实验报告一：实验题目
一、 实验目的
掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。 二、 实验内容
1、编写二分法、牛顿迭代法程序，并使用这两个程序计算
02)(=-+=x
e x x
f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 4
10- ，比较两种方法收敛速度。
2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。
3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根cot x =(x 2?1)/2x ，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。
4、用牛顿法求方程f (x )=x 3?11x 2+32x ?28=0的根，精确至8位有效数字。比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。 三、 实验程序
第1题：
02)(=-+=x
e x x
f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。
画图函数： function Test1()
% f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0 r = 0:0.01:1; y = r + exp(r) - 2 plot(r, y); grid on
二分法程序：
计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4)
function [c,num]=bisect(a,b,delta) %Input –a,b 是取值区间范围 % -delta 是允许误差
%Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值 % -num 是迭代次数
ya = a + exp(a) - 2;
yb = b + exp(b) - 2;
if ya * yb>0
return;
end
for k=1:100
c=(a+b)/2;
yc= c + exp(c) - 2;
if abs(yc)<=delta
a=c;
b=c;
elseif yb*yc>0
b=c;
yb=yc;
else
a=c;
ya=yc;
end
if abs(b-a) num=k; %num为迭代次数 break; end end c=(a+b)/2; err=abs(b-a); yc = c + exp(c) - 2; 牛顿迭代法程序： 计算调用函数：[c,num]=newton(@func1,0.5,1e-4) 调用函数： function [y] = func1(x) y = x + exp(x) - 2; end 迭代算法： function[c,num]=newton(func,p0,delta) %Input -func是运算公式 % -p0是零点值 % -delta是允许误差 %Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值 % -num是迭代次数 num=-1; for k=1:1000 y0=func(p0); dy0=diff(func([p0 p0+1e-8]))/1e-8; p1=p0-y0/dy0; err=abs(p1-p0); p0=p1; if(err num=k;%num为迭代次数 break; end end c=p0; 第2题： 由题意得到算式：200000?(1+x)10?2160?12?10=0计算调用函数：[c,num]=newton(@func2,0.02,1e-8) 程序：先用画图法估计出大概零点位置在0.02附近。 画图程序： function Test2() % f(x) 示意图, f(x) = 200000*(1+x).^10-2160*12*10; f(x) = 0 r = linspace(0,0.06, 100); y = 200000*(1+r).^10-2160*12*10; plot(r, y); grid on 调用函数： function[y]=func2(r) y=200000*(1+r).^10-2160*12*10; end 牛顿迭代法算法程序： function [c,num] =newton(func,p0,delta) %Input -func是运算公式 % -p0是零点值 % -delta是允许误差 %Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值 % -num是迭代次数 num=-1; for k=1:1000 y0=func(p0); dy0=diff(func([p0 p0+1e-8]))/1e-8; p1=p0-y0/dy0; err=abs(p1-p0); p0=p1; if(err num=k; break; end end c=p0; 第3题：cot x=(x2?1)/2x求最小正数解 计算调用函数：[c,num]=newton(@func3, 1 ,1e-8) 程序：先用画图法估计出最小正解位置在1到2之间画图程序： function Test3() % f(x) 示意图, f(x) = cot(x)-(x.^2-1)./(2.*x); f(x) = 0 ezplot('cot(x)-(x.^2-1)./(2.*x)',[-6,6]); grid on 调用函数： function[y]=func3(x) y=cot(x)-(x.^2-1)./(2.*x); end 牛顿迭代法算法程序： function [c,num] =newton(func,p0,delta) %Input -func是运算公式 % -p0是零点值 % -delta是允许误差 %Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值 % -num是迭代次数 num=-1; for k=1:1000 y0=func(p0); dy0=diff(func([p0 p0+1e-8]))/1e-8; p1=p0-y0/dy0; err=abs(p1-p0); p0=p1; if(err num=k; break; end end c=p0; 第4题：f(x)=x3?11x2+32x?28=0精确至8位有效数字 根据画图图像可得函数有一个重根在区间[1,3]和另一个根在区间[6,8]。 计算调用函数：重根：[c,num]=newton(@func4, 1 ,1e-8) 另外的单根：[c,num]=newton(@func4, 6 ,1e-8) 画图程序： function Test4() % f(x) 示意图, f(x) = x.^3-11.*x.^2+32.*x-28; f(x) = 0 r = 0:0.01:8; y = r.^3-11.*r.^2+32.*r-28; plot(r, y); grid on 调用函数： function func4(x) y=x.^3-11.*x.^2+32.*x-28; end 牛顿迭代法算法程序： function[c,num]=newton(func,p0,delta) %Input -func是运算公式 % -p0是零点值 % -delta是允许误差 %Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值 % -num是迭代次数 num=-1; for k=1:100 y0=func(p0); dy0=diff(func([p0 p0+1e-8]))/1e-8; if(dy0==0) c= vpa(p0,8); num=k; break; else p1=p0-y0/dy0; err=abs(p1-p0); p0=p1; if(err num=k; break; end end end c= vpa(p0,8); 改进的牛顿算法程序： function[c,num]=newton(func,p0,delta) %Input -func是运算公式 % -p0是零点值 % -delta是允许误差 %Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值 % -num是迭代次数 num=-1; for k=1:100 y0=func(p0); dy0=diff(func([p0 p0+1e-8]))/1e-8; if(dy0==0) c= vpa(p0,8); num=k; break; else p1=p0-2*y0/dy0;%根据重根计算时，改进Newton法的收敛速度，可以采用在迭代函数中乘上重 根数的方法进行改善。 err=abs(p1-p0); p0=p1; if(err num=k; break; end end end c=vpa(p0,8); 四、实验结果分析 第1题： 根据图片可以看出函数零点的值在0.4与0.5之间，牛顿迭代法时取0.5作为迭代初值。 根据图片可以看出函数零点的值在0.02与0.03之间，可采用0.02作为迭代初值。 第3题： 根据图片可以看出函数最小正数零点的值在1与2之间，在使用牛顿迭代法时可以采用1为迭代初值。 根据图片可以看出函数重根为2，另一单根为7。在使用迭代法时刻采用1和6为初值进行计算。 五、实验结论 通过实验结果可以看出，二分法，简单迭代法和牛顿迭代法三种算法中，牛顿迭代法在选取适合值进行代入的情况下能得到较好的收敛效果。 第1题： 二分法实验结果：c =0.4429，num =11 牛顿迭代法实验结果：c =0.4429，num =3 根据结果可以看出两者计算结果相同，牛顿迭代法迭代次数为3，二分法的迭代次数为11，比较而言迭代次数牛顿迭代法比二分法小得多。 第2题实验结果：零点c = 0.0263，num = 4 通过画图后能对计算结果有一个较好的估计，从而在最后获得结果，并且迭代次数也较少。 第3题实验结果：零点c = 1.3065，num = 5。 cot(x)函数在π/2处无限值，画图时注意使用符号函数ezplot。以1为代入点，最后迭代次数为5。 第4题实验结果： 利用牛顿迭代法计算得到： 重根：c =2.00000000，num =25； 另一单根：c =7.00000000，num = 7； 改进后牛顿迭代法重根计算结果：c =2.00000000，num =5； 从结果中可以看出牛顿迭代法在计算单根时比计算重根时的收敛速度快很多，针对重根的计算，改进后牛顿迭代法大大减小了迭代的次数，提高了收敛速度。 姓名 实验报告成绩 评语： 指导教师（签名） 年 月 日 说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。 实验一 方程求根 一、 实验目的 用各种方法求任意实函数方程0)(=x f 在自变量区间[a ，b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。 二、 实验原理 (1)、二分法 对方程0)(=x f 在[a ，b]内求根。将所给区间二分，在分点 2a b x -=判断是否0)(=x f ；若是，则有根2a b x -=。否则，继续判断是否0)()( +)(0x f 0))(('0=-x x x f 设0)('0≠x f ,则=x -0x )(') (00x f x f 。取x 作为原方程新的近似根1x ，然后将1x 作为0x 代入上式。迭代公式为：=+1 k x -0x )(')(k k x f x f 。 三、 实验设备：MATLAB 软件 四、 结果预测 （1）11x = （2）5x = （3）2x =0,09052 五、 实验内容 （1）、在区间[0,1]上用二分法求方程0210=-+x e x 的近似根，要求误差不超 过3105.0-?。 （2）、取初值00=x ，用迭代公式=+1 k x -0x )(') (k k x f x f ，求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误差不超过3105.0-?。 （3）、取初值00=x ，用牛顿迭代法求方程0210=-+x e x 的近似根。要求误差 不超过3105.0-?。 六、 实验步骤与实验程序 （1） 二分法 第一步：在MATLAB 软件，建立一个实现二分法的MATLAB 函数文件如下： function x=agui_bisect(fname,a,b,e) %fname 为函数名，a,b 为区间端点，e 为精度 fa=feval(fname,a); %把a 端点代入函数，求fa fb=feval(fname,b); %把b 端点代入函数，求fb if fa*fb>0 error('两端函数值为同号'); end 牛顿迭代法 李保洋 数学科学学院信息与计算科学学号：060424067 指导老师：苏孟龙 摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较. 关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学； 九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性 0 引言： 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法. 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： (1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制. (2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败. 所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量. 2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成. 3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件. 1牛顿迭代法： 《数值分析》实验报告一 姓名: 周举 学号: PB09001046 实验一 一、实验名称 方程求根 二、实验目的与要求： 通过对二分法和牛顿法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点； 比较二者的计算速度和计算精度。 三、实验内容： 通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点 。 （一）二分法 算法：给定区间[a,b]，并设f （a ）与f （b ）符号相反，取δ为根的容许误差，ε为值的容许误差。 （1）令c=(a+b)/2 （2）如果(c-a)< δ或)(c f <ε，则输出c ，结束；否则执行（3） （3）如果f(a)f(c)<0，则令)()(,c f b f c b ←←；否则，则令 )()(,c f a f c a ←←，重复（1），（2），（3）。 （二）牛顿迭代法：给定初值0x ，ε为根的容许误差，η为)(x f 的容 许误差，N 为迭代次数的容许值。 （1）如果)(x f <η或迭代次数大于N ，则算法结束；否则执行（2）。 （2）计算)('/)(0001x f x f x x -= （3）若 < 或 < ，则输出 ，程序结束；否则执行（4）。 （4）令 = ，转向（1）。 四、实验题目与程序设计 1、二分法 3.1.1、用二分法求方程 a. f(x)= x x tan 1--在区间[0，π/2]上的根, c. f(x)=6cos 22-++-x e x x 在区间[1，3]上的根。 源程序： 3.1.1.a #include 学科前沿讲座论文 班级：工程力学13-1班姓名：陆树飞 学号：02130827 牛顿法求非线性方程的根 一 实验目的 （1）用牛顿迭代法求解方程的根 （2）了解迭代法的原理，了解迭代速度跟什么有关 题目：用Newton 法计算下列方程 （1） 013=--x x ， 初值分别为10=x ，7.00=x ，5.00=x ； （2） 32943892940x x x +-+= 其三个根分别为1,3,98-。当选择初值02x =时 给出结果并分析现象,当6510ε-=?，迭代停止。 二 数学原理 对于方程f(x)=0，如果f(x)是线性函数，则它的求根是很容易的。牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程f(x)=0有近似根x k (假定k f'(x )0≠) ，将函数f(x)在点x k 进行泰勒展开，有 k k k f(x)f(x )+f'(x )(x-x )+≈??? 于是方程f(x)=0可近似的表示为 k k k f(x )+f'(x )(x-x )=0 这是个线性方程，记其根为x k+1，则x k+1的计算公式为 k+1k ()x =x -'() k k f x f x ，k=0,1,2,… 这就是牛顿迭代法。 三 程序设计 （1）对于310x x --=，按照上述数学原理，编制的程序如下 program newton implicit none real :: x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)!分别为自变量x ，函数f(x)和一阶导数f1(x) integer :: k write(*,*) "x(0)=" read(*,*) x(0) !输入变量：初始值x(0) open(10,file='1.txt') do k=1,50,1 fx(k)=x(k-1)**3-x(k-1)-1 f1x(k)=3*x(k-1)**2-1 x(k)=x(k-1)-fx(k)/f1x(k) !牛顿法 write(*,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) !输出变量：迭代次数k 及x 的值 write(10,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) if(abs(x(k)-x(k-1))<1e-6) exit !终止迭代条件 end do stop end （2）对于32943892940x x x +-+=，按照上述数学原理，编制的程序如下 program newton implicit none 1.二分法 #include return pow((x+1)/2,(double)1.0/3); } double Solve(pFun f,double x,double e,int n) { double res; while(n--) { res = f(x); if(fabs(res - x) < e) { outPrint("第%d次次迭代以后返回值为：%0.7lf \n",10-n,res); break; } else x = res; outPrint("第%d次迭代以后x值为：%0.7lf\n ",10-n,x); } return res; } int main() { cout << setprecision(7); double x,e; cout << "输入初值和精度:" << endl; cin >> x >> e; cout << Solve(getIterativeValue,x,e,10) << endl; system("pause"); return 0; } 3.牛顿法 #include 本科生实验报告 实验课程数值计算方法 学院名称信息科学与技术学院 专业名称计算机科学与技术 学生姓名 学生学号 指导教师 实验地点 实验成绩 二〇一六年五月二〇一六年五月 实验一非线性方程求根 1.1问题描述 实验目的：掌握非线性方程求根的基本步骤及方法，。 实验内容：试分别用二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法)，求x5-3x3+x-1= 0 在区间 [-8,8]上的全部实根，误差限为10-6。 要求：讨论求解的全过程，对所用算法的局部收敛性，优缺点等作分析及比较， 第2章算法思想 2.1二分法 思想：在函数的单调有根区间内，将有根区间不断的二分，寻找方程的解。 步骤： 1.取中点mid=(x0+x1)/2 2.若f(mid)=0,则mid为方程的根，否则比较与两端的符号，若与 f(x0) 异号，则根在[x0,mid]之间，否则在[mid,x1]之间。 3并重复上述步骤，直达达到精度要求，则mid为方程的近似解。 2.2 简单迭代法 思想：迭代法是一种逐次逼近的方法，它是固定公式反复校正跟的近似值，使之逐步精确，最后得到精度要求的结果。 步骤：1.构造迭代公式f(x)，迭代公式必须是收敛的。 2.计算x1,x1=f(x0). 3.判断|x1-x0|是否满足精度要求，如不满足则重复上述步骤。 4．输出x1,即为方程的近似解。 开始 输入x0,e X1=f(x0)|x1-x0| 用牛顿迭代法求近似根 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第四题 题目：用Newton 法求方程在 74 28140x x -+= （0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）. 解：此题是用牛顿迭代法求解近似根的问题 1. Newton 迭代法的算法公式及应用条件： 设函数在有限区间[a,b]上二阶导数存在，且满足条件 ⅰ. ()()0f a f b <; ⅱ. ()''f x 在区间[a,b]上不变号； ⅲ. ()'0f x ≠; ⅳ. ()()'f c f c b a ≤-，其中c 是a,b 中使()()''min(,)f a f b 达到的一个. 则对任意初始近似值0[,]x a b ∈，由Newton 迭代过程 ()()() 1'k k k k k f x x x x f x +=Φ=-，k=0，1，2… 所生成的迭代序列{ k x }平方收敛于方程()0f x =在区间[a,b]上的唯一解а. 对本题： )9.1()9.1(0 )8(4233642)(0 )16(71127)(0 )9.1(,0)1.0(,1428)(3225333647>?''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f Θ 故以1.9为起点 ?? ???='-=+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 2. 程序编写 #include 求一个整数开根号--二分法和牛顿迭代法（求根） 问题叙述 求解1232cos 0x x -+=的解；通过编写matlab 程序分别用分析二分法和牛顿迭代法求解方程，通过两种方法的比较，分析二者求解方程的快慢程度。 一、问题分析 由matlab 画图命令，容易得到此方程解的范围为（2，4）；两种迭代方法，在使用相同的误差（0.00001）的情况下，得出matlab 迭代次数，通过次数的比较得出二者求解速度快慢比较。 二、实验程序及注释 （1）、二分法程序： clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)'); format long %数据显示格式设为长型； a=2;b=4; %求解区间； er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=0.00001; %误差分析； while er>er0 x0=.5*(a+b); y0=f(x0); if ya*y0<0 b=x0; %二分法求解程序； else a=x0; ya=y0; end disp([a,b]);er=b-a;k=k+1 %显示各个区间值和求解次数； end disp([a,b]); %显示最后一个区间值； （2）、牛顿迭代法程序： clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)'); format long %数据显示格式设为长型； b=3;a=4;k=0; %求解区间； y0=f(b);y=f(a); while abs(b-a)>0.00001 t=a-y*(a-b)/(y-y0); b=a;y0=y; %牛顿迭代法求解程序； a=t;y=f(a); k=k+1; disp([b,a]);k %显示各个区间值和求解次数； end disp([b,a]); %显示最后一个区间值； 牛顿迭代公式 设r 是f(x) = 0的根，选取x0作为r 初始近似值，过点（x0,f(x0)） f(x)的切线L ，L 的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L 与x 轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r 的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x 轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r 的二次近似值。重复以上过程，得r 的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r 的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。 解非线性方程 f(x)=0似方法。把f(x)在 x0 f(x) = f(x0)+(x －x0)f'(x0)+(x －x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x －x0)-f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。 牛顿迭代法又称牛顿切线法，它采用以下方法求根：先任意设定一个与真实的根接近的值x 0作为第一个近似根，由x 0求出f(x 0)，过(x 0,f(x 0))点做f(x)的切线，交x 轴于x 1，把它作为第二次近似根，再由x 1求出f(x 1)，再过(x 1,f(x 1))点做f(x)的切线，交x 轴于x 2，再求出f(x 2)，再作切线……如此继续下去，直到足够接近真正的x *为止。 ) ()()()(0' 0010 100' x f x f x x x x x f x f - =-= 因此， 就是牛顿迭代公式。 例1 用牛顿迭代法求方程2x 3-4x 2 +3x-6=0在1.5附近的根。 本题中，f(x)= 2x 3-4x 2+3x-6=((2x-4)x+3)x-6 f ’(x)= 6x 2-8x+3=(6x-8)x+3 #include "stdio.h" 二分法和牛顿法的比较 二分法的基本思想是对有根区间[a,b]逐次分半，首先计算区间[a,b]的中间点x0，然后分析可能出现的三种情况：如果f(x0)f(a)<0，则f(x)在区间[a,x0]内有零点；如果f(x0)f(b)<0，则f(x)在区间[x0,b]内有零点；如果f(x0)=0，则x0是f(x)在区间[a,b]内所求零点。但是二分法的缺点是收敛速度慢且不能求复根。牛顿迭代法的基本思想是将方程f(x)=0中函数f(x)线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解其迭代函数为) (') ()(x f x f x x -=?。牛顿迭代法的缺点是可能发生被零除错误，且可能出现死循环。 用二分法和牛顿法分别计算多项式02432 3 =-+-x x x 的解。该多项式的解为1、1+i 和1-i ，使用二分法计算时，区间为(-1,2)，使用牛顿法计算时取初始值为0。误差都为0.0001。 编程如下 二分法(erfen.m)： syms x ; fun=x^3-3*x^2+4*x-2; a=-1; b=2; d=0.0001; f=inline(fun); e=b-a; k=0; while e>d c=(a+b)/2; if f(a)*f(c)<0 b=c; elseif f(a)*f(c)>0 a=c; else a=c;b=c; end e=e/2; k=k+1; end k x=(a+b)/2 牛顿法(newton.m)： function [k,x,wuca] = newton() k=1; x0=0; tol=0.0001; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); x1=x0-yx1/yx2; while abs(x1-x0)>tol x0=x1; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); k=k+1; x1=x1-yx1/yx2; end k x=x1 wuca=abs(x1-x0)/2 end function y1=fun(x) y1=x^3-3*x^2+4*x-2; end function y2=fun1(x) y2=3*x^2-6*x+4; end 分析结果得知，在相同的误差精度下，二分法需要计算15次，而牛顿法只需计算5次，得知牛顿法比二分法优越。 Newton迭代法求解非 线性方程 一、 Newton 迭代法概述 构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。 设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即： )x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1) 于是我们得到如下近似方程： 0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2) 设0)('≠k x f ，则方程的解为： x ?=x k +f (x k ) f (x k )? (1-3) 取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： ) x ('f ) x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,… (1-4) 上式称为牛顿迭代格式。用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。 牛顿法具有明显的几何意义。方程： )x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5) 是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。正因为如此，牛顿法也称为切线法。 牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x 时才能保证收敛。若 要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式： ) x ('f ) x (f x x k k k 1k λ -=+, ?=,2,1,0k (1-6) 上式中，10<λ<，称为下山因子。因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿下山法。 牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算)x (f k 之外，还要计算 )x ('f k 的值。如果)x (f 比较复杂，计算)x ('f k 的工作量就可能比较大。为了避免计算导数值，我们可用差商来代替导数。通常用如下几种方法： 1. 割线法 如果用 1 k k 1k k x x ) x (f )x (f ----代替)x ('f k ，则得到割线法的迭代格式为： )x (f ) x (f )x (f x x x x k 1k k 1 k k k 1k --+---= (1-7) 2. 拟牛顿法 如果用 ) x (f )) x (f x (f )x (f k 1k k k ---代替)x ('f k ，则得到拟牛顿法的迭代格式为： )) x (f x (f )x (f ) x (f x x 1k k k k 2k 1k -+--- = (1-8) 3. Steffenson 法 如果用 ) x (f ) x (f ))x (f x (f k k k k -+代替)x ('f k ，则得到拟牛顿法的迭代格式为： ) x (f ))x (f x (f ) x (f x x k k k k 2k 1 k -+- =+ (1)二分法求解非线性方程： #include 2014级硕士研究生数值分析上机实习 (第一次) 姓名：乔永亮 学号：14S030125 学院：船舶与海洋工程学院 实习题目：分别用二分法和Newton 迭代法求方程02010223=-++x x x 的根. 实习目的：掌握两种解法，体会两种解法的收敛速度. 实习要求：用C 程序语言编程上机进行计算，精确到8位有效数字. 报告内容： 1. 确定实根的个数以及所在区间. 解：对函数3 2 ()21020f x x x x =++-求导，得2 ()34100f x x x '=++=。 易知()0f x '>恒成立，所以函数(x)f 没有极值，只有一个实根。又可以知道(1)0f <,(2)0f >方程在区间(1,2)有一个实根，且为奇数重根，可以二分法和Newton 求解 2. 将最后两次计算结果填入下表（保留8位数字）： 3. 实习过程中遇到哪些问题？如何解决？有何心得体会？ 在编程的过程中由于对基本计算原理的理解有一定不足，同时对编程语言的不熟悉，导致在编程过程中错误百出，耗费了大量时间。但是通过课本以及网络对所需知识的不断学习，通过尝试不同的方法，最终还是得到了几种不同的思路与方法。通过这次编程，深深的感受到自己的不足，同时也明白了数学与计算机编程的紧密结合，不努力提高自己在当今社会就要被淘汰。 4. 两种解法的计算程序（此页写不下时可以加页）： 二分法（Fortran 语言） program Analysis1 real::a,b,c,m real::fa,fc a=1. b=2. m=0.0001 !-------------------- do while(abs(b-a)>=m) c=(a+b)/2 fa=a**3+2.*a*a+10.*a-20 fc=c**3+2.*c*c+10.*c-20 if(fa*fc<0) then b=c else a=c end if write(*,"(f10.7)")c end do pause end program Anslysis1 牛顿迭代法（Fortran语言） program Analysis2 implicit none !定义变量---------------------------------------------------------------external f,df real m,x0,x1,f,df integer i !初始化变量-------------------------------------------------------------m=0.0001 x0=1.5 !牛顿迭代法-------------------------------------------------------------do while(abs(f(x0))>=m) x1=x0-f(x0)/df(x0) x0=x1 i=i+1 write(*,"(i4,f10.7)")i,x0 end do 二分法和牛顿迭代法求解方程的比较 200822401018 徐小良 一、问题叙述 求解1232cos 0x x -+=的解；通过编写matlab 程序分别用分析二分法和牛顿迭代法求解方程，通过两种方法的比较，分析二者求解方程的快慢程度。 二、问题分析 由matlab 画图命令，容易得到此方程解的范围为（2，4）；两种迭代方法，在使用相同的误差（0.00001）的情况下，得出matlab 迭代次数，通过次数的比较得出二者求解速度快慢比较。 三、实验程序及注释 （1）、二分法程序： clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)'); format long %数据显示格式设为长型； a=2;b=4; %求解区间； er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=0.00001; %误差分析； while er>er0 x0=.5*(a+b); y0=f(x0); if ya*y0<0 b=x0; %二分法求解程序； else a=x0; ya=y0; end disp([a,b]);er=b-a;k=k+1 %显示各个区间值和求解次数； end disp([a,b]); %显示最后一个区间值； （2）、牛顿迭代法程序： clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)'); format long %数据显示格式设为长型； b=3;a=4;k=0; %求解区间； y0=f(b);y=f(a); while abs(b-a)>0.00001 t=a-y*(a-b)/(y-y0); b=a;y0=y; %牛顿迭代法求解程序； a=t;y=f(a); k=k+1; disp([b,a]);k %显示各个区间值和求解次数； end disp([b,a]); %显示最后一个区间值； 作业十（第五章）：1. 在区间(0,1.5)上分别用二分法、牛顿法和割线法编程求下面的函数的零点，精度要求10-10。 22 ()=cos(2) f x x x 二分法 function [X]=bisection(fx,xa,xb,n,delta) % 二分法解方程 % fx是由方程转化的关于x的函数，有fx=0。 % xa 解区间上限 % xb 解区间下限 %解区间人为判断输入 % n 最多循环步数，防止死循环。 %delta 为允许误差 x=xa;fa=eval(fx); x=xb;fb=eval(fx); for i=1:n xc=(xa+xb)/2;x=xc;fc=eval(fx); X=[i,xc,fc]; if fc*fa<0 xb=xc; else xa=xc; end if (xb-xa) return end while k<=m x=x0;g=eval(diff(fx)); x1=x0-F/g; x=x1;F=eval(fx);k=k+1; if abs(F)<=e X=[x1 F k];return end if k>m fprintf('牛顿法迭代M次没有找到方程的根') return end x0=x1; end fprintf('\n%s%.4f\t%s%d','X=',X,'k=',k) %输出结果牛顿法结果： 迭代5次结果0.5149 割线法：function [X]=gx9(fx,x0,x1,m,e) 利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。 最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标x1=x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近似值，过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f'(x1)称x2为r的二次近似值，重复以上过程，得r 的近似值序列{Xn},其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn),称为r的n+1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。 /* 用牛顿迭代法求下面方程 x*x*x-5*x*x+16*x-80=0的实根的过程是： 利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组 一、 问题描述 在实际应用的很多领域中，都涉及到非线性方程组的求解问题。由于方程的非线性，给我们解题带来一定困难。牛顿迭代法是求解非线性方程组的有效方法。下面具体对牛顿迭代法的算法进行讨论，并通过实例理解牛顿迭代法。 二、 算法基本思想 牛顿迭代法求解非线性代数方程组的主要思想是将非线性函数线性化。下面我们具体讨论线性化过程： 令： ()()()()?? ?? ????????=????? ???????=????????????=0000,,2121 n n x x x x x f x f x f x F （3-1） 则非线性方程组（3-2） ()()()0 ,,,0 ,,,0,,,21212211===n n n n x x x f x x x f x x x f （3-2） 可写为向量形式 ()0=x F （3-3） ？ ()0=x F 成为向量函数。 设()()() ()k n k k x x x ,,,2 1 是方程组（3-2）的一组近似解，把它的左端在()()() ()k n k k x x x ,,,2 1 处用多元函数的泰勒展式展开，然后取线性部分，便得方程组（3-2）得近似方程组 ()()() ( ) ()()() () ()()()() ( )()()() () ()()() () ( ) ()()() () ()0 ,,,,,,0 ,,,,,,0 ,,,,,,1 21211 2122121 211211=???+=???+=???+∑∑∑===k j n j k n k k n k n k k n k j n j k n k k k n k k k j n j k n k k k n k k x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f （3-4） 这是关于()()()n i x x x k i i k i ,,2,1 =-=?的线性方程组，如果它的系数矩阵 ????????? ???????????????????????????????n n n n n n x f x f x f x f x f x f x f x f x f 2 1 2221 2121 11 （3-5） 非奇异，则可解得 () ()()???? ?? ? ???????---?????????? ??????????????????????????????=?????????????????-n n n n n n n k n k k f f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x 21 1 2 1 2221 2121 11 21 （3-6） 矩阵（3-5）称为向量函数()x F 的Jacobi 矩阵，记作()x F ' 。又记 牛顿迭代法在求解非线性方程重根问题中的研究 摘要：牛顿迭代法是求解非线性方程的根的常用方法。在实际计算中往往会遇到重根情况，针对这种情况，我们在牛顿迭代法的理论基础上，探讨了三种不同的迭代格式。为了对比这三种方法，本文进行了两个实验，分别是含有重根的非线性方程求解问题实例和牛顿迭代法在求解购房按揭利率的应用实例。在分析运算结果后，得出了三种算法优势和劣势。 关键词：牛顿迭代法；MA TLAB；重根 Abstract：Newton iteration method is a common method to solve the roots of nonlinear equations. In order to solve this problem, we discuss three different iteration schemes based on Newton iteration method. In order to compare the three methods, two experiments are carried out in this paper, one is the solving of nonlinear equations with heavy roots, and the other is the application of Newton iteration method in solving house mortgage interest rate. The advantages and disadvantages of three algorithms are obtained after analyzing the results. Key words：Newton iterative method；MA TLAB；Root weight 实验报告一：实验题目 一、 实验目的 掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。 二、 实验内容 1、编写二分法、牛顿迭代法程序，并使用这两个程序计算 02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 4 10- ，比较两种方法收敛速度。 2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。 3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根cot x =(x 2?1)/2x ，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。 4、用牛顿法求方程f (x )=x 3?11x 2+32x ?28=0的根，精确至8位有效数字。比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。 三、 实验程序 第1题： 02)(=-+=x e x x f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。 画图函数： function Test1() % f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0 r = 0:0.01:1; y = r + exp(r) - 2 plot(r, y); grid on 二分法程序： 计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4) function [c,num]=bisect(a,b,delta) %Input –a,b 是取值区间范围 % -delta 是允许误差 %Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值 % -num 是迭代次数 ya = a + exp(a) - 2; yb = b + exp(b) - 2; if ya * yb>0 return; end for k=1:100 c=(a+b)/2; yc= c + exp(c) - 2; if abs(yc)<=delta a=c; b=c; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; end if abs(b-a)MAAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告
牛顿迭代法
数值分析报告-二分法和牛顿法方程求根
牛顿法求非线性方程的根
数值方法C++代码大全上(包括二分法迭代法牛顿法等等)
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))
用牛顿迭代法求近似根
求一个整数开根号--二分法和牛顿迭代法(求根)
C语言编程_牛顿迭代法求方程2
数值分析——二分法和牛顿法
Newton迭代法求解非线性方程
二分法和牛顿法求解非线性方程(C语言)
二分法 牛顿迭代法
二分法和牛顿迭代法求解方程的比较
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牛顿迭代法求方程的根
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