二次根式经典分类题型

二次根式

21.1 二次根式的意义： 1. 有意义的条件是 。

2. 当__________

3.

1

1

m +有意义，则m 的取值范围是 。 4. 当__________x

是二次根式。

5. 在实数范围内分解因式：42

9__________,2__________x x -=-+=。

6. 2x =，则x 的取值范围是 。

7. 2x =-，则x 的取值范围是 。

8. )1x 的结果是 。

9. 当15x

≤

5_____________x -=。

10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。

11.

11x =

+成立的条件是 。

12.

若1a b -+()

2005

_____________a

b -=。

13. )()()230,2,12,20

,3,1,x y y

x x x x y +=--

++中，

二次根式有（

）

14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）

15. 若2

3a

）

A. 52a -

B. 12a -

C. 25a -

D. 21a - 16. 若A =

=（ ）

A. 2

4a +

B. 2

2a + C. (

)

2

2

2a + D. (

)

2

2

4a + 17. 若1a ≤

）

A. (1a -

B.

(1a -

C. (1a -

D. (1a -

18.

=成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥

19.

）

A. 0

B. 42a -

C. 24a

- D. 24a -或4

2a - 20.

下面的推导中开始出错的步骤是（ ）

()()()()

2312322

4==-=

=∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4

21.

2440

y y

-+=，求xy的值。

22. 当a

1取值最小，并求出这个最小值。

23. 去掉下列各根式内的分母：

(

))

10

x ()

)

21

x 24. 已知2310

x x

-

+=

25. 已知

,a b

(10

b-=，求20052006

a b

-的值。

21.2 二次根式的乘除

1.

当0

a≤，

b__________

=

。

2.

_____,______

m n

==。

3.

__________

==。

4.

计算：

_____________

=。

5.

，则长方形的长约为（精确到0.01）。

6. 下列各式不是最简二次根式的是（）

7. 已知0

xy

，化简二次根式）

C.

D.

8. 对于所有实数,a b，下列等式总能成立的是（）

A.

2

a b

=+

a b

=+

22

a b

=

+a b

=

+

9.

--

）

A. 32

-

- B. 32

-

-

C. -=-

不能确定

10. ）

A. 它是一个非负数

B. 它是一个无理数

C. 它是最简二次根式

D. 它的最小值为3

11.

计算：

(

)1

(

)2

(

)(()

30,0

a b

-≥≥

(

))

40,0

a b

(

)5

(

)6?÷

?

12.

化简：

())

10,0

a b

≥≥(

)2

(

)3a

13. 把根号外的因式移到根号内：

(

)1.-()(

2.1x

-

21.3 二次根式的加减

1.

是同类二次根式的是（）

2. 下面说法正确的是（）

A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式

不是同类二次根式

D. 同类二次根式是根指数为2的根式

3.

）

4. 下列根式中，是最简二次根式的是（）

5. 若12

x

）

A. 21

x- B. 21

x

-+ C. 3 D. -3

6.

10

=，则x的值等于（）

A. 4

B. 2

± C. 2 D. 4

±

7.

x，小数部分为y

y

-的值是（）

A. 3

C. 1

D. 3

8. 下列式子中正确的是（）

=

a b

=-

C. (

a b

=-

2

2

==

9.

是同类二次根式的是。

10.若最简二次根

式

与是同类二次根式，则

____,____

a b

==。

11.

，则它的周长是 cm。

12.

______

a=。

13.

已知x y ==33

_________x y xy +=。

14.

已知x =

2

1________x x -+=。

15.

)(

)

2000

2001

2

32

______________+

=。

16. 计算：

⑴

.

⑵

.

(231?

++ ?

⑶

.

(()2

771+-

- ⑷

.

(

(((2

2

2

2

1111+

-

17. 计算及化简：

⑴

. 22

-

⑵

⑶

⑷

-

18.

已知：x y

==

32

43223

2

x xy

x y x y x y

-

++

的值。

19.

已知：

1

1

a

a

+=+2

2

1

a

a

+的值。

20. 已知：,x y为实数，

且13

y x-+

，化简：3

y-

21. 已知

()1

1

3

9

3

2

2

+

+

=

+

-

+

-

y

x

x

x

y

x

，求的值。

答案：

21.1 二次根式： 1. 4x ≥； 2. 1

22

x -≤≤

； 3. 01m m ≤≠-且； 4. 任意实数； 5. (

)(

(2

2

3;x x x x +-； 6. 0x ≥；7. 2x ≤； 8. 1x -；

9. 4；

10. 11. 1x ≥； 12. -1； 13——20：CCCABCDB

21. 4； 22. 1

2a =-，最小值为1； 23. (

)(

)()

2312.1x x +；

25. -2

21.2 二次根式的乘除：

1. -

2. 1、2；

3. 18；

4. -5；

5. 2.83； 6——10： DDCAB

11. ()()()(

)()(

)2

2

21.6,2.15,3.20,4.5.1,6.x a b ab

a --

12. (

)(

)()123.0ab

；

13. (

)(

)1.2.

21.3 二次根式的加减： 1——8：BAACCCCC

； 10. 1、1；

11. (； 12. 1； 13. 10；

14. 4

2； 16. (

)(

)(

)()122,3.454.4-+； 17. ()(

)()()

()21.4,23.

,4.1x y y x

-+-；

18. 5；

19. 9+ 20. -1； 21. 2

(完整版)二次根式经典题型分类复习

二次根式复习 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念： （1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质： （1） 非负性 3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （ 3）合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0) a b = ≥> (0,0) a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>

常考题型： 题型一、形如： 若见到“a 为二次根式”或“a 有意义”，则马上可以得到 a≥0 例1、式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x <1 B ．x ≥1 C ．x ≤－1 D ．x <－1 变式1、要使式子 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x≥﹣2 C ．x≥2 D ．x≤2 变式2、若代数式 1 x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A 1x ≠ B 0x ≥ C 0x > D 01x x ≥≠且 变式3、式子 有意义的x 的取值范围是（ ） A ． x≥﹣且x≠1 B ． x≠1 C ． D ． 题型二、二次根式的运算（加减乘除）b a ab ?=（a≥0，b≥0）b a b a = （a≥0，b>0） 基础练习1、实数0.5的算术平方根等于（ ）. A.2 B.2 C. 22 D.2 1 基础练习2、16的算术平方根是（ ） A. 4± B. 4 C. 2± D. 2 例1、下列运算正确的是（ ） A ． x 6+x 2=x 3 B ． C ． （x+2y ）2=x 2+2xy+4y 2 D ． 例2、计算1 489 3 -的结果是（ ） (A)3-. (B)3. (C)11 33 - . (D) 11 33 . 例3、下列计算正确的是（ ） ． 4 B ． C ． 2 = D ． 3 例4、下列各式计算正确的是（ ） A ． 3a 3+2a 2=5a 6 B ． C ． a 4?a 2=a 8 D ． （ab 2）3=ab 6

《二次根式》典型例题和练习题之欧阳歌谷创编

《二次根式》分类练习题 欧阳歌谷（2021.02.01） 二次根式的定义： 【例1】下列各 式 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、 2、在、、、中是二次根式的个数有 ______个 【例2 有意义，则x 的取值范围是．[来源:学*科* 网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式 mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、

第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 举一反三： 1 2()x y =+，则 x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y= 4x 233x 2+-+-，求 xy 的值 3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。 已知a b 是1 2a b + +的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。 若 17 的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值. 知识点二：二次根式的性质 【例4】若 ()2 240a c -+-=，则= +-c b a ． 举一反三： 1、若 0)1(32=++-n m ，则m n +的值为。 2、已知y x ,为实数，且()0 2312 =-+-y x ，则y x -的值为 （ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2 －4｜＋6 52+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿. 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 （公式 )0()(2 ≥=a a a 的运用）

二次根式知识方法题型总结

?- a(a < 0) 再根据具体情况判断是否需要讨论 a 2 = a = ? . b = 学习必备 欢迎下载 二次根式知识方法题型总结 一、本章知识内容归纳 1.概念： ①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义； ②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式； ③同类二次根式—— 的二次根式； 2.性质：① a ≥ 0(a ≥ 0) 非负性; ② ( a ) 2 = a(a ≥ 0) ; ③ ?a(a ≥ 0) (字母从根号中开出来时要带绝对值 ) 3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式 ①乘法和积的算术平方根可互相转化: a ? b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0) ; ②除法和商的算术平方根可互相转化: a a b (a ≥ 0, b > 0) ③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式； ④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用； ⑤乘法公式的推广： a ? a ? a ........ ? a =a ? a ? a ....... ? a (a ≥ 0,?a ≥ 0,..... ? a ≥ 0) 二、本章常用方 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 n 法归纳 方法 1.开方 ①偶数次方： a 2n = a n ； ②奇数次方： a 2n +1 = a n ? a 方法 2.分母有理化： ①概念：分母有理化就是通过 使得 其中 叫做该分母的有理化因式； ②常用的有理化因式： a 与 a 、 a + b 与 a - b 、 a + b 与 a - b 互为有理化因式； ③分母有理化步骤： 先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式； 将计算结果化为最简二次根式的形式。 方法 3. 非 0 的二次根式的倒数

《二次根式》典型例题和练习题

《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例１】下列各式 其中是二次根式的是＿_＿_＿＿_＿_（填序号). 举一反三: １、下列各式中,一定是二次根式的是( ） A B C D 2__＿＿__个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .［来源:学*科＊网Z*X*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ) A 、x ＞3 ??B 、ｘ≥３ C 、 x>4 ??Ｄ 、x ≥３且x ≠４ 有意义的ｘ的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 Ｃ、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y ＝ 举一反三： 2 ()x y =+,则x -ｙ的值为( )

A ．-1 B ．1 Ｃ.2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且ｙ＝4x 233x 2+-+-,求x ｙ的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 1 2+ 的值． 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 ２、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A ．３ ? B ．– ３? C.1? Ｄ．– 1 ３、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜ｘ2－4｜+652+-y y =０，则第三边长为＿__＿＿＿. ４、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 （公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、０ Ｃ、2a —4 D 、4

二次根式知识点及典型例题练习

第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3)

例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54

初二下册二次根式所有题型专题

二次根式专题 题型一：二次根式的概念 【例题1】 当为实数时，下列各式，，， 属于二次根式的有 ________个. 【练一练】 1. 下列式子中二次根式的个数有 （ ） （1） ；（ 2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） （x ＞1） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2. 下列各式① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中二次根式的个数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 题型二：二次根式的意义（取值范围） 【例题2】 x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1） （2）y=－； 【练一练】 1. 若使二次根式 有意义，则x 的取值范围是 ； 2. 使式子 x 211 -有意义的x 的取值范围为______________________； 3. 代数式x -9有意义时，实数x 的取值范围是__________________； 4. 函数x x y 2 += 的自变量x 的取值范围是_____________________； 5. 函数2 1 -+= x x y 中，自变量x 的取值范围是___________________； 6. 若式子12112+-+-x x 在实数范围内有意义，则x 满足的条件是______________________. x () 2 223,1,,, , x x x x x --y =2+x x 23-

题型三：二次根式的性质（)0 ( ) (2 2≥ = =a a a a a，） 【例题2】 1.计算下列各式： (1)（3）（4） 2.已知a，b，c在数轴上如图所示，化简：． 3.已知a、b 都是实数，且b，化简?＋1的结果是多少？ 【练一练】 1.=________. 若，则______.若=0，则=__________. 2.若，则____________；若，则______________. 3.已知，求的值为____________. 4.若，则化简的结果是__________. 5.已知c b a, ,为三角形的三边，则2 2 2) ( ) ( ) (a c b a c b c b a- + + - - + - += ． 2 3 2() 4 --2 (3.14)π -2) 2 5 2 (-2) 2 ( 2a a- - - 22 x x -+- 2 (1) 1 x x - -

初三数学二次根式经典习题

二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10<

二次根式知识及典型例题

二次根式知识点复习 【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根 式。二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。 【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。 例1 下列各式（22211 (1) (2)5(3)2(4)4(5)()(6)1(7)2153 x a a a --+---+ 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2 使x ＋ 1 x-2 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0且x ≠2． 例3 若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 练习1使代数式 4 3--x x 有意义的x 的取值范围是 练习2若11x x ---2 ()x y =+，则x －y 的值为 例4 若230a b -+-=，则 2 a b -= 。 例5 在实数的范围内分解因式：X 4 - 4X 2 + 4= ________ 例6 若a 、b 为正实数，下列等式中一定成立的是（ ）： A 、a 2 +b 2 =a 2 +b 2 ； B 、（a 2 +b 2 ）2 =a 2 +b 2 ； C 、（ a + b ）2= a 2+b 2； D 、（a —b ）2 =a —b ； 【知识点2】二次根式的性质： （1）二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说a （ ）是一个非 负数，即)0(0≥≥a a 。 注：因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如 若0a b +=，则a=0,b=0；若0a b +=，则a=0,b=0；若2 0a b +=，则a=0,b=0。 （2）2 ()a a =（ ） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非 负数。注：二次根式的性质公式2 ()a a =（ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上 面的公式也可以反过来应用：若，则2)a a =，如： 2 22)= （3） 例7 a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2 )(____________.

二次根式知识点归纳及题型总结 精华版

二次根式知识点归纳和题型归类 二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质： 鳥<0)； ［爲工Og叭2“)= 9-0)；3^ ★4 L 4. 积的算术平方根的性质：、’、：、「??「〔； E=^a>Of Z>>0) 5. 商的算术平方根的性质：* . 6. 若7 '. 知识点二、二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号 (2) 注意每一步运算的算理； 2. 二次根式的加减运算先化简，再运算， 3. 二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用

.利用二次根式的双重非负性来解题 （岛 0 （a > 0）,即一个非负数的算术平方根是一个非负数。 ） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。A 、弋3 ； i" 2 2 ?等式 J （X 1） = 1 — x 成立的条件是 _____________ . 3?当x _____________ 时，二次根式 J2x 3有意义. 4. x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 (2) （4）若 x （x 1） . X I X 1，则x 的取值范围是 _______ （ 5）若X 3 . X 3 ,则x 的取值范围是 ______________________ \ X 1 J x 1 6若J3m 1有意义，则m 能取的最小整数值是 _____________ ;若J 20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是 ___________ 7. 当X 为何整数时， ______________________________________ 10X 1 1有最小整数值，这个最小整数值为 。 8. 若 2004 a V a 2005 a ，则 a 20042= _____________________ ;若 y 4，则 x y _________ m 2 9 . 9 m 2 2 — 9. 设 m 、n 满足 n ，贝V . mn = ________ 。 m 3 10. 若三角形的三边 a b 、c 满足a 2 4a 4 - b 3=0,则第三边c 的取值范围是 ____________________________ 11. 若 |4x 8| x y m 0，且 y0 时，则（ ） A 、0 m 1 B 、m 2 C 、m 2 D m 2 二.利用二次根式的性质 a 2=|a|= a （a b ） （即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 ）来解题 u （a 0） a （a 0） 3.若化简| 1-x | - x 2 8x 16的结果为2x-5则（ ） 4.已知a , b , c 为三角形的三边，则 (a b c)2 , (b c a)2 . (b c a)2 = 5.当-3— 3 D. — 3< x w 0 2..已知a

二次根式知识点总结及常见题型

二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值.

（2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. （3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.

二次根式经典练习题汇总

二次根式与一元二次方程经典练习题aa??aa??A、、 B 、D、 ??2 C一、选择题ba,对于所有实数），下列等式总能成立的是（8. ）1．下列式子一定是二次根式的是（ 22b?b??aaba?ba??22x2x??2?x2?x B. A. ．AD． B ． C ． ??22??2222b?aa?b?1?m3b?aa??b D. C. ）m有意义，则2能取的最小整数值是（．若 m=3 ．m=0 A．Bm=1 ．DC．m=2 29x?），以下说法中不正确的是（ 9. 对于二次根式2xx? A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数的结果是（）3．若x<0，则x3 它的最小值为 D. C. 它是最简二次根式 2 2 ．—C．0D．2 或—B 0 A．227?5?2b?aa??b10. 下列式子中正确的是（）A. ?? B. ( 4．下列说法错误的是）28?649a?6a?是二次根式B.A．是最简二次根式 2?3?4?3?x??bxba?ax D. C. 222216?xb?a4 D.的最小值是．C 是一个非负数二、填空题22nn24?5)?(2?)(?0.3D.2 C.6 B.5 A.4 5．是整数，则正整数的最小值是（）；②11.①。 yx?a3311??aa?9?计算。12．化简：计算= ________13．的结果为（）．化简6ay?x365 ??21xx??2x133011。14．化简：的结果是113033030．B ．A ．C ．D3030 2?? _____________??1x?5x?时，。5x1 15．当≤＜1?????20012000．把．7a 根号外的因式移入根号内的结果是（）______________33???22a．16。

最新二次根式最常见题型(答案)

精品文档 二次根式 二次根式： 当 ______________ 时，J x +2 + J 1 —2x 有意义。 若.— 1有意义，则 m 的取值范围是 。 m 1 当x __________ 时，J （1 -X $是二次根式。 在实数范围内分解因式： x 4 —9 = ,x 2 —2j2x+2 = 已知\ I. x - 2 = 2 - x ，则x 的取值范围是 。 化简：X 2—2X ， 1 x -1 的结果是 ______________________________ 。 当 w x < 5 时，J （x X j 斗 x -5 = ________________ ° 把a j _*1的根号外的因式移到根号内等于 ______________________ ° 使等式、x 1 x-1 =_x —1「，x ， 1成立的条件是 ____________________ 若a —b +1与J a +2b +4互为相反数，则（ a — b 『°5 = ______________ 在式子石 d 心戸（y"）工2^（ X 却 两,J x 2出,x 中，二次根式有（ A. 2个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 若 2 w a w 3， 则 J （2 ￡ f -J （a d j 等于（ ） -H-* 1.2二次根式的乘除 1. 当 a 兰 0，b w 0 时， _________________________ ° 2. 若J 2m 2 和J 33m _2"都是最简二次根式，则 m= ___________ ,n= ______ 3. 计算：\[3 = ___________________ ; J 36 工 9 = _________ ° 4. 计算： （届 _3厉尸73= ____________ ° 5. 长方形的宽为 3 ，面积为2^6，则长方形的长为 ______________ ° 6. 下列各式不是最简二次根式的是（ A . , a 2 1 B. . 2x 1 ) ■ 2b D. C. 7.已知xy > 0,化简二次根式 ... 0.1y A . , y B.、丐 8.对于所有实数a,b ，下列等式总能成立的是（ ） （T a +V b j=a +b B. J a W a +b C. 扣+2 j A. 10. =a 2 ■ b 2 对于二次根式 x 2 9 ，以下说法中不正确的是（ ） A.它是一个非负数 B.它是一个无理数 C.它是最简二次根式 D. a ■ b 2 =a ■ b D.它的最小值为3 A . 5 ~ 2a B. 1 2a c. 2a - 5 D. 2a -1 能使等式 x _ x 成立的x 的取值范围是( ) A. X = 2 B. X - 0 C. x w 2 D. 计算：J(2a -1 $ + J(1 -2a 2 的值是( A . o B. 4a-2 c. 2-4a D. 若? x - y y 2 -4y 4 =0，求 xy 的值。 x_2 ) 2 -4a 或 4a -2 已知a, b 为实数，且叩a ■ ib -1 "：」1 —b =0，求a 2005 —b 2006的值。 11.计算: 1.1 2. 3. 4. 5. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 15. 18. 19. 21. 25.

二次根式考试题型汇总

二次根式 题型一 二次根式的定义 例1、（1）18n -是整数，求自然数n 的值． （2）当x __________时，式子3 1 -x 有意义． 题型二 二次根式有意义的条件 例2、当x 时，二次根式1x +有意义。 例3、已知x 、y 为实数，22991 3 x x y x -+-+=-，求5x+6y 的值． 例4、已知334y x x =-+-+，求23 8163y y xy ++-的值。 题型三 二次根式的性质与化简 例5、已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示：

试化简( ) ( ) 2 2 223 23 2a b a ab b +- ---+ 例6、计算 （1）() 13218---+ （2）()2 11111x x x ??-?- ?-+?? （3）已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 2 2 22d c ab d c ab +-＝______． 例7、化简求值 （1）化简：() 2 2a a b c a b c -++-++ （2）先化简再求值：2 22 11xy x y x y x y ??-÷ ?-+-??，其中21,21x y =+=-

（3）若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y （4）若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1 (2-+x x 等于（ ） （A ）x 2 （B ）－x 2 （C ）－2x （D ）2x （5）化简a a 3 -(a ＜0)得（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a （ 6）当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为（ ） （A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a --- 题型四 最简二次根式 例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A （2）x 8，3 1 ，29x +都不是最简二次根式．（ ） 题型五 二次根式的乘除法 例9、已知(3m ?=-?- ?? ，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m ＜-5

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二次根式知识点总结及常见题型 资料编号 :20190802一、二次根式的定义 形如 a （ a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号, a叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数. 据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式, 应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“” ; ②被开方数是否为非负数 . 若两个标准都符合, 则是二次根式 ; 若只符合其中一个标准, 则不是二次根式 . （ 3）形如m a（a≥ 0）的式子也是二次根式, 其中m叫做二次根式的系数, 它表示的是 : m a m a （ a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件, 若二次根式A B 与B A 都有意义,则有A B. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质 : （1）双重非负性 : a ≥0, a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性 : 2 a a （ a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性 : a 2 a(a0) a a(a .（主要用于二次根式的化简） 0) 重要结论 : （1）若几个非负数的和为0, 则每个非负数分别等于0.若 A B 2C0 ,则 A 0, B 0,C 0 . 应用与书写规范 : ∵ A B 2C0 , A ≥0,B2≥0, C ≥0 ∴ A 0, B0, C0 . 该性质常与配方法结合求字母的值.

（2） A B 2 A B A B A B ;主要用于二次根式的化简. B A A B A2 B A 0 （3）A B, 其中B≥ 0; A2 B A 0 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简: 可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内, 以达到化简的目的. （4） A B 2 A2 B ,其中B≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例 1. 式子1在实数范围内有意义,则x的取值范围是 _________. x1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 即被开方数为非负数, 注意分母不能为0.解: 由二次根式有意义的条件可知: x10 ,∴ x 1. 例 2.若 x, y 为实数,且y x11 1y1 x,化简 :. 2y1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 且有重要结论 : 若二次根式 A B 与 B A 都有意义 , 则有A B . 解: ∵x 1≥ 0,1 x≥ 0 ∴ x ≥1, x ≤1 ∴ x1 ∴ y0011 1 22 y11y 1 . ∴ 1y1 y 习题 1.如果3a 5 有意义,则实数 a 的取值范围是__________.习题 2.若 y x33x 2 ,则 x y_________. 习题 3.要使代数式 12x有意义 ,则x的最大值是 _________. 习题 4.若函数 y 1 2 x ,则自变量x 的取值范围是__________. x 习题 5.已知 b3a1282a 1 ,则 a b_________.

二次根式_题型归纳总结

【二次根式典型题型训练】 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）1 21+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若131 3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-= -+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10<

二．利用二次根式的性质2a =|a |=?? ???<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来 解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a

人教版八年级数学下二次根式典型题训练

初中数学试卷 八年级二次根式典型题训练 典型例题一 例01．在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+- m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12 (-m 分析 不论m 为任何实数，A 、C 、D 中被开方数的值都不是负数. 说明 考查二次根式的意义. 只要理解了二次根式的意义，记住在0≥a 时，式子a 才有意义，这样的题目都不在话下. 例02． y x 是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ． 0>y x C ．0≥x 且0>y D ． 0≥y x 分析 要使 y x 有意义，则被开方数y x 是非负数.应满足条件是0≥x 且0>y 或0≤x ，0

（7）12--a （8）122++a a 说明 判定一个式子是否二次根式，主要观察两方面：第一，被开方数是否非负；第二，是否为二次根式. 例04．求使x x 3132-++有意义的x 的取值范围. 说明 本题主要考察二次根式的基本概念，要弄清每一个数学表达式的含义. 根据二次根式的意义求解. 例05．在实数范围内分解因式： （1）_________32=-x （2）________652 4=+-m m （3）________3222=--x x 例06．若x ，y 为实数，且42112=+-+-y x x ，则_______=xy . 例07．求231294a a a a -+-+--+的值. 例08．当x 取什么值时，119++x 取值最小，并求出这个最小值. 例09．已知m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，计算)(n m -的值. 说明 一部分学生总是想求13的算术平方根，在不允许查表的情况下，尽管可知 13的整数部分是3，但不易知道13的小数部分，从而陷入误区.而忽视了由13=+n m 可求出13的小数部分n . 练习： 1．填空题 （1）当x ______时，1-x 是二次根式. （2）=-2 )6.1(_______. （3）把7写成一个数的平方得_______. （4）在实数范围内因式分解=-22 x _____. （5）=2 )23(________. （6）若x +3不是二次根式，则x 取值范围是_______. （7）2 ) (9=ab .

二次根式典型例题

二次根式典型例题讲解 【知识要点】 10)a ≥的式子叫做二次根式。 注意：这里被开方数a 可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式，其中0a ≥根式的前提条件。 2、二次根式的性质： （10(0)a ≥ （2）2(0)a a =≥ （3a （4）)0b ,0a (b a ab ≥≥?= （50,0) a b ≥> 3、二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。 即)0b ,0a (ab b a ≥≥=?。 4、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。 0,0) a b =≥>。 5、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）根号下不含分母，分母中不含根号。 6、分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。 分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式2 (0)a a =≥。 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。 一般常见的互为有理化因式有如下几种类型： ①；③a a ④ 7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 8、二次根式的加减法 二次根式的加减，就是合并同类二次根式。 二次根式加减法运算的一般步骤： （1）将每一个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。 【典型例题】 例1、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ （1 （2 （3 （4 （5 （6 例2、x 是怎样的实数时，下列各式有意义。

初中数学二次根式经典测试题含答案

初中数学二次根式经典测试题含答案 一、选择题 1．a 的取值范围为()n n A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不存在 【答案】C 【解析】 试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． 所以a=0．故选C ． 2．a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a ， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 3．已知352x x -+-=的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4，故选 A. 4．下列各式计算正确的是( ) A ．2＋b ＝2b B = C ．(2a 2)3＝8a 5 D ．a 6÷ a 4＝a 2 【答案】D 【解析】 解：A ．2与b 不是同类项，不能合并，故错误； B 不是同类二次根式，不能合并，故错误；

C ．（2a 2）3=8a 6，故错误； D ．正确． 故选D ． 5．12a =-，则a 的取值范围是（ ） A ．12 a ≥ B ．12a > C ．12a ≤ D ．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 =|2a-1|，则|2a-1|=1-2a ，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可． 【详解】 =|2a-1|， ∴|2a-1|=1-2a ， ∴2a-1≤0， ∴12 a ≤ ． 故选：C ． 【点睛】 此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质. 6．m 的值不可以是（ ） A ．18 m = B ．4m = C ．32m = D ．627m = 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 A. 18m =4 ，是同类二次根式，故此选项不符合题意； B. 4m = ，此选项符合题意 C. 32m =，是同类二次根式，故此选项不符合题意；