第三章
稳恒磁场
一、 填空题
1、 已知半径为a 圆柱形空间的磁矢势2201(),4z A J a r e r a
μ=-<
(柱坐标),该区
域的磁感应强度为（ ）.
答案：0022J B J r re θ
μμππ=?=
2、 稳恒磁场的能量可用矢势表示为（ ）.答案：
12V
A Jdv ??
3、 分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（ ）.在经典
物理中矢势的环流
L
A dl
??
表示（ ）.
答案：0l
H dl ?=?
或求解区是无电流的单连通区域
4、 无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ' ,空间矢势A
的解
析表达式（ ）.答案：0()
4v J x dv r μπ''
?
5、 磁偶极子的矢势(1)A 等于（ ）；标势(1)
m ?等于（ ）.
答案：033
,44m R m R
A R R
μ?ππ??==
6、 在量子物理中, 矢势A
具有更加明确的地位,其中
exp()c
e i A dl h ?? 是能够完
全恰当地描述磁场物理量的（ ）. 答案：相因子,
7、 磁偶极子在外磁场中受的力为（ ）,受的力矩（ ）.
答案：e m B ?? ,e m B ?
8、 电流体系()J x '
的磁矩等于（ ）.答案：
1()2v
m x J x dv '''
=??
9、 无界空间充满磁导率为μ均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ' ,空间
矢势A 的解析表达式（ ）.答案：()
4v
J x dv r μπ''?
二、 选择题
1、 线性介质中磁场的能量密度为
A.H B ?21
B. J A
?21 C. H B ? D. J A ? 答案：A
2、 稳恒磁场的泊松方程J A μ-=?2
成立的条件是
A ．介质分区均匀 B.任意介质
C.各向同性线性介质
D.介质分区均匀且0=??A
答案：D
3、 引入磁场的矢势的依据是
A.0=??H ;
B.0=??H
; C.0=??B ; D. 0=??B 答案：D
4、 电流J
处于电流e J 产生的外磁场中, 外磁场的矢势为e A ,则它们的相互作用
能为
A. e V A Jdv ??
B. 12e V A Jdv ??
C. e e V A J dv ??
D. V
A Jdv ??
答案：A
5、 对于一个稳恒磁场B ，矢势A 有多种选择性是因为
A.A 的旋度的散度始终为零;
B.在定义A 时只确定了其旋度而没有定义A
散度; C. A
的散度始终为零;
答案： B
6、 磁偶极子的矢势
A 和标势?m 分别等于
A. 33
0,44?πμπ??== m R m R
A R R B. 033,44μ?ππ??== m R m R A R R C. 033,44m R m R A R R μ?ππ??== D. 33
0,44?ππμ??== m R m R
A R R
答案：C
7、 用磁标势解决静磁场问题的前提是
A.该区域没有自由电流分布
B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域
C. 该区域每一点满足0=??B
D. 该区域每一点满足0B J μ??=
. 答案：B
三、 问答题
1、 在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？
答：稳恒电流请况下， 因稳恒电流是闭合的，则有0=??→
J ，由电荷守恒定律：
0=??+??→
t J ρ，知：0=??t ρ
，即：)(→=r ρρ。
所以导电介质中电荷的分布不随时间改变，为一守恒量，至于→
r 处ρ值大小
由介质形状、大小等决定。若是均匀导电介质,由0s
J dS ?=?? 得, 0s
E dS σ?=??
,根据高斯定理, 导体内处处无净余电荷分布, 电荷分布于表面及不均匀处. 2、 判定下述说法的正确性，并说明理由： （1） 不同的矢势，描述不同的磁场； （2） 不同的矢势，可以描述同一磁场；
（3） 0B =
的区域，A 也为零。
答：（1）（3）不正确，（2）的说法是正确的，理由如下：因为任意函数φ的梯度的旋度恒为零，则：→
→→=??=?+??B A A )(?，说明：不同的矢势，可以描述同一磁场。B=0的区域，若→A 可以表为某一函数的梯度，即??=→
A ，则亦满足
0=??=→
→
A B ，所以矢势可以不为零。
3、 在空间充满介质与无介质两种情况下，若电流分布相同，它们的磁场强度是
否相同？
答：对于各向同性的均匀非铁磁介质，有：→
→
=H B μ即μ
→
→
=
B
H
又：3()'()'44J x dv J r A x B A dv r r μμπ
π
→
→→?=
?=??=??
所以'413dv r r
J H ?→→
→
?=
π。即：若电流分布相同，它们的磁场强度也相同。但若
不满足以上条件，即非均匀介质或非静磁场，即0≠??→
t
D
则→H 一般不同。 4、 由12W B Hdv ∞=??
，12v
W A Jdv =?? ,有人认为静磁场的能量密度是12B H ? ，
有人认为是12
A J ?
，你怎么认为，为什么？
答:能量密度是12B H ? 而不是12A J ? ，因为12v
W A Jdv =?? 仅对电流分布区域积分,磁场能量是分布于整个磁场中，而不是仅在电流分布区域内。 5、 试比较静电场和静磁场。
答: 静电场和静磁场的比较
静电场：无旋场0E ??= 静磁场：无源场 0B ??=
可引入标势φ： E ?=-?
， 可引入矢势：B A =?? ，
,D D E ρε??== ， ,H J B H
μ??==
， 微分方程 ε
ρ
φ-
=?2 微分方程 J A μ-=?2 边值关系 ：21??=， 12A A
=
212
1n n
??
εεσ??-=-?? 能量 12v W d v ρ?=? 12v
W A J d v =??
6、 描述磁场B 的、满足A ??
=0的矢势，是什么性质的矢量场？它是否是唯一
的？理由是什么？
答：依题意有：0
A B
A →????=??
??=?
知→
A 为一个有旋无源的场，既为横场，但不是唯一的，还需→
A 在边界上的法向分量。
7、 我们知道，在J =0的区域，磁场强度满足0??H =，如果我们把它表示成
m ??H =-，此方程仍能成立。试述这样引入m ?所存在的问题。
答：若对静磁场，0J =
时，0=??→H ，在此引入m H ?-?=→。只考虑了0=→J 即
没有自由电流分布，但只有在没有自由电流分布的单连通区域内H →
的环量才为
零，只有对任意回路, 都有0l
H dl ?=? 时, 0??H =一定成立,才可以引入磁标
势。
8、 磁标势微分方程是否说明存在真正的磁荷? 答:磁标势微分方程▽2φ= -ρ
m /μ0。不是，这是一种假设,把电流圈看成磁偶极
子，它即磁场是由磁偶极子产生的。而磁偶极子可看成极性不同的两个“磁荷”形成，因而“磁荷”是磁偶极子的等效的假设。
9、 对于直长导线的磁场，在什么样的区域可以引入磁标势？ 答：可以在除去以直长导线为边线的半平面以外的区域引入磁标势。 10、
试用磁荷观点与分子电流观点求一个磁化矢量为()x M 的永磁体在空间
激发的磁场，并证明所得结果是一致的。 答：①依磁荷观点：
整个空间中0,0,0J H B →
→
→
=??=??=
由0H →
??=引入m ?，即H 可表为m H ?=-?
00m B M μ?μ?=-?+ ，其中()0=???m ?……⑴ ②依分子电流观点：
M J M =?? ，而依照题意有：0f J =
，0D J = ，即：0B M μ??=??
?
B
M ?μ=-?
00B M μμ??=-?
且()0????=……⑵ 比较⑴⑵知，所得结果是一致的。 11、
试说明：分布于有限区域的电流系，在R →∞时，其矢势
A 21
R
，其磁感应强度
B 3
1R 。 解：因有限区域的电流系可以分成许多闭合流管，∞→R 时，其失势场主要由闭合流管的磁偶极势和场决定
即： )
1(→A =2
301~4R
A R R m →→
→
??πμ (1)
(1)
0331()~4R B A m B R R μπ→
→
→→
→=??=-???
12、 我们知道，对于闭合电流圈，在场点离其很远的情况下，其矢势和场由
其磁偶极势和场所决定。因此，在上述条件下，人们常说小闭合电流圈与一磁偶极子等效。试问，当场点离电流圈不是很远时，闭合电流能否与某种分布的磁偶极子等效？
解：设电流线圈电流为I.当场点离电流圈不是很远时，闭合电流的场不能等效为一个磁偶极子的场，，但闭合电流的磁场可看作线圈所围的一个曲面上许多载电
流I 的无限小线圈组合而成,如图,磁场就是许多无限小线圈的磁场矢量和. 如图3-12
dm IdS =
13、
有一很长的柱面，表面有均匀分布的电流沿轴向流动，有人为了求柱面
内长度为l 的一段柱体之中的磁场能量，使用了如下的公式：
1
2
L W dv =
??A J 按此公式，由于柱内0=J ，因此磁场能0W =L 。试问这样做对否？为什么？
解：这样做显然是不对的，因为磁场能量应为1(2w B H dv →→
=??普遍式），
12
W A J dv =??
仅对总能量有意义，→→?J A 21并非能量密度。
14、 如何对小电流圈在远处的矢势作多极展开？试证明展开式的第一项
0=(0)A ，第二项(1)A 可表为043R μπ?=
(1)m R A ，其中'
212
m x 1dl =?? 。 解：对小电流圈在远处的矢势，R 〉〉X →
'时，则
??+???+??-=∑→R x x x x R x R r j i j j i i 1
''211'112.！ 又: 0
(')
A()'4j x x dv r
μπ
=?
所以 0')'(4)(0)0(===→→
→→
→??l Id dv x J R
x A πμ '1
')'(40)
1(dv R
x x J I A
??-=→→→→?πμ
对于一个闭合流管，有：''4'1'43
00)
1(→→
→
→
→
→?=??-=??l d R R x I l d R x I A
πμπμ
式中，3R
R
→
与积分变量无关，且'→x 为线圈上各点坐标，则''→→=x d l d
又由0'=???
??????? ?
?→→→?x R x d （全微分绕闭合回路的线积分为零）得
()''''0x R d l d l R x →→→→
→
→???+?= ???
?? 11'''''''22x R d l x R d l d l R x x dl R →→→→→→→→→→→→???????????=?-?=?? ? ? ? ????????????
????
所以3030)
1(4''24R R m R l d x I R A →
→→
→→→?=
???
?? ??=?πμπμ，其中'2→→→?=?l d x I m 。 15、
磁场矢势的展开中()
00=A ，这说明什么？试与电多极距比较.
答: 电势多极展开:(0)(1)(2)()x ????=+++
0111146Q p D R R R πε??
=-??+????+????
矢势多极展开: (1)(2)03
4m R
A A A R
μπ→→
?=++=+ 可见,磁场和电场不同，展开式中不含磁单极项。这是磁单极不存在的必然结果. 16、
简述阿哈罗诺夫—玻姆效应的结果
答:在不存在磁场的区域, 矢势0A ≠
,矢势A 可以对电子发生作用, 哈罗诺夫—玻
姆效应表明矢势A
和φ具有可观测的物理效应。哈罗诺夫—玻姆效应是量子力学现象. 17、
试证明在似稳条件下，每个瞬时有：
（1）对无分支交流电路，电路各处的电流强度是相等的；
（2）对有分支的交流电路，在分支点处基尔霍夫第一定律仍然成立。 解：在似稳条件r λ 满足时，电磁场的波动性可以忽略，推迟效应可以忽略，
场与场源的关系近似地看作瞬时关系，位移电流0D D
J t ?=≈? ,所以场方程变为 ,
,
H J B
E t
→
→
→??=???=-? 对H J →→??=两边取散度得:：0,:0J J d S →→→
??=?=? 即 ⑴无分支电路，任选两处A ，B.AB 段电路可由S 1截面，S 侧表面，S 2截面围成一闭合曲面，则由似稳条件有120J d S J d S J d S →
→
→
→
→
→
?+?+?=???侧
21210I I S d J S d J =?=?+??→
→→→??
由A ，B 任意性知：电路各处电流强度相同。
⑵多分支电路，设汇集于节点处的各支路横截面为S 1, S 2………. S n , 总表面为S 表同理 则有：
12120n s
J dS J d S J d S J d S J S →→→→→→→→?=?+?+??+?+?=?????
表n 即:0i I ∑±=
即分支点处基尔霍夫第一定律仍然成立。
四、 计算和证明
1、 试用A 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场0B ，写出A 的两种不同表示式，证明二者之差为无旋场。
解：0B 是沿 z 方向的均匀恒定磁场，即 z B e B 00=，由矢势定义B A =??得
0//=??-??z A y A y z ；0//=??-??x A z A z x ；0//B y A x A x y =??-?? 三个方程组成的方程组有无数多解，如：
○
10==z y A A ，)(0x f y B A x +-= 即：x x f y B e A )]([0+-=； ○
20==z x A A ，)(0y g x B A y += 即：y y g x B e A )]([0+= 解○1与解○2之差为y x y g x B x f y B e e A )]([)]([00+-+-=?
则 0)//()/()/()(=??-??+??+?-?=???z x y y x x y y A x A z A z A e e e A
这说明两者之差是无旋场
2、 均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n ，电流强度I ，试用唯
一性定理求管内外磁感应强度B 。
解：根据题意，取螺线管的中轴线为 z 轴。本题给定了空间中的电流分布，故可由
??='430dV r r
J B πμ 求解磁场分布，又 J 只分布于导线上，所以
??=
3
04r Id r l B πμ1)螺线管内部：由于螺线管是无限长理想螺线管，所以其内部磁场是z
均匀强磁场，故只须求出其中轴 线上的磁感应强度，即可知道管
内磁场。由其无限长的特性，不 I 妨取场点为坐标原点建立柱坐标系。
z y x z a a e e e r ''sin 'cos ---=φφ， y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-=
)''sin 'cos ()'cos ''sin '(z y x y x z a a ad ad d e e e e e r l ---?+-=?φφφφφφ
z y x d a d az d az e e e '''sin '''cos '2φφφφφ+--= 取''~'dz z z +的一小段，此段上分布有电流'nIdz
?++--=
∴2
/3222
0)'()
'''sin '''cos '('4z a d a d az d az nIdz z y x e e e B φφφφφπμ ???+∞
∞-+∞∞-=+=+=z z I n a z a z d nI nI z a dz a d e e 02/3202/3222200
])/'(1[)
/'(2)
'(''4μμφπ
μπ 2)螺线管外部：由于螺线管无限长，不妨就在过原点而垂直于轴线的平面上任取一点)0,,(φρP 为场点，其中a >ρ。
222')'sin sin ()'cos cos ('z a a r +-+-=-=φφρφφρx x )'cos(2'222φφρρ--++=a z a
z y x z a a e e e x x r ')'sin sin ()'cos cos ('+-+-=-=φφρφφρ y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-=
z y x d a a d az d az d e e e r l ')]'cos([''sin '''cos '2φφφρφφφφ--+--=?
??
????--+-+-=∴??????+∞∞-+∞∞-+∞∞-')'cos('''sin ''''cos ''432
203203200dz r a a d dz r az d dz r az d nI z y x φφρφφφφφπμπππe e e B 0=
3、 设有无限长的线电流I 沿z 轴流动，在z<0空间充满磁导率为μ的均匀介质，
z>0区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B ，然后求出磁化电流分布。 解：设z>0区域磁感应强度和磁场强度为1B ，1H ；z<0区域为2B ，2H ，由对称
性可知1H 和2H 均沿θe 方向。由于H 的切向分量连续，所以
θe H H H ==21。由此得到021==n n B B ，满足边值关系，由唯一性定理可知，该结果为唯一正确的解。 以 z 轴上任意一点为圆心，以 r 为半径作一圆周，则圆周上各点的H 大小
相等。根据安培环路定理得：I rH =π2，即r I H π2/=，()θπe H H r I 2/21== ()θπμμe H B r I 2/0111==∴，(z >0)；
()θπμμe H B r I 2/222==，(z <0)。
在介质中 ()()θμμπμe H B M 1/2//0202-=-=r I 所以，介质界面上的磁化电流密度为：
()()()()r z r I r I e e e n M α1/2/1/2/00-=?-=?=μμπμμπθ
总的感应电流：()()()1/1/2/020
-=?-=
?=??μμ?μ
μππ
θθI rd r I d I e e l M ，
电流在 z<0 区域内，沿 z 轴流向介质分界面。
4、 设x<0半空间充满磁导率为μ的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I
沿z 轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。
解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作 φπμe B )2/'(r I =
它满足边界条件：0)(12=-?B B n 及0)(12==-?αH H n 。由此可得介质中：
φπμμμe B H )2/'(/2r I ==
由 M B H -=02/μ得： 在x <0 的介质中 φμμμμπμe M 0
2'-=
r I ，
则： 0
020002)('02'μμμμμφφμμμμπμπππ
-=
+-=?=???I d d r r I d I M l M 再由 φφπμπμe e B )2/'(2/)(0r I r I I M =+= 可得)/(2'00μμμμμ+=，所以
r I πμμμμφ)/(00+=e B ，)/()(00μμμμ+-=I I M （沿 z 轴）
5、 某空间区域内有轴对称磁场。在柱坐标原点附近已知
)2/(220ρ--≈z C B B z ，其中0B 为常量。试求该处的ρB 。 提示：用0=??B ，并验证所得结果满足0=??H 。
解：由于B 具有对称性，设z z B B e e B +=ρρ， 其中 )2/(220ρ--=z C B B z
0=??B ，0)(1=??+??∴
z B z B ρρρρ，即：02)(1=-??
cz B ρρρ
ρ， a cz B +=∴2ρρρ（常数）。 当0→ρ时，ρB 为有限，所以 0=a ；ρρcz B =，即：
z z c B cz e e B )]2/([220ρρρ--+= （1） 因为0=J ，0=D ，所以 0=??B ，即0)//(=??-??θρρρe B z B （2） 直接验证可知，（1）式能使（2）式成立，所以ρρcz B =，(c 为常数) 6、 两个半径为a 的同轴圆形线圈，位于L z ±=面上。每个线圈上载有同方向的
电流I 。
（1）求轴线上的磁感应强度。
（2）求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L 和a 的关系。 提示：用条件0/22=??z B z
解：1） 由毕—萨定律，L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为
z z B e B 11=，
2
/3222
2/322203
1])[(121])([4sin 4a L z Ia d L z a Ia r Id B z +-=-+=?=??
μθπμαπ
μr
l 同理，-L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为：
z z B e B 22=，2
/3222
02])[(1
21a L z Ia B z ++=μ。 所以，轴线上的磁感应强度：
?
?????++++-==2/3222/32220])[(1
])[(121a L z a L z Ia B z z μe B （1） 2）因为 0=??B ，所以 0)()(2=?-???=????B B B ；
又因为0=??B ，所以 02=?B ，0/22=??z B z 。代入（1）式并化简得：
-
+++++--+-----2/72222/5222/7222])[()(5])[(])[()(5a z L z L a z L a z L z L 0])[(2/522=++--a z L
将 z=0 带入上式得：2225a L L +=， 2/a L =∴
7、 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势A
的微分方程。设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。
解：矢势所满足的方程为： ?????>=?<-=?)
(,0)(,202a r a r 外内A J
A μ
自然边界条件：0→r 时，内A 有限。
边值关系：a
r a
r ===外
内
A A ；a r a r ==??=
??|1
|1
外内A A μ
μ
选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与 z 无关。令
z r A e A )(内内=，z r A e A )(外外=，
代入微分方程得：
J r
r A r r r 0))((1μ-=????内；0))
((1=????r r A r r r 外 解得：2120ln 4
1
)(C r C Jr r A ++-=μ内；43ln )(C r C r A +=外
由自然边界条件得01=C ，
由 a r a r ==??=??|1
|10外内A A μ
μ 得：232Ja C μ-=，
由 a r a r ===外内A A 并令其为零，得：20241Ja C μ=，a Ja C ln 2
24μ
=。
)(41220r a -=∴J A μ内；r
a
a ln 212J A μ=外
8、 假设存在磁单极子，其磁荷为m Q ，它的磁场强度为304/r Q m πμr H =。给出
它的矢势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。
解：r m m r
Q r Q e r H 20301
44πμπμ== 由 r m r Q e H B A 204πμ===?? 得：
??????
???=??-??=??
-??=??-??0]([10)](sin 1[
14])(sin [sin 1
2
θφθπφθθθθ
φθφr
r m A rA r
r rA r A r r Q A A r (1) 令 0==θA A r ,得:
r
Q A m πθθθφ4sin )(sin =??
?=∴θφθπθθ04sin sin d r Q A m , θ
θ
πφsin cos 14r Q A m -= (2)
显然 φA 满足(1) 式，所以磁单极子产生的矢势φθ
θ
πe A sin cos 14r Q m
-= 讨论： 当0→θ时，0→A ；
当2/πθ→时，r Q m πφ4/e A →；
当πθ→时，∞→A ，故A 的表达式在πθ=具有奇异性，此时A 不
合理。
9、 将一磁导率为μ，半径为0R 的球体，放入均匀磁场0H 内，求总磁感应强度B
和诱导磁矩m 。
解：根据题意，以球心为原点建立球坐标，取H 0的方向为z e ，此球体被外加磁
场磁化后，产生一个附加磁场，并与外加均匀场相互作用，最后达到平衡，呈现轴对称。
本题所满足的微分方程为：
?????>=?<=?)
(,0)
(,0022
012R R R R m m ?? （1） 自然边界条件：01=R m ?为有限；θ?cos 02R H R m -=∞=。
衔接条件：在0=R 处满足 21m m ??= 及 R R m m ??=??//201?μ?μ 由自然边界条件可确定方程组（1）的解为：
∑∞==0
1)(cos n n n
n m P R a θ?； ∑∞
=+-+-=0
)1(02)(cos cos n n n n m P R d R H θθ?
由两个衔接条件，有：∑∑∞
=+-∞=+-=0
)1(00
)(cos cos )(cos n n n n n n n
n P R d R H P R a θθθ
∑∑∞
=+-∞=-+--=0
)2(0000
1
)(cos )1(cos )(cos n n n n n n n n P R d n H P nR a θμθμθμ
比较)(cos θn P 的系数，解得：)2/(30001μμμ+-=H a ；
)2/()(03
0001μμμμ+-=R H d ； 0==n n d a ，)1(≠n
即：)2/(cos 30001μμθμ?+-=R H m ，（0R R <）
203
00002)2/(cos )(cos R R H R H m μμθμμθ?+-+-=，（0R R >） )2/(300011μμμ?+=-?=∴H H m
])(3[2)(30
5
03000022R
R R m H R R H H H -?+-+=-?=μμμμ? ??
?
??<-?+-+=<+==)(,])(3[2)()(,)2/(30305030000002
000001R R R R R R R H R R H H H H H B μμμμμμμμμμμμ 在R 0030μμμμππ+-===∴?H M M m R R dV V 10、 有一个内外半径为1R 和2R 的空心球，位于均匀外磁场0H 内，球的磁导率为μ，求空腔内的场B ，讨论0μμ>>时的磁屏蔽作用。 解：根据题意，以球心为原点，取球坐标，选取H 0的方向为z e ，在外场H 0的作 用下，空心球被磁化，产生一个附加磁场，并与原场相互作用，最后达到平衡，B 的分布呈现轴对称。磁标势的微分方程为： 012=?m ? )(1R R < ；022=?m ? )(21R R R << ；032=?m ? )(2R R > 自然边界条件：0 1 =R m ?为有限；θ?cos 03 R H R m -=∞ =。 衔接条件：1 211R R m R R m ===?? ； 12110//R R m R R m R R ==??=???μ?μ； 2 3 2 2 R R m R R m ===??； 22230//R R m R R m R R ==??=???μ?μ 由轴对称性及两个自然边界条件，可写出三个泛定方程的解的形式为： ∑∞ ==0 1)(cos n n n n m P R a θ?； ∑∞ =+-+=0 )1(2)(cos ][(n n n n n n m P R c R b θ?； ∑∞ =+-+-=0 )1(03)(cos cos n n n n m P R d R H θθ? 因为泛定方程的解是把产生磁场的源H 0做频谱分解而得出的，分解所选取的基本函数系是其本征函数系)}(cos {θn P 。在本题中源的表示是： )(cos cos 100θθRP H R H -=- 所以上面的解中， 0====n n n n d c b a ，)1(≠n 解的形式简化为： θ?cos 11R a m =； θ?cos )(2112-+=R c R b m ； θθ?cos cos 2103-+-=R d R H m 代入衔接条件得：2111111-+=R c R b R a ， 2 2 12022121--+-=+R d R H R c R b ， )2(311110--=R c b a μμ， 3 2 100032112)2(----=-R d H R c b μμμ。 解方程组得：3 2 0031203 2 001)2)(2()(26R R R H a μμμμμμμμ++--=， 3 2 0031203 2 0001)2)(2()(2)2(3R R R H b μμμμμμμμμ++--+=， 3 2 0031203 2 310001)2)(2()(2)(3R R R R H c μμμμμμμμμ++---=， 3 2 0031203 2 03231001)2)(2()(2))()(2(R R R H R R d μμμμμμμμμμ++----+=。 从而，空间各点磁标势均可确定。空腔内： z r m a a a e e e H B 101110101sin cos μθθ?μμθ-=-=?-== 当0μμ>>时，01≈a ，所以01≈B 。即空腔中无磁场，类似于静电场中的静电屏蔽。 11、 设理想铁磁体的磁化规律为00M H B μμ+=，其中0M 是恒定的与H 无关的量。今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球（0M 为常值）浸入磁导率为' μ的无限介质中，求磁感应强度和磁化电流分布。 解：根据题意，取球心为原点，建立球坐标系，以M 0的方向为z e ，本题具有轴 对称的磁场分布，磁标势的微分方程为： 012=?m ? )(0R R < ； 022=?m ? )(0R R > 自然边界条件：0 1=R m ?为有限；02 =∞ =R m ?。 衔接条件： 0 2 1 R R m R R m ===?? ； θμ?μ?μcos /'/000201M R R R R m R R m =??-??==； 由轴对称性及两个自然边界条件，可写出拉普拉斯方程通解的形式为： ∑∞==0 1)(cos n n n n m P R a θ?； ∑∞ =+-=0 )1(2)(cos n n n n m P R b θ?； 代入衔接条件，比较)(cos θn P 各项的系数，得： 0==n n b a ，)1(≠n ；)'2/(001μμμ+=M a ；)'2/(3 0001μμμ+=R M b )'2/(cos 001μμθμ?+=∴R M m ， )(0R R < 23 0002)'2/(cos R R M m μμθμ?+=，)(0R R > 由此 )'2/('20000101μμμμμμ+=+=M M H B ])(3['2''30 5 03 0022R R R m M R R M B -?+=?-=μμμμ?μ ?? ???>-?+<+=)(])(3['2')() '2/('2030 503 00000R R R R R R R M M R R M B μμμμμμμμ 又 )()(0012ααB B n +=-?M R μ，（其中0=α）将B 的表达式代入，得： )'2/(sin '300μμθμφ+-=M M e α 12、 将上题的永磁球置入均匀外磁场0H 中，结果如何？ 解：根据题意假设均匀外场0H 的方向与M 0的方向相同，定为坐标 z 轴方向。磁 标势的微分方程为： 012=?m ? )(0R R < ； 022=?m ? )(0R R > 自然边界条件：0 1=R m ?为有限；θ?cos 02 R H R m -=∞ =。 衔接条件： 0 2 1 R R m R R m ===?? ； θμ?μ?μcos //0002001M R R R R m R R m =??-??==； 解得满足自然边界条件的解是： θ?cos 11R a m =，)(0R R < θθ?cos cos 2102-+-=R d R H m ，)(0R R > 代入衔接条件，得：2 010001-+-=R d R H R a 0013 010002M a R d H μμμμ=++- 解得： )2/()3(000001μμμμ+-=H M a )2/(])([03 000001μμμμμ+-+=R H M d )2/(cos )3(000001μμθμμ?+-=∴R H M m ，)(0R R < ])2/[(cos ])([cos 203 0000002R R H M R H m μμθμμμθ?+-++-=，)(0R R > )2/()3(000011μμμ?+--=-?=H M H m )2/(2)2/(3002 00000011μμμμμμμμμ+++=+=M H M H B ，)(0R R < 35022//)(3R R m m R R m H H -?+=-?=?， 其中 )2/(])([03 00000μμμμμ+-+=R H M m ]//)(3[3500202R R m R R m H H B -?+==μμ，)(0R R > 13、 有一个均匀带电的薄导体壳其半径为0R ，总电荷为Q ，今使球壳绕自身某一直径以角速度ω转动，求球内外的磁场B 。 提示：本题通过解A 或m ?的方程都可以解决，也可以比较本题与§5例2的 电流分布得到结果。 解：根据题意，取球体自转轴为 z 轴，建立球坐标系。磁标势的微分方程为： 012=?m ? )(0R R < ； 022=?m ? )(0R R > 自然边界条件：0 1 =R m ?为有限；02 =∞ =R m ?。 衔接条件： 00124/sin /)//(R Q R R R m m πθωθ?θ?-=??-??= ； 02001//R R m R R m R R ==??=???μ?μ； 其中 04/sin R Q πθωσ= 是球壳表面自由面电流密度。 解得满足自然边界条件的解是： θ?cos 11R a m =，)(0R R < θ?cos 212-=R b m ，)(0R R > 代入衔接条件，得：0201014/R Q R b R a πω-=--； 023 011=+-R b a 解得： 016/R Q a πω-=， πω12/2 01R Q b = 016/cos R R Q m πθω?-=∴，)(0R R < 22 0212/cos R R Q m πθω?=，)(0R R > 0116/R Q m π?ωH =-?=∴ 001016/R Q πμμωH B ==，)(0R R < π?4/]//)(3[3522R R m m R R m H -?=-?=， 其中 3/2 0ωm QR = πμμ4/]//)(3[350202R R m R R m H B -?==，)(0R R > 14、 电荷按体均匀分布的刚性小球，其总电荷为Q ，半径为0R ，它以角速度 ω绕自身某一直径转动，求（1）它的磁矩； （2）它的磁矩与自转角动量之比（设质量M 0是均匀分布的）。 解：1）磁矩dV ??=)(21x J x m 又 r R e R x ==，)()3/4()(3 R ωv x J ?= =R Q πρ φθθπωφθθπφd dRd R R Q d dRd R R Q r 2430 2 30sin )(4321sin )(4321???=??=e e R ωR m 又 )sin cos (cos sin y x z r e e e e e e φφθθθφ--+=-=? ??? --+=∴0 240 20 3 sin )sin cos (cos [sin 83R y x z dR R d d R Q θφφθθθφπωπ π e e e m ωe 5sin 832 003 402030 0QR dR R d d R Q R z ==???θθφπωππ 2)自转动量矩： ??????=?=?==dV R M dm d d )(4330 R ωR v R P R L L π ???=φθθωπd dRd R R R M r z r sin )(432230 0e e e ??-=φθθθωπφd dRd R R M z sin )sin (43430 0e e ?-=φθθθωπθd dRd R R M sin )(sin 43430 0e ???--+=0024020 300sin )sin cos (cos [sin 43R y x z dR R d d R M θφφθθθφπωππ e e e ωω52sin 432 0003 402030 00R M dR R d d R M R ==???θθφπππ 02//M Q =∴L m 15、 有一块磁矩为m 的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面 附近的真空中，求作用在小永磁体上的力F 。 解：根据题意，因为无穷大平面的μ很大，则在平面上所有的H 均和平面垂直， 类比于静电场，构造磁矩m 关于平面的镜像'm ,则外场为： m e ?μ?-=0B 而 2 34cos 4r m r m πθ π?=?=R m )sin cos 2(4)sin cos 2(43 0330θθ θθπμθ θπμe e e e B +=---=∴r r e r m r r m m 受力为： z a r e a m e B m F )cos 1(643)(2 4202απμαθ+-=??=== 衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 稳恒磁场 习题解答 一、填空题（每空1分） 1、电流密度矢量的定义式为：dI j n dS ⊥ =v v ，单位是：安培每平方米（A/m 2） 。 2、真空中有一载有稳恒电流I 的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S 的磁通量? = 0 ．若通过S 面上某面元d S v 的元磁通为d ?，而线圈中的电流增加为2I 时,通过同一面元的元磁通为d ?＇，则d ?∶d ?＇= 1:2 。 3、一弯曲的载流导线在同一平面内，形状如图1(O 点是半径为R 1和R 2的两个半圆弧的共同圆心，电流自无穷远来到无穷远去)，则O 点磁感强度的大小是2 02 01 00444R I R I R I B πμμμ- + = 。 4、一磁场的磁感强度为k c j b i a B ? ???++= (SI)，则通过一半径为R ，开口向z 轴正方向的半球壳表面的磁通量的大 小为πR 2c Wb 。 5、如图2所示通有电流I 的两根长直导线旁绕有三种环路；在每种情况下，等于： 对环路a ：d B l ??v v ?=____μ0I __； 对环路b ：d B l ??v v ?=___0____； 对环路c ：d B l ??v v ? =__2μ0I __。 6、两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线飞入匀强磁场，它们的质量之比是1∶4，电荷之比是1∶2，它们所受的磁场力之比是___1∶2__，运动轨迹半径之比是_____1∶2_____。 二、单项选择题（每小题2分） （ B ）1、均匀磁场的磁感强度B v 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 A. 2?r 2B B.??r 2B C. 0 D. 无法确定的量 （ C ）2、有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为 A. B. C. D. （ D ）3、如图3所示，电流从a 点分两路通过对称的圆环形分路，汇合于b 点．若ca 、bd 都沿环的径向，则在环形分路的环心处的磁感强度 A. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸内 B. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸外 稳 恒 磁 场 自测 题 一、选择题（共30分）（单选） 1、（本题3分） 均匀磁场的感应强度B 垂直于半径为r 的圆面，今以该圆周为边线，作一半球面（开口）S ，则通过S 面的磁通量的大小为 (A) 2πr 2B (B) πr 2B (C) 0 (D) 无法确定的量。 [ B ] 2、（本题3分） 边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方 式通以电流I （其中a b 、cd 与正方形共面），在 这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度 的大小分别为 (A) B 1=0，B 2=0 (B) B 1=0，B 2= l I 022 (C) B 1= l I 022，B 2=0 (D) B 1= l I 022，B 2=l I 0 22 [ C ] 3、（本题3分） 电流由长直导线1沿半径方向经a 点流入一电阻均匀分布的 圆环，再由b 点沿切向从圆环流出，经长导线2返回电源（如图）。 已知直导线上电流强度为I ，圆环的半径为R ，且a 、b 与圆心O 三点在同一直线上。设直电流1、2及圆环电流分别在O 点产生的 磁感应强度为1B 、2B 及3B ，则O 点的磁感应强度的大小 (A) B=0，因为B 1=B 2=B 3=0 (B) B=0，因为1B +2B =0，B 3=0 (C) B ≠0，因为虽然B 1=B 3=0，但B 2≠0 (D) B ≠0，因为虽然B 1=B 2=0，但B 3≠0 (E) B ≠0，因为虽然B 2=B 3=0，但B 1≠0 [ C ] 4、（本题3分） 如图，流出纸面的电流为2I ，流进纸面的电流 为I ，则下述各式中哪一个是正确的？ (A) ?I l d H L 21 (B) ?I l d H L 2 (C) ?I l d H L 3 (D) ?I l d H L 4 [ D ] 5、（本题3分） 如图所示，电荷q （＞0）均匀地分布在一个半径为R 的圆环上， 若圆环以恒角速度ω绕垂直于圆平面通过圆心的Z 轴转动，则沿着 稳恒电流的磁场 一、判断题 3、设想用一电流元作为检测磁场的工具，若沿某一方向，给定的电流元l d I 0放在空间任 意一点都不受力，则该空间不存在磁场。 × 4、对于横截面为正方形的长螺线管，其内部的磁感应强度仍可用nI 0μ表示。 √ 5、安培环路定理反映了磁场的有旋性。 × 6、对于长度为L 的载流导线来说，可以直接用安培定理求得空间各点的B 。 × 7、当霍耳系数不同的导体中通以相同的电流，并处在相同的磁场中，导体受到的安培力是相同的。 × 8、载流导体静止在磁场中于在磁场运动所受到的安培力是相同的。 √ 9、安培环路定理I l d B C 0μ=?? 中的磁感应强度只是由闭合环路内的电流激发的。 × 10、在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是一些平行直线，则该空间区域里的磁场一定均匀。 √ 二、选择题 1、把一电流元依次放置在无限长的栽流直导线附近的两点A 和B ，如果A 点和B 点到导线的距离相等，电流元所受到的磁力大小 （A ）一定相等 （B ）一定不相等 （C ）不一定相等 （D ）A 、B 、C 都不正确 C 2、半径为R 的圆电流在其环绕的圆内产生的磁场分布是： （A ）均匀的 （B ）中心处比边缘处强 （C ）边缘处比中心处强 （D ）距中心1/2处最强。 C 3、在均匀磁场中放置两个面积相等而且通有相同电流的线圈，一个是三角形，另一个是矩形，则两者所受到的 （A ）磁力相等，最大磁力矩相等 （B ）磁力不相等，最大磁力矩相等 （C ）磁力相等，最大磁力矩不相等 （D ）磁力不相等，最大磁力矩不相等 A 4、一长方形的通电闭合导线回路，电流强度为I ，其四条边分别为ab 、bc 、cd 、da 如图所示，设4321B B B B 及、、分别是以上各边中电流单独产生的磁场的磁感应强度，下列各式中正确的是： 作业 10 稳恒磁场四 1. 载流长直螺线管内充满相对磁导率为 r 的均匀抗磁质，则螺线管内中部的磁感应强度B 和磁场强度 H 的关系是 [ ] 。 A. B 0 H B. B r H C. B 0H D. B 0 H 答案：【 D 】 解：对于非铁磁质，电磁感应强度与磁场强度成正比关系 B r H 抗磁质： r 1，所以， B H 2. 在稳恒磁场中，关于磁场强度 H 的下列几种说法中正确的是 [] 。 A. H 仅与传导电流有关。 B. 若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的 H 必为零。 C.若闭合曲线上各点 H 均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。 D.以闭合曲线 L 为边界的任意曲面的 H 通量相等。 答案：【 C 】 解：安培环路定理 H dl I 0 ，是说：磁场强度 H 的闭合回路的线积分只与传导电流 L 有关，并不是说：磁场强度 H 本身只与传导电流有关。 A 错。 闭合曲线内没有包围传导电流，只能得到：磁场强度 H 的闭合回路的线积分为零。并 不能说：磁场强度 H 本身在曲线上各点必为零。 B 错。 高斯定理 B dS 0 ，是说：穿过闭合曲面，场感应强度 B 的通量为零，或者说， . S 以闭合曲线 L 为边界的任意曲面的 B 通量相等。对于磁场强度 H ，没有这样的高斯定理。 不能说，穿过闭合曲面，场感应强度 H 的通量为零。 D 错。 安培环路定理 H dl I 0 ，是说：磁场强度 H 的闭合回路的线积分等于闭合回路 L 包围的电流的代数和。 C 正确。 抗磁质和铁磁质的 B H 曲线，则 Oa 表示 3. 图 11-1 种三条曲线分别为顺磁质、 ； Ob 表示 ； Oc 表示 。 答案：铁磁质；顺磁质； 抗磁质。 4. 某铁磁质的磁滞回线如图 11-2 所示，则 图中 Ob （或 Ob ' ）表示 ； Oc （或 Oc ' ）表示 。 答案：剩磁；矫顽力。 第^一章稳恒电流和稳 恒磁场 选择题 1. 边长为I的正方形线圈中通 有电流I，此线圈在A点（如 图）产生的磁感 应强度B的大小为（） A 72 2丨 4 n C P2 Mo1 n 解：设线圈四个端点为 点产生的磁感应强度为零， 强度由 所以选（A） 2. 如图所示， i2 的点，且平行于y轴，则磁感应强度 地方是：（） A. x=2的直线上 B. 在x>2的区域 C. 在x<1的区域 D. 不在x、y平面上B等于零的 y 1 11 」L I 1 2 3x B 必（cos i cos 4 n d 垂直纸面向里2), 可得B BC cos -) 2 2 0I 旨，方向 o I(cos- 4 合磁感应强度B BC B CD 、、 2。1 8n 2 ，方向垂直纸面向里 01 4 n D. 0 ABCD ,贝U AB、AD线段在A BC、CD在A点产生的磁感应 B 选择题1图 解：本题选（A） 3?图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为区域 I、n、川、w均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁 通量最大？（） A. I区域 B. n区域 C.m区域 D .W区域E.最大不止一个 选择题3图解：本题选（B） 4?如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路 L , 由安培环路定理可知：（ ） A. / L B ?d l=0，且环路上任意 亠占 八、、 B-0 B. 莎L B （1-0，且环路上任意 亠占 八、、 B 工0 C. 爭L B ?d l 丰0,且环路上任意- 占 八、、 B M 0 D. 莎L B ?d l 丰0,且环路上任意 占 八、、 B-常量 解: 本题选（B ） 5.无限长直圆柱体，半径为 的磁感应强度为 B i ,圆柱体外（r>R ） A. C. B t 、B e 均与r 成正比 B i 与r 成反比，B e 与r 成正比 R ,沿轴向均匀流有电流，设圆柱体内（ 的磁感应强度为 B e ，则有：（ B. B i 、B e 均与r 成反比 D. B i 与r 成正比，B e 与r 成反比 r 大学物理稳恒磁场解读 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十一章稳恒磁场 磁场由运动电荷产生。 磁场与电场性质有对称性，学习中应注意对比。 §11－1 基本磁现象 磁性，磁力，磁现象； 磁极，磁极指向性，N极，S极，同极相斥，异极相吸。 磁极不可分与磁单极。 一、电流的磁效应 1819年，丹麦科学家奥斯特发现电流的磁效应； 1820年，法国科学家安培发现磁场对电流的作用。 二、物质磁性的电本质 磁性来自于运动电荷，磁场是电流的场。 注：1932年，英国物理学家狄拉克预言存在“磁单极”，至今科学家一直在努力寻找其存在的证据。 §11－2 磁场磁感强度 一、磁场 磁力通过磁场传递，磁场是又一个以场的形式存在的物质。 二、磁感强度 磁感强度B的定义： （1）规定小磁针在磁场中N极的指向为该点磁感强度B的方向。若正电荷沿此方向运动，其所受磁力为零。 （2）正运动电荷沿与磁感强度B垂直的方向运动时，其所受最大磁力F max与电荷电量q和运动速度大小v的乘积的比值，规定为磁场中某点磁感强度的大小。即： 磁感强度B是描写磁场性质的基本物理量。若空间各点B的大小和方向均相等，则该磁场为均匀磁场；若空间各点B的大小和方向均不随时间改变，称该磁场为稳恒磁场。 磁感强度B的单位：特斯拉（T）。 §11－3 毕奥－萨伐尔定律 一、毕－萨定律 电流元: 电流在空间的磁场可看成是组成电流的所有电流元在空间产生 元磁感强度的矢量和。 式中μ0：真空磁导率，μ0＝4π×10－7 NA 2 dB的大小： d B的方向：d B总是垂直于Id l与r组成的平面，并服从右手定则。 一段有限长电流的磁场： 二、应用 1。一段载流直导线的磁场 说明： （1）导线“无限长”： 衡水学院理工科专业《大学物理B 》稳恒磁场习题解答 一、填空题（每空1分） 1、电流密度矢量的定义式为：dI j n dS ⊥ = ，单位是：安培每平方米（A/m 2）。 2、真空中有一载有稳恒电流I 的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S 的磁通量Φ=0 ．若通过S 面上某面元d S 的元磁通为d Φ，而线圈中的电流增加为2I 时,通过同一面元的元磁通为d Φ＇，则d Φ∶d Φ＇=1:2 。 3、一弯曲的载流导线在同一平面内，形状如图1(O 点是半径为R 1和R 2的两个半圆弧的共同圆心，电流自无穷远来到无穷远去)，则O 点磁感强度的大小是2 02 01 00444R I R I R I B πμμμ- + =。 4、一磁场的磁感强度为k c j b i a B ++= (SI)，则通过一半径为R ，开口向z 轴正方向的半球壳表面的磁通量的大小为πR 2c Wb 。 5、如图2所示通有电流I 的两根长直导线旁绕有三种环路；在每种情况下，等于： 对环路a ：d B l ?? =____μ0I__； 对环路b ：d B l ?? =___0____； 对环路c ：d B l ?? =__2μ0I__。 6、两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线飞入匀强磁场，它们的质量之比是1∶4，电荷之比是1∶2，它们所受的磁场力之比是___1∶2__，运动轨迹半径之比是_____1∶2_____。 二、单项选择题（每小题2分） （ B ）1、均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 A. 2πr 2B B. πr 2B C. 0 D.无法确定的量 （ C ）2、有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为 A. 0.90 B. 1.00 C. 1.11 D.1.22 （D ）3、如图3所示，电流从a 点分两路通过对称的圆环形分路，汇合于b 点．若ca 、bd 都沿环的径向，则在环形分路的环心处的磁感强度 A. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸内 B. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸外 稳恒磁场一章习题解答 习题9—1 无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面 上均匀分布，则空间各处的B 的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所示。正确的图是：[ ] 解：根据安培环路定理，容易求得无限长载流空心圆柱导体的内外的磁感应强度分布为 ????? ????--=r I a b r a r I B πμπμ2)(2)(0 02 2220 )()()(b r b r a a r >≤≤< 所以，应该选择答案(B)。 习题9—2 如图，一个电量为+q 、质量 为m 的质点，以速度v 沿X 轴射入磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向垂直纸面向里，其范围从x =0延伸到无限远，如果质点在x =0和y =0处进入磁场， 则它将以速度v -从磁场中某一点出来，这点坐标是x =0和［ ］。 (A) qB m y v + =。 (B) qB m y v 2+=。 (C) qB m y v 2- =。 (D) qB m y v -=。 解：依右手螺旋法则，带电质点进入磁场后将在x >0和y >0区间以匀速v 经一个半圆周而从磁场出来，其圆周运动的半径为 qB m R v = r B O a b (A) (B) B a b r O B r O a b (C) B O r a b (D) 习题9―1图 习题9―2图 因此，它从磁场出来点的坐标为x =0和qB m y v 2+=，故应选择答案(B)。 习题9—3 通有电流I 的无限长直导线弯成如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感应强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为［ ］。 (A) O Q P B B B >>。 (B) O P Q B B B >>。 (C) P O Q B B B >>。 (D) P Q O B B B >> 说明：本题得通过计算才能选出正确答案。对P 点，其磁感应强度的大小 a I B P πμ20= 对Q 点，其磁感应强度的大小 [][])2 2 1(2180c o s 45cos 4135cos 0cos 4000+=-+-= a I a I a I B Q πμπμπμ 对O 点，其磁感应强度的大小 )2 1(2424000π πμπμμ+=? += a I a I a I B O 显然有P Q O B B B >>，所以选择答案(D)。 ［注：对一段直电流的磁感应强度公式)cos (cos 4210θθπμ-= a I B 应当熟练掌握。］ 习题9—4 如图所示，一固定的载流大平板， 在其附近有一载流小线框能自由转动或平 动，线框平面与大平板垂直，大平板的电流 与线框中的电流方向如图所示，则通电线框 的运动情况从大平板向外看是：［ ］ (A) 顺时针转动 (B) 靠近大平板AB (C) 逆时针转动 (D) 离开大平板向外运动 解：根据大平板的电流方向可以判断其右侧磁感应强度的方向平行于大平板、且垂直于I 1；小线框的磁矩方向向上，如图所示。由公式 习题9―3图 题解9―4图 第三章 稳恒磁场 一、 填空题 1、 已知半径为a 圆柱形空间的磁矢势 2201 (),4z A J a r e r a μ= -<(柱坐标),该区 域的磁感应强度为（ ）. 答案： 0022J B J r re θμμππ= ?= 2、 稳恒磁场的能量可用矢势表示为（ ）.答案： 1 2V A Jdv ?? 3、 分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（ ）.在经典 物理中矢势的环流 L A dl ??表示（ ）. 答案：0l H dl ?=?或求解区是无电流的单连通区域 4、 无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ',空间矢势A 的解 析表达式（ ）.答案： () 4v J x dv r μπ ''? 5、 磁偶极子的矢势(1)A 等于（ ）；标势(1) m ? 等于（ ）. 答案：033 ,44m R m R A R R μ?ππ??= = 6、 在量子物理中, 矢势A 具有更加明确的地位,其中 exp() c e i A dl h ??是能够完 全恰当地描述磁场物理量的（ ）. 答案：相因子, 7、 磁偶极子在外磁场中受的力为（ ）,受的力矩（ ）. 答案：e m B ??,e m B ? 8、 电流体系()J x '的磁矩等于（ ）.答案： 1 ()2v m x J x dv '''= ?? 9、 无界空间充满磁导率为μ均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ' ,空间 矢势A 的解析表达式（ ）.答案： () 4v J x dv r μ π ''? 二、 选择题 1、 线性介质中磁场的能量密度为 A.H B ?21 B. J A ?21 C. H B ? D. J A ? 答案：A 2、 稳恒磁场的泊松方程J A μ-=?2 成立的条件是 A ．介质分区均匀 B.任意介质 C.各向同性线性介质 D.介质分区均匀且0=??A 答案：D 3、 引入磁场的矢势的依据是 A.0=??H ; B.0=??H ; C.0=??B ; D. 0=??B 答案：D 4、 电流J 处于电流 e J 产生的外磁场中, 外磁场的矢势为 e A ,则它们的相互作用 能为 练习八磁感应强度毕奥—萨伐尔定律(黄色阴影表示答案) 一、选择题 如图8.1所示，边长为l的正方形线圈中通有电流I，则此线圈在 : A l I π μ 2 2 0.(C) l I π μ 2 (D) 以上均不对. 电流I由长直导线1沿对角线AC方向经A点流入一电阻均匀分布的正方形导线框，再由D点沿对角线BD方向流出，经长直导线2返回电源, 如图8.2所示. 若载流直导线1、2和正方形框在导线框中心O点产生的磁感强度分别用B1、B2和B3表示，则O点磁感强度的大小为:A (A) B = 0. 因为B1 = B2 = B3 = 0 . (B) B = 0. 因为虽然B1 ≠ 0, B2 ≠ 0, B1+B2 = 0, B3=0 (C) B ≠ 0. 因为虽然B3 = 0, 但B1+B2 ≠ 0 (D) B≠ 0. 因为虽然B1+B2 = 0, 但B3 ≠ 0 3. 如图8.3所示，三条平行的无限长直导线，垂直通过边长为a 的正三角形顶点，每条导线中的电流都是I，这三条导线在正三角形中心O (D) B =3μ0I/(3πa) . . 如图8.4所示，无限长直导线在P处弯成半径为R的圆，当通以电流I时，则在圆心O点的磁感强度大小等于：C (A) R I π μ 2 0. (B) I μ . (D) ) 1 1( 4 π μ + R I . 二、填空题 如图8.6所示,在真空中,电流由长直导线1沿切向经a点流 入一电阻均匀分布的圆环,再由b点沿切向流出,经长直导线2返 回电源.已知直导线上的电流强度为I,圆环半径为R，∠aob=180?. 则圆心O点处的磁感强度的大小B = .0 图8.1 图8.2 图8.3 图8.4 图8.6 第十一章 稳恒电流和稳恒磁场 一 选择题 1. 边长为l 的正方形线圈中通有电流I ，此线圈在A 点（如图）产生的磁感应强度B 的大小为（ ） A. l I μπ420 B. l I μπ20 C . l I μπ20 D. 0 解：设线圈四个端点为ABCD ，则AB 、AD 线段在A 点产生的磁感应强度为零，BC 、CD 在A 点产生的磁感应强度由 )cos (cos π4210θθμ-= d I B ，可得 l I l I B B C π82)2π cos 4π(cos π400μμ= -= ，方向垂直纸面向里 l I l I B CD π82)2π cos 4π(cos π400μμ= -= ，方向垂直纸面向里 合磁感应强度 l I B B B CD B C π420μ=+= 所以选（A ） 2. 如图所示，有两根载有相同电流的无限长直导线，分别通过x 1=1、x 2=3的点，且平行于y 轴，则磁感应强度B 等于零的 地方是：( ) A. x =2的直线上 B. 在x >2的区域 C. 在x <1的区域 D. 不在x 、y 平面上 解：本题选（A ） 3. 图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I ， 区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向 纸内的磁通量最大？( ) A. Ⅰ区域 B. Ⅱ区域 C ．Ⅲ区域 D ．Ⅳ区域 E ．最大不止一个 解：本题选（B ） 选择题2图 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 选择题3图 选择题1图 4. 如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ，则由安培环路定理可知：（ ） A. ∮L B ·d l =0，且环路上任意一点B =0 B. ∮L B ·d l =0，且环路上任意一点B ≠0 C. ∮L B ·d l ≠0，且环路上任意一点B ≠0 D. ∮L B ·d l ≠0，且环路上任意一点B =常量 解：本题选（B ） 5. 无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流，设圆柱体内（r 第8章 稳恒磁场 习题及答案 6. 如图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R 。若通以电流I ，求O 点的磁感应强度。 解：O 点磁场由AB 、C B 、CD 三部分电流产生，应用磁场叠加原理。 AB 在O 点产生的磁感应强度为 01 B C B 在O 点产生的磁感应强度大小为 R I B 402 R I R I 123400 ，方向垂直纸面向里 CD 在O 点产生的磁感应强度大小为 )cos (cos 4210 03 r I B )180cos 150(cos 60cos 400 R I )2 31(20 R I ，方向垂直纸面向里 故 )6 231(203210 R I B B B B ，方向垂直纸面向里 7. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电源相连。已知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度。 解：圆心O 点磁场由直电流 A 和 B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所产生，但 A 和 B 在O 点 产生的磁场为零。且 21221R R I I 电阻电阻 1I 产生的磁感应强度大小为 ）（ 241 01R I B ，方向垂直纸面向外 2I 产生的磁感应强度大小为 R I B 4202 ，方向垂直纸面向里 所以， 1) 2(21 21 I I B B 环中心O 的磁感应强度为 0210 B B B 8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为a ，沿长度方向通过均匀电流I ，求与平板共面且距平板一边为b 的任意点P 的磁感应强度。 解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加原理求解。 以P 点为坐标原点，垂直载流平板向左为x 轴正方向建立坐标系。在载流平板上取dx a I dI ，dI 在P 点产生的磁感应强度大小为 Ⅱ 内容提要 一.磁感强度B 的定义 用试验线圈(P m )在磁场中受磁力矩定义： 大小 B=M max /p m ， 方向 试验线圈稳定平衡时p m 的方向. 二.毕奥—沙伐尔定律 1.电流元I d l 激发磁场的磁感强度 d B =[μ0 /( 4π)]I d l ×r /r 3 三.磁场的高斯定理 1.磁感线(略)； 2.磁通量 Φm =S d ?? B S 3.高斯定理 d 0?=?S B S 稳恒磁场是无源场. 四.安培环路定理 真空中 0d i l I μ?=∑? B l 介质中 0d i l I ?=∑? H l 稳恒磁场是非保守场,是涡旋场或有旋场. 五.磁矩 P m ： 1.定义 p m = I ?S d S 3. 载流线圈在均匀磁场中受力矩 M= p m ×B 六.洛伦兹力 1.表达式 F m = q v ×B (狭 义) F = q (E ＋v ×B ) (广 义) 2.带电粒子在均匀磁场中运动： 回旋半径R=mv sinα/(qB) 回旋周期T=2πm /(qB) 回旋频率ν= qB /(2πm) 螺距d=2π mv cosα/(qB) 七.安培力 1. 表达式d F m= I d l ×B； 八.介质的磁化 3. 磁场强度矢量 各向同性介质B=μ0μr H=μH 九.几种特殊电流的磁场： 1.长直电流激发磁场 有限长B=μ0 I (cosθ1－cosθ2) / (4πr) 无限长B=μ0I / (2πr) 方向都沿切向且与电流成右手螺旋； 2.园电流在轴线上激发磁场 B=μ0IR2/[2(x2+R2)3/2] 大学物理 恒定电流稳恒磁场知识点总结 1. 电流强度和电流密度 电流强度：单位时间内通过导体截面的电荷量 （电流强度是标量，可正可负）；电流密度：电流密度是矢量，其方向决定于该点的场强E 的方向（正电荷流动的方向），其大小等于通过该点并垂直于电流的单位截面的电流强度 dQ I dt = ， dI j e dS = ， S I j d S =?? 2. 电流的连续性方程和恒定电流条件 电流的连续性方程：流出闭合曲面的电流等于单位时间闭合曲面内电量增量的负值（其实质是电荷守恒定律）dq j dS dt =-?? ， （ j t ρ??=- ? ）； 恒定电流条件： 0j d S =?? ， （ 0j ?= ） 3. 欧姆定律及其微分形式： U I R =， j E σ=， ， 焦耳定律及其微分形式： 2Q A I R t == 2p E σ= 4. 电动势的定义：单位正电荷沿闭合电路运行一周非静电力所作的功 A K dl q ε+ - ==? ， K dl ε= ? 5. 磁感应强度：是描述磁场的物理量，是矢量，其大小为0sin F B q v θ = ， 式中F 是运动电荷0q 所受洛伦兹力，其方向由 0F q v B =?决定 磁感应线：为了形象地表示磁场在空间的分布，引入一族曲线，曲线的切向表示磁场的方向，密度是磁感应强度的大小；磁通量： s B dS φ=?? （可形象地看成是穿过曲面磁感应线的条数） 6．毕奥一萨伐尔定律： 034I d l r dB r μπ?= 034L Idl r B r μπ?=? 7．磁场的高斯定理和安培环路定理 磁场的高斯定理： 0S B d S =?? 、 （ 0B ?= ） （表明磁场是 无源场） 安培环路定理： 0i L i B dl I μ=∑? 、 L S B dl j dS =? ?? 、(0B j μ??=) （安培环路定理表明磁场是有旋场） 8．安培定律： dF Idl B =? 、L F Idl B =?? 磁场对载流线圈的作用: M m B =? (m 是载流线圈的磁矩 m I S =) 9．洛伦兹力：运动电荷所受磁场的作用力称为洛伦兹力 f q v B =? 带电粒子在匀强磁场中的运动：运动电荷在匀强磁场中作螺旋运动， 运动半径为mv R qB ⊥=、周期为 2m T qB π= 、螺距为 2mv h v T qB π== 霍尔效应 ： 12H IB V V K h -= 式中H K 称为霍尔系数，可正可负，为正时表明正电荷导电，为负时表明负电荷导电 1H K nq = 10．磁化强度 磁场强度 磁化电流 磁介质中的安培环路定理 m M τ ∑= ? 、 L L M d l I =∑? ，内 、 n i M e =?， 0 B H M μ=- 、 m M H χ= 、 00m r B H H μχμμμ==（1+）H=、 0i L i H d l I =∑? 、 L S H dl j dS =? ?? 电磁学复习 —— 稳恒磁场与电磁感应 1 磁感应强度、毕奥－萨伐尔定律、磁感应强度叠加原理 1) 磁感应强度的定义：0sin m F B q v α = —— 方向为运动电荷受到磁力为零的方向 2) 磁场叠加原理：空间一点的磁感应强度服从叠加原理：i i B B = ∑ 3) 磁通量：通过dS 的磁通量：m d B dS Φ=? 02 π θ≤< —— m d Φ为正； 2 π θπ<≤ —— m d Φ为负 通过任意曲面S 的磁通量：m S B dS Φ=?? 通过一个闭合曲面S 的磁通量: m S B dS Φ=?? 04) 毕奥－萨伐尔定律：02?4Idl r dB r μπ?= —— 真空磁导率7202 01 410/N A c μπε-==? 一段电流在空间一点产生的磁感应强度：0 2?4Idl r B dB r μ π ?==?? 运动电荷qv 在真空中产生的磁感应强度：2?qv r B k r ?= —— 02 ?4qv r B r μπ?= 2 稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理 1) 稳恒磁场的高斯定理：0S B dS ?≡? —— 无源场 2) 安培环路定理 在恒定电流产生的磁场中，磁感应强度沿任一闭合回路L 的线积分，等于闭合回路包围的所有电流 代数和的0μ倍 —— 0int L L B dr I μ?=∑? 3) 安培环路定理的应用 应用安培环路定理求解磁感应强度的思路和方法 电流分布的对称性：无限长均匀载流直导线、圆柱面、圆柱体；无限长载流直螺线管、环形载流螺线管；无限大载流平面 磁场分布对称性：无限长均匀载流导线、圆柱面、圆柱体：磁力线为环绕中心轴线的同心圆，一个圆环上各点的磁感应强度大小相等，方向沿切线方向。 —— 无限长直螺线管：管内磁场沿轴线方向，同一条磁力线上各点磁感应强度大小相等。 —— 环形螺线管：管内磁场沿环形切线方向，同一个圆环上各点磁感应强度大小相等。 —— 各种电流分布产生的磁场，磁感应强度方向总是与电流方向满足右手螺旋关系。 选取积分回路： a ）回路上各点磁感应强度大小为常数、方向沿回路各点切线方向； b ）回路上部分磁感应强度积分为零，部分磁场为常数； c ）规定闭合回路绕行的正方向； 4) 应用安培环路定理 0int L L B dr I μ?=∑? 进行计算 对于电流分布不对称的情况：由安培环路定理计算对称电流的磁场，再应用磁场叠加原理计算。 通有电流I 的直导线的磁感应强度：012(cos cos )4I B r μθθπ=- 无限长载流直导线的磁场：02I B r μπ= 载流圆线圈在轴线一点的磁感应强度：2 223/2 2() IR B x R μ=+；圆心的磁感应强度：02I B R μ= 长载流直螺线管的磁感应强度：0B nI μ= 通电螺绕环的磁场分布：0B nI μ= 无限长均匀载流圆柱面在空间产生的磁场：00 2B r R I B r R R μπ=?? 无限长均匀载流圆柱导体产生的磁场：02 022I B r r R R I B r R R μπμπ?=?? 3 安培定律 安培定律 —— 载流导线受的力： dF Idl B =? 有限长一段通电导线受到的安培力：L F Idl B =?? 任意形状的平面线圈在均匀磁场中的磁力矩：m M p B =? —— m p ISn = 4 洛伦兹力：m F qv B =? 第三章稳恒磁场 一、填空题 1、已知半径为圆柱形空间的磁矢势(柱坐标,该区域的磁感应强度为（）. 答案： 2、稳恒磁场的能量可用矢势表示为（）.答案： 3、分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（）.在经典物理中矢势的环流表示（）. 答案：或求解区是无电流的单连通区域 4、无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为,空间矢势 的解析表达式（）.答案： 5、磁偶极子的矢势等于（）；标势等于（）. 答案： 6、在量子物理中,矢势具有更加明确的地位,其中 是能够完全恰当地描述磁场物理量的（）. 答案：相因子, 7、磁偶极子在外磁场中受的力为（）,受的力矩（）. 答案：, 8、电流体系的磁矩等于（）.答案： 9、无界空间充满磁导率为均匀介质,该区域分布有电流,密度为,空间矢势 的解析表达式（）.答案： 二、选择题 1、线性介质中磁场的能量密度为 A. B. C. D. 答案：A 2、稳恒磁场的泊松方程成立的条件是 A．介质分区均匀 B.任意介质 C.各向同性线性介质 D.介质分区均匀且 答案：D 3、引入磁场的矢势的依据是 A.; B.; C. ; D. 答案：D 4、电流处于电流产生的外磁场中,外磁场的矢势为,则它们 的相互作用能为 A. B. C. D. 答案：A 5、对于一个稳恒磁场，矢势有多种选择性是因为 A.的旋度的散度始终为零; B.在定义时只确定了其旋度而没有定义散度; C. 的散度始终为零; 答案： B 6、磁偶极子的矢势和标势分别等于 A. B. C. D. 答案：C 7、用磁标势解决静磁场问题的前提是 A.该区域没有自由电流分布 B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域 C. 该区域每一点满足 D. 该区域每一点满足. 答案：B 三、问答题 1、在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？ 答：稳恒电流请况下，因稳恒电流是闭合的，则有，由电荷 守恒定律：，知：，即：。 所以导电介质中电荷的分布不随时间改变，为一守恒量，至于处ρ值 大小由介质形状、大小等决定。若是均匀导电介质,由得, ,根据高斯定理, 导体内处处无净余电荷分布, 电荷分布于表面及不均匀处. 2、判定下述说法的正确性，并说明理由： （1）不同的矢势，描述不同的磁场； （2）不同的矢势，可以描述同一磁场； （3）的区域，也为零。 答：（1）（3）不正确，（2）的说法是正确的，理由如下：因为任意函数φ的梯度的旋度恒为零，则：，说明：不同的矢 势，可以描述同一磁场。B=0的区域，若可以表为某一函数的梯度，即，则亦满足，所以矢势可以不为零。 教学要求 磁感应强度[1] 磁力线[2] 磁通量[1] 磁场的高斯定理[2] 毕-萨定律[1] 安培环路定理[1] 安培定律[1] 磁场对平面载流线圈的作用[1] 载流线圈的磁矩[2] 洛伦兹力[1] 磁介质及其磁化[3] 铁磁质的特性[3] 磁场强度[2] 各向同性介质中H和B的关系[3] 介质中的安培环路定理[2] B d F max Idl 稳恒磁场小结 1．磁感应强度定义 B 的大小：l I dF B d max = 物理意义：单位电流元在该处所受的最大安培力。 B 的方向：l Id F d ?m ax 右旋关系 B 的单位：特斯拉(T) 2．毕?萨?拉定律 真空磁导率 A /m T o ??=-7 104πμ 叠加原理 ∑=i i B B ，? =B d B 3.通过整个曲面S 的磁通量 S B s m d ?=Φ? 单位：韦伯(Wb) 磁通量的计算 r B φ 1 φ 2 a I 4.磁场的高斯定理 =??S S d B 5.安培环路定理： ∑?=?内 I l B L o μ d 6.B 的计算 (1) 毕?萨?拉定律+叠加原理; (2) 安培环路定理; (3) 运动的电荷产生的磁场 3 0 4r r v q B ?=πμ 几种典型电流的B ?一段载流直导线 ()210cos cos 4φφπμ-=r I B ?无限长载流直导线 r I B πμ20= ?无限长均匀载流薄圆筒 r I B B πμ200= =外内， o θ I R ?无限长载流密绕直螺线管，细螺绕环 00≈=外内，B nI B μ ?半无限长载流密绕直螺线管 nI B 021 μ= ?圆电流圈的圆心和轴线上 ( ) )(x R IS B R I B /不必记轴线中心2 32 2 0022+= = πμμ ?一段圆弧（圆心角θ）中心的磁感应强度 πθ μ220R I B = ?无限大均匀载流平面 大小 20i B μ= 方向(右手定则)， i ----电流面密度——通过垂 直电流方向的单位长度上的电流。 i 第三章稳恒磁场一、填空题 1、已知半径为a圆柱形空间的磁矢势 22 1 (), 4z A J a r e r a μ =-< (柱坐标),该区域 的磁感应强度为（）. 2、稳恒磁场的能量可用矢势表示为（）. 3、分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（）.在经典物理 中矢势的环流L A dl ? ? 表示（）. 4、无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为() J x',空间矢势A的解析表达式（） 5、磁偶极子的矢势(1) A等于（）；标势(1)m?等于（）. 6、磁偶极子在外磁场中受的力为（）,受的力矩（）. 7、电流体系() J x'的磁矩等于（）. 8、无界空间充满磁导率为μ均匀介质,该区域分布有电流,密度为() J x',空间矢 势A的解析表达式（）. 二、选择题 1、线性介质中磁场的能量密度为 A.H B ?21 B. J A ?2 1 C. H B ? D. J A ? 2、 稳恒磁场的泊松方程J A μ-=?2 成立的条件是 A ．介质分区均匀 B.任意介质 C.各向同性线性介质 D.介质分区均匀且0=??A 3、 引入磁场的矢势的依据是 A.0=??H ; B.0=??H ; C.0=??B ; D. 0=??B 4、 电流J 处于电流 e J 产生的外磁场中, 外磁场的矢势为 e A ,则它们的相互作用 能为 A. e V A Jdv ?? B. 1 2e V A Jdv ?? C. e e V A J dv ?? D. V A Jdv ?? 5、 对于一个稳恒磁场 B ，矢势A 有多种选择性是因为 A.A 的旋度的散度始终为零; B.在定义A 时只确定了其旋度而没有定义A 散度; C. A 的散度始终为零; 6、 磁偶极子的矢势A 和标势?m 分别等于 A. 330,44?πμπ??= = m R m R A R R B. 033,44μ?ππ??==m R m R A R R C. 033,44m R m R A R R μ?ππ??= = D. 33 0,44?ππμ??==m R m R A R R 7、 用磁标势解决静磁场问题的前提是 A.该区域没有自由电流分布 B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域 C. 该区域每一点满足0=??B D. 该区域每一点满足0B J μ??=. 三、 问答题 1、 在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点 2、 判定下述说法的正确性，并说明理由： （1） 不同的矢势，描述不同的磁场； （2） 不同的矢势，可以描述同一磁场； （3） 0B =的区域，A 也为零。大学物理稳恒磁场习题及答案 (1)
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