习 题 一 解 答
1．取3.14，3.15，
227，355113
作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:
e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差：
3()0.0016
()0.51103.14
r e x e x x -==≈?
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…
所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2
＝21311101022
--?=?
所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:
e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差：
2()0.0085
()0.27103.15
r e x e x x --==≈-?
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…
所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211
101022
--?=?
所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:
22
() 3.14159265
3.1428571430.0012644930.00137
e x π=-=-=-≈-
相对误差：
3()0.0013
()0.4110227
r e x e x x
--=
=≈-?
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 22
3.1428571430.3142857143107
==?，m=1。 而22 3.14159265 3.1428571430.0012644937π-=-=-
所以 2213
22 3.14159265 3.1428571430.0012644930.005
7
11
0.510101022
π----=-=≤=?=?=?
所以，22
7
作为π的近似值有3个有效数字。
（4）绝对误差:
355
() 3.14159265 3.141592920.00000027050.000000271
113
e x π=-=-=-≈-相对误差：
7()0.000000271
()0.86310355113
r e x e x x
--==≈-?
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 355
3.141592920.31415929210113
==?，m=1。 而355 3.14159265 3.141592920.0000002705113π-=-=-
所以
6617
355 3.14159265 3.141592920.00000027050.0000005
113
11
0.510101022π----=-=≤=?=?=?
所以，355
113作为π的近似值有7个有效数字。
指出：
①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。
2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。 346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300 解：346．7854≈346．79， 7．000009≈7．0000，
0．0001324580≈0．00013246， 0．600300≈0．60030。 指出： 注意0。
只要求写出不要求变形。
3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。
12340.0315,0.3015,31.50,5000x x x x ====。
分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。
解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是
1234()0.00005,()0.00005,()0.005,()0.5x x x x εεεε==== 由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是
111222
333
444
()0.00005
()0.16%,
0.0315
()0.00005
()0.02%,
0.3015()0.005
()0.002%,31.5()0.5
()0.01%.5000
x x x x x x x x x x x x εδεδεδεδ==≈==≈==≈=
=
≈
有效数字分别有3位、4位、4位、4位。 指出：
本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对误差。
4.
0.1％。 解：设取n 个有效数字可使相对误差小于0.1％，则 111
100.1%2n a -?<，
而34≤≤，显然13a =，此时，
1111110100.1%223n n a --?=?
10106
n --?<， 也即461010n ?> 所以，n=4。
3.162≈。
5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对
31120.14281100.31415910x x =?=-?与，试求它们的机器浮点数()(1,2)i fl x i =及
其相对误差。
解：
333311111111
2222()0.142810,(())()0.14281100.1428100.0000110,()0.314210,(())()0.31415910(0.314210)0.0004110fl x e fl x x fl x fl x e fl x x fl x =?=-=?-?=?=-?=-=-?--?=?其相对误差分别是
31
1231
0.00001100.000041100.007%,0.013%0.1428100.314210e e ??=≈=≈-?-?。
6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数
4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z -=?=?=-?，试按
(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果比较。
解：
4222222
2
2
(())(0.23371258100.3367842910)0.3367781110(0.00000023100.3367842910)0.33677811100.33678452100.33677811100.0000064110fl x y z -++=?+?-?=?+?-?=?-?=?
422422
2
2(())0.2337125810(0.33678429100.3367781110)0.23371258100.00000618100.00000023100.00000618100.0000064110fl x y z --++=?+?-?=?+?=?+?=?
精确计算得：
4222222
2
2
0.23371258100.33678429100.3367781110(0.00000023371258100.3367842910)0.33677811100.33678452371258100.33677811100.000064137125810x y z -++=?+?-?=?+?-?=?-?=?
第一种算法按从小到大计算,但出现了两个数量级相差较大的数相加,容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。
***
在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数
4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z --=?=?=-?，试按
(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果比较。
解：
42222222222
(())(0.23371258100.3367842910)0.3367781110(0.00233713100.3367842910)0.33677811100.33912142100.33677811100.00003391100.33677811100.336744210fl x y z -----++=?+?-?=?+?-?=?-?=?-?=-?
42242242222
(())0.2337125810(0.33678429100.3367781110)0.2337125810(0.00003368100.3367781110)0.23371258100.33674742100.00000023100.33674742100.3367471910fl x y z ----++=?+?-?=?+?-?=?-?=?-?=-?
第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。
精确计算得：
4222
0.23371258100.33678429100.33677811100.0000233712580.003367842933.6778110.00339121415833.67781133.6744197858420.3367441978584210x y z --++=?+?-?=+-=-=-=-?
显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。
7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算
10.40.30.20.040.030.020.01+++++++ 试比较所得结果。 解：从左到右计算得
10.40.30.20.040.030.020.01
0.1100.04100.03100.02100.00100.00100.00100.00100.19101.9
+++++++=?+?+?+?+?+?+?+?=?=
从右到左计算得
111110.40.30.20.040.030.020.010.010.020.030.040.20.30.41
0.1100.2100.3100.4100.20.30.410.10.20.30.41
0.1101
0.1100.1100.2102
----+++++++=+++++++=?+?+?+?++++=++++=?+=?+?=?=
从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。
8、对于有效数1233.105,0.001,0.100x x x =-==，估计下列算式的相对误差限
2
1123212333
,,x y x x x y x x x y x =++==
分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和的方法。
解：因为1233.105,0.001,0.100x x x =-==都是有效数，
所以123()0.0005,
()0.0005,()0.0005x x x εεε===
1230.00050.00050.0005
()0.16%,()50%,()0.5%3.1050.0010.100
x x x δδδ=
===== 则123123()()()()0.00050.00050.00050.0015x x x x x x εεεε++=++=++=
4123123123
()
0.00150.0015
() 4.99100.05%
3.1050.0010.100 3.004
x x x x x x x x x εδ-++++==
=≈?=++-++
123123()()()()0.16%50%0.5%50.66%x x x x x x δδδδ=++=++=
2
233
(
)()()50%0.5%50.5%x x x x δδδ=+=+= 指出:
如果简单地用有效数字与误差的关系计算,则不够精确。
注意是相对误差限的讨论。符号要正确，商的误差限是误差限的和而不是差。
9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中1x 表示x 充分
接近0，1x
表示x 充分大）。
(1)1212ln ln ,x x x x -≈； (2)
11,111x x x x
---+；
(3)1x ；
(4)
1cos ,01x
x x x -≠且; (5)1
cot ,01x x x
x
-≠且。
分析：根据算法设计的原则进行变形即可。当没有简单有效的方法时就采用泰勒展开的方法。
解：(1)1
122
ln ln ln x x x x -=； (2)
2
2
2
111(1)11(1)(1)1(12)3(1)(1)(1)(1)
x x x x x x x x x x x x
x x x x -+---=
-+-++--+-=
=
-+-+；
(3)
=
=
=
或
112
()()
2
x x
x
=
+--
==
=
=
(4)
242
242
1
321
1
1(1(1))
1cos2!4!(2)!
(1)
2!4!(2)!
(1)
2!4!(2)!
n
n
n
n
n
n
x x x
x n
x x
x x x
n
x
x x x
n
+
-
+
--+-+-+ -
=
--+-+
=
=--+-+
(5)
2
321
2
321
n
2
11111
cot()
345(2)!
2
11
345(2)!
B
n
n
n
n
n
n
B
x x x x
x x x n
B
x x x
n
-
-
-=------
=++++
（是贝努利数）
指出：
①采用等价无穷小代换的方法一般不可行。近似计算中的误差并不是无穷小量，利用无穷小量等价代换，两个量的差别可能恰恰是影响精度的因素。采用等价无穷小代换，可能只会得到精度水平比较低的结论。
例如
2
2
2sin 2()1cos 222
x x
x
x x
x x -=≈= 11cos sin cos cot sin sin cos (1,sin )
sin 1cos sin 11(1,cos 1)sin 0
x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x --=-=-≈≈-=
-≈≈= 试与上例比较。
有时候这种方法可以使用，例如 因为cos()cos cos sin sin x x x δδδ+=-， 当1δ
时，cos 1,sin
0δδ≈≈ cos()cos cos sin sin cos sin x x x x x δδδδ+=-≈-
在这个计算中，由于x 是常数，x 的函数值实际上放大了每一项的计算结果，使得相近的数相减的问题不很突出。
而利用一阶的泰勒展开()()()()f x f x f x x δδξξδ'+≈+<<+，当1δ时，
就有()()()f x f x f x δδ'+≈+，因此
cos()cos sin x x x δδ+≈-
和上面的结果一样。但显然，用泰勒展开的方法具有一般性并能得到精度更高的结果，而且不会有方法上出错的可能。
②采用洛必达法则也是不可以的。实际上，无论是等价无穷小还是洛必达法则都是极限方法，而因为近似计算中的误差虽然可以近似地看作是微分，但本质上却是一个确定的可能极小的小数而不是无穷小（趋于零的变量），因此近似计算是不能采用极限方法的。
③转化的结果要化简，比如化繁分式为简分式，但不能取极限。取极限就违背的了数值计算的本意。
所以，
11110110111010x x x ---≈-=-=-+-+ 是错误的。
④极小的数做除数，实际上是
型的不定型，要转化为非不定型。 10、用4位三角函数表，怎样算才能保证1cos 2-有较高的精度？ 解：根据21cos 22sin 1-=，先查表求出sin1再计算出要求的结果精度较高。
指出：
用度数就可以。不必化为弧度。
11、利用27.982≈求方程25610x x -+=的两个根，使它们至少具有4位有效数字。
解：
由方程的求根公式，本方程的根为
1,256562822
x ±±===±
27.982≈，则
1282827.98255.982x =≈+=
如果直接根据求根公式计算第二个根，则因为两个相近的数相减会造成有效数字的减少，误差增大。因此
根据韦达定理121x x =，在求出155.982x ≈后这样计算2x ：
1211155.982
x x =
≈?＝0.01786=0.178610 这样就保证了求出的根有四位有效数字。 12、试给出一种计算积分
1
1
(0,1,2,3,...)n x n I e
x e dx n -==?， 近似值的稳定算法。
解：当n ＝0时，1
1
011
00
(1)1x I e
x e dx e e e ---==-=-?。 (1
1
1x x e dx e e ==-?)。
对I n 运用分部积分法(b
b
b
a a
a
udv uv vdu =-??)得
1
1
1
1
1
1
11
10
()(0)n x n x n x
n x n I e
x e dx e x e
n x e dx e e n x e dx -----==-=--???
11
110
11n x
n ne
x e dx nI ---=-=-? 由此得到带初值的递推关系式
1
0111(1,2,3,...)n
n I e
I nI n --?=-??
=-=?? 由递推公式I n ＝1－nI n －1 解得11
(1)n n I I n
-=-，这是逆向的递推公式，对I n 的值作估计，有
1
1
1
11
1
1
n x
n
n I e
x e dx e e x dx n --=≤=+?? 另有
1
1
111
11
n x n n I e x e dx e x dx e n ---=≥=+?? (取e 的指数为最小值0，将e x 取作 e 0 ＝1作为常数即可简化公式）。
则 11111
n e I n n -≤≤++。 那么，我们可以取其上下限的平均值作为其近似值。即取
111
(1)21
n I e n -=
++ 可以看出，n 越大，这个近似值越精确地接近于准确值。
(n 越大，I n 的上限和下限就越接近，近似值区间的长度就越短，近似值和
精确值就越接近)
此时，e n －1=I n －1*－I n －1=－1n (I n *－I n )＝1n e n ，│e 0│= 1
!
n │e n │，计算是稳
定的。
实际上，如果我们要求I 9，可以先求出I 20，这样求出的I 9的误差是比I 20
的误差小得多的，而I 20的误差本身也并不大。实际上，这样求出的I 9比直接计算出来的精确得多。
补充题（一）
1、给出数系F(10,4,-5,5)中的最大数、最小数和最小整数。 解：最大数：0.9999×105；
最小数：－0.9999×105； 最小正数：0.0001×10－5。 2、已知 2.71828182845904523536028747e =，求它在F(10，5，－5，5）
和F(10，8，－5，5）中的浮点数。
解：在F(10，5，－5，5）中，1()0.2718310fl e =? 在F(10，8，－5，5）中，1()0.2718281810fl e =?
3、已知数e 的以下几个近似数，它们分别有几位有效数字？相对误差是多少？
0102.7182, 2.7183, 2.7182818x x x ===。
分析：题目没有说明近似数是通过哪种途径取得的，也就没有明确每个近似数和准确数之间的误差关系。
所以，本题的解答应当从求近似数的误差开始。 解：因为
31404151718211
0.000081811010,
2211
0.000021010,22
11
0.000000031010.
22
e x e x e x -------=
所以，0102.7182, 2.7183, 2.7182818x x x ===分别有4、5、8个有效数字。 其相对误差分别是
14
0300417
21101
2()10,
2.718241
10,
41
104
r e x e x x e x e x ----?-=<
4
、数3
与下述各式在实数的意义上是相等的， （1
）3(17-，（2
）31[(17]--，（3
）6(3-，（4
）61[(3]-+， （5
）19601-6
）1(19601-+。
试说明在浮点数系(10,4,8,8)F -中，用哪个公式计算出的结果误差最小。 分析：本题实际上是一个算法分析与设计问题，也就是说要应用算法设计的基本原则进行分析讨论。
解：在本例中，显然3
和17
和19601
和也是相近的数。因此：
①为避免相近的数相减，不应采用（1）、（3）、（5）三种计算方法。 ②在余下的三种计算方法中，（2）需要进行4次乘除法，（4）需要进行7次乘除法，（6）需要进行1次除法。从减少运算次数来说，应采用（6）。
所以，采用（6）计算，计算结果误差最小。
5、32
()[ln(1)]/x
f x xe x x =+-，当1x 时，
如何计算才能获得准确的结果？ 解：当1x
（即很小时），f(x)的分子是两个相近的小数相减，而分
母也是一个小数，因此应避免简单地按原计算顺序直接计算，而应进行变
形。
由泰勒展开得
2342
23()()()222()22!3!4!ln(1)23x
n
x x x x
xe x x x x x x x x x x n
=+++++
-=------
因此
3453
2
111111
()[()()()]/834841624551139724481920
f x x x x x x x
=-+-+-+
?≈---
此处最后略去部分的第一项为 33
11639()1203263840x x -=-? 当1x
时，这一部分是相当小的值，可以略去。
指出：
如果要提高计算精度，就可以考虑保留更多的项。
补充题（二）
（一）
1、计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。
2、利用
1
22
1
()1(01,1)1(1)n n
n x f x x x x x x
x θθ++==+++
++
<<<--
计算f(0.1)的近似值，其误差不超过10－2，求n 。
3、3.142和3.141分别作为π的近似数，各有几位有效数字？
4、已知近似数x 的相对误差限为0.3％,问x 至少有几个有效数字？
5、已知x 的下列3个近似数的绝对误差限都是0.005，问它们的有效数字各有几位？
a=138.00，b=-0.0132，c=-0.86×10-4
6、设近似值x=1.234，且绝对误差界为0.0005，则它至少有几位有效数字？
7、某校有学生6281人，通常说有6000人。下面哪个式子表示6000这个近似数合适？
444
4
0.6100.60100.60010
0.600010????
分析与解答
1、解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。由麦克劳林公式，可知
2
1
1(01)2!
!(1)!
n x x
n x x e e x x n n θθ+=+++
++<<+
当x=1时，1
111(01)2!
!(1)!
e e n n θθ=+++
++
<<+
故3
(1)(1)!(1)!
n e R n n θ=<++。
当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。此时，
e≈2.718 285
解决这类问题其实很简单。只要知道了泰勒展开式，余下的就只是简单的计算了。
泰勒(Taylor)中值定理：若函数f(x)在[a,b]上存在直至n 阶的连续导函数，在(a,b)上存在n+1阶导函数，则对任意给定的x ，x 0∈[a ，,b]，至少存在一点ξ∈（a ，,b ），使得
()(1)21
00000000()
()()()()()()()()()2!
!(1)!
n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-+
+-+-+ 其中，
(1)10()
()()(1)!
n n n f R x x x n ξ++=
-+ 叫做拉格朗日型余项。 当x 0=0时,得到麦克劳林公式。
()(1)2
1(0)(0)()()(0)(0)(01)
2!
!(1)!
n n n n f f f x f x f f x x x x
n n θθ++'''=+++
++<<+
2、解：
11122
222
(2)323
0.10.11()1010,9(1)(10.1)0.9910,910n n n n n n n n n x x θ++++-+++-+-+<==?<--<>
所以，n=2。 3、
π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.142＝0.3142×10，m=1。
因为π－3.142＝3.14159265…－3.142＝－0.00040… 所以，│π－3.142│＝0.00040…≤0.0005=0.5×10－3
＝
31411
101022
--?=? 所以，3.142作为π的近似值有4个有效数字。
2213
3.1415926
,
11
3.1415926
3.1410.000590.0050.510101022
π---=-=≤=?=?=? 小数点后几个0，10的指数的绝对值就是几。
4、解：设x 有n 位有效数字，其第一位有效数字按最不利情况取为9，则
1131111
0.3%10101010002(91)2102210n n n n
δ---===?=?=?=+??， 由上可得
6101000n ?=，
n ≈2.2， 所以取n=2。
5、解：21
0.005102
x a x b x c --=-=-≤=?，
所以m-n=-2。
a=138.00=0.13800×103，则m=3，所以n=3-(-2)=5， 即a 有5位有效数字；
b=-0.0132=-0.132×10-1，则m=-1，所以n=-1-(-2)=1， 所以b 有1位有效数字。
c=-0.86×10-4，则m=－4，所以n=－4-(-2)=－2<0， 所以c 没有有效数字。
6、解：因为近似数x=1.234的绝对误差界为0.0005，
所以*31
0.0005102
x x --≤=?，
则m-n=-3。
而x=1.234＝0.1234×101， 则m=1， 所以n=1-(-3)=4，
所以，x=1.234有4位有效数字。
7、解：哪个式子表示6000这个近似数合适实际上要看近似数6000有多少个有效数字。
6281近似到十位、百位，千位分别是 628162806281630062816000
≈≈≈ 写成科学记数的形式分别是
444
628162800.62810628163000.6310628160000.610≈=?≈=?≈=?
可见，上述写法中，第一种是合适的。
实际上，
4462810.628110,60000.600010=?=?
所以m=4,
而3331
628160002810.281100.510102
-==?≤?=?
所以m-n=3，
则n=m-3=4-3=1，
即近似数6000只有一个有效数字，所以，只有40.610?这种写法是合适的。
（二）
1、已知测量某长方形场地的长为a ＝110米，宽为b ＝80米。若 │a *－a│≤0.1（米），│b *－b│≤0.1（米）， 试求其面积的绝对误差限和相对误差限。
2、已知三角形的两个内角的测量误差都不超过0.1°，则计算第三个角时，绝对误差不超过多少。
3、若x 1=1.03±0.01，x 2=0.45±0.01，计算22112
x y x e =+的近似值并估计误差。
4、已知测量某长方形场地的长为a ＝110米，宽为b ＝80米。若 │a *－a│≤0.2（米），│b *－b│≤0.1（米），
试利用多元函数的误差分析方法求其面积S=ab 的绝对误差限和相对误差限，并与四则运算的误差分析比较。
5、如果用电表测得一个电阻两端的电压和通过的电流分别是
V=110±2(V)，I=20±0.5(A)
试运用欧姆定律V
R I
=
求这个电阻值R 的近似值，并估计所求出的近似值的
绝对误差和相对误差。
6、已知近似值a 1=2.21,a 2=4.63,a 3=7.98是由四舍五入得到的，它们的绝对误
差界都是0.005试估计1233a a
a a +和1312
a a a a -的相对误差界。
分析与解答
1、2,()()()()19.1()S ab S ab a b b a m εεεε==≤+= ()19.1
()()0.002170.217%11080
ab S ab ab εδδ===≈=?
2、提示：内角和为180°，而且180是准确数，没有误差。
3、由已知，x 1=1.03，△x 1＝0.01，x 2=0.45，△x 2＝0.01。所以，
1
22121121
(,)2 2.06,(,)0.7842,2
x x x f x x x f x x e ''==== ε(x 1)＝△x 1＝0.01，ε(x 2) ＝△x 2＝0.01。 所以，y 的绝对误差限为
1
2
121122()(,)()(,)()
2.060.010.78420.010.028
x x y f x x x f x x x εεε''≤+=?+?=
将有关数据代入函数表达式，可以求出函数值的近似值为
2211
1.8452
x y x e =+=，
则y 的相对误差限为
()0.028() 1.5%1.845
y y y εδ==≈
进一步地，本题的绝对误差限可以看作是0.05，那么计算结果中只需要保留到百分位就可以了，即最终结果取1.8，那么计算过程中各数只需要取到千分位。)
4、（。 6、略解。
12121233123333
(,,),(,,)x x a a
f x x x x f a a a a x a =
+=+则 12121231233333
(,,)(,,)()()x x a a
f x x x f a a a x a x a -=+-+
所以，
12312312312321121232333211212323332211223332123((,,))((,,))
(,,)(,,)()()1()()()1()1
(
1)102
1
(()()()10)
2f a a a e f a a a f x x x f a a a a a a a
e a e a e a a a a a a a a
e a e a e a a a a a a a a a a a e a e a e a ε--==-≤++-+≤
+++≤+++??===? 则相对误差限为
123123123((,,))
((,,))(,,)
f a a a f a a a f a a a εδ=
下略。 解二:
根据函数12(,,
,)n y f x x x =的函数值的绝对误差
1231
()((,,,
,))()n
n i i i
f
e y e
f x x x x e x x =?==?∑
。 相对误差
1231123()((,,,
,))()(,,,
,)
n
i r r n r i i i n x f
e y e
f x x x x e x x f x x x x =?==?∑
公式计算。
（三）
1、用秦九韶算法的多项式格式乘法计算多项式 P(x)=x 7-2x 6-3x 4+4x 3-x 2＋6x-1 在x=2处的值p(2)。
2、利用等价变换使下面式子的计算结果比较精确。 11(1)121x
x x x
--++。 3、指出下列各题的合理计算途径（对给出具体数据的，请算出结果） ［1］1－cos1○（三角函数值取四位有效数字） ［2
］ln(30（对数函数值取六位有效数字）
［3］
1cos sin x
x
- (其中x 的绝对值很小）
［4］x 127
［5］100
11
(1)
n n n =+∑
4、设近似值T 0=S 0=35.70具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析分别用递推式
15142.8i i T T +=-和11
142.85
i i S S +=-
计算T 20和S 20所得结果是否可靠。
5、计算6426()2341p x x x x x =-+-+的值6(3)p 。
分析与解答
1、p(2)＝－9
2、2
2(12)(1)
x x x ++
3、［1］201cos 2sin ,sin 0.50.00872
x
x -==
［2］
300.01667,
ln(30 4.09414
-=
=-=-
［3］
1c o s s i n t a n s i n 1c o s 2
x x x x x -==+
［4］x 127＝x·x 2·x 4·x 8·x 16·x 32·x 64
［5］由小到大依次相加。
100100
11
1111100
()1(1)1101101n n n n n n ===-=-=++∑∑ 4、设计算T i 的绝对误差为e(T i )=T i *－T i ，其中计算T 0的误差为ε，那么计算T 20的误差为 e(T 20)=T 20*－T 20＝（5T 19*－142.8）－（5T 19－142.8）=5(T 19*－T 19)
第一章 误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生 的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 12 222...q q π=? ?? 其中 11 2,3,... n q q n +?=?? ==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 3.141587725...π≈ 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b --
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于
【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)
三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）
《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ 2 10- ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ))((!2) (b x a x f --''ξ ） 。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5 2 ）。 4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题 1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。 A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2 )(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝?? ? ? ??3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ） ． Ａ． 2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6 π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）. A ．)(h o Ｂ．)(2 h o Ｃ．)(3 h o Ｄ．)(4 h o 三、计算题 1．求矛盾方程组：??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2 212 212 2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?， 由 0,021=??=??x x ? ?得：???=+=+9 629232121x x x x ， 解得14 9 ,71821== x x 。
习题二 1. 证明方程043 =-+x x 在区间[1，2]内有一个根。如果用二分法求它具有5位有效数字的根，需要 二分多少次。 证明: （1） 不妨令 4)(3-+=x x x f ，求得： 02)1(<-=f 06)2(>=f 又因为4)(3-+=x x x f 在区间[1，2]内是连续的，所以在区间[1，2]内有至少一个根。 又因为 13)(2'+=x x f 在区间[1，2]内013)(2'>+=x x f ，所以4)(3-+=x x x f 单调。 得证，043 =-+x x 在区间[1，2]内仅有一个根。 （2）具有5位有效数字的根，说明根可以表示成 5 4321.a a a a a ，所以绝对误差限应该是 5a 位上的 一半，即： 4105.0-?=ε。由公式： ε≤-+1 2 k a b 可得到, 14=k 迭代次数为151=+k 次。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. 用二分法求方程 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内的近似根（精确到10-3）。 解：043499.05625.099749.0)25.1(5.1sin )5.1(2 >=-=-=f 009070.0190930.0)22(2sin )2(2 <-=-=-=f 所以0)2 (sin )(2 =-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，又 x cos )('-=x x f 在区间[1.5，2]内 0x cos )('<-=x x f 所以 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，且唯一。符合二分条件，可以用二分法，二分的 次数为：
第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因
，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和.
解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表
练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.*x=–1 2.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限 ≤ 4 10 2 1 - ? 。( ) 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。( ) 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。( )
4. 用 2 12x -近似表示cos x 产生舍入误差。 ( ) 5. 3.14和3.142作为π的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1. 为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ； 2. *x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限 为 ，相对误差限为 ； 3. 误差的来源是 ； 4. 截断误差为 ； 5. 设计算法应遵循的原则 是 。 三、选择题 1．*x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值
3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s *=21 g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是 在时间t 内的实际距离，则s t s *是（ ）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。 四、计算题 1． 3.142，3.141，22 7分别作为π的近似值，各有几位有效数字？ 2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？ 3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)1||,11211<<+-++x x x x ， (2) 1||1112<<+?+x dt t x x (3) 1||,1<<-x e x ， (4) 1)1ln(2>>-+x x x 4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21 g t 2，g 为重力加速度。现设g 是精确的，而对t 有0.1±秒的测量误差，证明：当t 增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-
引论试题（11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为
025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π，具有7位有效数字
数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数
是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。
计算方法第3版习题答案 习题1解答 1.1 解：直接根据定义得 *411()102x δ-≤?*411()102r x δ-≤?*3*12211 ()10,()1026 r x x δδ--≤?≤?*2*5331()10,()102r x x δδ--≤?≤ 1.2 解：取4位有效数字 1.3解：433 5124124124 ()()() 101010() 1.810257.563 r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=?++? 123()r a a a δ≤ 123132231123 ()()() a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016= 1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故** * ***(()) (())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x x δδδ-= ≈== 1.5 解： 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=± 2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++ ***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤， 1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈= 现100,()1x S δ=≤，从而得() 1 ()0.00522100 S x x δδ≈ ≤ =? 1.7 解：因S ld =，故 S d l ?=?，S l d ?=?，*****()()()()()S S S l d l d δδδ??≈+?? * 2 ()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+?=, *** ** * () () 0.0744 ()0.55%13.4784 r S S S l d S δδδ= = = ≈ 1.8 解：（1）4.472 （2）4.47 1.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减 (3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解 （1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357 sin ..3!5!7! x x x x x -=-+-， （2） 1 (1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N =N N +-N N +N +-? 1 (1)1ln ln N +=N +N +-N 1.11 解：0.00548。 1.12解：21 16 27 3102 ()()() -? 1.13解：0.000021
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公
1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数 解 近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有 31105.06592001.0-*?≤=- x x . 即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 5-1*10?50≤00000740=-.. x x 即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字. 而近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 4-1*10?50≤00009260=-.. x x 即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 －0.00200 9000 9000.00 解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1 绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*?≤≤-=-x x x m -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字 1x =2，相对误差限000025.010******** 1)1(1 =??=??=---n r x ε （2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m =-2 5105.00000049.0)00200.0(-*?≤≤--=-x x x m -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字 1x =2，相对误差限3 110221 -??=r ε=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4， 0105.049.09000?<≤-=-*x x x m -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字 4 110921-??=r ε＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4， 2105.00049.000.9000-*?<≤-=-x x x m -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字 相对误差限为6 110921-??=r ε＝0.000 00056 由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是多少？ 解 精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.693 2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过 31021-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f +=，则32)(x x f -='，由于
数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 1122k k k k k k x a x x x x +-??=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ? ?+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）
则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为00678.07 .20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 2102 1 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字
《计算方法》习题 习题一 1． 设85.9,64.3,23.1321===x x x 均准确到末位数字，试估计由这些数据计算 321x x x +的相对误差。 ??? ? ??? ??-=??????? ????????? ? ?----4170212153222352 32 31 4321x x x x 4． 用追赶法解方程组