第4.3节微积分基本定理与原函数

第 三 讲

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微积分基本定理

微积分基本定理 一、教材分析 1、教材的地位及作用 微积分基本定理是普通高中课程标准实验教科书（人教版）高二年级数学（选修2-2）第一章第六节内容，本节内容共设计两个课时，这是第一课时，这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 2、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下： （1）知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会求简单的定积分。 （2）过程与方法目标：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法。 （3）情感、态度与价值观目标：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 3、教学重点、难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。（根据教材内容特点及教学目标的要求） 难点：了解微积分基本定理的含义。（根据学生的年龄结构特征和心理认知特点） ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点的关键在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位。 二、教法和学法 1、教法： 素质教育理论明确要求：教师是主导，学生是主体，只有教师在教学过程中注重引导，才能充分发挥学生的主观能动性，有利于学生创造性思维的培养和能力的提高，根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律，我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启发、

微积分基本定理的证明

理学院 School of Sciences 微积分基本定理的证明 Proof of the fundamental theorem of calculus 学生姓名：张智 学生学号：201001164 所在班级：数学101 所在专业：数学与应用数学 指导老师：杨志林

摘要 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，自十七世纪以来，微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理，它的建立标志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明，建立了微分中值定理与积分中值定理的联系，在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。 关键词：微积分基本定理，发展史，定理的应用，定理的证明

ABSTRACT Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem. Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof

微积分基本定理(17)

1.6 微积分基本定理（ 2） 一、【教学目标】 重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点：利用微积分基本定理求积分；找到被积函数的原函数． 能力点：正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩 证唯物主义观点，提高理性思维能力. 自主探究点：通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义. 易错点：准确找到被积函数的原函数，积分上限与下限代人求差注意步骤，以免符号出错. 考试点：高考多以填空题出现，以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义：如果函数() f x在区间[,] a b上连续，用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b，将区间[,] a b等分成n个小区间，在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n，作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分，记作() b a f x dx ?，即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间[,] a b叫做积分区间，函数() f x叫做被积函数，x叫做积分变量，() f x dx叫做被积式. 2．定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥，那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==（a b ≠），0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积.

7.微积分基本定理练习题

7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1

11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________． 三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为 ＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c

牛顿-莱布尼茨公式的详细证明

牛顿—莱布尼茨公式 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极 限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?

牛顿-莱布尼茨公式的详细证明

牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

微积分基本定理的应用

1.6.2微积分基本定理的应用 主编：徐其海 审核：张安永 一.学习目标 1.能理解导数于定积分的内在联系，掌握微积分基本定理，根据定积分的值解释其几何意义. 2. 会利用牛顿-莱布尼兹公式和求导公式求最基本初等函数的定积分. 3. 会利用牛顿-莱布尼兹公式和求导公式和定积分的性质求一些简单初等函数的定积分 二.重难点 1重点：对于牛顿-莱布尼兹公式的应用和理解. 2难点：对于牛顿-莱布尼兹公式的应用和理解. 三.知识链接. 1. 牛顿-莱布尼兹公式的理解. 一般的，如果f(x)是区间[]b a ,上的连续函数，并且),()(|x f x F =那么)()()(a F b F x f a b -=?.这个结论叫微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式 （1） 计算定积分dx x f a b )(?的关键是找到满足函数)()(|x f x F =的函数)(x F . （2） 通常利用基本初等函数的求导公式和定积分的性质求出)(x F . 如cdx m n bxdx m n dx ax m n dx c bx ax m n ????++=++22)(， 分成各个简单的函数进行积分较简单，求导运算和求)(x F 的运算是互逆的运算. （3） ,|)(F )()(b a x a F b F 记成-即)()(|)()(a F b F x F dx x f a b b a -==? （4） 只有f(x)在区间[]b a ,上连续，定积分dx x f a b )(?才存在 （5） 实际上F(x)+c(c 为常数)的导数和F(x)的导数相同，故 dx x f a b )(?可以写成[][]c a F c b F +-+)()(，但结果与)()(a F b F -相同，故省略了c 2. 复合函数的定积分 求复合函数的定积分主要依据定积分的性质 （1） 有限个函数代数和的积分，等于各个函数积分的代数和.即

微积分基本定理说课稿

《微积分基本定理》（说课稿） 一、教材分析 1、教材的地位及作用 我所选用的教材是科学出版社出版的高等教育“十一五”规划教材《经济数学基础》，由宋劲松老师主编。微积分基本定理是第四章第二节内容，本节内容共设计两个课时，这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了不定积分和定积分这两个概念后的继续，它不仅揭示了不定积分和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 二、教学目标及重点、难点 1、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下： （1）知识与技能目标：通过本节的学习，使学生了解变上限的定积分的定义及相关定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，通过例题及练习，使学生在增加对牛顿—莱布尼兹公式感性认识的基础上，熟练掌握求定积分的方法，从而能够熟练计算定积分. （2）能力目标：本节所讲数学知识主要是为学生学习专业课做准备。要逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、提高综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力。 （3）德育目标：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 2、教学重点、难点 根据教材内容特点及教学目标的要求确定本节重点为通过探究变上限定积分与原函数的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 根据学生的年龄结构特征和心理认知特点确定本节难点：了解微积分基本定理的含义. ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点的关键在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位. 三、教法和学法 1、教法： 素质教育理论明确要求：教师是主导，学生是主体，只有教师在教学过程中注重引导，才能充分发挥学生的主观能动性，有利于学生创造性思维的培养和能力的提高，根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律，我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现了学生的主体地位。 2、学法：

§1.6微积分基本定理

1.6微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 21()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有

()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ=()x a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1．计算下列定积分： （1）2 11dx x ?； （2）3211(2)x dx x -?。 解：（1）因为'1(ln )x x =， 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。 （2））因为2''211()2,()x x x x ==-， 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习：计算 120x dx ? 解：由于313 x 是2x 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有

(完整版)2-14第十四节定积分与微积分基本定理(理)练习题(2015年高考总复习)

第十四节 定积分与微积分基本定理（理） 时间：45分钟分值：75分 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1 2x 2dx , S 2= ；dx , S 3 = 2e x dX ，贝U S i , 1 1 1 B . S 2