圆的垂径定理习题
一.选择题
1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）
A．4B．6C．7D．8
2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
3.过⊙0内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）
4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）
A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位
5．如图，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD，则直径AB的长是（）
6．下列命题中，正确的是（）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为()
8．⊙O的半径为5cm，弦AB已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm
6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm
7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于cm 8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=
9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是
10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD 的高度为m
11. 如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是
12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD=cm
13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=
14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30o,则AB=cm
15．⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm
18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米
20．如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为cm
21．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为
23．如图，⊙O的的半径为5，直径AB⊥弦CD，垂足为E，CD=6，那么∠B的余切值为_________
三、解答题
1．已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长
2．已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm.求：
（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小
3．如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB
4．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD的长
6．如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D．∠AOB=120°，AD=8．求OA的长
7．已知：如图，AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，BC=8，AD=10．求：（1）OE的长；（2）∠B的正弦值
8．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。已知：AB=24cm，CD=8cm （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12．求⊙O的半径
10．如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长
拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为米，求桥拱的半径（精确到米）
12．已知：在△ABC中，AB=AC=10,BC=16.求△ABC的外接圆的半径
13．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径
14．如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形弧上取了A,B 两点并连接AB，在劣弧AB上取中点C连接CB，经测量BC＝5/4米，∠ABC＝°，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径。
（°≈，°≈，tam °≈）
15．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB 为米
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为米时，求水面上升的高度。
16．已知：如图，AB是O的直径，C是O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，F是AC的中点，OF与AC相交于点E，AC＝8cm，EF＝2cm
（1）求AO的长；（2）求sinC的值
答案：
一、选择题
1、D
2、B
3、C
4、B
5、D
6、D
7、B
8、D
9、C
二、填空题
1、5cm
2、3cm
3、6
4、5cm
5、
6、
7、
8、
9、6 10、4 11、（6,0）12、3 13、3 14、6 15、7cm或17cm 16、5
17、18、7或1 19、5 20、3 21、8或2 22、23、3
三、解答题
1、2、3、40 4、8 5、6、
7、8、（1）略（2）13 9、10、30 11、12、
13、14、15、（1）（2）或16、
2017年01月07日圆心角，垂径定理
一．选择题（共50小题）
图一图二图三图四图五
1．如图，⊙O的直径BD=4，∠A=60°，则BC的长度为（）
2．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）
（）
5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠AOB=100°，则∠ACB的度数为（）A．100°B．130°C．150°D．160°
图六图七图八图九图十图十一
6．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．80°
7．如图，已知点A，B，C在⊙O上，且∠BAC=25°，则∠OCB的度数是（）A．70°B．65°C．55°D．50°
8．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=140°，则∠D为（）
A．40°B．30°C．20°D．70°
9．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的正弦值是（）10．如图，在⊙O中，弦AC与半径OB平行，若∠BOC=50°，则∠B的大小为（）A．25°B．30°C．50°D．60°
11．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠AOC=130°，则∠D等于（）A．20°B．25°C．35°D．50°
图十二图十三图十四图十五图十六图十七图十八
12．如图，⊙O中，劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°，点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（）A．60°B．120°C．135°D．150°
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，则∠ACD等于（）
A．30°B．45°C．60°D．70°
14．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）
A．50°B．55°C．60°D．65°
15．如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°
17．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于（）
18．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆周上，连结BC、OC，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，若∠B=25°，则∠BAD的度数是（）
A．25°B．30°C．40°D．50°
图十九图二十图二十一图二十二图二十三图二十四19．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠AOC=40°，则∠CDB的度数为（）A．40°B．30°C．20°D．10°
20．如图，已知A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°，则∠AOB等于（）
A．60°B．50°C．45°D．30°
21．如图，⊙O经过A，B，C三点，∠BOC=60°，则sinA等于（）
22．如图，AB是⊙O的直径，∠BAD=70°，则∠ACD的度数是（）
A．20°B．15°C．35°D．70°
23．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=65°，则∠BCD的度数为（）A．25°B．45°C．55°D．75°
24．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是（）
A．16 B．24 C．32 D．4
图二十五图二十六
25．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠ACB=20°，则∠OAB的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°
26．如图，在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为（）A．25°B．50°C．65°D．80°
图二十七图二十八图二十九图三十图三十一
27．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAC=22°，则∠ADC的度数是（）A．22°B．58°C．68°D．78°
28．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为（）A．32°B．58°C．64°D．116°
29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠AOB=135°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．55°C．60°D．°
30．如图，正三角形ABC是⊙O的内接三角形，点P是劣弧AB上不同于点A、B的任意一点，则∠BPC的度数是（）
A．30°B．45°C．50°D．60°
31．如图，AB为⊙O直径，已知圆周角∠BCD=30°，则∠ABD为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
图三十二图三十三图三十四图三十五图三十六
32．如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D等于（）
A．65°B．25°C．15°D．35°
33．如图，⊙O的圆心角∠BOC=112°，点D在弦BA的延长线上且AD=AC，则∠D的度数为（）A．28°B．56°C．30°D．41°
34．如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连结CA，CB，DC，DB．已知∠D=30°，BC=3，则AB的长是（）
35．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5
36．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（）
图三十七图三十八图三十九图四十图四十一37．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A．3 B．C．4 D．
39．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）
A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1）
40．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）
41．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（）A．6 B．8 C．10 D．12
图四十二图四十三图四十四图四十五图四十六42．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长为（）
43．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，
44．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=2，AE=3，则△ACB的面积为（）A．3 B．5 C．6 D．8
45．如图，⊙O的弦AB=8，P是劣弧AB中点，连结OP交AB于C，且PC=2，则⊙O的半径为（）A．8 B．4 C．5 D．10
46．如图．⊙O的直径AB垂直弦CD于E点，∠A=°，OC=4，CD的长为（）
图四十七图四十九图五十
47．如图，⊙O的弦AB垂直于直径CD于点E，∠BCE=°，AB=2，则⊙O的半径长为（）
48．在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为4cm，则弦AB的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
49．如图，⊙O中，OA⊥BC，AD∥OC，∠AOC=40°，则∠B的度数为（）A．100°B．110°C．115°D．120°
50．如图，A，B，C，D为⊙O上的点，OC⊥AB于点E，若∠CDB=30°，OA=2，则AB的长为（）
参考答案
一．选择题（共50小题）
1．C；2．C；3．D；4．C；5．B；
6．B；7．B；8．C；9．C；10．A；
11．B；12．B；13．C；14．D；15．C；
16．D；17．C；18．D；19．C；20．A；
21．D；22．A；23．A；24．C；25．C；
26．B；27．C；28．A；29．D；30．D；
31．D；32．B；33．A；34．D；35．A；
36．A；37．C；38．A；39．B；40．C；
41．C；42．A；43．A；44．C；45．C；
46．D；47．A；48．D；49．B；50．B；
圆垂径定理专题练习题 1．垂径定理：垂直于弦的直径____这条弦，并且____弦所对的两条弧． 2．如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝( ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是( ) A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5 4. 如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___． 5. 如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点E. (1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长． 6. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )
A．4 B．5 C．6 D．8 7. 为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示(单位：cm)，则该铁球的 直径为____． 8. H5N1亚型高致病性禽流感是一种传染速度很快的传染病，为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3 千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区， 如图所示，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在免疫区内有多少千米？ 9．如图，直线与两个同心圆交于图示的各点，MN＝10，PR＝6，则MP＝____． 10．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝8 cm，AG＝1 cm，DE＝2 cm， 则EF＝____cm. 11. 如图，⊙O的直径AB＝16 cm，P是OB的中点，∠APD＝30°，求CD的长．
勾股定理知识点归纳和题型归类 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
垂径定理—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．理解圆的对称性； 2．掌握垂径定理及其推论； 3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题． 【要点梳理】 知识点一、垂径定理 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （4）圆的两条平行弦所夹的弧相等. 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明 1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是．
【答案】5. 【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA， ∵AB=CD，CE=1，ED=3， ∴OM=EN=1，AM=2， ∴ 【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题. 举一反三： 【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径． 【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB， ∴ 1 2 MO HN CN CH CD CH ==-=- 11 ()(38)3 2.5 22 CH DH CH =+-=+-=， 111 ()(46)5 222 BM AB BH AH ==+=+=， ∴在Rt△BOM中，OB== 【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】 【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.
垂径定理 一、知识回顾 1、到定点距离等于的点的集合叫做圆，定点叫做，定长叫做；连接圆上任意两点间的线段叫做，经过圆心的弦叫做；圆上任意两点间的部分叫做，它分为、、三种。 2、能够的两个圆叫做等圆；能够互相的弧叫做等弧，他只能出现在中。 3、圆既具有对称性，也具有对称性，它有对称轴。 4、垂直于弦的直径，并且；平分弦（不是直径）的直径，并且。 5、顶点在的角叫做圆心角；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等，也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的、、；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的、、。 6、顶点在，并且相交的角叫做圆周角。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的；在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧。 7、半圆（或直径）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是。 8、如果一个多边形的都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的。圆的内接四边形。 二、典例解析 例1 如图，某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为了测量该湖的半径，小明和小亮在湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B之间的距离等于A、C之间的距离，并测得BC=240m，A 到BC的距离为5m。请帮忙求出滴水湖的半径。 D两点，已知C（0,3）、D（0，-7），求圆心E的坐标。
变式2 已知O e 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB=10cm ，CD=24cm ，求AB 和CD 之间的距离。 变式3 如图，O e 的直径AB=15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在半圆AMB 上滑动（点C 与点A ，点D 与点B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于点E ，DF ⊥CD 于点F 。 （1）求证：AE=BF ；（2）在动弦CD 的滑动过程中，四边形CDFE 的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请予以证明并求出这个值。 变式4 如图，某地方有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一竹排运送一货箱欲从桥下通过，已知货箱长10米，宽3米，高2米，问货箱能否顺利通过该桥？ 例2 如图，BC 是O e 的直径，OA 是O e 的半径，弦BE ∥OA 。求证：弧AC=弧AE 。 H D N M F E C B A
中考数学二轮复习勾股定理知识点及练习题及答案 一、选择题 1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=?BEC ，1FG =，则2AB 为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 2．如图，点A 的坐标是(2)2， ，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） A ．（2，0） B ．（4，0） C ．（－22，0） D ．（3，0） 3．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 4．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，P 是BC 上一点，且DB ＝DC ，过BC 上一点P ，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥DC 于F ，已知：AD ：DB ＝1：3，BC ＝46，则PE+PF 的长是（ ） A ．6 B ．6 C ．42 D ．266．已知：如图在△ABC ，△AD E 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论： ①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， 其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（） A．24 B．30 C．40 D．48 8．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)() A．3 B．5 C．4.2D．4 9．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75?的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（） A．北偏西15?B．南偏西75° C．南偏东15?或北偏西15?D．南偏西15?或北偏东15? 10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（） A．3 4 B． 3 5 C． 4 5 D． 12 5 二、填空题 11．如图，AB＝12，AB⊥BC于点B， AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是____ ___． 12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A，B，C是网格线交点）．
典型例题分析： 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的 最大深度为________cm. 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长． 5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF. O A E F
例题3、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径. 2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。 例题4、相交问题 如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长. 例题5、平行问题 在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离. 例题6、同心圆问题 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的 半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=?. 例题7、平行与相似 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证： FD EC =. A B D C E O
一、选择题 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（） A．5 B．35C．332 D．213 2．如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=5，AB=8，D为底边上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF= （） A．5 B．8 C．13 D．4．8 3．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（） A．4 B．5 C．7 D．6 4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( ) A．3 B．15 4 C．5 D． 15 2 5．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D为BC边上的一点，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（）
A ．2cm B ．2.5cm C ．3cm D ．4cm 6．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．42 C ．8 D ．10 7．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( ) A ．1和2之间 B ．2和3之间 C ．3和4之间 D ．4和5之间 8．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A ．② B ．①② C ．①③ D ．②③ 9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A ．7.5平方千米 B ．15平方千米 C ．75平方千米 D ．750平方千米 10．如图，在ABC ?中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=?， 4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ） A ．10 B ．53 C ．213 D ．15
圆的垂径定理及其推论知识点与练习 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。若直径AB ⊥弦CD 于点E ，则CE=DE ， ⌒ AC=⌒ AD ；⌒ BC=⌒ BD （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 若CE=DE ，AB 是直径，则⌒ AC=⌒ AD ；⌒ BC=⌒ BD ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。若AB ⊥CD ，CE=DE ，则CD 是直径，⌒ AC=⌒ AD ；⌒ BC=⌒ BD ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。若⌒ AC=⌒ AD ，AB 是直径，则AB ⊥CD ，CE=DE ，⌒ BC=⌒ BD ④圆的两条平行弦所夹的弧相等。若CD ∥FG ，CD 、FG 为弦，则⌒ FC=⌒ GD 特别提示：①垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 ②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”． （3）垂径定理及推论的应用： 它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。 ①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”； ②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题； 例：如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的， 31圆的半径为2cm ，求AB 的长。解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C ，由题 意得，∵⌒ AB= ×360o=120o3 1∴∠AOB=120o，∴∠AOC=60o,在Rt △AOC 中，∵∠AOC=60o，OA=2，∴OC = OA=1，∴AB=2AC=2=22 122OC AO 3故AB 的长为23练习 一、选择题 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ） A 、CM=DM B 、∠ACB=∠ADB C 、AD=2B D D 、∠BCD=∠BDC G A A
【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3．若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是多少呢？ 【知识梳理】 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 2、勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数， 那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3、判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是 直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边） 4、注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 5、勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n的线段 【经典例题】【例1】（2016山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角
垂径定理练习题 典型例题分析： 例题、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度 为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的 最大深度为________cm. 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长． 5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 例题3、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径. O A E F
2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2 、3.求BAC ∠的度数。 例题4、相交问题 如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长. 例题5、平行问题 在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离. 例题6、同心圆问题 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半 径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=?. 例题7、平行与相似 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证： FD EC =. A B D C E O