大学数学微积分试卷1
满分100分考试时间75分钟
一、 选择题（共4题，每题5分）
1.下列函数中当0→x 时,与无穷小x 相比是高阶无穷小的是（）
(A) x sin ; (B) 2x x +; (C) x ; (D) x cos 1-.
2．若22()x f x dx x e C =+?，则=)(x f （）
(A) x xe 22; (B) x e x 222; (C) x xe 2; (D) x e x x 2)1(2+.
3. 若1
0x
m e dx =?，11e
n dx x =?，则m 与n 的大小关系是（） (A) m n >;
(B) m n <; (C) m n =; (D) 无法确定. 4. 若D 为区域22116x y ≤+≤，则4d d D
x y ??＝（）.
（A ） 4π（B ）15π（C ）60π（D ）84π
二、填空题（共4题，每题5分） 1. =+→x
x x x 5220sin lim 2. 已知)(x f 在点0x 可导，且42000
=--→)()(lim x f h x f h h ，则_______)(='0x f . 3. 设连续函数()f x 满足
310()1x f t dt x -=-?，则(7)f =. 4.交换积分的次序????-+=212010022y y y dx y x f dy dx y x f dy I ),(),(=_________________.
三、解答题（共6题，每题10分）
1.求极限30sin tan lim x
x x x -→ 2.求导
3.设33z x y xy =-，求2,,z z z x y x y
??????? 4.求定积分()1
02xf x dx ''? x x y e arctan e arcsin +=
5.由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积
6．求微分方程sin ,|1x y x y y x x
π='+==
第一章：函数与极限 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 函数（m 是常数）叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。例如，当m = 3时，y=x3 的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m 取什么值，幂函数在(0,+∞)内总有定义。 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 函数y=a x（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。 因为对于任何实数值x，总有a x >0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数a x是单调增加的。若0
大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在
二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）.
2018-2019 大学数学(B1) 练习题 第一章 一、选择题 1. 下列函数中不是基本初等函数的是…………………………………………（ ） A. 反三角函数 B. 符号函数 C. 对数函数 D. 幂函数 2. 下列函数是无界函数的是……………………………………………………（ ） A.x y sin = B.x y arctan = C.x y 1 sin = D.3x y = 3. 下列各组函数中相等的是……………………………………………………（ ） A.2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B.0 )(,1)(x x g x f == C.1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D.2)(|,|)(x x g x x f == 4. 下列函数中为奇函数的是……………………………………………………（ ） A.)1ln()(2++=x x x f B.||)(x e x f = C.x x f cos )(= D.1 sin )1()(2--= x x x x f 5. 下列说法中正确的是…………………………………………………………（ ） A. 有界数列必定收敛 B. 收敛数列必定有界 C. 单调数列必定收敛 D. 收敛数列必定单调 6. 极限x x x x sin lim +∞ →的值为……………………………………………………（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 7. 极限)21( lim 2 22n n n n n +++∞→ 的值为………………………………………（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 8. 极限x x x 10 ) 1(lim -→-的值为 ……………………………………………………（ ） A ．1 B ．e - C ．e 1 D ．e 9. 极限x x x x 2)1( lim +∞ →的值为 ……………………………………………………（ ）
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。把答案写在横线上） 1．函数 1 yx x 2 的定义域是。 2．lim x0 s in5 2x x 。 3．微分方程yxy0的通解是。 4．设 22 yax，则dy。 5．不定积分23 xxdx=。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题四个 选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选字母填在括号内） 1．设 xx2,01 2,01 f(x), x,1x2 在点x1处必定（） A．连续但不可导B．连续且可导 C．不连续但可导D．不连续，故不可导2．曲线yx在点x4处的切线方程是（） A． 1 yx1B． 4 1 yx 2 1 C． 1 yx1D． 4 1 yx 4 2 3．下列函数在区间[1,1]上满足罗尔定理条件的是（） A．1 2 x B． 1 2 1x C．xD． 3 x 4．设fx的原函数为sinx，则fx（） A．cosxB．sinxC．cosxD．sinx 5．设fx为连续函数，则下列等式中正确的是（） d A．f(x)dxf(x)B．f(x)dxf(x)C dx C．df(x)dxf(x)dxD．df(x)dxf(x)
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 3 lim1 xx 3x 1．求极限 。 2．求极限lim x0 x ex x xe 1 1 。 3．设函数 1 y1cosx 2 x ，求 dy dx 。 4．试讨论函数 x e1,x0 f(x), 2x,x0 在点x0处的连续性与可导性。yx 5．设方程xeey10确定隐函数yy(x)，求y x0。 6．求不定积分xcosxdx。 7．求不定积分 x dx x5 。 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 1．设 x e是fx的一个原函数，求 x efxdx。 2．过点2,0作曲线y 1 x 的切线，求切线方程。 3．某商店以每条100元的进价购进一批牛仔裤，设此种商品的需求函数为Q4002P（其中Q为需求量，单位为条；P为销售价格，单位为元）。问 应将售价定为多少，才可获得最大利润？最大利润是多少？
大学数学微积分试卷1 满分100分考试时间75分钟 一、 选择题（共4题，每题5分） 1.下列函数中当0→x 时,与无穷小x 相比是高阶无穷小的是（） (A) x sin ; (B) 2x x +; (C) x ; (D) x cos 1-. 2．若22()x f x dx x e C =+?，则=)(x f （） (A) x xe 22; (B) x e x 222; (C) x xe 2; (D) x e x x 2)1(2+. 3. 若1 0x m e dx =?，11e n dx x =?，则m 与n 的大小关系是（） (A) m n >; (B) m n <; (C) m n =; (D) 无法确定. 4. 若D 为区域22116x y ≤+≤，则4d d D x y ??＝（）. （A ） 4π（B ）15π（C ）60π（D ）84π 二、填空题（共4题，每题5分） 1. =+→x x x x 5220sin lim 2. 已知)(x f 在点0x 可导，且42000 =--→)()(lim x f h x f h h ，则_______)(='0x f . 3. 设连续函数()f x 满足 310()1x f t dt x -=-?，则(7)f =. 4.交换积分的次序????-+=212010022y y y dx y x f dy dx y x f dy I ),(),(=_________________. 三、解答题（共6题，每题10分） 1.求极限30sin tan lim x x x x -→ 2.求导 3.设33z x y xy =-，求2,,z z z x y x y ??????? 4.求定积分()1 02xf x dx ''? x x y e arctan e arcsin +=
大学高等数学公式汇总大全（珍藏版） 常用导数公式： 常用基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
大学高等数学上考试题库(附答案)
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《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
1. 设函数f (x,y )=x 2?2xxxx +3xx 2,求 (1) f （-2,3）；（2）f ?1xx ，2yy ?；（3）ff (xx ,yy+?)?ff (xx ,yy )?. 解：（1）f (?2,3)=(?2)2?2(?2)×3+3×32=43 (2)f ?1xx ，2yy ?=(1xx )2?2?1xx ??2yy ?+3×?2yy ?2=1 xx 2yy 2(xx 2?4xxxx +12xx 2) (3) ff (xx ,yy+?)?ff (xx ,yy )?=?2xx +6?+3? 2. 确定下列函数的定义域D ，指出D 是否为区域，是开区域还是闭区域，是否有界，并画出D 的图形。 (1) f (x,y )=ln[(16?xx 2?xx 2)(xx 2+xx 2?4)]; (2) f (x,y )=?6?2xx ?3xx ; (3) f (x,y )=√1?xx 2+?xx 2?1; (4) f (x,y )=12. 解：(1)D:(16?xx 2?xx 2)(xx 2+xx 2?4)>0 4
(4)D ={(x,y )|xx 2?2xxxx >0}<=>?(x,y )?x >0,x >2y 或x <0,x <2y ? 不是区域 3. 设f ?x +y,yy xx ?=xx 2?xx 2求f (x,y ). 解：设x =x +y,y =yy xx =>xx =xx yy+1,xx =xxyy yy+1,=>ff (xx ,xx )=xx 2(yy+1)? xxyy (yy+1)2,=>ff (xx ,xx )=xx 2(1?yy )1+yy 4. f ??xx 2+xx 2,arctan yy xx ?=xxyy (xx +yy ),求f (x,y ). 解：令x =r cos θθ,xx =rr sin θθ,则f (r,θ)= rr 2cos θθsin θθrr 4=cos θθsin θθrr 2=> ff (xx ,xx )=cos yy sin yy xx
微积分习题答案Chapter-3_上海同济大学数学三 1．解：(1) 2 00000()12()lim lim lim .2t t t t s t t t t t v v g v gt t t t ?→?→?→???+?==-=-??? (2)由 00t v v gt =-=有0;v t g = (3)由0t v v gt =-有01(2).2 T v g t v ==。 3．求曲线y =x (1-x )在横坐标为1处的切线的斜率。 解：由y ?=1-2x 可知当x =1时，y ?=-1。 5．解：(1) 220000(0)lim 0,(0)lim 0(0)0;00 -+-+→→---'''====?=--x x x x y y y x x (2)11000000(0)lim lim ,(0)lim lim ,00 αααα--++++-+→→→→---''==-==--x x x x x x y x y x x x 因此，只有当?为有理数且2α≠n m 时0(0)lim 0α→'==x y x 成立。 6．解：由于得f (x )在x =0和x =1点处可导，则必然在x =0和x =1点处连续，因此 (1) 00(0)(0),lim (e 1)lim ()0;-+-+→→=-=+?=x x x f f x a a 即 (2) 111sin(1)11(1)(1),lim lim 1.11 - +-+→→--+-''==?=--x x x b x f f b x x 即 7．设f (x )在x =0点连续，且0()1lim 1x f x x →-=-，(1)求f (0); (2) 问f (x )在x =0点是否可导？ 解：由于得f (x )在x =0点连续，则0 lim ()(0).→=x f x f 由0()1lim 1x f x x →-=-有： (1) []00000()1()1lim lim lim 0lim ()10lim ()1→→→→→--?=?=?-=?=x x x x x f x f x x x f x f x x x ，即f (0)=1; (2) 00()1()(0)lim lim 1(0) 1.0 →→--'==?=-x x f x f x f f x x 8．解:函数g (x )在x =0点连续,则当x?0时, 存在某个领域U ?(0),在此领域内g (x )是有界量。 因此 000()(0)()sin (0)sin0()sin (0)lim lim lim (0).0→→→--'====-x x x f x f g x x g g x x f g x x x 9．设(0)1,(1)2,(0)1,(1)2,f g f g ''===-=-求 (1)00cos ()(cos 1)(()1)lim lim →→----=x x x f x x f x x x