数学物理方程例题和习题
（2009-10-31）
一、二阶常微分方程常数变易法
二阶常微分方程初值问题
??
?='=>=+''β
αω)0(,)0(0
),()()(2y y x x f x y x y 先考虑对应齐次方程：02=+''y y ω。利用辅助方程
022=+ωm ， ωi m ±=
得齐次方程通解
)sin()cos()(21x C x C x y ωω+=
将常数替换为待定的函数，即
)sin()()cos()()(x x v x x u x y ωω+=
有两个未知函数待定。代入微分方程得恒等式，由一个等式不能唯一确定两个函数。如果人
为增加一个等式，就可以构造出二元线性方程组，朗斯基行列式方法是成功的确定两个待定函数的方法，方法如下，对假设的函数求一阶导数，得
在上面表达式中，令第一个方栝号为零，得第一个等式
0)sin()cos(='+'x v x u ωω
同时，由
)cos()sin(x v x u y ωωωω+-='
继续求导数，得
)]sin()cos([)]cos()sin([22x v x u x v x u y ωωωωωωωω+-'+'-=''
代入方程，得第二个等式
f x v x u ='+'-)cos()sin(ωωωω
将两个等式联立，得线性代数方程组
??
?='+'-=+'f
x v x u x v x u )cos()sin(0
)sin()cos(ωωωωωω 或写成矩阵形式
??
????=??????''??????-f v u x x x x 0)cos()sin()sin()
cos(ωωωωωω 上式的系数矩阵行列式称为朗斯基行列式，由于
ωωωωωωω=-=
)
cos()sin()
sin()cos(x x x x ?
利用克莱姆法则解方程组，有
)sin()()cos()sin(01x x f x f x ωωωω-==?，)cos()()
sin(0
)cos(2x x f f
x x ωωωω=-=
? )sin()(1
/1x x f u ωω
-
=='??，)cos()(1
/2x x f v ωω
=
='??
)]cos()sin([)]sin()cos([x v x u x v x u y ωωωωωω+-+'+'='
积分，得两个待定函数表达式
10
)sin()(1
)(C d f x u x
+-
=?
ξωξξω，20
)cos()(1
)(C dgx f x v x
+=
?
ωξξω
代入常数变易法假设的函数中，得
)sin()cos(21x C x C y ωω+=
??+
-x
x
d f x dx f x 0
)()cos()sin(1
)()sin()cos(1
ξξωξωω
ξωξωω
利用初始条件确定任意常数C 1和C 2，显然
α=1C ，ωβ/2=C
代入并利用三角函数和差化积公式，得
?-++=x
d f x x x x y 0
)()](sin[1)sin()cos()(ξξξωωωωβωα
二、二阶偏微分方程分类与化简
例1．判别二阶微分方程 0910=++yy xy xx u u u 的类型并求通解。 解：利用判别式
092522112
12>-=-=a a a ?
所以方程是双曲型方程。构造辅助方程
09102=+-λλ
解得：91=λ，12=λ，由
9=dx dy ，1=dx
dy
积分，得
19C x y +=，2C x y +=
由此构造变换
y x -=9ξ，y x -=η
显然，变换矩阵为
??????--=??????=1119y x
y x Q ηηξξ 且
03244]19[119551]19
[≠-=??
????---=??????-??????-
将变换表达式代入方程，化简得0=ξηu ，对其积分，得
)()(ηξg f u +=
其中，g f ,是两个任意一元函数（二阶连续可微）。代回原来变量，得原方程的通解
)()9(y x g y x f u -+-=
三、分离变量法 1．固有值问题
（1）第一类边界条件固有值问题
?
?
?==∈=+''0)(,0)0()
,0(,0L X X L x X X λ 固有值和固有函数
2)(
L n n πλ=，x L
n x X n πsin )(=，（n=1，2，……） （2）第二类边界条的固有值问题
?
?
?='='∈=+''0)(,0)0()
,0(,0L X X L x X X λ 固有值和固有函数
2)(
L n n πλ=，x L
n x X n πcos )(= 例2．求解欧拉方程固有值问题
????
?===+'+''==0
,00
12e x x y y y y x y x λ 解：作变换：)exp(
t x =，即x t ln =，未知函数的导数为 dt
dy
x dx dt dt dy dx dy 1== )(1)(1122222
2dt dy
dx
y d x dt dy dx d x dt dy x dx y d -=+-= 代入微分方程，得
0)(22=++-y dt dy
dt dy dt
y d λ
方程化简为：022=+y dt
y
d λ，
对应边界条件：0,010====t t y y
所以固有值和固有函数为：2)(πλn n =，t n y πsin = 代回原自变量，固有函数为：)ln sin(x n y π=
2．双曲型方程分离变量法
?
??
??====><<=====)
(),(0
,0)0,0(,0002x u x u u u t L x u a u t t t L x x xx tt ψ? 满足边界条件和初值条件的解为
∑∞
=+=1
sin ]sin cos
[),(n n n x L
n t L a n D t L a n C t x u π
ππ 其中系数
?=
L n d L n L C 0sin )(2ξξπξ?，?=L n d L
n a n D 0sin )(2ξξπ
ξψπ，（n=1，2，……） 例3．求解双曲型方程初边值问题
????
???====∞+∈∈=====0
,sin 0
,0)
,0(),,0(,0002t t t x x xx tt u x u u u t x u a u ππ 解：对应的固有值和固有函数分别为：2n n =λ，nx x X n sin )(=，（n=1，2，……）。
满足边界条件的解为
∑∞
=+=1
sin ]sin cos [),(n n n nx ant D ant C t x u
利用初值条件，得
x nx C
n n
sin sin 1
=∑∞
=，0sin 1
=∑∞
=n n nx nD a
对比等式两端，得
C 1=1，C n =0，（n=2，3，……）；
D n = 0，（n=1，2，……）
所以初边值问题的解为
x at t x u sin cos ),(=
2．抛物型方程分离变量法
例4．求解抛物型方程初边值问题
????
???===∞+∈∈====x
u u u t x u a u t x x xx t sin 0
,0),0(),,0(,002ππ 解：对应的固有值和固有函数分别为：2n n =λ，nx x X n sin )(=，（n=1，2，……）。
满足边界条件的解为
∑∞
=-=1
22sin )exp(),(n n nx t n a C t x u
利用初值条件，得
x nx C
n n
sin sin 1
=∑∞
=
对比等式两端，得
C 1=1，C n =0，（n=2，3，……）
所以初边值问题的解为
x t a t x u sin )exp(),(2-=
例5．分离变量法求解热传导问题
????
???-===><<====)
2/.(0
,00,0,00L x u u u t L x u u t L x x x x xx t δ 解：对应的固有值和固有函数分别为
2)(
L n n πλ=，x L
n X n πcos =，（n =0，1，2，…… ） 满足边界条件的解为
∑∞
=-+=020cos ])(exp[2),(n n x L
n t L n C C t x u π
π
利用初始条件，得
)2/(cos 200L x x L
n C C n n -=+∑∞
=δπ 利用付里叶级数展开式，得
2
cos 2cos )2/(20ππδn L xdx L n L x L C L n =-=
?，（n =0，1，2，…… ） 当n 为偶数时，有
L
k L C k k 2
)1(cos 22-==
π 所以，原问题的解
∑∞=--+=122cos ])2(exp[)1(21),(k k x L
k t L k L L t x u π
π
3．椭圆型方程分离变量法
例6．用分离变量法求解拉普拉斯方程边值问题
??
?
??====<<=+)sin(),1(0)1,()0,(),0(1,0,0y y u x u x u y u y x u u yy xx π 解：令u (x ，y )=X (x )·Y (y )，代入拉普拉斯方程，分离变量得
λ='
'-=''Y
Y X X 得两个常微分方程：
0=-''X X λ，0=+''Y Y λ
由边界条件可得，Y (0)=0，Y (1)=0，与第二个方程联立，得固有值问题
?
?
?==∈=+''0)1(,0)0()
1,0(,0)()(Y Y y y Y y Y λ 求解，得固有值和固有函数
22πλn =，)sin()(y n y Y n π=，( n = 1，2，……)
将固有值代入第一个方程中并求解，得
)exp()exp()(x n B x n A x X n n n ππ-+= ( n = 1，2，……)
从而有基本解
)sin()]exp()exp([),(y n x n B x n A y x u n n n πππ-+=
所以有级数形式解
∑∞
=-+=1
)sin()]exp()exp([),(n n n y n x n B x n A y x u πππ
利用边界条件 u (0，y )=0，u (1，y )= sin π y 得
0)sin()(1
=+∑∞
=n n n
y n B A
π
y y n e
B e A n n n
n n
ππππsin )sin()(1
=+∑∞
=-
由此得
A n =
B n =0 ( n ≠1) A 1 +B 1 = 0，A 1 e π +B 1 e -π =1
解得
πsinh 11=-=B A
所以边值问题的解如下
)sin()
sin()
sinh(),(y x y x u πππ=
四、行波法
1．行波法求解无界区域的双曲型方程初值问题
????
?==>+∞<<∞-===)(),(0
,,00
2
x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 的达朗贝尔公式
?+-+++-=
at x at x d a
at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( 例7．求解双曲型方程初值问题
????
?==>+∞<<∞-===1,sin 0
,,00
2t t t xx tt u x u t x u a u 解：应用达朗贝尔公式
?+-+++-=
at x at x d a
at x at x t x u ξ21)]sin()[sin(21),( 整理，得
t at x t x u +=cos sin ),(
例8．求解初值问题：
???==>∞<<-∞+===x
t t t xx tt xe
u x u t x x u u 00|,sin |)
0,(sin 解：利用叠加原理，令 u (x ，t ) = v (x ，t ) + w (x )。代入原方程，得
v tt = [v xx + w xx ] + sin x
故取 w (x ) = sin x ，得v (x ，t )满足的初值问题
???
??===x t
xx tt xe x v x v v v )0,(0)0,( 由达朗贝尔公式，得
?+--+-++---+==t x t x t x t x t x t x e e e t x e t x d e t x v ])()[(2
1
21),(ξξξ
])1()1[(2
1
t x t x e t x e t x -++---+=
所以初值问题的解为
x e t x e t x t x u t x t x sin ])1()1[(2
1
),(++---+=
-+ 2．行波法求解半无界区域的双曲型方程初边值问题 例9．求解半无界弦定解问题
????
???===>∞<<====0
sin ,cos )0,0(0002x x t t t xx tt u x
u x u t x u a u 解：对初始条件函数做偶延拓
??
?<≥=0,cos 0,cos )(x x x x x ?，???<-≥=0
,sin 0,
sin )(x x x x x ψ
应用达朗贝尔公式，当x >0，且 x > at 时，有
?+-+-++=at
x at
x d a at x at x t x u ξξsin 21)]cos()[cos(21),(
)]cos()[cos(21
cos cos at x at x a
at x --+-+
= at x a
at x sin sin 1
cos cos -
= 当x >0，且 x < at 时，有
??+--+-++=
at
x at x d d a at x at x t x u 0
0sin sin [21)]cos()[cos(21),(ξξξξ
)]cos(11)[cos(21
cos cos at x at x a
at x -+--+-+
= )cos cos 1(1
cos cos at x a
at x -+
=
五、付里叶变换方法 重要积分公式
απα/)exp(2=-?
+∞
∞
-dx x
证明：令
?+∞
∞
--=dx x I )exp(2α
则有重积分
?
?
+∞∞-+∞
∞
-+-=dxdy y x I )](exp[222
α
做极坐标变换，有
???+∞
+∞
=-=-=0
2220
2/)exp(2)exp(απαπαθπ
dr r r dr r r d I
所以
απα/)exp(2=-?
+∞
∞
-dx x
例10．求矩形波函数?
??>≤=1||,01
||,1)(x x x f 的付里叶变换。
解：应用付里叶正变换，有
?
?+-+--===11
11
sin 2cos )(?ω
ωωωωxdx dx e f x j 所以矩形波的付里叶变换为：ω
ωωsin 2)(?=f
。 例11．求函数2
cos )(x a x f =的付里叶变换 解：为了方便积分，构造函数
)exp(sin cos )(222iax ax i ax x g -=-=
应用付里叶正变换，有
??+∞
∞
-+∞
∞
-+-=--=dx x ax i dx x i iax x g F )](exp[)exp()exp()]([22ωω
将二次多项式配方
a
a
x a x ax 4)2(2
2
2
ωω
ω-
+
=+
利用重要积分公式，得
)4/exp(//])2(exp[2πππω
i a ia dx a
x ia -==+
-?
+∞
∞
-
所以
a a
i dx a
x ia a
i
x g F /)]4
4(
exp[])2(exp[)4exp()]([2
2
2
ππ
ωω
ω-
=+
-=?∞
+∞
-
提取上式右端的实部，得
)4cos(
/)]([2a
a a x f F π
ωπ-=
六、格林函数方法
通常狄利克雷-格林函数是指如下泊松问题
????
?=Ω
∈=?-0
),(S G M M G δ 的解。其中，Ω是求解区域，而S 是Ω的边界。
由于方程是非齐次方程，可以将格林函数设想为非齐次方程的特解v 和对应齐次方程的解w 两部分，即
G= v – w
这里，v 是非齐次方程（泊松方程）的特解，满足方程 – ?v = δ(M )，不满足边界条件；w 是齐次方程（拉普拉斯方程）的解，满足方程 ?w = 0，也不满足边界条件。
1．二维问题的特解
方程的极坐标形式：)(1)(12
22r v
r r v r r r δθ
=??+????- 假设特解具有对称性，即
0=??θv 。方程化为：)()(1r r
v
r r r δ=????- 在半径为r 的圆域内，对化简后的方程两端积分，得
??
=????-π
ρρ
ρρθ20
1)(r
d v
d 整理，得：12=??-r v r
π，再次对r r v 121π-=??积分，得特解：r
v 1ln 21π=。 2．三维问题的特解
方程的球坐标形式：)(sin 1sin sin 1)(12
222222r v
r v r r v r r r δ?θθθθ
=??+??+????- 假设特解具有球对称性，即
0=??θv ，0=???
v 。方程化为：)()(122r r v r r r δ=????- 在半径为r 的球域内，对化简后的方程两端积分，得
??
?=????-ππρρ
ρρ??θ20
20
1)(sin r
d v
d d 整理，得：142
=??-r v r
π，再次对241r
r v π-=??积分，得特解：r v π41
= 例12．求半径为R 的半圆域上的Dirichler-Green 函数
解：设M (x ，y )是圆域内的任意一点，
M 0(x 0，y 0)是圆域内一定点。构造M 0的镜像点如下：
M 1(x 1，y 1) M 2(x 0，– y 0) M 3(x 1，– y 1)
其中，M 1是M 0关于上半圆的圆外镜像点，M 2是M 0关于x 轴的域外镜像点，M 3既是M 1关于x 轴的镜像点也是M 2关于虚圆的镜
像点。动点M 到M 0以及各镜像点距离
2
0200)
()(y y x x r MM -+-=21211)()(y y x x r MM -+-=
20202)()(y y x x r MM ++-= 21213)()(y y x x r MM ++-=
利用镜像点构造半圆域上的Green 函数如下
]1ln 1ln 1ln 1[ln 21),(3
2100MM MM MM MM r r r r M M G +--=
π 利用对数函数性质，得
3
0210ln 21
)
,(MM MM MM MM r r r r M M G π
复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0z f z e d ζ ζζ=?，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)uxy = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y -
北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期 《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________ 1、( 10分)试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 玫［I h .丿&」V h .丿& 其中E是圆锥体的杨氏模量，「是质量密度，h是圆锥的高(如下图所示) 【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为ES ，S为x处截面面积。】 ex 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是r1和r2，如图所示。于是，我们有 2、：：u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t) E( D) E( * ) ( A )dx 于 x x t r1 = (h「x)tan : r2= (h _(x dx)) tan : 上式化简后可写成
2 2 ：：U(X,t) 2 :：u(x,t) 2, ；u (x,t) E[(h -x) 卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2 从而有 E ：：[(^x)2；：U(x ,t)H-(^x)2：：u2(x,t) .x :X :t 或成 2 ::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩) .x h ：：x h ；：t 其中a^E ，证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片， 它的一边y=b 处于较高温度U ，其它三边y=0. x = 0和x = a 则处于冷却介质中，因而保持较低的温度 u o 。试求该截面上的稳定温度 分布u(x,y)，即求解以下定解问题: u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示：可以令u(x, y)二u 0 v(x, y)，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令u(x, y) v(x, y)，则原定解问题变为 Wl x￡=0, V=0, 0cy 一、填空题 1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。 2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程： 第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0 x x y y u u +=， (,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型； 二、选择题 1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］ (A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ( )22 0y xx xxy u x y u u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=； 2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］ (A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=； (C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题 ()()( )()()()2,0,00,,0 ,0,,0tt xx x x t u a u t x l u t u l t u x x u x x ?φ?=>< 2013-2014学年度第二学期数理方程（B ）期末考试试题 考后回忆版本 一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =（16分） （1）y x y x u 22=???（2）xy x u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数（10分） ?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2 >>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。（12分） 四、用积分变换法求解下列方程。（12分）???=>+∞<<<=).21(),0(,)(),0(. 1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。（15分） ?????=<++=++=++0|)1(,1 222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。（5分） ?????==>+∞< 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 《数学物理方程》期末试题（A 卷） （参考答案） 学院 专业 学号 姓名 1、 （10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 其中E 是圆锥体的杨氏模量，ρ是质量密度，h 是圆锥的高（如下图所示）： 【提示：已知振动过程中，在x 处受力大小为u ES x ??，S 为x 处截面面积。】 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r 和2r ，如图所示。于是，我们有 上式化简后可写成 从而有 或成 其中2 E a ρ = ，证明完毕。 2、 （20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边y b =处于较高温度U ，其它三边0y =， 0x =和x a =则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u 。试求该截面上的稳定温度 分布(,)u x y ，即求解以下定解问题： 【提示：可以令0(,)(,)u x y u v x y =+，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+，则原定解问题变为 分离变量： 代入方程得到关于X 和Y 的常微分方程以及关于X 的定解条件： 可以判定，特征值 特征函数 利用特征值n λ可以求得 于是求得特征解 形式解为 由边界条件，有 得到 解得 最后得到原定解问题的解是 3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题 【解】方程两端对x 求积分，得 也即 对y 求积分，得 也即 由初始条件得 也即 再取0x =，于是又有 从而得 于是 将这里的()g x 和()h y 代入(,)u x y 的表达式中，即得 4、 （20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题： 【提示：可利用逆Fourier 积分变换公式：11 ,||sin []20, ||x at a t F a a x at ωω-? 第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则 南昌航空大学2009—2010 学年第二学期期末考试 课程名称：数 理 方 程 闭 卷 A （B ）卷 分钟 一、 解答题（共40 分） 1、 当n 为正整数时，讨论()n J x 的收敛范围。（5分） 2、解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为： 0t u x ==， 0x u x =?=?， 0x l u x =?=? （10分） 3、有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致邻段的压缩或伸长， 这种伸缩传开去，就有纵波沿着杆传播。试推导杆的纵振动方程。（10分） 4、写出01(),(),()n J x J x J x （n 是正整数）的级数表示式的前5项。（15分） 二、计算题（共60分） 1、求方程：22,1,0u x y x y x y ?=>>??， 满足边界条件： 2 0y u x ==，1cos x u y ==的解。 （10分） 2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程： (,0)0,0u x x l =≤≤； (,0) (),0u x x l x x l t ?=-≤≤?； (0,)(,)0,0u t u l t t ==> （15分） 3、试确定下列定解问题： 2 2200(),0,0,,,0, (),0x x l t u u a f x x l t t x u A u B t u g x x l ===???=+<<>????? ==>?? =≤≤??? （15分） 解的一般形式。 4、（20分）求下列柯西问题： 22222200 2 80,0,3,0,y y u u u y x x x y y u u x x y ==????+-=>-∞<<+∞?????? ? ??==-∞<<+∞??? 的解。 （20分） 例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 e／ex（ev／ey） =xy 两边对x 积分，得 v y =￠（y ）+1/2 x 2 Y, 其中￠（y ）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为 v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫￠（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2 =f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2 其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2 即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η), 其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。 例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。 取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。 在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有力和外力。可以证明，力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。 事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长 dx u x x x x ? ?++=?2 1s ≈x ?。 这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，力T 与时间 t 无关。 因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即 T(x+x ?)cos α’-T(x)cos α=0. 由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+?x)=T(x),故力T 与x 无关。于是，力是一个 北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求 出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得 以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到 交换u,v ，得到 上面第二式减去第一式，得到 证毕。 8． 证明关于Bessel 函数的等式： 第二章 定解问题与偏微分方程理论 习题2.1 1. 密度为ρ均匀柔软的细弦线x =0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，于横向拉它一下，使之作微小的横振动。试导出振动方程。 2. 长为L ，均匀细杆，x = 0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆作自由振动。试写出振动方程的定解条件。 3. 长为L 、密度为ρ的底半径为R 的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥的顶点固定在x =0处。导出此杆的振动方程。 4. 一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x =0端固定，以槌水平击其x =L 端，使之获得冲量I 。试写出定解问题。 习题2.2 1. 一半径为r ，密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为u 1的介质发生热交换，且热交换的系数为k 1。试导出杆上温度u 满足的方程。 4. 设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为)(x ?，两端满足下列边界条件之一： （1）一端（x =0）绝热，另一端（x = L ）保持常温u 0； （2）两端分别有热流密度q 1和q 2进入； （3）一端（x =0）温度为u 1(t )，另一端（x = L ）与温度为)(t θ的介质有热交换。 试分别写出上述三种热传导过程的定解问题。 习题2.4 1. 判断下列方程的类型： （1）04=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ； （2）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ； （3）02222=+++++u au bu au au au y x yy xy xx ； （4）0=+yy xx xu u 。 2. 求下列方程的通解 （1）0910=++yy xy xx u u u ； （3）0384=++yy xy xx u u u 。 第三章 分离变量法 习题3.1 2. 求解下列定解问题 第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入 截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??--=??--=111124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由 Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】 3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上 数理方程第二版课后 习题答案 第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕 3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间上的向量函数，因为 在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与 不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，， ，于是切线的方程为： 一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u （0u 为常数） 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为 1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型，并化成标准形式． 解：因为)0(02≠<-=?y y ，所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+?? ? ??y dx dy …… 5分 即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=- 作变换：???==x y ηξln …… 7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ (10) 分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解：x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( … …5分 得 长沙理工大学考试试卷 ………………………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ………………………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次） 数学物理方程与特殊函数 课程代号 专 业 层次（本、专） 本 科 考试方式（开、闭卷） 闭卷 一．判断题：（本题总分25分，每小题5分） 1．二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型； （ ） 2．定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性； （ ） 3．如果格林函数),(0M M G 已知，且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，又若狄利克雷 问题???=Ω∈=?Γ ).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在，那么其解可 表示为=)(0M u dS n G z y x f ??Γ??-) ,,(； （ ） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)()(1 1 1050358?-=dx x P x P ； （ ） 5．设)(x J n 为n 阶Bessel 函数，则 [])()(021ax xJ a ax xJ dx d =． （ ） 二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题． 2．（本小题20分）利用固有函数法求解下面的定解问题 ???????====><<+=. 0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数． 3．（本小题15分）求出方程xy u u yy xx =+的一个特解． 第 1 页（共 2 页） 矢量分析与场论，数理方程与特殊函数总复习题 矢量和矢性函数 1、 求下列两个矢量的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘） k j i A 32++= k j i B 654++= 2、 求下列两个矢性函数的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘） ()k t j t i t t A ++=sin cos ， ()k t j e i t t B t 2++= 3、设k t j i t A 23+-=，k j i B 22+-=，k j t i C -+=3，求() C B A ?? 4、如果 ()k t j t i t t A ++=sin cos ，()k t j e i t t B t 2++= 求 ()dt t A d 和 ()dt t B d 5、如果 ()j i e ???sin cos += ① 求 ()()? ??d e d e =1 ， ② 证明 ()?e ⊥()?1e . 6、如果 ()j i e ???cos sin 1+-= 证明 ()()?? ?e d e d -=1 7、求不定积分 ()? ??d e ， ()? ??d e 1 。 8、计算不定积分 () ? +???d e 122 . 9、求矢量 k j i r -+=22的单位矢量 0r 。 方向导数和梯度 1、求 k j i l 22++= 的方向余弦 2、写出矢径 k z j y i x r ++=的单位矢径0r ，用方向余弦表示0r 3、求矢性函数 () k z j xy i x z y x l 4232,,+-= 的方向余弦 4、求函数2 2 2 z y x u ++=在() 1,0,1M 处沿k j i l 22++=的方向导数 5、求数量场 z y z x u 2 322+= 在点 () 1,0,2-M 处沿 k z j xy i x l 4232+-= 方向的方向导数 6、求下列数量场的梯度 ① 2 2 2 z y x r ++=， ② ??? ? ? ?++=2 221 1z y x r ， ③ 223z xy z x u +-= ③ 3 2 z y x u =， ④ xz yz xy u ++=， ⑥ z y x xy z y x u 623322 2 2 --++++=. 工程数学 一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u （0u 为常数） 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型，并化成标准形式． 解：因为)0(02≠<-=?y y ，所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+?? ? ??y dx dy ……5分 即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=- 作变换：???==x y ηξln ……7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ ……10分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解：x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( ……5分 得 )] 2sin()2[sin(4 1 4cos 41])2()2[(21),(222222t x t x t x d t x t x t x u t x t x --+-+=+-++=?+-ξ ξ t x t x 2sin cos 2 1 422++= ……10分 四. (15分)用分离变量法解定解问题 2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 14点 至 16 点 ，共 2小时） 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式： （学生填写） 1．把方程 22222320u u u x x y y ???++=????化为标准型，指出其 类型，求出其通解. (10分) 2. 设定解问题：(10分) 2000(),0,0,,0(),(),0. tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ?ψ====?-=<<>?? ==>??==≤≤?? 将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。 学 号 姓 学 院 教 座位 ……………………密……………封……………线……………以…………… 第 1页 3． 长为l 的均匀细杆，其侧面与左端保持零度，右端绝热，杆内初始温度分布为()x ?，求杆内温度分布 (,)u x t . (20分) 4．求下面的定解问题：（10分） 22 009,(,0)18,sin 18 t tt xx t t t u u x e x R t u x x u x ==?-=∈>??=++=+??. 第2页 5．求22 cos()a e x d ?τ??+∞-?.（10分） 6． 222 23()(22)(25) s s F s s s s s ++=++++，求Laplace 逆变换1 (())L F s -.（10分） 一． 判断题（每题2分）. 1. 2u u x y x y x ??+=???是非线性偏微分方程.( ) 2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( ) 3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( ) 4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( ) 5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( ) 二． 填空题（每题2分）. 1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程. 2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________. 3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________. 4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________. 5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分） 200sin ; 0,0;0. t xx x x x x l t u a u A t u u u ω===-==== 四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分） （1） 001,0,0; 1,1. xy x y u x y u y u ===>>=+= （2） 00230, 1.t t t y y y e y y =='''+-='== 五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。（12分）数理方程练习题(1)
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