23个经典的不等式专题
1、 证明：2221111+...223n
+++< ； 2、 若：332a b +=，求证：2a b +≤ ；
3、 若：n N +∈，求证：1111...12122n n n ≤+++<++；
4、 若：,0a b >，且3ab a b =++，求：a b +的取值范围 ；
5、 若：,,a b c 是ABC ?的三边，求证：
111a b c a b c +>+++ ； 6、 当2n ≥时，求证：222111111...12123n n n -
<+++<-+ ； 7、 若x R ∈
，求y =
； 8、
求函数2cos y θθ
=-的最大值和最小值 ； 9、 若,,0a b c >，求证：
2229a b b c c a a b c ++>+++++ ； 10、 若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围 ；
11、 若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222a b c ++的最小值 ；
12、 若,,a b c R ∈，且222
(1)(2)(3)11654
a b c -+-++=，求a b c ++的最大值和最小值； 13、 若,,0a b c >，,,0x y z >，且满足22225a b c ++=，22236x y z ++=，
30ax by cz ++=，求：a b c x y z
++++的值 ； 14、 求证：21153n
k k =<∑ ；（这回比较紧） 15、 当2n ≥时，求证： 12(1)3n n
<+< ； 16、
求证：113135135...(21)...224246246 (2)
n n ???????-++++
17、
求证：1)1...1)<+
+++< ； 18、 已知：0x >,求证：ln(1)1x x x x
<+<+ ; 19、 已知：n N +∈，求证：11111...ln(1)1...2312x n n +++
<+<++++ ； 20、 已知：2n ≥，求证：2
(1)n n n >- ； 21、 已知：n N +∈，求证：21111...23212n +
+++>- ； 22、
设：...n S =+，
求证：2(1)2(1)n n n S n +<<+ ；
23、 已知：n N +∈，求证： 1111...21231n n n <
+++<+++ .
【解答】 1. 证明：2221111+
...223n +++< ； 1、证明：221222111111111112(1)1
n n n n k k k k k k k k k k n ====????=+<+=+-=+-< ???--????∑∑∑∑. 从第二项开始放缩后，进行裂项求和.
2. 若：332a b +=，求证：2a b +< ；
2、证明：3322()()()a b a b a b ab ab a b +=++-≥+，即：()2ab a b +≤
则：3()6ab a b +≤，333()8a b ab a b +++≤，即：3()8a b +≤
即：2a b +≤.
立方和公式以及均值不等式配合.
3. 若：n N +∈，求证：1111...12122n n n ≤+++<++； 3、由：n n n k n +≥+> (1,2,...,)k n =得：1112n n k n
≤<+ ， 则：1111112n
n n k k k n n k n ===≤<+∑∑∑， 即： 111...212n n n n n n n n ≤+++<+++ 故：1
111...12122n n n
≤+++<++ . 从一开始就放缩，然后求和.
4.若：,0a b >，且3ab a b =++，求：a b +的取值范围 ；
4、解：222()244(3)4()12a b a b ab ab a b a b +=++≥=++=++，
令：t a b =+，则上式为：24120t t --≥. 解之得：6t ≥. 均值不等式和二次不等式.
5. 若：,,a b c 是ABC ?的三边，求证：111a b c a b c
+>+++ ； 5、证明：构造函数()1x f x x
=+，则在0x >时，()f x 为增函数. 所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a b c +>， 那么，()()f a b f c +>，即：11a b c a b c
+>+++ . 111111a b a b a b c a b a b a b a b c
++>+=>+++++++++. 构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果.
6. 当2n ≥时，求证：2221
11111...12123n n n
-<+++<-+ ； 6. 证明：当2n ≥时，11n n n -<<+，
都扩大n 倍得：2
(1)(1)n n n n n -<<+， 取倒数得：2111(1)(1)n n n n n >>-+，
不等式与不等式组专题复习 (一)不等式 考点1：不等式的定义 知识点： 1.不等式：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （像a+2≠a-2这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2.常见不等式的基本语言有： ①x 是正数，则x ＞0； ②x 是负数，则x ＜0； ③x 是非负数，则x≥0； ④x 是非正数，则x≤0； ⑤x 大于y ，则x －y ＞0； ⑥x 小于y ，则x －y ＜0； ⑦x 不小于y ，则x ≥ y ； ⑧x 不大于y ，则x ≤ y 。 例1.下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2＜5 x+3>6 4x-2y ≤0 a-2b a+b ≠c 5m+3=8 8+4<7 考点2：不等式的解集 知识点： 1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 例1.判断下列数中哪些是不等式 的解: 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 —————————————————————————————————— 变式练习： 1.下列说法正确的是( ) A. x=3是2x+1>5的解 B. x=3是2x+1>5的唯一解 C. x=3不是2x+1>5的解 D. x=3是2x+1>5的解集 2.在下列表示的不等式的解集中，不包括-5的是 （ ） A.x ≤ 4 B.x ≥ -5 C.x ≤ -6 D.x ≥ -7 考点3：不等式解集在数轴上的表示方法 知识点： 1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③定方向. 2.用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律: 大于向右画,小于向左画;有等号(≥ ,≤)画实心点, 无等号(>,<)画空心圆. 例1.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ） A 、x ≥－ 2 B 、x ＜1 C 、x ≠、x ＜0 变式练习： 1.不等式2≤x 在数轴上表示正确的是（ ） 5032 >x 0-1-2
不等式与不等式组专题复习 （一）不等式 考点1：不等式的定义 知识点： 1. 不等式：用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （像2≠2 这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2. 常见不等式的基本语言有： ①x是正数，则x>0；②x是负数，则x<0；③x是非负数，则x≥ 0； ④x是非正数，则x≤0；⑤x大于y ，则x－y> 0； ⑥x小于y，则x－y < 0； ⑦x不小于y，则x ≥ y ；⑧x不大于y，则x ≤ y 。 例1. 下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2 <5 3>6 42y ≤0 2b ≠c 53=8 8+4<7
考点2：不等式的解集
1. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2. 不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解， 组成这个 不等式的解集。 例 1. 判断下列数中哪些是不等式 的解 : 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 23x 50 变式练习： 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 3 是 21>5的解 B. 3 C. 3 不是 21>5的解 D. 3 2. 在下列 表示的不等式的解集中，不包括 -5 的是 ( ≤ 4 ≥ -5 ≤ -6 ≥ -7 考点 3：不等式解集在数轴上的表示方法 是 21>5 的唯一 解
1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③ 定方向. 2.用数轴表示不等式的解集, 应记住下面的规律 大于向右画,小于向左画;有等号(≥ , ≤)画实心点, 无等号(>,<) 画空心圆. 例1. 图中表示的是不等式的解集，其中错误的是( ) A、x≥－* 2- 2 - 1 0 B C、x ≠0 D 变式练习： 1. 不等式x 2在数轴上表示正确的 是( ) A． C．
9.2一元一次不等式（1）教学反思 安阳市第十一中学陈丽娜 本节课的设计思路：复习不等式的基本性质，掌握一元一次不等式的概念，解一元一次不等式，找满足不等式的正整数解及带有字母的不等式的解法等内容，以上几个环节环环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动脑思考、层层递进，对知识的理解逐步深入，使课堂效益达到最佳状态。对培养学生分析问题，解决问题的能力，体会数学的价值都有较大的作用。 教学中我采用类比（对比一元一次方程的解法），让学生非常清楚地看到不等式的解法与方程的解法只是最后系数化为1不同，其它的步骤是相同的，强调最后一步“负变，正不变”，学生掌握得很好。并强调在数轴上表示不等式的解集时，可以画简易数轴，“<”是向左拐，“>”是向右拐，空心是不包含，实心是包含。让学生在易错点上引起足够重视。 通过探究新知的环节鼓励学生自己探究，让学生真正去思考、去尝试，；真正体现了学生是数学学习的主体，教师是学生数学学习的引导者和帮助者。讲练结合的教学方法，倡导学生主动参与教学实践活动，在引导分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。肯定成绩，使其具有成就感，提高学生学习的兴趣和学习的积极性。 新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，在课堂的整体把握上，能做到游刃有余，学生整体回答时，都非常认真、投
入，整个班的班风、班貌非常好。课堂巡视时特别关注与学生的交流，能及时肯定、鼓励、帮助学生，更好地调动学生的学习积极性。让学生自己板书，自己讲题，既锻炼了学生的口头表达能力，又增加了学生的自信心，起到事半功倍的效果。 以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。 本节课的几点遗憾： 1、在例1的处理上有点稍快，虽然强调了易错点，大部分学生能正确求解一元一次不等式，但是部分学困生可能还存在一定的困难。今后应加强跟踪训练员，及时发现问题，解决问题，有针对性的进行学法指导。 2、在列不等式的时候很多学生不懂如何用不等式表示“负数”、“正数”、“非正数”、“非负数”，“不大于”、“不小于”，应该加强训练，让学生理解其实质内涵，为后面的应用题作准备， 3、部分学生虽然会做题，但是由于粗心导致出错，说明细心不够，重视程度不够，掌握还是不踏实，在以后的学习中，让学生养成细致、耐心的习惯，潜移默化中渗透到解题中。 如何让学生真正成为课堂的主人，让他们在学习数学中体验到成功的快乐， 从而增加学习数学的积极性，这是我们当前急需解决的问题。这就要求我们精心设计好每一节课的教学环节，换位思考，在不断的反思中提高自己，尽力做到每一次都是精彩的课堂！
一元一次不等式典型例题 类型一：一元一次不等式的解集问题 1. _____________________________________________________________ 若不等式-3x+n >0的解集是x v 2,则不等式-3x+n V 0的解集是 _____________________ 2. 已知实数x 、y 满足2x - 3y=4,并且x >- 1, y v 2,现有k=x- y ,则k 的取值 范围是 _______ . 3. 关于x 的一元一次不等式 W=- 2的解集为x >4,则m 的值为 _______________ 4. 若关于x 的一元一次方程x - m+2=0的解是负数，则m 的取值范围是 __________ 类型二：一元一次不等式组无解的情况 1. 若关于x 的一元一次不等式组L 、r 无解，则a 的取值范围是 类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围 3.若关于x 的一元一次不等式组 的解集是x v 5,则m 的取值范 围是 ________ 工-％>3的解集为-1v x v 1，那么（a+1） （b - 1）的值等于 日<旷1的解集为-1v xv2，则（m+n ） 2008 =—— 类型 一元一次不等式组有解求未知数的范围 2. 已知不等式组 无解，则a 的取值范围是 ________ 3. 已知关于x 的不等式组 无解，则a 的取值范围是 _______ 1. 若不等式 的解集为x >3,则a 的取值范围是 __________ 2. 若关于x 的不等式 的解集为x v 2,则a 的取值范围是 5.已知不等式组
不等式的基本性质教学 反思 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
《不等式的基本性质》教学反思 房县城关四中黄小妹 本节课我采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。力求在整个探究学习的过程充满师生之间、生生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。 课堂开始通过回顾旧知识，抓住新知识的切入点，使他们有兴趣进入数学课堂，为学习新知识做好准备。接下来出示的问题1从学生的学习经验出发，让学生感受生活中数学的存在，不仅激发学生学习兴趣，而且可以让学生直观地体会到在不等关系中存在的一些性质。问题2、3的设计是为了类比等式的基本性质，研究不等式的性质，让学生体会数学思想方法中类比的应用，并训练学生从类比到猜想到验证的研究问题的方法，让学生在合作交流中完成任务，体会合作学习的乐趣。在这个环节上，在体现学生主体上把握得不是很好，在引导学生探究的过程中时间控制得不紧凑，有点浪费时间。还有就是给他们时间先记一下不等式的基本性质，便于后
面的练习。让学生比较不等式基本性质与等式基本性质的异同，这样不仅有利于学生认识不等式，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握、发展学生的辩证思维。 在运用符号评议的过程中，学生会出现各种各样的问题与错误，因此在课堂上，我特别重视对学生的表现及时做出评价，给予。这样既调动了学生的学习兴趣，也培养了学生的符号评议表达能力。 练习，给学生一个充分展示自我的舞台，在情感和一般能力方面都得到充分发展，并从中了解数学的价值，增进了对数学的理解。在这一环节，为了照顾学困生，让学生起来回答时候有点耽误时间。 让学生通过总结反思，一是有利于培养归纳，总结的习惯，让学生自主构建知识体系；二也是为了激起学生感受成功的喜悦，力争用蕴育自信，学生以更大的热情投入学习中去。 本节课，我觉得基本上达到了教学目标，在重点的把握，难点的突破上也基本上把握得不错。在教学过程中，学生参与的积极性较高，课堂气氛活跃。其中不存在不少问题，我会在以后的教学中，努力提高教学技巧，逐步完善自己的课堂教学。
一元一次不等式和一元一次不等式组题型归纳 201509 姓名： 授课时间： 一．对一元一次不等式定义的理解 1.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） Ａ、５＋４>８ Ｂ、12-x Ｃ、x 2≤５ Ｄ、 x x 31 -≥０ 2.下列式子①3x ＝5；②a ＞2；③3m －1≤4；④5x ＋6y ；⑤a ＋2≠a －2；⑥－1＞2中，不等式有（ ）个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 《 3.下列说法，错误的是（ ） Ａ、33- x 的解集是1- x Ｂ、－１０是102- x 的解 Ｃ、2 x 的整数解有无数多个 Ｄ、2 x 的负整数解只有有限多个 4.下列不等关系中，正确的是（ ） A 、 a 不是负数表示为a ＞0； B 、x 不大于5可表示为x ＞5 ； / C 、x 与1的和是非负数可表示为x ＋1＞0； D 、m 与4的差是负数可表示为m －4＜0 二．已知范围，求正确的结论 5.若a 为有理数，则下列结论正确的是（ ） A. a ＞0 B. －a ≤0 C. a 2＞0 D. a 2＋1＞0 6.若a ＞b ，且c 是有理数，则下列各式正确的是（ ） ①ac ＞bc ②ac ＜bc ③ac 2＞bc 2 ④ac 2≥bc 2 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 $ 7.若a
Ａ、 a < b B 、a >b Ｃ、2a <2b D 、a 3>b 2 8.如果0 n m ，那么下列结论不正确的是（ ） A 、99--n m B 、n m -- C 、 m n 11 D 、 1 m n 9.m 为任意实数，下列不等式中一定成立的是（ ） Ａ、 3 m m Ｂ、 2-m 2+m Ｃ、m m - Ｄ、a a 35 10.已知 b a 1,0-０，则a,ab,ab 2之间的大小关系是（ ） A 、2ab ab a Ｂ、a ab ab 2Ｃ、 ab 2ab a Ｄ、2ab a ab 。 11.若 x x -=-44，则x 的取值范围是（ ） Ａ、4 x Ｂ、4≤x Ｃ、4 x Ｄ、4≥x 12.b a ,表示的数如图所示，则11---b a 的的值是（ ） Ａ、b a - Ｂ、2-+b a Ｃ、b a --2 Ｄ、b a +- 13.下列表达中正确的是（） A 、若x 2＞x ，则x ＜0 B 、若x 2＞0，则x ＞0 C 、若x ＜1则x 2＜x D 、若x ＜0，则x 2＞x 14.如果不等式ax ＜b 的解集是x ＜ a b ，那么a 的取值范围是（ ） A 、a ≥0 B 、a ≤0 C 、a ＞0 D 、a ＜0 < 15.如果a ＜－2，那么a 与 a 1 的大小关系是_______ 三．根据绝对值性质解不等式 16.如果x x 2121-=-，则x 的取值范围是 （ ） A 、2 1 > x B 、21≥x C 、21≤x D 、21 不等式经典题型专题练习（含答案） ：__________ 班级：___________ 一、解答题 1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 25 233x x -+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21{ 23x a x b -<->的解集为-1 5．解不等式组：并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，数a的取 值围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值围． 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值围. 10．解不等式组5134122 x x x x ->-???--??≤并求它的整数解的和． 11．已知x ，y 均为负数且满足：232x y m x y m +=-?? -=?①②，求m 的取值围． 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225 x y m x y m +=+??-=-?的解是一对正数，则： （1）求m 的取值围 （2）化简：42m m -++ 15．我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？ 不等式的性质教学反思 这次公开课准备的比较充分，使得我这次的转正课能够顺利完成。第一次当着这么多前辈老师讲课，我显得紧张。特别是我们初一数学科组的各位老师建言献策，给了我充分的鼓励与帮助，充分展示了集体智慧的力量。 上课前我做了一些准备工作。比如，设计“不等式的性质”学习卷。在集备组的多次建议修改下，我把不等式的概念、不等式的性质、运用不等式性质解简单不等式这三个内容整合到本节课；基本思路是：用比较数的大小引进不等式的概念；利用表格对不等式两边进行运算来探索不等式的性质并展开小组讨论加深对不等式性质3的认识；运用不等式的性质把不等式转化为()x a a >是常数的形式（其实就是解简单不等式，但本节课还没出现“方程的解”这个概念）。 本节课用的是平行班，强调的是实用性。从新课到练习都充分调动了学生的思考能力。小组讨论又锻炼了学生的创造性和合作性；为后续学习解一元一次不等式打下了一定的基础。 自己在这节公开课吸取的经验是： 1、 充分准备是保证。从怎么引入怎么引导学生填写表格及探索性质都进行充分的准备，写了份大概的讲话稿，在脑海里反复演练，以帮助克服紧张情绪。 2、 专业术语阐述不够清楚，需要加强。部分学生会对数量关系中的“不大于”、“是负数”、“是非负数”等数学术语理解不清，我只是从字面上给予解释，并没有对学生为什么出错进行深究，导致学生在复习回顾环节出错又在新课后的巩固练习出错。 3、 对性质3这个难度的教学不够。学生以小组讨论的形式展开了对性质3的探索，但由于我对设计意图没有说清楚，导致有几个小组在不等式两边乘了不同的两个数来进行比较；对于不等式两边同时除以同一个负数的教学完全回避了（我以为除法都可以化作乘法来做，所以讲乘法就够了），结果学生在遇到250>－化作25x <-之类的题目都卡住了。 一元一次不等式 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A 012>-x ； B 21<-； C 123-≤-y x ； D 532 >+y ； 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D. 1 x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x 《不等式与不等式组专项训练》一、选择： 1．下列不等式一定成立的是（） A．a≥﹣a B．3a＞a C．a D．a+1＞a 2．若a＞b，则下列不等式仍能成立的是（） A．b﹣a＜0B．ac＜bc C．D．﹣b＜﹣a 3．解不等式中，出现错误的一步是（） A．6x﹣3＜4x﹣4B．6x﹣4x＜﹣4+3C．2x＜﹣1D． 4．不等式的正整数解有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 5．在下列不等式组中，解集为﹣1≤x＜4的是（） A．B．C．D． 6．若不等式≥4x+6的解集是x≤﹣4，则a的值是（）A．34B．22C．﹣3D．0 二、填空： 7．用不等式表示“6与x的3倍的和大于15”． 8．不等式的最大正整数解是，最小正整数解是．9．一次不等式组的解集是． 10．若y=2x+1，当x时，y＜x． 11．关于x的不等式ax+b＜0（a＜0）的解集为． 12．若方程mx+13=4x+11的解为负数，则m的取值范围是． 13．若a＞b，则的解集为． 14．某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对道． 三、解不等式或不等式组： 15．解不等式或不等式组： （1）3（x﹣2）﹣4（1﹣x）＜1 （2）1﹣≥x+2 （3） （4）． 四、解答下列各题： 16．x取什么值时，代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）的值大于x+2的相反数． 17．k取什么值时，解方程组得到的x，y的值都大于1． 18．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数． 19．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，生产1件B种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，请你提出安排生产的方案． 2017年中考数学专题练习6《不等式（组）》 【知识归纳】 1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质： （1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或 c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a c b ）. 3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 ，且不等式的两边都是 ，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1. 4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <） x a x b ??>? 的解集是 ，即“大大取大”； x a x b >??? 的解集是 ，即“大大小小取不了”. 6．列不等式（组）解应用题的一般步骤： ①审： ；②找： ；③设： ；④列： ；⑤解： ；⑥答： . 【基础检测】 1.（2016·内蒙古包头）不等式﹣ ≤1的解集是（ ） A ．x≤4 B ．x≥4 C ．x≤﹣1 D ．x≥﹣1 2.（2016·云南昆明）不等式组 的解集为（ ） 不等式的性质教学反思 本节课我采用类比等式性质的方法引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑，鼓励学生大胆积极参与，使学生在自主探究和合作交流中理解和掌握本节课的内容。力求在整个探究学习的过程中充满师生交流、生生交流以及互动。本节课，我觉得基本上达到了教学目标。难点的突破上也基本上把握得不错。在整个教学过程中学生的参与积极性也还不错。课堂气氛比较活跃。 一、成功之处： 1、复习引入让学生更易接受 课堂开始通过回顾旧知识，抓住新知识的切入点，使学生进入一种“心求通而示得，口欲言而示能”的境界，使他们有兴趣进入数学课堂，为学习新知识做好准备。 2、类比探究新知让学生更易把握 类比等式的基本性质，研究不等式的性质，让学生体会数学思想方法中类比思想的应用，并训练学生从类比到猜想到验证的研究问题的方法，让学生在合作交流中完成任务，体会合作学习的乐趣。 3、分析等式性质和不等式性质的异同发展学生思维 让学生比较不等式基本性质与等式基本性质的异同，这样不仅有利于学生认识不等式，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握、发展学生的辩证思维。 4、现代信息技术的使用让学习事半功倍 电子白板的交互使用，在白板上及时书写，修改错误之处，都给学生的学习、老师的教学带来了极大的便利，节省了时间。 二、不足之处 1、在体现学生主体上把握得不是很好，在引导学生探究的过程中时间控制得不紧凑，有点浪费时间。导致后面的目标检测部分课上没有时间完成。 2、应用不等式的性质时，语言规范不到位，学生没有掌握整体回答问题的思路脉络，在这里花费了很多时间。 3、整节课在时间的分配上把握的不是很恰当，主要是由于课前预设不到位。 4、自己的语言表达不是很好，表扬性语言很单一而且生涩。 三、改进措施 针对本节课课堂上出现的问题，我在今后的教学中应该加强备课，抓住重点，详略得当，充分相信学生，把课堂还给学生。在课前，充分预判课堂上可能出现的各种问题以及处理方法，考虑学生的认知能力和已有的知识水平，设置问题要具有灵活性、针对性、可操作性，给学生更多的思维想象空间。 如果重新讲这节课，我会缩短探究不等式的性质的时间，因为类比等式的性质同学们很容易归纳出不等式的性质，要重点强调不等式的性质3，这样大量的课堂时间交给学生应用不等式的性质，易出错的问题比如不等式的性质3的应用 不等式与不等式组专项练习（能力提高） 1.已知方程组3133x y k x y +=+?? +=?的解x 、y,且2 《2.2不等式的基本性质》教学反思 今天这一节，又是不如意的一节。关于不等式性质的内容，书上很少，用算式把不等式的后两个基本性质得出来，就是应用了。我觉得缺点什么，上课的效果也告诉我学生觉得很简单，都不用讲，居然还用了两节课。回想起以前看到的一篇文章，说“不教也会”，那么到底该教什么？内容是关于字母表示数。我这节的情况雷同。 课前定了目标：1.对比等式基本性质和不等式基本性质；2.利用不等式基本性质化简不等式；3.利用不等式基本性质比较大小。 后来看了些资料，又重新制定了目标：1.理解不等式的基本性质；2.用符号语言、图形语言描述任意实数a、b的大小关系；3.通过数形结合得到不等式公理：a>b←→a-b>0，a<0.（后来发现，时间仓促，我没理解这个不等式公理的作用。） 因为英语老师外出培训，调给我一节课，加上早自习就是三节，周五早自习是例行周考，发放了1.3-1.4的小试卷，后面两节中间隔着课间操。下面先回顾前一节的状况： 做了简单的课件，内容如下图： 怎么用数形结合的方式解决初步接触的不等式呢？我带着困惑打开了第一个问题，问学生们怎么看待这个问题的提法。大家明显也一头雾水，有人喊起我前面试翻页笔时看到的平面坐标系。 师：我承认是这么准备的，但是你知道为什么吗？ 生：（继续不解。） 我只好问大家会用什么办法解决，异口同声“不等式的基本性质”。师：咱们还没学呢，要用它先得…… 生：“证明！”（杨健和季全博一起说。） 师：对，还没有经过论证正确性的东西，要暂且放下不能用。我们能做的是什么？（我继续引导，）如果这里<的位置是=，咱们能解决吧？（我写下x+4=0。学生们大声说x=-4。） 师：嗯，你用的什么办法？ 生：等式的基本性质1。 师：嗯，这是用代数的方式来解决，那么可不可以数形结合，用图像法解方程呢？（有人回忆起了二元一次方程组，顺势回顾了图像法解二元一次方程组的整个过程，梳理出先将该方程当成函数值为零时的一次函数对待，在平面直角坐标系中会得到一条直线，然后找这条直线上纵坐标为零的点，写出它的横坐标，即可解得该方程。）梳理完之后，我板书展示了这一过程，就势追问： 师：可否用此图解决不等式x+4>0呢？ 生：应该可以。 （师继续展示，将横轴上-4的位置挖空并向右覆盖） 师：这便是能使函数值大于零的x的范围，可以表示为…… 生：x>-4。 （展示完毕，由学生来试一试，完成-x+4<0和3x-6>0的函数图象求解。） （张宁宁和李小伟分别进行了两道题目的解决，张完成下台，李画错 一元一次不等式经典分类练习题 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A 012>-x ； B 21<-； C 123-≤-y x ； D 532>+y ； 2、下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D.1x －3x ≥0 3、下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x （6）1215312≤+--x x （7）4 1328)1(3--<++x x （8）?->+-+2 503.0.02.003.05.09.04.0x x x 8、解不等式组，并在数轴上表示它的解集 （1）?????+>-<-. 3342,121x x x x （2）－5＜6－2x ＜3． （3）?????+>-≤+).2(28,142x x x （4）.2 34512x x x -≤-≤- 1 不等式与不等式组期末复习讲义 常考专题一 不等式的性质 主要考查利用不等式的性质判断不等式的变形是否正确，题型以选择题为主． 例1 ：下列式子中，一元一次不等式有( )①314x -≥；②1263x + >；③136x -<；④0x π>；⑤132362 x x -+-<；⑥2x xy y +≥；⑦0x >. A .6个 B .5个 C .4个 D .3个 解析：③中 1 x 不是整式，⑥中含2个未知数，所以③⑥不是一元一次不等式，①②④⑤⑦都是一元一次不等式，故选B . 例2： 若a b >，则下列不等式不一定成立的是( ) A ．a m b m +>+ B ．()() 22 11a m b m +>+ C ．22 a b - <- D ．22 a b > 解析：根据不等式的性质针对四个选项进行分析即可．A ．根据不等式的基本性质1，可知a m b m +>+一定成立；B ．根据不等式的基本性质2， ∵2 10m +>，∴()() 2211a m b m +>+一定成立；C ．根据不等式的基本性 质3，∵102- <，∴22a b -<-一定成立；D ．根据不等式的基本性质3，a ，b 若都为负数，则22a b >不成立． 思维点拨 本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题的关键．此类题目也可以用举反例的方法排除． 常考专题二 一元一次不等式(组)的解法 解一元一次不等式(组)是数学学习中必须掌握的基本运算技能，是解决实际问题的基础，解不等式(组)时，要严格依据不等式的性质按照解不等式(组)的步骤进行． 例3： 解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1)672x x ≤-；(2)()5431,121.2 5x x x x +<+?? ?--≤? ?①② 分析：(1)解不等式并把解集在数轴上表示出来；(2)分别解不等式，并把 解集在数轴上表示出来． 解：(1)解不等式得2x ≥，在数轴上表示如下： (2)解不等式①，得1 2 x <-，解不等式②，得3x ≤， 在数轴上表示如下： 故不等式组的解集为1 2 x <- ． 思维点拨 一元一次不等式与一元一次不等式组的解法是整章的重点，要熟悉它们的解法，一方面要注意每个步骤的易错之处，另一方面要正确地画出数轴，找出解集，进一步确定特殊解． 《不等式的性质（2）》教学反思 大悟县实验中学李汉平 这节课的教学目标是：会根据“不等式的性质”解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集；学会运用类比的思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力；在积极参与数学活动的过程中，培养学生大胆猜想、勇于发言与合作交流的意识和实事求是的态度以及独立思考的习惯。这节课的教学重点是：一元一次不等式的解法；其难点是：不等式性质3在解不等式中的运用。 为了达到这个教学目标，突破重点，解决难点，我运用引导发现法教学，并且运用多媒体课件进行教学。在整个教学过程中我设计了以下五个板块：一是:创设情境，引入新课。二是：引导探索，讲授新课。三是：运用新知，例题讲解。四是：知识反馈，巩固新知。五是：课堂小结，收获新知。课后我进行了认真反思。 本课我从学生身边的事情入手，创设问题情境，激发了学生的学习兴趣和求知欲望。以问题为中心，使每一位学生都能积极思考，发散思维。让学生在”做数学“的过程中，亲身体验问题的发生、发现、发展与解决的全过程，采取自主探索、合作交流、深入研讨、步步为营的措施，为学生营造了一个自主学习、主动发展的广阔空间，开辟了探究、研讨、解决问题的广阔天地，使学生快快乐乐地成了学习的主人。 教学要以实际生活为背景。通过让学生亲身经历现实问题数学化的过程，使他们获得富有生命力的数学知识，进一步认识数学，体验到数学的价值。让学生真切的体会到生活中处处有数学，并能在生活中处处用数学，以此培养学生的应用意识。 教师在教学中要敢于打破教材格局。本节课对教材做出了全新的调整，注意以问题为线索来探究不等式的解法，在用所学知识去解决问题。放开手脚从不同的角度、用不同的方法充分体现了”自我“，真正构建了学生是课堂主人的地位，使他们的思维能力、情感态度和价值观念等各个方面都迈上了一个新的台阶。 不等式和不等式组 教学准备 一. 教学内容： 复习三不等式和不等式组 二. 教学目标： 1. 理解不等式，不等式的解等概念，会在数轴上表示不等式的解； 2. 理解不等式的基本性质，会应用不等式的基本性质进行简单的不等式变形，会解一元一次不等式； 3. 理解一元一次不等式组和它的解的概念，会解一元一次不等式组； 4. 能应用一元一次不等式（组）的知识分析和解决简单的数学问题和实际问题。 三. 教学重点与难点： 1. 能熟练地解一元一次不等式（组）。 2. 会利用不等式的相关知识解决实际问题 四.知识要点： 知识点1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 知识点2、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。 知识点3、不等式的解集在数轴上的表示： （1）x＞a：数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的右边部分来表示； （2）x＜a：数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的左边部分来表示； （3）x≥a：数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及表示a的点的右边部分来表示； （4）x≤a：数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及表示a的点的左边部分来表示。 在数轴上表示大于3的数的点应该是数3所对应点的右边。画图时要注意方向（向右）和端点（不包括数3，在对应点画空心圆圈）。如图所示： 同样，如果某个不等式的解集为x≤－2，那么它表示x取－2左边的点 画实心圆点。如图所示： 总结：在数轴上表示不等式解集的要点： 小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画圆点。 知识点4、不等式的性质： （1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 知识点5、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。 知识点6、解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1。 通过这些步骤可以把一元一次不等式转化为x＞a （x≥a）或x＜a（x≤a）的形式。 知识点7、一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。 知识点8、不等式组的解集：不等式组中所有的不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。 第15讲 一元一次不等式组培优专题 一、含参不等式（组）有关的问题 1. 探讨不等式组的解集（写出,a b 满足的关系式） （1）关于x 的不等式组x a x b >????≤11x m x 无解，则m 的取值范围是 （2）若不等式组121 x m x m <+??>-?无解，则m 的取值范围是 (3)若不等式组???>≤ (2)如果关于x 的不等式组7060 x m x n -≥??-的每一个解都是21122 x -<的解，求a 的取值范围 变式：如果关于x的不等式组 22 4 x a x a >- ? ? <- ? 有解，并且所有解都是不等式组－6＜x≤5的解，求a 的取值范围． 4. 若关于x的不等式组 21 1 3 x x x k - ? >- ? ? ?-< ? 的解集为2 x<，求k的取值范围 5.不等式组 12 35 a x a x -<<+ ? ? << ? 的解集是3x <<2 a+，求a的取值范围 不等式的性质教学反思 各位读友大家好！你有你的木棉，我有我的文章，为了你的木棉，应读我的文章！若为比翼双飞鸟，定是人间有情人！若读此篇优秀文，必成天上比翼鸟！ 篇一：《不等式的性质》教学反思《不等式的性质》教学反思沧州市第九中学罗福长不等式的性质是不等式变形的依据，也是探索解不等式方法的基础，学生掌握好本节内容是学好本章内容的关键；本节课的内容蕴含着丰富的数学思想，是培养学生类比、化归、数形结合等数学思想的良好素材。学生经历不等式性质的探索过程，体现了学生的主体性地位，充分发挥了学生学习的主动性，对学生掌握不等式的性质打下了基础；会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集，体会化归思想和数形结合思想；通过类比等式的性质，降低了学生学习不等式性质的难度，也为学生理解不等式的性质提供条件，初 步培养类比和数形结合的思想方法。在不等式性质的探究过程中使学生经历类比、猜想、观察、归纳、比较的探究过和启发式教学方式；利用多媒体，增强了不等式的对比的视觉效果，激发了学生的学习兴趣，帮助学生形象直观的发现规律，辅助对教学重点的突出。本节课的开始并没有直接提问什么叫不等式什么叫不等式的解集，而是让学生自己说出一些简单的不等式及其解集；在不等式性质教学过程中也是通过学生自主探究归纳总结出性质，改变了以教师为中心的思想观念。在“试一试”这一环节也没有先直接给出完整的解法而是让一个学生板书后发现问题才纠正补充完整。总的来说，这节课进行的还比较顺利，但和平时比起来自己感觉差了很多。由于前后各有一部摄像机，学生没有见过这种阵势，提前也没有演练，学生都不敢举手回答问题，特别在学生探究不等式性质时，仅仅观察了给出的几个例子，而没有让学生再用其他的不等式或不等式经典题型专题练习(含答案)-
不等式性质教学反思 (2)
一元一次不等式练习题(经典版)
不等式与不等式组专项训练(含答案详解)
2017年中考数学专题练习6《不等式(组)》
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人教版七年级数学下册不等式与不等式组专项练习
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