高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
例1 求过两点 A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线 y 0上的圆的标准方程并判断点 P(2,4)与圆的关系． 分析： 欲求圆的标准方
程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 P 与圆的位置关系，只须看点 心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半
径， 则点在圆内．
解法一：(待定系数法)
设圆的标准方程为 (x a)2 (y b)2 r 2 ． ∵圆心在 y 0 上，故 b 0． ∴圆的方程为 (x a)2 y 2 r 2
．
又∵该圆过 A(1,4)、 B(3,2)两点．
22
(1 a)2
16 r 2 22
(3 a)2
4 r 2
解之得： a 1， r 2 20．
所以所求圆的方程为 (x 1)2 y 2 20 ． 解法二：(直接求出圆心坐标和半径)
42 因为圆过 A(1,4) 、 B(3 , 2)两点，所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又因为 k AB 4 2
1
AB
1 3 斜率为
1，又 AB 的中点为 (2,3)，故 AB 的垂直平分线 l 的方程为： y 3 x 2即 x y 1 0．
又知圆心在直线 y 0上，故圆心坐标为 C( 1,0) ∴半径 r AC (1 1)2 42 20 ． 故所求圆的方程为 (x 1)2 y 2 20 ． 又点 P(2 ,4) 到圆心 C( 1,0)的距离为
d PC (2 1)2 42
25 r ．
∴点 P 在圆外．
例2 求半径为 4，与圆 x 2 y 2 4x 2y 4 0相切，且和直线 y 0相切的圆的方程． 分析： 根据问题的特征，宜用圆的标准方
程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆 C ：(x a)2 (y b)2 r 2．
圆C 与直线 y 0相切，且半径为 4，则圆心 C 的坐标为 C 1(a, 4)或C 2(a, 4)． 又已知圆 x 2 y 2 4x 2y 4 0的圆心 A 的坐标为 (2 ,1) ，半径为 3．
P 与圆
，故 l 的
5
2t 3t
t 2 (3t 5)2 ．
若两圆相切，则 CA 4 3 7或 CA 4 3 1．
2 2 2 2 2 2
(1)当C 1(a , 4)时， (a 2)2 (4 1)2 72，或 (a 2)2 (4 1)2 12 (无解)，故可得 a 2 2 10．
∴所求圆方程为 (x 2 2 10)2 (y 4)2 42，或 (x 2 2 10)2 (y 4)2 42．
(2)当C 2 (a , 4)时， (a 2)2 ( 4 1)2 72，或(a 2)2 ( 4 1)2 12 (无解)，故 a 2 2 6．
∴所求圆的方程为 (x 2 2 6)2 (y 4)2 42 ，或 (x 2 2 6)2 (y 4)2 42． 说明： 对本题，易发生以下误解：
由题意，所求圆与直线 y 0相切且半径为 4，则圆心坐标为 C(a,4) ，且方程形如 (x a)2 (y 4)2 42．又 2 2 2 2 2
圆x 2 y 2 4x 2y 4 0，即(x 2)2 (y 1)2 3 2 ，其圆心为 A(2 , 1) ，半径为 3．若两圆相切，则 CA 4 3．故 (a 2)2 (4 1)2 72 ， 解 之 得 a 2 2 10 ． 所 以 欲 求 圆 的 方 程 为 (x 2 2 10)2 (y 4)2 42 ， 或 2 2 2 (x 2 2 10)2 (y 4)2 42 ．
上述误解只考虑了圆心在直线 y 0 上方的情形，而疏漏了圆心在直线 y 0下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆 内切的情况．也是不全面的．
例3 求经过点 A(0 , 5) ，且与直线 x 2y 0和2x y 0都相切的圆的方程．
分析： 欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直 线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．
解： ∵圆和直线 x 2y 0与 2x y 0相切， ∴圆心 C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线 x 2y 0和 2x y 0 的距离相等．
∴
x 2y x 2y ．
∴ 5 5 ．
∴两直线交角的平分线方程是 x 3y 0或 3x y 0． 又∵圆过点 A(0 ,5) ，
∴圆心 C 只能在直线 3x y 0 上． 设圆心 C(t ,3t)
∵ C 到直线 2x y 0 的距离等于 AC
化简整理得 t 2 6t 5 0 ．
解得： t 1或 t 5
∴圆心是 (1 , 3) ，半径为 5 或圆心是 (5 ,15) ，半径为 5 5 ． ∴所求圆的方程为 (x 1)2 (y 3)2 5或 (x 5)2 (y 15)2 125．
说明： 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过 定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．
例 4、 设圆满足： (1)截 y 轴所得弦长为 2； (2)被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为 3:1，在满足条件 (1)(2)的所有圆中， 求圆心到直线 l ：x 2y 0 的距离最小的圆的方程．
分析： 要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个， 其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到 符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．
解法一： 设圆心为 P(a ,b) ，半径为 r ． 则P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a
由题设知：圆截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为 90 ，故圆截 x 轴所得弦长为 2r ． 2
∴
r 2b 2
又圆截 y 轴所得弦长为 2．
2
∴
r a 2 1 ．
又∵ P(a ,b) 到直线 x 2y 0的距离为
22
a 2 4
b 2
4ab
2 2 2 2
a 2 4
b 2 2(a 2 b 2 )
2b
当且仅当 a b 时取“ =”号，此时 d min
a b
这时有
2b 2 a 2 1
a 1 a1
或
b 1
b1
又
r
2
2b 2
2
∴ 5d 2
2
a 2b
2
故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 解法二：同解法一，得
a 2b
d．
5
∴ a 2b 5d ．
2 2 2
∴ a2 4b2 4 5bd 5d2．
将a2 2b2 1代入上式得：
22
2b2 4 5bd 5d2 1 0 ．上述方程有实根，故
2
8(5d 2 1) 0，
∴d 5．
5
将d 5代入方程得b 1．
5
又2b2 a2 1 ∴ a 1．
由a 2b 1 知a 、b 同号．
故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例 5 已知圆O：x2 y2 4，求过点P 2，4 与圆O相切的切线．
解：∵点P 2，4 不在圆O 上，
∴切线PT 的直线方程可设为y k x 2 4
根据d r
∴2k 4 2
2
1 k
3
解得k3
4
3
所以y 3 x 2 4
4
即3x 4y 10 0
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解决(也要注意漏解) ．还可以运用
2
x0x y0y r 2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解．
例6 两圆C 1：x 2 y 2 D 1x E 1y F 1 0与C 2：x 2 y 2 D 2x E 2y
F 2 0相交于 A 、 B 两点，求它们的公共
弦
AB 所在直线的方程．
分析： 首先求 A 、 B 两点的坐标，再用两点式求直线 AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求
，可以采用“设而不求”的技巧．
解： 设两圆 C 1、
C 2 的任一 交点坐标为 (x 0 , y 0) ，则
有：
22 x 0 y 0 D 1x
E 1y 0
F 1 0
①
22 x 0 y
D 2x
0 E 2 y
F 2 0
②
①－②得： (D 1 D 2)x 0 (E 1 E 2)y 0 F 1
F 2 0 ．
∵ A 、 B 的坐标满足方
程
(
D 1 D 2)x
(
E 1 E 2)y
F 1
F 2 0 ．
∴方程 (D 1 D 2 )
x (E 1
E 2)y
F 1 F 2
是过 A 、 B 两点的直线方
程
又过 A 、 B 两点的直线是唯一的．
∴两圆
C 1、 C 2的公共弦 AB 所在直线的方程为 (
D 1 D 2)x (
E 1 E 2)y
F 1 F 2 0．
说明： 上述解法中，巧妙地避开了求 A 、 B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲 线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了 对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．
例 7、过圆 x 2 y 2 1外一点 M(2,3) ，作这个圆的两条切线 MA 、 MB ，切点分别是 A 、B ，求直线 AB 的方程。
练习：
22
1．求过点 M (3,1) ，且与圆 (x 1)2 y 2 4相切的直线 l 的方程 ． 解：设切线方程为 y 1 k(x 3)，即 kx y 3k 1 0，
∵圆心 (1,0)到切线 l 的距离等于半径 2， ∴ |k 3k 1| 2，解得 k 3， ∴ k 2 1 2
2，解得 k 4， 3
∴切线方程为
y 1 (x 3) ，即 3x 4y 13 0 ，
4
当过点 M 的直线的斜率不存在时，其方程为 x 3，圆心 (1,0) 到此直线的距离等于半径 2， 故直线 x 3 也适合题意。 所以，所求的直线 l 的方程是 3x 4y 13 0或 x 3．
2 2
5
2、过坐标原点且与圆 x 2 y 2 4x 2y 0 相切的直线的方程为
2
5
，∴圆心为( 2， -1)，半径为 10 .
22
3、已知直线 5x 12y a 0 与圆 x 2 2x y 2
解：∵圆 (x 1)2 y 2 1的圆心为( 1，0)，半径为 1，∴ 5 a 1，解得 a 8或a
18 .
52 122
类型三：弦长、弧问题 0被圆 C :x 2 y 2 2x 4y 0截得的弦 AB 的长 .
例 9、直线 3x y 23 0 截圆 x 2
2
y
4 得的劣弧所对的圆心角为
解：依题意得，弦心距
d
3 ，故弦长 AB
2 r 2 d 2 2 ，从而△ OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆
心角为 AOB .
3
例 10、求两圆 x 2 y
2
x y 2 0 和 x 2
y 2 5 的公共弦长
类型四：直线与圆的位置关系
解法一： 圆 (x 3)2
(y 3)2 9的圆心为 O 1(3 , 3) ，半径 r 3．
设圆心
O 1 到直线 3x
3 3
4 3 11
4y 11 0的距离为 d ，则 d 2 3．
32 42
分析： 借助图形直观求解．或先求出直线
l 1、l 2 的方程，从代数计算中寻找解
答．
解：设直线方程为 y kx ，即 kx y 0 .∵圆方程可化为 (x 2)2 (y 1)2 3或k
1
，∴直线方程为 3
1 3x 或 y 13
x .
0 相切，则 a 的值为
例 8 、求直线 l :3x y 6
例 11、已知直线 3x y 2 3 0 和圆 x 2
2 y 2
4 ，判断此直线与已知圆的位置关系
例 12、若直线 y x m 与曲线 y 4 x 2 有且只有一个公共点，求实数
m 的取值范围
解：∵曲线 y 4 x 2 表示半圆 x 2 y 2
4(y 0) ，∴利用数形结合法，可得实数
m 的取值范围是
例 13 圆 (x 3)2 (y 3)2
9
上到直线 3x 4y
11 0的距离为 1 的点有几个？ 依题意有
120
，解得 k
如图，在圆心 O 1同侧，与直线 3x 4y 11 0平行且距离为 1的直线 l 1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．
又 r d 3 2 1．
∴与直线 3x 4y 11 0 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有 3 个．
说明： 对于本题，若不留心，则易发生以下误解： 设圆心 O 1到直线 3x 4y 11 0的距离为 d ，则 d
∴圆
O 1到 3x 4y 11 0距离为 1的点有两个．
显然，上述误解中的 d 是圆心到直线 3x 4y 11 0的距离， d r ，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能 说明
圆上有两点到此直线的距离为 1．
到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条 平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离 和半径的大小比较来判断．
y 2 2ay 0 (a 0)没有公共点，则 a 的取值范围是
解法
二
：
符合题意的点是平行于直线 3x 4y 11 0 ，且与之距离为 1 的直线和圆的交点．设所求直线为
3x 4y
m 0 ，则 d
m 11
1 ，
32 42
∴m 11
5，即 m 6 ，或 m
16，
也即
l 1：3x
4y 6 0 ， 或 l 2：3x 4y 16
0．
设圆 O 1：(x
9
的圆心到直线 l 1 、 l 2的距离为 d 1、 d 2，则
3)2 (y 3)2
d 1 3 3
436
32 42
3， d 2
32 42
3 16
1 ．
∴
l 1与 O 1相切，与圆 O 1有一个公共点； l 2 与圆 O 1 相交，与圆
O 1有两个公共点．即符合题意的点共 3 个． 3 3 4 3 11
32 42
练习 1：直线 x y 1 与圆 x 2
2 1 a 2 1. ∵ a
0 ，∴ 0 a 2 1.
解：依题意有
a ，解得
22
练习2：若直线y kx 2与圆(x 2)2 (y 3)2 1有两个不同的交点，则k 的取值范围是
解：依题意有2
k
k
2
1
11，解得0 k
，∴ k 的取值范围是(0, ) .
3、圆x2 2
y 2x 4y 3 0 上到直线0 的距离为2 的点共有( )．
A) 1个B) 2个C) 3个D) 4个
分析：把x2y2 2x 2
4y 3 0 化为x 1
2
y 2 8 ，圆心为1，2 ，半径为r 2 2 ，圆心到直线
的距离为2 ，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2 ，所以选 C ．
4、过点P 3，4 作直线l ，当斜率为何值时，直线 2
l 与圆C ：x 1 2
2
y 2 2 4 有公共点，如图所示．
分析：观察动画演示，分析思
路．解：设直线l 的方程为
kx 3k 4 0 根据d r有
3k 4
整理得
3k2 4k 0
解得
类型五：圆与圆的位置关系
问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？
例14、判断圆C1 :
x2 y2 2x 6y 26 0与圆C2 :x2 y2
4x2y 4 0 的位置关系，
例
15：圆x2 2 y2x 0 和圆x2 y2 4y 0 的公切线共有条。
解：∵
圆(x1)222
y2 1的圆心为O1(1,0) ，半径r1 1，圆x2(y2)2 4 的圆心为O2 (0, 2) ，半径r2 2 ，
O1O25,r1 r 2 3,r2 r1 1.∵ r2 r1 O1O2 r1 r2，∴两圆相交.共有 2 条公切线。
练习
1 ：若圆x
2 y22mx m2 4 0 与圆x 2 y22x 4my 4m28 0 相切，则实数m 的取值集合是.
解：∵圆(x m)2y2 4的圆心为O1(m,0) ，半径r1 2，圆(x 1)2(y 2m)2 9的圆心为O2( 1,2m) ，半径
r2 3 ，且两圆相切，∴O1O2 r1 r2或O1O2 r2 r1，∴ (m 1) 2(2m)25或
(m 1) 2(2m) 21，解
12 5 12 5
得m 或m 2 ，或m 0 或m ，∴实数m 的取值集合是{ , , 0, 2} .
5 2 5 2
22
2：求与圆x2 y2 5外切于点P( 1,2) ，且半径为2 5 的圆的方程.
解：设所求圆的圆心为O1(a,b)，则所求圆的方程为(x a)2 (y b)2 20 .∵两圆外切于点P ，∴OP 1 OO1，∴
3
1
2 2
( 1,2) (a,b) ，∴ a 3,b 6 ，∴所求圆的方程为(x 3)2 (y 6)2 20.
3
类型六：圆中的对称问题
例16、圆x2 y2 2x 6y 9 0 关于直线2x y 5 0 对称的圆的方程是
例17 自点A 3，3 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所
在
的直线与圆C：x2 y2 4x 4y 7 0相切
( 1)求光线l 和反射光线所在的直线方程．
(2)光线自A 到切点所经过的路程．
分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求
出点
的对称点A 的坐标为3， 3 ，其次设过A 的圆C 的切线方程为
y k x 3 3
根据d r ，即求出圆C 的切线的斜率为
43
k 或k
34
进一步求出反射光线所在的直线的方程为
4x 3y 3 0 或3x 4y 3 0
最后根据入射光与反射光关于x 轴对称，求出入射光所在直线方程为
4x3y30或3x4y30
光路的距离为
A'M ，可由勾股定理求得
AM2AC2CM
2
27 ．
说明：本题亦可把圆对称到x 轴下方，再求
解．
类型七：圆中的最值问题
例 18：圆 x 2 y 2 4x 4y 10 0上的点到直线 x y 14 0 的最大距离与最小距离的差是
10
解：∵圆 (x 2)2 (y 2)2 18的圆心为( 2，2)，半径 r 3 2 ，∴圆心到直线的距离 d 5 2
2
线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
例 19 (1)已知圆 O 1：(x 3)2 (y 4)2 1， P(x, y)为圆 O 上的动点，求 d x 2 y 2 的最大、最小值．
(2)已知圆 O 2：(x 2)2 y 2 1， P(x , y)为圆上任一点．求 y 2的最大、最小值，求 x 2y 的最大、 x1 分析： (1) 、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
(法 2)圆上点到原点距离的最大值 d 1 等于圆心到原
点的距离 d 1'加上半径 1，圆上点到原点距离的最小值
心到原点的距离 d 1' 减去半径 1．
所以 d 1 32 42 1 6 ． d 2 32 42 1 4 ．
所以 d max 36． d min 16．
(2) (法 1)由(x 2)2 y 2 1得圆的参数方程：
则
y 2 sin 2 ．令
sin 2 t ，
x 1 cos 3 cos 3 得 sin tcos 2 3t ， 1 t 2 sin( ) 2
3t
3 3 3 3 t 44
即 y 2 的最大值为 3 3 ，最小值为 3 3 ．
(d r) (d r) 2r 6 2 .
r ，∴直
最小值．
解： (1)( 法 1)由圆的标准方程
(x 3)2 (y 4)2 可设圆的参数方程为 x3 cos ,
( 是参
数)
y4
sin
则 d x 2
y 2
9
6cos cos 2
16 8sin
26 6cos 8sin
26 10 cos(
所以
d max 26 10 36，d min 26 10 16
4
)．
3
d 2 等于圆
x 2 cos ,
是参
y sin ,
)1
所以 t max
33
4
t
min
33 4
1 ) (其中 tan
2
sin
sin(
x 1 4 4
此时 x 2y 2 cos 2sin 2 5cos （ ） ． 所以 x 2y 的最大值为 2 5 ，最小值为 2 5．
（法 2）设 y 2 k ，则 kx y k 2 0．由于 P （x, y ）是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示， x1
两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由d
2k k 2
1 ，得 k
3 3
．
1 k 2
4．
所以
y
2
的最大值为
3 3
，
33
最小值为 3 3
x 1
4
4
令 x 2y t ，同理两条切线在 x 轴上的截距分别是最大、最小值． 由 d
2 m
1 ，得 m
2 5
所以 x 2 y 的最大值为 2 5 ，最小值为 2 5．
例 20：已知 A( 2,0)， B( 2,0) ，点 P 在圆 (x 3)2 (y 4)2 4上运动，则 PA 2 PB 2的最小值是 .
2 2 2
解：设 P(x,y) ，则 PA 2 PB 2 (x 2)2 y 2 (x 2)2 y 2 2(x 2 y 2) 8 2OP 2 8.设圆心为C(3,4) ，则 2 2
2
OP min OC r 5 2 3，∴
PA PB 的最小值为 2 32 8 26. 练习：
1：已知点 P （x,y ）在圆 x 2 （y 1）2 1上运动.
（1）求 y 1 的最大值与最小值； （2）求 2x y 的最大值与最小值 . x2
解：（
1）设 y 1 k ，则 k 表示点 P （x,y ）与点（ 2，1）连线的斜率 .当该直线与圆相切时， k 取得最大值与最小值 x2 由 2k 1，解得 k 3
，∴
y 1
的最大值为 3 ，最小值为 3.
k 2 1
3 x 2 3 3
（2）设 2x y m ，则 m 表示直线 2x y m 在 y 轴上的截距 . 当该直线与圆相切时， m 取得最大值与最小值 .由
1，解得 m 1 5 ，∴ 2x y 的最大值为 1 5 ，最小值为 1
5.
解法一： 设圆 x 2 y 2 1上任一点 P(cos ,sin )
y 2 u(x 1) 2 2 2 2
由 2 2 消去 y 后得： (u 2 1)x 2 (2u 2 4u)x (u 2 4u 3) 0 ，
x 2 y 2 1
此方程有实根，故
(2u 2 4u)2 4(u 2 1)(u 2 4u 3) 0，
3
解之得： u 3 ．
4
说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来， 从而将求变量 u 的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解． 或 者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．
2 2 2
3、已知点 A( 2, 2), B( 2,6), C(4, 2)，点 P 在圆 x 2 y 2 4上运动，求 PA 2 PB 2 PC 2的最大值和最小值 .
1m 2
2 设点 P(x, y)是圆 x 2
y 2
1 是任一点，求 u
分析一： 利用圆上任一点的参数坐标代替 x y 2
的取值范围． x1
y ，转化为三角问题来解
决．
则有 x cos
y sin [0,2 )
∴
u
sin
2
cos 1 ∴ ucos sin
即 u 2 1sin( ∴ sin(
)
又∵ sin( )
∴ ucos
u sin
(u 2) ．
)u2
2)
u 2
1
tan u )
分析二： u
3
．
4．
y 2
的几何意义是过圆 x1
y 2 1上一动点和定点 ( 1, 2)的连线的斜率，利用此直线与圆
x 2 y 2 1 有公共点，可确定出 u 的取值范围．
解法二： 由 u y 2 得： y 2 u(x 1)，
1
此直线与圆 x 2 y 2 1有公共点，故点 (0, 0)到直线的距离 d 1．
另外，直线 y 2 u(x 1) 与圆 x 2 y 2 1
的公共点还可以这样来处理：
(u 4
类型八：轨迹问题
1
例21、基础训练：已知点 M 与两个定点 O(0,0) ， A(3,0)的距离的比为 1，求点 M 的轨迹方程
2
例 22、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是( 4，3)，端点 A 在圆 (x 1)2 y 2 4 上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹 方程 .
切点为 C ，求 ABC 垂心 H 的轨迹．
分析：按常规求轨迹的方法， 设H(x,y)，找x,y 的关系非常难． 由于 H 点随 B ，C 点运动而运动， 可考虑 H ，
B ，
C 三点坐标之间的关系．
解：设H(x, y)，C(x ', y ')，连结 AH ，CH ，
则 AH BC ， CH AB ， BC 是切线 OC BC ， 所以OC // AH ，CH//OA ，OA OC ， 所以四边形 AOCH 是菱形． 所以
CH
OA 2 ，得 y ' y 2, x '
x.
' '
'2 '2
又 C (x ' , y ') 满足 x ' y ' 4，
所以 x 2 (y 2)2 4(x 0) 即是所求轨迹方程．
说明： 题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的 几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．
例 24 已知圆的方程为 x 2 y 2 r 2 ，圆内有定点 P(a,b)，圆周上有两个动点 A 、B ，使 PA PB ，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程．
分析： 利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．
解法一： 如图，在矩形 APBQ 中，连结 AB ， PQ 交于 M ，显然 OM AB ， AB PQ ，
例 23 如图所示，已知圆 O ： x 2 y 2
4与 y 轴的正方向交于 A 点，点 B 在直线 y 2 上运动，过 B 做圆 O 的切线，
2 2 2
(x a) (y b) 2r 2( x 1x 2 y 1y 2) ②
①＋②，有 x 2 y 2 2r 2 (a 2 b 2) ．
这就是所求的轨迹方程．
解法三： 设 A(r cos ,r sin ) 、 B(r cos , rsin
说明： 本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困 境之中．
本题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法二与解法三，从本 x 1、 x 2、 y 1、 y 2四个参数，故需列出五个方程；而解法三
中， 由于借助了圆 x 2 y 2 r 2 的参数方程，只涉及到两个参数
x a r cos rcos
①
y b r sin r sin
②
又由 PA PB 有 r sin
b r sin
b
rcos a r cos a
1③
由 OM
(x 2a )2
也即 x 2 解法二： 又 PQ
(x a)2
AM
y b 2 1 2 2 2
( y 2 b )2 14[(x a)2 (y b)2] r
2，
2 2 2 2
y 2 2r 2 (a 2 b 2)，这便是 Q 的轨迹方程．
2 设 Q(x, y) 、 A(x 1 , y 1)、 B(x 2 , y 2)，则 x 1
2
AB 2 ，即
2
2 2 2
(y b)2 (x 1 x 2)2 ( y 1 y 2)2 2r 2
又 AB 与 PQ 的中点重合，故 x a x 1 x 2 ， y
2
y
1 2(x 1x
2 b y 1
22
r 2， x 2
y 1y 2) ．① y 2 ，即
2
y
2
r 2
由于 APBQ 为矩形，故 AB 与 PQ 的中点重合，即有
)、Q(x , y) ，
联立①、②、③消去 ，即可得 Q 点的轨迹方程为 x 2 y 2 2r 2
(a 2 b 2)．
质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了 ，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同
2
2
2
OA 2 ，即
在直角三角
解：设 M (x,y),A(x 1,y 1).∵ AM
3 MB ，∴ (x x 1,y y 1)
1
3(3 x, y) ，
之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．
练习：
22
1、由动点 P 向圆 x 2 y 2 1引两条切线 PA 、 PB ，切点分别为 A 、B ， 是.
∴动点 P 的轨迹方程是 x 2 y 2 4.
的轨迹 .
解：设动点 P 的坐标为 P(x,y) .由 PA a(a 0)，得 (x c) y a ，
PB (x c)2 y 2
化简得 (1 a 2)x 2 (1 a 2)y 2 2c(1 a 2)x c 2(1 a 2 ) 0. 当a 1时，化简得
x
2
y
2 2c(1
a 2 )x c 2
0，整理得 (x 12 a
c)2 y 2 (
22ac )2；
1 a 2
a 2 1
a 2 1
当 a 1 时，化简得 x 0.
当 a 1 时， P 点的轨迹是 y 轴 .
2、已知两定点 A( 2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足 PA 2PB ，则点 P 的轨迹所包围的面积等于
解：设点 P 的坐标是 (x,y).由 PA 2PB ，得 (x 2)2 y 2 2 (x 1)2 y 2 ，化简得 (x 2)2 y 2 4，∴点 P 的轨迹是以( 2，0)为圆心， 2 为半径的圆，∴所求面积为 4 .
2 4、已知定点 B(3,0) ，点 A 在圆 x 2
么？
APB =600，则动点 P 的轨迹方程
解：设 P(x,y) .∵ APB =600
，∴ OPA =300
.∵ OA AP ，∴ OP 2OA 2，∴ x 2
y 2
2
2 ，化简得
4，
练习巩固：设 A( c,0), B(c,0)(c
0)为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a(a 0)，求 P 点
所以当 a 1
时， P 点的轨迹是以 1 a 2
(1a 2 a 1
c,0)为圆心，
为半径的圆；
2
y 2
1上运动， M 是线段 AB 上的一点，且 AM
1
MB ，问点 M 的轨迹是什 3
5
x
x
1
(3 x)
x
1
x1
3
，∴
3
.∵点 A 在圆 x 2 y 2 1上运动， 2 ∴
x 1
2
4 2 y 12 1，∴ ( x 1)2 (4 y)2 1
1
4 13 3
y
y
1
y y
1
y
3
3
即
(x
3
)2 2 y 9
，
∴ ，∴
点M 的轨迹方程是 (x 3)2 y 2 9
.
4
16
4
16.
例
5 、 已知定点 B(3,0) ，点 22
A 在圆 x 2 y 2 1 上运动，
AOB 的平分线交 AB 于点 M ，则点 M 的轨迹方程
是
解：设 M(x,y),A(x 1,y 1).∵OM 是 AOB 的平分线，∴ AM OA 1， ∴AM 1 MB .由变式 1可得点 M 的轨迹 MB OB 3 3 方程是 (x 3) 2 y 2 9 .
4 16
22
练习巩固：已知直线 y kx 1与圆 x 2 y 2 4相交于 A 、 B 两点，以 OA 、 OB 为邻边作平行四边形 OAPB ，求点
P 的轨迹方程
解：
设 P(x,y) ， AB 的中点为 M .∵ OAPB 是平行四边形，∴ M 是 OP 的中点，∴点 M 的坐标为 (
2 , ) ，且 2
OM
AB .
∵直 线y
kx 1
经过定
点
C(0,1) ， ∴ OM CM
，∴
OM
xy CM ( , xy
( , 1)
x
2 ( )2
yy ( 1) 0，化简得
x 2 (y
22
1)2 1.∴点 P 的轨迹方程是 x 2 (y
1)2 1
22 22
2
22
类型九：圆的综合应用 例 25 、 已知圆 x 2
y 2
x 6y
m 0 与直线 x 2y 3 0相交于 P 、 Q 两点， O 为原点，且 OP OQ ，求实数
m 的值．
分析： 设 P 、
Q 两点的坐标
为
(
x 1 , y 1 ) 、 (x 2 y 2) ， 则由 k OP k OQ 1，可得 x 1x 2 y 1y 2
0 ，再利用一
元二次
方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为 y ，由直线 l 与圆的方程构造以 y 为未知数的一元二次方 xx 程，由根与系数关系得出 k OP k OQ 的值，从而使问题得以解决．
解法一： 设点 P 、 Q 的坐标为 (x 1, y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ．一方面，由 OP OQ ，得
的两个根．
k OP k OQ 1 ，即 y1 y2
x
1 1，也即： 另一方面，
(
x 1, y 1)
x
2
(x 2 , y 2 )
x 1x 2 y 1y 2
x 是 方 程组 2
x
2y
2
y
6y
的 实数 解 ， 即 x 1 、 x 2 是 方程 0
2
5x 10x 4m
27
∴
x 1 x 2
2， x 1x 2
4m 27
又 P 、 Q 在直线 x 2y 3 0 上，
1
∴
y 1y 2
(3 x 1) 2
11 (3 x 2) [9 3(
x 1 x 2) x 1x 2] ．
24
将③代入，得 y 1y 2
m 12
． ④
5
将③、④代入①，解得 m 3 ，代入方程②，检验 0 成立，
∴ m 3 ．
解法二： 由直线方程可得 3 x 2y ，代入圆的方程 x 2 y 2 x 6y m 0 ，有 2 2 1 m 2
x 2 y 2 (x 2y)(x 6y) (x 2y)2 0，
39 整理，得 (12 m)x 2 4(m 3)xy (4m 27)y 2 0． 由于 x 0 ，
故可得 (4m 27)( y )2 4(m 3) y 12 m 0．
xx
∴
k OP ， k OQ 是上述方程两根．故 k OP k OQ 1 ．得
说明： 求解本题时，应避免去求 P 、 Q 两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求出的 这是因为在求解过程中并没有确保有交点 P 、 Q 存在．
解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于 y 的二次齐次方程，虽有规 x 律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．
例26、已知对于圆 x 2 (y 1)2 1上任一点 P(x, y) ，不等式 x y m 0恒成立，求实数 m 的取值范围．
分析一： 为了使不等式 x y m 0 恒成立，即使 x y m 恒成立，只须使 (x y)min m 就行了．因此只要
求出 x y 的最小值， m 的范围就可求得．
解法一： 令 u x y ，
由
xyu
22
x 2
(y 1)2 1
得： 2y 2 2(u 1)y u 2 0 ∵
0 且
4(u 1)2 8u 2，
∴ 4( u 2 2u 1) 0 ．
即u 2 2u 1) 0，∴ 1 2 u 1 2， ∴ u min 1 2 ，即 (x y)min 1 2
又 x y m 0 恒成立即 x y m 恒成立． ∴ (x y)min 1 2 m 成立，
∴ m 2 1 ．
分析二：设圆上一点 P(cos ,1 sin ) [因为这时 P 点坐标满足方程 x 2 (y 1)2 1]问题转化为利用三解问题来 解．
12 m 4m 27 经检
验可知 1，解得 m
3 ． m 3 为所求．
m 值进行必要的检验，
解法二：设圆x2 (y 1)2 1上任一点P(cos ,1 sin ) [0,2 )
∴ x cos ，y 1 sin
∵ x y m 0 恒成立
∴ cos 1 sin m 0
即m (1 cos sin ) 恒成立．
∴只须m不小于(1 cos sin ) 的最大值．
设u (sin cos ) 1 2sin( ) 1
4
∴u max 2 1 即m 2 1 ．
说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆(x a)2 (y b)2 r2上的点设为
(a r cos ,b r sin ) ( [0, 2 ) )．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．
例27 有一种大型商品，A、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的 3 倍．已知A 、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居
民应如何选择购货地点．
分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用．解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法．解：以A、B所确定的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
∵ AB 10，∴ A( 5 ,0)，B(5,0)．
设某地P的坐标为(x, y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/公里，B 地的运费为a 元/公里．因为P 地居民购货总费用满足条件：
价格＋ A 地运费≤价格＋ B 地的运费
即： 3a (x 5)2 y 2 a (x 5)2 y 2 ．
∵ a 0，
∴ 3 (x 5)2 y 2 (x 5)2 y 2 化简整理得： (x 25)2 y 2 (15)2
44
圆内的居民从 A 地购货便宜，圆外的居民从 B 地购货便宜，圆上的居民从 随意从 A 、 B 两地之一购货．
说明： 实际应用题要明确题意，建议数学模型．
∴以点 ( ,0) 为圆心
4 为半径的圆是两地购货的分界
线．
4 A 、 B 两地购货的总费用相等．因此可
高一数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为 222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 22)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-22224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
圆的方程经典题目 1．求满足下列条件的圆的方程 （1）过点A(5,2)和B(3,-2)，且圆心在直线32-=x y 上;（2）圆心在835=-y x 上，且与两坐标轴相切;（3）过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;（4）与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且直线 x y =截圆所得弦长为72；（5）过原点，与直线1:=x l 相切，与圆1)2()1(:2 2 =-+-y x C 相外切；（6）以C(1,1)为圆心，截直线2-=x y 所得弦长为22;（7）过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程. （8）已知圆满足①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0，求该圆的方程. （9）求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m 的取值范围 （2）求该圆半径r 的取值范围（3）求面积最大的圆的方程（4）求圆心的轨迹方程 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值
（1）过)4,3(-的切线方程（2）过)7,5(的切线方程、切线长；切点弦方程、切点弦长 （3）以)2,1(为中点的弦的方程 （4）过)2,1(的弦的中点轨迹方程 （5）斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，求实数m 的值． 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点，求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上，被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求： （1）通过圆心的反射线方程，（2）在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O （1）判断两圆的位置关系 （2）求它们的公共弦所在的方程 （3）求公共弦长 （4）求公共弦为直径的圆的方程． 题型五、最值问题 思路1：几何意义 思路2：参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x （1）求 x y 的最小值 （2）求2 2y x ++32-y 的最值；（3）求y x 2-的最值（4）|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交（2）求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A （1,0），B （-1,0）两点，已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点，PB PA ,是圆01222 2 =+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________ 6、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的互相垂直的弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________
典型例题一 例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 343322 1=+-?+?=d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?=d ． ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个． 显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1． 到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 典型例题三 例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 124-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为： 23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C
典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ，
由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF = -12 ，∴115 4 5x ex a AF -=-=． 同理2545x CF -=．∵BF CF AF 2=+，且5 9 =BF ， ∴51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ，即821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ??+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得() 212 2 21024x x y y x --=-
标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ，圆心 (a , b )，半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节：圆与圆的方程典型例题 一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程 （1） ； 点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系： 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ，点在圆外 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ，点在圆内 （2） 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，方程表示圆，此时圆心为?- D E ? ，半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时，表示一个点； 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时，方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 （3） 求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出 a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . （1） 此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由； （2） 若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y =2x +5 上，半径为 2. 练习： 1．方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是（ ） Ａ．以(1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｂ．以(1，2) 为圆心， 为半径的圆 Ｃ．以(-1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｄ．以(-1，2) 为圆心， 为半径的圆 2．过点 A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线 x ＋y －2＝0 上的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 3．点(1，1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部，则 a 的取值范围是（ ） Ａ． -1 < a < 1 Ｂ． 0 < a < 1 Ｃ． a < -1 或 a > 1 Ｄ． a = ±1 4．若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆，则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M (5，－7)，则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y ＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ． 7. 以点 C (－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 ． 1 D 2 + E 2 - 4F
新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线与圆的交点的圆系方程为： ，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则 ，解之可得 又满足方程①，则故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心 必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即 ?? ?-==???=-+=-+4y 9 x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 ∵m ∈R ，∴ 得
《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ， 其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331- = e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点， M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴22 2112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，
4 1 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的 距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF =-12 ， ∴ 115 4 5x ex a AF -=-=． 同理 25 4 5x CF - =． ∵ BF CF AF 2=+，且5 9= BF ， ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ， 即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 () 2122 21024x x y y x --=-
圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .
(1) 当042 2 >-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2 E D C ，半径2 422F E D r -+= . (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??-- 2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形. 注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且 0422φAF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离2 2 B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交?? 习题精选精讲圆标准方程 已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程 例1 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x 二、位置关系问题 例2 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+ 三、切线问题 例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆02 52422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 3 1-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31= 四、弦长问题 例4设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a . 五、夹角问题 例5 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) (A)21 (B)5 3 (C)23 (D) 0 六、圆心角问题 例6 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k . 七、最值问题 例7 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( ) (A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25 八、综合问题 例8 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[ π π (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π 高中数学圆的方程典型例题 （1 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： 当 ，点在圆外 当 ，点在圆上 当 ，点在圆内 （2当 时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为 当 时，表示一个点； 当 时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 1.若过点P(a,a)可作圆x 2+y 2-2ax+a 2+2a-3=0的两条切线,则实数a 的取值范围是 . 2．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，0) C ．(－4，＋∞) D ．(4，＋∞) 3. 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关 4. 求半径为4，与圆04242 2=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 5. 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程． 6.已知直线l :x+y-2=0和圆C:x 2+y 2-12x-12y+54=0,则与直线l 和圆C 都相切且半径最小的圆的标准方程是 . 7、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程． 8.已知点P(2,2),点M 是圆O 1:x 2+(y-1)2=上的动点,点N 是圆O 2:(x-2)2+y 2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 ( ) A.-1 B.-2 类型二：直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有 三种情况： （1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++= ，则有 k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程 1、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系. 2：直线1=+y x 与圆)0(022 2>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 3：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 4．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为 ． -! 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例 1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点 )4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或 )4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴ 所 求 圆 方 程 为 2 224)4()1022(=-+--y x ，或 圆的方程经典题目 题型一、圆的方程 1．求满足下列条件的圆的方程 （1）过点A(5,2)和B(3,-2)，且圆心在直线 32-=x y 上;（2）圆心在835=-y x 上，且与两坐 标轴相切;（3）过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;（4）与y 轴相切，圆心在直线 03=-y x 上，且直线 x y =截圆所得弦长为72 ；（5）过原点，与直线1:=x l 相切，与圆 1)2()1(:22=-+-y x C 相外切；（6）以C(1,1)为圆心，截直线2-=x y 所得弦长为22;（7） 过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程. （8）已知圆满足①截 y 轴所得弦长为2； ②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0，求该圆的方程. （9）求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m 的取值范围 （2）求该圆半径r 的取值范围（3）求面积最大的圆的方程（4）求圆心的轨迹方程 题型二、点与圆的位置关系: 题型三、直线与圆的位置关系 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值 （1）过)4,3(-的切线方程（2）过)7,5(的切线方程、切线长；切点弦方程、切点弦长 （3）以)2,1(为中点的弦的方程 （4）过)2,1(的弦的中点轨迹方程 （5）斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点，O 为坐标原点， 若OQ OP ⊥，求实数m 的值． 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点，求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上，被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求： （1）通过圆心的反射线方程，（2）在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 题型四、圆与圆的位置关系 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O （1）判断两圆的位置关系 （2）求它们的公共弦所在的方程 （3）求公共弦长 （4）求公共弦为直径的圆的方程． 题型五、最值问题 思路1：几何意义 思路2：参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2=+--+y x y x （1）求x y 的最小值 （2）求2 2y x ++32-y 的最值；（3）求y x 2-的最值（4）|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2 =-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交（2）求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A （1,0），B （-1,0）两点，已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1 P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点， PB PA ,是圆01222 2=+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________ 《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：1142 2 =+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：11642 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：31 222 ??=c a c ∴223a c =， ∴33 31-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由????? =+=-+1 12 22y a x y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴22 2 112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 4 1 12===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，??? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的 距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：a c x c a AF =-1 2， ∴ 1154 5x ex a AF -=-=． 同理 254 5x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且59 =BF ， ∴ 518 54554 521=??? ??-+??? ??-x x ， 即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ??+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上， ∴ ()2 12125259 x y -= ∴ ()()21212 221259 x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得最新高中数学-必修二-圆与方程-经典例题--整理
圆的方程经典例题
高级中学数学圆的方程典型例题(经典编辑版)
圆的方程经典题目带答案
椭圆方程典型例题20例含标准答案
相关主题
文本预览