第十四章线性动态电路的复频域分析
一、教学目标
应用拉氏变换分析线性时不变网络时，可以先列出网络的积分微分方程，然后变换为复频域中的代数方程并求解；也可以先将各电路元件的特性方程变换成复频域形式，再作出线性时不变网络的运算电路，然后直接列出网络在复频域中的代数方程并求解。一般来说，后一种方法比前一种方法简便。本章介绍的就是后一种方法。
1.知识教学点
(1)拉普拉斯变换的复习：定义和性质；常用信号（即基本函数）的象函数；部分分式展
开定理
(2)运算电路：KCL、KVL的s域形式；元件V AR的s域形式及元件的s域模型；运算电
路的画法
(3)电阻电路分析方法在运算电路中的应用
(4)线性动态电路的复频域分析法
(5)网络函数：定义、分类、性质；极点、零点与极零点图；()
H jω之间的关系
H s与()
2.能力训练点
（1）利用拉普拉斯变换的性质和常用信号的象函数求原函数的象函数；用部分分式展开定理由象函数求原函数
（2）正确画出运算电路
（3）应用电阻电路的分析方法分析运算电路
（4）求网络函数及其极点、零点
（5）由网络函数求零状态响应及稳态响应
3.其它
（1）掌握复频域分析法的优缺点及其应用范围
（2）了解卷积定理：时域卷积←→频域相乘
二、教学方法
1 教法指导
（1）指导学生复习数学积分变换中已经学过的拉氏变换（定义、常用信号的象函数、性质）和高等数学不定积分中的有理函数的分解（求拉氏反变换的部分分式展开法）。重点放在部分分式展开法。
（2）与相量法类比介绍运算电路的画法，特别应注意储能元件（电容和电感）的s域模型。（3）与电阻电路类比，介绍运算电路的分析。
（4）在介绍网络函数时，特别要强调电路为零状态。讲解清楚()
H s的求法及其几种表示方法；
h t的联系；网络函数的一些应用。
()
H jω及()
H s、()
2 学法指导
预备知识数学方面：积分变换中的傅氏变换与拉氏变换；高等数学不定积分中的有理函数的分
解（樊映川等编.高等数学讲义.人民教育出版社，1958：7.6（pp.355-361））电路方面：电阻电路、正弦稳态电路的相量法、动态电路的基本概念。
本章指南（1）掌握由原函数求象函数的方法；熟练掌握用部分分式展开定理由象函数求原函数。
（2）在掌握基尔霍夫定律的运算形式、元件的运算阻抗和运算导纳与运算电路的画法的
基础上，熟练掌握线性动态电路的复频域分析法。
（3） 掌握网络函数。 （4）了解卷积定理 知识详解
知识点1 拉普拉斯变换 1. 定义：
拉普拉斯正变换 ?
∞
--
=0)()(dt e t f s F st 简记为()F s =?[]()f t
拉普拉斯反变换 1
()()2j st j f t F s e ds j σσ
π+∞-∞
=
? 简记为()f t =?[]1()F s -
)(s F 称为象函数；)(t f 称为原函数，其定义域为[0, )∞。
常用信号的象函数
2. 基本性质：
知识点2 象函数的部分分式展开
线性时不变电路中的象函数通常为s 的有理分式，即下列形式的s 的两个实系数多项式之比
求原函数不用拉氏反变换公式，而采用部分分式展开法。
当有理分式为假分式（m n '≥）时，先利于多项式的除法，把有理假分式化为一个多项式与有理真分式之和
11
11011010
110()
()()m m m n m n
m n k m m m n m n k n n k n b s b s b s b N s F s c s
c s
c s c c s s a s a s a D s -'-''----''----=-++++=+++++=+
++++∑L L L 式中，m n <。然后对真分式进行部分分式展开，分为下列三种情况：
（1）0)(=s D 的根为不等实根
式中待定系数由下述公式确定
根据拉氏反变换的线性性质对展开式各部分分式进行反变换，可求出已知象函数的原函数为
（2）0)(=s D 的根中有重根
设1s p =为l 阶重根，其余()n l -个根均为单根，则 式中待定系数可由下述公式确定 所以
（3）0)(=s D 的根中有共轭复根
当0)(=s D 有共轭复根时，仍可按（1）和（2）的方法进行，但计算比较复杂。可用下面的简便方法。
设0)(=s D 有一对共轭单根1,2s j αω=-± ① 方式1
式中*
K 为K 的共轭。则
② 方式2 则
知识点3 运算电路 1. 基尔霍夫定律的s 域形式
KCL 的复频域形式：0)(=∑s I KVL 的复频域形式：
0)(=∑s U
KCL 和KVL 方程复频域形式的列写规律与时域相同。基尔霍夫定律的复频域形式和时域形式在形式上是相同的，差别仅在于一个用象函数为变量，另一个用时域函数为变量。 2. 元件VAR 的s 域形式
（1）电阻、电感和电容的s 域模型如表所示。
二端电路元件的s 域模型
表中，
sC 和sL 分别称为电容和电感的复频率阻抗或运算阻抗；C s
-为附加电压源的电压，它反映了电容起始状态在动态电路中的作用；(0)
L i s
-为附加电流源的电流，它反映了电感起始状态
在电路中的作用。串联形式和并联形式的两种s 域模型是相互等效的。
（2）多口电阻元件 仅需将电压、电流的时间函数换成象函数即可。 （3）独立电源 将已知时间函数用象函数表示。
（4） 耦合电感 三端或二端耦合电感在时域可先去耦，再对每一个电感画复频域模型。图（a ）中四端耦合电感的复频域模型如图（b ）所示。注意，复频域模型附加电源方向与同名端的位置和电流的方向有关。
（a ） （b ）
3. 运算电路
运算电路又称为复频域模型或s 域模型。它是一种运用象函数能方便地对动态电路进行分析和计算的一种假想模型，与原电路具有相同的拓扑结构。从原电路可按下列方法画出相应的运算电路：
把动态电路中的电压和电流用象函数表示，参考方向保持不变；电压源的电压和电流源的电流分别变换为象函数，而电路符号不变；其它电路元件分别用s 域模型替换。
在运算电路中，各支路电压、电流的象函数既要服从基尔霍夫定律s 域形式的约束，又要满足元件伏安关系的s 域形式，而这两类约束正是时域模型中相应的两类约束在拉氏变换下的形式。因此，时域模型的电路方程在拉氏变换下的复频域代数方程可直接由运算电路依据两类约束的s 域形式写出，从而避免了列写电路的微分方程。
零状态下的运算电路与频域相量分析法中的相量模型相似，只是以s 代替了j ω而已。 4. 元件的运算阻抗和运算导纳
在零状态下，电阻、电感和电容的复频域方程可统一地写成下列形式：
)()()(s I s Z s U = 或 )()()(s U s Y s I =
式中，)(s Z 称为元件的复频率阻抗或运算阻抗，)(s Y 称为的复频率导纳或运算导纳。
对于电阻，R s Z R =)(，G s Y R =)(
对于电容，sC
s Z C 1
)(=
，()C Y s sC = 对于电感，sL s Z L =)(，sL
s Y L 1
)(=
由于运算电路与电阻电路之间两类约束的相似性，电阻电路的各种分析方法和定理可推广应用于运算电路，只需将时域电压、电流换为电压、电流的象函数，电阻、电导分别换成运算阻抗、运算导纳。
知识点4 线性动态电路的复频域分析法 线性动态电路的复频域分析步骤如下：
（1）求0-时刻的电容电压和电感电流（即起始状态)0(-L i 和)0(-C u ）； （2）画出运算电路；
（3）对运算电路进行分析，求响应的象函数；
（4）将响应的象函数进行部分分式展开求响应的时域形式。 知识点5 网络函数
1. 定义 网络函数)(s H 定义为电路的零状态响应)(t y f 的象函数)(s Y f 与输入激励()e t 的象函数()E s 的比值，即
网络函数)(s H 是复频率s 的函数，它比正弦稳态下的网络函数)(ωj H 有着更为丰富的内容。这是因为)(s H 把任意输入与零状态响应联系起来了，而)(ωj H 只是等于输出相量与输入相量之比。且对于有损耗的稳定电路有
2. 分类 网络函数分为驱动点函数(即驱动点阻抗和驱动点导纳)与转移函数(即转移阻抗、转移导纳、电压转移函数和电流转移函数)两大类型。
3. 性质 （1）网络函数仅与电路的拓扑结构和元件参数有关,而与外加输入激励无关。它反映了电路的固有动态性能。因此，通过网络函数，可以了解该电路在过渡过程中的暂态特性；（2）线性时不变电路的网络函数是s 的一个实系数有理函数；（3）网络函数)(s H 为电路的冲激响应()h t 的象函数。正如冲激响应()h t 在时域中描述了网络的特性一样，网络函数)(s H 在s 域中描述了网络的特性；（4）在一般情况下，网络函数分母多项式的根即为对应电路变量的固有频率。
4. 求网络函数的方法 （1）用定义式求：()()()
f s Y s H s U s =
（2）由冲激响应()h t 求：()H s =?[]()h t
（3）由网络函数的零、极点（图）来求：10
1
()
()()
m
i
i n
j
j s z H s H s p ==-=-∏∏
（4）由频域网络函数()H j ω来求：()()
j s
H s H j ωω==
零点与极点 )(s H 分母多项式的根称为网络函数的极点；分子多项式的根称为网络函数的零点。
由于线性时不变电路的网络函数是s 的实系数有理函数，故其零点和极点只能是实数或者共轭复数。显然，)(s H 的极点即为相应电路变量的固有频率(或自然频率)。
网络函数的极零点图 网络函数的极点和零点在s 平面上的位置分布图(零点用“○”，极点用“×”)，称为该网络函数的极零点图。
识记知识 （需要死记硬背的概念、公式、定理）
（1） 常用信号的象函数
（2） 部分分式展开定理 （3） 电容和电感的s 域模型
学习方法与建议
将电容和电感的起始状态视作等效电源，与相量法类比地进行学习，特别要注意不同点和特殊点。
三、 重点、难点和疑点及解决方法
11.. 重重点点
（1） 应用部分分式展开定理求象函数的原函数：单极点、重极点、共轭复极点。 （2） 复频域阻抗与复频域导纳、运算电路。 （3） 线性动态电路的复频域分析法。 （4） 网络函数的定义、分类及其求法。 （5） ()H s 、()H j ω及()h t 三者之间的关系。
2. 难点和疑点
（1） 多重极点及共轭复极点的部分分式展开。 （2） 正弦信号输入的电路用拉氏变换计算。
（3） 电容、电感s 域模型中附加电源的大小、极性和方向。 （4） 灵活应用网络函数的概念分析电路。
（5） 拉氏变换主要基本性质的应用。
3.易混淆点、易错点、易忽略点
（1）当有多重极点的拉氏反变换计算中，部分分式的系数容易算错。当有共轭复极点时，部分分
式的系数对应的极点出错，从而使得最后的拉氏反变换式中cos 的相位角差一符号。 （2）起始状态算错，引起附加电源出错。
（3）附加电源的参考方向。特别是互感支路附加电源的方向容易出错。
（4）在s 域计算电容电压或电感电流时，忘记计及附加电源的电压或电流。 3. 考点
（1）利用拉氏变换的主要基本性质求原函数的象函数； （2）线性动态电路的复频域分析法；
（3）求网络函数及其极点、零点；频率响应。
（4）由网络函数求零状态响应和正弦稳态响应、非正弦周期信号输入下的稳态响应。
四、 学时安排
1．本章总学时 4学时 2．具体学时安排
五、 教学过程
○ 通过介绍经典分析方法存在的问题，说明复频域分析法的必要性。
○ 在学生自学拉氏变换的基础上，复习总结相关内容。重点放在基本性质和部分分式展开。 ○ 在总结相量分析法的基础上，引出运算电路，进而介绍两类约束的s 域形式和元件的s 域模
型及运算电路的画法。
○ 对照相量分析法，总结复频域分析法的步骤。举例详细说明。 ○ 介绍网络函数。定义→性质→分类→表示方法→应用。 ○ 利用知识结构图总结本章内容。
本章知识结构图
○ 学生提问，教师解答。
六、 随堂例题与练习
课堂例题 精选典型例题，进行详细解析，明确解题思路，总结解题方法。 【拉氏变换基本性质例题】 求下列函数)(t f 的象函数。 （1）(
)4()123()t
f t t e
t ε-=++
（2）()f t 的波形如图示例10-1所示。（清华大学2001年考研试题）
图示例10-1
【解】 （1）根据拉氏变换的线性性质有
（2）由图可得函数的时域表达式为
则根据拉氏变换的线性性质和时域延迟性质可得其象函数为 【拉氏变换基本性质例题】某二阶电路的微分方程为
并已知()()t
f t e t ε-=，(0)1y -=，(0)3y -'=。求该电路的全响应()y t 。
【解】 对微分方程的两边取拉氏变换，并利用微分性质得 代入已知数据整理得 则
取拉氏反变换可得电路的全响应为
拉氏变换是求解线性常系数微积分方程的一种有用工具，它的主要优点是可将微积分方程变换为代数方程，而且起始状态自然包含在这一代数方程中，一举求出方程的全解，求解步骤简明有规律。
【部分分式展开例题】求下列象函数的原函数。
（1）（单根）32
4
()32s F s s s s
+=
++ （2）（重根）33()1(2)s F s s s +=++（） （3）（复根）22256
()22
s s F s s s ++=++
【解】 （1）32
44231
()32(1)(2)12
s s F s s s s s s s s s s ++===-+++++++ 取拉氏反变换，得
（2）332
32111
()1(2)1112
s F s s s s s s s +=
=-+-++++++（）（）（） 所以 ()
()22()1 0t t f t t t e e t --=-+>－
（3
）o o
245452
22()222211s F s s s s j s j
-+=+=+++++-++
所以
或者 222
2(1)1
()2222(1)1
s s F s s s s +++=+
=+++++ 则
o
()2()cos sin 2()cos(45) (0)t t t f t t e t e t t t t δδ---=++=+->
【运算电路例题】 电路如图例（a ）所示，已知Ω=201R ，Ω=402R ，H 5.0=L ，μF 50=C ，
40V s U =。若原来电路已达稳态，0=t 时闭合开关S 。试画出相应的运算电路。
（a ）
（b ）
【解】 0-时刻电路处于直流稳态，电路的起始状态为 解得 A 1)0(=-L i 。则
图(0)40(0)20(0)402020V C L L u i i ---=-=-=
运算电路如（b ）所示。注意，开关S 闭合后，10R i =，所以受控源电压为零，相当于短路。 【复频域分析法例题】图X 所示电路，在开关S 闭合前已处于稳态，试用运算法求)(t u L 。（华北电力大学2000年考研试题）
(a) (b)
图X
【解】（1）求)0(-L i 和)0(-C u 。-=0t 时，电路处于直流稳态，电感短路，电容开路，所以
A 55
.25.225
)0(=+=
-L i ， V 5.12)0(5.2)0(==--L C i u
（2）求()L U s 。画出运算电路如图（b ）所示。由该图得 整理得
所以 2212.512562.512.5
()(5)(5)5
L s U s s s s +=
=++++
（3）求)(t u L 。对()L U s 取拉氏反变换得
【网络函数例题】 图X 所示网络共有m 个电容，)(t u o 为输出。求网络的电压转移函数。图中
1R =Ω，1H L =，1F C =。
图X
【解】 注意到1H 电感与Ω1电阻串联再与1F 电容和Ω1电阻串联的并联，其等效运算阻抗为
所以，整个二端网络的输入运算阻抗为 由分压公式得 依此类推
所以，网络的电压转移函数为 注：求网络函数时，电路应为零状态。
【网络函数例题】某网络函数的零、极点分布如图示例10-6所示，且3
16
)0(=
H ，求该网络函数。 图示例10-6
【解】 由零、极点分布图可知，此网络函数有3个极点：11-=p ，2
3232j p +-
=，2
3
233j p --
=；2个零点：21=z ，42=z 。则 令0=s ，有 则20=H ，所以
【网络函数例题】某线性电路在正弦输入电压()s u t 作用下的正弦稳态输出电压()o u t 的相量为
2
()23s
U U j j ωωω
=-+&&。求输入电压为3()V t e t ε-时电路的零状态响应()of u t 。
【解】 电路的正弦网络函数为 所以
输入3()()t
s u t e t ε-=的象函数1
()3
s U s s =
+，则零状态输出电压()of u t 的象函数为 所以，电路的零状态响应为
七、 习题 （见《电路理论习题与解法指导》） 八、 自测题（见《电路理论习题与解法指导》） 九、 板书设计 （见电子教案） 十、 背景资料与课外阅读研究
提出背景
20 世纪 20 年代，英国电气工程师海维赛德（ Oliver Heaviside ）（ 1850 — 1925 ）提出的解决电路瞬态计算的运算微积分（运算术），行之有效而缺乏严格的证明，赫维赛德对此并不以为然，说他是否因为不完全了解消化过程而拒绝进餐。很多工程师和数学家致力于解决这一问题，终于发现拉普拉斯提出的一些积分恰好能为运算微积分提供严密的基础，形成 20 世纪 30 年代中期出现的拉普拉斯变换法。 人物介绍
拉普拉斯 （Pierre Simon Laplace ，1749 — 1827），巴黎军事学院数学教授。1779 年在发表题为“ On What Follows ”（下一步是什么）的论文中提出了两种函数之间的双向惟一关系，并用以求解微分方程。然而拉普拉斯变换在应用中的真正价值，在其后一个多世纪中一直未被人们认识。 海维赛德（ Oliver Heaviside ）（ 1850 — 1925 ）（暂缺）
最新发展
多重拉普拉斯变换用于弱非线性电路的频域分析，发展出了分析弱非线性电路的伏特拉（Volterra ）级数法。
第5章频域分析法 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 思考与习题祥解 题判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。
《机电系统控制基础》大作业一 基于MATLAB的机电控制系统响应分析 哈尔滨工业大学 2013年11月4日
1 作业题目 1. 用MATLAB 绘制系统2 ()25()() 425 C s s R s s s Φ== ++的单位阶跃响应曲线、单位斜坡响应曲线。 2. 用MATLAB 求系统2 ()25 ()()425 C s s R s s s Φ==++的单位阶跃响应性能指标：上升时间、峰值时间、调节时间和超调量。 3. 数控直线运动工作平台位置控制示意图如下： X i 伺服电机原理图如下： L R (1)假定电动机转子轴上的转动惯量为J 1，减速器输出轴上的转动惯量为J 2，减速器减速比为i ，滚珠丝杠的螺距为P ，试计算折算到电机主轴上的总的转动惯量J ； (2)假定工作台质量m ，给定环节的传递函数为K a ，放大环节的传递函数为K b ，包括检测装置在内的反馈环节传递函数为K c ，电动机的反电势常数为K d ，电动机的电磁力矩常数为K m ，试建立该数控直线工作平台的数学模型，画出其控制系统框图； (3)忽略电感L 时，令参数K a =K c =K d =R=J=1，K m =10，P/i =4π，利用MATLAB 分析kb 的取值对于系统的性能的影响。
2 题目1 单位脉冲响应曲线 单位阶跃响应曲线
源代码 t=[0:0.01:1.6]; %仿真时间区段和输入 nC=[25]; dR=[1,4,25]; fi=tf(nC,dR); %求系统模型 [y1,T]=impulse(fi,t); [y2,T]=step(fi,t); %系统响应 plot(T,y1); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; plot(T,y2); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; %生成图形 3 题目2 借助Matlab，可得： ans = 0.4330 0.6860 25.3826 1.0000 即
实验名称： 控制系统的频域分析 实验类型：________________同组学生姓名：__________ 一、实验目的和要求 用计算机辅助分析的方法，掌握频率分析法的三种方法，即Bode 图、Nyquist 曲线、Nichols 图。 二、实验内容和原理 （一）实验原理 1．Bode(波特)图 设已知系统的传递函数模型： 1 1211121)(+-+-+???+++???++=n n n m m m a s a s a b s b s b s H 则系统的频率响应可直接求出： 1 1211121)()()()()(+-+-+???+++???++=n n n m m m a j a j a b j b j b j H ωωωωω MATLAB 中，可利用bode 和dbode 绘制连续和离散系统的Bode 图。 2．Nyquist(奈奎斯特)曲线 Nyquist 曲线是根据开环频率特性在复平面上绘制幅相轨迹，根据开环的Nyquist 线，可判断闭环系统的稳定性。 反馈控制系统稳定的充要条件是，Nyquist 曲线按逆时针包围临界点(-1，j0)p 圈，为开环传递函数位于右半s 一平面的极点数。在MATLAB 中，可利用函数nyquist 和dnyquist 绘出连续和离散系统的乃氏曲线。 3．Nicho1s(尼柯尔斯)图 根据闭环频率特性的幅值和相位可作出Nichols 图，从而可直接得到闭环系统的频率特性。在 MATLAB 中，可利用函数nichols 和dnichols 绘出连续和离散系统的Nichols 图。 （二）实验内容 1．一系统开环传递函数为 ) 2)(5)(1(50)(-++=s s s s H 绘制系统的bode 图，判断闭环系统的稳定性，并画出闭环系统的单位冲击响应。 2．一多环系统 ) 10625.0)(125.0)(185.0(7.16)(+++=s s s s s G 其结构如图所示 试绘制Nyquist 频率曲线和Nichols 图，并判断稳定性。 （三）实验要求
501 第五章 线性系统的频域分析法 5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为)(s Φ，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数)cos()(φω+=t A t r 时，系统的稳态输出为 )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。 证明：根据三角定理，输入信号可表示为 )90sin()( ++=φωt A t r ， 根据频率特性的定义，有 ]90)(sin[|)(|)( +Φ∠++Φ=ωφωωj t j A t c ss ， 根据三角定理，得证： )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。 5-2 若系统的单位阶跃响应 t t e e t c 948.08.11)(--+-=， 试确定系统的频率特性。 解：s s s s C 1 361336)(2++= ，36 1336)(2++=s s s G ，)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=； 2 /122/12) 81()16(36 |)(|ωωω++=j G ，9arctan 4arctan )(ωωω--=∠j G 。 或：)(2.7)()(94t t e e t c t g ---== ；36 1336 )]([)(2 ++==s s t g L s G ； 5-3 设系统如下图所示，试确定输入信号 )452cos()30sin()( --+=t t t r 作用下，系统的稳态误差)(t e ss 。 解：2 1)(++=Φs s s e ； )452sin()30sin()( +-+=t t t r 6325.0|)(|=Φj e ， 4.186.2645)(=-=Φ∠j ； 7906.0|)2(|=Φj e ， 4.18454.63)2(=-=Φ∠j ； 答案：)4.632sin(7906.0)4.48sin(6325.0)( +-+=t t t e ss 。 5-4 典型二阶系统的开环传递函数 ) 2()(2 n n s s s G ωζω+= ， 当取t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出为 )45sin(2)( -=t t c ss ， 试确定系统参数n ω和ζ。 解：2 222)(n n n s s s ωζωω++=Φ； 1] 4)1[(2 2222=+-n n n ωζωω， 451 2arctan 2 -=--n n ωζω； 122 -=n n ωζω， 答案：414.12==n ω，3536.04/2==ζ。
实验六 线性系统的频域分析 一. 实验目的 （1）熟练掌握使用MA TLAB 命令绘制控制系统Nyquist 图的方法； （2）能够分析控制系统Nyquist 图的基本规律； （3）加深理解控制系统乃奎斯特稳定性判据的实际应用； （4）学会利用奈氏图设计控制系统； （5）熟练掌握运用MA TLAB 命令绘制控制系统伯德图的方法； （6）了解系统伯德图的一般规律及其频域指标的获取方法； （7）熟练掌握运用伯德图分析控制系统稳定性的方法； （8）设计超前校正环节并绘制Bode 图； （9）设计滞后校正环节并绘制Bode 图。 二. 实验原理及内容 1、频率特性函数)(ωj G 。 频率特性函数为： n n n n m m m m a j a j a j a b j b j b j b jw G ++???++++???++= ---)()()()()()()(1101110ωωωωωω 由下面的MATLAB 语句可直接求出G(jw)。 i=sqrt(-1) % 求取-1的平方根 GW=polyval(num ，i*w)./polyval(den ，i*w) 2、用MATLAB 作奈魁斯特图。 控制系统工具箱中提供了一个MATLAB 函数nyquist( )，该函数可以用来直接求解Nyquist 阵列或绘制奈氏图。当命令中不包含左端返回变量时，nyquist （）函数仅在屏幕上产生奈氏图，命令调用格式为： nyquist(num,den) ; 作Nyquist 图， nyquist(num,den,w); 作开环系统的奈氏曲线， 3、奈奎斯特稳定性判据（又称奈氏判据） 反馈控制系统稳定的充分必要条件是当ω从-∞变到∞时，开环系统的奈氏曲线不穿过点（-1，j0）且逆时针包围临界点（-1，j0）点的圈数R 等于开环传递函数的正实部极点数。 4、用MATLAB 作伯德图 控制系统工具箱里提供的bode()函数可以直接求取、绘制给定线性系统的伯德图。 命令的调用格式为： [mag,phase,w]=bode(num,den) [mag,phase,w]=bode(num,den,w) 由于伯德图是半对数坐标图且幅频图和相频图要同时在一个绘图窗口中绘制，因此，要用到半对数坐标绘图函数和子图命令。 （1） 对数坐标绘图函数 利用工作空间中的向量x ，y 绘图，要调用plot 函数，若要绘制对数或半对数坐标图，只需要用相应函数名取代plot 即可，其余参数应用与plot 完全一致。 （2） 子图命令
第5章 用MATLAB 进行控制系统频域分析 一、基于MATLAB 的线性系统的频域分析基本知识 （１）频率特性函数)(ωj G 。 设线性系统传递函数为： n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b s G ++???++++???++=---1101110)( 则频率特性函数为： n n n n m m m m a j a j a j a b j b j b j b jw G ++???++++???++=---)()()()()()()(1101110ωωωωωω 由下面的MATLAB 语句可直接求出G(jw)。 i=sqrt(-1) % 求取-1的平方根 GW=polyval(num ，i*w)./polyval(den ，i*w) 其中（num ，den ）为系统的传递函数模型。而w 为频率点构成的向量，点右除（./）运算符表示操作元素点对点的运算。从数值运算的角度来看，上述算法在系统的极点附近精度不会很理想，甚至出现无穷大值，运算结果是一系列复数返回到变量GW 中。 （２）用MATLAB 作奈魁斯特图。 控制系统工具箱中提供了一个MATLAB 函数nyquist( )，该函数可以用来直接求解Nyquist 阵列或绘制奈氏图。当命令中不包含左端返回变量时，nyquist （）函数仅在屏幕上产生奈氏图，命令调用格式为： nyquist(num,den) nyquist(num,den,w) 或者 nyquist(G) nyquist(G,w) 该命令将画出下列开环系统传递函数的奈氏曲线： ) () ()(s den s num s G = 如果用户给出频率向量w,则w 包含了要分析的以弧度/秒表示的诸频率点。在这些频率点上，将对系统的频率响应进行计算，若没有指定的w 向量，则该函数自动选择频率向量进行计算。 w 包含了用户要分析的以弧度/秒表示的诸频率点,MATLAB 会自动计算这些点的频率响应。 当命令中包含了左端的返回变量时，即: [re,im,w]=nyquist(G) 或
自动控制理论 上 机 实 验 报 告 学院：机电工程学院 班级：13级电信一班
： 学号： 实验三 线性系统的频域分析 一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。 二、基础知识及MATLAB 函数 频域分析法是应用频域特性研究控制系统的一种经典方法。它是通过研究系统对正弦信号下的稳态和动态响应特性来分析系统的。采用这种方法可直观的表达出系统的频率特性，分析方法比较简单，物理概念明确。 1．频率曲线主要包括三种:Nyquist 图、Bode 图和Nichols 图。 1）Nyquist 图的绘制与分析 MATLAB 中绘制系统Nyquist 图的函数调用格式为: nyquist(num,den) 频率响应w 的围由软件自动设定 nyquist(num,den,w) 频率响应w 的围由人工设定 [Re,Im]= nyquist(num,den) 返回奈氏曲线的实部和虚部向量， 不作图 例4-1:已知系统的开环传递函数为2 526 2)(2 3++++=s s s s s G ，试绘制Nyquist 图，并判断系统的稳定性。
num=[2 6]; den=[1 2 5 2]; [z,p,k]=tf2zp(num,den); p nyquist(num,den) 极点的显示结果及绘制的Nyquist 图如图4-1所示。由于系统的开环右根数P=0，系统的Nyquist 曲线没有逆时针包围（-1，j0）点，所以闭环系统稳定。 p = -0.7666 + 1.9227i -0.7666 - 1.9227i -0.4668 若上例要求绘制)10,10(32-∈ω间的Nyquist 图，则对应的MATLAB 语句为: num=[2 6]; den=[1 2 5 2]; w=logspace(-1,1,100); 即在10-1和101之间，产生100个等距 离的点 nyquist(num,den,w) 2）Bode 图的绘制与分析 系统的Bode 图又称为系统频率特性的对数坐标图。Bode 图有两图，分别绘制开环频率特性的幅值和相位与角频率ω的关系曲线，称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。 MATLAB 中绘制系统Bode 图的函数调用格式为: bode(num,den) 频率响应w 的围由软件自动设定 bode(num,den,w) 频率响应w 的围由人工设定 图4-1 开环极点的显示结果及Nyquist 图
本章重点： (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念 (4) 网络函数的极点和零点 14.1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉氏变换法 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f (t)与复变函数F (s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。2. 拉氏变换的定义 定义 [ 0 , ∞)区间函数 f (t )的拉普拉斯变换式： ?? ? ???=?=∞+∞-+∞-- d )(πj 21)( d )()(0反变换正变换s e s F t f t e t f s F st j c j c st [][])s (L )( )(L )s ( F t f t f F -1，简写== S: 复频率，ωσj s += 注意： ● 积分域：0-：积分下限从0- 开始，称为0- 拉氏变换 。 0+：积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。 今后讨论的均为0 - 拉氏变换。 t e t f t e t f t e t f s F st st st d )(d )( d )()(00 00?+?=?=∞ --+∞ -++-- （[0- ,0＋]区间f (t) = δ (t) 时，此项≠0） ● 象函数F(s) 存在的条件：∞
1 γ = 50 20- =s K0
原系统的伯德图： num/den = 1.2347 s + 1 ------------- 0.20154 s + 1 校正之后的系统开环传递函数为: num/den = 6.1734 s + 5 ------------------------------------------- 0.20154 s^4 + 1.6046 s^3 + 3.4031 s^2 + 2 s alpha =6.1261; P h a s e (d e g ) Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , P m = 9.04 deg (at 3.14 rad/sec) -200204060 80M a g n i t u d e (d B )
[il,ii]=min(abs(mag1-1/sqrt(alpha))); wc=w( ii); T=1/(wc*sqrt(alpha)); numc=[alpha*T,1]; denc=[T,1]; [num,den]=series(num0,den0,numc,denc); [gm,pm,wcg,wcp]=margin(num,den); printsys(numc,denc) disp('D￡?y??oóμ??μí3?a?·′?μYoˉêy?a:');printsys(num,den) [mag2,phase2]=bode(numc,denc,w); [mag,phase]=bode(num,den,w); subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(mag),w,20*log10(mag1),'--',w,20*log10(mag2),'-.'); grid; ylabel('·ù?μ(db)'); title('--Go,-Gc,GoGc'); subplot(2,1,2); semilogx(w,phase,w,phase1,'--',w,phase2,'-',w,(w-180-w),':'); grid; ylabel('?à??(0)'); xlabel('?μ?ê(rad/sec)'); title(['D￡?y?°￡o·ù?μ?￡á?=',num2str(20*log10(gm1)),'db','?à???￡á?=',num2str(pm1),'0'; 'D￡?yoó￡o·ù?μ?￡á?=',num2str(20*log10(gm)),'db','?à???￡á?=',num2s tr(pm),'0']); 10-110 10 1 10 2 -60 -40-20020 40幅值(d b ) --Go,-Gc,GoGc 10 -110 10 1 10 2 -300 -200-1000 100相位(0) 频率(rad/sec) 矫正后系统的伯德图
控制系统时域与频域性能指标的联系 经典控制理论中，系统分析与校正方法一般有时域法、复域法、频域法。时域响应法是一种直接法，它以传递函数为系统的数学模型，以拉氏变换为数学工具，直接可以求出变量的解析解。这种方法虽然直观，分析时域性能十分有用，但是方法的应用需要两个前提，一是必须已知控制系统的闭环传递函数，另外系统的阶次不能很高。 如果系统的开环传递函数未知，或者系统的阶次较高，就需采用频域分析法。频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递函数性能的分析方法，而且当系统的数学模型未知时，还可以通过实验的方法建立。此外，大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统时，分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加。 在进行控制系统分析时，可以根据实际情况，针对不同数学模型选用最简洁、最合适的方法，从而使用相应的分析方法，达到预期的实验目的。 系统的时域性能指标与频域性能指标有着很大的关系，研究其内在联系在工程中有着很大的意义。 一、系统的时域性能指标 延迟时间t d 阶跃响应第一次达到终值h (∞)的50%所需的时间 上升时间 t r 阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；对有振荡的系 统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间 峰值时间t p 阶跃响应越过终值h (∞)达到第一个峰值所需的时间 调节时间 t s 阶跃响应到达并保持在终值h (∞)的±5%误差带内所需的最短时间 超调量%σ 峰值h( t p )超出终值h (∞)的百分比，即 %σ= () ()() ∞∞-h h h t p ?100% 二、系统频率特性的性能指标 采用频域方法进行线性控制系统设计时，时域内采用的诸如超调量，调整时间等描述系统性能的指标不能直接使用，需要在频域内定义频域性能指标。
实验四 专业 自动化 班号 03班 指导教师 陈艳飞 姓名 胡波 实验名称 线性系统的频域分析 实验日期 第 次实验 一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。 二、实验内容 1．典型二阶系统 2 2 22)(n n n s s s G ωζωω++= 绘制出6=n ω，1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。 解: 程序如下: num=[0 0 36];den1=[1 1.2 36];den2=[1 3.6 36]; den3=[1 6 36];den4=[1 9.6 36];den5=[1 24 36]; w=logspace(-2,3,100); bode(num,den1,w) grid hold bode(num,den2,w) bode(num,den3,w) bode(num,den4,w) bode(num,den5,w)
-100-80-60-40-200 20M a g n i t u d e (d B )10 -2 10 -1 10 10 1 10 2 10 3 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 分析：随着.0=ζ的增大 ,伯德图在穿越频率处的尖峰越明显,此处用渐近线代替时误差越大. 2．系统的开环传递函数为 ) 5)(15(10 )(2+-= s s s s G ) 106)(15() 1(8)(22++++= s s s s s s G ) 11.0)(105.0)(102.0() 13/(4)(++++= s s s s s s G 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图和Nichols 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 解: 程序如下 奈氏曲线: (1) num1=[0,0,10];den1=conv([1,0],conv([1,0],conv([5,-1],[1,5]))); w=logspace(-1,1,100); nyquist(num1,den1,w)
第十四章 动态电路的复频域分析 一、选择题 1． 图13—1所示电感元件的电压、电流关系的运算形式是 B 。 A ．)0()()(-+=L L L Li s sLI s U ； B ．)0()()(--=L L L Li s sLI s U ； C ．s i s sLI s U L L L ) 0()()(-+ = 2． 图13—2所示电容元件的电压、电流关系的运算形式是 A 。 A ．s u s I sC s U c c c ) 0()(1)(-+=； B ．s u s I sC s U c c c ) 0()(1)(--=； C ．)0()(1)(--=c c c u C s I sC s U 3．应用运算法分析动态电路时，求得的响应是 C 。 A ． 响应的稳态分量； B ．响应的暂态分量； C ．全响应 4．[]=-ε--ε)]2()1([t t t L C 。 A ．)e 2e 1(12s s s s s ----+； B ．)e 2e 1(e s s s s s s -----+； C ．)e 2e 1(e 2s s s s s s -----+ 5．=??????+++--52e 421s s L s B 。 A ．)1(2sin e 5.0)2sin(e 2) 1(-+---t t t t ； B ．)1()1(2sin e 5.0)()2sin(e 2) 1(-ε-+ε---t t t t t t ； C ． )1()1(2sin e 25.0)()2sin(e ) 1(-ε-+ε---t t t t t t 6.图 b 是 图 a 的 等 效 电 路， 其 中 U (s ) 为：C (A) 20 + s (B) s (C) 20 (D) s 20 20s 7.某 一 阶 电 路 的 电 流 象 函 数 为 5 212 +s ， 则 该 电 路 的 时 间 常 数是：B
北京联合大学 实验报告 课程名称：实验三线性系统的频域分析 学院：自动化专业：电气工程与自动化 班级：学号： 姓名：成绩： 2014年11月12日
实验三 线性控制系统的频域分析 3. 1 频率特性测试 一．实验目的 1．了解线性系统频率特性的基本概念。 2．了解和掌握对数幅频曲线和相频曲线（波德图）的构造及绘制方法。 二．实验内容及步骤 被测系统是一阶惯性的模拟电路图见图3-1，观测被测系统的幅频特性和相频特性，填入实验报告，並在对数座标纸上画出幅频特性和相频特性曲线。 本实验将正弦波发生器（B5）单元的正弦波加于被测系统的输入端，用虚拟示波器观测被测系统的幅频特性和相频特性，了解各种正弦波输入频率的被测系统的幅频特性和相频特性。 图3-1 被测系统的模拟电路图 实验步骤： （1）将函数发生器（B5）单元的正弦波输出作为系统输入。 ① 在显示与功能选择（D1）单元中，通过波形选择按键选中‘正弦波’（正弦波指示灯亮）。 ② 量程选择开关S2置下档，调节“设定电位器2”，使之正弦波频率为8Hz （D1单元右显示）。 ③ 调节B5单元的“正弦波调幅”电位器，使之正弦波振幅值输出为2V 左右（D1单元左显示）。 （2）构造模拟电路：按图3-1安置短路套及测孔联线，表如下。 （a ）安置短路套 （b ）测孔联线 （3）运行、观察、记录：
①运行LABACT程序，在界面的自动控制菜单下的线性控制系统的频率响应 分析实验项目，选择 时域分析，就会弹出虚拟示波器的界面，点击开始，用示波器观察波形，应避免系统进入非线性状态。 ②点击停止键后，可拖动时间量程（在运行过程中，时间量程无法改变），以满 足观察要求。 示波器的截图详见虚拟示波器的使用。 三．实验报告要求： 按下表改变实验被测系统正弦波输入频率：（输入振幅为2V）。 观测幅频特性和相频特性，填入实验报告。並画出幅频特性、相频特性曲线。 频率=1.6Hz 频率=3.2Hz
线性系统的频域分析 1．实验目的 1. 掌握用MATLAB语句绘制各种各样频域曲线。 2. 掌握控制系统的频域分析方法。 二．练习： 1．典型二阶系统 绘制出，，0.3，0.5，0.8，2的bode图，记录并分析对系统bode图的影响。 解：MATLAB编程如下： >> num=[0 0 36];den1=[1 1.2 36];den2=[1 3.6 36]; >> den3=[1 6 36];den4=[1 9.6 36];den5=[1 24 36]; >> w=logspace(-2,3,100); >> bode(num,den1,w) >> grid >> hold Current plot held >> bode(num,den2,w) >> bode(num,den3,w) >> bode(num,den4,w) >> bode(num,den5,w)
（2）系统的开环传递函数为 绘制系统的Nyquist曲线Bode图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 解：（1）MATLAB如下 >> num1=[0,0,10];den1=conv([1,0],conv([1,0],conv([5,-1],[1,5]))); >> w=logspace(-1,1,100); >> nyquist(num1,den1,w)
（2）MATLAB编程如下： >> num2=[8,8];den2=conv([1,0],conv([1,0],conv([1,15],[1,6,10]))); >> w=logspace(-1,1,100); >> nyquist(num2,den2)
实验二用MATLAB实现线性系统的频域分析 [实验目的] 1．掌握MATLAB平台下绘制典型环节及系统开环传递函数的Bode图和Nyquist图（极坐标图）绘制方法； 2．掌握利用Bode图和Nyquist图对系统性能进行分析的理论和方法。 [实验指导] 一、绘制Bode图和Nyquist图 1．Bode图绘制 采用bode()函数，调用格式： ①bode(sys)；bode(num,den)； 系统自动地选择一个合适的频率范围。 ②bode(sys，w)； 其中w(即ω)是需要人工给出频率范围，一般由语句w=logspace(a,b,n)给出。logspace(a,b,n)：表示在10a到10b之间的 n个点,得到对数等分的w值。 ③bode(sys,{wmin,wmax})； 其中{wmin,wmax}是在命令中直接给定的频率w的区间。 以上这两种格式可直接画出规范化的图形。 ④[mag,phase,ω]=bode(sys)或[m,p]=bode(sys) 这种格式只计算Bode图的幅值向量和相位向量，不画出图形。 m为频率特性G(jω )的幅值向量; p为频率特性G(jω )的幅角向量，单位为角度（°）。 w为频率向量，单位为[弧度]/秒。 在此基础上再画图，可用： subplot(211);semilogx(w,20*log10(m) %对数幅频曲线 subplot(212);semilogx(w,p) %对数相频曲线 ⑤bode(sys1,sys2,…,sysN) ; ⑥bode((sys1,sys2,…,sysN，w); 这两种格式可在一个图形窗口同时绘多个系统的bode图。 2. Nyquist曲线的绘制
武汉工程大学实验报告 专业 电气自动化03班 班号 1104150318 组别 指导教师 陈艳菲 姓名 彭雪君 同组者 个人 实验名称 实验四 线性系统的频域分析 实验日期 2014-04-16 第 4 次实验 一、 实验目的 1. 掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2. 掌握控制系统的控制方法。 二、 实验内容 1. 典型二阶系统 2222)(n n n s s s G ωζωω++= 绘制出6=n ω，1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。 2.系统的开环传递函数为 )5)(15(10)(2+-= s s s s G )106)(15()1(8)(22++++=s s s s s s G )11.0)(105.0)(102.0()13/(4)(++++=s s s s s s G 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图和Nichols 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 3.已知系统的开环传递函数为) 11.0(1)(2++=s s s s G 。求系统的开环截止频率、穿越频率、幅值裕度和相位裕度。应用频率稳定判据判定系统的稳定性。
三、实验结果分析 1．6=n ω，ζ分别取1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2时，系统的bode 图绘制： 源程序代码及图形： >> num=[0 0 36]; >> den1=[1 1.2 36];>> den2=[1 3.6 36]; >> den3=[1 6 36];>> den4=[1 9.6 36]; >> den5=[1 24 36]; >> bode(num,den1) >> grid >> text(4.2,-15,'Zeta=0.1'); >> hold >> bode(num,den2) >> text(3,-22,'0.3');>> bode(num,den3) >> text(2,-32,'0.5');>> bode(num,den4) >> text(3,-45,'0.8');>> bode(num,den5) >> text(1.8,-50,'2'); 结果分析：从图中可看出ζ越小，中频段振荡越剧烈。该二阶系统是典型的振荡环节，谐 振频率)220(21222≤<*-*=ζζωωn r ，谐振峰值)220(121222≤<-**=ζζζr M ，当2 202<<ζ时，r ω,r M 均为ζ的减函数，ζ越小，r M ，r ω越大，振荡幅度越大，超调量越大，过程越不平 稳且系统响应速度越慢，当 12 22 <<ζ时。)(ωA 单调减小，此时无谐振峰值和谐振频率，过程较平稳。
课程名称： 控制理论乙 指导老师： 成绩：__________________ 实验名称： 控制系统的频域分析 实验类型：________________同组学生姓名：__________ 一、实验目的和要求 用计算机辅助分析的方法，掌握频率分析法的三种方法，即Bode 图、Nyquist 曲线、Nichols 图。 二、实验内容和原理 （一）实验原理 1．Bode(波特)图 设已知系统的传递函数模型： 1 1 211 121)(+-+-+???+++???++=n n n m m m a s a s a b s b s b s H 则系统的频率响应可直接求出： 1 1 211 121)()()()()(+-+-+???+++???++=n n n m m m a j a j a b j b j b j H ωωωωω MATLAB 中，可利用bode 和dbode 绘制连续和离散系统的Bode 图。 2．Nyquist(奈奎斯特)曲线 Nyquist 曲线是根据开环频率特性在复平面上绘制幅相轨迹，根据开环的Nyquist 线，可判断闭环系统的稳定性。 反馈控制系统稳定的充要条件是，Nyquist 曲线按逆时针包围临界点(-1，j0)p 圈，为开环传递函数位于右半s 一平面的极点数。在MA TLAB 中，可利用函数nyquist 和dnyquist 绘出连续和离散系统的乃氏曲线。 3．Nicho1s(尼柯尔斯)图 根据闭环频率特性的幅值和相位可作出Nichols 图，从而可直接得到闭环系统的频率特性。在 MATLAB 中，可利用函数nichols 和dnichols 绘出连续和离散系统的Nichols 图。 （二）实验内容 1．一系统开环传递函数为 ) 2)(5)(1(50 )(-++= s s s s H 绘制系统的bode 图，判断闭环系统的稳定性，并画出闭环系统的单位冲击响应。 2．一多环系统 ) 10625.0)(125.0)(185.0(7.16)(+++= s s s s s G 其结构如图所示 试绘制Nyquist 频率曲线和Nichols 图，并判断稳定性。
武汉工程大学实验报告 专业 自动化 班号 组别 指导教师 姓名 同组者 实验名称 线性系统的频域分析 实验日期 2016/4/4 第 5 次实验 一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。 二、实验内容 1．典型二阶系统 2 2 22)(n n n s s s G ωζωω++= 绘制出6=n ω，1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。 解: 程序如下: num=[0 0 36];den1=[1 1.2 36];den2=[1 3.6 36]; den3=[1 6 36];den4=[1 9.6 36];den5=[1 24 36]; w=logspace(-2,3,100); bode(num,den1,w) grid hold bode(num,den2,w)
bode(num,den3,w) bode(num,den4,w) bode(num,den5,w) -100-80-60-40-200 20M a g n i t u d e (d B )10 10 10 10 10 10 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 分析：随着.0=ζ的增大 ,伯德图在穿越频率处的尖峰越明显,此处用渐近线代替时误差越大. 2．系统的开环传递函数为 ) 5)(15(10 )(2+-= s s s s G ) 106)(15() 1(8)(2 2++++= s s s s s s G ) 11.0)(105.0)(102.0() 13/(4)(++++= s s s s s s G 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 解: 程序如下 奈氏曲线: (1) num1=[0,0,10];den1=conv([1,0],conv([1,0],conv([5,-1],[1,5]))); w=logspace(-1,1,100);
第十四章线性动态电路的复频域分析 一、教学目标 应用拉氏变换分析线性时不变网络时，可以先列出网络的积分微分方程，然后变换为复频域中的代数方程并求解；也可以先将各电路元件的特性方程变换成复频域形式，再作出线性时不变网络的运算电路，然后直接列出网络在复频域中的代数方程并求解。一般来说，后一种方法比前一种方法简便。本章介绍的就是后一种方法。 1.知识教学点 (1)拉普拉斯变换的复习：定义和性质；常用信号（即基本函数）的象函数；部分分式展 开定理 (2)运算电路：KCL、KVL的s域形式；元件V AR的s域形式及元件的s域模型；运算电 路的画法 (3)电阻电路分析方法在运算电路中的应用 (4)线性动态电路的复频域分析法 (5)网络函数：定义、分类、性质；极点、零点与极零点图；() H jω之间的关系 H s与() 2.能力训练点 （1）利用拉普拉斯变换的性质和常用信号的象函数求原函数的象函数；用部分分式展开定理由象函数求原函数 （2）正确画出运算电路 （3）应用电阻电路的分析方法分析运算电路 （4）求网络函数及其极点、零点 （5）由网络函数求零状态响应及稳态响应 3.其它 （1）掌握复频域分析法的优缺点及其应用范围 （2）了解卷积定理：时域卷积←→频域相乘 二、教学方法 1 教法指导 （1）指导学生复习数学积分变换中已经学过的拉氏变换（定义、常用信号的象函数、性质）和高等数学不定积分中的有理函数的分解（求拉氏反变换的部分分式展开法）。重点放在部分分式展开法。 （2）与相量法类比介绍运算电路的画法，特别应注意储能元件（电容和电感）的s域模型。（3）与电阻电路类比，介绍运算电路的分析。 （4）在介绍网络函数时，特别要强调电路为零状态。讲解清楚() H s的求法及其几种表示方法； h t的联系；网络函数的一些应用。 () H jω及() H s、() 2 学法指导 预备知识数学方面：积分变换中的傅氏变换与拉氏变换；高等数学不定积分中的有理函数的分 解（樊映川等编.高等数学讲义.人民教育出版社，1958：7.6（pp.355-361））电路方面：电阻电路、正弦稳态电路的相量法、动态电路的基本概念。 本章指南（1）掌握由原函数求象函数的方法；熟练掌握用部分分式展开定理由象函数求原函数。
第五章线性系统的频域分析法 5-1 什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？ 答对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-1所示，称这种过程为系统的频率响应。 图5-1 问5-1图 称为系统的幅频特性，它是频率的函数；称为 系统的相频特性，它是频率的函数：称为系统的频率特性。 稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。 5-2 频率特性与传递函数的关系是什么？试证明之。 证若系统的传递函数为，则相应系统的频率特性为，即将传递函数中的s用代替。证明如下。 假设系统传递函数为： 输入时， 经拉氏反变换，有： 稳态后，则有： 其中：
将与写成指数形式： 则： 与输入比较得： 幅频特性相频特性 所以是频率特性函数。 5-3 频率特性的几何表示有几种方法？简述每种表示方法的基本含义。 答频率特性的几何表示一般有3种方法。 ⑴幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线或极坐标图）。它以频率为参变量，以复平面上 的矢量来表示的一种方法。由于与对称于实轴，所以一般仅画 出的频率特性即可。 ⑵对数频率特性曲线（伯德图）。此方法以幅频特性和相频特性两条曲线来表示系统的 频率特性。横坐标为，但常用对数分度。对数幅频特性的纵坐标为 ，单位为dB。对数相频特性的纵坐标为，单位为“。”（度）。 和都是线性分度。横坐标按分度可以扩大频率的表示范围，幅频特性采用 可给作图带来很大方便。 ⑶对数幅相频率特性曲线（尼柯尔斯曲线）。这种方法以为参变量，为横坐标， 为纵坐标。 5-4 什么是典型环节？ 答将系统的开环传递函数基于根的形式进行因式分解，可划分为以下几种类型，称为 典型环节。①比例环节k(k>0) ；②积分环节；③微分环节s；④惯性环节； ⑤一阶微分环节