二次函
数中考试题分类汇编
一、选择题
1、已知二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,有下列5个结论:① 0>abc ;② c a b +<;③ 024>++c b a ;④ b c 32<;⑤
)(b am m b a +>+,(1≠m 的实数)其中正确的结论有( )B
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
2、如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为x =-1.给出四个结论:①b 2>4ac ;②2a +b =0;③a -b +c =0;④5a <b .其中正确结论是( ). B (A )②④ (B )①④ (C )②③ (D )①③
3、二次函数2
21y x x =-+与x 轴的交点个数是( )B A .0 B .1 C .2 D .3 4、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2ax bx =+的图象可能为( )A
5、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上,并经过点(-1,2),(1,0) . 下列结论正确的是( )D
A. 当x >0时,函数值y 随x 的增大而增大
B. 当x >0时,函数值y 随x 的增大而减小
C. 存在一个负数x 0,使得当x
大而增大
D. 存在一个正数x 0,使得当x
6、已知二次函数y =x 2-x+a (a >0),当自变量x 取m 时,其相应的函数值小于0,那么下列结论中正确的
是( )B
(A) m -1的函数值小于0? ?? ?? ? (B) m -1的函数值大于0? ?? ??
(C) m -1的函数值等于0? ?? ? (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题
12且P =| a -b +c |+| 2a +b |,Q =| a +b +c |+| 2a -b |, 则P 、Q 的大小关系为 . P 2、如图9所示的抛物线是二次函数2 2 31y ax x a =-+-的图象,那么a 的值是 .-1 3、已知二次函数2 2y x x m =-++的部分图象如 图所示,则关于x 的一元二次方程 图8 O x y O x y O x y O x y A B C D x y O 第4题 O y x 图9 (第3题) 220x x m -++=的解为 . 11x =-,23x =; 4、已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示,则点()P a bc ,在第 象限. 三 三、解答题 1、知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B (1,0),且经过点C (2,8)。 (1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标。 ∴ 2(1(2 ∴二次函数解析式为2(1)4y x =--,即223y x x =--. (2)令0y =,得2 230x x --=,解方程,得13x =,21x =-. ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30),和(10)-,. ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点. 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40), 3、已知二次函数图象的顶点是(1 2)-,,且过点302? ? ??? ,. (1)求二次函数的表达式,并在图10中画出它的图象; (2)求证:对任意实数m ,点2 ()M m m -, 都不在这个 二次函数的图象上. 解:(1)依题意可设此二次函数的表达式为2 (1)2y a x =++, ······························ 2分 又点302? ? ??? ,在它的图象上,可得322 a =+,解得12a =-. 则- 4(1(2(3(4(2(3(45? ??为(2)对称轴为2=x ;顶点坐标为(2,-10). (3)将(m ,m )代入642--=x x y ,得 642--=m m m , 图13 解得121,6m m =-=.∵m >0,∴11-=m 不合题意,舍去. ∴?m =6.∵点P 与点Q 关于对称轴2=x 对称,∴点Q 到x 轴的距离为6. 6、在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ,两点(点 A 在点 B 的左边),与y 轴交于点 C ,其顶点的横坐标为1,且过点(23), 和(312)--,. (1)求此二次函数的表达式; (2)若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D (不与点B C ,重合),则是否存在这样的直线l ,使得以B O D ,,为顶点的三角形与BAC △相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点D 的坐标; BAC , 若是①,则有BO BC BD BA = = =45OBC BE DE ∠=∴=,. ∴在 Rt BDE △中,由勾股定理,得2 2222 24BE DE BE BD ?+=== ?? . 解得 94BE DE == (负值舍去).93 344 OE OB BE ∴=-=-=. ∴点D 的坐标为3944?? ???,.将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中,求得3k =. ∴3x .此3+求得 点332 BO BA BC ?=45BE ∴,∴中,由勾股定理,得2 2), . . ∴D 为顶点 (3)设过点(03)(10)C E ,,,的直线3(0)y kx k =+≠与该二次函数的图象交于点P . 将点(1 0)E ,的坐标代入3y kx =+中,求得3k =-.∴此直线的函数表达式为33y x =-+. 设点P 的坐标为(33)x x -+, ,并代入2 23y x x =-++,得25x x -=解得1250x x ==,(不合题意,舍去).512x y ∴==-,. ∴点P 的坐标为(512)-,.此时,锐角PCO ACO ∠=∠. 又 二次函数的对称轴为1x =, ∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(23),. ∴当5p x >时,锐角PCO ACO ∠<∠;当5p x =时,锐角PCO ACO ∠=∠; 当25p x <<时,锐角PCO ACO ∠>∠. 7、如图,矩形A ’BC ’O ’是矩形OABC(边OA 在x 轴正半轴上,边OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到的.O ’点在x 轴的正半轴上,B 点的坐标为(1,3). (1)如果二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象经过O 、O ’两点且图象顶点M 的纵坐标为 —1.求这个二次函数的解析式; (2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P ,使得ΔPOM 为直角三角形?若存在,请求出P (3)8一房地产(1)2)中的 )代入, 得 ???=+-=.18.0)41(,09.02 k a k 解之,得??? ???=. 1009100k ∴抛物线段c 的函数关系式为 Q = 1001( t -4)2+1009,即Q =1001t 2-252t +4 1, 1≤t ≤8. 9、如图10,已知抛物线P :y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上),与y 轴 交于点C ,矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上,顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上,抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下: y … - 52 -4 - 52 0 … (1) 求A 、B 、C 三点的坐标; (2) 若点D 的坐标为(m ,0),矩形DEFG 的面积为S ,求S 与m 的函数关系,并指出m 的取值范围; (3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时,连接DF 并延长至点M ,使FM =k ·DF ,若点M 不在抛物线P 上,求k 的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因,经过探索、思考仍无法圆满解答本题,请不要轻易放弃,试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同,完全正确解答只能得到5分): (2) 若点D 的坐标为(1,0),求矩形DEFG 的面积. 解:⑴ 解法一:设2(0)y ax bx c a , 任取x ,y 的三组值代入,求出解析式2 142 y x x , · ····························· 1分 令y =0,求出124,2x x ;令x =0,得y =-4, ∴ A 、B 、C 三点的坐标分别是A (2,0),B (-4,0),C (0,-4) . ·················· 3分 解法二:由抛物线P 过点(1,-52 ),(-3,5 2)可知, 抛物线P 的对称轴方程为x =-1, ·························································· 1分 又∵ 抛物线P 过(2,0)、(-2,-4),则由抛物线的对称性可知, 点A 、B 、C 的坐标分别为 A (2,0),B (-4,0),C (0,-4) . ························· 3分 ⑵ 由题意,AD DG AO OC ,而AO =2,OC =4,AD =2-m ,故DG =4-2m , ·········· 4分 又 BE EF BO OC ,EF =DG ,得BE =4-2m ,∴ DE =3m , ······························· 5分 ∴S DEFG =DG ·DE =(4-2m ) 3m =12m -6m 2 (0<m <2) . ···································· 6分 注:也可通过解Rt △B 形的面积最大,且最大面积是6 . 当矩形面积最大时,其顶点为D (1,0),G (1,-2),F (-2,-2),E (-2,0), ··· 7分 设直线DF 的解析式为y =kx +b ,易知,k =23,b =-23,∴22 33y x , 又可求得抛物线P 的解析式为:2 142 y x x , · ································ 8分 令2233x =2 142 x x , 可求出x =1613. 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ,则N 的横坐标为1613,过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ,有 FN HE DF DE =161 2 33 =5619, ··············································· 9分 点M 不在抛物线P 上,即点M 不与N 重合时,此时k 的取值范围是 k ≠5619 且k >0. ········································································· 10分 说明:若以上两条件错漏一个,本步不得分. 若选择另一问题: ⑵ ∵AD DG AO OC ,而AD =1,AO =2,OC =4,则DG =2, ···························· 4分 图10 又∵ FG CP AB OC , 而AB =6,CP =2,OC =4,则FG =3, ∴S DEFG =DG ·FG =6. 10、(2007山东威海)如图①,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(12),,点B 的坐标为(31),,二次函数2 y x =的图象记为抛物线1l . (1)平移抛物线1l ,使平移后的抛物线过点A ,但不过点B ,写出平移后的一个抛物线的函数表达式: (任写一个即可). (2)平移抛物线1l ,使平移后的抛物线过A B ,两点,记为抛物线2l ,如图②,求抛物线2l 的函数表达 (3(4 23x +, y =(2?∴? ?∴(3)2 2 9119722416y x x x ??=-+=-+ ???,C ∴点的坐标为97416?? ??? ,. 过A B C ,,三点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D E F ,,, 则2AD =,716CF = ,1BE =,2DE =,54DF =,3 4 FE =. ABC ADEB ADFC CFEB S S S S ∴=--△梯形梯形梯形. 117517315 (21)22122164216416 ????= +?-+?-+?= ? ?????. 延长BA 交y 轴于点G ,设直线AB 的函数表达式为y mx n =+, 点(12)A ,,(31)B ,在直线AB 上,213.m n m n =+?∴? =+?,解得125. 2 m n ?=-????=??, ∴直线AB 的函数表达式为1522y x =-+.G ∴点的坐标为502?? ??? ,. 设K 点坐标为(0)h ,,分两种情况: 若 S △S 若∴(411A 、C (3)点G 抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F ,使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由。 解:(1)令y=0,解得11x =-或23x =(1分) ∴A (-1,0)B (3,0);(1分) 将C 点的横坐标x =2代入2 23y x x =--得y=-3,∴C (2,-3)(1分) ∴直线AC 的函数解析式是y=-x -1 (2)设P 点的横坐标为x (-1≤x ≤2)(注:x 的范围不写不扣分) 则P 、E 的坐标分别为:P (x ,-x -1),(1分) E (2 (,23)x x x --(1分) ∵P 点在E 点的上方,PE=2 2 (1)(23)2x x x x x -----=-++(2分) ∴当12x = 时,PE 的最大值=9 4 (1分) (3 中考数学中二次函数压 轴题分类总结 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象,其顶点坐标为M(1,4-). (1)求出图象与x 轴的交点A ,B 的坐标; (2)在二次函数的图象上是否存在点P ,使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 练习: 1. 如图.平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为(-2,2),点B 的坐标为(6,6),抛物线经过A 、O 、B 三点,线段AB 交y 轴与点E . (1)求点E 的坐标; (2)求抛物线的函数解析式; (3)点F 为线段OB 上的一个动点(不与O 、B 重合),直线EF 与抛物线交与M 、N 两点(点N 在y 轴右侧),连结ON 、BN ,当点F 在线段OB 上运动时,求?BON 的面积的最大值,并求 出此时点N 的坐标; 2. 如图,已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ,交y 轴于点B . (1)求A 、B 两点的坐标,并求直线AB 的解析式; (2)设),(y x P (0>x )是直线x y =上的一点,Q 是OP 的中点(O 是原点),以PQ 为对角线作 正方形PEQF .若正方形PEQF 与直线AB 有公共点,求x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ,求S 关于x 的函数解析式,并探究S 的最大值. y x O B N A M E F B y 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是() A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 () A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数,下列说法正确的是() A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时,的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示,下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点() A. (-3,-6) B. (-3,0) C. (-3,-5) D. (-3,-1) 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是() A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数(,,是常数,)图象的一部分,与轴的交点在点 和之间,对称轴是.对于下列说法:①;②;③;④ (为实数);⑤当时,,其中正确的是() A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 二次函数考点分类复习 知识点一:二次函数的定义 考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式。 备注:当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数. 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①y=x 2 -4x+1; ②y=2x 2 ; ③y=2x 2 +4x ; ④y=-3x ; ⑤y=-2x -1; ⑥y=mx 2 +nx+p ; ⑦y =; ⑧y=-5x 。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s (米)与时间t (秒)的关系式为s=5t 2 +2t ,则t =4秒时,该物体所经过的路程为 。 3、若函数y=(m 2 +2m -7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数,则m 的取值范围为 。 课后练习: (1)下列函数中,二次函数的是( ) A .y=ax 2+bx+c B 。2 )1()2)(2(---+=x x x y C 。x x y 1 2+ = D 。y=x(x —1) (2)如果函数1)3(2 32++-=+-mx x m y m m 是二次函数,那么m 的值为 知识点二:二次函数的对称轴、顶点、最值 1、二次函数 c bx ax y ++=2,当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;当0 二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题(难) 1.如图,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,抛物线上一点D的坐标为(4,3) (1)求该二次函数所对应的函数解析式; (2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点,PE//x轴,PF//y轴,求线段EF的最大值; (3)如图2,点M是线段CD上的一个动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点N,当△CBN是直角三角形时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标. 【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)EF的最大值为 2 4 ;(3)M点坐标为可以为(2, 3),(55 2 + ,3),( 55 2 - ,3). 【解析】 【分析】 (1)根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上,设二次函数解析式的交点式,将D点坐标代入求出a的值,最后将二次函数的交点式转化成一般式形式. (2)由题意可知点P在二次函数图象上,坐标为(p,p2﹣4p+3).又因为PF//y轴,点F 在直线BC上,P的坐标为(p,﹣p+3),在Rt△FPE中,可得FE2PF,用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值. (3)根据题意求△CBN是直角三角形,分为∠CBN=90°和∠CNB=90°两类情况计算,利用三角形相似知识进行分析求解. 【详解】 解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣b)(x﹣c), ∵y=ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为(1,0)和(3,0), ∴二次函数解析式:y=a(x﹣1)(x﹣3). 又∵点D(4,3)在二次函数上, ∴(4﹣3)×(4﹣1)a=3, ∴解得:a=1. ∴二次函数的解析式:y=(x﹣1)(x﹣3),即y=x2﹣4x+3. 【二次函数的定义】 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①y=x2-4x+1;②y=2x2;③y=2x2+4x;④y=-3x; ⑤y=-2x-1;⑥y=mx2+nx+p;⑦y =(4,x) ;⑧y=-5x。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4 秒时,该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。 4、若函数y=(m-2)x m -2+5x+1是关于x的二次函数,则m的值为。 6、已知函数y=(m-1)x m2 +1+5x-3是二次函数,求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 (技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k; 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c,则最值为4ac-b2 4a 1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。 2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c= . 3.抛物线y=x2+3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴 6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-1 4 的顶点的横坐标是2,则m的值是_ . 7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。 8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。 9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)x n+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.中考数学中二次函数压轴题分类总结
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