四色猜想的简洁证明
四色猜想是一个著名的数学问题，它的内容是：任何一个平面地图都可以用四种颜色来涂色，使得相邻的区域颜色不同。这个问题在数学界引起了广泛的关注和研究，直到1976年，美国数学家Appel 和Haken才给出了一个简洁的证明。
证明的基本思路是：将地图上的每个区域看作一个节点，如果两个区域相邻，则它们之间连一条边。这样，地图就被转化为一个图，问题就变成了如何用四种颜色来给这个图的节点涂色，使得相邻的节点颜色不同。
我们可以将这个图分成若干个连通块，每个连通块都是一个地图。对于每个连通块，我们可以用归纳法来证明四色猜想。
当连通块中的节点数小于等于4时，显然可以用四种颜色来涂色。
当连通块中的节点数大于4时，我们可以先找到一个度数小于等于5的节点，将它从图中删除，然后对剩下的图进行归纳。由于这个节点的度数小于等于5，所以它最多与5个节点相邻。因此，我们可以用五种颜色来给这个节点的相邻节点涂色，使得它们颜色不同。然后，我们再将这个节点涂上剩下的一种颜色，这样整个图就被涂成了四种颜色。
我们需要证明的是，对于任何一个地图，都可以找到一个度数小于
等于5的节点。这个证明可以通过反证法来完成。假设不存在度数小于等于5的节点，那么每个节点的度数都大于等于6。根据欧拉公式，这样的图至少需要7个节点才能构成一个连通块。但是，根据归纳法的假设，任何一个连通块都可以用四种颜色来涂色，因此，这个图也应该可以用四种颜色来涂色。这与每个节点的度数都大于等于6相矛盾，因此假设不成立。
四色猜想得到了简洁的证明。这个证明的思路非常巧妙，通过将地图转化为图，然后利用归纳法和反证法来完成证明，展示了数学的美妙和深刻。
四色定理数学证明过程 “四色定理”是指，由Kempe于1879年提出，即任意一个地图 只需要四种颜色来涂色，就可以保证相邻区域颜色不同。在过去的几 十年中，数学家一直在努力寻找证明“四色定理”的正确方法。在 1976年，法国数学家A. Appel和W. Haken终于证明了“四色定理” 的正确性。本文将分享一下“四色定理数学证明”的过程。 证明“四色定理”的方法是“规约法”。即将“涂色问题”转化 为一些计算机可以处理的图论问题，然后通过算法求解。 步骤一：将“涂色问题”转化为图论问题 首先要把“涂色问题”转化为一些计算机可以处理的图论问题。 通过数学家Halstead的研究，人们发现只需要涂四种颜色的是那些“好”的地图，将其进行编码，最终将地图还原成图。这里的“好” 的地图指的是那些没有的海岸线被其它地图穿过的地图。 步骤二：将“图论问题”转化为无矛盾的有限数学问题 其次，将图论问题转化为有限的概率问题。通过构建一个叫做 “网格图”的数据结构，将图论问题通过计算概率，可以变成一个有 限的数学问题。然后通过数学的力量，我们可以证明这个数学问题是 有解的。这个证明过程中涉及到多项式定理、双射、图的对称性等。 步骤三：验证证明的正确性 最后，通过计算机程序验证证明的正确性，确保其结果无误。这 个过程还涉及到超过1200页的论文撰写和审核，以及超过100万行的 计算机程序代码，所有的证明过程都由计算机来完成。 总结 作为一个数学难题，“四色定理”的证明让人们深入感受到数学 的魅力。它不仅仅让我们了解到了数学的应用价值，而且让人们更好 地理解了数学这个学科本身的精或。通过“规约法”，我们成功将这 个看似无从下手的问题转化为计算机可处理的图论问题，最终证明了“四色定理”的正确性，为人类解决了一个具有重要实际意义的问题。
四色定理的证明范文 一、四色问题的简介 根据网络上的一些内容，可知： 四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？ 在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。 在四色问题中 假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。 假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。 假设没有飞地，国土连通。飞地相当于任意指定一些他国属于国，则四色肯定不够用了。 假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。
假设国家的数量有限，不是无限多。 假设国家的形状任意。这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬 如像麋鹿的剪影： 在四色问题中 需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内 外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例 如国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的 相邻情况，等等。 需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进 来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。 二、四色定理的证明 一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。 令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。运动时间随机，但是不能过长或过短。运动中，颜色相同的点相遇后就粘结在一起，形成 色斑、色块。运动结束后，那些零星零散的足够小的色点色斑被吸附，被 改色，融入附近的色块。这样一来，这个平面或球面就被分割成红黄蓝三 色的若干色块，其中相邻的色块肯定颜色不同，也就是构造出了三色地图。 上述的过程可以反复进行，无限进行，就构造出了三色地图的无限丰 富的素材库、成品库。 同样，随机选择红黄蓝绿四种颜色，就构造出了四色地图及其无限丰 富的素材库、成品库。
四色定理的简短证明 四色定理的简短证明 虽然我们用计算机证明了四色定理，但正如汤米·R·延森和比雅尼·托夫特在《图染色问题》一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，……使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？” 四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据20世纪80-90年代中国曾邦哲从系统论观点（结构论）将其命题转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体”的问题，也就是点之间相互的联线超过3的是立体，而每增加一个点或表面时必然分割一条线或一个面，也就使分割开的不互邻面或联线可以重复使用一种颜色；因此，增加一个面同时也增加一次可重复使用同一种颜色。拓扑学的概念来定义拓扑学拓扑学如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。;x大于1为偶数的时候，y=2. 四色定理成立的公式为，y定，表示所需的颜色总数，y表示任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y定=y+1.y最大值为3，所以y定最大值是4.
以上如果正确，或许对于数学的进步也是一种阻碍。以上的论证，我自己都感到过于简单，并且没有用到拓扑学，对于是否能够证明四色定理，欢迎大家的参与。 2013年12月31日16:59:41吴兴广 参考文献:[1]四色定理百度百科【2】《数学公式1+1=1/2的成立》小马吃鱼
十色定理四色定理 四色定理的尝试证明 0引言 百度上是这么说的：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边 界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为 不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”目前只有通过计算机经 过百亿次计算得以证明，还没有可信服的书面证明方式，下面我们来尝试 书面证明。 1证明思路 1.1证明范围及限制条件 平面或球面地图，不考虑“飞地”。 1.2思路 将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0，如果我们 能够证明与A0直接或间接相关联的所有区域及其所有相邻情况的集合均 四色足够，则命题得证。 1.3证明步骤 步骤一：将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0及 其相邻区域A1……An组成系统，证明此系统中任何相邻关系均四色足够。 步骤二：在A0及其相邻区域A1……An组成的系统中，加入任意数量 区域并对其可能存在的所有相邻关系进行分析，证明依然四色足够。
2证明步骤一 2.1建模 第一种情况：当A0不处于有限平面边界时，则A0必然被均与A0相邻的n个区域所包围。n=任意非0正整数。 第二种情况：当A0处于有限平面边界时，则A0必然被均与A0相邻的n个区域所半包围。n=任意非0正整数。 显然，当处于第二种情况时，我们只需要在有限平面外增加任意数量区域与A0相邻并将其包围，就会变成第一种情况，所以第二种情况仅是第一种情况的特例；四色足够问题上，如果第一种情况成立，则第二种情况必然成立。球面上仅存在第一种情况，所以下面我们仅针对第一种情况进行论证。 下面我们来建立模型，由于我们本着把问题从简单到复杂逐步演化来证明的原则，我们先加上两个限制条件，这两个限制条件我们后面会逐步去除。 条件1：暂不考虑与A0不相邻的区域加入进来，也就是说我们只考虑A0与A1……An组成的系统，且A1……An均与A0相邻； 当n=1、2、3时，图中最多4个区域，显然四色足够，不再累述; 我们接下来继续证明n>3时的情况： 因n只可能是偶数或奇数，那么在以上两个限制条件没有去除的情况下，我们以A0为中心的基本模型显然是遵循4色足够的。 2.3证明步骤一构建的系统内四色足够
四色定理的简单证明 虽然现在已经有不少人用不同方法证明出了四色定理，但我认为四色定理的证明还是有点复杂,所以给出以下证明。（注：图形与图形的位置关系可分为相离、包含、内向接、内向切、外向接、外向切，在此文中由于题意关系不妨重新分为以下关系：1 把包含、内向接、内向切，统一划分为包含关系。2 把外向接单独划分为相接关系。3把相离、外相切统一划分为相离关系。） 此证明过程中把图的组合形式按照其位置关系而抽离出了以下四种基本有效模式： 1 若要存在只需用一种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中所有图形必定满足彼此相离。如下图： 图（1） 分析：这是最简单的一种图形关系模式暂且称为模式a。 2 若要存在只需用两种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中的所有图形必定满足最多只存在两个图形的两两相交的图形。各种有效图形关系如下图：
图（2） 分析：两个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。由于图（1）存在包含关系，被包含的图形是对外部无影响的，所以图（1）仍属于模式a。所以两个图形的两两相交只有图（2）的相交关系模式的图形有效的，我们暂且称之为模式b。 3 若要存在只需用三种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在三个图形的两两相交图形。各种有效图形关系如下图： 图（3） 分析：三个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。由于图（2）属于存在包含关系，同理整体回归于模式a。所以三个图形的两两相交只有图（1）的相接关系模式的图形是有效图形模式，我们暂且称之为模式c。 4 若要存在只需用四种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在四个图形的两两相交图形。各种有效图形关系如下图： 图（4）
四色定理证明的新方法 梁增勇 摘要：本文用图论的方法证明了三角形结构连通图具有延伸和轮形两大的不可避免构形集。以及有它们组成的8个不可避免构形，它们的子图色数都≤4。通过分析这些构形的组合（图）的顶点颜色关系和运用顺序着色的方法完成图的正常4-着色。从而证明了三角形结构连通图（及平面连通图）的色数≤4。本文解决了切实可行的新方法对四色定理的书面证明，同时对四色定理的实际应用也具有一定的意义。 关键词：三角形结构连通图；不可避免构形集；延伸结构；轮形结构；顺序着色法 1 前言 四色猜想是世界数学界关注的问题，给出四色定理无需借助于计算机的证明仍然是一个未获解决的数学难题。我们已知四色定理可以通过证明平面连通图G'的色数≤4来实现。而平面连通图的色数不大于由它增加边而得到的三角形结构连通图G(triangulated graph) 的色数[1]。因此，只需证明任意三角形结构连通图的χ(G)≤4, 即可解决四色定理的证明难题。 2 三角形结构连通图 定义 1 如果一个简单图G它所有的内部的面都是C3,则称之为三角化图或三角形结构连通图[2]。 很明显，三角形结构连通图G可由平面连通图G '中内部所有长≥4 的圈增加边，使其所有内部面皆为C3而得。在图中增加边，只可能增加图的色数，所以χ(G’)≤χ(G) [2]。 图 1 平面连通图和三角形结构连通图 3 两大不可避免构形集 定义2 如果一个子图包括一个圈C n-1和一个中心顶点v，v和其它所有圈的顶点都邻接，则称之为轮形结构（轮图），简称轮形,用W n表示。不包含有轮形结构的三角形结构子图称为延伸结构，用E n表示。
图 2 延伸结构和轮形结构 在图2 中我们展示了延伸结构和轮形结构以及它们的同构子图，其中方形的子图是本文在分析中常用的形式。 定理1. 三角形结构连通图仅有延伸和轮形两种结构方式。 证. (1) 一个三角形有三条边，它与其它三角形邻接的情况只有三种：a)有一条公共边； b)有两条公共边；c)有三条公共边。那么a和c属于延伸结构，b属于轮形结构。 图 2 一个三角形与其它三角形邻接的三种情况 (2)我们可以用逐个增加三角形来构造一个三角形结构子图（参见图3）。可用欧拉公式解释，在一个面中增加三个顶点和三条边可得一个三角形（C3）,它是三角形结构连通图的最基本的单位结构，由于它的形状和子图色数以及延伸结构的定义，我们将它归属于延伸结构。同时，用欧拉公式可以证明再增加三角形仅有两种情况：a) 为了增加一个三角形面需要增加一个顶点和两条边（E4,E7）；b)为了增加一个三角形面仅需要增加一条边。当仅为a的情况只可能产生延伸结构；当有b的情况会产生一个新的轮形结构（W4, W7）。（增加边数多于3 的情况不可能存在，因为新三角形仅有3 条边，且一条边必须是与旧三角形的公共边）（3）延伸结构和轮形结构之间的邻接组成的子图还是延伸结构或属于它们的并图，不会产生新的结构[3]。 图 3 增加一个三角形面与欧拉公式的关系 定理 2.延伸结构子图色数等于3。
四色猜想的证明 四色猜想的内容是：如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要4种颜色就足够了。 要证明四色猜想，首先需要定义一些新的概念： 1、国家的表示法——点 由于该猜想的内容中不涉及与国家形状有关的问题，而只涉及国与国之间的相邻关系，因此任何一个国家都用点来表示。 2、相邻与不相邻 在叙述时，用符号“=”表示相邻，用“#”表示不相邻，如果用图示法表示相邻与不相邻则要复杂一些，先看下图： (a)(b) (c) 图1 在图1（a）与（b）中，分别用了直线和曲线连接两个国家A和B，表示国家A与B相邻，为了简便起见，这里只用直线表示相邻，图1（c）中是已知A与B相邻，叫你判断C 与D能否相邻，连接CD、CD与AB相交，相交是否就是不相邻呢？我们先看一组图: 图2 图2是把图进行等分后的结果，从三等分开始，如果每一份代表一个国家，这表示等分后的所有国家相聚于一点，从四等分后的国家A 、B、C、D可知，如果国家之间点的接触算是相邻，则A与B，C与D都为相邻，显然这时的A与B，C与D是交叉相邻，与图1（c）中的情况相同,此时A与B，C与D的交点表示接触点。若点的接触不算相邻，那么连接A与B的直线可以看作一道墙，在这中间不能有任何直线通过。因此，由于C与D的连线与AB相交，据此判断出C与D不能相邻。 但是当相邻用曲线进行表示，C与D却能够相邻，这是否说明用直线表示相邻有问题呢？当然不是，仔细分析就可以发现，用曲线表示相邻同样不能有相交的情况出现，因此，用直线表示相邻时，适当移动C或D的位置就可以使C与D相邻。 3、完全相邻
这是一个关键问题，可以这么说，没有这一概念的证明都是伪证明，现在给出完全相邻的定义： 在一个面上（可以是平面也可以是曲面）给定N个国家，如果这N个国家两相邻，那么我们就称这N个国家完全相邻。 由于1个国家没有相邻关系，因此上面的N要求要大于1。 如果是3个国家完全相邻，它们的相邻关系为：（这三个国家分别设为1、2、3） 1=2，1=3，2=3 有了以上这些概念之后，就有了证明四色猜想的基础。 定理1：在一个面上（可以是平面也可以是曲面）给定N个国家，如果这N个国家完全相邻，那么需要用N种颜色进行区分。（N>1） 证明：N个国家完全相邻，它们的相邻关系为： 1=2，1=3，1=4……，1=N 2=3，2=4，2=5……，2=N 3=4，3=5，3=6……，3=N ………………………………… N-2=N-1，N-2=N N-1=N 首先把N个国家都涂上不同的颜色，假定它们涂上的颜色名与国家名相同，就有了N 种颜色，现在要证明的是，这N种颜色一种也不能少。可以假设第k种颜色可去掉(1= 四色猜想证明 首先提出两个原则：①贴边原则（即只要两图形有公共边，则它们的颜色须涂不同的颜色） ②最简原则（即能不用新的颜色填涂就不用新的颜色填涂） 证明：假设四色猜想是错误的，则可以存在一个图形它必须由四种以上颜色填涂接下来试图构建一个必须由四种以上颜色填涂的一个图形，根据提出的两个原则作得下图： 图① 如图①所示，由于图形A,B有公共边，因此颜色A≠B即可 图② 如图②所示，要构建一个必须由四种以上颜色填涂的图形，则图形A,B,C就必须两两有公共边才能使得颜色A≠B≠C(根据两个原则） 图③ 如图③所示，要构建一个必须由四种以上颜色填涂的图形，则图形A,B,C,D就必须两两有公共边才能使得颜色A≠B≠C≠D(根据两个原则） 图④ 如图④所示，要构建一个必须由四种以上颜色填涂的图形，则图形A,B,C,D,E就必须两两有公共边才能使得颜色A≠B≠C≠D≠E(根据两个原则） 看图④，显然这是做不到的因为C和A由于被E隔开所以没有了公共边，无论E怎么调由于在平面内一周只有360°，无法满足所有图形两两有公共边。因此企图根据两个原则去构建一个用四种以上颜色填涂的图形是不可能的。因此假设错误。 而在地图上更是无法找出那么一块地方同时满足两个原则而需要四种以上颜色填涂的地方，也就是在地图上无法找出图④成立的这种情况，因为图④本身就不存在，也就没有那么一块地方需要满足原则的情况下需要四种以上的颜色填涂。 图⑤ 如图⑤，在地图上以任一图形为中心，由于图⑤是一个地图中最复杂的情况，因为以1为中心时它已经用了四种颜色，所以以图形1为中心（以A为中心则只考虑和A有公共边的区域），则从上面得出的结论，要想用第五种颜色则需要有一块区域，它必须和图形1，2,3，4两两相贴，这是做不到的，因此不可能需要第五种颜色。由于是以任何一块区域为中心，而最复杂的情况也不需要第五种颜色。而在地图上任何一块区域都只会符合上示所有的图中的一个或几个，因此最多需要四种颜色。要用第五种颜色就必须保证以任一图形为中心有那么一块区域使得五块图形两两相贴。显然这是不可能的！ 因此四色猜想得以证明。 证明人：梁铧 QQ:1499480929 数学中的四色定理证明 在数学中，有一项非常著名的命题被称为四色定理。这项命题 的内容是：对于任何一个平面图，只要它的区域数（包括无限远 处的区域）不超过四个，那么就可以用四种不同的颜色给每一个 区域都染色，使得相邻的区域颜色不同。 这个定理虽然看起来很简单，但是却极其难以证明。在 1852 年，英国的一位数学家 Francis Guthrie 发现了这个定理，并向他的教授请教。几十年过去，当 Guthrie 的教授告诉他已经找到了一个 反例时，这个猜想被否定了。但是至今为止，对于四色定理到底 成不成立，数学家们仍然没有得到完全的证明。 在 1976 年，Kempe 发表了一篇文章，声称他已经证明了四色 定理。但随后，一位来自伯明翰大学的数学家 A.K. 阿普尔比汀对 他的证明中的一个错误进行了纠正。这个错误的发现一方面表明 了四色定理确实非常难以证明，另一方面也启发了其他数学家， 让他们继续尝试寻找证明的方法。 经过长达100 多年的探求，直到1976 年才被证明成立。当时，国际上的四名著名数学家通过使用现代计算机技术，给出了一个 完美的证明。这个证明是非常复杂和深奥的，令人不得不惊叹于 人类智慧的力量。 笔者在此不打算深入讨论这个证明的细节，而是从另一个角度 出发，来理解四色定理的意义。 首先，四色定理告诉我们，即使是看似很简单的问题，也可能 存在着极其复杂的答案。如果我们不去深入研究、探求，很容易 会得出错误的结论。这也是为什么很多人随便就能口胡一些东西，却很难真正去理解和掌握某一项学问的基本原理。 其次，通过四色定理的证明，我们也可以看到人类智慧和科技 的力量。在过去，证明这个定理是极其困难的，但现在，我们可 以依靠计算机技术，借助各种数学方法，从最细微的角度去找到 证明。 最后，四色定理的证明也告诉我们一个很重要的思想：无论遇 到多么困难和棘手的问题，我们都应该尝试着去解决它。这需要 勇气、毅力和耐心，同时也需要一些创新和发明。正是因为几名 著名数学家的努力，四色定理的证明才能变成现实。 肯普证明四色定理 引言 四色定理是图论中的一个经典问题，它指出任何一个平面上的地图，只需要四种颜色就可以将相邻的区域彼此区分开来。这一定理由英国数学家弗朗西斯·伯尔·肯普于1976年给出了证明，被誉为图论史上的里程碑。本文将介绍肯普的证明思路和关键步骤。 一、引入概念 为了更好地理解肯普证明四色定理，我们首先需要明确一些关键概念。在图论中，我们将地图看作是由一系列区域（也称为节点）和相邻关系（也称为边）组成的图。而四色定理的目标就是要找到一种颜色方案，使得相邻的区域不会被相同的颜色所标记。 二、肯普证明思路 肯普的证明思路可以概括为以下四个步骤：分割、约简、重组和验证。 1. 分割：首先，我们需要将地图划分为若干个不相交的区域。这可以通过引入一些辅助线来实现，使得每个区域都是简单多边形。分割后的地图称为简化地图。 2. 约简：在简化地图的基础上，我们需要进行约简操作，即将一些特殊的情况转化为一般情况。其中一个重要的约简操作是将地图中的桥连接（即只有两个节点相邻的边）删除，这样可以减少问题的 复杂性。 3. 重组：在约简后的地图上，我们需要将某些区域进行合并，形成更大的区域。这一步骤的目的是为了将问题转化为一个更简单的形式，使得我们可以通过归纳法来证明四色定理。 4. 验证：最后，我们需要验证合并后的地图是否满足四色定理。这可以通过逐步添加边，检查是否存在相邻区域被相同颜色标记的情况来进行。如果我们可以找到一种颜色方案，使得每个区域都与相邻的区域有不同的颜色，那么四色定理就被证明了。 三、关键步骤解析 以上是肯普证明四色定理的整体思路，下面将对其中的关键步骤进行详细解析。 1. 分割：在分割地图时，肯普引入了一个概念叫作“三角形邻域”。他通过添加一些辅助线，将地图分割成一个个简单多边形，并保证每个多边形都有一个三角形邻域。这样一来，每个多边形就都可以通过三角形邻域与其他多边形相连。 2. 约简：肯普证明了在简化地图的过程中，可以通过删除桥连接来减少问题的复杂性。他还证明了对于任何一个桥连接，都存在一种颜色方案，使得相邻的区域可以被不同颜色标记。 3. 重组：在重组地图时，肯普采用了归纳法的思想。他首先证明了 四色猜想 几年前，我接触到了四色猜想，并被它的神奇深深吸引住。通过很长一段时间的思考，否定，再思考，再否定，我终于找到了一个自认为满意的答案。当然，说她绝对无懈可击我还是没有把握的，我只希望通过这个文章能拓展一下思维，特别是续文中的证明方式，可能也算是开创先河吧。 此证明过程分两步进行，并用两个命题引入最后的结论。 命题一：出现第五种颜色国家的充要条件是这个国家与四个两两相邻的国家都相邻。（这是一个伪命题，不过对于理解以后的证明有帮助） 地图很复杂，国家形状各异，研究起来很困难，所以第一个工作是将地图简化。 先引入一个概念：连线。在地图上每个国家上选一个中心点（为理解方便选国家首都），每两个相临的国家都用一根柔线把它们的中心点连起来，并且这些线都只在这两个相邻国家的国土上经过（因此不一定是直线），现在将所有的国家都忽视掉，地图上只剩下很多中心点和很多的柔线。点就代表国家，线就代表相邻关系。 连线有一个重要特性：可以不相交。这个不难理解。 四个国家两两相邻，用四个点和六条连线可以很清楚的表示出来，如下图： 上图是四点两两相连的最简情况之一，还有一种最简情况是正方行的四边和两条对角线，不过上文所书连线可以不相交，因此否决了后者。想在上图中添加第五个点和以上四点都相连且连线不相交，显然是不可能的。换言之，一个平面内不可能出现五个点两两相连且连线不相交。所以得证，不可能出现第五个国家与四个两两相邻的国家都相邻。也就是说不可能出现五个国家两两相邻。 以上的证明过程没有错误，而推论的局限在于只考虑了相邻不同色的情况，如果国家不相邻也不同色，上面的推论就不适用了。 命题二：出现第五种颜色国家的充要条件是这个国家与四个必不同色的国家都相邻。 引入一个新概念——影响线(影响线很难理解,所以后面会有一个续文专就影响线做介绍。) 影响线——若A，B两国必不同色，它们中心点之间必然存在着一些连线，这些线起到影响双方的作用，若A，B相邻，它们的连线就是影响线。若A，B不相邻，影响他们的线会有很多条。需要找到一条最具有代表性的，并将其命名为影响线。 若A，B不相邻且必不同色，令A为a色，B为b色。A必不为b色，所以必有一b色国家b1与A相邻，B必不为a色，同样必有一a色国家a1与B相邻。若a1与b1相邻，那么如下图，连接A,b1,a1,B的中心点，这根连线我们就称为A，B的影响线。 若a1，b1不相邻,他们不相邻，为什么不能同色？a1必不为b色，为什么？必有一b色非B国家b2与a1相邻，b1必不为a色，同样必有一a色非A国家a2与b1相邻。这样就出现下图的情况。 四色猜想的证明 把每个区域看成一个点，相邻的区域（点）用线连起来，则不可能存 在连线交叉穿过的情况。现存在一张地图（a ）需用上4种颜色才可 区分相邻区域（点）。下面证明是否存在必须用上第5种颜色的地图： 假设存在这样的地图，则在必须染上第5种颜色的点的周围一定存在 染有其它4种颜色的点与之相连（如图b ）。 由于E 是必须用上第5种颜色的点，所以无论从哪点开始按何种顺序 染色最终都得使ABCDE5点两两异色。而且在染色时颜色的选取只受 之前染过颜色的点的限制，无需考虑其它未染色的点的颜色。 记5种颜色分别为“1”“2”“3”“4”“5”，则这5种颜色地位 是平等的。下面从上面那5点染起： 不妨先将E 染为“1”，再染B 时要使它不能选E 的颜色，则BE 必相 邻，不妨染为“2”，再染C 时要使它不能选ＥＢ的颜色则ＥＣ，Ｂ Ｃ必相连，不妨染为“３”，再染Ｄ时要使它不能选ＥＢＣ的颜色则 ED，BD,CD必相连，不妨染为“4”，再染A时要使它不能选EBCD的颜色则EA，BA，ＣＡ，ＤＡ必相连，但Ａ与Ｃ由于ＢＤ相连而无法相连，这样Ａ的颜色只需选Ｃ的颜色而无需用上第５种颜色。因此不存在必须用上第５种颜色才可区分相邻区域的地图。 综上所述：无论多么复杂的地图，只需４种颜色就可以将所有相邻区域分开，即四色定理得证。 关于四色定理证明过程中的详细说明 一：对“不可能存在连线交叉穿过的情况”的证明： 先谈区域间的交界线的定义问题： 当区域间仅交于一点时，若把它看作交界线，则当有n个区域交于一点时，这n个点两两相邻，需用n种颜色才可区分，这样讨论“只需用几种颜色就可以将相邻区域分开”就毫无意义了，故点不能看作时交界线，交界线应该具有一定线度。所以当区域M和N相邻后其它区域不可能通过MN的交界线而相邻。 二：对“染A时A无法与C相连”的证明： 在E周围的四点定具有如图（c1）的相对位置关系，由于ＢＣＤＡ４点的地位是平等的，不妨将其按如图（c2）位置关系排列（即将它们 四色定理计算机证明过程 四色定理是数学中的一个著名问题，它提出了一个有趣的猜想：任何平面图只需要四种颜色就可以使相邻的区域彼此区分开来。这个问题在数学界引起了广泛的关注和争议，并且在计算机科学的发展中也起到了重要的作用。本文将介绍使用计算机来证明四色定理的过程。 我们需要了解什么是平面图和相邻区域。平面图是指在平面上绘制的图形，其中的线段只能相交于端点且不相交。而相邻区域则是指平面图中由边界线相连的相邻的区域。 为了证明四色定理，我们可以使用计算机来进行穷举搜索。具体地说，我们可以通过对平面图进行逐一遍历，尝试为每个区域分配一种颜色，并检查是否存在相邻区域颜色相同的情况。如果不存在这样的情况，即可证明该平面图可以使用四种颜色进行着色。 在计算机中实现这个算法需要解决两个关键问题：如何表示平面图和如何进行穷举搜索。 我们可以使用邻接表来表示平面图。邻接表是一种数据结构，用于表示图中的顶点和边。对于平面图而言，顶点即为区域，在计算机中可以用数字或者其他唯一的标识符来表示。而边则表示两个相邻区域的边界线，可以用一个列表来表示每个区域与其相邻区域的关 系。 然后，我们需要实现一个递归函数来进行穷举搜索。该函数的输入参数为当前的平面图和已经为部分区域分配的颜色。在每一步递归中，我们选择一个尚未分配颜色的区域，尝试为其分配一种颜色，并递归调用函数继续搜索。如果找到了一种着色方案使得整个平面图都满足相邻区域颜色不同的条件，那么我们就成功地证明了四色定理。 在实际的计算机程序中，为了提高效率，我们可以使用一些优化技巧。例如，我们可以根据已经分配颜色的区域来确定下一个要分配颜色的区域，从而减少搜索的时间和空间复杂度。此外，我们还可以利用剪枝策略，即在搜索过程中排除一些不可能的情况，进一步提高算法的效率。 通过上述的算法和优化技巧，我们可以使用计算机来证明四色定理。当然，由于穷举搜索的复杂性，对于大规模的平面图，这个算法可能需要很长的时间和大量的计算资源。因此，在实际应用中，人们通常使用这个算法来验证一些特定的平面图，而不是对所有平面图进行遍历。 总结起来，使用计算机证明四色定理的过程可以简化为以下几个步骤：表示平面图、进行穷举搜索、优化算法、验证特定平面图。通过这个过程，我们可以更好地理解和应用四色定理，同时也体现了 证明四色猜想 本文用递推的方法，分别用点和线代替平面图形及平面图形相交，则三个平面图形两两相交时，构成一个三角形的封闭空间。通过讨论第四个点与此三角形的关系，简明地证明了四色猜想。 四色猜想最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。就在1976年6月，哈肯和与阿佩尔合在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在，仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。 证明 将平面图形抽象极限成成点或线，当然在这一点或线的基础上可以任意发出一些线（这些射线可以任意扩展为面）。这些射线都属于这个点。 首先，A，B两个面相交看成点A发出的射线和点B发出的射线相遇于点Pab，如图1。第三点C要和A，B两两相交，则构成一个三角形ABC的封闭空间，如图2。 这时点D要和A、B、C两两相交则有两种情况： （1）D在ABC之内和ABC相交 当D和和A、B、C中任意两者相交都将构成新封闭三角形。第五点E继续相交时就和D与A、B、C相交的情况一样。 假设D和A，B，C分别相交于Pad，Pbd和Pcd。Pbd在P到B点间，Pad 在Pac到A点间，Pcd在Pac到C点间。这样即使A，B，C内部还有剩余空间也被分成了3部分如图3。尽管这三个图形不一定都是三角形但都是封闭的，都可以简化成三角形。所以无论第五点E在哪部分都是点与三角形关系。（见图3） （2）D在ABC之外和ABC相交 D可以完全将ABC包围或者将ABC一部分包围。但无论怎样ABC三者至少有一者完全在D的图形内。 若D将ABC一部分包围。那么ABC至少有一点完全被D包围。如图5 若E在D外就不能和A、B同时相交。 “四色猜想”论证 之“一个平面上不会出现五个彼此相互邻接的区域”“四色猜想”： 如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个（无飞地的）地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且不会有两个邻接的区域颜色相同。被称为邻接的两个区域是指它们有一段公共的边界，而不仅仅是一个公共的交点。 论证命题： 一个平面上不会出现五个彼此相互邻接的区域 论证过程： 假设： 一个平面上出现了5个彼此相互邻接的区域（无非地，非角接）。 第一步（见图1）： 两区域彼此相互邻接 A、B两点分别再两区域内，则从A向B画连续的线。一定可以找到一条线，它两部分分别在两个区域内，不经过第三区域。 第二步（见图2）： 三区域彼此相互邻接 三区域彼此相互邻接有两种情况，一种情况是第3区域在A、B两区域所围成的内部小封闭空间（见图2-1），另一种情况是第三区域在A、B两区域所围成的外部大空间（见图2-2）。 如图2-1，如果要保证第四区域与这三区域都有邻接的部分，则必须把该区域放在A、B、C三区域围成的内部。 如图2-2，要保证第四区域与这三区域都有邻接的部分，则可以把该区域放在三区域围成的画斜线的部分，或是外部。 第三步（见图3）： 四区域彼此相互邻接 四区域彼此相互邻接，有三种情况。 我们再把三张图的路线（虚线）提取出来（见下图）： 这些路线已经把地球有限的面积分割成四个封闭的区域，抽象出来的图，如图4： 第四步： 五国版图相互邻接 把第五区域安排在1封闭区域内，那么第五区域（E）必定在图1内，并且D点在图1外。根据：在一个平面里，从封闭区域外的一点向封闭区域内的一点画连续的线，这条线必定与该封闭区域的的边界有交点。有交点就意谓着要经过第三块区域。而我们假设是5个 区域是彼此相互邻接的，两相互邻接的区域内的点之间画连线是不经过第三区域的。 所以假设错误，原命题正确。 如图5所示： 四色定理的证明 一、四色定理的介绍 地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。 四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2， 3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。1976年美国数 学家阿佩尔与哈肯宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。 二、四色定理的证明 通过四色定理的介绍，我们可以知道如果两个图形相邻，则需要用不同的颜色将它们区分。反之，若两个图形不相邻则可以用一种颜色。由此得出，如果一张地图不能用四种颜色将它们分开，则必然存在五个两两相邻的图形。所以，只需证明是否存在五个两两相邻的图形即可。 1.把一个图形X 分成2个小图形的情况共有两种。分别如下： 图 2 说明：a.图形X 的选取是任意的(在这里举的是一个圆）。 b.将图1的分法叫线切法，点M,N 为交点，其特点是两个图形都只共用自己的一部分 边界。将图2的分法叫内取法，其特点是其中一个图形所有边界与另一个图形共用。内取法的性质是里面的图形B 只能与图形A 相邻，称图形B 为内取图形。 2.将一个图形X 分成3个小图形的情况共有6种，方法是先把一个图形分成两个，再把其中 一个分成两个。对图1因其分成的两个图形是等价的所以共有2种（如图3和图4），对图2的继续分共有4种（如图5到图8）。分别如下： 图5 图6 图8 从中我们可以看出，只有图3、图5和图7是满足两两相邻的。 3.将一个图形X 分成4个小图形两两相邻的情况。方法是先把图形X 分成2个小图形A 和 B ，再把B 分成3个小图形B1、B2和B3。又因为分成3个图形满足两两相邻的只有图3、图5和图7三种分法，图5和图7有内取图形无法与图形A 相邻，故要想满足4个图形两两相邻只能采取图3这种分法。 P四色猜想
数学中的四色定理证明
肯普证明四色定理
四色猜想(全)
四色猜想的证明
四色定理计算机证明过程
证明四色猜想
“四色猜想”论证之一个平面上不会出现五个彼此相互邻接的区域
四色定理证明
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