空间角与空间距离一、知识要点
二、典型例题
题型一 空间角及其求法
【例1】 等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ， 二面角C-AB-D 的余弦值为
3
3
，M 、N 分别是AC 、BC 的中点， 则EM 、AN 所成角的余弦值等于
【例2】已知三棱锥P-ABC 中，
【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面
一、选择题 1.如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的投影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为【 ) A.34 B.54 C.74 D.34 2．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为94 ，底面是边长为3的正三角形．若P 为△A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为【 ) A.π6 B.π3 C.π4 D.23 π 3.如图所示，在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是等腰三角形，AB ＝BC ＝2a ，∠ABC ＝120°，SA ＝3a ，且SA ⊥平面ABC ，则点A 到平面SBC 的距离为【 ) A.3a 2 B.a 2
C.5a 2 D.7a 2 二、填空题 4.如图，在等腰直角三角形ABD 中，∠BAD ＝90°，且等腰直角三角形ABD 与等边三角形BCD 所在平面垂直，E 为BC 的中点，则AE 与平面BCD 所成角的大小为________． 5.如图所示，在三棱锥S －ABC 中，△SBC ，△ABC 都是等边三角形，且BC ＝1，SA ＝32 ，则二面角S －BC －A 的大小为________． 6．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，给出以下命题： ①异面直线C 1P 与B 1C 所成的角为定值； ②二面角P －BC 1－D 的大小为定值； ③三棱锥D －BPC 1的体积为定值； ④异面直线A 1P 与BC 1间的距离为定值． 其中真命题的个数为________． 三、解答题 7.【2016·潍坊模拟)如图所示，底面ABC 为正三角形，EA ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，EA ＝AB ＝2DC ＝2a ，设F 为EB 的中点．
1 空间角与距离的计算(1) 一 线线角 1.直三棱柱A 1B 1C 1-ABC,∠BCA=900,点D 1,F 1分别就是A 1B 1与A 1C 1的中点,若BC=CA=CC 1,求BD 1与AF 1所成角的余弦值. 2.在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 就是直角梯形,∠BAD=900,AD ∥ BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA ⊥面ABCD,PD 与底面成300角. (1)若AE ⊥PD,E 为垂足,求证:BE ⊥PD; (2)若AE ⊥PD,求异面直线AE 与CD 所成角的大小. 二.线面角 1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为BB 1、CD 的中点,且正方体的棱 长为2. (1)求直线D 1F 与AB 与所成的角; (2)求D 1F 与平面AED 所成的角. 2.在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,四边形AA 1B 1B 就是菱形,四边形BCC 1B 1就是矩形,C 1B 1⊥AB,AB=4,C 1B 1=3,∠ABB 1=600,求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小 三.二面角 1.已知A 1B 1C 1-ABC 就是正三棱柱,D 就是AC 中点. (1)证明AB 1∥平面DBC 1; (2)设AB 1⊥BC 1,求以BC 1为棱,DBC 1与CBC 1为面的二面角的 大小. 2.ABCD 就是直角梯形,∠ABC=900,SA ⊥面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD=0、5. (1)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小; (2)求SC 与面ABCD 所成的角. 3.已知A 1B 1C 1-ABC 就是三棱柱,底面就是正三角形,∠A 1∠A 1AB=450,求二面角B —AA 1—C 的大小. 空间角与距离的计算(2) 四 空间距离计算 (点到点、异面直线间距离) 1、在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 就是BC 的中点交AC 于M,B 1P 交BC 1于N. (1)求证:MN 上异面直线AC 与BC 1的公垂线; (2)求异面直线AC 与BC 1间的距离. (点到线,点到面的距离) 2.点P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA ⊥面ABCD,Q 为线段AP 的中点,AB=3,CB=4,PA=2,求: (1)点Q 到直线BD 的距离; (2)点P 到平面BDQ 的距离. 3.边长为a 的菱形ABCD 中,∠ABC=600,PC ⊥平面 A B 11 C
空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D 1F 和AB 和所成的角； （2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B
2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． （1）证明AB 1∥平面DBC 1； （2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5． （1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小； （2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1
空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点， 过该点作另一条直线平行线， 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小 指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一 找”、“二证”、“三计算”） 4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的 距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线） 5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 长方体的“一角” 模型 在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===. ①以P 为公共点的三个面两两垂直； ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心 ----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ??⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，， 的平面角。 且则为二面角 a b ''??如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异 面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90] 求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。 如图在三棱锥V ABC -中有： S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----=== C A
空间角和空间距离 空间角 (1)两条异面直线所成的角： 两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线c∥a，d∥b，我们把直线c和d所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。 注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]． ②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出． ③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法： (i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点． (ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现．(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角(锐角或直角)，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围． （2）直线与平面所成的角 1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角． 2)直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为． 3)直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为． 显然，直线与平面所成的角的范围为． 4）求一条斜线和平面所成的角：做出这条斜线在平面内的射影，再确定斜线和射影所成角的大小即可。 斜线在平面内的射影：从斜线上除斜足外的任意一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，斜线上任意一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。 （3）二面角 (1)二面角的定义 一条直线出发的二个半平面所形成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，二个半平面称为二面角的面． (2)二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角．注意：①二面角的平面角两边必须都与棱垂直． ②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置关系所确定的，与定义中棱上任一点的选择无关，也就是二面角的平面角不只一个，但这些平面角的大小是相等的． ③二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，； 相交时；共面时．平面角是直角的二面角叫做直二面角． (3)二面角的平面角的确定与求法
1 空间角与点面距离求法 求空间角和点到平面的距离是教学的重点，也是学生学习的难点，更是高考的必考点.新课标强调要求利用向量的运算来解决这两个问题,而新教材的处理是通过探究引导学生推理得出相关公式.在复习时,作为教师有必要帮助学生对相关的知识进行梳理、归纳和小结. 1.空间角的求法 在立体几何中,求空间角是学习的重点，也是学习的难点，更是高考的必考点.我们在复习时,必须对相关的知识进行梳理、归纳和小结,才会灵活运用公式熟练地求出空间角. 一、相关概念和公式 (1) b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作,,b a ==则AOB ∠叫做 向量a 与向量b 的夹角，记作>≤≤=< . (3) 设),,(111z y x a = , ),,(222z y x b = 则212121||z y x a ++= ,222222||z y x b ++= , 212121z z y y x x b a ++=? . 二、两条异面直线所成的角 (1) 定义：已知两条异面直线a 和b ，经过空间任一点O 作直线,//,//b b a a ''我们把a '与b ' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角（或夹角）. (2) 范围: 异面直线a 和b 所成的角为θ： 900≤<θ, 则cos 0≥θ . (3) 求法: ▲① 平移法: 把两条异面直线a 和b 平移经过某一点(往往选取图中的特殊点),构造三角形(有时会用到补形法,如三棱柱补成平行六面体等),解三角形(通常用到余弦定理).特别提醒:若由边角关系求得为钝角．． 时,注意取其补角为异面直线所成的角. ▲② 向量法: 若a 和b 分别是异面直线a 和b 的方向向量,则 | ||||||||||||,cos |cos b a b a b a b a b a ??=??=><=θ . 说明: ① 其中=θ或- 180 ; ② 在计算b a ?时可用向量分解或坐标进行运算. 三、直线与平面所成的角 (1) 定义: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) 如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平
空间角与距离 考点1 求异面直线所成的角 1．如图所示，在长方体ABCD －EFGH 中，AB ＝23，AD ＝23，AE ＝2，则BC 和EG 所成角的大小是________，AE 和BG 所成角的大小是________． 2空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小． 3(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A. 22 B.32 C.52 D.72 4．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为(C) A.32 B.155 C.105 D.33 5．四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的正方形，若四条侧棱相等，且该四棱锥的体积V ＝46 3 ，则直线PA 与底面ABCD 所成角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
6棱长都为2的直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成的角的正弦值为 . 7已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为9 4 ，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6 8已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，∠DAB ＝60°，E 为AB 中点，F 为PD 中点，PD ＝AD. (1)证明：平面PED ⊥平面PAB ； (2)求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值． 9如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上． (1)证明：AP ⊥BC ； (2)已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.求二面角B －AP －C 的大小．
空间向量的应用----求空间角与距离 一、考点梳理 1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。 2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下： 1)求直线和直线所成的角 若直线AB 、CD 所成的角是α，cos α=|,cos |> 计算公式为： 4).利用法向量求点面距离 如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ，记∠OPA=θ，则点P 到平面的距离 θcos ||||PA PO d == 5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面 间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二， 异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A 、B ，AB 在n 上的射影长即 为所求。n 为异面直线AD 、BC 公共垂直的方向向量，可由0n AD ?=及0n BC ?=求得，其计算公式为： || || n AB d n =。其本质与求点面距离一致。 向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩，解题方法新颖，往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。 二、范例分析 例1 已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，3将它沿对称轴1 OO n α A P O θ 普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座12）—空间中的夹角和距离 一．课标要求： 1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角； 3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角； 二．命题走向 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 预测18年高考试题： （1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右； （2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。 三．要点精讲 1．距离 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 （1）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。 （2）点到平面的距离 平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。 （3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离； （4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 基础训练34(A) 空间的角度与距离 ●训练指要 掌握空间有关的角与距离的概念、范围、计算方法，会计算有关的距离和角. 一、选择题 1.(2001年全国高考题)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 A.P3＞P2＞P1 B.P3＞P2=P1 C.P3=P2＞P1 D.P3=P2=P1 2.给出下列四个命题： ①如果直线a∥平面α，a 平面β，且α∥β，则a与平面α的距离等于平面α与β的距离； ②两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条平行直线的距离等于这两个平面间的距离； ③异面直线a、b分别在两个平行平面内，则a、b的距离等于这两个平面的距离； ④若点A在平面α内，平面α和β平行，则A到平面β的距离等于平面α与平面β的距离. 其中正确的命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长均相等，则AC 1与平面 BB 1C 1C 所成角的余弦值等于 A.4 10 B.66 C.26 D.2 10 二、填空题 4.二面角α—l —β的面α内有一条直线a 与l 成45°的角，若这个二面角的平面角也是45°,则直线a 与平面β成角的度数为_________. 5.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离的比为1∶ 2∶3，PO =214,则P 点到这三个平面的距离分别是_________. 三、解答题 6.如图，在正三棱锥P —ABC 中，侧棱长3 cm ，底面边长2 cm ，E 是BC 的中点，EF ⊥P A ，垂足为F . (1)求证：EF 为异面直线P A 与BC 的公垂线段； (2)求异面直线P A 与BC 间的距离. 7.如图，正四棱锥S —ABCD 的所有棱长都相等，过底面对角线 AC 作平行于侧棱SB 的截面交SD 于E . (1)求AB 与SC 所成角的大小； (2)求二面角E —AC —D 的大小； (3)求直线BC 与平面EAC 所成角的大小. 8.在棱长为a 的正四面体ABCD 中，M 、E 分别是棱BD 、BC 的中点，N 是BE 的中点， 、空间的角与距离 1?异面直线所成的角： 范围是（0,—］； 2 一般方法是平移直线，构造三角形，把异面问题转化为共面问题来解决。平移时，固定一条，平移另一条（ 在某平面 内），或两条同时平移到某特殊位置，顶点选择在特殊位置上； 2?直线与平面所成的角： 范围是［0,—］。 2 关键是：找过斜线上一点与平面垂直的直线 ；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置 于三角形中计算。 注:确定点的射影位置有以下几种方法： ① 结论：如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上; 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； ② 两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ③ 利用三棱锥的有关性质： a 若侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 若顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心 c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 3.二面角 二面角的范围一般是指 （0,］。 作二面角的平面角常有三种方法 ① 定义法： ② 三垂线定理法：自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点 垂 足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所 夹的 角，即为二面角的平面角； ③垂面法： 作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线所成的角就是二面角的平面角。 ④面积射影法：S S c o s （S 为原斜面面积 ，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面角的平面角 它对于任意多边形都成立，是求二面角的好方法 .当作角困难时，易求斜面及射影面积，可直接用公式求出二面角的大小。 二.空间的距离 （1） 点到平面的距离常用求法 （点到直线的距离、直线到平面的距离及平面与平面间的距离（仅平行时）略） ① 定义法：作垂线 ② 转移法：平行线转移或中点转移（斜线中点）等 ③ 等体积法： （2） 异面直线间的距离常有求法： 异面直线a,b 间的距离为a,b 间的公垂线段的长. ① 定义法 ② 转化为线面距离： 找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线 a 到平面的距离就是异面直线 a,b 间的距离. ③ 转化为面面距离： 找或作出分别过a,b 且与b , a 分别平行的平面，则它们距离就是异面直线 a,b 间的距离. 1、已知四棱锥 P — ABCD 底面ABCD 是菱形 DAB 60 , PD 平面ABCD PD=AD 点E 为AB 中点，点F 为PD 中 （或旁心）; （ 空间的夹角与距离 一.复习目标: 1.了解异面直线掌握异面直线所成角的概念, 会通过平移，将空间问题转化为平面问题，从而求异面直线所成的角; 2.了解直线与平面所成角的概念,能作出斜线与平面所成的角，会在直角三角形中求斜线与平面所成的角; 3.理解二面角的概念,能熟练的掌握二面角的平面角的常用作法; 4.掌握点到平面距离的概念,能作出点到平面的距离，利用解直角三角形的方法求出距离; 5.了解直线到平面、两平行平面距离的概念,能将直线到平面、两平行平面的距离转化为点到平面距离并进行计算; 6.掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想 二.尝试训练: 1.平面的一条斜线与平面所成的角为θ，则θ的范围是 （ ） A 、0 o≤θ≤90 o B 、0 o＜θ≤90 o C 、0 o≤θ＜90 o D 、0 o＜θ＜90 o 2.平面外一条直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是 （ ） A 、0 o≤θ≤90 o B 、0 o＜θ≤90 o C 、0 o≤θ＜90 o D 、0 o＜θ＜90 o 3.两条异面直线所成的角为θ，则角的范围是 （ ） A 、0 o＜θ＜180 o B 、0 o≤θ≤90 o C 、0 o＜θ≤90 o D 、0 o≤θ＜90 o 4.已知正方体ABCD － 1A 1B 1C 1D 棱长为a, 异面直线 1A D 与B 1C 所成的角______;求异面直线A 1C 与BD 所成的角______;求异面直线 1A 1C 与A 1B 所成的角_____ 1A D 与 1B 1C 间的距离_____ 1A B 与 1B 1C 间的距离____. 5.在正方体ABCD － 1A 1B 1C 1D 中，E 为DD 1的中点，求二面角E －AC －D 的平面角的正切值. 7.长方体ABCD － 1A 1B 1C 1D ，AB ＝4，BC ＝2，A 1A ＝1，求异面直线B 1D 和 1B C 所成角的余弦. 8.在边长为a 的正方体ABCD － 1A 1B 1C 1D 中，求与 1A 1C 平面BD 1C 所成角的正弦. 9.在△ABC 中，∠ACB ＝90o，P 是平面ABC 外的一点，PA ＝PB ＝PC ，若AC ＝12，P 到平面ABC 的距离是8，求P 到BC 的距离. g3.1067空间角.空间距离综合 一:高考真题: 1.（2003京春文11，理8）如图9—1，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ） A.90° B .60° C.45° D.0° 2.（2002全国理，8）正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为 2，则 这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（ ） A.90° B.60° C.45° D.30° 3.（2001全国，11）一间民房的屋顶有如图9—4三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3 . 图9—4 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（ ） A.P 3＞P 2＞P 1 B.P 3＞P 2＝P 1 C.P 3＝P 2＞P 1 D.P 3＝P 2＝P 1 4.（2001全国，9）在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝ 2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ） A.60° B.90° C.105° D.75° 5.（2000全国文，12）如图9—5，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ） A. 321 B. 21 C.2 1 D. 42 1 6.（1995全国文，10）如图9—7，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝4 1 1B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ） A. 17 15 B. 2 1 C.17 8 D.2 3 7.（2003上海春，10）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 （结果用反三角函数值表示） . 2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1．两条异面直线所成角的求法 设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则 l 1与l 2所成的角θ a 与b 的夹角β 范围 ????0，π2 [0，π] 求法 cos θ＝|a ·b ||a ||b | cos β＝a ·b |a ||b | 2.直线与平面所成角的求法 设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝ |a ·n ||a ||n |. 3．求二面角的大小 (1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈AB →，CD →〉． (2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． 概念方法微思考 1．利用空间向量如何求线段长度？ 提示 利用|AB →|2＝AB →·AB → 可以求空间中有向线段的长度． 2．如何求空间点面之间的距离？ 提示 点面距离的求法： 已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离为 |BO →|＝|AB →||cos 〈AB →，n 〉|. 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( × ) (4)两异面直线夹角的范围是????0，π2，直线与平面所成角的范围是??? ?0，π2，二面角的范围是[0，π]． ( √ ) (5)若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ.( × ) 题组二 教材改编 2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135° D ．90° 答案 C 解析 cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝11·2＝22，即〈m ，n 〉＝45°. ∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°. 3．如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为______． 答案 π6 解析 如图，以A 为原点，以AB →，AE →(AE ⊥AB )，AA 1→所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴(如图) 建立空间直角坐标系，设D 为A 1B 1的中点， 空间角和距离的计算(1) 一线线角 1．直三棱柱A1B1C1-ABC，∠BCA=900，点D1，F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1 与AF1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥面ABCD，PD与底面成300角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD； （2）若AE⊥PD，求异面直线AE与CD所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1、CD的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D1F和AB和所成的角； （2）求D1F与平面AED所成的角． B 1 D 1 2．在三棱柱A1B1C1-ABC中，四边形AA1B1B是菱形，四边形BCC1B1是矩形，C1B1⊥AB，AB=4，C1B1=3，∠ABB1=600，求AC1与平面BCC1B1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点． （1）证明AB1∥平面DBC1； （2）设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的大小． 2．ABCD是直角梯形，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求面SCD与面SBA所成的二面角的大小；B 1 B C （2）求SC与面ABCD所成的角． 3．已知A1B1C1-ABC是三棱柱，底面是正三角形，∠A1AC=600，∠A1AB=450，求二面角B—AA1—C的大小． 空间角和距离的计算(2) 四空间距离计算 （点到点、异面直线间距离） 1.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是BC的中点，DP交AC于M，B1P交BC1于N． （1）求证：MN上异面直线AC和BC1的公垂线； （2）求异面直线AC和BC1间的距离． （点到线，点到面的距离） C 1 A 1 高一数学竞赛辅导材料 空间角和距离 市番禺区教育局教研室 严运华 一 方法指要 1. 二面角的求法: (1)定义法:作出二面角的平面角.常用作法有:三垂线定理法,辅助垂面法, 平移法等. (2)面积射影定理:设平面α面积为S 的某一平面图形在另一平面β的射影 的面积为' S 则平面α与平面β夹角满足S S ' cos = (3)异面直线上两点间距离公式法:θcos 2222mn n m d EF -++=,其中 F E ,分别为二面角两个?ā ā忽?@ EMBED Equation.3 F E ,到棱的距离分别为n m ,,d 是F E ,在棱上射影间的距离,θ是二面角的度数 2. 异面直线距离的求法 (1)定义法:作出异面直线的公垂线段 (2)线面平行法:已知异面直线a,b,若a 平行于b 所在的平面β,则 a 与β 距离就是a 与b 的距离 (3)线面垂直法:已知异面直线a,b,若a 垂直与b 所在平面β,则垂足到直 线的距离就是a 与b 的距离. (4)体积法:把异面直线的距离转化为求某类几何体的高,借助与体积相等 来建立方程来求高. (5)最值法:根据异面直线距离为了解异面直线上任意两点间线段长的最小 值,利用求极值的方法. (6)异面直线上两点间距离公式法θcos 2222mn n m d EF -++= 3. 空间点到平面(线面距离,面面距离)的距离的求法: (1)直接过点作平面的垂线 (2)体积法 注:无论是求角还是求距离,其方法大致可以分为两类:一类是直接法,即作出所求的角和距离;另一类是转化法. 二 题型示例 1.选择题 (1)如图正四面体ABCD 中,E 在棱AB 上,F 在棱CD 上使得 )0(>==λλFD CF EB AE ,记λλβαλ+=)(f ,其中λα表示EF 与AC 所成的角λβ表示EF 与BD 所成的角,则 (A))(λf 在),0(+∞单调增加 (B) )(λf 在),0(+∞单调减少 (C) )(λf 在)1,0(单调增加)(λf 在),1(+∞单调减少 (D) )(λf 在),0(+∞为一常数. A B D E D B A C α 普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座37）—空间夹角和距离 一．课标要求： 1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离； 2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察主要有以下情况：（1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用。 预测2007年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察。 三．要点精讲 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 （1）异面直线所成的角的范围是]2 , 0(π 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法 是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。 （2）直线与平面所成的角的范围是]2 , 0[π 。求直线和平面所成的角用的是射影转化 法。 具体步骤如下： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤； （3）确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射 北京英才苑学科专家组 安振平 审定 2003－2004学年度下学期 高中学生学科素质训练 高二数学测试题—空间角和距离（7） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．a 、b 为异面直线，二面角M —l —N ，M a ⊥，N b ⊥，如果二面角M —l —N 的 平面角为θ，则a ，b 所成的角为 （ ） A ．θ B ．θ-π C ．θ或θ-π D ．θ+π 2．在空间，如果x 、y 、z 表示直线与平面，“若y x ⊥，z x ⊥，则y ∥z ”成立，那么x ， y ，z 所分别表示的元素正确的是 （ ） A ．x ，y ，z 都是直线 B ． x ，y ，z 都是平面 C ．x ，y 为平面，z 为直线 D ． x 为直线，y ，z 为平面 3．一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是 （ ） A ．相等 B ．互补 C ．相等或互补 D ．不能确定 4．二面角M —l —N 的平面角是60 ，直线a ?平面M ，a 与棱l 所成的角是30 ，则a 与平 面N 所成的角的余弦值是 （ ） A ． 4 3 B ．2 2 C ．4 13 D ．2 1 5. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 中，D 是AB 的中点， CD 等于3，则顶点A 1到平面CDC 1的距离为（ ）． A ． 2 1 B ．1 C ． 2 3 D ．2 6．在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和 45°，则异面直线 B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为（ ）高考数学试题-第2018讲空间中的夹角和距离 最新
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