构造等腰三角形解题的辅助线做法
吕海艳
等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：
（1）依据平行线构造等腰三角形；
（2）依据倍角关系构造等腰三角形；
（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；
（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。
1、依据平行线构造等腰三角形
例1：如图。△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.
[点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。
证明：过E作EG∥AC交BC于G
∴∠1=∠ACB，∠2=∠F
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠1=∠B
∴BE=GE
∵BE=CF
∴GE=CF
在△EDG和△FDC中
∠3=∠4
∠2=∠F
GE=CF
∴△EDG≌△FDC
∴DE=DF
[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。
2、依据倍角关系构造等腰三角形
例2：如图。△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线
求证：AB+BD=AB
[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等
腰三角形，问题即可解决。
证明：延长CB至E，使BE=BA，
连接AE
∵BE=BA
∴∠BAE=∠E
∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E
∴∠C=∠E
AC=AE
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA
∴EA=ED
∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE
∴AC=AB+BD
[评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。
3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形
例3，如图。△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BF平分∠ABC，CD⊥BD 交BF的延长线于D，求证：BF=2CD
[点拔]：遇到BD平分∠ABC且BD⊥CD，可延长CD、BA交于E，使角平分线BD又成为底边上的中线和高。
证明：分别延长BA、CD交于点E
∵CD⊥BD
∴∠BDC=∠BDE=90°
∴∠1+∠E=90°
∵∠BAC=90°
∴∠3+∠E=90°
∴∠1=∠3
在△BAF和△CAE中
∠1=∠3
AB=AC
∠BAC=∠CAE=90°
∴△BAF≌△CAE
∴BF=CE
在△BDE和△BCD中
∠1=∠2
BD=BD
∠BDE=∠BDC
∴△BDE≌△BDC
∴CD=ED
∴CE=2CD
∵BF=CE
∴BF=2CD
[评注]：当一个三角形中出现垂直于角平分线的线段时，通常延长此线段与角的另一边相交，我们就可以寻找到等腰三角形。
4、依据60°角或120°角，常补形构造等边三角形
例4,、如图。∠BAD=120° BD=DC AB+AD=AC
求证：AC平分∠BAD
{点拨}：由AB+AD=AC知，应延长BA,将AB+AD集中成为一条线段，
使AE=AD 则∠EAD=60°△ADE为等边三角形，余下的只要证∠CAD=60°既得证明：延长BA到E,使AE=AD 连接DE
∵∠BAD=120°
∴∠DAE=180-120=60°
又AE=AD
∴△DAE是等边三角形
∴DE=AD ∠E=60°
∵BE=AB+AE AC=AB+AD
AE=AD
∴BE=AC
在△BDE和△CDA中
BD=CD
BE=CA
DE=AD
∴△BDE≌△CDA
∴∠CAD=∠E=60°
∵∠BAD=120°
∴∠BAC=∠CAD=60°
∴AC平分∠BAD
{评注}：在三角形的问题中，120°角也是常见角，可以利用120°的外角找到60°的角，经过添加线段的关系，构造等边三角形。
全等三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”法构造全等三角形． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形． 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂
初中数学解题模型专题讲解 专题4 角平分线模型 模型模型 3 3 角平分线角平分线角平分线++垂线构造等腰三角形垂线构造等腰三角形 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 交ON 于点 B。 结论：△AOB 是等腰三角形。 模型证明模型证明：： 由已知可得AP⊥OP,BP⊥OP,OP=OP,∠POA=∠POB ∴△POA≌△POB ∴OA=OB ∴△AOB 是等腰三角形 模型分析 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等 的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线 和三线合一联系了起来。 模型实例 如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BD 平分∠ABC， CE⊥BD，垂足为 E。求证：BD=2CE。
证明：如图延长BA 、CE 交于 ∠ABE=∠CBE ，BE=B ∴RT △BEF ≌RT △BEC ∴CE=EF ∴CF=2CE 又∵∠ADB=∠CDE ∠DCE+∠CDE=∠ ∴∠ADB=∠F 又AB=AC ∴RT △BAD ≌RT △CAF ∴BD=CF ∴BD=2CE. 模型练习 1．如图，在△ABC 中，BE 求证：∠2=∠1+∠C。 证明：如图延长AD 交BC 交于点F 则有： BE=BE BEC DCE+∠F=90° CAF BE 是角平分线，AD⊥BE，垂足为 D。 于点F 则有
BD=BD ，∠ABD=∠ ∴RT △ADB ≌RT △FDB ∴∠2=∠BFD=∠1+∠ ∴∠2=∠1+∠C 2．如图，在△ABC 中，∠求证：BE= ?（AC-AB）。 ∠FBD FDB ∠C ∠ABC=3∠C，AD 是∠BAC 的角平分线，BE⊥AD AD 于点 E。
等腰三角形常用辅助线专题练习 1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB=AC, AD二AE,求证：BD=CEo 证明：作AF_LBC,垂足为F,则AF±DEo VAB=AC, AD=AE 又VAF±BC , AF±DE, ABF=CF, DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。..?BD=CE. 2.如图，在三角形ABC中，AB二AC,AF平行BC于F, D是AC边上任意一点，延RBA到E,使AE=AD,连接DE,试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由 解：AF1DE.理由：延长ED 交BC 于G, VAB=AC, AE=AD /. ZB=ZC, ZE=ZADE A ZB+ZE=ZC+ZADE V ZADE=ZCDG A ZB+ZE=ZC+Z CDG VZB+ZE=ZDGC, ZC+ZCDG=ZBGE, ZBGE+ZCGD=180° AZ BGE=ZCGD=90° AEG±BC. VAF/7BC AAF±DE.
E 解法2： 过A 点作AABC 底边上的高， BC 证明 AF±DE 3. 如图, A ABC 中，BA=BC,点D 是A B 延长线上一点，DF±A C 交BC 于 E,求证： A DBE 是等腰三角形。 证明：在AABC 中， VBA=BC, A ZA=ZC, VDF1AC, A ZC+Z FEC=90° , ZA+ZD=90° , :. ZFEC^ZD V ZFEC^ZBED, ZBED=
4.如图，AABC中，AB二AC, E在AC ±,且AD=AE, DE的延长线与BC相交于F。求证：DF_LBC. 证明：VAB=AC, AZB=ZC, 又VAD=AE, A ZD=ZAED, 若把“AD=AE”与结论“DF_LBC”互换，结论也成立。 若把条件"AB=AC”与结论“DF_LBC”互换，结论依然成立。 证明：连接AC, AD
全等三角形中常见辅助线的添加方法举例 一． 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。 二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍 此线段，构造全等三角形。 例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造 全等三角形。 例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。 图3 练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。 A B C D E F N 1 图1234 2 图A B C D E F M 123 4A B C D E A B C D E F 4 图
四、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。 求证：AB －AC ＞PB －PC 。 五、延长已知边构造三角形： 例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 六、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 7 七、连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。 八、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图10：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 A B C D N M P 5图12A B C D E 6 图O D B A 110 图O 10图D C B A M N
全等三角形问题中常见得辅助线得作法【三角形辅助线做法】 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折瞧,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试瞧。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 1、等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题 2、倍长中线:倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形 3、角平分线在三种添辅助线 4、垂直平分线联结线段两端 ５、用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长, 6、图形补全法:有一个角为6０度或１２0度得把该角添线后构成等边三角形 7、角度数为30、6０度得作垂线法：遇到三角形中得一个角为３0度或6０度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成３0-6０-9０得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。 8、计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或3０-60-９0得特殊直角三角形,或40－6０-80得特殊直角三角形,常计算边得长度与角得度数，这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。 常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,二个角之间得相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变 换中得“对折”法构造全等三角形. 2)遇到三角形得中线,倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思 维模式就是全等变换中得“旋转”法构造全等三角形. 3)遇到角平分线在三种添辅助线得方法，（１)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂
等腰三角形专题复习 一、等腰三角形中的分类讨论 1、等腰三角形的周长为50, —条边长是12,则另两边分别是____________________ 4 、如图，在RT^ABC中，/ ACBW ,AB=2BC 在直线BC或AC上取一点P 使得△ PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有____________ 个。 5、已知0为等边△ ABD边BD的中点，AB=4, E、F分别为射线AB DA上一动点，且/ EOF=^ ,若AF=1,求BE的长 _________________ 。 二、构造等腰三角形解题一一截长补短法 6、如图，在△ ABC中，AD为角平分线，且AC=AB+BD求证丁代 2 ＜：. 7、如图，已知W.W 1 2V,AC平分/ MA N MEC-A N C
&如图，△ ABC为等腰三角形，EC=ED, P为BD的中点，求证：AE=2PE. 三、构造等腰三角形解题一一引平行线 9、如图，已知△ ABC是等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD求证：EC=ED. 10、已知△ ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延长BE交AC于F,求证：AF=EF. B
11、△ ABC为等边三角形，D为BC上任意一点，/ ADE=60,边ED与/ ACB外角的平分线交于点E. (1) 求证：AD=DE. (2) 若点D在CB的延长线上，(1)的结论是否依然成立？请画出图形，若成立，请给出证明, 若不成立，请说明理由。 12、如图，BD平分/ ABC交AC于点D, E为CD上一点，且AD=DE,EF// BC交BD于F,求证: AB=EF. 四、等腰三角形中的“三线合一” (一)利用等腰三角形的“三线合一”证题 AE=AC,EF// BC交AC于点F,求证:EC 平分/ DEF. 13、如图，AD是厶ABC的角平分线，且
等腰三角形常用辅助线专题练习 （含答案） 1.如图：已知，点D、E在三角形ABCの边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。 证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。∵AB=AC，AD=AE 又∵AF⊥BC ，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上の高与底边上の中线互相重合）。∴BD=CE. 2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接 DE，试判断直线AF与DEの位置关系，并说明理由 解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC ∴AF⊥DE．
解法2： 过A点作△ABC底边上の高， 再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE 3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。 证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=
∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形． 4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE の延长线与BC相交于F。求证：DF⊥BC. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED， ∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF， ∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°，∴DF⊥BC; 若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。 若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。 5. 如图，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, A 求证：CM=MD. 证明：连接AC,AD ∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED ∴△ABC≌△AED(SAS)
全等三角形证明方法中辅助线做法 一、截长补短 通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件 1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD． 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°． 显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系,并说明理由.
3.如图,在△ABC 中,∠A=60°,BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,BD ，CE 交于点O,试判断BE,CD,BC 的数量关系,并加以证明. 4.如图,AD ∥BC,DC ⊥AD,AE 平分∠BAD,E 是DC 的中点.问：AD,BC,AB 之间有何关系？并说明理由. 5.(德州中考)问题背景： 如图1：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系. (1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG=BE.连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是； (2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF=2 1 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由.
【MeiWei_81重点借鉴文档】 有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC, BDLAC于D, 求证：/ BAC = 2/DBC 证明：（方法一）作Z BAC的平分线AE,交BC于E,则Z 1 = Z 2 = 又v AB = AC 1 -Z BAC 2 ??? AEL BC ???/ 2+Z ACB = 90° ??? BD L AC ???/ DBCM ACB = 90° ???/ 2 = / DBC ???/ BAC = 2 / DBC （方法二）过A作AEL BC于E （过程略） （方法三）取BC中点E,连结AE （过程略） ⑵有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图，△ ABC中, AB = AC，D 为BC 中点，DEL AB 于E，DFL AC于F, 求证：DE = DF 证明：连结AD. v D为BC中点， ??? BD = CD 又v AB =AC ??? AD平分/ BAC v DEL AB, DFL AC ??? DE = DF ⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，△ ABC中, AB = AC在BA延长线和AC上各取一点E、F,使AE = AF, 求证：EFL BC 证明：延长BE至U N,使AN = AB,连结CNJ则AB = AN = AC ???/ B = / ACB, / ACN = / ANC vZ B+Z ACB^Z ACNbZ ANC = 180° ??? 2Z BC外2Z ACN = 180° ???Z BCAbZ ACN = 90° 即Z BCN = 90° ?NCL BC v AE = AF ?Z AEF = Z AFE 又vZ BAC = Z AEF + Z AFE Z BAC = Z ACN + Z ANC ?Z BAC =2Z AEF = 2 Z ANC ?Z AEF = Z ANC ?EF// NC ?EFL BC
构造等腰三角形解题的辅助线常用做法 等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法： （1）依据平行线构造等腰三角形； （2）依据倍角关系构造等腰三角形； （3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形； （4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。 1、依据平行线构造等腰三角形 例1：如图。△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF. [点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。 证明：过E作EG∥AC交BC于G ∴∠1=∠ACB，∠2=∠F ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠1=∠B ∴BE=GE ∵BE=CF ∴GE=CF 在△EDG和△FDC中 ∠3=∠4 ∠2=∠F GE=CF
∴△EDG≌△FDC ∴DE=DF [评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。 2、依据倍角关系构造等腰三角形 例2：如图。△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线 求证：AB+BD=AB [点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等 腰三角形，问题即可解决。 证明：延长CB至E，使BE=BA， 连接AE ∵BE=BA ∴∠BAE=∠E ∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E ∴∠C=∠E AC=AE ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA ∴EA=ED ∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE ∴AC=AB+BD [评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。
等腰三角形常用辅助线 专题练习 （含答案） AB=AC,AF 平行BC 于F , D 是AC 边上任意一点，延 长 BA AF 与DE 的位置关系，并说 明理由 ?/ AB=AC , AE=AD B= / C , / E= / ADE ???/ B+ / E= / C+ / CDG ?// B+ / E= / DGC , ???/ BGE= / CGD=90 ?? EG 丄 BC . ?/ AF // BC 解法2： 过A 点作△ ABC 底边上的高， 再用/ BAC= / D+AED= / 2/ ADE,即/ CAG= / AED,证明 AG // DE 利用 AF // BC 证明 AF 丄 DE 3.如图，△ ABC 中，BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点， DF 丄AC 交BC 于E,求证：△ DBE 是等腰三角形。 证明：在 △ ABC 中，?/ BA=BC , ???/A= / C , ?/ DF 丄 AC , / A+ / D=90 , ???/ FEC= / D v/ FEC= / BED , BED= / D , 是等腰三角形. 4.如图，△ ABC 中，AB=AC,E 在AC 上，且 AD=AE,DE 的延长线与 DF 丄 BC. 证明：v AB=AC , ???/ B= / C , 又 v AD=AE , ??/ D= / AED , ???/ B+ / D= / C+ / AED , ???/ B+ / D= / C+/ CEF , ???/ EFC= / BFE=180 X 1/2 = 90 , ? DF 丄 BC; 若把“AD =Ae 与结论“DFL BC ”互换，结论也成立。 若把条件“AB=AC 与结论“ DFL BC ”互换，结论依然成立。 5. 如图，AB=AE,BC=ED, / B= / E,AM 丄 CD, A 求证：CM=MD. 证明：连接AC,AD ?/ AB=AE, / B= / E,BC=ED ??△ ABC ◎△ AED(SAS) 1.如图：已知，点 D 、E 在三角形 ABC 的边BC 上, 证 明：作AF 丄BC ,垂足为 又??? AF 丄 BC , AF 丄 DE , 互相重合）。 ??? BD=CE. AB=AC , AD=AE ，求证: F ,贝U AF 丄 DE 。 ?/ AB=AC , AD=AE ??? BF=CF , DF=EF (等腰三角形底边上的高与 BD=CE 。 底边上的中线 2.如图，在三角形 ABC 中， 到E ,使AE=AD ， 连接DE ，试判断直线 解：AF 丄DE .理由：延长ED 交BC 于G , ???/ B+ / E= / C+/ ADE ?// ADE= / CDG / C+ / CDG= / BGE , / BGE+ / CGD=18° ??? AF 丄 DE . ???/ C+ / FEC=90 , BC 相交于F 。求证:
巧作辅助线构造全等三角形求解角度 【例1】如图1-1，四边形ABCD中，△ABD为等边三角形，∠CAD=45°，∠BDC ＝30°，求∠ACB的度数。 此题看上去挺简单，但想不到思路就不容易做出来。 【解析】以AC为边向AC左侧作等边三角形ACF（如图1-1-1）。 则∠CDA=90°，∵∠CAD=45°， ∴∠ACD=45o，∴AD=DC； ∵△ACF为等边三角形， ∴∠BAF=60o-（60o-45o）=45o， 又∵AF=AC，AB=AD， ∴△AFB≌△ACD， ∴BF=CD，∵AD=CD， ∴BF=BA； 在△ABC和△FBC中： BA=BF，AC=FC，BC=BC， ∴△ABC≌△FBC， ∴∠ACB=∠FCB=30o。
【例2】如图2-1，四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB＝58°，∠CAD=48°，∠BDC＝30°，求∠ACB的度数。 【思路】依据【例1】的思路，构造等边三角形和全等三角形。 【解析】以AC为边向AC左侧作等边三角形ACF，在CD上取一点E，使得∠ADE=∠AED（如图2-1-1）。 则∠CDA=∠AED=88°， ∴AD=AE=AB； ∠DAE=4o， ∴∠CAE=48o-4 o=44 o， ∴∠ACE=44 o， ∴AE=CE； ∵△ACF为等边三角形， ∴∠BAF=60o-（64o-48o）=44o， ∴∠BAF=∠CAE， 又∵AF=AC，AB=AE， ∴△AFB≌△ACE，∴BF=CE， ∵AE=CE，∴BF=BA； 在△ABC和△FBC中： BA=BF，AC=FC，BC=BC，
∴△ABC≌△FBC， ∴∠ACB=∠FCB=30o。 【猜想】通过以上两个例子我们发现，在等腰三角形ABD中，顶角∠BAD的四等分线AC与底边绕点D逆时针旋转30 o后的直线交于点C，所构成的∠ACB角度为30 o，那么对于顶角∠BAD小于60 o时，【猜想】是否成立呢？ 【例3】如图3-1，四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB＝64°，∠CAD=39°，∠BCD＝30°，求∠ACB的度数。 【解析】以AC为边向AC左侧作等边三角形ACF，在CD延长线上取一点E，使得∠ADE=∠AED（如图3-1-1）。 则∠CDA=94°， ∠ADE=∠AED =180o-94o=86°， ∴AD=AE=AB； ∠DAE=8o，∠CAE=39o+8o=47o， ∴∠ACE=180o-47o-86o=47o， ∴AE=CE； ∵△ACF为等边三角形，
三角形中的常用辅助线 课程解读 一、学习目标： 归纳、掌握三角形中的常见辅助线 二、重点、难点： 1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。 2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。 三、考点分析： 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。 典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC ＝________. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF. 3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB. 二、构造等腰三角形
4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE. ◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等 6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF. ◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC
＝AB＋CD. 8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连接PQ交AC于点D. (1)求证：PD＝DQ； (2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】 参考答案与解析 1．4 2．证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD.在△AED和△AFD
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”中的一线或平行线证线段相等，利用截长补短证线段和差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系等，将不在同一个三角形的线段转移到同一个三角形（或两个全等三角形）中，然后运用等腰（或全等三角形）的性质来解决问题. 方法1 等腰三角形中有底边上的中点时常作底边上的中线 1.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF 方法2 等腰三角形中没有底边上的中点时常作底边上的高 2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.
方法3 等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的平行线或垂线 3.如图，在△ABC中，AB=AC ，点P从点B出发沿线段BA移动（点P与A，B 不重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D. （1）试说明：PD=QD （2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由. 方法4 等腰三角形证与底有关的线段时常作底的平行线 4.如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD， DG⊥BE于G，求证：BG=EG.
方法5补形法构造等腰三角形 5.如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD，求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；（3）AE平分∠BAD. 方法6 倍长中线法构造等腰三角形 6.如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点,AD，CE交于点F，且CE=EF，求证:AB=CF
全等三角形之辅助线（习题） 例题示范 例1：已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AB 边上一点，AD =AC ，过点D 作DE ⊥AB ，交BC 于点E ． 求证：CE =DE ． 【思路分析】1 读题标注：2梳理思路： 要证CE =DE ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形对应边相等来证明． 观察图形，发现不存在全等的三角形． 结合条件，AC =AD ，∠C =∠ADE =90°，考虑连接AE ，证明△ACE ≌△ADE ． 【过程书写】 证明：如图，连接AE ∵DE ⊥AB ∴∠ADE =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠ADE 在Rt △ACE 和Rt △ADE 中 AE AE AC AD =??=?（公共边）（已知）∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ） ∴CE =DE （全等三角形对应边相等） 过程规划：1．描述辅助线：连接AE 2．准备条件：∠C =∠ADE =90°3．证明△ACE ≌△ADE 4．由全等性质得，CE = DE
巩固练习1.已知：如图，B ，C ，F ，E 在同一条直线上，AB ，DE 相交于点G ，且BC =EF ，GB =GE ，∠A =∠D ．求证：DC =AF ． 2.已知：如图，∠C =∠F ，AB =DE ，DC = AF ，BC =EF ．求证：AB ∥DE ．过程规划： 过程规划：
3.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是AD，BC的 中点．求证：BE=DF． 4.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°， 点E，F分别在AB，BC上，且AE=BF，AF交DE于点G．求证：DE⊥AF．
构造等腰三角形解题的辅助线做法 吕海艳 等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。那么如何构造等腰三角形呢一般有以下四种方法： （1）依据平行线构造等腰三角形； （2）依据倍角关系构造等腰三角形； （3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形； （4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。 1、依据平行线构造等腰三角形 例1：如图。△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF. [点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。 " 证明：过E作EG∥AC交BC于G ∴∠1=∠ACB，∠2=∠F ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠1=∠B ∴BE=GE ∵BE=CF ∴GE=CF 在△EDG和△FDC中 ∠3=∠4 ∠2=∠F
( GE=CF ∴△EDG≌△FDC ∴DE=DF [评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。 2、依据倍角关系构造等腰三角形 例2：如图。△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线 求证：AB+BD=AB [点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。 证明：延长CB至E，使BE=BA， 连接AE （ ∵BE=BA ∴∠BAE=∠E ∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E ∴∠C=∠E AC=AE ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA ∴EA=ED ∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE ∴AC=AB+BD …
五种辅助线助你证全等 姚全刚 在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点?下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考. 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用 截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等. 例1.如图1，在△ ABC 中，/ ABC=60 ° , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB .求证: AC=AE+CD . 分析：要证AC=AE+CD , AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE，则只要证明 CF=CD . 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF. ?/ AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB，/ ABC=60 ° ???/ 1 + Z 2=60 ° ,A Z 4=Z 6= / 1 + Z 2=60 ° . 显然，△ AEO ◎△ AFO，?/ 5= / 4=60 ° ,?/ 7=180° — (/ 4+ / 5) =60 ° 在厶DOC 与厶FOC 中，/ 6= / 7=60°，/ 2= / 3, OC=OC ???△ DOC ◎△ FOC, CF=CD ? AC=AF+CF=AE+CD 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作 法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2:如图甲，AD// BC 点E在线段AB上，/ ADE=/CDE / DC=Z ECB 求证： CD=AD F BC 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是CDAC+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CE，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在CD上截取CF=BC如图乙 6 = CS CE= CE ???△ FCE^A BCE(SAS， ???/ 2=Z 1。 又??? AD// BC ???/ ADG-Z BCD：180°， ???/ DC+Z CD=90°,
龙文教育 个性化辅导教案讲义任教科目： 授课题目： 年级： 任课教师： 授课对象： 武汉龙文个性化教育 常青二校区 教研组组长签字： 教学主任签名： 日期：
武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 授课教师 授课时间 授课题目 课 型 使用教具 教学目标 教学重点和难点 参考教材 教学流程及授课详案 一 由课本例题引入 1 近几年中考题往往由平行线，角平分线来推证同一三角形两个角相等， 从而推证两边相等。或者由其中两个条件推证另一个条件 例 (1)AD 是 ABC 的外角平分线，（2）AD // BC （3） 求证： ABC 是等腰三角形 分析讨论 想一想 能不能由（1）（3）证明（2） 或者（2）（3）证明（1）？ 变式（2012京门） 已知：如图7－9，在ΔABC 中，CE 是角平分线，EG ∥BC ，交AC 边于F ，交∠ACB 的外角 （∠ACD ）的平分线于G ，探究线段EF 与FG 的数量关系并证明你的结论． 时间分配及备注
E F C B A D 2试一试 1、 （2011）如图,AC 和BD 相交于O ，且AB ∥DC ，OA=OB, 求证：OC=OD. 2．（2012）如图，△ABC 中，AM ，CM 分别是角平分线，过M 作DE ∥AC 求证：AD+CE=DE 3．（2012）如图，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，CD ⊥OA 于D ，CE ∥AO 交OB 于E CE=20cm ，求CD 的长。 4．（2012）如图，△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，则图中等腰三角形的个数（ ） （A ）1个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 5（2012北京）、如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF 等于（ ） Ａ．5 Ｂ．4 C ． 3 D ．2 O D C B A A E B C D 第16题
等腰三角形辅助线的做法 Prepared on 22 November 2020
专题：等腰三角形辅助线的作法 类型一：利用三线合一作辅助线 （1）等腰三角形中有底边中点时，常连底边上的中线 1、如图ΔABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的 点且AE= AF，求证：DE=DF 2、如图，在ΔABC中，D是BC的中点，过A作EF‖BC且AE= AF，求 证：DE=DF （2）没有底边中点时作底边上的高 3、如图，在ΔABC中，AB=AC，BD⊥AC于D， 求证：∠BAC=2∠DBC 类型二：做平行线构造等腰三角形 （1）作腰的平行线构造等腰三角形 4、如图，ΔABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF （2）作底边的平行线构造等腰三角形 5、如图，AB=AC，点D是BA的延长线上一点，E在AC上，且AD=AE，求证：DE⊥BC （3）利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形 6、如图，BD平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于Ｄ，点Ｅ为ＣＤ上一点， 且ＡＤ＝ＤＥ，ＥＦ‖ＢＣ交BD于F，求证：AB=EF 类型三:用“截长补短法”构造等腰三角形 7、如图，ΔABC中，∠BAC=120，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠C 的度数。 8、如图，ΔABC中，∠BAC=108，AB=AC，BD平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于Ｄ，求证：BC=CD+AB 类型四：运用角平分线作垂线
9、如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180，CD⊥OA于D。（1）求证：OC平分∠AOB； （2）若OD=3DA =6,求OB的长。 10、如图，已知等腰RTΔABC中，∠ACB=90，AC=BC=4，D为ΔABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，且∠ADC=45，ＣＤ交ＡＢ于Ｅ， （1）求证：ＡＤ＝ＣＤ （２）求ＡＥ的长。
五种辅助线助你证全等 在证明三角形全等时，有时需添加辅助线，下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，可以帮助你更好的学习。 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等． 例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD． 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°． 显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 二、中线倍长 三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路． 例2．已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x的取值范围是（）． 分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断．
解：如图2所示，设AB=7，AC=5，BC上中线AD=x．延长AD至E，使DE = AD=x． ∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD ∠ADC=∠EDB（对顶角）∴△ADC≌△EDB ∴BE=AC=5 ∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE 即7-5＜2x＜7+5∴1＜x＜6