于初三学生的数学思维特征有具体逻辑思维逐步过渡到抽象逻辑思维，但仍有很大程度的经验性，而二次根式需要有一定的抽象思维能力。因此，本节课运用引导探究法，在教师引导下学生进行自主探究的教学方法。 三，教学构思：本节课是在二次根式的化简的基础上的进一步学习，重点是探索二次根式的加减运算法则。在设计本课时教案时，先复习二次根式的化简，并由此引出同类二次根式的定义，注意引导学生对同类二次根式和同类项、二次根式的加减的合并同类项进行比较学习。在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，逐步渗透类比、概括等数学思想，提高学生用数学方法 二次根式的加减--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根 式，进行简单的二次根式加减运算； 2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根 式就叫做同类二次根式. 要点诠释： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根 式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外 的因式无关. 2.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释： (1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 要点二、二次根式的加减 1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简 二次根式，再把其 中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 要点三、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算 加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【典型例题】 类型一、同类二次根式 二次根式分母有理化综合训练 分母有理化： 在进行二次根式的运算时，如遇到1 32+这样的式子，还需要进一步的化简： ()()() 1313)13213)1321313)13213222-=--=--=-+-=+（（（，这种化去分母中根号的运算叫分母有理化. 笔记：分母有理化的方法 把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含_____________. 1、按要求填空： （1）把2 1分母有理化,分子分母应同时乘以_______,得到________; （2）把5 31+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （3）把1541 +分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （4）把 2371+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; 注意：()() b a b a b a -=-+ 2、分母中含有根号的二次根式分母有理化： （1） 121 （2）231 （3）541 （4） 52 （5） 812 （6）327 3、较为复杂的分母有理化练习： （1） 321+ （2）23321- （3）32347++ （4） 3211-+ （5）ab a b b a - （6）b a b a -- 4、计算（25＋1）（ 211+＋321+＋431+＋…＋100 991+）． 7、观察以下各式： 343 412323112121-=+-=+-=+，， 利用以上规律计算： () 120192018201913412311 21+??? ??++++++++ 二次根式的加减法 一、知识概述 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似． 2、二次根式的加减法法则 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并； (2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变． 3、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”； (2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式． 二、重难点知识 1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似． 2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律． 三、典型例题讲解 例1、计算： ． 分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并． 解： ． 例2、计算： 分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算． 二次根式分母有理化及应用 一、分母有理化 1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2. 有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式： a =来确定， ，b a- 与b a-等分别互为有理化因式； ②两项二次根式：利用平方差公式来确定， 如：a a 等分别互为有理化因式。 3. 分母有理化的方法与步骤 二、两种特殊有理化方法 1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。 6 ====； 2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。 分母有理化： 22 2 2222 2 ++? === 总结： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 分母中含有中分子分母同乘以分母中含有 例题1 )12013)(2012 20131 3 412 311 21( +++ +++ ++ + = （ ） A. 2010 B. 2011 C. 2012 D. 2013 解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。 答案：解：)12013)(2012 20131 341 231 121 ( +++ +++ ++ + =)12013)(20122013342312(+-++-+-+- =2013－1 =2012。 故选C 。 点拨：考查二次根式的分母有理化。主要利用了平方差公式，所以一般来说，二次根式的有理化因式是符合平方差公式特点的式子。 例题2 与2 12171-最接近的整数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：将原式进行分母有理化，再进行估算。 答案：解：原式= 832171 ?- = 2 2 ) 8(83231 +?- =2 )83(1 -=8 31-=83+=223+≈5.828。 与6最接近。故选B 。 点拨：考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再进行分母有理化是解题的关键。 有理化在方程中的应用 示例 已知225x -－215x -＝2，则225x -+215x -的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：根据题意，225x -－215x -＝2，变形为225x -＝2+215x -，两边平方得x 2 =12 4 3 ，代入求值即可。 答案：∵225x -－215x -＝2，∴225x -＝2+215x -，两边平方得25－x 2 =4+15－x 2 +4215x -，即4215x -=6，2215x -=3，两边再平方得4（15－x 2 ）=9， 化简，得x 2 =12 43，把x 2 =124 3代入225x -+215x -， 二次根式加减运算（讲义） ? 课前预习 1. 有理数混合运算的操作步骤： ①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③______________________． 2. 两大公式： ①平方差公式________________________； ②完全平方公式______________________． 3. 数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1，3，点B 关于点A 的对称点为C ，若点C 表 示的数为x ，则x =________． 3 2 1 -1 -2 -3 ? 知识点睛 1. 同类二次根式：_____________________________________． 2. 二次根式的加减法则： ①______________________；②_______________________． 3. 实数混合运算顺序： 先算__________，再算______，最后算______．如果有括号，先算括号里面的． ? 精讲精练 1. ） A ．6 B ．8 C ． 2 1 D ． 2. a =______． 3. 已知最简二次根式的和是一个二次根式，则a =________． 4. 下列计算正确的是（ ） A ．= B 6= C ．2+= D ．=5. 计算： （1） （2） 解：原式= 解：原式= （3； （4 解：原式= 解：原式= （5 （6 解：原式= 解：原式= （7 （8 解：原式= 解：原式= （9+ （10） 解：原式= 解：原式= 6. 计算： （1 （2）?- ?； 解：原式= 解：原式= （3）13 24-； 解：原式= （4） （5）； 15.3二次根式的加减运算 [学习目标] 1、了解二次根式（根号下仅限于数）的加减运算法则。 2、会进行二次根式的加减运算。 3、类比整式运算合并同类项，学习二次根式的加减，发展类比的数学思想，养成善于思考的好习惯。 [教学重点] 熟练进行二次根式加减运算 [使用方法与学法指导] 1、自学课本P98页试着做做，类比整式加减运算中合并同类项的法则，找到二次根式加减运算的方法。 2、根据自己的理解完成书上例1，体会二次根式加减运算的步骤。 3、独立完成P99页做一做和例2，加深对运算法则的理解和运用。 [学习过程] （一）复习回顾 1、同类项：在多项式中，我们把哪些所含相同，并且也相同的项叫做同类项。 2、合并同类项的法则是：相加，与不变。 3、计算：（1）2x-3x+5x （2）222 235 +- a b a b a b （二）预习导学 阅读课本例1前的内容，回答下列问题 1、观察 2、我们知道5倍，2倍，所以＝ 类似地＝＝，你能说出其中的道理吗？ 归纳总结：被开方数相同的二次根式可以进行，合并的实质就是 3 ）最简二次根式，将它们化简之后分别是，因此 归纳总结：进行二次根式的加减法运算时，应先将二次根式化为，然后将被开方数相同的的二次根式进行 3、 应用辨析：下列计算是否正确？为什么？ （1（23）6 （4（56）（三）合作交流 要求：先独立完成，再小组交流，再进行订正，看谁做的又对又快！限时6分钟 （四）跟踪训练 (1) （2 (3) （4）3 （五）知识应用 教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正形壁画送给老师，其中一张面积为800cm 2,另一张面积为450cm 2,他想，如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现 有1.2m 1.414≈） [自助餐] 1 2、设3x A ＝3x y B +=，如果A 、B 都是二次根式，求A+B 的值 [我的疑惑]咱们自学完导学案，请对老师谈谈你的收获与困惑 （六）课堂小结 1、二次根式的加减运算步骤： 当被开方数相同时，逆用乘法分配律，直接合并；当被开方数不相同时，先将每个二次根式化简为最简形式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2、二次根式的计算结果必须保证分母有理化。 （六）达标测试： 1、选择题（1 ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 2、计算： （1） （2 (2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编 分母有理化、二次根式化简 一、选择题 1. （2011?台湾17，4分）计算 6 3 125412 9? ÷ 之值为何（ ） A 、 12 3 B 、 63 C 、33 D 、 4 3 3 考点：二次根式的乘除法. 分析：把分式化为乘法的形式，相互约分从而解得． 解答：解：原式=63541212 9? ? =6 3． 故选B ． 点评：本题考查了二次根式的乘除法，把分式化为乘法的形式，互相约分而得． 2. （2011?贺州）下列计算正确的是（ ） A 、=﹣3 B 、（ ）2=3 C 、=±3 D 、+= 考点：二次根式的混合运算. 专题：计算题. 分析：根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可． 解答：解：A 、=3，此选项错误； B 、（ ）2=3，此选项正确； C 、=3，此选项错误； D、+=+，此选项错误． 故选B． 点评：本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是注意开方的结果是≥0的数． 3.（2011黑龙江大庆，3，3分）对任意实数a，则下列等式一定成立的是（） A、a=a B、2a=－a C、2a=±a D、2a＝a 考点：二次根式的性质与化简. 专题：计算题. 分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误； B、a为正数时不成立，故本选项错误； C、=|a|，故本选项错误． D、故本选项正确． 故选D． 点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键． 4.（2011，台湾省，17,5分）下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（） A、3 B、6 C、2﹣1 D、3+3 考点：二次根式的混合运算；解一元一次方程. 专题：计算题. 分析：方程两边同除以（﹣1），再分母有理化即可． 解答：解：方程（﹣1）x=12，两边同除以（﹣1），得x=， 最简二次根式及分母有理化 龙泉九中 黄智艳 （一） 教材分析 《最简二次根式及分母有理化》是北师大版八年级数学上册第二章《实数》部分的内容之一。教材中没有直接给出最简二次根式及分母有理化的概念，这样的编排对学生学习这部分内容有一定困难。 《最简二次根式及分母有理化》是二次根式运算的重要组成部分，它在二次根式的运算中起着承上启下的作用，为此我区导学案就此内容作了深入细致的研究。学案中将它放在《二次根式2a 的化简》及《二次根式的乘除法》之后，为本课的学习提供了方法技能基础，同时它又是后面学习《二次根式的加减法》、《二次根式的混合运算》的根本。 从初中代数的学习来看，该部分是初中代数中进行数式运算的一个重要课题，也是提高学生运算能力的好时机。这里培养起来的实数的运算能力不光会影响学生代数部分的后继学习，同时在几何的学习中起着举足轻重的作用。 从中考角度来看，历届中考几乎从未错失过该考点。 （二） 学情分析 a) 知识方面：学生会分解质因数，能对2a 、2)(a 进行化简，已经掌握的《二次根式的乘除法》及二次根式的性质都为本节课的学习作好了充分而必要的知识铺垫。就知识掌握情况而言，仍有部分学生对公式感觉较抽象，运用起来还不太熟练。 b) 能力方面：学习能力强一点的同学已经拥有一定的知识迁移能力，归纳能力和较强的合作交流能力。 c) 心理方面：初二的学生经过一年的培养，对DJP 教学模式已经充分认同和接受了，能够有序地进行小 组合作学习。初二的学生好胜心较强，有较强的自主意识，能对知识是非进行分辨。 （三） 教学目标 知识与技能目标：1.能判断所给的二次根式是否是最简二次根式； 2.能把所给的二次根式化为最简二次根式； 3.能进行分母有理化。 过程与方法目标：让学生经历二次根式化简的过程，体验数学的简洁美。通过一题多解使学生体会数学中 的最优、最简思想，感受数学计算的魅力。 情感态度与价值观目标：通过本节课的学习让学生体验学习的乐趣，增强学生对学习的信心。 （四） 教学重、难点 教学重点：化二次根式为最简二次根式及分母有理化。 理由是： 能把所给的二次根式化为最简二次根式及分母有理化既是学生前面所学过的二次根式的乘除运算的具体应用，又是后面学习二次根式的加减之根本；在实数的计算中起着至关重要的作用。 教学难点：化二次根式化简为最简二次根式及分母为两项式的分母有理化。 理由是： 化二次根式化简为最简二次根式难找完全平方因数或因式；分母有理化难就难在形式上较复杂，并 且还要求学生运用乘法公式及)0()(2≥=a a a ；这些都是学生知识不易过手的知识点。 （五） 教学策略 1. 小组学习法 采用理由： 我区导学案非常适合学生自主学习；在教学过程中有多处必须利用学习小组完成的学习。同时通过利用组内“高手”的影响力和约束力可以使学困生多学一点，这也适合初二逐渐增多的不自觉学习的学生。 2. 练习法 采用理由： 本节内容属代数中的运算，必要的练习一定少不了。在教学中，教师还可将学生的解题中出现的多种方法予以展示，这样做不但可以拓宽学生的解题视野，也可以潜移默化的影响学生寻求最简、最优解法的数学解题意识。 3. 自主阅读法 采用理由： 初二学生已经有足够的理解力，能理解“最简二次根式”、“分母有理化”、“互为有理化因式”等概念。因此，在概念的学习时，我主要采用此法。 4. 谈话法二次根式加减乘除运算训练题
八年级数学下册 专题突破讲练 二次根式分母有理化及应用试题
16.3二次根式的加减 教学设计
二次根式的加减1教案
二次根式加减运算(讲义及答案).
《二次根式》专题练习(含答案)
二次根式的加减说课稿
二次根式的加减(基础)知识讲解
二次根式分母有理化综合训练
二次根式的加减法
【青岛版】八年级数学下册专题讲练：二次根式分母有理化及应用试题(含答案)
二次根式加减运算(讲义)(含答案)
二次根式加减运算
中考数学真题解析分母有理化次根式化简(含答案)
最简二次根式及分母有理化
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