第十三章 积分变化法
在第六章，我们曾用拉普拉斯变换方法求解常微分方程。经过变换，常微分方程变成了代数方程，解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程的解。
积分变换在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途。经过变换以后，方程变得简单了，例如偏微分方程变成了常微分方程，解出常微分方程，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解。利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变数法不能得到的。
本章主要介绍傅里叶变换、拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用。
§13.1 傅里叶变换法
用分离变数法求解有界空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数。对于无界空间，用分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分。因此，对于无界空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法。本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定解问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式。
例1 求解无限长弦的自由振动??
???==∞<<-∞=-==).(),()
(,0002
x u x u x u a u t t t xx tt ψ?
解 应用傅里叶变换，即用π2ikx
e
-遍乘方程及定解条件各项。并对空间变数x 积分（时间
变数t 视作参数）。原来的定解问题变换成
)
(),(0
0022k U k U U a k U t t ψ='Φ==+''==
其中)(k Φ、)(k ψ分别是)(x ?、)(x ψ的傅里叶变换。原来的定解问题变成了常微分方程及初值条件，其通解是
ikat ikat e k B e k A k t U -+=)()(),(
代入初始条件可定出
).
(121)(21)(),(121)(21)(k ik a k k B k ik a k k A ψ-Φ=ψ+Φ=
这样
ikat ikat ikat ikat e k ik
a e k e k ik a e k k t U --ψ-Φ+ψ+Φ=
)(1
21)(21)(121)(21),( 最后，对),(k t U 作逆傅里叶变换。应用延迟定理与积分定理，结果是
ξξψ??d a
at x at x t x u at
x at x ?+-+-++=)(21)]()([21),( （13.1.1）
这正是达朗贝尔公式（7.4.7）。
例2 求解无限长细杆的热传导问题?
??=∞<<-∞=-=).()(,002x u x u a u t xx t ?
解 作傅里叶变换，定解问题变换为
).(,
00
2
2k U U a k U t Φ==+'??
?= 这个常微分方程的初始值问题的解是.)(),(2
2t
a k e k k t U -Φ=
再进行傅里叶变换，
???∞
∞--∞∞--∞
∞
---??
????=
Φ==dk e e d e dk e e k k t U F t x u ikx t a k ik ikx t
a k
222
2)(21
)()],([),(1ξξ?π
ξ 交换积分次序
ξξ?π
ξd dk e e t x u x ik t a k ??
????=
??∞
∞---∞
∞-)(22)(21
),( 引用积分公式
2
2
2
24/)/(αβ
βαπe dk e e k k a =?
∞
∞
--。
置t a =α，)(ξβ-=x i 以利用此积分公式，即得
ξπξ?ξd e t
a t x u t
a x ???
?
????=--∞
∞
-?2
2
4)(21)(),(。 （13.1.2） 例3 求解无限长细杆的有源热传导问题?
??=∞<<-∞=-=.0)
(),,(02t xx t u x t x f u a u
解 作傅里叶变换，问题变换成非齐次常微分方程与初始条件
.0),
,(02
2==+'?
?
?=t U k t F U a k U 为求解这个非齐次常微分方程，用t
a k e
22遍乘方程各项，得
.);(]);([2222t a k t a k e k t F e k t U dt
d
= 对t 积分一次，计及零初始值，
.),();();(00
22222222?
?
?∞
∞
----==t
a k t
a k ik t
a k t
a k d d e
e
e
f d e
k F e
k t U τξτξτττ
ξ
τ
进行逆傅里叶变换，
.),(21),()
(0
2
2??
?∞
∞-∞
∞
----???
????=
dk e d d e e f t x u ikx ik t a k
t τξτξπ
ξτ
交换积分次序
.][21),(),()
()(0
22τξπτξξτd d dk e e f t x u x ik t a k t
??
?
∞∞
----∞
∞
-=
引用例2的积分公式计算[]内的积分，最后结果是
.])
(21[
),(),()
(4)(0
22τξτπτξτξd d e
t a f t x u t a x t
---
∞
∞
--=?
?
（13.1.3）
例4 限定源扩散。半导体扩散工艺的硼、磷扩散是慢扩散，杂质扩散深度远远小于硅片厚度。研究杂质穿过硅片的一面向里扩散问题时，完全可以不管另一面的存在，把硅片看作无限厚，虽然实际上还不到一毫米厚。这就是说，把硅片的内部当作半无界空间。在限定源扩散中，是只让硅片表层已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入硅片。这里，所求解的是半无界空间0>x 中的定解问题
),
0()0(,
0,000
2>-Φ===-??
???==x x u u u a u t x x
xx t δ
其中0Φ是每单位面积硅片表层原有的杂质总量。 解 没有杂质穿过硅片表面即00
==x x
u 是第二类齐次边界条件。读者已经熟悉，这种边界
条件意味着偶延拓，即求解无界空间中的定解问题
??
?????
?<+Φ>-Φ==-=).
0()0()0()0(,
0000
2x x x x u u a u t xx t δδ 这个初始条件其实也就是)(200
x u
t δΦ==。这样，问题成为
???∞<<-∞Φ==-=)
()(2,
000
2x x u
u a u t xx t δ
引用（13.1.2）式，得到答案
.2221)(2),(222
2
4/04)(0t
a x t
a x e t a d e t
a t x u ---∞∞
-?Φ=???
?????Φ=?πξπξδξ
t
a x
e 22
4/)2
(-π称为高斯函数，它的数值有表格可查，参看附录三。
图13-1描画了杂质浓度),(t x u 在硅片中的分布情况。曲线1对应于某个较早时刻，曲线2、3依次对应于越来越迟的时刻。杂质浓度趋于均匀的趋势很明显。每根曲线下的面积都等于0Φ，这反映了杂质总量不变。每根曲线在跟纵轴相交处的切线都是水平的，即硅片表面的浓度梯度为零，这反映了没有新的杂质进入硅片。
例5 恒定表面浓度扩散。在恒定表面浓度扩散中，包围硅片的气体中含有大量杂质原子，它们源源不断穿过硅片表面并向硅片内部扩散。由于气体中杂质原子供应充分，硅片表面杂质浓度得以保持某个常数0N 。这里，所求解的是半无界空间0>x 中的定解问题
,0,,00002
===-??
?
??==t x xx t u N u u a u 解 首先应把非齐次边界条件化为齐次的。为此，令
),(),(0t x N t x u ω+=，
就把u 的定解问题转化为ω的定解问题
???
??-=-==-==-====.
,0,00000
0002N N u N u a t t x x xx t ωωωω 这里是第一类齐次边界条件。读者已经熟悉，这种边界条件意味着奇延拓，即求解无界空间
中的定解问题
??
?
?????<+>-==-=).
0()0(,00002x N x N a t xx t ωωω 引用（13.1.2）式，得到答案
??∞
--
∞
---
-=0
4)(0
4)(0
22222121),(ξπξπωξξd e
t
a N d e
t
a N t x t
a x t
a x
在右边第一个积分中令t a x z 2)(ξ-=，t a d dz 2ξ-=；在右边第二个积分中令
t a x z 2)(-=ξ，t a d dz 2ξ=。于是，
?
?
?
--∞
--∞
--
=-
-
=t
a x t
a x z t
a x z t
a x z dz e N dz e N dz e N t x 220
20
20
.),(2
2
2
π
π
π
ω
由于被积函数是偶函数，所以
?
--=t
a x z dz e
N t x 20
2
2
),(π
ω
通常把
?
-x
z dz e 0
2
2
π
叫做误差函数，记作erfx ，它的数值有表格可查，参看附录三。这样
)2(
),(0t
a x erf N t x -=ω，
所求的解
???
??
?-=+=)2(1),(),(00t a x erf N t x N t x u ω。
erfx -1叫做余误差函数（error function complement ），记作erfcx 。这样
).2(
),(0t
a x erfc N t x u =
例6 泊松公式。求解三维无界空间中的波动问题
????
?===?-==).(),(,
000
32
r U r u u a u t t t tt ψ? 解 作傅里叶变换，问题变换为常微分方程的初始值问题
).
(),(,
00022k U k U
U a k U t t ψ='Φ==+''???==
这个问题的解是
).)((1
21))((21),(ikat ikat ikat ikat e e k ik
a e e k k t U ---ψ++Φ=
再进行逆傅里叶变换，
123
()
()12312221
11(,)()()()
()221
111()()()()4444ikat
ikat ikat ikat ik r
ikat ikat ik r r ikat ikat ik r r u r t k e e k e e e dk dk dk a ik a
r e e e dk dk dk dV r e e e dk dk dk a a ik ?ψππππ∞
--?-∞
∞
∞
∞
''-?--?--∞-∞-∞
??=Φ++ψ-???
?
??'''=++-???????????
????3()()12312322111111
()()()()4444ikat ikat ik r r ikat ikat ik r r dV r e e e dk dk dk dV r e e e dk dk dk dV a t ik a ik ?ψππππ∞-∞∞∞∞∞
''-?--?--∞-∞-∞
-∞??'?????????''''=-+-?????????
????????????????
引用§5.3例1结果，
()
()1231231111(,)()()()().44ik r r ik r r u r t r F r at e dk dk dk dV r F r at e dk dk dk dV a t r a r ?δψδππ∞
∞
∞
∞
''?-?--∞-∞-∞
-∞?????''''=-+???-?????????????????? 应用延迟定理，
1()1()
(,)()()44r r u r t r r at dV r r at dV a t r r a r r ?ψδδππ∞∞-∞-∞''?''''=???--+???--''
?--
由于被积公式中出现()r r at δ'--，对r '的积分只需在球面r
at S 上进行，r
at S 以点r （确切的说，径矢为r 的点）为球心而半径为at 。
1()1()
(,),44r r at
at
S S r r u r t dS dS a t at a at
?ψππ''?''=
+????? （13.1.4） 式中dS '是球面r
at S 的面积元。答案（13.1.4）叫作泊松公式。
三维无界空间中的波动，只要知道它的初始状况，用泊松公式可以推算它在以后任一时刻的状况。具体地说，为求时刻t 在点r 的(,)u r t ，应以点r 为球心，以at 为半径作球面r
at S ，然后拿初始扰动()r ?'和()r ψ'按（13.1.4）在球面r
at S 上积分。这是可以理解的，既然波动以速度a 传播，只有跟点r 相距at 的那些点（即r at S 上的点）的初始扰动恰好在时刻t 传到点r 。
为明显起见，设初始扰动只限于区域0T （图13-3）.取定一点r ，它与0T 最小距离是d ，
最大距离是D 。当/t d a <，r
at S 跟0T 不相交，按泊松公式，(,)0u r t =，这表示扰动的前锋尚未到达点r 。当//d a t D a <<，r
at S 跟0T 相交，(,)0u r t ≠，这表示扰动已到达点r 。当/t D a >，r
at S 包围了0T 但跟0T 不相交，(,)0u r t =，这表示扰动的阵尾已经过去。 例7 推迟势。求解三维无界空间中的受迫振动
?????===?-==.
0,0),,(0032
t t t tt u u t r f u a u
解 作傅里叶变换，问题变换为非齐次常微分方程的初始值问题
22
00
(;)
0,0.t t U k a U F t k U U ==''+=??
'==? 这个问题的解是
()()01(;)(;)[()].2t
ika t ika t U t k F k e e d aik
ττττ---=
?- 然后对(;)U t k 进行逆傅里叶变换。
()()123
0()()()
12330
1(,)(;)[]21
12(,)
4(2)t ika t ika t ik r
t
ika t ika t ik r r u r t F k e e e d dk dk dk aik f r e e e dk dk dk dV a ik
ττττττπτππ∞
---?-∞
∞
∞
'---?--∞
-∞=-?''??=-??????????????
引用§5.3例1结果，并应用延迟定理，
1
1
(,)(,)
().4t
u r t f r r r a t d dV a r r τδττπ∞
-∞
'''=
?---???'
-???? 再引用（5.3.5）以及关系式()()ax x a δδ=，
20
2
1
1
(,)(,)
()4(,/)14t
r r u r t f r t t d dV a r r a f r t r r a dV a r r
δττππ∞
-∞
∞
-∞
'?-?''=
--??'-??
''--'='-????
???
本问题的(,)f r t 中的0t ≥，所以上面这个积分其实不必在无界空间进行，只需在条件
/0t r r a '--≥下积分。换句话说，对r '的积分只需在球体r
at
T 中进行，此球的球心的径矢为r ，而半径为at 。这样
2
(,/)
1
(,).4r at
T f r t r r a u r t dV a r r π''--'=
'
-???
（13.1.5）
值得注意的是f 的宗量t 换成了/t r r a '--。这是可以理解的，既然扰动以速度a 传播，
从点r '出发的扰动，如果在时刻t 对点r 产生影响，必然是在时刻/t r r a '--出发的。为了强调这种时间差异，通常把(,/)f r t r r a ''--记作[]f 。于是（13.1.5）又可写成
[]
2
1(,)4r at
T f u r t dV a r r π'=
'-??? （13.1.6）
这叫作推迟势。
例8 柱面波 降维法。求解二维无界空间中的波动问题
22000,
(,),(,).
tt t t
t u a u u
x y u x y ?ψ==?-?=??==??
解 当然可以像例6那样用傅里叶变换法求解。不过，我们知道，所谓二维空间即xy 平面的波动其实还是三维空间中的波动，只是这波动跟坐标z 无关而已。这样说来，二维无界空
间中的波动问题的解也由泊松公式（13.1.4）给出。但既然问题跟坐标z 无关，当然不希望泊松公式中出现z 。三维波动的泊松公式，消除了坐标z ,就成为二维波动的公式，这叫作降维法。
对于二维问题，球面r
at S 上的积分应代之以xy 平面的圆
,x y at
∑
上的积分。
,x y at
∑
上的面积
元cos d dS dS dS σθ''===
即dS d σ'=
又球面r
at S 的上下两半都投影于同一圆，所以
22dS d σ'=
于是，泊松公式在二维问题中成为
,,1
1(,,)22x y
x y
at
at
u x y t dy dy a t a
ππ?
''''=
+
?∑∑??
??
（13.1.7）
注意二维波动有所谓后效。把图13-3当作二维的图来看，只要t d a >，
,x y at
∑
跟0T 总
有重叠部分，积分值一般不等于零，故在(,)x y 点总有扰动。只有当t →∞时，u 才趋于零[at 出现在（13.1.7）的分母中]。把二维波动看作是某种三维波动的横剖面就不难理解这种后效。
习题
1. 求解无限长传输线上的电振荡传播问题。::G C R L =的情况跟::G C R L ≠的情况有什么不同？
2. 研究半无限长细杆导热问题。杆端0x =温度保持为零，初始温度分布为(1)x
K e
λ--。
3. 半无界杆，杆端0x =有谐变热流sin B t ω进入，求长时间以后的杆上温度分布(,)u x t 。
4. 应用泊松分布公式计算下述定解问题的解。2
0tt u a u -?=，初始速度为零，初始位移在
某个单位球内为1，在球外为零。
5. 应用泊松分布公式计算下述定解问题的解。2
0tt u a u -?=，初始速度为零，初始位移在
球0r r =以内为0cos(2)A r r π，在球外为零。
6. 二维波动，初始速度为零，初始位移在圆1ρ=以内为1，在圆外为零。试求0
u
ρ=。
7. 求解三维无界空间中的输运问题2
0t u a u -?=，0
(,,)t u
x y z ?==。
8. 例6研究三维无界空间中的自由振动是从初始(0)t =状况推算以后(0)t >的状况。试重新求解例6，从初始状况反推以前(0)t <的状况。
9. 求解一维半无界空间的输运问题2
0t xx u a u -=，0
x u At ==，0
0t u
==。
10. 在一维半无界空间中求解2
0t xx u a u -=，0
()x u f t ==，0
()t u x ?==。 11. 在一维半无界空间中求解2
0t xx u a u -=，0()x
x u q t ==，0
0t u
==。
12. 例7研究三维无界空间中的受迫振动是从初始(0)t =状况推算以后(0)t >的状况。试重新求解例7，从初始状况(0)t =反推以前(0)t <的状况。
13. 试用降维法由泊松公式（13.1.4）推出一维波动的达朗贝尔公式（7.4.7）。
§13.2 拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换方法适于求解初值问题，不管方程及边界条件是否为齐次的。
例1 求解硅片的恒定表面浓度扩散问题。把硅片的厚度当作无限大，这是半无界空间的定解问题
20000(0),,0.t xx x t u a u x u N u ==?-=>?
=??=?
解 对泛定方程和边界条件施行拉普拉斯变换，至于初始条件则通过导数定理（6.2.12）而考虑到。变换的结果是
2000(0),1
.xx x pu a u x u N p =?-=>?
?=??
式中u 是x 的函数，p 则作为参数而进入u ，即(;)u u x p =
这个常微分方程的通解是
(;).x a
x u x p Ae =+
考虑到lim x u →∞
不应为无限大，积分常数B 定为零。又，利用边界条件定出积分常数
1A N p
=。于是，01(;)x u x p N e
p =。
进行反演。由附录二的公式18，得
0(;)u x t N erfc = 本例即§13.1例5，可对照。
例2 求解无界弦的振动2
000,
(),().
tt xx t t t u a u u x u x ?ψ==?-=??==??
解 对泛定方程施行拉普拉斯变换，初始条件通过二阶导数定理（6.2.12）而考虑到。变换
的结果是
220.xx p u p a u ?ψ---=
这个非齐次常微分方程的通解是
[][]//()()11(;)()()()().22p a p a x x px a
px a
px a px a e e u x p Ae
Be
e p d e p d a p a p
ξξψξ?ξξψξ?ξξ---=+-+++?? 考虑到lim x u →∞
不应为无限大，积分常数A 定为零；lim x u →-∞
也不应为无限大，积分常数B 也
定为零。为了保证积分收敛，第一个积分的下限取为∞，第二个积分的下限则取为-∞。这
样，
[][]()/()/()/()/()/()/11(;)()()()()221111()()()().2222p x a p x a
x x p x a p x a p x a p x a
x x x x e e u x p p d p d a p a p
e e e e d d p d p d a p a p a p a p ξξξξξξψξ?ξξψξ?ξξ
ψξξψξξ?ξξ?ξξ----∞-∞--------∞∞-∞-∞=-+++????=+++????????
??????
第二个[]跟第一个[]相比较，()?ξ代替了()ψξ，并且多了一个因子p 。因此，先对第
一个[
]进行反演，得到原函数之后，把ψ改为?并对t 求导就得第二个[]的原函数。
运用延迟定理于
1
()H t p
=， ()()
()/1,
()0
.p x a x at e x H t x at p a ξξξξ--<+?-?
=-=?>+??
于是，
()/11()().22p x a x at
x x e d d a p a
ξψξξψξξ--∞+=?? 同理，
()/11()().22p x a x x x at
e d d a p a ξψξξψξξ---∞-=??
这样，完成反演
[]1111(,)()()()()().2222x at x at x at
x at x at x at u x t d d d x at x at a t a a ψξξ?ξξψξξ??+++---???=
+=+++-?????
??? 这就是达朗贝尔公式（7.4.7）。
例3 求解无限长传输线上的电报方程()000,
(),().t tt xx t t t RGU LG RC U LCU U U x U x ==?+++-=??=Φ=ψ??
解 像§7.3末尾那样，作函数变换
()2,(,),LG RC LC
U x t e
u x t +-=
定解问题转化为
22
000,
(),(),
tt xx t t t u a u b u u x u x ?ψ==?--=??
==?? 其中
()2211
,,()(),2
a b LG RC a x x LC ?=
=-=Φ ()()().2LG RC
x x x LC
ψ+=ψ+Φ
对泛定方程施行拉普拉斯变换，初始条件通过导数定理（6.2.12）而考虑到。变换的结果是
2220.xx
p u p a u b u
?ψ----=
这个非齐次常微分方程的通解是
]]()()11(;)()()()().22x x u x p Ae Be p d p d a a ψξ?ξξψξ?ξξ-=+-
+++?? 考虑到lim x u →∞
不应为无限大，积分常数A 定为零；lim x u →-∞
也不应为无限大，积分常数B 也
定为零。为了保证积分收敛，第一个积分的下限取为∞，第二个积分的下限则取为-∞。这
样，
]
]
11
(;)()()()()
22
1111
()()()( 2222
x x
x
x x
u x p p d p d
a a
d d p d p
a a a a
ψξ?ξξψξ?ξξ
ξξξξ?ξξ?∞∞
=-+++
??
??
=+++
??
??
??
??
???).
x
d
ξξ
??
??
??
??
??
?
第二个[]跟第一个[]相比较，()
?ξ代替了()
ψξ，并且多了一个因子p。因此，先对第一个[]进行反演，得到原函数之后，把ψ改为?并对t求导就得第二个[]的原函数。
由附录二的公式30，
2
x
I b t
H t
a
ξ
?-
??
=--
? ?
??
??
于是，
11
()().
22
x at
x x
d I
d
a a
ξξψξξ
∞+
=
??
同理，
11
()().
22
x x
x at
d I d
a
a
ξξψ
ξξ
-
=
??
这样，完成反演
[]
00
00
11
(,)()()
22
11
()()()() 222
x at x at
x at x at
x at x
x at x at
u x t I d I d
a t a
bt
I d x at x at
a
ψξξ?ξξ
ψξξ???ξ++
--
++
--
???
=+??
???
=+++-+
??
?.
at
dξ
?
习题
1. 求解一维无界空间中的扩散问题即20
t xx
u a u
-=，
()
t
u x
?
=
=。
2. 求解硅片的限定源扩散问题。把硅片的厚度当作无限大，这是半无界空间的定解问题
20
t xx
u a u
-=，
x x
u
=
=，
00
(0)
t
u x
δ
=
=Φ-。[本题即§13.1例4，可对照。]
3. 求解一维无界空间中的有源输运问题2(,)
t xx
u a u f x t
-=，
t
u
=
=。[本题即§13.1例3，可对照。]
4. 求解一维半无界空间的输运问题20
t xx
u a u
-=，
t
u
=
=，边界条件是
()
x
u f t
=
=。[本题为§13.1习题10的一部分，可对照。]
5. 求解无界弦的受迫振动2
(,)tt xx u a u f x t -=，0
()t u
x ?==，0
()t
t u x ψ==。
常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 000)(≥
二维有限差分析是求解两个变量的拉普拉斯方程的一种近似方法，这种方法的要点如下： 在平面场中，将平面划分成若干正方形格子，每个格子的边长都等于h ，图13-10表示其中的一部分，设0点的电位为V 0，0点周围方格顶点的电位分别为V 1、V 2、V 3和V 4。现在来推导一个用V 1、V 2、V 3和V 4表示V 0的公式： 图13-10 已知平面场的电位满足两个变量的拉普拉斯方程： 0222 2=??+??y V x V 其中 h x V x V x V x x V c a ??- ??≈??? ??????= ??0 22 但是 h V V x V h V V x V c a 30 01 ,-≈??-≈ ?? 所以 2 30013 0010 2 2h V V V V h h V V h V V x V +--≈-- -≈?? 同理 2 4 0020 2 2h V V V V y V +--≈ ?? 将上面两个方程相加一起得： 042 43212222=-+++≈??+??h V V V V V y V x V 由上面方程推出：)(4 1 43210V V V V V +++≈ (13.47) 该式说明0点的电位近似等于相互垂直的方向上和0点等距离的四个点上的电位平均值，距离h 愈小则结果愈精确，方程（13.47）是用近似法求解两个变量拉普拉斯方程的依据。 然而，V 0和V 1、V 2、V 3、V 4都是未知值，这种情况下需要按照方程（13.47）写出每一点的电位方程，然后求这些方程的联立解。 求解时较简便的方法是选代法，这种方法可求出平面场中各点电位的近似值。 图13-11表示一个截面为正方形的导体槽，槽的顶面与侧面相互绝缘，顶面的电位为
题目: 变换法在求解常微分方程中的应用姓名: 学院: 数学与统计学院 专业: 数学与应用数学 年级班级: 2011级1班 指导教师: 刘伟 2015年 5 月 31 日
毕业论文（设计）作者声明 本人郑重声明:所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。 本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定,同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。 本毕业论文内容不涉及国家机密。 论文题目:变换法在求解常微分方程中的应用 作者单位:数学与统计学院 作者签名: 2015 年5 月31 日
目录 摘要 (1) 引言 (2) 1．在一阶方程中的应用 (3) 1.1变量分离方程 (3) 1.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程： (3) 1.3一阶线性方程 (7) 1.4几种特殊类型的一阶常微分方程 (8) 1.5伯努利方程 (9) 1.6黎卡提方程 (10) 2．在n阶微分方程中的应用 (10) 2.1 在n阶非齐次线性微分方程 (10) 2.2 非齐次线性微分方程 (12) 3．变系数齐次方程 (13) 3.1尤拉方程 (13) 3.2二阶变系数线性方程 (13) 3.3三阶变系数微分方程 (14) 结束语 (14) 参考文献 (16) 致谢 (17)
变换法在求解常微分方程中的应用 摘要:变换法是常微分方程中的一种计算方法. 它可以起到简化问题的作用，变量变换思想也是一种常微分方程中的重要思想. 应用原始变量的变换与新的变量代换, 使原始方程的类型相对简单的解决方案，从而达到解决的目的. 在常微分方程中, 变换法在许多类型的常微分方程的求解中起到及其重要的作用. 本文就应用变换法在求解几类微分方程进行探究, 通过陈述理论与联系实例结合阐述变量变换法以及变量变换思想在求解常微分方程的应用. 关键词：常微分方程；变量分离；变换法； Application of transform method in solving the differential equation Abstract: Transform method is a calculation method of ordinary differential equation. It can play a role to simplify the problem, the idea of variable transformation is an important thought in ordinary differential equation. The application of the original variable transform and the new type of variable substitution, the original equation solution is relatively simple, so as to achieve the purpose of solving. In the differential equation, variable substitution plays its important role in the ordinary solution differential equations in many types of. This paper explores the solutions for several classes of differential equations on the application of variable substitution, through the statement of theory and examples combined with variable transformation method and the application of variable transformation thought in the solution of ordinary differential equations. Key Words: Ordinary differential equation;Separable variable;Transform method
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域
若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移
2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便，只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的 dt d ，2 s 代替 2 2dt d ，…就可得到。 应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下： （1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为复变量s 的代数方程（称为变换方程） （2）求解变换方程，得出系统输出变量的象函数表达式。 （3）将输出的象函数表达式展开成部分分式（部分分式展开法参见附录二）。 （4）对部分分式进行拉氏反变换（可查拉氏变换表），即得微分方程的全解。 举例说明 【例2-7】 设RC 网络如图2-24所示，在开关K 闭合之前，电容C 上有初始电压 )0(c u 。试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压c u （网络输出）。 解 开关K 瞬时闭合，相当于网络有阶跃电压0)(u t u c =·)(1t 输入。故网络微分方程为 ?? ? ??=+=?idt C u u Ri u c c r 1 消去中间变量i ，得网络微分方程为 )(t u u dt du RC r c c =+ （2-44） 对上式进行拉氏变换，得变换方程 )()()0()(s U s U RCu s RCsU r c c c =+- 将输入阶跃电压的拉氏变换式s u s U r 0)(= 代入上式，并整理得电容端电压的拉氏变换式
拉普拉斯变换公式总结Newly compiled on November 23, 2020
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ --==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞--∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域 若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质
（1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+?式中0(1)(0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换 若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()s f at F a a ζ= （a >0） （7） 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s + +→→∞ == （8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞ →∞ = （9） 卷积定理 若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*= 12121[()()][()()]2f t f t F s F s j ζπ= *= 121 ()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞ -∞ -? 3. 拉普拉斯逆变换 （1） 部分分式展开法
拉普拉斯方程 一、概念：一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 二、在数理方程中 拉普拉斯方程为：，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
三、方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 四、二维方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： Δu =δ2u/δu2+δ2u/δy2=0 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程
拉普拉斯变换是解常系数线性微分方程中经常采用的一种较简便的方法.其基本思想是,先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程,求出代数方程的解,再通过逆拉普拉斯变换,得到所求数值问题的解. 一拉普拉斯变换的概念 定义设函数f(t)的定义域为[0,+∞),若广义积分∫0+∞f(t)e-pt dt对于p在某一范围内的值收敛,则此积分就确定了一个参数为p的函数,记作F(p),即F(p)=∫0+∞f(t)e-pt dt函数F(p)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为f(t)的象函数),表示为F(p)=L[f(t)]. 若F(p)是f(t)的拉氏变换,则称f(t)为F(p)的拉氏逆变换(或F(p)的象原函数),记作L-1[F(p)]. 例1 求指数函数f(t)=e at(t≥0,a是常数)的拉氏变换. 解根据定义,有L[e at]=∫0+∞e at e-pt dt=∫0+∞e-(p-a)t dt 这个积分在p＞a时收敛,所以有 L[e at]=∫0+∞e-(p-a)t dt=1/(p-a) (p＞a) (1) 例2 求一次函数f(t)=at(t≥0,a是常数)的拉氏变换. 解L[at]=∫0+∞ate-pt dt=-a/p∫0+∞td(e-pt) =-[at/p e-pt]0+∞+a/p∫0+∞e-pt dt 根据罗必达法则,有 lim t0+∞(-at/p e-pt)=-lim t0+∞at/pe pt=-lim t0+∞a/p2 e pt 上述极限当p＞0时收敛于0,所以有lim t0+∞(-at/pe-pt)=0 因此L[at]=a/p∫0+∞e-pt dt
=-[a/p2e-pt]0+∞=a/p2(p＞0) (2) 例3 求正弦函数f(t)=sinωt(t≥0)的拉氏变换. 解L[sinωt]=∫0+∞sinωte-pt dt =[-1/(p2+ω2) e-pt(psinωt+ωcosωt]0+∞ =ω/(p2+ω2) (p＞0) (3) 用同样的方法可求得 L[cosωt]=p/(p2+ω2) (p＞0) (4) 二拉普拉斯变换的基本性质 三拉普拉斯变换的逆变换 四拉普拉斯变换的应用 2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么求
變換解微分方程 題過程: 分方程 題 02///=--y y y …..(*) 0)0(,1)0(/==y y 式等號兩邊做拉普拉斯變換 L {=--}2///y y y L }0{ 性性質，得 L {}//y - L {}/y -2 L {0}=y 2L {)}(t y -s y sy --)0()0(/L 2)0()}({-+f t y L 0)}({=t y 始條件，得L )}({t y 之代數方程 2s L )}({t y s -L 2)}({-t y L 1)}({-=s t y --------- (a) 數方程(a)，得 簡 單 L 1-L ODE L {})()(s t y 之代數方程或低階ODE )(t y L {})()(s t y
L )}({t y 21 2---=s s s 上式兩邊做反拉普拉斯變換，得 =) L -1 {L {)(t y }}= L -1 ??????---212s s s ??? ??++??? ??-11322131s s 及L {} at e = a s -1 ， 解為 =)t 31 L -1 ??????-21s + 32 L -1 ??????+11s 31= +t e 2 32 t e - 題t y y 2sin //=+ , …..(**) 1)0(,2)0(/==y y *)式等號兩邊做拉普拉斯變換 L {} =+y y // L {}t 2sin 換的微分性質以及L 22}{sin a s a at += ，得 L {}y +--)0()0(/y sy L 42 }{2+=s y 入初始條件，得L )}({t y 之代數方程 )1+L {}y 42122+=--s s --------- (b) 代數方程(b)，得 {}y ??? ??+-??? ??+++=+++++=4132113512)4)(1(6822222223s s s s s s s s s 在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得初始值問題的解為 t t t 2sin 31sin 35cos 2-+ (由 L 22}{sin a s a at += ，L 22}{cos a s s at += )
拉普拉斯变换公式总结..
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? （2） 定义域
若0 σσ>时，lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内 收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换 存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。 （3） 原函数积分 若 [()]() f t F s ζ=，则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]() at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换
收稿日期:2005212210 基金项目:辽宁省教育厅科研基金资助项目(05L415)? 作者简介:刘大卫(1964-),男,贵州贵阳人,贵州工业大学副教授? 第24卷 第2期 2006年4月 沈阳师范大学学报(自然科学版) Journal of S henyang Norm al U niversity (N atural Science ) V ol 124,N o.2Apr.2006 文章编号:1673-5862(2006)02-0166-04 正方形环域Laplace 方程的简明数值解法 刘大卫1,高 明2,3 (1.贵州工业大学基础部,贵州贵阳 550003; 2.沈阳师范大学物理科学与技术学院,辽宁沈阳 110034; 3.沈阳师范大学实验中心,辽宁沈阳 110034) 摘 要:通过正方形环域的Laplace 方程的数值求解过程,详细介绍了使用MA TLAB 求解微 分方程的方法?用MA TLAB 的M 文件,生成正方形环域,用函数numgrid 作网格划分,用函数delsq 建立五点差分格式建立并求解拉普拉斯方程第一边值问题?关 键 词:Laplace 方程;差分法;MA TLAB 中图分类号:O 175 文献标识码:A 0 引 言 Laplace 方程是解决电磁场问题中最常见的方程,在一些具有较复杂边界形状的区域中求出方程的 解析解是非常困难的[122]?因此寻求一种有效的、简明的数值解法对于解决实际问题中复杂边界区域中 的电磁场分布问题具有非常重要的实际价值?通过一个特殊的方形区域的电场分布问题介绍一种应用MA TLAB 数值求解Laplace 方程的方法? 考虑图1所示正方形环域,设区域内满足Laplace 方程Δu =0,内边界处电势u =100,外边界处电势u =0,求区域内的电势分布,易见,这是一个Laplace 方程的第一边值问题? 现用差分法求解这个问题,首先把研究区域划分为图2所示的网格,在这个划分中,除去边界点,区域被分为240个网格节点 ? 图1 正方形环域 图2 网格的划分 差分法求解的基本思想是,在网格节点上用差商代替微商,结合边界条件,把定解问题转化为以未知函数u (x ,y )在节点上的数值为未知量的线性方程组: Ax =b 其中,x 为解向量,代表函数u (x ,y )在节点上的数值?A 为系数矩阵,与网格节点的划分和编号方式有关,通常是一个大型的稀疏矩阵?b 为常数向量,由边界条件确定?对上述问题,A 为240×240阶稀疏矩阵,b 为240×1阶稀疏常数向量?下面用MA TLAB 提供的网格划分函数numgrid 和差分格式建立函数delsq 来构造系数矩阵A ?
附录A 拉普拉斯变换及反变换 419
420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ （F-1） 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可 按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
例1求指数函数f(t)=e at(t > 0,a是常数)的拉氏变换. 解根据定义，有L[e at]= j o+ e at e-pt dt= e-(p-a)t dt 这个积分在p> a时收敛,所以有 L[e at]= / T e(p-a)t dt=1/(p-a) (p > a) (1) 例2求一次函数f(t)=at(t > 0,a是常数)的拉氏变换. 解L[at]= / o+ra ate-pt dt=- a/p / o+"td(e -pt) =-[at/p e -pt ] o+ra+a/p / T e-pt dt 根据罗必达法则, 有 lim to+ °°(-at/p e )=-lim to+ °° at/pe =-lim to+ a/p e 上述极限当p> 0时收敛于0,所以有lim to+ - (-at/pe -pt )=0 因此L[at]=a/p / o+ra e-pt dt 2 -pt +m 2 =-[a/p e p ]o =a/p (p > (2) 0) 例3求正弦函数f(t)=sin 3 t(t > 0)的拉氏变换解L[sin 31]= / 0+ra sin 3 te -pt dt 2 2 -pt +m =[-1/(p +3 ) e (psin 3 t+ 3 cos3 t] 0
2 2 2 =3 /(P +3 ) (p > 0） ⑶ 用同样的方法可求得 2 2 L[cos 3t]=p/(p +3 ) (p > 0) 二拉普拉斯变换的基本性质 三拉普拉斯变换的逆变换 四 拉普拉斯变换的应用 2-5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方 程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1）,即可方便地查 得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两 部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利 用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初 始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。 而且，如果所有初始条件都为零，那么求 取微分方程的拉氏变换式就更为方便， 只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的 —,s 2 代替 dt dt 应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下: d 2 …就可得到。
拉普拉斯方程 拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。 [1] 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。 中文名 拉普拉斯方程 外文名 Laplace's equation 别称 调和方程、位势方程 提出者 拉普拉斯 关键词 微分方程、拉普拉斯定理 涉及领域 电磁学、天体物理学、力学、数学 目录 .1基本概述 .?在数理方程中 .?方程的解 .2二维方程 .3人物介绍
基本概述 一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为： ，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为： ，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子 （可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 [2] 二维方程
目录 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系0801班学生岳艳林 指导老师韩新华 摘要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质； 其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边 函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程值问题、常系数与变系数常微分方程、含 特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界 与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。 关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解
引言 傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。 1 拉普拉斯变换以及性质 拉普拉斯变换的定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分 ()st f t e dt +∞ -? (s 是一个复参量)在s 的某一区域内收 敛，则此积分所确定的函数可写为0 ()()st F s f t e dt +∞ -= ? .我们称上式为函数()f t 的Laplace 变换 式.记为()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）. 若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为1()[()]f t L F s -=[2]. Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件: 1?在0t ≥的任一有限区间上分段连续； 2?当t →+∞时，()f t 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数0M >及0c ≥，使得c ()0f t Me t ≤≤<+∞ｔ，成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c 为它的增长指数）. 则()f t 的Laplace 变换0 ()st F f t e dt +∞ -?（s ）=在半平面Re()s c >上一定存在，右端的积分在1Re()s c c ≥>的半平面内,()F s 为解析函数[2]. 拉普拉斯变换的性质 ⑴线性性质 若αβ，是常数，11[()]()L f t F s =, 22[()]()L f t F s =, 则有1212[()()][(t)]+[()]L f t f t L f L f t αβαβ+=, 1111212[()()][(s)]+[()]L F s F s L F L F s αβαβ---+=. ⑵微分性质 若[()]()L f t F s =,则有'[()]()(0)L f t sF s f =-. 高阶推广 若[()]()L f t F s =,则有2'[()]()(0)(0)L f t s F s sf f ''=--.
拉普拉斯变换公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
附录A 拉普拉斯变换及反变换 419
3．用查表法进行拉氏反变换 420
421 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
1 最全拉氏变换计算公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ