高中数学竞赛平面几何定理证明大全
莫利定理是一个有趣的几何定理，它指出如果将任意三角形的各角三等分，那么每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形。我们可以通过构造莫利三角形来证明这个定理。莫利三角形的顶点D是三角形ABC中∠B和∠C的三等分角
线的交点。我们可以在CP和BP上分别找到另外两个顶点E
和F，使△DEF是一个正三角形，并且证明AE和AF是
∠BAC的三等分线。
为了构造莫利三角形，我们可以先将DP连起来，然后在CP和BP上分别取两个点E和F，使得∠EDP＝∠FDP＝30°。由于D是三角形BPC的内心，所以DP是∠___的角平分线，
即∠DPE＝∠DPF。因此，△DPE≌△DPF，从而DE＝DF，
也就是说，△DEF是一个等腰三角形，并且是一个正三角形。
接下来，我们需要证明AE和AF是∠BAC的三等分线。
为此，我们在AB和AC上分别取两个点G和H，使得BG＝BD，CH＝CD。然后将G、F、E、H依次连接起来，根据
△BFD≌△BFG和△CED≌△CEH，我们可以得到GF＝FD＝
FE＝ED＝EH。如果能证明G、H、E、F、A五点共圆，那么
就可以证明AE和AF是∠BAC的三等分线了。
为了证明五点共圆，我们需要证明∠___∠___∠A/3.首先，我们可以注意到△GFE是一个等腰三角形，所以如果能求出
∠GFE，那么∠___也就能求出来了。另外，△___也是一个等腰三角形，因为△PDF≌△PDE。因此，PF=PE，且∠PFE＝
∠PEF。由于DE＝DF，所以△DEF是一个等边三角形，
∠FED＝60°。因此，∠___∠FED＝30°＝∠___，从而
∠___∠PEF＝∠A/3.同理，可以证明∠___∠A/3.因此，我们
证明了五点共圆，从而证明了AE和AF是∠BAC的三等分线，完成了莫利定理的证明。
我们需要证明D、E、F在同一直线上。
证明过程如下：
首先，我们可以得到∠QUB=∠QPB，∠QVC=∠___，
∠QWA=∠QPA。因为P、Q在同一圆上，所以
∠APB=∠AQB，∠___∠___，∠___∠CQA。
接着，我们可以得到∠QUD=∠QUB，∠QVE=∠QVC，
∠QWF=∠QWA。因为U、V、W是BC、CA、AB的对称点，所以UD=UB，VE=VC，WF=WA。
由此，我们可以得到△QUD∽△QPB，△QVE∽△QPC，△QWF∽△QPA。因为相似三角形的对应边成比例，所以我
们可以得到DU/PB=EV/PC=FW/PA。
根据___定理，我们可以得到DU/DB+EV/EC+FW/FA=1.
因为DU=UB，EV=VC，FW=WA，所以我们可以得到
UB/DB+VC/EC+WA/FA=1.因为UB/DB=AB/BD，
VC/EC=AC/CE，WA/FA=BC/AF，所以我们可以得到___。
根据___定理的另一个形式，我们可以得到
BD/DC×CE/EA×AF/FB=1.因为BD/DC=AB/AC，
CE/EA=BC/BA，AF/FB=AC/AB，所以我们可以得到
AB/AC×BC/BA×AC/AB=1，即1=1，证毕。
因此，我们证明了D、E、F在同一直线上，即清宫定理
成立。
对于四边形ABCD，连接对角线AC和BD，交于点F。
连接AB和CD，交于点E。连接BD的中点M和AC的中点L，以及EF的中点N，则M、N、L三点共线，且它们在___
线上。
证明如下：首先，根据___定理，有
（AE/EC）·（CD/DB）·（BF/FA）=1.又因为M是BD的中点，L是AC的中点，N是EF的中点，所以有ME∥NL∥AC和
LN∥MF∥BD。因此，根据塞瓦定理，有
（AM/MC）·（CN/NL）·（LF/FM）=1.将这两个式子联立，
可得
（AE/EC）·（CD/DB）·（BF/FA）·（AM/MC）·（CN/NL）·（LF/FM）=1.化简后，得（AM/MC）·（CN/NL）·（LF/FM）=1.因此，根据___定理的逆定理，M、N、L三点共线，且它
们在___线上。
高中数学竞赛平面几何定理证明大全 莫利定理是一个有趣的几何定理，它指出如果将任意三角形的各角三等分，那么每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形。我们可以通过构造莫利三角形来证明这个定理。莫利三角形的顶点D是三角形ABC中∠B和∠C的三等分角 线的交点。我们可以在CP和BP上分别找到另外两个顶点E 和F，使△DEF是一个正三角形，并且证明AE和AF是 ∠BAC的三等分线。 为了构造莫利三角形，我们可以先将DP连起来，然后在CP和BP上分别取两个点E和F，使得∠EDP＝∠FDP＝30°。由于D是三角形BPC的内心，所以DP是∠___的角平分线， 即∠DPE＝∠DPF。因此，△DPE≌△DPF，从而DE＝DF， 也就是说，△DEF是一个等腰三角形，并且是一个正三角形。 接下来，我们需要证明AE和AF是∠BAC的三等分线。 为此，我们在AB和AC上分别取两个点G和H，使得BG＝BD，CH＝CD。然后将G、F、E、H依次连接起来，根据 △BFD≌△BFG和△CED≌△CEH，我们可以得到GF＝FD＝
FE＝ED＝EH。如果能证明G、H、E、F、A五点共圆，那么 就可以证明AE和AF是∠BAC的三等分线了。 为了证明五点共圆，我们需要证明∠___∠___∠A/3.首先，我们可以注意到△GFE是一个等腰三角形，所以如果能求出 ∠GFE，那么∠___也就能求出来了。另外，△___也是一个等腰三角形，因为△PDF≌△PDE。因此，PF=PE，且∠PFE＝ ∠PEF。由于DE＝DF，所以△DEF是一个等边三角形， ∠FED＝60°。因此，∠___∠FED＝30°＝∠___，从而 ∠___∠PEF＝∠A/3.同理，可以证明∠___∠A/3.因此，我们 证明了五点共圆，从而证明了AE和AF是∠BAC的三等分线，完成了莫利定理的证明。 我们需要证明D、E、F在同一直线上。 证明过程如下： 首先，我们可以得到∠QUB=∠QPB，∠QVC=∠___， ∠QWA=∠QPA。因为P、Q在同一圆上，所以 ∠APB=∠AQB，∠___∠___，∠___∠CQA。
竞赛专题讲座06 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、 R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的 充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证： 。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中 点。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理 3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、 CG相交于一点。
【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6．已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交 AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比 为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。 求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9． O为△ABC内一点，分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离，以R a、R b、R c表示O到A、B、C的距离。 求证：（1）a·R a≥b·d b+c·d c;
塞瓦定理： 1:=???RB AR QA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点 、、边上的点，则、、的分别是、、设,111BCM ABP BMP ABM ACP CMP ACM ABM AP BQ CR M S S S S BP CQ AR PC S S S QA S RB BP CQ AR PC QA RB BP CQ AR AP BQ PC QA RB BP CQ AR AR PC QA R B ????????=====????=??=拻‘证：先证必要性：设、、相交于点，则： 同理：以上三式相乘，得：再证充分性：若，设与相交于由塞瓦定理有：，于是：AR R B RB AB R R AP BQ CR ‘’＝段上，所以必与重合，故、、交于一点；：证明：三角形的中线例1 11111111 1111111111 ,,1ABC AA BB CC C B AC B A AC BA CB AC C B BA AC CB B A ABC ???====??=∴?证明：记的中线，，，我们只须证明而显然有：即 成立，交于一点； 】证明：三角形的角平【练习1】证明：锐角三角形的【练习22ABC C AB L L AC BC M N AN BM P CP AB ?∠⊥例：在锐角中,角的平分线交 于于，从作边和的垂线，垂足分别是和，设和的交点是 ，证明： 111CK AB CK BM AN P CK BM AN AM CN BK MC CN MC NB AK AM BK AM AL AML AKC AK NB AK AC BK BC AL BC BNL BKC NB BL AC BL ⊥??==?=????= ∴????=?=证：作下证、、三线共点，且为点，要证、、三线共点， 依塞瓦定理即要证：又即要证明：即要证1AL BC AC BL CK BM AN P CP AB ?=∴∴⊥依三角形的角平分线定理可知：、、三线共点，且为点3.AD ABC D BC P AD BP CP AC AB E F EDA FDA ?∠∠例设是的高，且在边上，若是上任一点，、分别与、交于和，则＝A AD DE DF M N EDA FDA ∠=∠证：过作的垂线，与、的延长线分别交于、。欲证， AM AN =可以转化为证明
几何证明定理 几何证明定理 第一篇： 高中几何证明定理 高中几何证明定理 一.直线与平面平行的 1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行. 应用:反证法 二.平面与平面平行的 1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 关键： 判定两个平面是否有公共点 三.直线与平面平行的 1.性质： 一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行 应用： 过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线 四.平面与平面平行的 1.性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行应用： 通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行 五： 直线与平面垂直的 1.判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 应用： 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线 六.平面与平面的垂直 1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换 七.平面与平面垂直的 1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行 性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内 以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!。 想要变-态的这里多的是-- 欧拉定理欧拉线欧拉公式
九点圆定理 葛尔刚点 费马定理) 海伦-公式 共角比例定理 张角定理 帕斯卡定理 曼海姆定理 卡诺定理 芬斯勒-哈德维格不等式外森匹克不等式 琴生不等式 塞瓦定理 梅涅劳斯定理 斯坦纳定理 托勒密定理 分角线定理 斯特瓦尔特定理 切点弦定理 西姆松定理。 第二篇： 几何证明定理 几何证明定理 一.直线与平面平行的
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积 之和)． 即：ABCD AB CD AD BC AC BD ?+?≥?定理：在四边形中，有： ABCD 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立； () ABCD E BAE CAD ABE ACD AB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC AD BC ED AD BC AC ED AC AD AB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C ∠=∠∠=∠??∴=??=?=∠=∠∴??∴=??=?∴?+?=?+∴?+?≥?证：在四边形内取点，使，则：和相似又且和相似且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、一、直接应用托勒密定理 例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为 繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ， ∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ． 二、完善图形 借助托勒密定理 例2 证明“勾股定理”：在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2 证明：如图，作以Rt △ABC 的斜边AC 为一对角线的矩形ABCD ，显然ABCD 是圆内接四边形． 由托勒密定理，有 AC ·BD=AB ·CD ＋AD ·BC ． ① 又∵ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，AC=BD ． ② 把②代人①，得AC 2=AB 2＋BC 2． 例3 如图，在△ABC 中，∠A 的平分 线交外接∠圆于D ，连结BD ， 求证：AD ·BC=BD(AB ＋AC)． 证明：连结CD ，依托勒密定理，有AD ·BC ＝AB ·CD ＋AC ·BD ． ∵∠1=∠2，∴ BD=CD ． 故 AD ·BC=AB ·BD ＋AC ·BD=BD(AB ＋AC)． 三、构造图形 借助托勒密定理 例4 若a 、b 、x 、y 是实数，且a 2＋b 2=1，x 2＋y 2=1．求证：ax ＋by ≤1． 证明：如图作直径AB=1的圆，在AB 两边任作Rt △ACB 和Rt △ADB ， 使AC ＝a ， BC=b ，BD ＝x ，AD ＝y ． 由勾股定理知a 、b 、x 、y 是满足题设条件的． 据托勒密定理，有AC ·BD ＋BC ·AD=AB ·CD ． ∵CD ≤AB ＝1，∴ax ＋by ≤1． 四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理 例5 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B ．
平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线 分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证 明 ： 运 用 面积 比 可 得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????== ． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以 APC BPC S AD DB S ??=．同理可得 APB APC S BE EC S ??= ， BPC APB S CF FA S ??= ． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 A B C D F P A F D /
/ D B EC FA ． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、梅涅劳斯定理 3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与?ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ． 因为CG // AB ，所以CG CF AD FA = ————（1） 因为CG // AB ，所以CG EC DB BE = ————（2） 由（1）÷（2）可得DB BE CF AD EC FA =?，即得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：添加的辅助线CG 是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例 等式，再拆去“桥梁”（CG ）使得命题顺利获证． 4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E ，在边AC 的延长线上有一点F ， 若 1AD BE CF DB EC FA ??=， 那么，D 、E 、F 三点共线． 证明：设直线EF 交AB 于点D / ，则据梅涅劳斯定理有 A D D / A B C D E F G
高中平面几何定理汇总及证明 1.共边比例定理 有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M，则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM. 证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证 S△PAB=(S△PAM-S△PMB) =(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB =(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比） 同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB 所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比） 定理得证！ 特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，则PB∥AQ。 2.正弦定理 在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r为外接圆半径，R为直径）证明： 现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边 AB。设AB长度为c。 若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。 ∵（特殊角正弦函数值） ∴ 若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`交⊙O于C`，连接C'A， 显然BC'= 2r=R。 若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧， 此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等） ∴在Rt△ABC'中有 若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。 考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得 。
3.分角定理 在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。 证明： S△ABD/S△ACD=BD/CD…………(1.1) S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD] = (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)………… (1.2) 由1.1式和1.2式得 BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) 4.张角定理 在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin∠BAD AC sin∠CAD AB sin∠BAC AD 。 证明： 设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD 由分角定理， S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC) → (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1) S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC) → (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2) (1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD 5.帕普斯定理 直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于G，AF,DC交 于I，BF,EC交于H，则G,I,H共线。
平面几何基础知识（基本定理、基本性质） 1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2 22222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例． 如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+= （其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ． 10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：） 13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边． 14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点． 15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ． 16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ． 17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．
平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在∆ABC 内一点P,该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F,且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点,则有 1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ∆∆∆∆==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-=== -, 所以APC BPC S AD DB S ∆∆=．同理可得APB APC S BE EC S ∆∆=,BPC APB S CF FA S ∆∆=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高” A B C D F P
还是“等底”,这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F,且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点,若 1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=,那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P,直线CP 交AB 于点D /,则据塞瓦定理有 / / 1AD BE CF D B EC FA ⋅⋅=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=,所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上,所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性,采用同一法,用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D /
高中数学竞赛平面几何基本定理 篇一：个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲 一、 1.梅涅劳斯定理 平面几何 证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F 时， (AD/DB)*(BE/EC)*(CF/FA)=1 逆定理证明： 证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 证明一 过点A作AG∥BC交DF的延长线于G， 则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG 三式相乘得： (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二 过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 证明四 过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'
有AD：DB=AA’：BB'另外两个类似，三式相乘得1 得证。如百科名片中图。 ※推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N 三点，又分比是 λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的是λμν=-1。（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1） 第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE )=1 即上图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O，且EDF共线，则 （sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COE/sin∠AOE)= 1。(O不与点A、B、C重合) 梅涅劳斯球面三角形定理 在球面三角形ABC中，三边弧AB，弧BC， 弧CA(都是大圆弧)被另一大圆弧截于P,Q,R三点，那么(sin弧AP/sin弧PB)×(sin弧BQ/sin弧QC)×(sin弧CR/sin弧RA)=1[ ※意义 2.赛瓦定理 在△ABC内任取一点O， 直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
平面几何中几个重要定理及其证明 1 .塞瓦定理及其证明 定理：在ABCft 一点P,该点与ABC 勺三个顶点相连所在的三条直线 AD S ADP S ADC DB S BDP S BDC 根据等比定理有 AD BE CF , 三式相乘得而瓦记1 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高” “等底”，这样就可以产生出“边之比”. 2 .塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在 ABCS 边AB BC CA 上各有一点 D E 、F,且D> 「 ，—、 _ AD BE CF 是 ABC 的顶点，若；^ 1^ 77 1 ,那么直线CD AE BF 二线共点. DB EC FA 塞瓦定理 分别交 ABC 三边AB BG CA 于点D E 、 E 、 F 三点均不是 ABC 勺顶点，则有 AD BE CF DB EC FA 证明：运用面积比可得 S ADP S BDP S ADC S BDC S ADC S BDC S ADP S BDP S APC S BPC ' AD S 所以DB S APC BPC .同理可得些 EC S APB CF S BPC --- , -- S APC ------- FA S APB 还是 E 、 F 均不 且D F ,
AD BE 因为 -------- DB EC CF / ~ , —1 ,所以有 F^\ Dk D 都在线段AB 上，所以点D 与D 重合.即得Dk E 、 F 三点共线. 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证. 梅涅劳斯定理 证明：设直线AE 与直线BF 交于点巳 CP 交AB 于点D ,则据塞瓦定理有 AD / DB BE CF , 1 EC FA 直线 AD AD / 「「 DB D /B ,由于八'、
平面几何的几个重要的定理 一、梅涅劳斯定理： 1=⋅⋅=⋅⋅B A A C C B C B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线 、、分别是、、证：设 注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件； 。 的交点，证明：与是的中点，是上，在点 的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠∆11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=⋅⋅RB AR QA CQ ，则 、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理∆∆CE //BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FC KF EK AE DA CD F E D ACK EP CK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACK EBC BH B EBC ∴≅∴= ====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆＝ 依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形 即：则：的平分线中，作在证：
1 11 111111111D B D A : C B C A B D AD :BC AC D C B A D C B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习 注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘； 共线； 、、证明点引的垂线的垂足， 、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2∆ 三点共线； 、、综上可得：也重合与的延长线上时，同在与类似地可证得当矛盾＝这与于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上； 线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝ ，则：又得： ，于是由定理交于与直线证：设直线R Q P R R AB R R BR AR BR AR BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RB AR B R AR 1RB AR QA CQ 1B R AR QA CQ 1R AB PQ ''' ' ' ' ' ' ''''''''' '> <-<->=⋅⋅=⋅⋅∆PC BP PC BP 三点共线； 、、求证：， ，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且 上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RB AR QA CQ =⋅⋅∆∆ C B A 1 A 1 B 1 C 三点共线； 、、依梅涅劳斯定理可知，＝可得 且将上面三条式子相乘， 证：易得：1111 1 1111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA cos PB PAB cos AP BC AC PAC cos AP PCA cos CP AB CB , PCB cos CP PBC cos BP CA BA ⋅⋅︒=∠+∠∠=∠∠=∠∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=
将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形 莫利定理: B 2 設△ABC中的ZB, A C的两条三等分角线分別交于P, D两个点(图1),按照莫利定理，D是莫莱三角形的一個頂点，当然D就是少PC的內心，因爲BD, CD正好是Z CBP, zBCP的角平分线。 莫利三角形的另两个頂点E, F应该分別落在CP和BP上，因此我们产生了一个念头，如果能夠在CP, BP上找到E, F这两个点，使△ DEF是个正三角形，再证AE AF正好是Z BAC的三等分线就行了为此，先把DP连起來，在CP, BP上分別取两点E, F使Z EDP=Z FDP= 30° ,于是就得到一个三角形 △ DEF。为什么它是一个正三角形呢？因为D是厶BPC的內心，所以DP是Z BPC的角平分线，即Z DPE=Z DPF,由作图知Z EDP=Z FDP= 30° ,在厶DPE和厶DPF中, DP是公共边，而夹此边的两角又是对应相等的，所以△ DPE^A DPF于是DE= DF,即厶DEF是个等腰三角形，它的腰是DE和DF，而它的頂角又是60°，所以它当然是个正三角形。 接下來，我们的目标就是希望能证明厶DEF真的是莫利三角形，亦即AE, AF的确会三等分Z BAC 如图2所示，在AB, AC上各取一点G,H,使得BG= BD, CH= CD把G F、E、H各点依次连起來，根据厶BFD^A BFG △ CED^A CEH 我们就得到GF= FD= FE= ED= EH- 下面，如果能夠证明G,F,E,H，A五点共圆，則定理的证明就完成了，因为Z GAF,Z FAE,Z EAH这三个圆周角所对的弦GF, FE, EH都等長，因而这三个圆周角也就都相等了。 为了证明G,H,E,F，A共圓，必须证明Z FGE=Z FHE=Z A/3。 看图2，首先我们注意到△ GFE是个等腰三角形，Z GFE是它的顶角，如果这个角能求出來，其底角Z FGE也就能求出来了。 △ PFE也是一个等腰三角形，这是因为△PDF^A PDE, ( PD是公用边，Z DPF=Z DPE Z PDF=Z PDE =30°)，所以PF=PE等腰三角形△ PFE的顶角大小为： Z FPE=n -2/3 (Z ABC Z ACB = n -2/3 ( n - Z BAC) = n /3+2/3 Z BAC ................................................. ( 1) Z BFD=/ PDF+Z DPF=t /6+1/2 Z FPE=n /6+ n /6+1/3 Z BAC=t /3+1/3 Z BAC ........................................ ( 2) Z GFE=2x - Z EFD-2Z BFD=2x - n /3-2 n /3-2 Z BAC/3= n -2/3 Z BAC ................................................... ( 3) 最后得到：Z FGE Z FEG=1/2( n - Z GFE)=1/3 Z BAC-- (4)同理可证：Z FHE=Z HFE=1/3Z BAC (5) 至此可知G,H,E,F，A五点共圓。 因GF=FE=EH 所以Z GAF Z FAE=/ EAH=1/3Z BAC-( 6) 即AE和AF恰好是Z BAC的三等分线，所以△ DEF是莫利三角形。
高中数学几何证明定理 高中数学几何证明定理大全 高中阶段的数学课程中，几何部分是一个绝对的教学重点，不少知识也是教学中的一个难点。下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。高中几何证明定理 一.直线与平面平行的(判定) 1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行. 2.应用:反证法(证明直线不平行于平面) 二.平面与平面平行的(判定) 1. 判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 2.关键：判定两个平面是否有公共点 三.直线与平面平行的(性质) 1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行 2.应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线 四.平面与平面平行的(性质) 1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行 2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行 五：直线与平面垂直的(定理) 1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 2.应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线(线面垂直→线线垂直) 六.平面与平面的垂直(定理) 1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
(或者做二面角判定) 2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换 七.平面与平面垂直的(性质) 1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行 2.性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没用,可以不用记) 以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!。 高中数学几何定理 1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等 5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9同位角相等，两直线平行 10内错角相等，两直线平行 11同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13两直线平行，内错角相等 14两直线平行，同旁内角互补 15定理三角形两边的和大于第三边 16推论三角形两边的差小于第三边 17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18推论1 直角三角形的两个锐角互余 19推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
高中数学竞赛校本教材20平面几何证明 https://www.doczj.com/doc/8519159943.html,work Information Technology Company.2020YEAR
§20平面几何证明 1．线段或角相等的证明 （1）利用全等△或相似多边形； （2）利用等腰△； （3）利用平行四边形； （4）利用等量代换； （5）利用平行线的性质或利用比例关系 （6）利用圆中的等量关系等。 2．线段或角的和差倍分的证明 （1）转化为相等问题。如要证明a=b±c，可以先作出线段p=b±c，再去证明a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。 （2）直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。 3．两线平行与垂直的证明 （1）利用两线平行与垂直的判定定理。 （2）利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。 （3）利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。 例题讲解 1．从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F。求证：BE平分CD。
2．△ABC内接于⊙O，P是弧 AB上的一点，过P作OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN=NT。 3．已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公切线 P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中 点。求证：∠O1AO2=∠M1AM2。 4．在△ABC中，AB>AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DE⊥AB于E，求证：AE=。 5．∠ABC的顶点B在⊙O外，BA、BC均与⊙O相交，过BA与圆的交点K引∠ABC 平分线的垂线，交⊙O于P，交BC于M。 求证：线段PM为圆心到∠ABC平分线距离的2倍。
高中数学联赛中常见的几何定理 第一篇：高中数学联赛中常见的几何定理 梅涅劳斯定理： 梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。他指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。证明：过点A作AG‖BC交DF的延长线于G AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 三式相乘得： AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG= 1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 塞瓦定理： 在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)= 1证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明： ∵△ADC被直线BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD被直线COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD- S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）
高中数学比赛平面几何证明方法选讲第一题：证明角均分6 第二题：证明四点共圆7 第三题：证明角的倍数关系8 第四题：证明线与圆相切9 第五题：证明垂直.10 第六题：证明线段相等11 第七题：证明线段为比率中项12 第八题：证明垂直.13 第九题：证明线段相等14 第十题：证明角均分15 第十一题：证明垂直16 第十二题：证明线段相等17 第十三题：证明角相等18 第十四题：证明中点19 第十五题：证明线段的二次等式20 第十六题：证明角均分21 第十七题：证明中点22 第十八题：证明角相等23 第十九题：证明中点24 第二十题：证明线段相等25 第二十一题：证明垂直26
第二十三题：证明四点共圆28 第二十四题：证明两圆相切29 第二十五题：证明线段相等30 第二十六题：证明四条线段相等31 第二十七题：证明线段比率等式32 第二十八题：证明角的倍数关系33 第二十九题：证明三线共点34 第三十题：证明平行35 第三十一题：证明线段相等36 第三十二题：证明四点共圆37 第三十三题：证明三角形相像38 第三十四题：证明角相等39 第三十五题：证明心里40 第三十六题：证明角均分41 第三十七题：证明垂直42 第三十八题：证明面积等式43 第三十九题：证明角均分44 第四十题：证明角相等45 第四十一题：证明中点46 第四十二题：证明中点47 第四十三题：证明角相等48
第四十五题：证明角相等50 第四十六题：证明垂直51 第四十七题：证明四点共圆52 第四十八题：证明四点共圆53 第四十九题：证明四点共圆54 第五十题：证明角均分55 第五十一题：证明线段相等56 第五十二题：证明两圆外切57 第五十三题：证明垂直58 第五十四题：证明垂直59 第五十五题：证明垂直60 第五十六题：证明垂直61 第五十七题：证中点62 第五十八题：证明角相等63 第五十九题：证明角相等64 第六十题：证明四点共圆65 第六十一题：证明四点共圆66 第六十二题：证明四点共圆67 第六十三题：证明角相等68 第六十四题：证明角的倍数关系69 第六十五题：证明中点70