几何变换——捆绑旋转
【例题】如图，AB=4，O为AB的中点， O的半径是1，点P是 O上一动点，以PB 为直角边的等腰直角?PBC（点P，B，C按逆时针方向排列），则线段AC长的取值范围是
宏观分析，整体思考：
为什么AC有“最值”之说？点C在运动．点C为什么在运动？因为点P在运动．点B是如何运动？点P在一个圆上运动．点P的运动带动点C的运动．“如影随形”，“点动成线”．那么如何研究点C的运动规律呢？联想研究函数图像变换，要研究线，只要研究点，“局部与整体具有一致性”．
（1）你将点C理解成由点P绕点B顺时针旋转45?
（2）将点P与 O“捆绑”视作整体，即点P在作上述运动的时候，想想 O因为“捆绑”而随之运动， O的运动结果是什么呢？“蜗牛背房子”，“牵一发而动全身”．
（3）点O绕点B也顺时针旋转45?O'；
（4）记住：旋转位似，相似必定成对出现．在前面的基础上，你会发现图形?OPB∽?O'CB,
于是你又得到O'C即动点C到定点O'“位似”
进一步理解的基础上，直接理解成 O O'；
（5）于是，动点C在以定点O'
（6）在前面的基础上，再考虑AC长的取值范围就是小意思（常规题）啦．
（悟：种瓜得瓜，种豆得豆）
一、自主学习
1．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝4，CD ⊥AB 于D ，P 是CD 上一个动点，以
P 为直角顶点向下作等腰直角△PBE ，连接DE ，求DE 的最小值．
B
2．如图，点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （2，0）．动点B 在⊙O 上，连结AB ， 作等边△ABC （A ，B ，C 为顺时针顺序），求求OC 的最大值与最小值．
x
3．如图，AB 是⊙的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝BC ＝10，P 是⊙O 上一动点，连 接PC ，以PC 为边作△PCD ，使∠PDC ＝90°，tan ∠DPC ＝34
，P ，C ，D 三点为逆时针顺
序．连接OD ，则线段OD 长的最小值是 ．
4．如图，平面直角坐标系中，A （－2，6），B （－5，2），M （0，5），点P 是线段AB 上一 个动点，PM ⊥MN ，且∠PNM ＝30°，当点P 从点A 运动到点B ，点N 也随之运动，点N 在 运动中经过的路径长是 （ ）
A ．6 2
B ．5 3
C ．4 5
D ．8
y M
O
x
5．Rt?ABC中，∠ACB =90?，∠A=30?，AC=6，D是AB上一个动点，以DC为斜边作等腰直角?DCE ，使点E和点A位于CD的两侧；点D从点A到点B的运动过程中：
（1）?DCE 周长的最小值；
（2）求点E的移动路程．
A C
D
E
B
6．在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，3)，过点B作直线//x轴，点P(a，3)是直线上的
动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt?APQ，∠APQ=Rt∠，直线AQ交y 轴于点C．
（1）当a=1时，则点Q的坐标为；
（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a= 时，AQ+BQ的值最小，为．
Q
x
二、当堂检测
1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，D是AB上一个动点，以DC为斜边作等腰直角△DCE，使∠CED＝90°，点E和点A位于CD的两侧，连接BE，求BE的最小
值．
2.如图，点O在线段AB上，OA＝1，OB＝2．以点O为圆心，OA长为半径的圆为⊙O．在
⊙O上取动点P，以PB为边作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝，P，B，C三点为
逆时针顺序．连结AC，求AC长的取值范围．
3.如图，A（－3，0），B（0，3），C（－1，4），P，C，M
逆时针顺序，动点P在线段AB上，∠C＝90°，∠CPM＝30°，则点M的运动路径长为．
x
4．（2013?湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M，
交直线y x 于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．
备选例题
1.如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3．△DEF是△ABC的内接等边三角形，且BD
BE的长．
2.已知抛物线y＝x2－3x－7
4的顶点为点D，并与x 轴相交于A、B两点（点A在点B的左
侧）．设线段BD 的垂直平分线为l，抛物线关于直线l的对称曲线交x 轴于点M、N，求点M、N的坐标．
x
l
旋转类几何变换 一几何变换——旋转 旋转中的基本图形 利用旋转思想构造辅助线 ? ? ? （一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 自检自查必考点
二 利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ． 考点一 旋转与最短路程 ?考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。 【例1】 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ?是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60?得到BN ，连接AM 、CM 、EN ． ⑴求证：AMB ENB ??≌ ⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小； ②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长． 中考满分必做题 E N M D C B A
【例2】 阅读下列材料 对于任意的ABC ?，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。 ①若三角形内有一个内角大于或等于120?，这个内角的顶点就是费马点 ②若三角形内角均小于120?，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=?时，点P 既为费马点 解决问题： ⑴如图，ABC ?中，三个内角均小于120?，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ?、ACE ?，连接CD 、BE 交于点P ， 证明：点P 为ABC ?的费马点。(即证明120APB BPC APC ∠=∠=∠=?)且PA PB PC CD ++= P E D C B A Q A B C D E P ⑵如图，点Q 为三角形内部异于点P 的一点，证明：QA QC QB PA PB PC ++>++ ⑶若30ABC ∠=?，3AB =，4BC =，直接写出PA PB PC ++的最小值 考点二 利用旋转求点的坐标 ?考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。 【例3】 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方向旋转90?后，B 点 的坐标为（ ） A.(22)-， B.(41)， C.(31)， D.(40)， 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ?的顶点A 的坐标为(31)，， 若将OAB ?绕点O 逆时针旋转60?后，B 点到达'B 点，则'B 点的坐标是________ D C B A O y x y x B A O
专题：几何翻折变换（折叠问题） 1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t． （Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）． 2、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG； （2）求tan∠ABG的值； （3）求EF的长．
3、如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D坐标； （2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标； （3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】 1、解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。 在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。 ∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=23t2=－23（舍去）．∴点P的坐标为（23，6）。（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。 ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。 ∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。 又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴OB BP PC CQ =。 由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m． ∴ 6t 11t6m = -- 。∴2 111 m t t6 66 =-+（0＜t＜11）。 （Ⅲ）点P 1113 - ，6 11+13 ，6）。 2、（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成， ∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。 在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′，∴△ABG≌△C′DG（ASA）。（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。 设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=7 4 。 ∴ 7 AG7 4 tan ABG AB624∠===。 （3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=1 2 AD=4。 ∵tan∠ABG=tan∠ADE=7 24 。∴EH=HD× 7 24 =4× 77 = 246 。
【例1】 如图，在Rt ABC ?中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上 的点，且CE AF =．如果62AED ∠=?，那么DBF ∠=__________． F C B A 【答案】28? 【例2】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥． P F E D C B A 【答案】在ABE ?和BCF ?中 AB BC ABE BCF BE CF =?? ∠=∠??=? ∴ABE BCF ??≌ ∴BAE CBF ∠=∠ ∵90BAE AEB ∠+∠=? ∴90CBF AEB ∠+∠=? ∴AE BF ⊥ 【例3】 E 、F 、 G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=． G A B C D E F 【例4】 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩 形周长为16，且CE EF =，求AE 的长． E D C B F A 【答案】∵FE EC ⊥，∴90AEF DEC ∠+∠=?． ∵90AEF AFE ∠+∠=?， ∴AFE DEC ∠=∠． 在三角形AFE 与DEC ?中，FE CE =，90A D ∠=∠=?， AFE DEC ∠=∠， ∴AFE DEC ??≌． ∴AE DC =．
∵矩形周长为16， ∴8AD DC +=． ∵AD AE DE =+， ∴且2DE =．∴28AE DE =-． 即3AE = 【例5】 如图，已知ABC ?中，90ABC AB BC ∠=?=，，三角形的顶点在相互平行的三条直 线123l l l ，，上，且12l l ，之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，则AC 的长是______． C B A l 3 l 2 l 1 【答案】 【例6】 两个全等的30?、60?的三角板ADE 、BAC ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在 一条直线上，连结BD ．取BD 的中点M ，连结ME 、MC ，试判断EMC ?的形状，并说明理由． M E D C B A 【解析】判断EMC ?是等腰直角三角形．理由： 如图，连结AM ． D M B C A E ∵30DAE ∠=?，60BAC ∠=?，∴90DAB ∠=? ∵ADE BAC ??≌，∴AD AB = 又∵M 是BD 的中点，∴AM DM BM == ∴45ADM MAB ∠=∠=? ∴6045105EDM EDA ADM ∠=∠+∠=?+?=? ∴4560105MAC MAB BAC ∠=∠+∠=?+?=? ∴EDM MAC ∠=∠ ∵ED CA =，∴EDM CAM ??≌ ∴EM CM =，DME AMC ∠=∠ 而90DME EMA ∠+∠=?，∴90AMC EMA ∠+∠=? 即90EMC ∠=?，∴EMC ?是等腰直角三角形．
2012年中考数学压轴题分类解析 专题7：几何三大变换相关问题 授课老师：黄立宗 典型例题选讲： 例题1：（2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对 应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． （1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的 条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形． 例题2：（2012辽宁丹东）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE ①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）； （2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE 则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC= （用α表示）； （3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）． 例题3：（2012福建福州）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D
的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)． 例题4：（2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式； （3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线 OP与该抛物线交点的个数。 巩固练习 1、（2012黑龙江大庆）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)， C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，a)，B(a，O)( a 0). （1）结合坐标系用坐标填空． 点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称
第2讲几何变换——旋转 典型例题 【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以 及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L
【例3】 已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形． 【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R
【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积． 【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D
【例7】 设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小． 【例8】 如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C
如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=． 【例9】 如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形） 等边三角形（包含费马点） 特殊角 旋转变换对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】（2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BACα ∠=（060 α ?<
【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．
考点1：手拉手模型：全等和相似 包含： 等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种 位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似） 例题精讲
2004-2013年浙江11市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题13：几何三大变换问题之对称 一、选择题 1.（2004年浙江绍兴4分）如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD等于【】 A．108°B．144°C．126°D．129° 【答案】C。 【考点】矩形的性质，折叠对称的性质。 【分析】展开如图：五角星的每个角的度数是： 0 180 36 5 。 ∵∠COD=3600÷10=360，∠ODC=360÷2=180， ∴∠OCD=1800－360－180=1260。故选C。 2.（2004年浙江湖州3分）小强拿了一张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是【】 A. B. C. D. 【答案】D。 【考点】剪纸问题，折叠对称的性质，正方形的性质。 【分析】按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个等腰直角三角形，展开得：剪去的为一正方形，且顶点在原正方形的对角线上。故选D。 3.（2007年浙江绍兴4分）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是【】
A．向右平移7格 B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对称轴作轴对称 C．绕AB的中点旋转1800，再以AB为对称轴作轴对称 D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格 【答案】D。 【考点】轴对称和平移变换。 【分析】观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格。故选D。 4.（2008年浙江台州4分）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移， 我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换 ．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结 合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换 ．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是【】 A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分 C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行 【答案】B。 【考点】新定义，轴对称变换和平移变换的性质。 【分析】观察图形，因为进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的； 对应点连线是不可能平行的，D是错误的； 由对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分。故选B。 5.（2011年浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，
初中几何专题五：图形变换问题 一、旋转 旋转变换：定义：将平面图形F绕这个平面内一定点O在这个平面内旋转（顺时针和逆时针）一个角α得到新图形F’，这种几何变换叫做旋转变换，定点O叫做旋转 中心，定角α叫做旋转角，如图所示。 →①图形与图形是全等形。 ②图形F与图形F’的对应线段相等。 ③图形F与图形F’的对应线段上的对 应点的顺序相同。 ④若图形F上一点A在图形F上的对 应点为A’，则∠AOA‘=α ⑤图形F与图形F’的对应角相等。 ⑥图形F与图形F’的任意一对对应线 段（或延长线）的夹角都等于α （0°＜α≤90°）或180°-α （90°＜α＜180°） [注]：旋转变换法是通过图形的旋转变换，借助图形各元素之间的新旧位置关系探索解题途径的一种方法，它的关键是选择适当的旋转中心，寻找合适的旋转角，正确运用旋转变换的六条性质去解题。 解题策略：图形的旋转是把图形的一部分或全部绕着一个确定的点从一个位置移动到另一 个位置。通过旋转可以把题目中一些不明朗的关系明朗化，它的最大特点是在旋转过程中 旋转部分两点之间的距离不变、两直线间的夹角不变和对应直线的夹角等于旋转角。它的 使用范围一般是等腰三角形或中心对称图形。有时再结合基本辅助线添加更能体现其在添 加辅助线中的优势。 一、基本性质应用 例1：如图所示，用一张半透明的薄纸覆盖在画有任意△AOB的纸上，在薄纸上画出与△AOB重合的一个三角形，然后用一板图钉在点O处固定。将薄纸绕着图钉（即O点）转动 一个角度450，薄纸上的三角形就旋转到了新的位置，标上A ˊ，O，Bˊ，我们可以认为△AOB旋转450后变为△AˊOBˊ，从图中我们可以发现点A旋转到点Aˊ，OA旋转 OAˊ，∠AOB旋转到∠AˊOBˊ，这些都是相互对应的点，线段与角，请你再仔细观察图形回答。 （1）点B的对应点是哪一个点？线段OB的对应线段是哪一个线段？∠B的对应叫是哪个角？ （2）在将△AOB旋转到△AˊOBˊ的位置时，旋转中心是哪一个点？旋转角度是多 少°？ （3）△AOB的边OB的中心D的对应点在哪里？ 解；根据图示可以发现：点B的对应点是Bˊ，线段OB 的对应线段是OBˊ，∠B的对应角是∠Bˊ；旋转中心是
第4课 几何变换(2)：旋转与中心对称 一、例题选讲 例1、如图，如果四边形CDEF 绕某点P 旋转以后与正方形ABCD 重合，则这样的点P 有几个？ B A 例2、如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，比较DEF S ?与（B D F A D E S S ??+）的大小并说明理由。 B C F 例3、如图，P 是等边△ ABC 内一点，P A =2，PB =PC =4，则△ABC 的边长是多少？ A B 例4、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上两点，且BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数。 F D A C
例5、如图，Rt △ABC 中，O 是斜边AB 的中点，P 、Q 分别是AC 、BC 上的点，且OP ⊥OQ ，证明：AP 2+BQ 2=PQ 2. Q B A P 例6、定点P 到等边△ABC 的定点距离A P=2,BP =3,当此三角形的边长、位置都可以改变时，求PC 的最大值，并证明你的结论。 C 例7、△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC =1200，△ADE 是等边三角形，点D 在BC 边上，且BD :DC =2:3,若△ABC 的面积是50，求△ADE 的面积。 C B B
二、巩固练习 1、两家共有一块平行四边形田地 ，中间有一用于灌溉的圆形池塘，现在两家需要把这块地均分，并且中间的池塘也要均分，你能为他们想个办法吗？ 2、7个相同的圆按照图示的位置排列，把这个图形分成面积相等的两块 . 3、设P 是边长为1的等边△ABC 内的任意一点，记l =P A+PB+PC ,求证：23≤≤l . B 4、如图,正方形ABCD 中,∠MAN =45°,求证:MN=BM+DN . C N 5、已知△ABC 中,AB =5,AC =13,边BC 上的中线AD =6,则BD 的长是多少 ? C
第九讲图形的轴对称问题 一、基础知识 如果把一个图形沿着同一平面内的一直线翻折180°．能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴． 两个图形关于某直线对称，那么对应点的连线被对称轴垂直平分；如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点必定在对称轴上． 把一个图形变为关于某一条直线对称的另一个图形，这种变换称为对称变换． 在对称变换下，图形的两点间的距离、弧长、角度、面积保持不变，这种不变性在证题中将起到重要作用． 二、名校真题回放与活题巧解 （一）轴对称的概念 例1.（西城区2006年抽样测试八年级上数学试卷）观察图1中的图形，其中是轴对称图形的有几个？ 解答：3个 例2.（2006年海淀区八年级第一学期期末测评）如图5，线段AB与线段CD关 于直线EF对称．如果将线段AB向上平移2cm，与线段CD仍然保持关于直线 EF的对称关系，那么对线段CD的运动过程描述正确的是( ) A. 向上平移4㎝ B. 向上平移2㎝ C. 向下平移4㎝ D. 向下平移2㎝ 解答：D （二）折叠问题 例3.（2006年怀柔区八年级下学期期末质量检测）如图所示，梯形纸片ABCD， AB AD BC ===，将纸片折叠，使点B与点D叠合， ∠=?∥BC,2,6 B AD 60, 折痕为AE，求CE的值.
A D 60° B E C 解答：4 例4.（西城区2006年抽样测试八年级上数学试卷）如图5，在Rt△ABC中，90 ABC ∠=?，30 A ∠=?，若将BC边向BA方向折过去，使点C落在BA边上的C'点，折痕为BE，求AEC ∠'的度数 解答：30? 例5.（2006年怀柔区八年级下学期期末质量检测）如图所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知3cm CE=，8cm AB＝，求图中阴影部分的面积. 解答：设AD x =，解得10 x=，阴影部分的面积为302 cm 例6.(第十二届“希望杯”数学竞赛试题)如图13—5，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若3,4 EH EF ==，求线段AD与AB的比.
几何结构之折叠、旋转（讲义） ? 知识点睛 1. 折叠（轴对称）的思考层次 （1）全等变换：对应边相等、对应角相等． （2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等） （3）常见组合搭配 ①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形； B A 1 F E D (B ) C A ②两次折叠往往会出现特殊角：45°，60°，90°等． G F E D C B A O N M F E C B A D B O A C P Q B' C' （4）应用，作图（构造） 核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形． 特征举例： ①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． 2. 旋转思考层次 （1）全等变换：对应边相等、对应角相等． （2）对应点与旋转中心 旋转会出现等线段共端点（对应点到旋转中心的距离相等）； 对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角； 对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心； 旋转会产生圆（圆弧）． （3）常见组合搭配 旋转会出现相似的等腰三角形； 旋转60°会出现等边三角形；旋转90°会出现等腰直角三角形；
60°C' B' C B A C' B'C B A 相似三角形对应点重合时会出现旋转放缩模型． （4）应用，作图（构造） 当题目（背景）中出现等线段共端点时，会考虑补全旋转构造全等．（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形） 注：读题标注时，往往要弄清楚旋转三要素； 旋转方向不确定需要分类讨论； 常将图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作．（有时 只需保留研究目标即可）
专题21几何三大变换问题之平移问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由两大要素构成：①平移的方向，②平移的距离。平移有如下性质： 1、经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变，即平移前后的图形全等； 2、平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等； 3、平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。 中考压轴题中平移问题，包括直线（线段）的平移问题；曲线的平移问题；三角形的平移问题；四边形的平移问题；其它曲面的平移问题。 一.直线（线段）的平移问题 1.定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点. （1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____, 当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______ （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式. （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M. ①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长; ②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2；5（2） () () 2 m8m122m4 d 24m6 < ?-+-≤ ? =? ≤≤ ?? （3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m= 14 3 【解析】解：（1）2；5。 （2）∵点B落在圆心为A，半径为2的圆上，∴2≤m≤6。当4≤m≤6时，根据定义， d=AB=2。 当2≤m＜4时，如图，过点B作BE⊥OA于点E，则根据定义，d=EB。
1.如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不 与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值． 类比归纳：在图（1）中，若 13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14 CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN 的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓展：如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN 的值等于__．（用含m n ，的式子表示）
2. 2.如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上， 落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后再展开 铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”. 图一图二图三（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF” 是一个_________三角形； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶 点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标； （3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最 大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存 在，为什么？
3.课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的 有关问题． 实验与论证 设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0A2），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示． （1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________； （2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想 设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α （ n 180 0< < ）． （3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
几何图形旋转变换 1.已知：在ABC ?中，AC BC >，动点D 绕ABC ?的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ． （1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明） ． （2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明． 图2 图3 图1 A D
2、已知：在四边形ABCD中，A D∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上， 且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系。 （1）如图1，若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为______________; （2）如图2，若AB=BC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明； （3）如图3，若AB=KBC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.
L 3．如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且A C B C =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =． （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系； （2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交 AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足 图1 的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长 线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所 猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立， 图2 给出证明；若不成立，请说明理由． L
几何变换的类型? 2012 菁优网
一、选择题（共20小题） 1、（2011?钦州）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（） A、把△ABC向右平移6格 B、把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C、把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格 D、把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格 2、（2011?莱芜）观察如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（） A、平移 B、轴对称 C、旋转 D、位似 3、（2011?贺州）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（） A、把△ABC向右平移6格 B、把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C、把△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转，再右平移7格 D、把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，再右平移7格 4、（2010?双流县）在如图的方格纸中，小树从位置A经过旋转平移后到位置B，那么下列说法正确的是（） A、绕A点逆时针旋转90°，再向右平移7格 B、绕A点逆时针旋转45°，再向右平移7格 C、绕A点顺时针旋转90°，再向右平移7格 D、绕A点顺时针旋转45°，再向右平移7格 5、（2010?佛山）如图，把其中的一个小正方形看作基本图形，这个图形中不含的变换是（） A、对称 B、平移 C、相似（相似比不为1） D、旋转 6、（2009?江西）在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是（）
A、位似 B、旋转 C、轴对称 D、平移 7、（2007?双流县）在方格纸中，图（1）中的图形N经过旋转平移后的位置如图（2）所示，那么下列说法正确的是（） A、绕A点顺时针旋转90°，再向下平移3个单位 B、绕A点逆时针旋转90°，再向下平移3个单位 C、绕A点顺时针旋转90°，再向下平移5个单位 D、绕A点逆时针旋转90°，再向下平移4个单位 8、（2007?长春）一根单线从钮扣的4个孔中穿过（每个孔只穿过一次），其正面情形如图所示，下面4个图形中可能是其背面情形的是（） A、B、 C、D、 9、（2006?苏州）对如图的几何体变换位置或视角，则可以得到的几何体是（） A、B、 C、D、 10、（2006?嘉峪关）下列各物体中，是一样的为（）
圆锥曲线几何问题的转换 一、基础知识： 在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。 1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系 2、常见几何问题的转化： （1）角度问题： ① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k ② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定 （2）点与圆的位置关系 ① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大 ② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB ∠为钝角（再转为向量：0CA CB ?<；若点在圆上，则ACB ∠为直角（0CA CB ?=）；若点在圆外，则ACB ∠为锐角（0CA CB ?>） （3）三点共线问题
① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线 （4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算： ()()1122,,,a x y b x y ==，则,a b 共线1221x y x y ?=；a b ⊥12120x x y y ?+= （5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系 （6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向） 3、常见几何图形问题的转化 （1）三角形的“重心”：设不共线的三点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则 ABC 的重心123123,33x x x y y y G ++++?? ??? （2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零 （3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：,IP AC IQ AQ ⊥⊥ I 在BAC ∠的角平分线上 AI AC AI AB AP AQ AC AB ???=? = （4）P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点 DP DA DB ?=+
内容 基本要求 略高要求 较高要求 旋转 了解图形的旋转，理解对应点到 旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形． 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角． 能运用旋转的知识解决简单的计算问题；能运用旋转的知识进行图案设计． 一、旋转有关概念 旋转：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转 角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图) P' Q' Q P O 注意：⑴研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． ⑵每一组对应点所构成的旋转角相等． 旋转的性质： ①旋转后的图形与原图形是全等的；(进而得到相等的线段、相等的角) ②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；(进而得到等腰三角形) ③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形) 旋转作图的基本步骤： 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件： ⑴旋转中心；⑵旋转方向及旋转角度． 具体步骤分以下几步： 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角) 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点． 二、中心对称 中心对称的有关概念： 把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图) 中考要求 例题精讲 几何变换之旋转
专题: 几何变换问题 例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号） 同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（） A．是一个确定的值B．有两个不同的值 C．有三个不同的值D．有三个以上不同的值 同类题型1.2 已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为（） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 例2．如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，则PB：P′A是（） A． 2 ：1 B．2：1 C． 5 ：2 D． 3 ：1 同类题型2.1 如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝
DB＋DA，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C 重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM； ③△OMN∽△OAD；④AN 2 ＋CM 2 ＝MN 2 ；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是 1 2 ，其中正确结论的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________． 同类题型2.4 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________． 同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC 的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．