高斯五点公式详细计算方法
A
A R K 1=
，B
B
R K
1=
, A
B AB
K K K
-= 则p 点坐标如下：
??????+±+=∑
=2
2
1
2(cos i S
AB i A A n
i i A p V l l K lv K R l x x α
?
?
????+±+=∑
=2
21
2(sin i S
AB i A A n
i i A p V l l K lv K R l y y α p 点方位角:
)
2(2
S
AB
A A
P l l
K
l K +
±=α
α
式中：A
α＝起始方位角 l ＝p 点到A 的距离 S
l =曲线总长 P
α＝p 点切线方位角
五节点系数
：
28095
1184634425.051==R R
49683
2393143352.042==R R 4444
2844444444
.03
=R
046910070
.0151=-=V V
2307653449
.0142=-=V V
5.03=V
四节点系数：R 1＝R 4＝0.1739274266 R 2＝R 3＝0.3260725774 V 1=1-V 4=0.0694318442 V 2=1-V 3=0.3300094782
三节点系数：R 1＝R 3＝0.27777778 R 2＝0.44444444 V1＝1-V 3＝0.1127016654 V 2=0.5 其中: A r
A
A
K l R l
l K
==π180
r
S AB r B
A S
B A S
AB
l K
l
R R l R R l l l
K
)
2()
(9022
2
2
=
-=
π
(其中
式中：A
α＝起始方位角 l ＝p 点到A 的距离 S
l =曲线总
长 P
α＝p 点切线方位角
起点A 的曲率为A
K ，终点B 的曲率为B
K ， R 为曲线半径。
±表示曲线元的偏向，当曲线元左偏时取负号，当曲线元右偏时取正号。 公式推导：?
?
????+±+=∑
=)2(cos 2
2
1i S
AB i A A n
i i A p
V l l K lv K R l x x
α
=??
????+±+∑=)2(cos 1i S AB A i A n
i i A
V l l
K K lv R l x
α
=???
??
?
?????
?
-
+
±+∑
=)2)11(1(
cos 1
i S
i A
n
i i A
V l l
A
B
A
lv R l x α
=????
??
????
-+±+∑
=)2)11(1(cos 1
i
S i A n
i i A
V l l A B A lv R l x α
=??
????-+±+∑=)2)(1(cos 1i S i A n
i i A
V ABl l
B A A lv R l x α
因)2)(1(i S
i
V ABl l B A A lv
-+
计算出来是弧度，所以将其转换成度
=?
?
????-+±+∑
=)2)(1(180cos 1
i S i A n
i i A
V ABl l
B A A lv R l x
πα
公式中A 和B 分别为起点半径和终点半径。Y 坐标算法以上一样，只要将COS 换成SIN
坐标反算：
已知曲线元起点A的线路坐标系中的坐标A(X A,Y A),过A点的切线方位角a A,起点A和终点B的曲率分别为K A与K B,曲线元长度即A到B点的弧长L s,地面点P在线路坐标中的坐标P(X p,Y p),现求P点到曲线元的垂距D p及P’到起点A的弧长L p
公式:
1:求P点到起点A的垂距的绝对值
将d1做为L p初值,代入高斯或复卜生计算中桩坐标公式中的L,求得P1点坐标.
2:计算P点至P1点法线垂距d2,
3:用(d1+d2)作为Lp新的近似值,代入高斯或复卜生计算中桩坐标公式中的L,求得P2点坐标.
4:将P2坐标入第二步的公式求解P点至P2点的垂距d3.
5:如果绝对值d3小于0.001m时,即所求P’点于A的弧长,如果大于0.001m,则重复以上过程.
高斯投影坐标正反算 V B程序 文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）
高斯投影坐标正反算 学院： 班级： 学号： 姓名： 课程名称: 指导老师：
实验目的： 1.了解高斯投影坐标正反算的基本思想； 2.学会编写高斯正反算程序，加深了解。 实验原理： 高斯投影正算公式中应满足的三个条件： 1. 中央子午线投影后为直线； 2. 中央子午线投影后长度不变； 3. 投影具有正形性质，即正形投影条件。 高斯投影反算公式中应满足的三个条件： 1. x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； 2. x轴上的长度投影保持不变； 3. 正形投影条件，即高斯面上的角度投影到椭球面上后角度没有 变形，仍然相等。 操作工具： 计算机中的 代码： Dim a As Double, b As Double, x As Double, y As Double, y_#
Dim l_ As Double, b_ As Double, a0#, a2#, a4#, a6#, a8#, m2#, m4#, m6#, m8#, m0#, l0#, e#, e1# Dim deg1 As Double, min1 As Double, sec1 As Double, deg2 As Double, min2 As Double, sec2 As Double Private Sub Command1_Click() Dim x_ As Double, t#, eta#, N#, W#, k1#, k2#, ik1%, ik2%, dh% deg1 = Val min1 = Val sec1 = Val deg2 = Val min2 = Val sec2 = Val l_ = (deg1 * 3600 + min1 * 60 + sec1) / 206265 b_ = (deg2 * 3600 + min2 * 60 + sec2) / 206265 dh = Val k1 = ((l_ * 180 / + 3) / 6) k2 = (l_ * 180 / / 3) ik1 = Round(k1, 0) ik2 = Round(k2, 0) If dh = 6 Then l0 = 6 * ik1 - 3 Else
高斯—克吕格投影正反算公式的应用 【摘要】高斯-克吕格正算公式是把大地坐标换算成高斯-克吕格投影平面上的直角坐标，而高斯-克吕格反算公式是把高斯-克吕格投影平面直角坐标换算到椭球面上的大地坐标。为了城市坐标与国家统一坐标取得一致，需要进行城市坐标与国家坐标之间的换算，高斯-克吕格正反算公式为不同投影带之间的坐标换算提供了精确的坐标公式。 【关键词】高斯-克吕格投影坐标中央子午线 1 引言 目前，大比例尺地形图广泛应用在市政建设、路桥、管道铺设和城市规划等工程建设中。为了满足城市大比例尺1：500地形测图精度要求，《城市测量规范》要求，控制点之间的投影长度变形不得大于 2.5cm/km。当控制点之间的长度变形大于2.5cm/km时，要采取适当的措施进行改化，以达到城市大比例尺1：500地形测图精度要求。国家坐标系是6°带或3°带投影的高斯-克吕格直角坐标系，根据它的变形规律，离中央子午线越远，所产生的投影变形越大。城市独立坐标系的建立，通常是选择过城市的某国家控制点为地方坐标系的起算点，过这点的经线为其中央子午线并联测国家高等级的控制点建立起来的。这样，国家坐标系与城市独立坐标系的中央子午线存在一个差值λ。为了更好的进行数据共享，城市平面控制坐标最理想的是和国家坐标系相统一，这就要进行城市独立坐标与国家坐标之间的坐标换算。高斯-克吕格投影正反算公式能很好的解决不同投影带之间的坐标换算问题。其方法是：先将已知的平面坐标，按高斯-克吕格投影反算公式求得其大地坐标（B，L），然后根据大地纬度B和经差λ，再按高斯-克吕格投影正算公式求得其在另一投影带中的平面坐标。 2 高斯-克吕格投影正反算公式 2.1 高斯-克吕格投影正算公式： （1） 其中：，为中央子午线弧长，其计算公式为： 、、、为常数，其计算公式为： 2.2 高斯-克吕格投影反算公式： 其中：。 （1）、（4）式中的N、的计算公式为：
第 19 页 ，共 20 页 目 录 1 高斯定理的表述 1.1数学上的高斯公式 1.2静电场的高斯定理 1.3磁场的高斯定理 2高斯定理的证明方法 2.1.1静电场的高斯定理 2.1.2磁场的高斯定理 2.2高斯定理的直接证明 2.3高斯定理的另一种证明 2.4对称性原理及其在电磁学中的应用 3理解和使用高斯定理应注意的若干问题的讨论与总结 (a) 定理中的 E 是指空间某处的总电场强度 (b) 注意ξ int ∑?= ?q dS E s 中 E 和 dS 的矢量性 (c) 正确理解定理中的∑int q (d) 不能只从数学的角度理解ξ int ∑?= ?q dS E s (e) 对高斯面的理解 4 高斯定理的应用? 4.1利用高斯定理求解无电介质时电场的强度 4.2利用高斯定理求解有电介质时电场的强度 5将高斯定理推广到万有引力场中 5.1静电场和万有引力场中有关量的类比 5.2万有引力场中的引力场强度矢量 5.3万有引力场中的高斯定理 6结束语 参考文献
高斯定理在电磁学中的应用 摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。最后把高斯定理推广到万有引力场中去。 关键词：高斯定理，应用，万有引力场 引言 高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强度或者磁感应强度。虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应对高斯定理有一定的了解。 1 高斯定理的表述 1.1数学上的高斯公式 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 所围成，若函数,,P Q R 在V 上连续，且有一阶 连续函数偏导数，则 S V P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ?? ???++=++ ????? ?????? 1－1 其中S 的方向为外发向。1－1式称为高斯公式[1] 。 1.2静电场的高斯定理 一半径为r 的球面S 包围一位于球心的点电荷q ，在这个球面上，场强→ E 的方向处处垂直于球面，且→ E 的大小相等,都是2 04q E r πε= 。通过这个球面S 的电通量为 o o o o εππεπεπε φq r r q dS r q dS r q S d E s s s e = ?= = ?=?=??????→ → 22 2 2 4444 其中 S dS ?? 是球面积分，等于2 4r π。从此例中可以看出，通过球面S 的电通量只与其中的电量q 有关，与高斯面的半径r 无关。若将球面S 变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为0q ε。
高斯投影坐标正反算 一、相关概念 大地坐标系由大地基准面和地图投影确定，由地图投影到特定椭圆柱面后在南北两极剪开展开而成，是对地球表面的逼近，各国或地区有各自的大地基准面，我国目前主要采用的基准面为：基准面，为GPS基准面，17届国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378137m，短半轴b=； 2.西安80坐标系，1975年国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378140m，短半轴b=; 3.北京54坐标系，参照前苏联克拉索夫斯基椭球体建立,椭圆柱长半轴a=6378245m, 短半轴b=; 通常所说的高斯投影有三种，即投影后： a)角度不变（正角投影），投影后经线和纬线仍然垂直； b)长度不变； c)面积不变； 大地坐标一般采用高斯正角投影，即在地球球心放一点光源，地图投影到过与中央经线相切的椭圆柱面上而成；可分带投影，按中央经线经度值分带，有每6度一带或每3度一带两种(起始带中央经线经度为均为3度，即：6度带1带位置0-6度，3度带1带位置度)，即所谓的高斯-克吕格投影。
图表11高斯投影和分带 地球某点经度（L）为过该点和地球自转轴的半圆与子午线所在半圆夹角，东半球为东经，西半球为西经；地球某点纬度（B）为所在水平面法线与赤道圆面的线面角。 正算是已知大地坐标（L，B），求解高斯平面坐标（X，Y）,为确保Y值为正，Y增加500公里；反算则是由高斯平面坐标（X，Y）求解大地坐标（L，B）。 二、计算模型： 地球椭球面由椭圆绕地球自转轴旋转180度而成。 图表 1 椭圆 椭圆长半轴a，椭圆短半轴b, 椭圆方程：
(1) 图表2椭球面 椭球面方程： y2 a2+ x2 b2 + z2 a2 =1 /*************************************** 与网上充斥的将函数关系先展开为泰勒级数，再依据投影规则确定各参数不同，本文直接依据空间立体三角函数关系得出结果。 *****/ （一）正算 由图表1，
高斯投影坐标正反算编程报告 1. 编程思想 进行高斯投影坐标正反算的编程需要牵涉到大量的公式,为了使程序条理更清楚,各块的数据复用性更强,这里采取了结构化的编程思想。 程序由四大块组成。 GeodesyHomework 、cpp 文件用于存放main()函数,就是整个程序的入口。通过结构化的编程尽力使main()函数变得简单。 MyFunction 、h 与MyFunction 、cpp 用于存放计算过程中进行角度弧度换算时所要用到的一些自定的转换函数。 Zhengsuan 、h 与Zhengsuan 、cpp 用于存放Zhengsuan 类,在Zhengsuan 类中声明了高斯投影坐标正算所要用到的所有变量,在类的构造函数中进行成员变量的初始化及正算计算。通过get 函数获得相应的正算结果。 Fansuan 、h 与Fansuan 、cpp 用于存放Fansuan 类,类似于Zhengsuan 类,Fansuan 类中声明了高斯投影坐标反算所要用到的所有变量,在类的构造函数中进行成员变量的初始化及反算计算。通过get 函数获得相应的反算结果。 2. 计算模型 高斯投影正算公式 6 4256 4 42234 22)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l t t B B N l t B simB N l B B N X x ''+-''+ ''++-''+''?''+=ρηηρρ 5 2224255 3 2233 )5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N l t B N l B N y ''-++-''+ ''+-''+''?''=ηηρηρρ 高斯投影反算公式 () () ()( ) 2 22425 52 23 36 4254 222232 8624285cos 12021cos 6cos 459061720935242f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f t t t B N y t B N y B N y l y t t y N M t y t t N M t y N M t B B ηηηηη+++++++-=++- -+++ -= 3. 程序框图
高斯投影正反算编程一．高斯投影正反算基本公式（1）高斯正算基本公式 （2）高斯反算基本公式
以上主要通过大地测量学基础课程得到，这不进行详细的推导，只是列出基本公式指导编程的进行。 二．编程的基本方法和流程图 （1）编程的基本方法 高斯投影正反算基本上运用了所有的编程基本语句，本文中是利用C++语言进行基本的设计。高斯正算中对椭球参数和带宽的选择主要运用了选择语句。而高斯反算中除了选择语句的应用，在利用迭代算法求底点纬度还应用了循环语句。编程中还应特别注意相关的度分秒和弧度之间的相互转换，这是极其重要的。 （2）相关流程图 1）正算
选择带宽 3/6 度带 计算带号 输入大地坐标 B ，L 和经差 L0 6 度带 3 度带 选择椭球参数 计算带号 计算弧长 计算平面坐标 x,y 打印 x,y 开始 计算平面坐标 x,y 计算弧长 打印 x,y
开始 输入自然值坐标x,y 和经差L0 选择椭球参数 利用迭代算法 求解底点纬度 利用公式计算B 和L 打印B 和L 2）反算
三．编程的相关代码（1）正算 # include "stdio.h" # include "stdlib.h" # include "math.h" # include "assert.h" #define pi (4*atan(1.0)) int i; struct jin { double B; double L; double L0; }; struct jin g[100]; main(int argc, double *argv[]) { FILE *r=fopen("a.txt","r"); assert(r!=NULL); FILE *w=fopen("b.txt","w"); assert(r!=NULL); int i=0;
高斯投影坐标正反算 学院： 班级： 学号： 姓名： 课程名称: 指导老师：
实验目的： 1.了解高斯投影坐标正反算的基本思想； 2.学会编写高斯正反算程序，加深了解。 实验原理： 高斯投影正算公式中应满足的三个条件： 1. 中央子午线投影后为直线； 2. 中央子午线投影后长度不变； 3. 投影具有正形性质，即正形投影条件。 高斯投影反算公式中应满足的三个条件： 1. x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； 2. x轴上的长度投影保持不变； 3. 正形投影条件，即高斯面上的角度投影到椭球面上后角度没 有变形，仍然相等。 操作工具： 计算机中的VB6.0 代码： Dim a As Double, b As Double, x As Double, y As Double, y_# Dim l_ As Double, b_ As Double, a0#, a2#, a4#, a6#, a8#, m2#, m4#,
m6#, m8#, m0#, l0#, e#, e1# Dim deg1 As Double, min1 As Double, sec1 As Double, deg2 As Double, min2 As Double, sec2 As Double Private Sub Command1_Click() Dim x_ As Double, t#, eta#, N#, W#, k1#, k2#, ik1%, ik2%, dh% deg1 = Val(Text1.Text) min1 = Val(Text2.Text) sec1 = Val(Text3.Text) deg2 = Val(Text4.Text) min2 = Val(Text5.Text) sec2 = Val(Text6.Text) l_ = (deg1 * 3600 + min1 * 60 + sec1) / 206265 b_ = (deg2 * 3600 + min2 * 60 + sec2) / 206265 dh = Val(Text9.Text) k1 = ((l_ * 180 / 3.14159 + 3) / 6) k2 = (l_ * 180 / 3.14159 / 3) ik1 = Round(k1, 0) ik2 = Round(k2, 0) If dh = 6 Then l0 = 6 * ik1 - 3 Else If dh = 3 Then
class Gauss { #region 高斯投影正反算 ///
§8.4高斯投影计算的实用公式 1子午线弧长计算公式 改写并扩充(7-65)(7-64)两式 )8sin()6sin()4sin()2sin(86420B a B a B a B a B a X ++++= )16384 17640512525646043)(1(21864222e e e e e a a +++--= )16384 88205122106415)(1(4186424e e e e a a ++-= )16384 252051235)(1(618626e e e a a +--= )16384 315)(1(81828e e a a -= 2正算公式(8-67)(8-81) 00/cos ρBl p = 2/)12/)30/))58(61())49(5((1(22222222p p p t t t Nt X x -++++-++=ηηp p p t t t N y )6/)20/)14)5818(5()1((1(22222222ηηη+--+++-+= )3/)5/)2())23(1((1(sin 22222 00p p t Bl r -++++=ηη 式中： B t tan = 22)cos (B e '=η 221η+=V V c N /= 0000L L l -= 21a/e c -= 3 底点纬度公式 00Xq B = (单位：弧度) ))) sin (sin (sin )(2sin(028*********B q q B q B q B B B f ++++=(单位：弧度) 式中： )16384110255123506445431)(1(864220e e e e e a a ++++-=
简析高斯定理在电场中的应用 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为 01 () 1/n i i S E ds q φε==?=∑?? （1） 高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种: 1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等; 2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面 3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。 根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是: ○ 1 待求场强的场点必须在高斯面上;○ 2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○ 3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○ 4 高斯面的形状应是最简单的几何面。 最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。 步骤： 1．进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2．根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②穿过 该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量n 与E 平行或垂直，n 与E 平行时， E 的大小要求处处相等，使得E 能提到积分号外面； 3．计算电通量???S d E 和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。 应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。 利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。 典型例题： 例题1、设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为σ=9.3×10-8C/m 2，放置在真空中，求空间任一点的场强. 解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3) 带电面右半空间
高斯投影坐标正算公式 高斯投影坐标正反算公式 2.2.2. 1高斯投影坐标正算公式： B, x,y 高斯投影必须满足以下三个条件： ⑴中央子午线投影后为直线；⑵中央子午线投影后长度不变；⑶投影具有正形性质，即正形投影条件。 由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即 式中，x为的偶函数，y为的奇函数；，即， 如展开为的级数，收敛。 （2-10） 式中是待定系数，它们都是纬度B的函数。 由第三个条件知： 分别对和q求偏导数并代入上式 (2-11) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即
(2-12) (2-12)是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。 由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即(2-10)式第一式中，当时有： (2-13) 顾及(对于中央子午线) 得： (2-14,15) (2-16) 依次求得并代入(2-10)式，得到高斯投影正算公式
(2-17) 2.2.2. 2高斯投影坐标反算公式 x,y B, 投影方程： (2-18) 高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。 ⑴由x求底点纬度(垂足纬度),对应的有底点处的等量纬度，求x,y与 的关系式，仿照式有， 由于y和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将展开为y的幂级数；又由于是对称投影，q必是y的偶函数，必是y的奇函数。 (2-19) 是待定系数，它们都是x的函数. 由第三条件知： ，
， (2-20) (2-19)式分别对x和y求偏导数并代入上式 上式相等必要充分条件，是同次幂y前的系数相等， 第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为。也就是在底点展开为y的幂级数。 由(2-19)1式 依次求得其它各系数 (2-21) (2-21)1 ………… 将代入(2-19)1式得
1、高斯公式在普通物理中的应用 数学中的高斯公式是场论中的一个基本公式。它建立了空间某一区域v 上的体积分与其边界曲面S 上的面积分之间的关系，即 ）（1?????++=???? ????+??+??s y Rdxdy Qdzdx pdydz dxdydz z R y Q x P 在物理学中，常用它的矢量形式：??????=s s d F dv F div v 式中k R j i ++=Q P F 在普通物理学中，应用高斯公式可以简洁明了地证明某些重要的结论。下面我们就用它来推证著名的阿基米德浮力定律和静电场中的高斯定理。 （1）高斯公式推证阿基米德浮力定律 在普通物理的教科书中，一般对阿基米德浮力定律都不作严格的数学证明，仅对它作一个说明。但是我们可以根据重力场中静止流体的压强分布，应用高斯公式给出一个证明。 一物体浮在液面上，液体表面的平面把浮体表面的封闭曲面S 分为两部分 1S 和2S ，也把整个浮体分为两部分。其中浮在液面上的那部分为1V ，浸没在液体中的那部分为2V 。建立坐标系，取液体表面为x o y 平面，Z 轴的方向取为竖直向下。作用在曲面1S 上的压强就是大气压0P ，而作用在曲面2S 上的压强则为 gz P P ρ+=0 式中P 为液体的密度，z 为曲面2S 上某点处位于液面下的深度。作用在物体上的浮力就是由于作用在物体下部的压强大于作用在物体上部的压强而产生的，我们来具体计算一下。 因为作用在物体表面上任一面元上的压力总是与面元的法向矢量n 方向相反，所以有： ( ) ???????????????????-?-?-=??-??-??-=?++?-=??-=-=s s s s s s s s s s d k p k s d j p j s d i p i ds P k ds P j ds P i ds k x j i P n ds P s Pd F )()()(cos cos cos cos cos cos γ βαγβα浮 式中αβγ为n 与三个坐标轴的夹角，应用在高斯公式，上式可化 为体积分：
高斯投影坐标正反算V B 程序 Jenny was compiled in January 2021
高斯投影坐标正反算 学院： 班级： 学号： 姓名： 课程名称: 指导老师：
实验目的： 1.了解高斯投影坐标正反算的基本思想； 2.学会编写高斯正反算程序，加深了解。 实验原理： 高斯投影正算公式中应满足的三个条件： 1. 中央子午线投影后为直线； 2. 中央子午线投影后长度不变； 3. 投影具有正形性质，即正形投影条件。 高斯投影反算公式中应满足的三个条件： 1. x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； 2. x轴上的长度投影保持不变； 3. 正形投影条件，即高斯面上的角度投影到椭球面上后角度没有 变形，仍然相等。 操作工具： 计算机中的 代码： Dim a As Double, b As Double, x As Double, y As Double, y_#
Dim l_ As Double, b_ As Double, a0#, a2#, a4#, a6#, a8#, m2#, m4#, m6#, m8#, m0#, l0#, e#, e1# Dim deg1 As Double, min1 As Double, sec1 As Double, deg2 As Double, min2 As Double, sec2 As Double Private Sub Command1_Click() Dim x_ As Double, t#, eta#, N#, W#, k1#, k2#, ik1%, ik2%, dh% deg1 = Val min1 = Val sec1 = Val deg2 = Val min2 = Val sec2 = Val l_ = (deg1 * 3600 + min1 * 60 + sec1) / 206265 b_ = (deg2 * 3600 + min2 * 60 + sec2) / 206265 dh = Val k1 = ((l_ * 180 / + 3) / 6) k2 = (l_ * 180 / / 3) ik1 = Round(k1, 0) ik2 = Round(k2, 0) If dh = 6 Then l0 = 6 * ik1 - 3 Else
§8.3高斯投影坐标正反算公式 任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l ? x,y 高斯投影必须满足以下三个条件： ①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。 由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即 (8-10)式中，x 为l 的偶函数，y 为l 的奇函数；0330 '≤l ，即20/1/≈''''ρl ， 如展开为l 的级数，收敛。 +++=++++=553316644220l m l m l m y l m l m l m m x （8-33） 式中 ,,10m m 是待定系数，它们都是纬度B 的函数。 由第三个条件知： q y l x l y q x ??-=????=??, (8-33)式分别对l 和q 求偏导数并代入上式 ----=++++++=+++553315 63424 42204 52 3164253l dq dm l dq dm l dq dm l m l m l m l dq dm l dq dm dq dm l m l m m (8-34) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l 前的系数应相等，即
dq dm m dq dm m dq dm m 231 20 13121? =? -== (8-35) (8-35)是一种递推公式，只要确定了 0m 就可依次确定其余各系数。 由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X ，即(8-33)式第一式中，当0=l 时有： 0m X x == (8-36) 顾及(对于中央子午线) B V M r M B N dq dB M dB dX cos cos 2 ==== 得： B V c B N r dq dB dB dX dq dX dq dm m cos cos 01===?===(8-37,38) B B N dq dB dB dm dq dm m cos sin 2 2121112=?-=?-= (8-39) 依次求得6543,,,m m m m 并代入(8-33)式，得到高斯投影正 算公式
简析高斯定理在电场中的应用 高斯定理是物理学中电学部分的重要定理之一，在简化计算具有对称性的电场中有着重要应用，例如均匀带电的平面、直线、圆柱体、球面、球体等的电场的计算. 如果不理解高斯定理，不熟练掌握高斯定理的应用技巧，就会感到高斯定理深不可测. 下面，笔者就几年来的教学体会对高斯定理及其在电场中的应用作以简要分析. 三、高斯定理在电场中的应用 ［例题1］设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为σ=9.3×10-8C/m 2，放置在真空中，求空间任一点的场强. 解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3)带电面右半空间的场强与左半空间的场强，对带电平面是对称的. 为了计算右方一点A 的场强，在左取它的对称点B ，以AB 为轴线作一圆柱，如图-3所示. 对圆柱表面用高斯定理， 图-3 ?∑= +=?=s e e e q ds E 0 εφφφ两个底面侧面 (1) 0=侧e φ (2) ES e 2=两个底面φ (3) 圆柱内的电荷量为 ∑=S q σ (4) 把(2)、(3)、(4)代入(1)得 02εσ= E =12 81085.82103.9--???V/m=5.25×103 V/m ［例题2］设有一根无限长块均匀带正电直线，电荷线密度为λ=5.0×10-9C/m ，放置在真空中，求空间距直线1m 处任一点的场强. 解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在无限长块均匀直线上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与直线垂直向外的方向上存在(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)以直线为轴线的圆柱面上各点的场强数值相等，方向垂直于柱面(如图-4).
大地测量高斯投影正反算程序代码 课程：大地测量学基础 姓名：林江伟 学号：2008301610045 班级： 0804
界面如下： 输入数据计算：
using System; using System.Collections.Generic; using https://www.doczj.com/doc/778292935.html,ponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace大地 { public partial class Form1 : Form { double B, L; double x, y; double X, Y; int N; double L0, l1; double p=206264.80625; public Form1() {
InitializeComponent(); } private void Form1_Load(object sender, EventArgs e) { //自动化控件显示初始值 radioButton2.Checked=true; radioButton3.Checked = true; textBox1.Focus(); textBox1.Text = textBox2.Text = textBox3.Text = textBox4.Text = textBox5.Text = textBox6.Text = "0"; this.richTextBox2.Text = "说明：输入的坐标需为按6°带投影且采用克氏椭球参数所得的国家统一坐标"; } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { //获取输入数据 double bb1=Convert.ToDouble(this.textBox1.Text); double bb2=Convert.ToDouble(this.textBox2.Text); double bb3=Convert.ToDouble(this.textBox3.Text); double ll1=Convert.ToDouble(this.textBox4.Text); double ll2=Convert.ToDouble(this.textBox5.Text); double ll3=Convert.ToDouble(this.textBox6.Text); //检查输入格式的正确性 if (bb1 >= 0 && bb1 <90 && bb2 >= 0 && bb2 < 60 && bb3 >= 0 && bb3 < 60) { B = bb1 * 3600 + bb2 * 60 + bb3; } else { MessageBox.Show("纬度输入格式不正确！", "警告"); return; } if (ll1 >= 0 && ll1<360 && ll2 >= 0 && ll2 < 60 && ll3 >= 0 && ll3 < 60) { L = ll1 * 3600 + ll2 * 60 + ll3; } else { MessageBox.Show("经度输入格式不正确！", "警告"); return; }
1. 应用高斯公式计算下列曲面积分： （1）??++S xydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 是单位球面1222 =++z y x 的外侧； （2）?? ++S dxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体a z y x ≤≤,,0表面的外侧； （3） ??++S dxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面222z y x =+与平面z=h 所围空间区域)0(h z ≤≤的表面，方向取外侧； （4） ??++S dxdy z dzdx y dydz x 33 3，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧； （5） ??++S zdxdy ydzdx xdydz ，其中S 是单位球面222y x a z +-= 的外侧。 分析：记住高斯公式 d d d P Q R x y z x y z Ω?????++ ????????? d d d d d d S P y z Q z x R x y =++??， 其中S 取外侧． 解： （1）因为(,,)P x y z yz =，(,,)Q x y z zx =，(,,)R x y z xy =， 所以 d d d d d d S yz y z zx z x xy x y ++?? d d d V P Q R x y z x y z ?? ???=++ ?????????0d d d 0 V x y z ==??? （2） 4 3202 00 2 223)(2]2 )[(2)(2)(2a dx a x a dy a a y x dx dz z y x dy dx dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x a a a a a a V S =+=++=++=++=++??????????? （3） ?????++=++V S dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x )(222 ，由柱面坐标变换 ) ,0,20(,sin ,cos h z r h r z z r y r x ≤≤≤≤≤≤===πθθθ 知 原式40 20 2 )sin cos (2h rdz z r r dr d h r h π θθθπ = ++=??? （4）
// guass coordinateDlg.cpp : implementation file // #include "stdafx.h" #include "guass coordinate.h" #include "guass coordinateDlg.h" #include "math.h" #ifdef _DEBUG #define new DEBUG_NEW #undef THIS_FILE static char THIS_FILE[] = __FILE__; #endif ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // CAboutDlg dialog used for App About class CAboutDlg : public CDialog { public: CAboutDlg(); // Dialog Data //{{AFX_DATA(CAboutDlg) enum { IDD = IDD_ABOUTBOX }; //}}AFX_DATA // ClassWizard generated virtual function overrides //{{AFX_VIRTUAL(CAboutDlg) protected: virtual void DoDataExchange(CDataExchange* pDX); // DDX/DDV support //}}AFX_VIRTUAL // Implementation protected: //{{AFX_MSG(CAboutDlg) //}}AFX_MSG DECLARE_MESSAGE_MAP() }; CAboutDlg::CAboutDlg() : CDialog(CAboutDlg::IDD) { //{{AFX_DATA_INIT(CAboutDlg) //}}AFX_DATA_INIT }
Green公式、Stokes公式、Gauss公式在专业学科中 的应用 摘要 格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，除了在数学上应用于计算多元函数积分，在其他领域也有很多重要的应用。本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍它们的其他应用，其中包括应用于GPS面积测量仪，确定外部扰动重力场，应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等，帮助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，从而能够更准确地应用此三个公式。 关键词：格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用
目录 一、引言 (1) 二、格林（Green）公式的应用 (1) （一）格林公式的定义 (1) 1、单连通区域的概念 (1) 2、区域的边界曲线的正向规定 (1) 3、陈述 (1) (二)格林公式的物理原型 (2) 1、物理原型 (2) 2、计算方法 (2) （三）格林公式与GPS面积测量仪 (3) 1.应用曲线积分计算平面区域面积 (3) 2.GPS面积测量仪的数学原理 (4) 3.实验结果 (5) 4.进一步讨论 (5) （四）应用格林积分直接以地面边值确定外部扰动重力场 6 1.扰动重力位的地面边值问题 (6) 2.地面边值问题的格林公式表示 (6) 三、Stokes公式的应用 (8) （一）Stokes公式简介 (8) （二）环量与环量密度 (9) （三）环量的应用 (9)
1.开尔文定理 (9) 2.开尔文定理的推论 (10) 3.升力 (10) （四）旋度 (11) （五）旋度的应用 (12) 1. 平面矢量场的旋度 (12) 2.环流量是区域S 内有无漩涡的量度 (12) 3.旋度是矢量场某点漩涡强度的量度 (13) 4.空间矢量场的旋度 (14) 四、Gauss公式的应用 (16) 1、数学中的高斯公式 (16) 2、保守场的推导 (17) 3、高斯公式在电场中的运用 (17) 4、高斯定理在万有引力场中的应用 (19) 5.高斯公式推证阿基米德浮力定律 (21) 6.高斯公式推证静电场中的高斯定理 (22) 7.高斯公式与散度 (24) 五、结语 (25) 六、参考文献 (26)