Ｌｉｎｇｏ培训计划
培训目的：了解线性规划、非线性规划和整数规划的基本概念和性质，掌握把一个实际问题转化为规划问题的步骤和思想。掌握ｌｉｎｇｏ软件的使用方法，熟悉把一个规划问题输入ｌｉｎｇｏ软件的方法，理解输出结果的含意。
进度安排：
第一天上午－理论学习
1.Lingo12简介
2.线性规划的概念
3.线性规划求解方法
4.线性规划例题
5. Lingo软件各部分功能介绍
6.求解线性规划例题
7.对例题结果的解释
8.整数规划的概念与特点
9.整数规划例题
10.软件求解整数规划问题
第一天下午－机房练习
1.安装Lingo软件，复习上午的理论知识
2.熟悉软件的各种菜单和工具
3.输入上午的例题，观察结果
4.完成下列习题：
1）一家餐厅24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为：
2：00~6：00 3人6：00~10：00 9人
10：00~14：00 12人14：00~18：00 5人
18：00~22：00 18人22：00~ 2：00 4人
设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。
2）现要截取2.9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7.4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。
试构造此问题的数学模型。
3）某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C三种原料的含量要求、各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1所示。问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，才能使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划模型。
4）某厂在今后4个月内需租用仓库存放物资，已知各个月所需的仓库面积如表2所示。租金与租借合同的长短有关，租用的时间越长，享受的优惠越大，具体数字见表3。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理时，可签一份，也可同时签若干份租用面积和租借期限不同的合同，总的目标是使所付的租借费用最小。试根据上述要求，建立一个线性规
5）某农场有100公顷土地及25万元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季4500人日，春夏季6000人日，如劳动力本身过剩可外出打工，春夏季收入为20元／人日，秋冬季12元／人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米和小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资8000元，每只鸡投资2元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入3000元／每头奶牛。养鸡不占土地，需人工为每只鸡秋冬季0.3人日，
春夏季0.1人日，年净收入为每只8元。农场现有鸡舍允许最多养5000只鸡，牛栏允许最多养50头奶牛，三种作物每年需要的人工及收入情况如表4所示。试决定该农场的经营方案，使年净
第二天上午－理论学习
1.非线性规划模型的概念，解法
2.Lingo软件中“集合、运算符与数学函数”的使用。
3.复杂模型的基本构成
4.生产销售计划问题
5.目标规划实例分析
6.布置下午任务
第二天下午
1.复习上午的理论内容
2.实现讲过的例子
3.完成下列习题：
1）某企业拟生产A和B两种产品，其生产投资费用分别为2100元/t和4800元/t. A、B两种产品的利润分别为3600元/t和6500元/t，A、B产品每月的最大生产能力分别为5t和8t；市场对这两种产品总量的需求每月不少于9t。
试问该企业应该如何安排生产计划，才能既能满足市场需求，又节约投资，而且使生产利润达到最大?
2 ）某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19米长。
现有一客户需要50根4米长、20根6米长和15根8米长的钢管。应如何下料最节省？
零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要以上三种钢管外，还需要10根5米长的钢管。应如何下料最节省？
3）某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的（参见下图）。易拉罐为圆柱形，包括罐身、上盖和下底，罐身高10厘米，上盖和下底的直径均为5厘米。该公司使用两种不同规格的镀锡板原料，规格1的镀锡板为正方形，边长24厘米；规格2的镀锡板为长
方形，长、宽分别为32和28厘米。由于生产设备和生产工艺的限制，对于规格1的镀镀锡板原料，只可以按照图2中的模式1、2或3进行冲压；对于规格2的镀锡板原料只能按照模式4进行冲压。使用模式1、2、3、4进行每次冲压所需要的
优化建模
模式1模式2模式3
模式4
上盖
下底
罐
身
图5-3 易拉罐下料模式
该工厂每周工作40小时，每周可供使用的规格1、2的镀锡板原料分别为5万张和2万张。目前每只易拉罐的利润为0.10元，原料余料损失为0.001元/ 厘米2（如果周末有罐身、上盖或下底不能配套组装成易拉罐出售，也看作是原料余料损失）。工厂应如何安排每周的生产？
4）有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如表5-5所示（单位：分钟）。这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨8：00，请问他们最早何时能离开公司？
一、编写lingo 程序求解下列方程（组） 1、4 x sin x cos x += 2、x x 24-= 3、求方程()074223=---=x x x x f 在[]43,中的根的近似值． 4、0432=--x x 5、12341234123420,3230,4350. x x x x x x x x x x x x +-+=?? -+-=??+-+=? 6、??? ??=+-=++--=++. x x x ,x x x , x x x 3103220241225321 321321 二、编写lingo 程序求解下列最优化问题 1、43215243x x x x z min +-+-= ?? ??? ??≥≥-++-≤+-+-=-+-. x ,x ,x ,x ,x x x x ,x x x x , x x x x .t .s 无约束43 214321432143210232142224 2、32132-2x x x z min += ??? ??≥≤≤-+-=++-. x ,x ,x ,x x x , x x x .t .s 无约束321 32142100624 3、213x x z max -= ????? ??≥≤+≥+≤-.x ,x ,x x ,x x , x x .t .s 为整数05210453232 121 2121 4、32152-3x x x z max +=
????? ?? ??=≤+≤+≤++≤-+. x ,x ,x , x x ,x x ,x x x ,x x x .t .s 1064344223213 221321321或 5、432173x x x x z min +-+= ????? ??=≥++≥++-≥-+-.x ,x ,x ,x ,x x x ,x x x x ,x x x x .t .s 10535846124 321421 43214321或 6、求图中点1v 到各点的最短路（不可逆行）． 三、先建立问题的数学模型，再编写lingo 程序求解 1、某厂每日8小时的产量不低于1800件．为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员．一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时．检验员每错检一次，工厂要损失2元．为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 2、某饲料场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素．现有5种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如表所示
Lingo 精选题目及答案 答题要求：将Lingo 程序复制到Word 文档中，并且附上最终结果。 1、简单线性规划求解 （目标函数）2134m ax x x z += s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x 2、整数规划求解 219040Max x x z += ??? ??≥≤+≤+0,7020756 792 12121x x x x x x 3、0-1规划求解 Max 4322 15.18.04.0x x x x f +++= 10106234321≤+++x x x x 10,,,4321或=x x x x 4、非线性规划求解 ||4||3||2||m in 4321x x x x z +++= s.t. ??? ? ??? - =+--=-+-=+--2132130432143214321x x x x x x x x x x x x 5、集合综合应用 产生一个集合5052 --=x x y ，（10,...,2,1=x ）， 求y 前6个数的和S 1，后6个数的和S 2，第2~8个数中的最小值S 3，最大值S 4。 6、综合题 要求列出具体的目标函数和约束条件，然后附上Lingo 程序和最终结果。 6.1 指派问题 有四个工人，要指派他们分别完成4项工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表： 问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的消耗时间为最小？
6.2 分配问题 某两个煤厂A1，A2每月进煤数量分别为60t和100t，联合供应3个居民区B1,B2,B3。3个居民区每月对煤的需求量依次分别为50t，70t，40t，煤厂A1离3个居民区B1,B2,B3的距离依次分别为10km,5km,6km,煤厂A2离3个居民区B1,B2,B3的距离分别为4km,8km,12km。问如何分配供煤量使得运输量（即t·km）达到最小？ 1、 model: max=4*x1+3*x2; 2*x1+x2<10; x1+x2<8; x2<7; end 2、 model: max=40*x1+90*x2; 9*x1+7*x2<56; 7*x1+20*x2<70; @gin(x1);@gin(x2); end 3、 model: max=x1^2+0.4*x2+0.8*x3+1.5*x4; 3*x1+2*x2+6*x3+10*x4<10; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); end 4、 model: max=@abs(x1)+2*@abs(x2)+3*@abs(x3)+4*@abs(x4); x1-x2-x3+x4=0; x1-x2+x3-3*x4=1; x1-x2-2*x3+3*x4=-1/2; end 5、 model: sets: jihe/1..10/:y; ss/1..4/:S; endsets !由于y和s中部分有负数，所以要先去掉这个约束; @for(jihe:@free(y)); @for(ss(i):@free(S)); !产生元素;
LINGO练习题-1及答案LINGO测试-1 1、用LINGO软件解方程组（1）221212222359 x x x x?+=??-=-??。 model: x^2+2*y^2=22; 3*x-5*y=-9; end Solution is locally infeasible Infeasibilities:0.5417411E-04 Extended solver steps:5 Total solver iterations:20 Variable Value X 2.000005 Y 3.000003 Row Slack or Surplus 1-0.5417411E-04 20.000000 2、用LINGO软件解线性规划问题 model: max=2*x+3*y; 4*x+3*y<=10;
3*x+5*y<=12; x>0;y>0; end Global optimal solution found. Objective value:7.454545 Infeasibilities:0.000000 Total solver iterations:2 Variable Value Reduced Cost X 1.2727270.000000 Y 1.6363640.000000 Row Slack or Surplus Dual Price max23,..4310,3512,,0.z x y s t x y x y x y=++≤+≤≥17.454545 1.000000 20.0000000.9090909E-01 30.0000000.5454545 4 1.2727270.000000 5 1.6363640.000000 3、用LINGO软件二次规划问题 （1）min2212z=x-3-2x+（）（） 22121212..-50, 24, ,0s t
一．用Lingo 求解下列规划问题 1、求解 2、求解 3.求解 6,,1,6,,1,106,,1,6,,1,6,,1,13. .max 61616161 =====≤=≤==∑∑∑∑====j i x j i x x j x x t s r x z ij ii ij i ij i ii i j ij ij 或者其中，???????? ??????????=110100111000001100 110100000111000011r 二、请给出下列问题的模型、lingo 求解程序及其运行结果 1．队员选拔问题 某校篮球队准备从十名预备队员中选择五名作为正式队员，队员的各种情况如下表： 队员号码 身高（厘米） 技术分 位置 1 185 8.6 中锋 2 186 9 中锋 3 193 8. 4 中锋 4 190 9. 5 中锋 5 182 9.1 前锋 6 184 9 前锋 7 188 8.1 前锋 8 186 7.8 后卫 9 190 8.2 后卫 10 192 9.2 后卫 队员的挑选要满足下面条件：（1）至少补充一名前锋。（2）至多补充2名中锋。（3）1号和3号队员最多只能入选1个。（4）平均身高要达到187厘米。（5）3号或10号入选了则4号就不能入选。 问：怎么选择使得技术平均分最高。 max 23,..4310,3512,,0.z x y s t x y x y x y =++≤+≤≥22121122121212max 982770.32,..100,2,,0,.x x x x x x s t x x x x x x +---+≤≤≥ 且都是整
2. 超市奖品选购 超市提供了50种商品作为奖品供中奖顾客选择，车的容量为1000 cm3，奖品i占用的空间为w i cm3,价值为v i元, 具体的数据如下: v i = { 220, 208, 198, 192, 180, 180, 165, 162, 160, 158,155, 130, 125, 122, 120, 118, 115, 110, 105, 101, 100, 100, 98,96, 95, 90, 88, 82, 80, 77, 75, 73, 72, 70, 69, 66, 65, 63, 60, 58,56, 50, 30, 20, 15, 10, 8, 5, 3, 1} w i = {80, 82, 85, 70, 72, 70, 66, 50, 55, 25, 50, 55, 40, 48,50, 32, 22, 60, 30, 32, 40, 38, 35, 32, 25, 28, 30, 22, 50, 30, 45,30, 60, 50, 20, 65, 20, 25, 30, 10, 20, 25, 15, 10, 10, 10, 4, 4, 2,1}。问怎么选择价值最高。
2 8' 1' 2' 3' 4' 1 0 0 0 0 0 1 0 2 2线性规划习题答案 1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性 答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。 线性规划数学模型特征： （1） （2） 24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为: 2 : 00~6: 00 3 人 6 :00~10: 00 9 人 10: 00~14: 00 12 人 14 :00~18: 00 5 人 18: 00~22: 00 18 人 22 :00~ 2 : 00 4 人 设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时， 员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。 解：用决策变量 X i , X 2, X 3, X 4, X 5, X 6分别表示 2: 00~6: 00, 6 : 00~10： 00，10： 00~14: X 1,X 2,X 3,X 4,X 5,X 6 0 3、现要截取2.9米、2.1米和1.5 如何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。 用0表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示: 用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量； 存在一定数量（m ）的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线性 等式或者不等式来加以表示； 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。 2、一家餐厅 问该餐厅至少配备多少服务 00 ， 14: 00~18: 00， 18: 00~22: 00, 22 : 00~ 2 : 00时间段的服务员人数。 其数学模型可以表述为： min X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 1 X 6 X 1 X 2 X 2 X 3 12 X 3 X 4 X 4 X 5 18 X 5 X 6 米的元钢各100根，已知原材料的长度是 7.4米，问应 方法一 解：圆钢的截取有不同的方案,
2 线性规划习题答案 1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性 答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。 线性规划数学模型特征： （1） 用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量； （2） 存在一定数量（m ）的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线 性等式或者不等式来加以表示； （3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。 2、一家餐厅24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为： 2：00~6：00 3人 6：00~10：00 9人 10：00~14：00 12人 14：00~18：00 5人 18：00~22：00 18人 22：00~ 2：00 4人 设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。 解：用决策变量1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,6x 分别表示2：00~6：00， 6：00~10：00 ，10：00~14：00 ，14：00~18：00，18：00~22：00， 22：00~ 2：00 时间段的服务员人数。 其数学模型可以表述为：123456min Z x x x x x x =+++++ 16122334455612345639125184,,,,,0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x +>=+>=+>=+>=+>=+>=≥ 3、现要截取2.9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7.4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。 方法一 解：圆钢的截取有不同的方案，用θ表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示： 2.9 2.1 1.5 θ 1' 1 1 1 0.9 2' 2 0 0 0.1 3' 1 2 0 0.3 4' 1 0 3 0 5' 0 1 3 0.8 6' 0 0 4 1.4 7' 0 2 2 0.2 8' 0 3 0 1.1
1、用LINGO 软件解方程组221212222359 x x x x ?+=??-=-??。 2、用LINGO 软件解方程组1211221222/64 x x x x x ??-=-??=?。 3、用LINGO 软件解线性规划问题 4、用LINGO 软件解二次规划问题 且12,x x 都是整数 5、用LINGO 软件解下列问题 （1）max 12z=x x + 12121212..26, 4520,,0, ,s t x x x x x x x x +≤+≤≥为整数 (2) min 22 12z=x -3-2x +（）（） 22121212..-50, 24, ,0s t x x x x x x +≤+≤≥。 (3) min 2212z=x ++x +（1）（1） 22122..-20,1s t x x x +≤≥。 max 23,..4310,3512,,0.z x y s t x y x y x y =++≤+≤≥22121122121212max 982770.32, ..100,2,,0,x x x x x x s t x x x x x x +---+≤≤≥
6、用LINGO软件分别产生序列 （1）{1,3,5,7,9,11}；（2）{1,4,9,16,25,36}；（3） 1111 {1,,,,} 6122030 . 7、已知向量c={1,3,0.5,7,5,2}，用LINGO软件解答下列问题。 （1）求向量c前5个数中的最大值；（2）求向量c后4个数平方中的最小值；（3）求向量c 中所有数的和。 8、某学校游泳队要从5名队员中选4名参加4乘100米混合泳接力赛。 5名队员4种泳姿的百米成绩（单位：秒） ----------------------------------------------------------------------------------- 李王张刘赵 蝶泳66.8 57.2 78 70 67.4 仰泳75.6 66 67.8 74.2 71 蛙泳87 66.4 84.6 69.6 83.8 自由泳58.6 53 59.4 57.2 62.4 ----------------------------------------------------------------------------------- 如何选拔？ （1）请建立“0----1规划”模型； （2）用Lingo求解。 9、某帆船制造公司要决定下两年八个季度的帆船生产量。八个季度的帆船需求量分别是40条、60条、75条、25条、30条、65条、50条、20条，这些需求必须按时满足，既不能提前也不能延后。该公司每季度的正常生产能力是40条帆船，每条帆船的生产费用为400美圆。如果是加班生产的，则每条生产费用为450美圆。帆船跨季度库存的费用为每条20美圆。初始库存是10条帆船。如何生产？ 10、现要将8名同学分成4个调查队（每组2人）前往4个地区进行社会调查。假设他们任意两人组成一队的工作效率为已知，见下表（由于对称性，只须列出上三角部分）： 任意两人组成一队的工作效率 学生S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S1 9 3 4 2 1 5 6 S2 1 7 3 5 2 1 S3 4 4 2 9 2 S4 1 5 5 2 S5 8 7 6 S6 2 3 S7 4 问如何组队可以使总效率最高？
运筹学 实验报告 姓名： 学号： 班级：
相关问题说明： 一、实验性质和教学目的 本实验是运筹学课安排的上机操作实验。 目的在于了解、熟悉计算机Lingo软件在运筹学模型求解中的作用，激发学习兴趣，提高学习效果，增强自身的动手能力，提高实际应用能力。 二、实验基本要求 要求学生： 1. 实验前认真做好理论准备，仔细阅读实验指导书； 2. 遵从教师指导，认真完成实验任务，按时按质提交实验报告。 三、主要参考资料 1．LINGO软件 2. LINGO8.0及其在环境系统优化中的应用，大学，2005 3. 优化建模与LINDO/LINGO软件，清华大学，2005 4．运筹学编写组主编，运筹学（修订版），清华大学，1990 5．蓝伯雄主编，管理数学（下）—运筹学，清华大学，1997 6．胡运权主编，运筹学习题集（修订版），清华大学，1995 7．胡运权主编，运筹学教程（第二版），清华大学，2003
实验容 1、线性规划问题： ????? ? ?≥≤+≤+≤++=0 ,13119241171289..68max 2121212121x x x x x x x x t s x x z (1) 给出原始代码；(2) 计算结果(包括灵敏度分析，求解结果粘贴)； (3) 回答下列问题(手写)： a ) 最优解及最优目标函数值是多少； b ) 资源的对偶价格各为多少，并说明对偶价格的含义； c ) 为了使目标函数值增加最多，让你选择一个约束条件，将它的常数项增加一个单位，你将选择哪一个约束条件？这时目标函数值将是多少？ d ) 对x 2的目标函数系数进行灵敏度分析； e ) 对第2个约束的约束右端项进行灵敏度分析； f ) 结合本题的结果解释“Reduced Cost ”的含义。 对偶价格就是说 约束方程右端变量增加1对目标函数值的影响 答案： （1）代码 max =8*x1+6*x2; 9*x1+8*x2<=12; 7*x1+11*x2<=24; 9*x1+11*x2<=13; x1>=0; x2>=0; （2）计算结果 Global optimal solution found. Objective value: 10.66667 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 1.333333 0.000000 X2 0.000000 1.111111 Row Slack or Surplus Dual Price 1 10.66667 1.000000 2 0.000000 0.8888889 3 14.66667 0.000000 4 1.000000 0.000000
实验二：目标规划 一、实验目的 目标规划是由线性规划发展演变而来的，线性规划考虑的是只有一个目标函数的问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有的还相互矛盾。这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。熟悉目标规划模型的建立，求解过程及结果分析。 二、目标规划的一般模型 设)...2,1(n j x j =是目标规划的决策变量，共有m 个约束是国刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差是 ),...,2,1(,l i d d i i =-+。设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。在同一个优先级k p 中，有 不同的权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =- +。因此目标规划模型的一般数学表达式为： min ∑∑=+ +--=+= l j j kj j kj q k k d w d w p z 1 1 );( s.t. ,,...2,1,),(1m i b x a n j i j ij =≥=≤∑= . ,...2,1,0,, ,...,2,1,, ,...2,1,1 l i d d n x o x l i g d d x c i i j i n j i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑ 三、实验设备及分组 实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。
四、实验容及步骤 1、打开LINGO ，并利用系统菜单和向导在E 盘创建一个项目。目录和项目名推荐使用学生自己的学号。 2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序的可读性。 例2.1： 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面： （1） 力求使利润不低于1500元； （2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量比应尽量保持1：2； （3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用； （4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，又尽可能不加班。在重要性上，设备C 是设备B 的3倍。 此题中只有设备A 是刚性约束，其余都是柔性约束。首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2的比例，列为第二级；再次，设备B 、C 的工作时间要有所控制，列为第三级。在第三级中，设备B 的重要性是设备C 的3倍，因此它们的权重不一样，设备B 的系数是设备C 的3倍。 该计划问题可用数学模型表示为： 目标函数 min )33()(433322211+ +-+--+++++=d d d p d d p d p z 满足约束条件 2122x x + 12≤ 15003002001121=-+++-d d x x 022221=-+-+ -d d x x 14x 1633=-++ -d d 155442=-++ -d d x 3,2,1,0,,,21=≥+ -i d d x x i i
Lingo 作业解题过程 1.某储蓄所每天的营业时间是上午9时到下午5时。根据经验，每天不同时间段所需要的服务 员数量如下表示。储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9时到下午5时工作，但中午12时到下午2时之间必须安排1h 的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4h,报酬40元，问储蓄所应如何雇用全时和半时服务员。如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用。如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用。 时间段/h 9~10 10~11 11~12 12~1 1~2 2~3 3~4 4~5 服务员数 4 3 4 6 5 6 8 8 解：（1）设1x 为雇佣的全职人数，2x 为12-1小时休息的人数，1y -5y 分别为1-5时段开始雇佣的半时人员的人数。表1为各时间段的工作人数。每个时间段的工作人数要满足题目中的要求。 表1 各时间段在工作的服务员 时间段/h 服务员 9-10 11x y + 10-11 112x y y ++ 11-12 3 11 i i x y =+? 12-1 4 121 i i x y x =+ -? 1-2 5 22 i i x y =+ ? 2-3 5 13 i i x y =+? 3-4 5 14 i i x y =+ ? 4-5 15x y + 根据每个时段满足的要求，建立模型如下：
()5 1 23 1111 1 1 4 5 5 122 11 2 3 5 1154 5 1 min 100*x 140 : (1)x y 4; (2) x 3; (3) x 4 ; (4)x x 6;(5)x 5;(6)x 6 (7)x 8;(8)x 8 3 i i i i i i i i i i y st y y y y y y y y =========++>+ >+ >-+>+ >+ >+ >+>4; !第一阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(1)+y(2)>3; !第二阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(1)+y(2)+y(3)>4; !第三阶段要满足的服务员人数; x(1)-x(2)+y(1)+y(2)+y(3)+y(4)>6; !第四阶段要满足的服务员人数; x(2)+y(2)+y(3)+y(4)+y(5)>5; !第五阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(3)+y(4)+y(5)>6; !第六阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(4)+y(5)>8; !第七阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(5)>8; !第八阶段要满足的服务员人数; 程序运行的结果为最少花费820元，雇佣全时员工7人，半时员工3人，半时员工分别在第二时段雇佣2人，第五时段雇佣1人，12-1时去吃饭的全是员工为2人，剩下5人在1-2时吃饭。 （2）第二问直接可以看出答案，编程也可以。 min =100*x1; x1-x2>6; x2>5; 运行程序得出答案1100元，与第一问的820元，要增加费用280元。 （3）第三问直接将第一问的程序中@sum (banshi:y)<3; 删除（即对雇佣的半时服务员的个数没有限制），可得出结果本题的结果。 最少花费560元，第一时段雇佣半时员工6人，第五时段雇佣半时人员8人，就可以满足每个时段所需要的员工要求。节省费用820-560=260元。 2．某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期
数学规划模型及lingo 求解练习： 1.考虑下述不平衡指派问题。现有7个人指派给他们5项任务，效率矩阵如下表。约定：①一个任务只能被一个人完成；②一个人在某时刻只能做一项任务；③所 （1） lingo 代码求解， 给出最优指派以及最优值； 1. 模型的建立： 设：题干中有i 个人共要完成j 件事情，可建立以下模型： i=1,2,3…..m j=1,2,3…..n =0或1 xij=1:指派第i 人做第j 事 xij=0: 不指派第i 人做第j 事 （ cij ）称为系数矩阵。 2. 详细代码： Model: SETS: Chandi/1..7/:cl; Xiaodi/1..5/:xl; ChanXiao(Chandi,Xiaodi):c,x; ENDSETS DATA: c=2 15 13 1 8 10 4 14 15 7 9 14 16 13 8 7 8 11 9 4 8 4 15 8 6 12 4 6 8 13 5 16 8 5 10; m n ij ij i=1j=1 min =c x Z ?∑∑1 1 n ij j x ==∑1 1 m ij i x ==∑ij x
[obj] min=@sum(ChanXiao:c*x); @for(Chandi(i):@sum(Xiaodi(j):x(i,j))<1); @for(Xiaodi(j):@sum(Chandi(i):x(i,j))=1); @for(Chandi(i):@sum(Xiaodi(j):c(i,j)*x(i,j)) 在数据声明中输入两个相连的逗号表示该位置对应的集成员的属性值未知。两个逗号间可以有空格 sets: years/1..5/: capacity; endsets data: capacity = ,34,20,,; enddata Variable Value CAPACITY( 1) 1.234568 CAPACITY( 2) 34.00000 CAPACITY( 3) 20.00000 CAPACITY( 4) 1.234568 CAPACITY( 5) 1.234568 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 init: X, Y = 0, .1; endinit Y= @log(X); X^2+Y^2<=1; Feasible solution found. Infeasibilities: 102.5814 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 89 Elapsed runtime seconds: 0.25 Model Class: NLP Total variables: 2 Nonlinear variables: 2 Integer variables: 0 Total constraints: 3 Nonlinear constraints: 2 Total nonzeros: 4 Nonlinear nonzeros: 3 Variable Value X 9.915569 Y 2.294106 Row Slack or Surplus 1 0.000000 2 -102.5814 ２ 线性规划习题答案 １、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性 答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。 线性规划数学模型特征： （1） 用一组决策变量表示某一方案,这组决策变量均为非负的连续变量; （2） 存在一定数量（ｍ）的约束条件,这些约束条件可以用关于决策变量的一组线性 等式或者不等式来加以表示； （3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数,而该函数是一个线性函数。 ２、一家餐厅２4小时全天候营业,在各时间段中所需要的服务员数量分别为: 2:00~6:０0 ３人 6：0０~１０:00 9人 1０：00~１4:00 １2人 14：00～18:００ 5人 1８：０0~22：00 １８人 22:00~ 2:00 4人 设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时,问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。 解:用决策变量1x ,2x ,3x ，4x ,5x ,6x 分别表示2:００~６:００， ６:00~10:0０ ，1０：00~14:00 ,1４:00~18:00,18:０0～２2：０0, 22:00~ 2：00 时间段的服务员人数。 其数学模型可以表述为:123456min Z x x x x x x =+++++ 16122334455612345639125184,,,,,0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x +>=+>=+>=+>=+>=+>=≥ 3、现要截取２．9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7．4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。 方法一 解：圆钢的截取有不同的方案,用θ表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示: 2．9??2.１ ?１.5? θ 1'? １? １??1? 0．９ 2'? 2 ０??0 ０.1 ３＇ 1 ?2??0 ?0.3 ４'? 1 0 ?3 ?0 5＇??0 ?１? 3 ０．8 6'? ０??０? 4 ?1.４ ７'? 0??2??2 0.2 8' ?0??3 ?0??1.1 1、某工厂要做100套钢架，每套钢架用长为2.9m,2.1m,1.5m,2.0m的圆钢各一根。已知原料每根长为7.4m，问：应该如何下料，可使所用原料最省 2、某工厂生产 A 和 B 两种产品，按计划每天生产 A、B 各不得少于 10 吨，已知生产 A 产品一吨需用煤 9 吨、电 4 度、劳动力 3 个（按工作日计算）；生产 B 产品一吨需用煤 4 吨、电 5 度、劳动力 10 个.如果 A 产品每吨价值 7 万元，B 产品每吨价值 12 万元，而且每天用煤不超过 300 吨，用电不超过 200 度，劳动力最多只有 300 个. 1）每天应安排生产 A、B 两种产品各多少，才能既保证完成生产计划，又能为国家创造最多的产值？ 2）请计算不等式右端资源影子价格，并计算保持影子价格不变的自变量的变化范围。 3）保持最优解不变的目标函数系数变化范围 3.甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为 300t 和 750t，A、B、C 三地需要该种产品的数量分别为 200t、450t 和 400t，甲地运往 A、B、C 三地的运费分别是 6 元/吨、3 元/吨、5 元/吨，乙地运往 A、B、C 三地的运费分别是 5 远/吨、9 元/吨、6 元/吨，问怎样的调运方案才能使总运费最省？ 4、 2）请计算不等式右端资源影子价格，并计算保持影子价格不变的自变量的变化范围。 3）保持最优解不变的目标函数系数变化范围 5、 2）请计算不等式右端资源影子价格，并计算保持影子价格不变的自变量的变化范围。 3）保持最优解不变的目标函数系数变化范围 6、 2）请计算不等式右端资源影子价格，并计算保持影子价格不变的自变量的变化范围。 3）保持最优解不变的目标函数系数变化范围 7、某排球国家队需要准备从以下队员中选拔4名队员为正式队员，每个位置一名，并使平均身高尽可能高，这8名预备队员情况如下表所示 预备队员号码身高 cm位置 小甲1193主攻 小乙2191主攻 小丙3187副攻 第10周lingo 软件使用的练习题 1. 用傻瓜式输入法求解优化问题 ???????≤≥=----≥++≤++-+-+=无约束 4321432143243214 321,,0,02 47325433432..4323min x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f min =3*x1+2*x2-3*x3+4*x4; x1-2*x2+3*x3+4*x4<3; x2+3*x3+4*x4>-5; 2*x1-3*x2-7*x3-4*x4=2; x1>0; -x2>0; @free (x3); @free (x4); end Global optimal solution found. Objective value: -9.500000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 0.000000 X2 0.000000 4.000000 X3 0.7500000 0.000000 X4 -1.812500 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 -9.500000 -1.000000 2 8.000000 0.000000 3 0.000000 -2.500000 4 0.000000 -1.500000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 2. 利用lingo 软件的“段”编程求解下面背包问题： 设有n=8个体积分别为54，45，43，29，23，21，14，1的物体和一个容积为C=110的背包，问选择哪几个物体装入背包可以使其装的最满。 数学建模习题 题目1 1.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。 解答： （1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s 均无关的成本。又因为形状一定时一般有,故商品的价格可表示 为（α，β，γ为大于0的常数）。 （2）单位重量价格,显然c是w的减函数。说明大 包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。 函数图像如下图所示： 题目2 2.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设,β为增长率。又设单位时间的销售量为(p为价格)。今将销售期分为和两段，每段的价格固定，记为,.求,的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期T内的总销售量为, 再求,的最优值。 解答： 由题意得：总利润为 ,=+ = 由=0，，可得最优价格 , 设总销量为， 在此约束条件下的最大值点为 , 题目3 (与数量无关)，随3.某商店要订购一批商品零售，设购进价,售出,订购费c 机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为(与时间无关)。问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利 加什么限制？ 润为正值，需要对订购费c 解答： 设订购量为u，则平均利润为 Lingo 模型 Lingo 是较好的最优化建模工具（详细使用说明见Lingo模型参考），Lingo 模型由两部分组成：(一) 目标（objective）：最优化目标。（二）限制条件（constraint）. （下载网址：https://www.doczj.com/doc/8a14862191.html,） 1.我的食谱由四种食品组成:,果仁巧克力,冰淇淋,可乐,奶酪.一块果仁巧克力价格为50 美分,一杯冰淇淋价格为20美分, 一瓶可乐价格为30美分, 一快奶酪价格为80美分.我每天的营养最低需求: 500 卡路里,6 盎司巧克力,10 盎司 〔讲评〕 师：该问题的目标是什么？ 生：食谱中饮食的成本最低 师：限制条件？ 生：满足每天卡路里，巧克力，糖，脂肪的最低需求 师：选择哪些变量? 生：果仁巧克力,冰淇淋,可乐,奶酪的数量 ( 参考模型:lingo-LP1.lg4) 讨论：如果巧克力冰淇淋的价格变为原来的两倍，食谱将如何改动？ 练习： 1.1.你决意生产两种糖果:硬糖和软糖,糖果仅由糖,坚果,和巧克力制成.你现在有100盎司糖,20盎司坚果,30盎司巧克力.软糖须含有至少20%的坚果.硬糖须含有至少10%的坚果和10%的巧克力.一盎司的软糖售价为25美分, 一盎司的硬糖售价为20美分. 试安排生产计划 ( 参考模型:lingo-LP1－1.lg4) 1.2.某公司生产 A, B, C 三种产品,售价分别为: A, $10;B,$56;C,$100.生产一单位A,需1小时的劳力; 生产一单位 B,需2小时的劳力加上2单位的A; 生产一单位 C,需3小时的劳力加上1单位的B.现有40小时的劳力, 试安排生产计划. ( 参考模型:lingo-LP1－2.lg4) 对于例题一: 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示： ⅠⅡ 设备128台时 原材料A4016kg 原材料B0412kg 利润2元3元 我们建立模型: 利用lingo求解时,可直接将模型输入，如在lingo中输入如下内容：！A sample linear program: MAX= 2 * x1 + 3 * x2; 4 * x1<= 16 ; 4 * x2<= 12 ; x1+ 2 * x2<= 8 ; 然后单机lingo菜单中的solve进行求解即可。 Lingo是一个设计用于建立和求解各种各样优化问题的数学建模语言，我们来看一下上面的模型： 第一行以惊叹号开始，以分号结束，是对模型的注释。 第二行给出了目标函数，显示了他是最大化的（注意：没有包含z变量），乘法用星号来表示，目标函数以分号结束。 下面的三行是约束函数，标点符号同一般的计算机语言，以分号结束。Lingo默认所有的变量为非负，若没有非负约束，需要用@free注明。 Lingo大小写不敏感，变量可以用大写或小写来表示。 Lingo窗口顶部的菜单条是一个标准的windows方式。一旦模型建立，即可从菜单或工具的solve按钮进行求解。在求解之前，lingo首先检查模型是否有语法错误，如果有，则提示错误位置。否则，求解工具开始求解，求解工具将在屏幕上出现一个求解状态窗口，当求解完成，求解报告将出现在屏幕上。 求解报告中，value列给出了决策变量的最优质。Slack or Surplus列的第一个输入显示了目标函数的响应值，下两个输入显示了每个约束函数两边之间的不同（对应于每个约束函数的剩余变量或松弛变量的值）。Reduced Cost和Dual Price列给出了问题的敏感性分析的信息。 这个模型足够小，能够一项一项写出，但这是单调乏味的。在一些相似的应用中，可能会有成千上万的决策变量和约束函数，一次以一项一项的方式写出模型是不现实的，lingo提供了一个有效地、紧凑的书写方式，即lingo建模语言。 LP模型一般具有重复的性质，所有的决策变量和约束函数都是同种类型的，lingo使用集合来描述这些重复的性质。 这个例子中的相关集合： 产品集合:P01，P02 资源集合：M01，M02，M03；（机器和原材料都可以看作是一种资源） 集合的属性： 1、每种产品的产量，每单位产品的利润 2、每周资源的供应量（包括原材料的供应量和设备的台时限制） 3、每单位每种产品分别需要资源的数量（产品和资源的组合的集合 成员的属性，这个集合源于两个简单的集合，称为导出集） 一个典型的lingo建立模型有三个部分： 1. 集合部分 2. 数据部分 3. 提供数学模型的部分 我们建立此模型的集合及数据部分： ！lingo11 sets: !产品集合及其属性，/../之间的部分罗列了该集合的成员，每种属性会对应于集合的每个成员有一个值，相当于一个向量;Lingo例题2
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