实变函数论课后答案第四章1
第四章第一节习题 1．
证明：E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数
证明：设1
()i
n
i E i f c x χ==∑，1
()i
m
i F i g d x χ==∑，这里{}1n i i E =互不相交，{}1
m
i i F =互不相交
令ij i j K E F =?，1,1i n j m ≤≤≤≤ ij i j a c d =+， 1,1i n j m ≤≤≤≤
则易知1
1
11
()()()()i
j
i j
n m n m
i E j F i j E F i j i j f g c x d x c d x χχχ?====+=+=+∑∑∑∑
先注意：若1
m i i K K ==
，i K 互不相交，则1
()()i m
K K i x x χχ==∑ （m
可为无穷大）
（x K ?∈，i ?使i x K ∈，()1()i
K K x x χχ==，
,()0K x K x χ??=，且i ?，i x K ?则()0i K x χ=）
且1
1
1
1
(())(())()((
))m m m m
c
c i i j i j i j i j j j j j E E F E F E F E F =====???=
???
1
1
1
()
((
))
((
))
1
()()()()()m
m m
i
i c
c
i j i j i j j j j m
E E
F E F E F E F j x x x x x χχ
χ
χχ
===????==+=+∑
同理：1
(
)
1
()()()m
j
i j
c
j i i n
F E F F E i x x x χχχ
=??==+∑
1
1
()()i j n m
i E j F i j f g c x d x χχ==+=+∑∑
1
1
(
)(
)1
1
1
1
(()())(()())m
m
i j i j c
c
i j j i j i n
m
m n
i E F j E F E F F E i j j i c x x d x x χχ
χχ
==????=====+++∑∑∑∑
1
1
(
)(
)11
1
1
()()()()m
m
i
j
c
c
i j j i j i n m n
m
i j E F i j E F F E i j i j c d x c x d x χχ
χ
==???=====+++∑∑∑∑
这显然还是一个简单函数，因为 若(,)(,)i j k l ≠，则()()i j k l E F E F ???=?
11((
))((
))m
m
c
c i j k j j j E F E F ==???=?，
（i k ≠） 1
1
((
))((
))m
m c
c j i k l i i F E F E ==???=?，（j k ≠）
1
1
((
))((
))m
m c
c i j k i j i E F F E ==???=?，
（,i k ?） 1
()((
))m
c i j i j j E F E F =???=?，
显然，()()()i
i
i
j
E F E F x x x χχχ?=，
事实上，i j x E F ?∈?，()()1()()i
i
i
i
E F E F x x x x χχχχ+==
若,i j i x E F x E ????或i x F ? 则()()0()i
i
i
j
E F E F x x x χχχ?==
1
1
11
(())(())()()
i j i j n m n m
i E j F i j E F i j i j f g c x d x c d x x χχχχ====?==∑∑∑∑
11
()i j n m
i j E F i j c d x χ?===∑∑
当(,)(,)i j k l ≠时
()()()()i j k l i k j l E F E F E F E F ???=???=?
则f g ?也是简单函数
1a R ?∈，显然1()()i n
i E i af x ac x χ==∑仍为简单函数
2．
证明当()f x 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时，()f x 也是
12E E ?
上的非负可测函数
证明：显然()0f x ≥于1E ，且()0f x ≥于2E 表明()0f x ≥于12E E ? 又1a R ?∈，{}{}{}1212|()|()|()E E x f x a E x f x a E x f x a ?>=>?> 由于f 在1E ，2E 上分别可测，{}1|()E x f x a >和{}2|()E x f x a >均
为
可
测
集
，
从
而
由
P61
推
论
2
，
{}{}12|()|()E x f x a E x f x a >?>={}12|()E E x f x a ?>为可测集，再由
P101Th1知f 在12E E ?上可测或直接用P104Th4的证明方法. 3．
设mE <+∞，()f x 是E 上几乎处处有限的非负可测函数，证明
对0ε>，都有闭集
F E ?，使(\)m E F ε<，而在F 上()f x 是有界的
证明：令{}0|()0E E x f x ==，{}|()E E x f x E ∞∞==，由条件f 在E 上几乎处处有限，0mE ∞=.由()f x 可测于E 上知，
{}{}0|()0|()0E E x f x E x f x =≥?≤是可测集（P103Th2,P64Th4可测集的
交仍可测）
令{};0()E E x f x +=<<+∞，1
;()k A E x f x k k
??
=≤≤????
，则
{}1;()\;()k A E x f x k E x f x k ??
=≤
k k E A +∞
+==，且1k k A A +?
由P64Th5 ()lim k k m E mA +→+∞
=，而mE <+∞，则()m E +<+∞ 故0ε?>，0k ?使0
0()2
k m E mA ε+≤-<，而0k A E +?故0
(\)2
k m E A ε
+<
由0E ，0
k A 可测，?闭集0
1k F A ?，0
1(\)8
k m A F ε
<
，?闭集00F E ?使
00(\)8
m E F ε
<
令10F F F =?，则F 为闭集，且在F 上00()f x k ≤≤ 由于E F ∞?=?，00\\(\)E F E E E F E E E F ∞+∞+=??=?? 又000001\\(\)(\)E E F E E F F E F E F +++?=???? 而0
11\(\)(\)k k E F E A A F ++??，故
00(\)(\)m E F mE m E E F F ∞+≤+??0010(\)(\)m E F m E F +≤++ 0
1(\)(\)8
82842
k k m E A m A F εεεεεε
ε+≤++≤++=+< 证毕.
4．
设{}()n f x 是可测集合E 上的非负可测函数序列，证明：如果对
任意0ε>，都有
1[|()]n n mE x f x ε∞
=><+∞∑，则必有lim ()0
.n n f x a e E →∞
=于
又问这一命题的逆命题是否成立
证明：()n f x 非负可测，令{}
0|lim ()0n n E E x f x →∞
==
则由CH1.§1习题8的证明方法：（P11,见前面的习题解答）
{}|()0x f x ≤=0111|()m k n m n
E E x f x k +∞+∞+∞
===?
?
=
≤????
（一般，{}
111|lim ()()||()()|n m n
k n m n
E x f x f x E x f x f x k +∞+∞+∞
→∞
===?
?==-≤????
） 在本题的假设下，我们需证0(\)0m E E = 由De Morgan 公式
0111111\|()|()c
m m k n m n k n m n
E E E x f x E E x f x k k +∞+∞+∞+∞+∞+∞
======???
??
?
=≤?=
>????
??
???
?? （()m f x 可测，故1|()m E x f x k ??
>???
?
为可测集）
故而0111()|()m k n m n m E E m E x f x k +∞+∞+∞===??
???
?-≤>
?? ? ??
?????
∑ 所以我们只用证11,|()0m n m n k m E x f x k +∞+∞==??
???>=?? ??
???
,k n N ??∈
1111|()|()|()m m m m n n m n m n m E x f x m E x f x E x f x k k k +∞+∞+∞+∞====??????????
>≤>≤>??????
? ????
???????∑由于1
[|()]n n mE x f x ε∞
=><+∞∑，故1lim |()0m
n m n
E x f x k +∞
→+∞
=?
?>=???
?
∑ 111|()lim |()0m m n m n n m n m E x f x E x f x k k +∞+∞+∞
→+∞===?????
?>≤>=???? ??
?????∑
故0(\)0m E E =得证，即lim ()0.n n f x a e E →∞=于
逆命题一般不成立{}1
|()n n E x f x ε+∞
=><+∞∑的必要条件是
{}lim |()0n n E x f x ε→+∞
>= 当mE =+∞时，()()n f x f x →不能推出()()n f x f x ?于E （[0,]1n χ→于1R ，但[0,]1n χ?不于1R ） 当mE <+∞时，()()
.n f x f x a e E →于，()()n f x f x ?于E
但不能保证{}1
|()n n E x f x ε+∞
=><+∞∑
5．
设mE <+∞，()f x 在E 上非负可测，证明对于任意y ，
{}|()y
E E x f x y =都是可测的，进而证明使0y mE >的y 最多有可数
多个
证明：因为()f x 在E 上可测，P103,Th2{}1,|()y R E x f x y ??∈≥都是可测集，从而
{}{}{}|()|()|()E x f x y E x f x y E x f x y ==≥?≤也是可测集
显然，1
1
[|0][|]y y k E x mE E x mE k +∞
=>=
≥
下证：k N ?∈，1[|]y E x mE k
≥要么是空集，要么是有限集 事实上，若0k ?使0
1
[|]y E x mE k ≥为无限集，则由P18,Th1,存在可数集
120
1
,,
,,
[|]n y y y y E x mE k ?≥
由于i j y y ≠时i
j
y y E E ?=?，
1
i y i E E +∞=?，1
1
1
1
(
)i i y y i i i mE m E mE k +∞+∞+∞
===+∞≥≥=≥=+∞∑∑
矛盾 6．
证明：如果()f x 是n R 上的连续函数，则()f x 在n R 任何可测子集
E 上都可测.
证明：1a R ?∈，则从()f x 是n R 上的连续函数，我们易知
[|,()]n a F x x R f x a =∈<是开集.事实上若0a x F ∈，0()f x a <
则从()n f C R ∈，0δ?>使0(,)x B x δ?∈，
00()()(())f x f x a f x a <+-=
则0(,)a B x F δ?，故a F 是开集，从而可测.
而E 可测，故[|()]a E x f x a F E =<=?作为两个可测集的交也可测，这说明()f x 在E 上可测（P103,Th2）. 7．
设()f x 是1R 可测集E 上的单调函数，证明()f x 在E 上可测.
证明：不妨设()f x 在E 上单调不减，即12,x x E ?∈，若12x x <，则
12()()f x f x ≤
1a R ?∈，我们来证明[|()]E x f x a =≤是可测集，这样由本节定理2知()f x 可测于E （P103）.
若1a R ∈使得[|()]a E x f x a ≤=?，则显然a E 可测
若1a R ∈使得a E ≠?，此时若令0sup a y E =，则要么0y =+∞，要么0y <+∞
（1） 若0y =+∞，则,M a M M y E ??<∈，故,x x E M ?∈?使
x M a y x E >∈，
由()f x 在E 上单调不减，我们有()()x
M f x f y a ≤≤，即a E E E ??，
从而a E E =为可测集
（2） 若0y <+∞，则要么0y E ∈，要么0y E ?
若0y E ∈，则0()f y a ≤，此时0(,)x E y ?∈?-∞，
0,x a x y E x y y ?∈<<，由()f x 单调不减于E 知，()()x f x f y a ≤<
故0(,)a E y E ?-∞?，而0a y E ∈，从而有
00(,](,]a E y E E y ?-∞???-∞，故0(,]a E E y =?-∞为可测
集.
若0y E ∈，而0()f y a >，0a y E ?，则0(,)x y E ?∈-∞?，
0,x a x y E x y y ?∈<<0x x y y <<，()()x f x f y a ≤<
则00(,)(,)a y E E y E -∞???-∞? 即0(,)a E y E =-∞?为可测集.
若0y E ?，则0a y E ?，同样可证0(,)a E E y E =?-∞?可测.
若()f x 单调不增，则()f x -在E 上单调不减，从而可测，故
(())()f x f x --=在E 上可测.
8．证明n R 中可测子集E 上的函数()f x 可测的充要条件是存在E 上的一串简单函数()m x ψ使()lim ()m m f x x ψ→+∞
= （x E ∈）
证明：（1）E 上的简单函数是可测的； 设1
()()i
m i E i x c x ?χ==∑为E 上的简单函数，1
,m i i i E E E ==
互不相交，i
E 为E 的可测子集，易知，,()i
E i x χ?是可测的（()
F x χ可测F ?是可测集） 故由P104Th5，()i
i E c x χ可测，1
()i
m
i E i c x χ=∑可测，
由此，若存在E 上的一串简单函数()m x ψ， ()lim ()m m f x x ψ→+∞
= （x E ∈）
则从{}()m x ψ可测，且lim ()m m x ψ→+∞P107推论2，()f x 在E 上可测 （2）若()f x 可测，则由P107Th7，,f f +-都是非负可测的，故由定义存在简单函数列()n x ?+，()n x ?-，（1,2,n =），()
()n x f x ?++，
()
()n x f x ?-- （x E ∈）
显然，()n x ?--也是简单函数，由本节第一题，()()()n n n x x x ψ??+-=-仍为简单函数，且
()()n x f x ψ→ （x E ∈）.证毕.
9．
证明：当1()f x 是1p E R ∈，2()f y 是2q E R ∈中的可测函数，且
12()()f x f y ?在12E E E =?上几乎处处有意义时，12()()f x f y ?是E 上的可
测函数.
证明：（1）若p E R ∈，q F R ∈分别是p R ，q R 中的可测集，则函数
(,)()()E F f x y x y χχ=是p q R R ?上的可测函数，事实上，
1a R ?∈，
若0a <，则{}(,)|(,)p q p q x y R R f x y a R R ∈?>=?是可测集 若1a ≥，则{}(,)|(,)p q x y R R f x y a ∈?>=?是可测集 若01a ≤<，则{}(,)|(,)p q x y R R f x y a E F ∈?>=?是可测集（P72Th1）
(1) 推出(2): 1c R ?∈,p E R ∈可测,q F R ∈可测，则
()()E F c x y χχ在p q R R ?上可测.
现在来证明本题结论：1()f x 在1E 上可测，故由本节第8题结论，存在1E 上的简单函数列()()1
()()n n i
m n n i E i x a x ?χ==∑，()11
n
m n i i E E ==∑，
()()n n i j E E ?=?（当i j ≠）
使得1()()n x f x ?→，1x E ?∈
同样，从2f 在2E 上可测知，存在2E 上的简单函数列()n y ψ，使
2()()n y f y ψ→于2E 上.
从上述（1）（2）知，()()n n x y ?ψ在p q R R ?上可测，且 12()()()()n n x y f x f y ?ψ→于12E E ?上 由上P107推论2知12()()f x f y 在p q R R ?上可测. 证法二（更简单）将1()f x ，2()f y 看成(,)x y 的函数
1a R ?∈，{}{}121112(,)|()(,)|()E E x y f x a E x y f x a E ?>=>?
从1()f x 在1E 上可测知，{}11(,)|()E x y f x a >为p R 中的可测集，
2E 可测，故
{}112(,)|()E x y f x a E >?为p q R R ?中的可测集，故{}
121(,)|()E E x y f x a ?>
为p q R R ?中的可测集，则1()f x 作为12E E E =?上的函数是可测的
同理，2()f y 在E 上也可测，P104Th5得12()()f x f y ?在E 上也可测. 10． 证明：如果()f x 是定义于n R 上的可测子集E 上的函数，则()
f x 在E 上可测的充要条件是对1R 中Borel 集合B ，1()[|()]f B E x f x B -∈都是E 的可测子集，如果()f x 还是连续的，则1()f B -还是Borel 集（提示：用1B 表示1R 中那些使1()f B -是E 上的可测子集的B 所构成的集合族，比较1B 和1R 中的Borel 集合类B ）.
证明：记{}11|()B R f B E -=?是上的可测子集1B ，我们来证明1B 是一个σ-代数
1）?∈1B ：1()f -?=?显然是E 的可测子集 2）若A ∈1B ，1()f A -是E 的可测子集，则
1111111 ()(\)()\()\()c f A f R A f R f A E f A -----===也是E 的可测子集（P61推论1） 则c A ∈1B 3）若i A ∈1B ，（1,2,i =）
则i ?，1()i f A -是E 的可测子集， 1
1
1
1
(
)()i i i i f A f A +∞
+∞
--===
也是E 的可测子集，故
1
i i A +∞=∈1B
故1B 是一个σ-代数
现在，若1:f E R →是一可测函数，则
1(,)[|()][|()][|()]f a b E x a f x b E x f x b E x a f x -=<<=
故1B 包含所有的1R 上的开集（由一维开集的构造），从而包含
所有的Borel 集，这就证明了?Borel 集，1()f B -是E 的可测子集 反过来，若?Borel 集，1()f B -是E 的可测子集，则由于1a R ?∈，(,)a -∞为开集，
故是Borel 集知1(,)[|()]f a E x f x a --∞=<为可测集，故f 是E 上的可测函数.
令{}11|()B R f B Borel -=?为集2B ，则一样：（1）?∈2B ；（2）
,c A A ∈∈22B B ；
（3）121
,,,
i i A A A +∞=∈∈22B B ，故2B 也是一个σ-代数
若f 连续，则(,)a b ? （1,a b R ∈?+∞）1(,)f a b -是开集（相对于E ）,从而是Borel 集，故(,)a b ∈2B ，从而2B 包含所有的Borel 集，故?Borel 集B ，1()f B -同样为Borel 集
若:n n f R R →的同胚，则f 将Borel 集映为可测集
11．设()f x 是E 上的可测函数，()g y 是1R 上的连续函数，证明：[()]g f x 是E 上的可测函数（注意：如果()f x 在n R 上连续，()g y 在1R 上可测，
[()]g f x 未必可测，特别是()f x ，()g y 都可测时，[()]g f x 未必可测）
证明：1a R ?∈，从g 连续知，1(,)g a -+∞显然为1R 上的开集，由1R 上的开集的构造定理知（本书上只证了有界开集，事实上，无界开集也有类似的构造），?至多可数个互不相交的开区间n I 使1
1
(,)m n n g a I -=+∞=
（m 有限或+∞）
而1
f -保持集合关系不变，即1
11
1
()()m m n n n n f I f I --===
，而f 可测，
故1
()n f I -可测，故1
1
()m
n n f I -=可测，从而有
1111
11
1
[|(())]()(,)((,))(
)()m m
n n n n E x g f x a g f a f g a f I f I -----==>=+∞=+∞==
可测，故()g f x 是E 上的可测函数
存在反例：《实分析中的反例》，可测函数f 和连续函数g 构成不可测的复合函数f g
设E 是[0,1]中具有正测度的Cantor 集，令 ([0,]([0,1]\))
()([0,1]\)
m x E x m E ??= （无处稠密完备集
P70,习题1）
则?是由[0,1]到[0,1]上的一个同胚映射，P54习题3的证明过程中（见周民强书P84），已知，若*m E <+∞，[,]E a b ?，*([0,])m x E ?是[,]a b 上的连续函数
故从[0,1]\[0,1]E ?知，([0,]([0,1]\))
()([0,1]\)
m x E x m E ??=
是连续函数：
[0,1]
[0,1]
(0)0,(1)1??==且?是严格递增的
因E 是完备集，故E 是自密闭集，[0,1]\E 是相对开集（或c E 是开集），
[0,1]\[0,1]c E E =?，[0,1]c E ?是开集
,[0,1]x y ?∈，y x >
1
()()[([0,]([0,1]\))([0,]([0,1]\))]
([0,1]\)
y x m y E m x E m E ??-=?-?
1
[(,]([0,1]\)]([0,1]\)
m x y E m E =
?
1
[(,)((0,1)\)]([0,1]\)
m x y E m E ≥
?
注意：E 是无处稠密集，故(,)z x y ?∈，使z E ?，(0,1)\z E ∈，
(,)((0,1)\)z x y E ∈?
由于(,)((0,1)\)x y E ?为开集，故0δ?>，使(,)(,)([0,1]\)z z x y E δδ-+?? 则[(,)((0,1)\)](,)20m x y E m z z δδδ?≥-+=>
故()()y x ??>，即()y ?严格单调，从而[0,1]到[0,1]上的一个同胚映射
设(0,1)\E 这一有界开集可写成互不相交的构成区间的并，
1
(0,1)\(,)k k k E αβ+∞
==
，从而1
([0,1]\)((0,1)\)()k k k m E m E βα∞
===-∑，又因为
([0,]([0,1]\))([0,]([0,1]\))
()()([0,1]\)
k k k k m E m E m E βα?β?α?-?-=
[(,]([0,1]\)]
([0,1]\)
k k m E m E αβ?=
[(,)((0,1)\)]()()
([0,1]\)([0,1]\)
k k k k m E m E m E αβ?β?α?-=
=
故以从?是同胚，1
[([0,1]\)][((,))]k k k m E m ??αβ+∞
==
1((),())k k k m ?α?β+∞=??
= ???
1
(()())k k k ?β?α∞
==-∑1
()
1([0,1]\)
k
k k m E β
α∞
=-=
=∑
注意：()([0,1]\)[0,1][0,1]E E ????==，且()([0,1]\)E E ???=? 就得()[0,1](([0,1]\))1(([0,1]\))110m E m m E m E ???=-=-=-=
（()E ?也是完备疏集，则同胚不能保证测度的等号！）
又0mE >，故由P66第二题的解答最后知，设A 是E 的一个不可测子集（A 总是存在的！）
由于()()A E ???，()0m E ?= 则()0m A ?=，()A ?可测，而1()A A ??-=不可测.令()B A ?=，并在[0,1]上如下定义函数
1:(){0[0,1]\x B f f x x B
∈=∈
则f 是[0,1]上的可测函数，又g ?=是[0,1]到[0,1]上的连续函数，然而复合函数
1[()][()]{0[0,1]\x A
f g x f x x A
?∈==∈是不可测集A 的特征函数
所以，它是一个不可测的函数.
12.证明：若12()(,,,)n f x f x x x =是n R 上的可微函数；则 12(,,,),1,2,
,n i
f x x x i n x ?
=?
都是n R 上的可测函数.
证明：只证1i =的情形，其它一样证 ()f x 在n R 上可微，故0n x R ?∈， 000
1200
1
(,,
,)()
lim
()|n y x h f x h x x f x f y h
x =→+-?
=
? 故从0
lim ()()0,()()n
n n a h g x g x a g x g x →=??→→这一原则知，n x R ?∈
000
12001
1(,,,)()()lim
lim [()()]1
n m m m f x x x f x m f x m g x f x x m
→+∞→+∞+
-?
==-?这里
121()(,,,)m n g x f x x x m
=+，由于f 可微，f 连续，故()m g x 是连续的，从而可测，又f 连续，故[()()]m m g x f x -可测，故其逐点收敛的极限1
()f x x ?
?也是可测的.
第四章 静态场的解 练习题 1、设点电荷q 位于金属直角劈上方，其坐标如右图所示，求 （1） 画出镜像电荷所在的位置 （2） 直角劈内任意一点),,(z y x 处的电位表达式 （3） 解：（1）镜像电荷所在的位置如图1所示。 （2）如图2所示任一点),,(z y x 处的电位为 ??? ? ??-+-= 4321011114r r r r q πεφ 其中， ()()()()()()()()2 22422 232 2222 22121212121z y x r z y x r z y x r z y x r +-++= ++++=+++-=+-+-= 2、 两个点电荷Q +和Q -位于半径为a 的接地导体球的直径延长线上，距球心均为 d 。证明镜像电荷构成一位于球心的电偶极子，且偶极矩大小为232d Q a 。 证明：由点电荷的球面镜像法知，＋Q 和－Q 的镜像电荷Q Q ''',分别位于球内＋Q 和－ Q 连线上大小分别为Q D a μ，且分别距球心为D a 2（分别位于球心两侧）。可见Q Q ''',构 成电偶极子，由电偶极距的定义式得偶极距的大小为： 图1 图2 q - q +q -
2 322D Q a D a Q D a ql p =?==。结论得证。 3、已知一个半径为a 的接地导体球，球外一个点电荷q 位于距球心O 为d 处。利用镜像法求球外空间任意点的电位分布。 解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷q '必定位于球内，且在q 与球心0连线上，位置在距离球心设为f 处。建立直角坐标系，由边界条件(?球）=0可取球面上两个特殊点B A ,讨论。B A ,是q 与球心0连线所对应的直径与球面的两个交点。由图示及点电荷的电位公式得： 0)(4)(4)(00=+' ++= f a q a d q A πεπε?， 0) (4)(4)(00=-' +-= f a q a d q B πεπε?。 解此方程组得：d a f q d a q 2 ,=-='。 所以任意场点),(y x P 处的电位为： r q r q ' '+ = 0044πεπε?。 其中r r ',分别是点电荷q 和q ' 到场点P 的距离。 值分别为21 2221 22])[(,])[(y f x r y d x r +-='+-=。 4、半径为a 的不接地导体球附近距球心O 为d （?d a ）处有一点电荷q ，用镜像法计算 球外任一点的电位。 解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷除了有q '（即导体球接地时对应的结果， q d a q -='，其位置为d a f 2=），还在球心处有另外一个镜像电荷q ''，以保证导体球面电 势不为零的边界条件成立，且可知q q '-=''。 所以任意场点P 处的电位为： r q r q r q ' '''+ ' '+ = 000444πεπεπε?
实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零， 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=?<< ， 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.
中北大学概率统计习题册第四章完整答案 (详解)
1. 填空 1）设~(,)X B n p ,则EX =np ，DX = npq 。 2）设~()X P λ,则EX =λ， DX =λ。 3）设~()X E λ,则EX = 1λ ，DX = 2 1 λ。 4）设[]~,X U a b ,则EX = 2 a b +，DX = () 2 12 b a -。 5)设2~(,)X N μσ,则EX =μ， DX =2σ。 6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)X Y N ,则 EX =1，DX = 1 ，EY = 2，DY = 9 ，(,)Cov X Y = 1.5 。 7）已知螺钉的重量服从()250, 2.5N ，则100个螺钉总重量服从分布()5000, 625N 。 2. 已知在一定工序下，生产某种产品的次品率0.001。今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。 解：设X 表示5000件产品中的次品数，则 ()~5000,0.001X B 。 50000.0015λ=?=，则 ()()()2100P X P X P X ≥=-=-= 5000499910.99950000.0010.999=--?? 0155 5510!1! e e --≈--10.006740.033690.95957=--= 注：实际上 5000499910.99950.9990.95964--?= 3. 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。 解：设进货数件数为N ，当月销售需求为X ，则由题意知()~7X P ，且 {}7 07e 0.999! k N k P X N k -=≤=≥∑ 查泊松分布的数值表，可得16N ≥. 4 . 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。 解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为X ；其数学期望和 分别为()~[0,5]X U ， 52EX = ；2512 DX =。 5.设(){ }3.02010,,10~2=< 习题 1．选择题 （1）设A、B两个数据表的记录数分别为3和4，对两个表执行交叉联接查询，查询结果中最多可获得（C ）条记录。 A．3 B. 4 C. 12 D. 81 （2）如果查询的SELECT子句为SELECT A, B, C * D，则不能使用的GROUP B子句是（ A ）。 A．GROUP BY A B．GROUP BY A,B C．GROUP BY A,B,C*D D．GROUP BY A,B,C,D （3）关于查询语句中ORDER BY子句使用正确的是（ C ）。 A．如果未指定排序字段，则默认按递增排序 B．数据表的字段都可用于排序 C．如果在SELECT子句中使用了DISTINCT关键字，则排序字段必须出现在查询结果中 D．联合查询不允许使用ORDER BY子句 （4）在查询设计器中，不能与其他窗格保持同步的是（D ）。 A．关系图窗格 B. 网格窗格 C．SQL窗格 D. 结果窗格 （5）下列函数中，返回值数据类型为int的是（B）。 A．LEFT B. LEN C．LTRIM D. SUNSTRING 2．填空题 (1) 在启动查询分析器时，在登录对话框中可使用（Local）作为本地服务器名称。 (2) 查询分析器窗口主要由对象浏览器和（查询）窗口组成。 (3) 从Windows“开始”菜单启动查询分析器后，默认数据库为（master）。 (4) 以表格方式显示的查询结果保存为（导出）文件，其文件扩展名为（csv）；以文本方式显示的查询结果保存为（报表）文件，其文件扩展名为（rpt）。 (5) 可使用（PRINT）或（SELECT）语句来显示函数结果。 (6) 在查询语句中，应在（SELECT）子句中指定输出字段。 (7) 如果要使用SELECT语句返回指定条数的记录，则应使用（TOP）关键字来限定输出字段。 (8) 联合查询指使用（UNION）运算将多个（查询结果）合并到一起。 (9) 当一个子SELECT的结果作为查询的条件，即在一个SELECT语句的WHERE子句中出现另一个SELECT语句，这种查询称为（嵌套）查询。 (10) 连接查询可分为3种类型：（内连接）、（外连接）和交叉连接。 3．问答题 (1) 在SELECT语句中，根据列的数据对查询结果进行排序的子句是什么？能消除重复行的关键字是什么? (2) 写出与表达式“仓库号NOT IN('wh1','wh2')”功能相同的表达式。用BETWEEN、AND形式改写条件子句WHERE mark> 550 AND mark<650。 (3) 在一个包含集合函数的SELECT语句中，GROUP BY子句有哪些用途? 实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上 的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有 限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数 显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积 由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可 测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式 证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性 质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明 证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时, 第四章课后思考题及参考答案 1、为什么说资本来到世间，从头到脚，每个毛孔都滴着血和肮脏的东西？ [答案要点]资本来到世间，从头到脚，每个毛孔都滴着血和肮脏的东西。资本主义的发展史，就是资本剥削劳动、列强掠夺弱国的历史，这种剥夺的历史是用血和火的文字载入人类编年史的。在自由竞争时代，西方列强用坚船利炮在世界范围开辟殖民地，贩卖奴隶，贩卖鸦片，依靠殖民战争和殖民地贸易进行资本积累和扩张。发展到垄断阶段后，统一的、无所不包的世界市场和世界资本主义经济体系逐步形成，资本家垄断同盟为瓜分世界而引发了两次世界大战，给人类带来巨大浩劫。二战后，由于社会主义的胜利和民族解放运动的兴起，西方列强被迫放弃了旧的殖民主义政策，转而利用赢得独立和解放的广大发展中国家大规模工业化的机会，扩大资本的世界市场，深化资本的国际大循环，通过不平等交换、资本输出、技术垄断以及债务盘剥等，更加巧妙地剥削和掠夺发展中国家的资源和财富。在当今经济全球化进程中，西方发达国家通过它们控制的国际经济、金融等组织，通过它们制定的国际“游戏规则”，推行以所谓新自由主义为旗号的经济全球化战略，继续主导国际经济秩序，保持和发展它们在经济结构和贸易、科技、金融等领域的全球优势地位，攫取着经济全球化的最大好处。资本惟利是图的本性、资本主义生产无限扩大的趋势和整个社会生产的无政府状态，还造成日益严重的资源、环境问题，威胁着人类的可持续发展和生存。我们今天看到的西方发达资本主义国家的繁荣稳定，是依靠不平等、不合理的国际分工和交换体系，依靠发展中国家提供的广大市场、廉价资源和廉价劳动力，通过向发展中国家转嫁经济社会危机和难题、转移高耗能高污染产业等方式实现的。资本主义没有也不可能给世界带来普遍繁荣和共同富裕。 2、如何理解商品二因素的矛盾来自劳动二重性的矛盾，归根结底来源于私人劳动和社会劳的矛盾？[答案要点]商品是用来交换的劳动产品，具有使用价值和价值两个因素或两种属性。在私有制条件下，商品所包含使用价值和价值的矛盾是由私有制为基础的商品生产的基本矛盾即私人劳动和社会劳动的矛盾所决定的。以私有制为基础的商品经济是以生产资料的私有制和社会分工为存在条件的。一方面，在私有制条件下，生产资料和劳动力都属于私人所有，他们生产的产品的数量以及品种等，完全由自己决定，劳动产品也归生产者自己占有和支配，或者说，商品生产者都是独立的生产者，他们要生产什么，怎样进行生产，生产多少，完全是他们个人的私事。因此，生产商品的劳动具有私人性质，是私人劳动。另一方面，由于社会分工，商品生产者之间又互相联系、互相依存，各个商品生产者客观上都要为满足他人和社会的需要而进行生产。因此，他们的劳动又都是社会劳动的组成部分。这样，生产商品的劳动具有社会的性质，是社会劳动。对此，马克思指出，当劳动产品转化为商品后，“从那时起，生产者的私人劳动真正取得了二重的社会性质。一方面，生产者的私人劳动必须作为一定的有用劳动来满足一定的社会需要，从而证明它们是总劳动的一部分，是自然形成的社会分工体系的一部分。另一方面，只有在每一种特殊的有用的私人劳动可以同任何另一种有用的私人劳动相交换从而相等时，生产者的私人劳动才能满足生产者本人的多种需要。完全不同的劳动所以能够相等，只是因为它们的实际差别已被抽去，它们已被化成它们作为人类劳动力的耗费、作为抽象的人类劳动所具有的共同性质。”私有制条件下，商品生产者私人劳动所具有的这二重性质，表现为生产商品的劳动具有私人劳动和社会劳动的二重性。 生产商品的私人劳动和社会劳动是统一的，同时也是对立的。其矛盾性表现在：作为私人劳动，一切生产活动都属于生产者个人的私事，但作为社会劳动，他的产品必须能够满足一定的社会需要，他的私人劳动才能转化为社会劳动。而商品生产者的劳动直接表现出来的是它的私人性，并不是它的社会性，他的私人劳动能否为社会所承认，即能否转化为社会劳动，他自己并不能决定，于是就形成了私人劳动和社会劳动的矛盾。这一矛盾的解决，只有通过商品的交换才能实现。当他的产品在市场上顺利地实现了交换之后，他的私人劳动也就成了社会劳动的一部分，他的具体劳动所创造的使用价值才是社会需要的，他的抽象劳动所形成的价值才能实现。如果他的劳动产品在市场上没有卖出去，那就表明，尽管他是为社会生产的，但事实上，社会并不需要他的产品，那么他的产品 实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。 。习题2.1 1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；[0,1][0,1]b E E E '===?。 2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明． (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是，总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是，总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而 ()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此， 有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即 ()A B A B ?。因此，()A B A B =. 4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ． 解 令1111 {1,,,,,,}234A n =，则{0}A '=，()A ''=?. 5．试作一点集E ，使得b E E ?． 解 取E =Q ，则b E =R 。 6．证明：无聚点的点集至多是可数集． 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而 (,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠， 从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =，则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可 概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章 第四章习题解答 1．设随机变量X ～B （30， 6 1），则E （X ）＝( D ). A.6 1 ； B. 65； C.6 25； D.5. 1 ()3056 E X np ==?= 2．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E (XY )=（ A ）. A. 3； B. 6； C. 10； D. 12. ()1()3E X E Y == 因为随机变量X 和Y 相互独立所以()()()3E XY E X E Y == 3．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X 2的数学期望E (X 2)＝____18.4______． (10,0.4)()4() 2.4X B E X D X ==: 22()(())()18.4E X E X D X =+= 4．某射手有3发子弹，射一次命中的概率为3 2，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽．设表示X 耗用的子弹数．求E （X ）. 解： X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9 22113()233999 E X = +?+?= 5．设X 的概率密度函数为 , 01()2,120,x x f x x x ≤≤?? =-<≤??? 其它 求2() ,().E X E X 解：12 20 1 ()()(2)1E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞ ==+-=? ??, 12 22320 1 7 ()()(2)6 E X x f x dx x dx x x dx +∞ -∞ ==+-= ? ??. [0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B [判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1 第4章网络基础知识与Internet应用一、单项选择题 二、填空题 1．局域网、城域网、广域网或LAN、MAN、WAN 2. C、A、C 3. 127.0.0.1（本机）、255.255.255.255（限制广播）、0.0.0.0（广播） 4. Electronic Commerce, EC 5.B2B、B2C 6. Instrumented：物联化 Interconnected：互联化 Intelligent：智能化 7.感知层、网络层、应用层 8.接入（网络层）、应用（业务层） 9.硬件系统、软件系统 10.不可否任性 三、简答题 1. 计算机网络发展包括四个阶段：第一，面向终端的计算机网络；第二，计算机-计算机网络；第三，开放标准网络阶段；第四，因特网与高速计算机网络阶段。各阶段的特点：第一，面向终端的计算机网络：以单个计算机为中心的远程联机系统，构成面向终端的计算机网络。第二，计算机-计算机网络：由若干个计算机互联的系统，组成了“计算机-计算机”的通信时代，呈现出多处理中心的特点。第三，开放标准网络阶段：由于第二阶段出现的计算机网络都各自独立，不相互兼容。为了使不同体系结构的计算机网络都能互联，国际标准化组织ISO提出了一个能使各种计算机在世界范围内互联成网的标准框架―开放系统互连基本参考模型OSI。第四，因特网与高速计算机网络阶段：采用高速网络技术，综合业务数字网的实现，多媒体和智能型网络的兴起。 2.TCP/IP网络使用32位长度的地址以标识一台计算机和同它相连的网络，它的格式为：IP 地址=网络地址+ 主机地址。标准IP地址是通过它的格式分类的，它有四种格式：A类、B类、C类、D类。 3. 电子商务所涵盖的业务范围包括：信息传递与交流；售前及售后服务；网上交易；网上支付或电子支付；运输；组建虚拟企业。 4. 包括banner(网幅广告)、button广告、文字链接广告、弹出式广告(pop up window)及其它形式(如移动logo、网上分类广告等)。其中banner广告是主流形式，也被认为是最有效的。 5. 国际电信联盟( ITU)对物联网做了如下定义：通过二维码识读设备、射频识别(RFID) 装置、红外感应器、全球定位系统和激光扫描器等信息传感设备，按约定的协议，把任何物品与互联网相连接，进行信息交换和通信，以实现智能化识别、定位、跟踪、监控和管理的一种网络。 实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。 习题4-1 1. 设随机变量X 求()E X ；E (2－3 X ); 2()E X ；2(35)E X +. 解 由定义和数学期望的性质知 2.03.023.004.0)2()(-=?+?+?-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-?-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=?+?+?-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+?=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为 ,0,()0, 0.x e x f x x -?>?=???≤ 求X e Z X Y 22-==和的数学期望. 解 ()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞ -====?e d , 220 1 ()()3 X x x E Z E e e e dx ∞ ---==?= ?. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第 55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60] 上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为 1 ,060,()600, .x f x =?????≤≤其它 记Y 为游客等候电梯的时间,则 5,05,25,525,()55,2555,65, 5560. X X X X Y g X X X X X -<-<==-<- 纵联保护依据的最基本原理是什么？ 答：纵联保护包括纵联比较式保护和纵联差动保护两大类，它是利用线路两端电气量在故障与非故障时、区内故障与区外故障时的特征差异构成保护的。纵联保护的基本原理是通过通信设施将两侧的保护装置联系起来，使每一侧的保护装置不仅反应其安装点的电气量，而且哈反应线路对侧另一保护安装处的电气量。通过对线路两侧电气量的比较和判断，可以快速、可靠地区分本线路内部任意点的短路与外部短路，达到有选择、快速切除全线路短路的目的。 纵联比较式保护通过比较线路两端故障功率方向或故障距离来区分区内故障与区外故障，当线路两侧的正方向元件或距离元件都动作时，判断为区内故障，保护立即动作跳闸；当任意一侧的正方向元件或距离元件不动作时，就判断为区外故障，两侧的保护都不跳闸。 纵联差动保护通过直接比较线路两端的电流或电流相位来判断是区内故障还是区外故障，在线路两侧均选定电流参考方向由母线指向被保护线路的情况下，区外故障时线路两侧电流大小相等，相位相反，其相量和或瞬时值之和都等于零；而在区内故障时，两侧电流相位基本一致，其相量和或瞬时值之和都等于故障点的故障电流，量值很大。所以通过检测两侧的电流的相量和或瞬时值之和，就可以区分区内故障与区外故障，区内故障时无需任何延时，立即跳闸；区外故障，可靠闭锁两侧保护，使之均不动作跳闸。 4.7 图4—30所示系统，线路全部配置闭锁式方向比较纵联保护，分析在K点短 路时各端保护方向元件的动作情况，各线路保护的工作过程及结果。 ?? 答：当短路发生在B—C线路的K处时，保护2、5的功率方向为负，闭锁信号 持续存在，线路A—B上保护1、2被保护2的闭锁信号闭锁，线路A—B两侧 均不跳闸；保护5的闭锁信号将C—D线路上保护5、6闭锁，非故障线路保护 不跳闸。故障线路B—C上保护3、4功率方向全为正，均停发闭锁信号，它们 判定有正方向故障且没有收到闭锁信号，所以会立即动作跳闸，线路B—C被切 除。 答：根据闭锁式方向纵联保护，功率方向为负的一侧发闭锁信号，跳闸条件是本 端保护元件动作，同时无闭锁信号。1保护本端元件动作，但有闭锁信号，故不 动作；2保护本端元件不动作，收到本端闭锁信号，故不动作；3保护本端元件 动作，无闭锁信号，故动作；4保护本端元件动作，无闭锁信号，故动作；5保 护本端元件不动作，收到本端闭锁信号，故不动作；6保护本端元件动作，但有 闭锁信号，故不动作。 4.10 图4—30所示系统，线路全部配置闭锁式方向比较纵联保护，在K点短路 时，若A—B和B—C线路通道同时故障，保护将会出现何种情况？靠什么保护 动作切除故障？ 第4章违背基本假设的情况 思考与练习参考答案 4.1 试举例说明产生异方差的原因。 答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Y i=β0+β1X i+εi 其中：Y i表示第i个家庭的储蓄额，X i表示第i个家庭的可支配收入。 由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以εi的方差呈现单调递增型变化。 例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Y i=A iβ1K iβ2L iβ3eεi 被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项ε的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。 4.2 异方差带来的后果有哪些？ 答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 2、变量的显著性检验失去意义 3、回归方程的应用效果极不理想 总的来说，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。 4.3 简述用加权最小二乘法消除一元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。然而在异方差 的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。由OLS 求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。这样对残差所提供信息的重要程度作一番校正，以提高参数估计的精度。 加权最小二乘法的方法： 4.4简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：运用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与一元线性回归的类似。多元线性回归加权最小二乘法是在平方和中加入一个适当的权数i w ，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为： ∑=----=n i ip p i i i p w x x y w Q 1211010)( ),,,(ββββββ （2） 加权最小二乘估计就是寻找参数p βββ,,,10 的估计值pw w w βββ?,,?,?10 使式（2）的离差平方和w Q 达极小。所得加权最小二乘经验回归方程记做 22011 1 ???()()N N w i i i i i i i i Q w y y w y x ββ===-=--∑∑22 __ 1 _ 2 _ _ 02 222 ()() ?()?1 11 1 ,i i N w i i i w i w i w w w w w kx i i i i m i i i m i w x x y y x x y x w kx x kx w x σβββσσ==---=-= = ===∑∑1N i =1 1表示=或 1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ?. 证明：若() B A A B -=，则()A B A A B ?-?，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?，又x B ?∈，若x A ∈， 则 ()x B A A ∈-，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-.总有 () x B A A ∈-.故 ()B B A A ?-，从而有()B A A B -=。 证毕 2. 证明c A B A B -=. 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-， 所以c A B A B -?. 另一方面， c x A B ?∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-， 所以 c A B A B ?-. 综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理 9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 证：若x A λλ∈∧ ∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧） 成立 知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈，这说明 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 定理4中的（4）： ()()( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 证：若 () x A B λ λλ∈∧ ∈ ， 则 有 'λ∈∧ ，使 ''()( )()x A B A B λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈?. 反过来，若()( )x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈则x A λλ∈∧ ∈或者x B λλ∈∧ ∈ . 不妨设x A λλ∈∧ ∈，则有'λ∈∧使'' '()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈?? . 故( )()()A B A B λλλ λλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ? . 综上所述有 ()( )( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ = . 证：( )c x A λλ∈∧ ?∈，则x A λλ∈∧ ? ，故存在'λ∈∧ ，'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ?? 从而有( )c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 反过来，若c x A λλ∈∧ ∈ ，则'λ?∈∧使'c x A λ?，故'x A λ?， x A λλ∈∧ ∴? ，从而()c x A λλ∈∧ ∈ 第四章课后习题与参考答案 一、选择题 1．能将高级语言编写的源程序转换为目标程序的软件是（） A、汇编程序 B、编辑程序 C、解释程序 D、编译程序 2．类和对象之间的关系是（）。 A、定义和被定义的关系 B、调用和被调用的关系 C、类即是对象数组 D、抽象和具体的关系 3．下列是面向对象系统的特性的是（）。 A、封装性 B、二义性 C、可重用性 D、完整性 4．计算机能直接执行的程序是（）。 A、机器语言程序 B、汇编语言程序 C、高级语言程序 D、自然语言程序 5．下列高级语言中，能用于面向对象程序设计的语言是（）。 A、C语言 B、C++语言 C、FORTRAN语言 D、Pascal语言 6．软件生存周期中的需求分析阶段的任务是确定（）。 A、软件开发方法 B、软件开发工具 C、软件开发费用 D、软件开发系统的功能 7．程序设计语言所经历的主要阶段依次为（）。 A、机器语言、高级语言和汇编语言 B、高级语言、机器语言和汇编语言 C、汇编语言、机器语言和高级语言 D、机器语言、汇编语言和高级语言 8．关于计算机软件叙述中正确的是（）。 A、用户所编写的程序即为软件 B、源程序称为软件 C、软件包括程序和文档 D、数据及文档称为软件 9．下列叙述中，错误的是（）。 A、计算机软件是指计算机中的程序和文档 B、软件就是程序 C、系统软件是应用程序与硬件间的接口 D、为课程管理开发的软件属于应用软件 10．一个栈的输入序列为1 2 3，则下列序列中不可能是栈的输出序列的是（）。 A、2 3 1 B、3 2 1 C、3 1 2 D、1 2 3 11．在数据结构中，从逻辑上可以把数据结构分成（）。 A、动态结构和静态结构则 B、线性结构和非线性结构 C、集合结构和非集合结构 D、树状结构和图状结构 12．在软件生存周期中，能准确确定软件系统必须做什么和必须具备哪些功能的阶段是（）。 A、概要设计 B、详细设计 C、可行性分析 D、需求分析 13．软件测试的目的是（）。 A、证明软件系统中存在错误 B、找出软件系统中存在的所有错误 C、尽可能多地发现系统中的错误和缺陷 D、证明软件的正确性 14．下面叙述正确的是（）。 A、算法的执行效率与数据的存储结构无关 B、算法得空间复杂度是指算法程序中指令（或语句）的条数 C、算法得有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止数据库应用基础第4章习题参考答案
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