习题1.1
1.证明下列集合等式. (1) ;
(2) ()()()C B C A C B A \\\Y Y =;
(3) ()()()C A B A C B A I Y \\\=.
证明 (1) )()C \B (c C B A A I I I =
)()( c c C B A A B A I I Y I I =
c C A B A )()( I I I =
)(\)(C A B A I I = .
(2) c C B A A I Y Y )(C \B)(=
)()(c c C B C A I Y I =
=)\()\(C A C A Y .
(3) )(\C)\(B \c C B A A I =
c c C B A )(I I =
)(C B A c Y I =
)()(C A B A c I Y I =
)()\(C A B A I Y =.
2.证明下列命题.
(1) ()A B B A =Y \的充分必要条件是:A B ?;
(2) ()A B B A =\Y 的充分必要条件是:=B A I ?;
(3) ()()B B A B B A \\Y Y =的充分必要条件是:=B ?.
证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ====Y Y I Y Y I Y )()()()\(的充要
[条 是:.A B ?
(2) c c c c B A B B B A B B A B B A I I Y I I Y Y ===)()()(\)(
必要性. 设A B B A =\)(Y 成立,则A B A c =I , 于是有c B A ?, 可得.?=B A I 反之若,?≠B A I 取B A x I ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾.
充分性. 假设?=B A I 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c =I , 即.\)(A B B A =Y
(3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\(Y Y =, 即.\c C A B A B A I Y == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x I ? 但,B A x Y ∈ 与c C A B A I Y =矛盾.
充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \=Y 成立, 即
B B A B B A \)()\(Y Y =.
3.证明定理1.1.6.
定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且
Y ∞=∞→=1;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且I ∞
=∞
→=1.lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意
Y ∞
=∈1,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞→∈ 则.lim 1n n n n A A ∞→∞=?Y 又因为
Y ∞=∞→∞→??1,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且Y ∞=∞→=1
;lim n n n n A A
(2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于,lim n n A x ∞→∈存在)1(1≥?<+k n n k k 使得),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在
0k 使得n n k >0, 从而,0n n A A x k ?∈ 可见.lim 1I ∞=∞→?n n n n
A A 又因为,lim lim 1n n n n n n A A A ∞→∞→∞=??I 所以可知{}n A 收敛且I ∞=∞→=1
.lim n n n n A A 4.设f 是定义于集合E 上的实值函数,c 为任意实数,证明: (1) ??????+≥=>∞=n c f E c f E n 1][1Y ; (2) ??????+<=≤∞=n c f E c f E n 1][1I ; (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞→,则对任意实数c 有 ??????->=??????->=≥∞→∞=∞=∞=∞=k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111I I Y I . 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+∈Z n 使得n c x f 1)(+≥成立. 即,1??????+≥∈n c f E x 那么.11Y ∞=??????+≥∈n n c f E x 故[];11Y ∞=??????+≥?>n n c f E c f E 另一方面, 若,11Y ∞=??????+≥∈n n c f E x 则存在+∈Z n 0使得,110Y ∞=??????+≥∈n n c f E x 于是c n c x f >+≥01)(, 故[]c f E x >∈. 则有[].11Y ∞=??????+≥?>n n c f E c f E (2) 设[]c f E x ≤∈, 则c x f ≤)(, 从而对任意的+∈Z n , 都有n c x f 1)(+<, 于是I ∞=??????+<∈11n n c f E x , 故有[];11I ∞=??????+≤n n c f E c f E 另一方面, 设I ∞=??????+<∈11n n c f E x , 则对于任意的+∈Z n , 有n c x f 1)(+<,
由n 的任意性, 可知c x f ≤)(, 即[]c f E x ≤∈, 故[]I ∞=??????+≤11n n c f E c f E . (3) 设[]c f E x ≥∈, 则c x f ≥)(. 由),)(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞→ 可得对于任意的+∈Z k , 存在N 使得)(1|)()(|N n k x f x f n ≥?<-, 即)1(11)()(≥-≥->k k c k x f x f n , 即k c x f n 1)(->, 故)1(1lim ≥???????->∈∞→k k c f E x n n , 所以I ∞=∞→??????->∈11lim k n n k c f E x , 故[]I ∞=∞→??????->?≥11lim k n n k c f E c f E ; 另一方面, 设I ∞=∞→??????->∈101lim k n n k c f E x , 则对任意+∈Z k 有??????->∈∞→k c f E x n n 1lim 0. 由下极限的定义知:存在1N 使得当1N n ≥时, 有)(10+∈???????->∈Z k k c f E x n , 即对任意+∈Z k 有k c x f n 1)(0->; 又由),)(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞→ 知),()(lim 00x f x f n n =∞→ 即对任意的+∈Z k , 存在2N 使得当2N n ≥时, 有k x f x f n 1|)()(|00<-. 取},m ax {21N N N =, 则有k c x f n 1)(0->与k x f x f n 1|)()(|00<-同时成立, 于是有k c x f k x f n 1)(1)(00->>+, 从而k c x f 2)(0->, 由k 的任意性知:c x f ≥)(0, 即[]c f E x ≥∈0, 故有 []I ∞=∞→??????->?≥11lim k n n k c f E c f E ; 综上所述:[].11lim 111I YI I ∞=∞=∞=∞=∞→??????->=??????->=≥k N N n n n n n k c f E k c f E c f E 5.证明集列极限的下列性质.
(1) c n n c
n n A A ∞→∞→=??? ??lim lim _____; (2) c n n c n n A A _____lim lim ∞→∞→=??
? ??; (3) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ; (4) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim . 证明 (1) c n n n n m c m n c n m m c n n m m c n n A A A A A ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====??? ??lim )()(lim 111_____YI Y Y I Y . (2) c n n n n n m c m c n m m c n n m m c n n A A A A A _____111lim )()(lim ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====??? ??I I Y I YI . (3) ()YI Y I YI I I ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n n m n n m c m c m n n m m n n A E A E A E A E c n n m m n c n m m n n m c m A E A E A E )())(()(111I Y Y Y YI I I I ∞=∞=∞=∞=∞=∞==== I
Y ∞=∞=∞→==1lim \\n n m n n m A E A E . (4) ()I Y I Y I Y I I ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n n m c m n n m n n m c m m n n A E A
E A E A E c n n m m n c n
m m n n m c m A E A E A E )())(()(111YI I I
I Y I I I ∞=∞=∞=∞=∞=∞==== YI ∞=∞=∞
→==1lim \\n n m n n m
A E A E . 6.如果}{},{n n
B A 都收敛,则}\{},{},{n n n n n n B A B A B A I Y 都收敛且
(1) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim Y Y ;
(2) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim I I ;
(3) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim \lim \lim . 习题1.2
1.建立区间)1,0(与]1,0[之间的一一对应.
解 令
1111{,,,,}2345E =L , 111{0,1,,,}234F =L ,(0,1)\D E =, 则(0,1)E D =U ,[0,1]F D =U . 定义:(0,1)[0,1]φ→为: ;11();(1,2,)210;2x x D x x n n n x φ??∈??===?+??=??L 则φ为(0,1)[0,1]→之间的一个一一对应. 2.建立区间],[b a 与],[d c 之间的一一对应,其中d c b a <<,.
解 定义: :[,][,]a b c d φ→为:
()().([,])d c d c bc ad x x a c x x a b b a b a b a φ---=-+=+?∈--- 可以验证: :[,][,]a b c d φ→为一个一一对应.
3.建立区间),(b a 与],[d c 之间的一一对应,其中d c b a <<,.
解 令{,,,}234b a b a b a E a a a ---=+++L ,{,,,,}23d c d c F c d c c --=++L (,)\D a b E =. 定义:(,)[,]a c d φ→为: ;();(1,2.)d c bc ad x x D b a b a d c b a x c x a n φ--?+∈?--?--?=+=+=?L
可以验证: :(,)[,]a b c d φ→为一个一一对应.
4.试问:是否存在连续函数,把区间]1,0[一一映射为区间)1,0(?是否存在连续函数,把区间]1,0[一一映射为]4,3[]2,1[Y ?
答 不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为(0,1); 因为连续函数在闭区间
[0,1]存在最大、最小值.
也不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为[1,2][3,4]U ; 因为连续函数在闭区间[1,2]上存在介值性定理, 而区间[1,2][3,4]U 不能保证介值性定理永远成立.
5.证明:区间2~)1,0()1,0(~)1,0(R ?且?=2R .
证明 记(0,1)A =,则(0,1)(0,1)A A ?=?.
任取(,)x y A A ∈?, 设1231230.,0.,x a a a y b b b ==L L 为实数,x y 正规无穷十进小数表示, 并令1122(,)0.f x y a b a b =L , 则得到单射:f A A A ?→. 因此由定理1.2.2知A A A ?≤.
若令10.5A A =?, 则1~A A A A ??. 从而由定理1.2.2知: A A A ≤?. 最后, 根据Bernstein 定理知: (0,1)~(0,1)(0,1)?.
对于(,)(0,1)(0,1)x y ?∈?,定义2:(0,1)(0,1)R φ?→为:
(,)((),())22x y tg x tg y ππφππ=--,
则φ为2(0,1)(0,1)R ?→的一个一一对应,即2(0,1)(0,1)~R ?. 又因为: (0,1)~R , 则由对等的传递性知: 2(0,1)~(0,1)(0,1)~~R R ?且2R R ==?. 6.证明:{}1:),(22≤+=y x y x A 与{}1:),(22<+=y x y x B 对等并求它们的基数.
证明 令221{(,):(1,2,3,)}E x y x y n n =+==L , \D A E =, 221{(,):(1,2,3,)}1F x y x y n n =+==+L . 则,A E D B F D ==U U . 定义: :A B φ→为: 2222(,);(,),(,)11;(1,2,3,),(,).1x y x y D x y x y x y n x y E n n φ∈??=?+=+==∈?+?L 可以验证: :A B φ→为一一对应, 即~A B . 又因为
2~(0,1)(0,1)~~B R R ?, 所以 A B ==?.
7.证明:直线上任意两个区间都是对等且具有基数?.
证明 对任意的,I J R ?, 取有限区间(,)a b I ?,则(,)a b I R ?=≤≤=?, 则由Bernstern 定理知I =?, 同理J =?. 故I J ==?.
习题1.3
1.证明:平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集M 是可数集. 证明 因为有理数集Q 是可数集,平面上的三角形由三个顶点所确定,而每个顶点由两个数决定,故六个数可确定一个三角形,所以M 中的每个元素由Q 中的六个相互独立的数所确定,即Q},,,,:{621621∈=x x x a M x x x ΛΛ 所以M 为可数集.
2.证明:由平面上某些两两不交的闭圆盘之集M 最多是可数集. 证明 对于任意的M O ∈, 使得Q ∈)(O f . 因此可得:Q →M f :. 因为1O 与2O 不相交,所以)()(21O f O f ≠. 故f 为单射,从而a M =≤Q .
3.证明:(1)任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并;(2)任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并.
证明 (2) 当E 可数时,存在双射Q I )1,0(:→E f . 因为
Y I I ∞=???? ????????+=11,11)1,0(n n n Q Q 所以
Y Y I I ∞=∞=--=???? ????????+==11111,11))1,0((n n n A n n f f E Q Q . 其中:)(),3,2,1(1,111j i A A n n n f A j i n ≠Φ==???? ????????+=-I ΛI 且Q . 又因为
Q Q I I ??????+???? ????????+-n n n n f 1,11~1,111且Q I ??????+n n 1,11 可数,所以E 可表示成可数个两两不交的无限集之并.
当E 不可数时,由于E 无限,所以存在可数集E E ?1, 且1\E E 不可数且无限,从而存在可数集12\E E E ?,且)(\\)\(2121E E E E E E Y =无限不可数. 如此下去,可得),3,2,1(Λ=n E n 都可数且不相交,从而
ΛY Y Y Y Y 101
1)()\(E E E E E E i i n i ==∞
=∞=. 其中)0(≥i E i 无限且不交. 4.证明:可数个不交的非空有限集之并是可数集.
5.证明:有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.
证明 有限个互不相交的有限集之并是有限集;而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.
6.证明:单调函数的不连续点之集至多是可数集.
证明 不妨设函数f 在),(b a 单调递增,则f 在0x 间断当且仅当
0)(lim )(lim )0()0(_0
000>==--+→→+x f x f x f x f x x x x . 于是,每个间断点0x 对应一个开区间))0(),0((00+-x f x f .
下面证明:若x x '''<为()f x 的两个不连续点,则有(0)(0)f x f x '''+≤-. 事实上,任取一点1x ,使1x x x '''<<,于是
11(0)lim ()inf{()}()sup {()}lim ()x x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x +-'
>'''
→→'''<<'+==≤≤=, 从而x '对应的开区间((0),(0))f x f x ''-+与x ''对应的开区间((0),(0))f x f x ''''-+不相交,即不同的不连续点对应的开区间互不相交,又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集,所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.
7.证明:若存在某正数d 使得平面点集E 中任意两点之间的距离都大于d ,则E 至多是可数集.
证明 定义映射}:)3,{(:E x d x E f ∈→,即))(3,()(E x d x D x f ∈=,其中)3,(d x D 表示以E x ∈为中心,以3d 为半径的圆盘. 显然当y x ≠时,有?=)3,()3,(d y D d x D I ,即)()(y f x f ≠,于是f 为双射,由第2题知:a E x d x ≤∈}:)3,{(,故a E ≤. 习题1.4
1.直线上一切闭区之集具有什么基数?区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是什么?
答 直线上一切闭区间之集的基数是c . 这是因为:2),(],[:R ∈→b a b a f 为单射,而R ∈→a b a f ],[:为满射,所以c M c =≤≤=2R R .
区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是c ,这是因为:
a b a a =≤≤Q Q I ],[.
2.用],[b a C 表示],[b a 上的一切连续实值函数之集,证明:
(1) 设},,,,{],[21ΛΛI n r r r b a =Q ,],[,b a C g f ∈,则
?=g f ),2,1)(()(Λ==k r g r f k k ;
(2) 公式
)),(,),(),(()(21ΛΛn r f r f r f f =π
定义了单射)(],[:R S b a C →π;
(3) c b a C =],[.
证明 (1) 必要性. 显然.
充分性. 假设),2,1)(()(Λ==k r g r f k k 成立. 因为},,,{\],[321Λr r r b a x ∈?,存在有理数列∞=1}{n n x ,使得x x n n =∞
→lim ,由],[,b a c g f ∈,可得 )()lim ()(lim x f x f x f n n n ==∞→∞
→及)()lim ()(lim x g x g x g n n n ==∞→∞→. 又因为∞=1}{n n x 为有理点列,所以有)()(n n x g x f =,故],[b a x ∈?,都有)()(x g x f =.
(2) ],[,b a c g f ∈?,设)()(g f ππ=,即 )),(,),(),(()),(,),(),((2121ΛΛΛΛn n r g r g r g r f r f r f =.
由(1)知:g f =. 故π为单射.
(3) 由(2)知:c R S b a c =≤)(],[;又由],[b a c ?R ,可得],[b a c c ≤=R . 故c b a C =],[.
3.设],[b a F 为闭区间]1,0[上的一切实值函数之集,证明:
(1) ]},[:))(,{()(b a x x f x f ∈=π定义了一个单射
)(],[:2R P b a F →π;
(2) ]1,0[??E ,E E χα=)(定义了单射],[])1,0([:b a F P →α;
(3) ],[b a F 的基数是c 2.
证明 (1) ],[,b a F g f ∈?,设)()(g f ππ=,即
]},[:))(,{(]},[:))(,{(b a x x g x b a x x f x ∈=∈.
从而]),[)(()(b a x x g x f ∈?=,故π为单射.
(2) ]1,0[,??F E ,设)()(F E αα=,则F E F E χααχ===)()(,故α为单射. (3) 由(1)知:c P b a F 2)(],[2=≤R ;又由(2)知:],[2])1,0([b a F P c ≤=,故c b a F 2],[=.
4.证明:c n =C .
证明 因为R R C ?~,而c =?R R ,故c =C ;又由定理1..4.5知:c n
=C . 5.证明:若E 为任一平面点集且至少有一内点,则c E =.
证明 显然c E =?≤R R . 设00E x ∈,则0>?δ使得E x B ?),(0δ,可知E x B c ≤=),(0δ,故c E =.
第一章总练习题
.1 证明下列集合等式.
(1) ()()F F E F E E F E \\\Y I ==;
(2) ()()()G F G E G F E \\\I I =.
证明 (1) 因为
\()()()()()\c c c c c E E F E E F E E F E E E F E F ====I I I I U I U I ,
()\()()()\c c c E F F E F F E F F F E F ===U U I I U I .
所以
\\()()\E F E E F E F F ==I U .
(2) 因为
()\()()()(\)(\),c c c c E F G E F G E F G E G F G E G F G ====I I I I I I I I I
所以()()()G F G E G F E \\\I I =.
.2 证明下列集合等式.
(1) ()B A B A n n n n \\11∞=∞==Y Y ;(2) ()B A B A n n n n \\1
1∞=∞==I I .
证明 (1) 1111
\()()(\)c c
n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======I I U U U U . (2) 1111
\()()(\)c c n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======I I I I I I . 3.证明:22[][][]c
c E f g c E f E g +≥?≥≥U ,其中g f ,为定义在E 的两个实值函数,c 为任一常数.
证明 若()()22c c x E f E g ?≥≥U , 则有()2c f x <且()2c g x <, 于是 ()()()()f x g x f g x c +=+<,
故()x E f g c ?+≥. 所以()()()22c c E f g c E f E g +≥?≥≥U . 4.证明:n R 中的一切有理点之集n Q 与全体自然数之集对等.
证明 因为0Q =?,所以0Q Q Q Q n =???=?L (推论1.3.1). 又因为0N =?, 所以0Q n N ==?, 故Q ~n N .
5.有理数的一切可能的序列所成之集)(Q S 具有什么基数?
6.证明:一切有理系数的多项式之集][x Q 是可数集.
证明 设
},Q ,,,,,0,][:][{][Q 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x ΛΛ 于是
.][Q ][Q 0Y ∞
==n n x x 显然,Q
~][Q 1n +x n 所以,Q ][Q 1n a x n ==+ 因此由定理1.3.5知:.][Q a x = 7.证明:一切实系数的多项式之集][x R 的基数为c .
证明 记 },R ,,,,,0,][:][{][R 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x ΛΛ 于是
.][R ][R 0Y ∞
==n n x x 显然,R ~][R 1n +x n 所以,R ][R 1n c x n ==+ 因此由定理1.4.3知:.][R c x =
8.证明:全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集是可数集,并由此说明超越数(即不是代数数的实数)存在,而且全体超越数之集的基数是c .
证明 由于有理系数多项式的全体是可数集,设其元素为
,,,,,,210ΛΛn P P P P 记多项式)(x P n 的全体实根之集为
,n A 由于n 次多项式根的个数为有限个,故n A 为有限集,从而代数数全体Y ∞==0n n A A 为可数个有限集的并,
故A 为可数集,即.a A =
设超越数全体所成之集为,B 即,\R A B = 则R,=B A Y 从而B 必为无限集,由于A 为可数集,而任一无限集添加一个可数集其基数不变,故.R c B A B ===Y
9.证明:A B B A \~\,则B A ~.
证明 因为
),()\(),()\(B A A B B B A B A A I Y I Y ==
又因为
,)(\)(\,~,\~\?==B A A B B A B A B A B A A B B A I I I I I I
所以由保并性知
),()\(~)()\(B A A B B A B A I Y I Y
即.~B A
10.证明:若,,D B B A <≤则D A <. 证明 (反证法) 假设,D A = 则由已知可得,B D ≤ 这与D B <矛盾. 故有D A <.
11.证明:若c B A =Y ,则c A =或c B =.
证明 假设,a B A == 则有,a B A =Y 这与c B A =Y 矛盾,故有c A =或c B =.
12.证明:若c A k k =+∈Z Y ,则存在+∈Z k 使得c A k =. 证明同上.
。习题2.1
1.若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集,求b E E E E ,,,'ο. 解 E =?o ;[0,1][0,1]b E E E '===?。
2.设)}0,0{(1sin ,10:),(Y ????
??=≤<=x y x y x E ,求b E E E E ,,,'ο. 解 E =?o ;{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤==U
3.下列各式是否一定成立? 若成立,证明之,若不成立,举反例说明.
(1) 11
n n n n E E ∞∞=='??'= ???U U ; (2) )()(B A B A ''='I I ; (3) n n n n E E ∞=∞==???
? ??11Y Y ; (4) B A B A I I =; (5) ???=B A B A Y Y )(; (6) .)(???=B A B A I I
解 (1) 不一定。如设12={,,,,}n r r r Q L L ,{}n n E r =(单点集),则
1()n n E ∞=''==Q R U , 而1.n n E ∞
='=?U 但是,总有11n n n n E E ∞∞=='??'? ???U U 。
(2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=?I 而
.A B ''=R R =R I I
(3) 不一定。如设12={,,,,}n r r r Q L L ,{}n n E r =(单点集),则1n n E ∞
===Q R U , 而1.n n E ∞
==Q U 但是,总有11n n n n E E ∞∞==??? ???U U 。 (4) 不一定。如(,)A a b =,(,)B b c =,则A B =?I ,而{}A B b =I 。
(5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =o , (,)B b c =o ,而
()(,)A B a c =o U ,(,)\{}A B a c b =o o U .
(6) 成立。因为A B A ?I , A B B ?I , 所以()A B A ?o o I ,
()A B B ?o o I 。因此,有()A B A B ?o o o I I 。设x A B ∈o o I , 则存在10δ>,20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?I 。故有()x A B ∈o I ,即()A B A B ?o o o I I 。因此,()A B A B =o o o I I .
4.试作一点集A ,使得A '≠?,而?='')(A .
解 令1111{1,,,,,,}234A n
=L L ,则{0}A '=,()A ''=?. 5.试作一点集E ,使得b E E ?.
解 取E =Q ,则b E =R 。
6.证明:无聚点的点集至多是可数集.
证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集,所以只要证明:任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈,都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=I 。有理开球(即中心为有理点、半径为正有理数的开球)(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈,从而(,){}x x B P r A x =I 。显然,对于任意的,x y A ∈,当x y ≠时,有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠,从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =,则得到单射:n f A +→?Q Q 。由于n +?Q Q 可数,所以,A 是最多可数。
7.无聚点的点集与只有孤立点的点集是否相同?
答 不相同。例如,点集1111{1,,,,,,}234A n
=L L 只有孤立,但是有一个聚点:{0}A '=。
8.对无聚点的点集, 是否一定存在一个正数d , 使得该点集中任意二点间的距离大于d ?
答 不一定。例如,取
1{(,0):1,2,}{(,):1,2,}A n n n n n -===L U L ,
则A 无聚点。但是()11(,0),(,)0()d n n n n n --=→→∞,这说明:不存在一个正数d , 使得该点集中任意二点间的距离大于d 。
9.点集的聚点与点列的极限点有何异同? 证明:若E x '∈0,则存在E x n ?}{且),(m n x x m n ≠≠ 使得)(0∞→→n x x n .
证明 不同。聚点是针对点集的概念,而极限点(子列的极限)是针对点列
的概念。对于一个点列1
{}n k k x ∞=?R ,可以得到一个点集{:1,2,}k E x k ==L 。 如果0x E '∈, 则0x 必是点列1{}k k x ∞
=的极限点。反之不真。如取
1(1,2,)k x k ==L ,则1是点列1{}k k x ∞
=的极限点,但它不是点集
{:1,2,}k E x k ==L 的聚点(因为{1}E =没有聚点)。对于可数点集
12{,,,,}(())n k i j E x x x x x i j =?≠≠R L L ,
得到点列1{}k k x ∞
=。显然,点集E 的聚点与点列1{}k k x ∞=的极限点是相同的。
设E x '∈0,则对11ε=, 01(,)B x ε中有E 的无限个点。任取一点
1001(\{})(,)x E x B x ε∈I 。令1210min{(,),2}d x x ε-=,则02(,)B x ε中有E 的无限个点。任取一点2002(\{})(,)x E x B x ε∈I 。如此下去, 可得点列1{}k k x ∞
=满足:
00(\{})(,)k k x E x B x ε∈I ,110min{(,),2}k k k d x x ε-+-=(k +?∈Z ).
易见,1{}k k x ∞
=是E 的各项互不相同的点列且0(,)2
0()k k d x x k -<→→∞。可见,0()k x x k →→∞。
10.证明:E x '∈0的充要条件是对任意0>δ,),(0δx B 含有一个异于0x 的E 的点.
证明 必要性显然.
充分性. 对11δ=, 在0(,1)B x 中有一点1x E ∈, 而10x x ≠。令
2101min{(,),}2
d x x δ=,
在02(,)B x δ中有一点2x E ∈且21x x ≠。令
3201min{(,),}3
d x x δ=,
在03(,)B x δ中有3x E ∈且30x x ≠。这样继续下去,得到E 中各项互不相同的点列{}n x 使得10(,)0()k d x x k k -<→→∞。从而,0lim n n x x →∞=,由上题知E x '∈0. 11.E x E x k ???∈}{0使得)(0∞→→k x x k .
证明 必要性。设0x E ∈,则10,(,)k k x E B x k +-?∈?∈Z I 。显然,{}k x E ?且)(0∞→→k x x k 。
充分性 设{}k x E ??使得)(0∞→→k x x k ,则0,N ε?>?使得当n N >时有0(,)k d x x ε<,从而10(,)N x B x E ε+∈I 。可见,0x E ∈。
12. 设点列)(∞→→n a x n ,)(∞→→n b x n ,证明: b a =.
证明 由(),()n n x x n y y n →→∞→→∞可知:对任意的120,,N N ε>?使得当1n N ≥时, 有(,)2n d x a ε
<; 当2n N ≥时, (,)2n d x b ε
<。令{}12max ,N N N =,
则当n N ≥时, 有(,)2n d x a ε
<且(,)2n d x b ε
<. 从而,当n N ≥时,有
11(,)(,)(,)22N N d a b d a x d x b ε
ε
ε++≤+<+=。
所以(,)d a b ε<。由ε的任意性知,a b =.
13. 设点列)(∞→→n x x n ,)(∞→→n y y n ,证明: R ∈?βα,,有
(1) )(∞→+→+n y x y x n n βαβα;
(2) ))(,(),(∞→→n y x d y x d n n .
证明 (1)由(),()n n x x n y y n →→∞→→∞, 可知对任意的120,,N N ε>?使得当1n N >时,有(,)2||1
n d x x εα<+; 当2n N >时,有(,)2||1n d y y εβ<+.令{}12max ,N N N =, 则当n N >时, 有
(,)2||1
n d x x εα<+且(,)2||1n d y y εβ<+. 所以,当n N >,有
(,)||(,)||(,)22n n n n d x y x y d x x d y y εεαβαβαβε++≤+<
+=。
从而n n x y αβ+x y αβ→+()n →∞.
(2)因为
(,)(,)(,)(,),
(,)(,)(,)(,),
n n n n n n n n d x y d x x d x y d y y d x y d x x d x y d y y ≤++≤++
所以 |(,)(,)|(,)(,)0()n n n n d x y d x y d x x d y y n -≤+→→∞。
因此,))(,(),(∞→→n y x d y x d n n 。
习题2.2
1.点集E 为闭集当且仅当E 中的收敛点列的极限仍然属于E . 证明 必要性. 设E 为闭集, 即E E '?。取任一收敛点列{}n x E ?, 且
0n x x →()n →∞.
下证0x E ∈. 事实上, 若存在n 使得0n x x =, 则0x A ∈;否则,对任一N n +∈都有0n x x ≠。因为0()n x x n →→∞, 所以对任意0>δ,),(0δx B 中必有E 的异于0x 的点n x 。从而,由习题2.1.10可知:0x 是E 的聚点, 所以0x E ∈.
充分性. 设E 中任何一个收敛点列必收敛于E 中的一点, 则对任意的0x E '∈, 存在点列{}n x E ?使得0n x x →()n →∞, 由假设知0x E ∈。所以E E '?, 即E 为闭集.
2.证明:?E 是含于E 内的一切开集的并.
证明 设{}F αα∈∧, 为所有含于E 内的开集所组成的集合, 则F E α?(任意的α∈∧).
记F F αα
=U , 下证F E =o 。一方面, E o 显然是一个含于E 的开集, 所以
E F ?o 。另一方面, α?∈Λ,有F E α?,从而F E α?o o 。但是F F α=o (F α为开集), 所以F F E αα=?o o .因此,F F E αα
=?o U 。因此E F =o .
3.证明:E 是包含E 的一切闭集的交.
证明 设{}F αα∈∧为所有包含了E 的闭集之集, 则E F α?(任意的α∈∧). 记F F αα
=I ,下证F E =. 一方面,E 显然是一个含E 的闭集,所以E F ?。另一方面, 对α?∈Λ,有E F α?,从而E F α?。但F F αα= (F α为闭集), 所以E F α?(α?∈Λ)。 因此,E F ?. 故F E =.
4.设R ?F 是非空有界闭集,令,sup ,inf F F a ==β证明:F a ∈β,. 证明 F x ∈?>?,0ε使得εα+ x αεαε-<<+, 于是(,)x B αε∈,因此(,)B F αε=?I . 再由ε的任意性知F F α∈=. 同理可得:,,0F y ∈?>?δ使得,y βδββδ-<≤<+ 所以(,)y B βδ∈. 因此, 知(,)B F βδ≠?I . 由δ的任意性知F F β∈=. 5.设}{k G 是渐张开集列,令k k G G ∞ ==1Y ,点集F 是有界闭集且G F ?.证明:存在自然数0k ,当0k k ≥时,有k G F ?. 证明 由F 是有界集, ?F 1k k G ∞=U , 必存在},,,{21n k k k Λ使得?F 1i n k k G =U . 又因为n k G G G ???Λ21, 所以?F n i k n i K G G ==Y 1. 取01,n k k =+则当0k k ≥时, 有k G F ?. 6.证明:n R 中的任何闭集F 都可表示为可数个开集的交;n R 中的任何开集G 都可表示为可数个闭集的并. 提示:考虑)1,(n x B G F x n ∈=Y . 证明 当F 为空集时,显然。下设F 为非空集。令)1,(n x B G F x n ∈=Y ,则(1,2,)n F G n ?=L ,从而I ∞=?1n n G F . 另一方面, 设01n n x G ∞ =∈I ,则,n ?有 0n x G ∈, 所以n x F ?∈,使得01(,)n x B x n ∈, 即01(,)n d x x n <. 当∞→n , 则0n x x →. 由于F 是闭集, 必有0x F ∈. 因此I ∞ =?1n n F G . 综上可知: 1 n n G F ∞==I 。 对n R 中的任何开集G ,:c F G =为闭集,从而由已证结论知:存在一列开 集{}n G 使得1n n G F ∞==I ,所以1c c n n G F G ∞ ===U .显然,c n G 都是闭集。 7.设E 是n R 中的点集,证明:b E 是闭集. 证明 因为b E E E Y ο=__且?=b E E Y ο,所以c b E E E E E )(\__ __οοI ==,故b E 是闭集. 8.设m n B A R R ??,是两个有界闭集,证明: },:),{(B y A x y x B A ∈∈=? 是m n +R 中的有界闭集. 证明 有界性. 因为,A B 有界, 所以存在,M N 0>使得对任意的x A ∈,有(,0),d x M ≤对任意的y B ∈, 有(,0)d y N ≤, 从而任意的(,)x y A B ∈?,有 ((,),0)d x y =≤, 于是A B ?且有界的 闭性. 设1{(,)}k k k x y ∞ =为A B ?中的收敛点列,且 (,)(,)()n m n m k k x y x y k +→??=→∞R R R . 由于 (,),(,)((,),(,))0()k k k k d x x d y y d x y x y k ≤→→∞, 可见()k x x k →→∞,()k y y k →→∞. 因为,A B 为闭集,所以x A ∈,y B ∈即(,)x y A B ∈?, 故A B ?为闭集. 9.两个完备集的交集是否一定是完备集?两个完备集的并集是否一定是完备集?可数多个完备集的并集呢? 证明 两个完备集的交集不一定是完备集,如}1{]2,1[]1,0[=I 不完备. 两个完备集的并集是完备集. 事实上,设,n E F ?R 完备,则 ,)(F E F E F E Y Y Y =''=' 所以F E Y 是完备的. 可数个完备集的并集不一定是完备集. 如:)1,0(]2 11,11[ 1=+-+∞=Y n n n 不完备. 10.若G 是n R 中的开集,证明:G G '=. 11.设f 在整个数轴上有定义,其函数值只取整数,证明:f 的连续点之集f C 是开集,间断点之集f D 是闭集. 证明 设A 表示f 的连续点之集, 则0x A ?∈, 有 0()f x n =)(为整数n 。 对于0.1ε=,0>?δ使得0(,),x B x δ?∈有0|()()||()|0.11f x f x f x n -=-<<. 因为()f x 为整数,所以,0(,),x B x δ?∈有()f x n =。因此,0(,)B x A δ?, 故A 为开集. 进而,f 的间断点之集c A 是闭集. 12.证明:直线上任何一列稠密开集的交集是稠密的δG 型集,即若),2,1(Λ=?k G k R 为开集且),2,1(Λ==k G k R ,则1k k G ∞ ==R I . 证明 设00(,)I a b =为直线上任一有限开区间,则由1G =R 知:1I G I 为非空开集,从而存在闭区间111[,]a b I G ?I 使得111b a -<。再由2G =R 知:112(,)a b G I 为非空开集,从而存在闭区间22112[,](,)a b a b G ?I 使得1222b a --<。如此可得闭区间列{[,]}n n a b 满足: 1111[,](,),(1,2,)n n n n n n n a b a b G b a n n -+++?-<=I L 。 根据闭区间套定理知:存在唯一一点[,](1,2,)n n c a b n ∈=L 。因为 [,](1,2,)n n n a b G n ?=L , 从而(1,2,)n c G n ∈=L ,即1 n n c G ∞ =∈I 。又由111[,]c a b I G ∈?I 知,c I ∈。因此,1n n c I G ∞=??∈ ???I I 。所以,1n n I G ∞=??≠? ???I I 。这就证明了1n n G ∞==R I 。 13. 全体有理点之集Q 不是δG 型集;全体无理点之集c Q 不是σF 型集。 证明 假设全体有理点之集Q 是δG 型集,则存在开集(1,2,)n G n =L 使得 Q =1n n G ∞ =I 。由于n G ?Q ,所以),2,1(Λ==k G k R 。令n n F G =,则n F 为开集且 (1,2,)k k F G k ====R L ,且 111(c n n n n n n F G G ∞∞∞ =====+=?Q Q I I I 。 所以 11n n n n G F ∞∞==????=? ? ????? I I I 。 记221,(1,2,)k k k k H F H G k -===L ,则k H 是开集且(1,2,)k H k ==R L ,但是, 1n n H ∞ ==I 11n n n n G F ∞∞==????=? ? ?????I I I 。 这与习题12的结论矛盾. 这就证明了:全体有理点之集Q 不是δG 型集;从而,全体无理点之集c Q 不是σF 型集。 14. 证明:]1,0[中的全体无理点之集[0,1]c Q I 不是σF 型集. 证明 假设不然,则存在闭集(1,2,)n F n =L 使得[0,1]c Q I =1n n F ∞=U 。令()2n f x nx n =-,则()n n f F 为闭集(1,2,)n =L ,且 [,]([0,1])()([0,1])c c c n n n n n f f f -===Q Q Q I I I 1()n k k f F ∞ =U 。 因此, ()111[,]()c c n k n n k n n f F ∞∞∞ ====-=Q Q U I U U 。 容易看出:()n k f F 都是闭集。因而,全体无理点之集c Q 也是σF 型集。这与习题13的结论矛盾。 15.设D 是由]1,0[中所有三进无穷小数表示不含1的点之集,证明:c D =. 证明 对任一x D ∈,令其三进无穷小数表示为 120.n x x x x =L L 其中{0,2}(1,2,)i x i ∈=L 。令1,2;0,0,i i i x y x =?=?=? 12()0.n f x y y y =L L ,则得到一个双射:[0,1]f D →。从而,[0,1]D c ==。 习题2.3 1.若开圆族}{λO 覆盖了集E ,则对应的闭圆族是否一定覆盖E ? 答 不一定。例如,取12{,,,,},n E x x x ==Q L L 令(2,2)k k k k k G x x --=-+,则1k k E G ∞=?U 。但是,11,[2,2]k k k k k k k E G x x ∞∞--====-+R U U 。假设1k k E G ∞ =?U ,则 1[0,1](32,32)k k k k k x x ∞ --=??-?+?R U 。 根据有限覆盖定理知:存在自然数N 使得 1[0,7](32,32)N k k k k k x x --=?-?+?U 。 令(32,32)k k k k k I x x --=-?+?,则1[0,7]N k k I =?U 。取有限开区间1(,)N k k a b I =?U 。从而,[0,7]1k N I k χχ=?∑。于是,有 [0,7]111137()d ()d ()d 62k k N N N b b b k I I a a a k k k x x x x x x χχχ-====≤∑=∑=∑??。 矛盾。这就证明1k k E G ∞ =≠U 。 2.若I 是开单位正方形,即}10:),,{(1<<=i n x x x I Λ,如果开球族}{λO 覆盖了I 中的全体有理点之集,试问开球族}{λO 是否一定覆盖I ? 答 不一定。例如,设I 中的全体有理点之集 1212{,,,,},(,,,)n k k k n k n E I P P P P x x x ===Q I L L L , 取01r <<使得26>1n n n n r r --,作开球(,)k k k O B P r -=,则1k k E O ∞=?U 。假设1k k I O ∞=?U ,则111[3,2]n k k O ∞ --=?U 。根据有限覆盖定理知:存在自然数N 使得 111 [3,2]N n k k O --=?U 。 令1(,)n k k k k k i i i I x r x r --==∏-+,则111[3,2]N n k k I --=?U 。取有限开区间1N k k I I =?U 。从而,11[3,2]1n k N I k χχ--=?∑。于是,有 111212[3,2]1212112121 16(,,,)d d d (,,,)d d d (,,,)d d d (2)2 <.1n k k n n n I N n n I I k N n n I I k N k n k n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x r r r χχχ---====≤∑=∑=∑-?????????L L L L L L L L L 因此,26<.1n n n n r r --这与26>.1n n n n r r --矛盾。这就证明了1k k I O ∞=?U 。 3.证明:平面不可能被任意多个互不相交的开圆覆盖. 证明 假设平面可以被一族互不相交的开圆{}I λλ∈O 覆盖,即2I O λλ∈=R U ,则对任一0I λ∈,有002\{}I O O λλλλ∈??= ??? R U U 。所以,002\{}\I O O λλλλ∈=R U 为闭集,这是不可能的。 4.设Ω集合X 上的一个σ-代数, R →X f :为任一映射, 证明: (1) })(,:{:1Ω∈?=-Y f Y Y M R 是R 上的一个σ-代数; (2) 以下等价: (i) Ω∈∈?-)(),(1B f B B 有R ,即()B M ?R ; (此时,称f 为可测空间),(ΩX 上的一个随机变量) (ii) ()B O ?∈R ,有1()f B -∈Ω,即()O M ?R (iii) Ω∈∞<<<∞-?-)),((,1b a f b a 有,即()OI M ?R . 证明 (1) 因为11(),()X f f --=∈Ω?=?∈ΩR ,所以,M ?∈R 。设Y M ∈,则1()f Y -∈Ω,从而1(())c f Y -∈Ω,即11()(())c c f Y f Y --=∈Ω。可见,c Y M ∈。设(1,2,)k Y M k ∈=L ,则1()k f Y -∈Ω(1,2,)k =L 。从而,1111 ()k k k k f Y f Y ∞∞--==??=∈Ω ???U U 。因此,1k k Y M ∞=∈U 。故M 是R 上的一个σ-代数。 (2) (i)(ii)(iii)??:显然。 (iii)(i)?:设(iii )成立,则()G O ?∈R ,由定理2.3.4知:G 是有限或可数个开区间 (,)(1,2,,)i i a b i d =L 之并,其中d ≤∞,即1(,)d i i i G a b ==U ,从而 111()((,))d i i i f G f a b --==∈ΩU 。 因此,(ii )成立。所以,()O M ?R 。因为Borel 代数()B R 是包含所有开集的最小σ-代数,所以由(1)知()B M ?R ,即(i )成立。 习题2.4 1.证明:在n R 中既开又闭的点集只有n R 和?. 证明 设E 是n R 中既开又闭的点集,如果它不是n R 和?,则由界点存在定理(定理2.1.3)知它至少有界点0P 。因为它是闭集,所以0P E ∈。又因为E 是开集,所以存在0(,)B P r E ?。这与0P 是E 的界点矛盾。因此,n E =R 或E =?。