数学八年级上册压轴题期末复习试卷(Word版含解析)
一、压轴题
1.已知ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,点M是AC的中点,延长BM至点D,使DM =BM,连接AD.
(1)如图①,求证:DAM≌BCM;
(2)已知点N是BC的中点,连接AN.
①如图②,求证:ACN≌BCM;
②如图③,延长NA至点E,使AE=NA,连接,求证:BD⊥DE.
2.如图,直线l1:y1=﹣x+2与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P(m,3)为直线l1上
一点,另一直线l2:y2=1
2
x+b过点P.
(1)求点P坐标和b的值;
(2)若点C是直线l2与x轴的交点,动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动.设点Q的运动时间为t秒.
①请写出当点Q在运动过程中,△APQ的面积S与t的函数关系式;
②求出t为多少时,△APQ的面积小于3;
③是否存在t的值,使△APQ为等腰三角形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
3.如图,直线
11 2
y x b
=-+分别与x轴、y轴交于A,B两点,与直线
26
y kx
=-交于点()
C4,2.
(1)b= ;k= ;点B坐标为;
(2)在线段AB上有一动点E,过点E作y轴的平行线交直线y2于点F,设点E的横坐标为m,当m为何值时,以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形;
(3)若点P为x轴上一点,则在平面直角坐标系中是否存在一点Q,使得P,Q,A,B四个点能构成一个菱形.若存在,直接写出所有符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
4.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,过点B 的另一条直线交x轴正半轴于点C,且OC=3.
图1 图2
(1)求直线BC的解析式;
(2)如图1,若M为线段BC上一点,且满足S△AMB=S△AOB,请求出点M的坐标;
(3)如图2,设点F为线段AB中点,点G为y轴上一动点,连接FG,以FG为边向FG右侧作正方形FGQP,在G点的运动过程中,当顶点Q落在直线BC上时,求点G的坐标;5.在平面直角坐标系xOy中,若P,Q为某个矩形不相邻的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.图1为点P,Q的“相关矩形”的示意图.已知点A的坐标为(1,2).
(1)如图2,点B的坐标为(b,0).
①若b=﹣2,则点A,B的“相关矩形”的面积是;
②若点A,B的“相关矩形”的面积是8,则b的值为.
(2)如图3,点C在直线y=﹣1上,若点A,C的“相关矩形”是正方形,求直线AC的表达式;
(3)如图4,等边△DEF的边DE在x轴上,顶点F在y轴的正半轴上,点D的坐标为(1,0).点M的坐标为(m,2),若在△DEF的边上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,请直接写出m的取值范围.
6.(1)问题发现:如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE.
①请直接写出∠AEB的度数为_____;
②试猜想线段AD与线段BE有怎样的数量关系,并证明;
(2)拓展探究:图2,△ACB和△DCE均为等腰三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E 在同-直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由.
7.如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠1与∠2互补.
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:PF∥GH;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点使∠PHK=∠HPK,作PQ平分
∠EPK,求∠HPQ的度数.
8.ABC 是等边三角形,作直线AP ,点C 关于直线AP 的对称点为D ,连接AD ,直线BD 交直线AP 于点E ,连接CE .
(1)如图①,求证:CE AE BE +=;(提示:在BE 上截取BF DE =,连接AF .)
(2)如图②、图③,请直接写出线段CE ,AE ,BE 之间的数量关系,不需要证明; (3)在(1)、(2)的条件下,若26BD AE ==,则CE =__________. 9.(阅读材科)小明同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,
如果具有公共的项角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形,小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,小明发现若∠BAC =∠DAE ,AB =AC ,AD =AE ,则△ABD ≌△ACE . (材料理解)(1)在图1中证明小明的发现.
(深入探究)(2)如图2,△ABC 和△AED 是等边三角形,连接BD ,EC 交于点O ,连接AO ,下列结论:①BD =EC ;②∠BOC =60°;③∠AOE =60°;④EO =CO ,其中正确的有 .(将所有正确的序号填在横线上).
(延伸应用)(3)如图3,AB =BC ,∠ABC =∠BDC =60°,试探究∠A 与∠C 的数量关系.
10.已知在△ABC 中,AB =AC ,射线BM 、BN 在∠ABC 内部,分别交线段AC 于点G 、H .
(1)如图1,若∠ABC=60°,∠MBN=30°,作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点
E、F.
①求证:∠1=∠2
;
②如图2,若BF=2AF,连接CF,求证:BF⊥CF;
(2)如图3,点E为BC上一点,AE交BM于点F,连接CF,若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,
求ABF
ACF
S
S的值.
11.在Rt ABC中,90
ACB
∠=?,30
A
∠=?,BD是ABC的角平分线,DE AB
⊥
于点E.
(1)如图1,连接EC,求证:EBC
是等边三角形;
(2)如图2,点M是线段CD上的一点(不与点,C D重合),以BM为一边,在BM下方作60
BMG
∠=?,MG交DE延长线于点G.求证:AD DG MD
=+;
(3)如图3,点N是线段AD上的点,以BN为一边,在BN的下方作60
BNG
∠=?,NG交DE延长线于点G.直接写出ND,DG与AD数量之间的关系.
12.在等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
(1)如图1,D,E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点,且∠DAE=45°,将△ABE绕点A逆时针旋转90后,得到△AFC,连接DF
①求证:△AED≌△AFD;
②当BE=3,CE=7时,求DE的长;
(2)如图2,点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点,连接AD,以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE,当BD=3,BC=9时,求DE的长.
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一、压轴题
1.(1)见解析;(2)①见解析;②见解析
【解析】
【分析】
(1)由点M是AC中点知AM=CM,结合∠AMD=∠CMB和DM=BM即可得证;
(2)①由点M,N分别是AC,BC的中点及AC=BC可得CM=CN,结合∠C=∠C和BC=AC 即可得证;
②取AD中点F,连接EF,先证△EAF≌△ANC得∠NAC=∠AEF,∠C=∠AFE=90°,据此知
∠AFE=∠DFE=90°,再证△AFE≌△DFE得∠EAD=∠EDA=∠ANC,从而由
∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM即可得证.
【详解】
解:(1)∵点M是AC中点,
∴AM=CM,
在△DAM和△BCM中,
∵
AM CM
AMD CMB
DM BM
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△DAM≌△BCM(SAS);
(2)①∵点M是AC中点,点N是BC中点,
∴CM=1
2
AC,CN=
1
2
BC,
∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,
∴CM=CN,
在△BCM和△ACN中,
∵
CM CN
C C BC AC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△BCM≌△ACN(SAS);
②证明:取AD中点F,连接EF,
则AD=2AF , ∵△BCM ≌△ACN , ∴AN=BM ,∠CBM=∠CAN , ∵△DAM ≌△BCM ,
∴∠CBM=∠ADM ,AD=BC=2CN , ∴AF=CN ,
∴∠DAC=∠C=90°,∠ADM=∠CBM=∠NAC , 由(1)知,△DAM ≌△BCM , ∴∠DBC=∠ADB , ∴AD ∥BC , ∴∠EAF=∠ANC , 在△EAF 和△ANC 中,
AE AN EAF ANC AF NC =??
∠=∠??=?
, ∴△EAF ≌△ANC (SAS ), ∴∠NAC=∠AEF ,∠C=∠AFE=90°, ∴∠AFE=∠DFE=90°, ∵F 为AD 中点, ∴AF=DF , 在△AFE 和△DFE 中,
AF DF AFE DFE EF EF =??
∠=∠??=?
, ∴△AFE ≌△DFE (SAS ), ∴∠EAD=∠EDA=∠ANC ,
∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°, ∴BD ⊥DE . 【点睛】
本题是三角形的综合问题,解题的关键是掌握中点的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点.
2.(1)b=
72;(2)①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32
t ﹣27
2
;②7<t <9或9<t <11,③存在,当t 的值为3或9+或9﹣或6时,△APQ 为等腰三角形. 【解析】
分析:(1)把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标,然后根据待定系数法即可求得b ;
(2)根据直线2l 的解析式得出C 的坐标,①根据题意得出9AQ t =-,然后根据
1
2
P S AQ y =
?即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式;②通过解不等式273322t -<或327 3.22
t -<即可求得7 2 2 2(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则()()2 2 2(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()2 22(71)03(72)t t -++-=--, 即可求得. 详解:解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点, ∴3=?m +2,解得m =?1, ∴点P 的坐标为(?1,3), 把点P 的坐标代入212y x b =+ 得,()1 312 b =?-+, 解得7 2b =; (2)∵72 b = ; ∴直线l 2的解析式为y =12x +72, ∴C 点的坐标为(?7,0), ①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0), ∴当Q 在A . C 之间时,AQ =2+7?t =9?t , ∴11273(9)32222S AQ yP t t =?=?-?=-; 当Q 在A 的右边时,AQ =t ?9, ∴11327(9)32222 S AQ yP t t ;= ?=?-?=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =-或327 .22 S t =- ②∵S <3, ∴273322t -<或327 3.22t -< 解得7 ③存在; 设Q (t ?7,0), 当PQ =PA 时,则()()()222 2(71)032103,t -++-=++- ∴22 (6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去), 当AQ =PA 时,则()()22 2(72)2103,t --=++- ∴2 (9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()2 22(71)03(72)t t -++-=--, ∴22 (6)9(9)t t -+=-, 解得t =6. 故当t 的值为3或9+9-6时,△APQ 为等腰三角形. 点睛:属于一次函数综合题,考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求函数解析式,等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键. 3.(1)4;2;(0,4);(2)12 5m = 或285 m =;(3)存在.Q 点坐标为() -,() 4,()0,4-或()5,4. 【解析】 【分析】 (1)根据待定系数法,将点C (4,2)代入解析式可求解; (2)设点E (m , 1 42 m +),F (m ,2m -6),得()154261022EF m m m =-+--=-,由 平行四边形的性质可得BO =EF =4,列出方程即可求解; (3)分两种情况讨论,由菱形的性质按照点平移的坐标规律,先确定P 点坐标,再确定O 点坐标即可求解. 【详解】 解:(1)(1)∵直线y 2=kx -6交于点C (4,2), ∴2=4k -6, ∴k =2, ∵直线21 2 y x b =-+过点C (4,2), ∴2=-2+b , ∴b =4, ∴直线解析式为:21 2 y x b =- +,直线解析式为y 2=2x -6, ∵直线21 2 y x b =- +分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点, ∴当x =0时,y =4,当y =0时,x =8, ∴点B (0,4),点A (8,0), 故答案为:4;2;(0,4) (2)∵点E 在线段AB 上,点E 的横坐标为m , ∴1,42E m m ?? -+ ??? ,(),26F m m -, ∴()15 4261022 EF m m m =- +--=-. ∵四边形OBEF 是平行四边形, ∴EF BO =, ∴5 1042 m - =, 解得:12 5m =或285 m =时, ∴当12 5m = 或285 m =时,四边形OBEF 是平行四边形. (3)存在.此时Q 点坐标为( )45,4-,() 45,4,()0,4-或()5,4. 理由如下:假设存在.以P ,Q ,A ,B 为顶点的菱形分两种情况: ①以AB 为边,如图1所示. 因为点()8,0A ,()0,4B , 所以45AB =. 因为以P ,Q ,A ,B 为顶点的四边形为菱形, 所以AP AB =或BP BA =. 当AP AB =时,点( )845,0P -或() 845,0+; 当BP BA =时,点()8,0P -. 当() 845,0P -时,()8458,04Q -+,即() 45,4-; 当() 845,0P +时,()8458,04Q +-+,即() 45,4; 当()8,0P -时,()880,004Q -+-+-,即()0,4-. ②以AB 为对角线,对角线的交点为M ,如图2所示. 可得5AP =, 点P 坐标为()3,0. 因为以P ,Q ,A ,B 为顶点的四边形为菱形, 所以点Q 坐标为()5,4. 综上可知:若点P 为x 轴上一点,则在平面直角坐标系中存在一点Q ,使得P ,Q , A , B 四个点能构成一个菱形,此时Q 点坐标为()45,4-,() 45,4,()0,4-或 ()5,4. 【点睛】 本题是一次函数综合题,利用待定系数法求解析式,平行四边形的性质,菱形的性质,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键. 4.(1)4 43y x =-+;(2)612(,)55M ;(3)23(0,)7 G 或(0,-1)G 【解析】 【分析】 (1)求出点B ,C 坐标,再利用待定系数法即可解决问题; (2)结合图形,由S △AMB =S △AOB 分析出直线OM 平行于直线AB ,再利用两直线相交建立方程组求得交点M 的坐标; (3)分两种情形:①当n >2时,如图2-1中,点Q 落在BC 上时,过G 作直线平行于x 轴,过点F ,Q 作该直线的垂线,垂足分别为M ,N .求出Q (n-2,n-1).②当n <2时,如图2-2中,同法可得Q (2-n ,n+1),代入直线BC 的解析式解方程即可解决问题. 【详解】 解:(1)∵直线y=2x+4与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B , ∴A (-2,0),B (0,4),, 又∵OC=3, ∴C (3,0), 设直线BC 的解析式为y=kx+b ,将B 、C 的坐标代入得: 3 4k b b +=?? =? , 解得:434 k b ? =-? ??=?, ∴直线BC 的解析式为4 43 y x =-+; (2)连接OM , ∵S △AMB =S △AOB , ∴直线OM 平行于直线AB ,故设直线OM 解析式为:2y x =, 将直线OM 的解析式与直线BC 的解析式联立得方程组 2443y x y x =?? ? =-+?? , 解得:65 125x y ? =????=?? 故点612 (, )55 M ; (3)∵FA=FB ,A (-2,0),B (0,4), ∴F (-1,2),设G (0,n ), ①当n >2时,如图2-1中,点Q 落在BC 上时,过G 作直线平行于x 轴,过点F ,Q 作该直线的垂线,垂足分别为M ,N . ∵四边形FGQP 是正方形,易证△FMG ≌△GNQ , ∴MG=NQ=1,FM=GN=n-2, ∴Q (n-2,n-1), ∵点Q 在直线4 43 y x =-+上, ∴4 1(2)43 n n -=--+, ∴23= 7n , ∴23 (0,)7 G . ②当n <2时,如图2-2中,同法可得Q (2-n ,n+1), ∵点Q 在直线4 43 y x =-+上, ∴4 +1(2)43 n n =--+, ∴n=-1, ∴(0,-1)G . 综上所述,满足条件的点G 坐标为23 (0,)7 G 或(0,-1)G 【点睛】 本题属于一次函数综合题,考查了待定系数法,三角形的面积,全等三角形的判定和性 质,正方形的性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题. 5.(1)①6;②5或﹣3;(2)直线AC的表达式为:y=﹣x+3或y=x+1;(3)m的取 值范围为﹣3≤m≤﹣2m≤3. 【解析】 【分析】 (1)①由矩形的性质即可得出结果; ②由矩形的性质即可得出结果; (2)过点A(1,2)作直线y=﹣1的垂线,垂足为点G,则AG=3求出正方形AGCH的边长为3,分两种情况求出直线AC的表达式即可; (3)由题意得出点M在直线y=2上,由等边三角形的性质和题意得出OD=OE=1 2 DE= 1,EF=DF=DE=2,得出OF OD ①当点N在边EF上时,若点N与E重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M的坐标为(﹣3,2)或(1,2);若点N与F重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则 点M的坐标为(﹣2);得出m的取值范围为﹣3≤m≤﹣或2﹣ ≤m≤1; ②当点N在边DF上时,若点N与D重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M 的坐标为(3,2)或(﹣1,2);若点N与F重合,点M,N的“相关矩形”为正方形, 则点M的坐标为(22);得出m的取值范围为2≤m≤3或2﹣ ≤m≤1;即可得出结论. 【详解】 解:(1)①∵b=﹣2, ∴点B的坐标为(﹣2,0),如图2﹣1所示: ∵点A的坐标为(1,2), ∴由矩形的性质可得:点A,B的“相关矩形”的面积=(1+2)×2=6, 故答案为:6; ②如图2﹣2所示: 由矩形的性质可得:点A,B的“相关矩形”的面积=|b﹣1|×2=8, ∴|b﹣1|=4, ∴b=5或b=﹣3, 故答案为:5或﹣3; (2)过点A(1,2)作直线y=﹣1的垂线,垂足为点G,则AG=3, ∵点C在直线y=﹣1上,点A,C的“相关矩形”AGCH是正方形, ∴正方形AGCH的边长为3, 当点C在直线x=1右侧时,如图3﹣1所示: CG=3, 则C(4,﹣1), 设直线AC的表达式为:y=kx+a, 则 2 14 k a k a =+ ? ? -=+ ? , 解得; 1 3 k a =- ? ? = ? , ∴直线AC的表达式为:y=﹣x+3; 当点C在直线x=1左侧时,如图3﹣2所示:CG=3, 则C(﹣2,﹣1), 设直线AC的表达式为:y=k′x+b, 则 2 12 k b k b =+ ? ? -=-+ ' ' ? , 解得: k1 b1 = ? ? = ' ? , ∴直线AC的表达式为:y=x+1, 综上所述,直线AC的表达式为:y=﹣x+3或y=x+1; (3)∵点M的坐标为(m,2), ∴点M在直线y=2上, ∵△DEF是等边三角形,顶点F在y轴的正半轴上,点D的坐标为(1,0), ∴OD=OE=1 2 DE=1,EF=DF=DE=2, ∴OF OD 分两种情况:如图4所示: ①当点N在边EF上时,若点N与E重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M的坐标为(﹣3,2)或(1,2); 若点N与F重合,点M,N的“相关矩形”为正方形, 则点M的坐标为(﹣2)或(2,2); ∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2m≤1; ②当点N在边DF上时,若点N与D重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M的坐标为(3,2)或(﹣1,2); 若点N与F重合,点M,N的“相关矩形”为正方形, 则点M的坐标为(22)或(﹣,2); ∴m的取值范围为2m≤3或﹣1≤m≤﹣ 综上所述,m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2m≤3. 【点睛】 此题主要考查图形与坐标综合,解题的关键是熟知正方形的性质、一次函数的图像与性质及新定义的应用. 6.(1)①60°;②AD=BE.证明见解析;(2)∠AEB=90°;AE=2CM+BE;理由见解析.【解析】 【分析】 (1)①由条件△ACB和△DCE均为等边三角形,易证△ACD≌△BCE,从而得到:AD=BE, ∠ADC=∠BEC .由点A ,D ,E 在同一直线上可求出∠ADC ,从而可以求出∠AEB 的度数.②由△ACD ≌△BCE ,可得AD=BE ; (2)首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,可得AC=BC ,CD=CE , ∠ACB=∠DCE=90°,据此判断出∠ACD=∠BCE ;然后根据全等三角形的判定方法,判断出△ACD ≌△BCE ,即可判断出BE=AD ,∠BEC=∠ADC ,进而判断出∠AEB 的度数为90°;根据DCE=90°,CD=CE ,CM ⊥DE ,可得CM=DM=EM ,所以DE=DM+EM=2CM ,据此判断出AE=BE+2CM . 【详解】 (1)①∵∠ACB=∠DCE ,∠DCB=∠DCB , ∴∠ACD=∠BCE , 在△ACD 和△BCE 中, AC BC ACD BCE CD CE =?? ∠=∠??=? , ∴△ACD ≌△BCE , ∴AD=BE ,∠CEB=∠ADC=180°?∠CDE=120°, ∴∠AEB=∠CEB?∠CED=60°; ②AD=BE. 证明:∵△ACD ≌△BCE , ∴AD=BE . (2)∠AEB =90°;AE=2CM+BE ;理由如下: ∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB =∠DCE= 90°, ∴AC = BC , CD = CE , ∠ACB =∠DCB =∠DCE -∠DCB , 即∠ACD = ∠BCE , ∴△ACD ≌△BCE , ∴AD = BE ,∠BEC = ∠ADC=135°. ∴∠AEB =∠BEC -∠CED =135°- 45°= 90°. 在等腰直角△DCE 中,CM 为斜边DE 上的高, ∴CM =DM= ME ,∴DE = 2CM . ∴AE = DE+AD=2CM+BE . 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识,解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题. 7.(1)AB ∥CD ,理由见解析;(2)证明见解析;(3)45°. 【解析】 【分析】 (1)利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补,所以易证AB ∥CD ; (2)利用(1)中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°;然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°,即EG ⊥PF ,故结合已知条件GH ⊥EG ,易证PF ∥GH ; (3)利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得 90902KPG PKG HPK ??∠=-∠=-∠;然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知 1 452 QPK EPK HPK ?∠=∠=+∠;最后根据图形中的角与角间的和差关系求得 ∠HPQ =45°. 【详解】 (1)AB ∥CD , 理由如下: ∵∠1与∠2互补, ∴∠1+∠2=180°, 又∵∠1=∠AEF ,∠2=∠CFE , ∴∠AEF +∠CFE =180°, ∴AB ∥CD ; (2)由(1)知,AB ∥CD ,∴∠BEF +∠EFD =180°. 又∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P , ∴1()902 FEP EFP BEF EFD ? ∠+∠=∠+∠= ∴∠EPF =90°,即EG ⊥PF . ∵GH ⊥EG , ∴PF ∥GH ; (3)∵∠PHK =∠HPK , ∴∠PKG =2∠HPK . 又∵GH ⊥EG , ∴∠KPG =90°﹣∠PKG =90°﹣2∠HPK , ∴∠EPK =180°﹣∠KPG =90°+2∠HPK . ∵PQ 平分∠EPK , ∴1452 QPK EPK HPK ? ∠=∠=+∠, ∴∠HPQ =∠QPK ﹣∠HPK =45°. 答:∠HPQ 的度数为45°. 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质.解题过程中,注意“数形结合”数学思想的运用. 8.(1)见解析;(2)图②中,CE+BE=AE ,图③中,AE+BE=CE ;(3)1.5或4.5 【解析】 【分析】 (1)在BE 上截取BF DE =,连接AF ,只要证明△AED ≌△AFB ,进而证出△AFE 为等 边三角形,得出CE+AE= BF+FE ,即可解决问题; (2)图②中,CE+BE=AE ,延长EB 到F ,使BF=CE ,连接AF ,只要证明△ACE ≌△AFB ,进而证出△AFE 为等边三角形,得出CE+BE= BF+BE ,即可解决问题;图③中,AE+BE=CE , 在EC上截取CF=BE,连接AF,只要证明△AEB≌△AFC,进而证出△AFE为等边三角形,得出AE+BE =CF+EF,即可解决问题; (3)根据线段CE,AE,BE,BD之间的数量关系分别列式计算即可解决问题. 【详解】 (1)证明:在BE上截取BF DE =,连接AF, 在等边△ABC中, AC=AB,∠BAC=60° 由对称可知:AP是CD的垂直平分线,AC=AD,∠EAC=∠EAD, 设∠EAC=∠DAE=x. ∵AD=AC=AB, ∴∠D=∠ABD=1 2 (180°-∠BAC-2x)=60°-x, ∴∠AEB=60-x+x=60°. ∵AC=AB,AC=AD, ∴AB=AD, ∴∠ABF=∠ADE, ∵BF DE =, ∴△ABF≌△ADE, ∴AF=AE,BF=DE, ∴△AFE为等边三角形, ∴EF=AE, ∵AP是CD的垂直平分线, ∴CE=DE, ∴CE=DE=BF, ∴CE+AE= BF+FE =BE; (2)图②中,CE+BE=AE,延长EB到F,使BF=CE,连接AF 在等边△ABC中, AC=AB,∠BAC=60° 由对称可知:AP是CD的垂直平分线,AC=AD,∠EAC=∠EAD,∴AB =AD,CE=DE, ∵AE =AE ∴△ACE≌△ADE, ∴∠ACE=∠ADE ∵AB =AD, ∴∠ABD=∠ADB ∴∠ABF=∠ADE=∠ACE ∵AB=AC,BF=CE, ∴△ACE≌△ABF, ∴AE=AF,∠BAF=∠CAE ∵∠BAC=∠BAE+∠CAE =60° ∴∠EAF=∠BAE+∠BAF =60° ∴△AFE为等边三角形, ∴EF=AE, ∴AE=BE+BF= BE+CE,即CE+BE=AE; 图③中,AE+BE=CE,在EC上截取CF=BE,连接AF, 在等边△ABC中, AC=AB,∠BAC=60° 由对称可知:AP是CD的垂直平分线,AC=AD,∠EAC=∠EAD,∴AB =AD,CE=DE, ∵AE =AE ∴△ACE≌△ADE, 1、已知点O为等边ABC ?内一点,0 110 = ∠AOB,α = ∠BOC,以OC为一边作等边OCD ?,连接AD。 (1)当0 150 = α时,试判断AOD ?的形状,并说明理由。 (2)探究:当α为多少度时,AOD ?为等腰三角形。 2、(1)如图1:点E在正方形ABCD的边上,BF⊥AE于点F,DG⊥AE于点G,求证:△ADG ≌△BAF (2)如图2:已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC, 求证:△ABE≌△CAF (3)如图3:在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为9,则△ABE与△CDF的面积的和是多少。 图1 图2 图3 3、.问题背景,请你证明以上三个命题; ①如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角∠ACK的平分线,若∠ANM=60°,则AN=NM ②如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点,CM为正方形外角∠DCK的平分线,若∠ANM=90°,则AN=NM ③如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角∠DCK的平分线, O A B C D 若∠ANM=108°,则AN=NM 4、已知点C 为线段AB 上一点,分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作△ACD 和△BCE ,且CA=CD ,CB=CE ,∠ACD=∠BCE ,直线AE 与BD 交于点F , (1)如图1,若∠ACD=60°,则∠AFB= ;如图2,若∠ACD=90°,则∠AFB= ;如图3,若∠ACD=120°,则∠AFB= ; (2)如图4,若∠ACD=α,则∠AFB= (用含α的式子表示); (3)将图4中的△ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度(交点F 至少在BD 、AE 中的一条线段上),变成如图5所示的情形,若∠ACD=α,则∠AFB 与α的有何数量关系?并给予证明. 提示:始终证明DCB ACE ??? 1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=3,点D是边AB上的动点(点D 与点A、B不重合),过点D作DE⊥AB交射线AC于E,连接BE,点F是BE的中点, 连接CD、CF、DF.(1)当点E在边AC上(点E与点C不重合)时,设AD=x,CE=y.①直接写出y关于x的函数关系式及定义域;②求证:△CDF是等边三角形; (2)如果BE=2,请直接写出AD的长. 2.已知:三角形纸片ABC中,∠C=90°,AB=12,BC=6,B′是边AC上一点.将三角形纸片折叠,使点B与点B′重合,折痕与BC、AB分别相交于E、F.(1)设BE=x,B′C=y,试建立y关于x的函数关系式,并直接写出x的取值范围; (2)当△AFB′是直角三角形时,求出x的值. 3.已知:如图,正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A(3, 2) (1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式; (2)根据图象回答,在第一象限内,当x取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值; (3)M(m,n)是反比例函数图象上的一动点,其中0<m<3,过点M作直线MN ∥x轴,交y轴于点B;过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C,交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时,请判断线段BM与DM的大小关系,并说明理由. 4.已知在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点在边BC上,BF⊥AC分别交射线DA、射线CA于点E、F,若BD=4,∠BAD=45°. (1)如图:若∠BAC是锐角,则点F在边AC上, ①求证:△BDE≌△ADC; ②若DC=3,求AE的长; (2)若∠BAC是钝角,AE=1,求AC的长. 2017年八年级下册数学期末压轴题汇编 1.如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上,点B的坐标为(3,4)一次函数 2 3 y x b =-+的图象与边OC AB分别交于点D、E,并且满足OD=BE.点M是线段DE上的一个动点. (1)求b的值;(2)连结OM,若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3,求点M的坐标; (3)设点N是x轴上方的平面内的一点,当四边形OM DN是菱形时,求点N的坐标; 2.如图,正方形ABCD中,P为BD上一动点,过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q, ⑴求证:PA=PQ;⑵用等式表示PB2、PD2、AQ2之间的数量关系,并证明; ⑶点P从点B出发,沿BD方向移动,若移动的路径长为2,则AQ的中点M移动的路径为---------------;(直接写出答案) 3.已知矩形ABCD的一条边AD=8,E是BC边上的一点,将矩形ABCD沿折痕AE折叠,使得顶点B落在CD边上的点P处,PC=4(如图1); (1)求AB的长; (2)擦去折痕AE,连结PB,设M是线段PA的一个动点(点M与点P、A不重合).N是AB沿长线上的一个动点,并且满足PM=BN.过点M作MH PB,垂足为H,连结MN交PB于点F(如图2). ①若M是PA的中点,求MH的长; ②试问当点M、N在移动过程中,线段FH的长度是否发生变化?若变化,说明理由,若不变,求出线段FH的长度; 4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6,BC=9,动点P从D点出发沿DA以每秒1个单位的速度向A点运动,动点Q从B点出发沿BC以每秒3个单位的速度向C点运动.两点同时出发,当Q点到达C点时,点P随之停止运动.设点P运动的时间为t秒; (1)求t的取值范围; (2)求t为何值时,PQ与CD相等? (1 26.(本题满分10分) 已知:在矩形ABCD 中, AB=10, BC=12,四边形EFGH 勺三个顶点E 、F 、H 分别在 矩形 ABCD 边 AB BC DA 上, AE=2. (1)如图①,当四边形EFGH 为正方形时,求△ GFC 勺面积;(5分) (2)如图②,当四边形EFGH 为菱形,且BF = a 时,求△ GFC 勺面积(用含a 的代数式表 示); 26 .解:(1)如图①,过点G 作GM 在正方形EFGH 中, HEF 90,EH EF . 分) 又??? A B 90;, ???/ AHE^/BEF 分)同理可证:/MF Q/BEF (1 分) BC 于M (第26题图 ??? GM=BF=A=2. (1 ??? FC=BC -BE10. 分) (2 )如图②,过点 G 作GM BC 于 M 连接 HF ........................................................ ( 1 分) AHE MFG. ........................................................................... ( 1 分) 又: A GMF 90;,EH GF, ? / AHE^/MFG ......................................................................... ( 1 分) ? GM=AE2. ................................................................................. ( 1 分) 如图,直线y . 3x 4、3与x 轴相交于点A ,与直线y '、3x 相交于点P . (1)求点P 的坐标. ⑵ 请判断△ OPA 的形状并说明理由. (3)动点E 从原点O 出发,以每秒1个单位的速度沿着O P A 的路线向点A 匀速运动 (E 不与点O 、A 重合),过点E 分别作EF x 轴于F , EB y 轴于B.设运动t 秒时, 矩形EBOF 与厶OPA 重叠部分的面积为S.求S 与t 之间的函数关系式 1 s 严 2 FC GM 1 於12 a ) 12 a . (1 分) Word格式 完美整理八年级下数学压轴题 1.已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H. (1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:; (2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明; (3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论) Word格式 2.如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F. (1)若点D是BC边的中点(如图①),求证:EF=CD; (2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比; (3)若点D是BC边上的任意一点(除B、C外如图②),那么(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. 完美整理 Word格式 3.(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF; (2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD. (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题: 如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积. 完美整理 初二数学上册压轴题 一、选择题(每题5分) 1、已知坐标平面内点M(a,b)在第三象限,那么点N(b, -a)在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2、已知点A (2,-3),线段AB 与坐标轴没有交点,则点B 的坐标可能是 ( ) A .(-1,-2) B .( 3,-2) C .(1,2) D .(-2,3) 3、一个点的横、纵坐标都是整数,并且他们的乘积为6,满足条件的点共有 ( ) A .2 个 B .4 个 C .8 个 D .10 个 4、已知函数13+=x y ,当自变量x 增加m 时,相应函数值增加( ) A 、3m+1 B 、3m C 、m D 、3m -1 5、若点A (-2,n )在x 轴上,则B (n -1,n+1)在 ( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 6、m 为整数,点P (3m -9,3-3m )是第三象限的点,则P 点的坐标为( ) A 、(-3,-3) B 、(-3,-2) C 、(-2,-2) D 、(-2,-3) 7、观察下列图象,可以得出不等式组 ? ? ?>-->+015.00 13x x 的解集是 ( ) A 、31 A B C D 9.将某图形的横坐标都减去2 ,纵坐标不变,则该图形 ( ) A .向右平移2个单位 B .向左平移 2 个单位 C .向上平移2 个单位 D .向下平移2 个单位 10.如图,平面直角坐标系中,在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿A B C D A →→→→运动一周,则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是 ( ) 二.填空(每题4分) 11、点A (-3,5)到x 轴的距离为______ ,关于y 轴的对称点坐标为_________。 12、在函数y =x 的取值范围是__________ 。 13.已知关于x,y 的一次函数y=(m-1)x-2的图像经过平面直角坐标系中的 10题图 A . B . C . D . ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 26.(本题满分10分) 已知:在矩形ABCD 中,AB =10,BC =12,四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在 矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上,AE =2. (1)如图①,当四边形EFGH 为正方形时,求△GFC 的面积;(5分) (2)如图②,当四边形EFGH 为菱形,且BF = a 时,求△GFC 的面积(用含a 的代数式表示);(5分) D (第26题图1) D C A B E (第26题图2) F H G 26.解:(1)如图①,过点G作于M.…………………………………………(1分) 在正方形EFGH中, . …………………………………………………………(1分) 又∵, ∴⊿AH E≌⊿BEF…………………………………………………………(1分)同理可证:⊿MFG≌⊿BEF. …………………………………………………………(1分)∴GM=BF=AE=2. ∴FC=BC-BF=10.…………………………………………………………(1分)(2)如图②,过点G作于M.连接HF.…………………………………………(1分) …………………………………………………(1分) 又 ∴⊿AHE≌⊿MFG.………………………………………………………(1分) ∴GM=AE=2.……………………………………………………………(1分) …………………………………………(1 如图,直线与轴相交于点,与直线相交于点. (1) 求点的坐标. (2) 请判断△的形状并说明理由. (3) 动点从原点出发,以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀 速运动(不与点、重合),过点分别作轴于,轴于. 设运动秒时,矩形与△重叠部分的面积为.求与之间的函数关系式. 压轴题精选 1、如图,在平面直角坐标系内,已知点A (0,6)、点B (8,0),动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动,同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒. ⑴求直线AB 的解析式; ⑵当t 为何值时,△APQ 与△AOB 相似? 2、“三等分角”是数学史上一个著名的问题,但仅用尺规不可能“三等分角”.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图):将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中,边OB 在x 轴上、边OA 与函数x y 1 =的图象交于点P ,以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R .分 别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线,两直线相交于点M ,连接OM 得到∠MOB ,则∠MOB=3 1 ∠ AOB .要明白帕普斯的方法,请研究以下问题:(1)设)1,(a a P 、)1 ,(b b R ,求直线OM 对应的函数表 达式(用含b a ,的代数式表示). (2)分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线,两直线相交于点Q .请说明Q 点在直线OM 上,并据 此证明∠MOB=3 1 ∠AOB . 3、(14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OEFG 的顶点E 坐标为(4,0),顶点G 坐标为(0,2).将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转,使点F 落在轴的点N 处,得到矩形OMNP ,OM 与GF 交于点A . (1)判断△OGA 和△OMN 是否相似,并说明理由; (2)求过点A 的反比例函数解析式; (3)设(2)中的反比例函数图象交EF 于点B ,求直线AB 的解析式; (4)请探索:求出的反比例函数的图象,是否经过矩形OEFG 的对称中心,并说明理由. 4、如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ,且与x 轴的正半轴相交于点A ,点P 、点Q 在线段AB 上,点M 、N 在线段AO 上,且OPM 与QMN 是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形,90OPM MQN ∠=∠=。试求: (1)AN ∶AM 的值; (2)一次函数y kx b =+的图象表达式。 x O P A B 八年级上学期数学几何复习 【图形的剪拼】 1.如图,有边长为1、3的两个连接的正方形纸片,用两刀裁剪成三块,然后拼成 一个正方形,如何拼? 2.如图,有一张长为5 ,宽为3的矩形纸片ABCD,要通过适当的剪拼,得到 一个与之面积相等的正方形 (1)正方形的边长为____________.(结果保留根号) (2)现要求只能用两条裁剪线,请你设计出一种裁剪的方法,在图中画出裁 剪线,并简要说明剪拼过程_____________. (天津市中考题)【三角形】 1.在△ABC中,∠ACB=90°,直线MN经过点C且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时,求证:DE=AD+BE (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时,求证:DE=AD-BE (3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时,试问DE、AD、BE 具有怎样的等量关系并证明。 3.如图,△ABC中AB=AC,∠ABC=36°,D、C为BC上的点,且 ∠BAD=∠DAE=∠EAC,则图中的等腰三角形有()个。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点. (1)若E、F分别是AB、AC上的点,且AE=CF,求证:△AED≌△CFD; (2)当点F、E分别从C、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动,到点A、B时停止;设△DEF的面积为y,F点运动的时间为x,求y与x的函数关系式; (3)在(2)的条件下,点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动,求此时y与x的函数关系式 (4)当x的值为多少事,S△DEF能最大化? 华师大版初二年下册综合压轴题 1.若点(m ,n )在函数12+=x y 的图象上,则代数式124+-n m 的值是( ) A .1 B .1- C .2 D .2- 2. 如图,点P 是反比例函数x y 6 = (0>x )的图象上的 任意一点,过点P 分别作两坐标轴的垂线,与坐标轴构 成矩形OAPB ,点D 是矩形OAPB 内任意一点,连接 DA 、 DB 、DP 、 DO ,则图中阴影部分的面积是 ( ) A .1 ; B . 2; C .3; D . 4. 3.若点(m ,n )在函数12+=x y 的图象上,则代数式124+-n m 的值是( ) A .1 B .1- C .2 D .2- 4. 观察下列等式:n a =1,1211a a -=,2 31 1a a -=,…;根据其蕴含的规律可得( ). A. n a =2013 B. n n a 12013-= C. 112013-=n a D. n a -=112013 5.设函数x y 3 =与1y x =-的图象的交点坐标为(a ,b ),则11a b -的值为( ) A .3- B .3 C .31- D .3 1 6.小亮从家步行到公交车站台,等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程()s km 与所花时间()min t 之间的函数关系,下列说法错误的... 是( ). A .他离家8km 共用了30min B .他等公交车时间为6min C .他步行的速度是100/m min D .公交车的速度是350/m min 7.如图所示,一只小虫在折扇上沿O →A →B →O 路径爬行,能大致描述小虫距出发点O 的距离s 与时间t 之间的函数图象是 ( ) 8.小华的爷爷每天坚持体育锻炼,某天他慢步..到离家较远的绿岛 公园,打了一会儿太极拳后跑步..回家.下面能反映当天小华的 爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系的大致图象是( ). 第2题 C2 C1 A2 B2 B1 O1 O A1 D C B A 八年级(下)数学精选压轴题、新题 1. 如图所示,在矩形ABCD中,AB=12,AC=20,两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形C OBB 1 ,对角线相交于 点 1 A;再以C A B A 1 1 1 、为邻边作第2个平行四边形C C B A 1 1 1 ,对角线相交于点 1 O;再以 1 1 1 1 C O B O、为邻边作第3个平行四边形1 2 1 1 C B B O……依此类推.(1)求矩形ABCD的面积;(2)求第1个平行四边形 1 OBB C、第2个平行四边形 111 A B C C和第6个平行四边形的面积。 2、如图,菱形ABCD的对角线长分别为b a、,以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1,然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2,……,如此下去,得到四边形A2011B2011C2011D2011的面积用含b a、的代数式表示为. 3、在直角三角形ABC中,CD是斜边AB的高,∠A的平分线AE交CD于F,交BC于E,EG⊥AB于G,求证:CFGE是菱形。 4.如图,在梯形ABCD中,,6,5,30 AD BC AC BD OCB ==∠=?,求BC+AD的值及梯形面积. 5.已知数x1,x2,x3,x4, …,x n的平均数是5,方差为2,则3x1+4,3x2+4, …,3x n+4的平均数是_______________,方差是_______________. 6、一组数据 0,-1,5,x,3,-2的极差是8,那么x的值为() A、6 B、7 C、6或-3 D、7或-3 7.观察式子: a b3 ,- 2 5 a b , 3 7 a b ,- 4 9 a b ,……,根据你发现的规律知,第8个式子为. 8、如图,每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的,梯形上、下底及腰长如图,依此规律第10个图形的周长为。 …… 第一个图第二个图第三个图 9、如图,矩形ABCD对角线AC经过原点O,B点坐标为(―1,―3),若一反比例函数 x k y=的图象过点D,则其解析式为。 _F _A_B _C _D _E _G B C A D O最新八年级数学(上册)压轴题专题练习
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