第一章例题 例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成 ].；平面上的何种曲线? (1) 以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； (2) 倾角 二的直线； (3) 双曲线''■='。 解 设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7 = y + jv = Λ(cos
0 特别，取 - ，则由上面的不等式得 ∣∕(z)∣>l∕(z o )∣-^ = M>0 因此， f ② 在匚邻域 内就恒不为0。 例1.3 设 /⑵ 4C ri ) (3≠o) 试证一 在原点无极限，从而在原点不连续。
证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则 而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1 北）= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。但 Δ/ _ z+?z -z _ ?z ?z ?z ?z 零时，其极限为一1。故匚处处不可微。 证因UaJ ）二倆，呛J ） = C I 。故 但 /(?) - /(0) _ λj?j ?z ? + i?y 从而 （沿正实轴。一 H ） 当I: 「时，极限不存在。因 二取实数趋于O 时，起极限为1 ,二取纯虚数而趋于 例2.2 在了 — 1满足定理 2.1的条件，但在_ I.不可微。 M (ΔJ 7O)-?(O,O) = 0 = v∕0,0) (O f O) = Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay
(2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ）16 （B ） 112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =?? __________1 22(,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)11 2 011 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 01(,)y dy f x y dx --?? (C)1 101 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D)201 (,)dy f x y dx -?? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( )
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13
第四部分 定积分 [选择题] 容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。 1．积分中值定理?-=b a a b f dx x f ))(()(ξ，其中（ ） 。 (A) ξ是],[b a 内任一点； (B). ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C). ξ是],[b a 内唯一的某一点； (D). ξ是],[b a 的中点。 答B 2．???????=≠?=0 ,0,)()(2 x c x x dt t tf x F x ,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ） 。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c . 答A 3．a dx x x I a n n n (,1sin lim ?=+∞→为常数）由积分中值定理得?=+a n n a dx x x ξξ1sin 1sin ，则 =I （ ）。 (A)a a a a a n 1 sin 1 sin lim 1 sin lim 2==→∞ →ξ ξξ ξξ; (B).01 sin lim 0 =→ξ ξa ;
(C).a a =∞ →ξ ξξ1 sin lim ; (D).∞=∞ →ξ ξξ1 sin lim a . 答C 4．设)(x f 在],[b a 连续，?=x a dt t f x )()(?，则（ ） 。 (A).)(x ?是)(x f 在],[b a 上的一个原函数； (B). )(x f 是)(x ?的一个原函数; (C). )(x ?是)(x f 在],[b a 上唯一的原函数; (D).)(x f 是)(x ?在],[b a 上唯一的原函数. 答A 5．设0)(=?b a dx x f 且)(x f 在],[b a 连续，则（ ） 。 (A).0)(≡x f ; (B).必存在x 使0)(=x f ； (C).存在唯一的一点x 使0)(=x f ； (D).不一定存在点x 使 0)(=x f 。 答B 6．设?=a dx x f x I 023)( (0.>a ), 则（ ）。 (A).?=2 0)(a dx x xf I ; (B).?=a dx x xf I 0)(; (C).?=2 0)(21a dx x xf I ; (D).?=a dx x xf I 0)(21. 答 C 7．=-+?-11 21)1(dx x x ( )
定积分练习题 一．选择题、填空题 1 p 2 p 3 p ....... n p 1．将和式的极限 lim P 1 ( p 0) 表示成定积分 n n 1 1 1 p dx 1 1 p dx 1 x p dx A ． dx B ． x C ． ( ) D ． () x 1 1 0 1 0 x 0 n 2．将和式 lim ( ......... ) 表示为定积分 n n 1 n 2 2n 3．下列等于 1 的积分是 1 xdx B ． 1 1)dx 1 1dx 1 1 A ． ( x C ． D ． dx 2 4． 1 4 | dx = | x 2 A ． 21 B ． 22 C ． 23 D ． 25 3 3 3 3 5．曲线 y cos x, x [0, 3 ] 与坐标周围成的面积 2 C ． 5 A ． 4 B ． 2 D ． 3 2 1 e x )dx = 6． (e x A ． e 1 B ． 2e 2 D ． e 1 e C ． e e 7. 若 m 1 e x dx ， n e 1 dx ，则 m 与 n 的大小关系是（ ） 1 x （ ） ． （ ） （ ） （ ） （ ） A ． m n B ． m n C ． m n D ．无法确定 8. 9．由曲线 y x 2 1 和 x 轴围成图形的面积等于 S ．给出下列结果： 1 1 x 2 )dx ；③ 2 1 (1 x 2 )dx ． ① ( x 2 1)dx ；② (1 (x 2 1)dx ；④ 2 1 1 1 则 S 等于（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②③ D ．②④ y x 10. (sin t cost sin t )dt ，则 y 的最大值是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 7 D ． 0 2 17 f ( x) 11. 1 f ( x) dx 1 2 若 f ( x) 是一次函数，且 5， xf ( x)dx ，那么 dx 的值是 6 1 x ． 15．设 f (x ) sin x x f (x) cos2 xdx ( ) 3 ，则 其余
习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=
（2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =
第九章 重积分 一、选择题 1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω ++Ω++=???球面部， 则I= [ C ] A. ???Ω Ω=dv 的体积 B.???1 42020sin dr r d d θ?θππ C. ???104 020sin dr r d d ??θππ D. ???104 020sin dr r d d θ?θππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域， 则???Ω =xdxdydz [ B ] A. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 B. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 C. ???-1 021021 0dz x dx dy y D. ???---y x y dz x dx dy 210 21010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ] （A ）()()1 cos d d 2d d D D xy x xy x y xy x y +=???? （B ）()()()1 cos d d 2cos d d D D xy x xy x y x xy x y +=???? （C ）()()1 cos d d 2(cos())d d D D xy x xy x y xy x xy x y +=+???? （D ）()()cos d d 0D xy x xy x y +=?? 4. Ω:12 22≤++z y x ， 则??? Ω =++++++dxdydz z y x z y x z 1 )1ln(2 2 2 222 [ C ] A. 1 B. π C. 0 D. 3 4π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则D xy d σ=?? D A.2 20 sin cos a d r dr π θθθ?? B. 30 sin cos a d r dr π θθθ? ?
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，
第一章 复数与复变函数 一、选择题： 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 32 1+ - （D ）i 2 12 3+ - 3．复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为（ ） A ．44-3(cos isin )5 5 ππ＋ B ． 443(cos isin )55ππ－ C ． 443(cos isin )5 5 ππ＋ D ．44-3(cos isin )5 5 ππ－ 4．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题 1．设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线. 5．=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章 解析函数 一、选择题：
一元函数积分相关问题 前言： 考虑到学习的效率问题，我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点，同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点，不做无用的重复。 一．考查原函数与不定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系，知道求不定积分与求微分是互逆的关系，理解不定积分的线性性质。 问题1： 若)(x f 的导函数是x sin ，则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。 二．考查定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握定积分的定义与几何意义，了解可积的充分条件和必要条件，掌握定积分的基本性质。 定积分的基本性质有如下七点： 1、线性性质 2、对区间的可加性 3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值 4、比较定理（及其三个推论） 5、积分中值定理 6、连续非负函数的积分性质 7、设)(x f 在],[b a 上连续，若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有 ? =d c dx x f 0)(，则当 ],[b a x ∈时，0)(≡x f 问题2： 设? = 2 )sin(sin π dx x M ，?=20 )cos(cos π dx x N ，则有（） （A ）N M <<1 （B ）1< 分的关系，了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来，需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x ?和)(x ψ在],[βα上可导，当],[βα∈x 时， b x x a ≤≤)(),(ψ?，则? =) () ()(x x dt t f y ?ψ在],[βα上可以对x 求导，且 )('))(()('))((x x f x x f dx dy ψψ??-= 牛顿—莱布尼兹定理为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3： 已知 ? +=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ，求)('x f )0(≥x 四．考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。 问题4： 设)(x f 在]1,0[上连续， A dx x f =? 2 )cos (π ，则==? π 20 )cos (dx x f I _______。 五．利用定积分的定义求某些数列极限 讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有： ∑? =∞ →--+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑? =∞ →---+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5： 求∑ =∞ →+=n i n i n n i n w 1 2tan lim 六．考察基本积分表 讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。 七．考察分项积分方法 二重积分自测题 （一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：??σ+= D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22 ，则（ ） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （ ） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2 x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（ ） A ．? ?-+2 122),(x x dy y x f dx B ．??-212 ),(dy y x f dx C ． ? ?-+1 2 22),(x x dy y x f dx D ．??+1 2 2),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分? ? =4 2),(x x dy y x f dx （ ） A ． ?? 40 412),(y y dx y x f dy B ．?? -4 412),(y y dx y x f dy C ． ? ?4 4 1),(y dx y x f dy D ．??40 2 1 2 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分? ?=-2 2 2 x y dy e dx （ ） A ． )1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 1 2--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2211，??σ+=D d y x I )(2 22， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（ ） A ．321I I I << B ．231I I I << C ．132I I I << D ．123I I I << 7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则 =??D xy xydxdy xe sin cos （ ） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e 8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且 ? ?=1 1 )()(x dx x xf dx x f ， 则 ??=D dxdy x f )(（ ） 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ? 第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？ （1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； （2）倾角的直线； （3）双曲线。 解设，则 因此 （1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。 （3）因，故，在平面上对应的图形为：直线 。 例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有 特别，取，则由上面的不等式得 因此，在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限，从而在原点不连续。 证令变点，则 从而（沿正实轴） 而沿第一象限的平分角线，时，。 故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。 证因。故 但 在时无极限，这是因让沿射线随 而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性，并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求 之值。 解设，则 由代入得 解得：，从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简 第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y 第九章 重 积 分 第 一 节 作 业 一、填空题： . )1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4. ),,(,.3. ,4.2. 1),,(),(),,(.122222212121????= --=≤+=+<==D D d y x D y x D xoy d e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知 由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为 质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于 则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）： {}{}: ,20,10:),(,)(, 22,11:),(,)(13 22 2132212 1 则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ （A ）I 1=2I 2； （B ）I 1〈I 2； （C ）I 1=I 2； （D ）I 1=4I 2。 答：（ ） 三、估计下列积分的值： ??≤+++=D y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ 第 二 节 作 业 一、填空题： 1. 设??=≤≤-≤≤D yd x y x D ..11,10:2σ则 ?? ??-+-+=≤+a y ay D y x dx y x f dy d e y x D 20 20 22) (222 22 )(.3. ,1:.2分是 为极坐标系下的二次积化则设σ 二、选择题（单选）： ? ? ? ? ?????? +----=1 10 221 102 2 101 02210 102210 10 2222 . 3) (; 3) (; 3)(;3)(: ,3.1x x y x y dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设 答：（ ） ). (2)();()(); (2)(); ()(: ),0(,.22 22 2 2 22222a b a b a b a b D y x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设 答：（ ） 三、试解下列各题： ????-≥-≤>==+==+D D dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x . ),(,1,1:),(.2. )0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的 由直线其中求二重积分练习题
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