高等几何习题解答
习题一
1．0设A ，B 为二定点，xy 为定直线。于xy 上任取P ，Q ，又AP 与BQ 交于L ，AQ 与BP 交于M ，求证：LM 通过AB 上一定点。
解：把直线xy 射影为无穷远直线，则点P ，Q ，2P ，2Q 变为无穷远点1P ∞，
1Q ∞，2P ∞，2Q ∞，
所以1A L B M ''''∥，22A L B M ''''∥，11A M B L ''''∥，22A M B L ''''∥，得两个平行四边形。
1
1L B M ''''中，11L M ''，A B ''是对角线，交于1S ，且1S 是A B ''的中点。22L B M ''''中，22L M ''，A B ''是对角线，交于点1S ，且1S 是A B ''的中点，∴1S '≡2S '＝S '，从而，LM
通过AB 上一定点S 。
1.1 写出下列各直线的绝对坐标：
（1）123320x x -= （2）23230x x -= （3）30x =
答：（1）(3,-；（2）(0,2,3)-；（3）(0,0,1) 1.2 写出下列个点的方程
(3,5,1)a =- (0,1,0)b = ,1,0)
c =-
答：123:350a ξξξ-+= 2:0b ξ= 120c ξ-=
1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：(1,4,1)x =，(2,0,1)y =，(1,1,2)z =- 答：),8,1,4(=?y x 084321=++x x x ),2,3,1(--=?z y 023321=--x x x ),5,1,9(--=?x z 059321=--x x x
1.4 求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标：),4,1,0(=ξ),3,1,2(=η)0,1,1(-=ζ 答：),2,8,1(-=?ηξ028321=+-ξξξ ),1,1,1(-=?ξη0321=-+ξξξ
),1,4,4(-=?ξζ044321=-+ξξξ
1.5 如果直线,ξ,η,ζ?的方程分别是：,031=-x x ,032=-x x ,02321=-+x x x
,0321=++x x x 求直线)()(?ζηξ???的方程和坐标。
答：),4,1,3()()(-=????ζηξ方程为043321=-+x x x 。
1.6 把笛卡尔三维空间里经过原点的直线作为“点”；把经过原点的平面作为“直线”，求证：这些“点”和“直线”的集合ω可定义为射影平面。
证明：在笛卡尔三维空间里有下列事实：
)1( 经过原点的任意二不同的直线属于一个而且只属于一个经过原点的平面；
)2( 经过原点的任意不同的二平面相交于一条而且只相交于一条经过原点的直线。因
而集合ω里的“点”和“直线”满足下列条件：
)1( 任意而不同的“点”属于一条而且只属于一条“直线”； )2(任意二不同的“直线”属于一个而且只属于一个“点”
。 而且，当经过原点的直线属于经过原点的平面时，可以看作ω的“点”属于“直线”。
所以集合ω可以定义为射影平面。
2.1 试证点),2,3,2(-=*a ),4,2,1(-=*b )6,1,0(-=*c 是共线的，试求λ和μ，使得
,***+=c b a μλ又求b 和c 的一个表示*'b 和,*'c 使得***'-'=c b a
答：,2=λ,1=μ),8,4,2(-='*b )6,1,0(-='*
c
2.2 试求直线),2,1,3(-=ξ),3,5,1(-=η)2,0,4(-=ζ共点。并求ξ和η的固定表示*
ξ和*η，使*
*+=ηξζ
答：),720,710,730(
-=*
ξ)7
6,710,72(--=η 2.3 写出下列命题的对偶命题
)1(直线上至少有三点。
)2(射影平面上至少存在四条直线，其中任何三条直线不共点。
)3(A 、B 、C 、M 为无任何三点共线的四个点，AM 交BC 于,0A MB 交AC 于,
0B CM 交AB 于,0C 连接,00B A ,00C B 00A C 得一个三点形。
答：)1(线束里至少有三条直线。
)2(射影平面上至少存在四个点，其中任何三点不共线。
)3(α、β、γ、δ为无任三线共点的四条直线，α和δ的交点与β和γ的交点的连结为0α，β和δ的交点与α和γ的交点的连线为0β，γ和δ的交点与α和β的交点的连线为0γ，0α，0β，0γ组成一个三线形。
2.4 写出下面作图题的对偶命题，并画出对偶图形（不必写做法）。
已知三点形的顶点a 、b 、c 和不在三点形任何边上的任意一点x ，并作三点形的每一顶点与点x 的连线x a ?，x b ?，x c ?。
图2
对偶命题：已知三线形的三边α，β，
γ，和不通过三线形任何顶点的任意一条直线ξ，求作三线形的每一边与直线ξ的交点ξα?，ξβ?，ξγ?。
对偶图形为右图。
2.5 已知三点形abc 和点p ，而p 不在三点形的边上，令a c b p a '=???)()(，
b a
c p b '=???)()(，c b a p c '=???)()(，a c b c b ''='?'??)()(，b a c a c ''='?'??)()(，c b a b a ''='?'??)()(，试证a ''，b ''，c ''共线。
提示，对三点形abc 和c b a '''应用笛沙格定理。
3.1 在意直线上取点)1,7,5(--=y ，)1,2,1(-=z 作为基础点，
)1,1,1(-=u 作为单位点，建立射影坐标系，试求点)5,1,1(-=x 的齐次和非齐次射影坐标。
答：)31,37,
35(-=*
y ，)3
2
,34,32(-=*z ，)2,1(，21
3.2 在一线束里取直线)3,2,1(-=ξ，)6,3,2(-=η为基础直线，取)12,1,4(--=ζ为单位直线，建立射影坐标系，试求)0,1,0(=?的齐次和非齐次射影坐标。
答：)7,9(，
9
7
3.3 如果点)0,1,1(，)1,1,2(，)7,1,0(取作射影坐标系的参考三点形的顶点，)1,2,1(为
单位点，试求点)1,1,1(在这个坐标系里的齐次射影坐标和方程。
答：)15,5,9(-，01559321=+-ξξξ
3.4 试写出坐标三点形个边上任意点的坐标和方程；又写出通过各顶点的任意直线的的坐标和方程。
解：设1δ上不同于23,d d 的任意点x
223323232233(0,,),,0,0x d d λλλλλλλξλξ=+=≠+=方程为
2δ上不同于13,d d 的任意点y ，13131133(,0,),,0,0y μμμμμξμξ=≠+=方程为
设3δ上不同于1d ，2d 的任意点121122,(,,0),0z z νννξνξ=+=方程
设通过1d 而不同于2δ，3δ的任意直线为α，则),,0(32λλα''=，方程是03322='+'x x λλ 通过2d 而不同于1δ，3δ的任意直线β，则),0,(31
μμβ''=，方程是0)(3311='+'x x μμ 通过3d 而不同于1δ，2δ的任意直线γ，则)0,,(21
ννγ''=，方程是02211='+'x x νν 3.5 试证：如果1a ，2a ，3a ，b 是四个点，其中没有任何三点共线；而且
)()(1k j i a a a b c ???=，其中i ，j ，k 取)3,2,1()1,3,2(和)2,1,3(，则三个点
)()(j i j i a a c c ???共线（提示：选择i i d a =，e b =）
证明：选择11d a =，22d a =，33d a =，e b = 则
)1,1,0()0,0,1()1,1,0()()()()(3213211=?-=???=???=d d d e a a a b c
同理)1,0,1(2=c ，)0,1,1(3=c 。
又)0,1,1()1,0,0()1,1,1()()(2121-=?-=???a a c c 同理)1,1,0()()(3232-=???a a c c )1,0,1()()(1313-=???a a c c
01
1
11
011
)()(),()(),()(131332322121=---=?????????a a c c a a c c a a c c 所以)()(j i j i a a c c ???共线。
另证：观察三点形321a a a 和321c c c ，对应顶点的连线11c a ?，22c a ?，33c a ?属于一点
b ，由笛沙格定理，对应边的交点)()(2121a a
c c ???，)()(3232a a c c ???，
)()(1313a a c c ???属于一条直线。
3.6 设两条直线ξ和ξ'上各有三个不同点x ，y ，z 和x '，y '，z '，这些点与ξξ'?都不同，那么三个点：)()(z y z y a ?'?'?=，)()(z x x z b ?'?'?=，)()(y x y x c ?'?'?=是共线的。（pappus 定理）。又叙述其对偶定理，并画出对偶图形。
证明：建立坐标系),,,(b z y x 'Ω，x ~1d )0,0,1(，y '~2d )0,1,0(，z ~3d )1,0,0(，b ~e
)1,1,1(
y 在z x ?上而且不同于x 和z ，所以y 的坐标为),0,1(λ=y z b ?~)0,1,1()1,0,0()1,1,1(-=?
点x '在z b ?上且不同于b 和z ，所以x '的坐标可设为),1,1(μ='x 。 )1,0,()1,1,0()()(μ-?-='?'??='y x b x z ~),,1(μμ
)0,0,1(),,()()(?--=?'?'?=μμλλμz y z y a ~),,0(λμμ- )0,,()1,,()1,0,0()()(λμλλμλ-=-?=?'?'?=y x y x c
0011100
11
1
,,=--=--=
λ
μμ
λ
μμλ
μ
λλ
μμc b a ∴a 、b 、c 共线。
p a p p u s 定理的对偶定理：
设通过两个点p 和p '各有三条不同的直线α，β，γ和α'，β'，γ'，这些直线与直线p p '?都不相同，那么三直线)()(γβγβξ?'?'?=，)()(γααγη?'?'?=，
)()(βαβαζ?'?'?=是共点的。
对偶图形：（图4）
图4 图5
3.7 已知三点形abc 和两点a '、b '，确定点c '，使得a a '?，c b '?和c b ?'共点，而且c a '?，b b '?和a c '?也共点，并求证b a '?，a b '?和c c '?共点。（如图5）
证明：当两个已知点a '，b '中至少有一个点在已知的三点形abc 的边上时，本题显然成立、因此，假设a '和b '都不在三点形abc 的边上；点c '的作法如下：首先，作
)()(c b a a p ?'?'?=，则点c '又在q b ?上；再作)()(a c b b '??'?，则点c '又在q a ?上，
因此，)()(q a q b c ???='
为了证明b a '?，a b '?和c c '?共点，可以选择坐标系，计算这三条直线的坐标，然后证明行列式0,,='?'?'?c c a b b a 即可。
由此取)0,0,1(=a ，)0,1,0(=b ，)1,0,0(=c ，)1,1,1(=p ，)1,1,(m a ='，),1,1(n b ='，则直线b b '?，a c '?的坐标依次为b b '?~)1,0,(-n ，a c '?~)0,,1(m - 从而)()(a c b b q '??'?=~),1,(mn m q a ?~)1,,0(mn -，q b ?~)1,0,1(- )()(p b q a c ???='~),1,(mn mn
由此求得b a '?~)1,,0(n -，a b '?~),0,1(m -，c c '?~)0,,1(mn -
00
1011
0,,=---='?'?'?m n m n c c a b b a
所以，a b '?，b a '?，c c '?共点。
本题证明也可以用pappus 定理的对偶定理来证明。
3.8 已知定直线ξ和不在ξ上的两定点a ，b 。若p ，q 是ξ上的两个动点，p q ≠，而且p ，q 都不与()a b ξ??重合。又点()()r a p b q =???，()()S a q b q =???，求证
()()t a b r s =???是一个定点。
证明：取各点坐标(1,0,0)a =，()0,1,0b =在直线ξ上取点()0,0,1c =和()1,1,1d =，
则ξ的坐标()1,1,0ξ=-，设p ，q 的坐标依次为()1,1,p λ=，()1,1,q μ=，(λμ≠，0λ≠，0μ≠，否则p q =或者p ，q 与()()1,1,0a b ξ??=重合)。
于是有 ()0,,1a p λ?=-，(,0,1)b p λ?=-
(,0,1)b q μ?=-，(0,,1)a q μ?=- 从而 ()()(,,)r a p b q λμλμ=???= ()()(,,)S b p a q μλλμ=???=
22((),(),)(,,())r s λμμλλμμλλμλμλμλμ?=---=-+ 所以 ()()(,,0)(1,1,0)t r s a b λμλμ=???=-=-
t 的坐标不含参数，t 为定点。
3.9 在一条直线上取(1,1,2)-，(3,2,1)和(0,1,1)-作参考点(其中(0,1,1)-作为单位点)，建立射影坐标系，试求点(5,2,3)的其次射影坐标。如果(1,1,0)和(1,2,3)--与(1,3,4)-是第二个射影坐标系的参考点(其中(1,3,4)-作为单位点)，试求这两个坐标系的关系方程。
解：在1(;)y z u Ω中，(0,1,1)u ?=-，336(,,)555y ?=-，321(,,)555
z ?=--，在点(5,2,3)的坐标为(4,21)-。
在(,;)r s t 'Ω中，11(,,0)33r ?=--，4812
(,,
)333
s ?
=-，(1,3,4)t ?=- 631010
81520y r s z r s ?
?????
?=-+???
?=-??
从(,;)y z u Ω到(,;)r s t 'Ω=的坐标变换公式为：
68105311020u ρλλμρλμ?=-+????=-??
3.10 设直线上从一个射影坐标系到第二个射影坐标系的坐标变换把点(0,1)，(1,1)，
(2,1)分别映射为点(0,1)，(4,1)和(3,1)，试求这个坐标变换公式。
答：12512u ρλλρλμ?=?=-?
1200512ρ=≠-
3.11 试求112321233123234263σξξξξσξξξξσξξξξ
=-+??
=+-??=++?诱导出来的点变换公式，并求这个变换的逆变换。
答：1
12
233121821055161616x x x x x x ρ'-?????? ? ?
?'=- ? ? ? ? ? ?
'?
????? 1122
33121016185162516ξξσξξξξ'????
?? ? ? ?'=- ? ? ? ? ? ?
'-??????
12
22
33241321163x x x x x x ρ'?????? ? ? ?''=- ? ? ? ? ? ?
'-?
?????
3.12 设平面坐标变换把点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)和(1,1,1)依次变为点(1,1,1)-，
(1,1,1)-，(1,1,1)-和(1,2,3)，试求这个坐标变换公式
答：555444333x x ρ-??
?
'=- ? ?-??
5554442400333--=≠-
4.1 设射影变换Φ把直线ξ上射影坐标为(1,0)，(1,1)-和(2,1)的三个点依次变为直线ξ'上射影坐标为(0,1)，(1,2)，(4,1)三个点，求Φ的变换公式。
答：1
22
1212717x x x x x ρρ'=??
'=-+?
012
0717
≠- 4.2 确定直线ξ到ξ'闪果断射影变换公式，它分别把 （1）0，1，2变换为0，4，3 （2）0，1，2变换为2，1，3
（3）0，1，∝变换为1，∝，0，并写出各变换的逆变换
答：（1）1252λλλ'=
-，（2）73
34
λλλ-'=-
（3）1
1λλ
'=-
逆变换分别为（1）2512λλλ'='-，（2）48
37λλλ'-='-
（3）1
λλλ
'-='
4.3 叙述直线ξ到ξ'上射影变换定义的对偶定义和§4中定理10、15、16的对偶定理。 （略）
4.4 试求把点(1,0,1)，(2,0,1)，(0,1,1)和(0,2,1)分别映射为1d ，2d ，3d 和e 的直射变换，并且诱导出线变换和逆变换。
答：1
202
21220x x ρ?? ?
'= ? ?--?? 1202210220ρ≠-- 诱导变换：220002212σξ-??
?
'=- ? ?--??
逆变换：202201022x x ρ?? ?'=-- ? ?--?? 122222010σξξ-?? ?
''=- ? ???
4.5试求射影变换，它依次把
（1）1d ，2d ，3d 和e 变为(1,1,1)-，(1,1,1)-，(1,1,1)-，(1,2,3) （2）1d ，2d ，3d 变为(3,1,1)-，(1,2,1)-，(1,1,1)-，而e 保持不变。
答：（1）555444333x x ρ-+?? ?
'=- ? ?-?? 5554440333ρ--≠-
（2 ）933484666x x ρ-?? ?
'=- ? ?-??
9334840666ρ--≠-
5.1 求交比(,;,)R y z u v ，已知y ，z ，u ，v 依次是： （1）(1,1,1)--，(2,1,8)-，(1,0,3)-，(0,1,2)-； （2）(0,2,1)-，(2,1,1)-，(6,1,1)-，(2,1,0)- 答：（1）2-；（2）
32
。 5.2 证明：点(1,4,1)x =，(0,1,1)y =，(2,3,3)z =-在一条直线ξ上，并求ξ上的一个点w ，使得
(,;,)4
R x y z w =-
证明：设z x y λμ=+，则2λ=，5μ=，所以x ，y ，z 共线。若11w x y λμ=+，则12(,;,)4R x y z w μλμλ=
=-，∴1128
4()55
λμ=--= 所以 858(1,4,1)
5(0,1,1)
(8
w x y =+=+= 5.3 试证：一直线上的四个不同点的交比经过中心射影保持不变。
证明：设y ，z ，u ，v 是直线ξ上的四个不相同的点，而ξ'是与ξ不同的直线，a 是不在ξ上也不在ξ'上的任一点，以a 为中心，用中心射影法，把y ，z ，u 和v 映射为ξ'上的点y '，z '，u '和v '，四条射线一次是η，ξ，?，ψ，根据定理19，
有(,;,)(,,,)R y z u v R ηξ?ψ=
(,;,)
(,,,
R y z u v R ηξ?ψ''''= ∴ (,;,)
(,;,R y z u v R y z u v
''''= 5.4 设a ，b ，c ，d 是直线上四个不同点，已知(,;,)3R a b c d =，求这四点交比的其他可能值。
答：
13，2-，12-，23，32
。 5.5 设y ，z ，u 是直线上射影直线上的参考点，（u 是单位点），若(,;,)R y z u v 的值为（1
（2）
3
2
，求点v 的齐次射影坐标。 答：（1
） （2）(3,2)
5.6 设直线上四个点的齐次射影坐标为(2,1)y =，(1,2)z =，(1,1)u =-，(1,0)v =，求(,;,)R y z u v
答：2
5.7 设直线上三个点的齐次射影坐标为(2,1)y =，(1,2)z =，(1,1)u =-，
(,;,)2R y z u v =，求v 点的坐标。
答：(1,0)(,0)λ ，λ为任意非零常数。
5.8 已知直线上四点的非齐次射影坐标为0x =，5y =，2z =，3w =，试求交比的
所有可能值。
答：
49，94，59，95，54-，45
-。 5.9 已知线束里直线的非齐次射影坐标为1
2
ξ=，1η=，3ζ=，2?=-，求(,;,)
R ξηζ? 答：
32
5.10 一直直线上五个不同的点i a ，1,2,3,4,5i =，求证：
1234(,;,)R a a a a ·1245(,;,)R a a a a ·1253(,;,)1R a a a a =（利用定理23）
5.11 试证笛卡儿平面上共点a 的四条直线η，ξ，?，ψ的交比为(,;,)
R ηξ?ψsin(,)sin(,)
sin(,)sin(,)
η?ζψζ?ηψ?=
?
这里(,)η?表示以a 为顶点，η为始边，?为终边的有向角，它的方向从η到?，(,)
ζψ等记号的意义与此相同。
证明：由a 作ξ的垂线段，记它的长为0h >，应用三角形的面积公式。
11
sin(,)22agu S yu h ay au η?=?= ① 11
sin(,)22azv S zv h az av ζψ=?= ② 11
sin(,)22azu S zu h az au ζ?=?= ③ 11
sin(,)22
ayv
S gv h ay av ηψ=?= ④ ??①②③④：得 s i n (,)s i n (,
)
s i n (,)s i n (,
)
y u z v z u y v η?ζψζ?ηψ??=??
而
(,;,)(,;,)yu zv
R y z u v R zu yv
ηζ?ψ?==?
∴(,;,)R ηζ?ψ=
sin(,)sin(,)
sin(,)sin(,)
η?ζψζ?ηψ??
5.12 试证y z λ+关于y 、z 的调和共轭点是y-λz.
证明：设所求的第四调点是12v y z μμ=+，则
R （y,z ; y+λz,12y z μμ+）=-1 (10μ≠、20μ≠) ∴
1
2
1λμμ=-,∴21μλμ=- ∴ 111()v y z y z y z μλμμλλ=-=-=-.
5.13 试证：123:0x x x ε--= 123:30x x x η-+=,23:20x x ε+=共点，求ξ关于ε
和η的调和共轭直线?。 答：123320x x x --=
5.14 已知线束a 里的三条直线η，ζ，?，试画出第四调和直线。
解：作任意直线ε（不过a ），ε交η，ζ，?，于点y,z,u,在ε上作y,z,u 的第四调和点v,连结av ψ=就是所求的直线。
5.5
判别下列个点对哪些是不分隔的？哪些是分隔的？
（1） (1,0),(0,1)和（1,1），（1,2） （2） （1,0），（0,1）和（3,2），（2，-5） （3） （3,2），（2,4）和（-1,1），（1,3） （4） （3,1），（1,2）和（2,1），（0,1）
答：（1）不分隔；（2）分隔；（3）不分隔；（4）分隔。
5.6 设,,,y z u v 是直线ε上的四个不同点，如果y 、z u ÷、v ，试证：y 、u z - 、v ，
y 、v z - 、u
证明：∵(,;,)0R y z u v α=<， ∴(,;,)10R y u z v a =-> ∴y ，u z - ，u 1
(,;,)10R y v z u α
=-
>，∴y 、v z - 、u 。
6.1 利用迪沙格定理证明下列初等几何中问题。、
（1） 设平行四边形EFGH 的顶点在另一个平行四边形ABCD 各边上，试证这两个平
行四边形的四条对角线相交于一点。
（2） 四边形的边AB,BC,CD 和DA 上各有一点，
顺次是E,F,G 和H 。如果BD ，EH 和FG 相交于一点M ，则AC ，EF 和HG 也相交于一点。 证明：（1）观察AEH ?和CGF ?，||AE CG ,||EH GF ,||HA FC ,就是说，三对对应边的交点在一条直线上，即无穷远直线上，由笛沙格定理的逆定理，AC 、EG 、HF 共点。 再看BFE ?和DHG ?,BD 、EH 、FG 交于一点M ，BE DH A ?=,EF HG M ?=,BF DG C ?=三点共线。
所以，AC 通过EF ，HG 的交点N 。
6.2 设A,B,C,D 共线。O 是AC 的中点，若OC 是OB 和OD 的比例中项，则
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1 平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。
数学与应用数学专业《高等几何》试卷B 一、 填空题（2分?12=24分） 1、仿射变换的基本不变性与不变量有 同素性、结合性、简比不变、保持平行性 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 32221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E , D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,, E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ， B A ''属于同一条二级曲线（ C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
（0464）《高等几何》复习大纲 仿射坐标与仿射变换 一、要求 1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。 二、考试内容 1.单比的定义和求法。 2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。 射影平面 一、要求 1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。 2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。 3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。 4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。 5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。 二、考核内容 1.中心投影与无穷远元素：中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。 2.笛萨格（Desargues）定理：应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。 3.齐次点坐标：齐次点坐标的计算及其应用。 4.线坐标：线坐标的计算及其应用。 5.对偶原则：作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。 射影变换与射影坐标 一、要求 1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。 2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。 3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。 4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。 5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。 二、考试内容 1.交比与调和比：交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。 2.完全四点形与完全四线形：完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。 3.一维基本形的射影对应：一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。。 4.二维射影变换 5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。 6.射影坐标：一维射影坐标、二维射影坐标。 7.一维、二维射影变换的不变元素：求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。 变换群与几何学 一、要求 1.了解变换群的概念。 2.理解几何学的群论观点。 3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。 二、考试内容 1.变换群与几何学的关系。 2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。 二次曲线的射影理论 一、要求 1.掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。 3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。 4.了解二阶曲线的射影分类。 二、考试内容 1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。 2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在的作图问题。 3.二阶曲线的射影分类。 二次曲线的仿射性质和度量性质 一、要求和考试内容 1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 高等几何试题 课程代码：10027 一、填空题(每空2分，共20分) 1.射影变换基本不变量是__________。 2.欧氏几何基本不变图形是__________。 3.直线2x-y+1=0上无穷远点的齐次坐标是__________。 4.原点的方程是__________。 5.自极三角形是__________。 6.二次曲线在无穷远点处的切线叫做__________。 7.共线四点A ，B ，C ，D 交比的定义是(AB ，CD )=__________。 8.两个射影点列成透视的充要条件是__________。 9.平面上两个圆点的齐次坐标是__________。 10.焦点的极线称为__________。 二、计算下列各题(每小题6分，共36分) 1.求仿射变换? ??-=+-=y 2x 4'y 4y x 3'x 的自对应点 2.一直线上取A=（5，-7，-1）为第一基点，B=（1，-2，1）为第二基点，C=（-1，1，1） 为单位点，建立射影坐标系。求点D=（1，1，-5）的齐次射影坐标。 3.设直线上三个点A ，B ，C 的齐次坐标依次为（2，1），（1，2）与（-1，1），求D 点坐标，使(AB ，CD )=2。 4.求点（5，1，7）关于二次曲线2x 12+3x 22+x 32-6x 1x 2-2x 1x 3-4x 2x 3=0的极线。 5.设一对合由非齐次坐标为3的二重点，以及非齐次坐标为1和4的一对对应点决定，求对合的表达式。 6.求二次曲线xy+y 2-x-3y-2=0的渐近线。 三、求作下列图形(写出作法，画出图形，每小题6分，共12分) 1．已知共点直线l 1，l 2，l 3，求作直线l 4，使l 1,l 2，l 3和l 4构成调和线束。 作法：
《高等几何》试题（１） 1.试确定仿射变换，使y 轴，x轴的象分别为直线x y 1 0 ， x y 1 0 ，且点（1，1） 的象为原点 .( 15 ) 2.利用仿射变换求椭圆的面积 .( 10 ) 3. 写出直线3x x x 轴,y10 2x +2-3=0,轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.() 1 4.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 5.已知A(1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5),验证它们共线,并求(AB, CD)的值.( 8 ) 6.设P(1,1,1),P (1,-1,1),P (1,0,1)为共线三点,且(P P , P P)=2,求P的坐标.(12) 124 1 2 3 43 7.叙述并证明帕普斯 (Pappus) 定理 .( 10 ) 8.一维射影对应使直线 l 上三点 P (-1),Q(0),R (1)顺次对应直线 l上三点P (0),Q(1), R (3),求这个对应的代数表达式.( 10 ) 9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 ) 《高等几何》试题（２） 1. 求仿射变换x 7 x y 1, y4x 2 y 4 的不变点和不变直线. (15 ) 2.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 3.求证 a (1,2,-1) ,b(-1,1,2), c (3,0,-5)共线 , 并求l的值 , 使 c i la i mb i(i 1,2,3). (10) 4.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2x3 0 ， x1x2 x3 0 ， x10 ，且 (l1 l2 , l3 l 4 )2 l 2的方程.(15)，求 3 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 ) 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应 . ( 10) 7. 求两对对应元素 , 其参数为1 1 ,02, 所确定对合的参数方2
高等几何试题 一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。 2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。 3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。 4、一点123(,,)x x x x =在一直线[]123,,u u u u =上的充要条件是 （ ）。 5、 已知1234(,)3p p p p =,则4321(,)p p p p =（ ），1324(,)p p p p =（ ）。 6、 如果四直线1234,,,p p p p 满足1234(,)1p p p p =-，则称线偶34,p p 和12,p p （ ）。 7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是 （ ）。 8、 不在二阶曲线上的两个点P 123()p p p ，Q 123()q q q 关于二阶曲线 0ij i j S a x x ≡=∑成共轭点的充要条件是（ ）。 9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。 二、计算题（每题8分，共56分） 1、 计算椭圆的面积（椭圆方程：22 221x y a b += ,0a b >） 2、 求共点四线11:l y k x =，22:l y k x =，33:l y k x =，44:l y k x =的交比。 3、 求射影变换11 2233x x x x x x ρρρ?'=-?? '=?? '=?? 的不变元素。 4、 求二阶曲线22212323624110x x x x x --+=经过点(1,2,1)P 的切线方程。
5、 求双曲线2223240x xy y x y +-+-=的渐近线方程。 6、 求抛物线22242410x xy y x ++-+=的主轴和顶点。 7、 求使三点(0,)O ∞，(1,1)E ，(1,1)P -顺次变到点(2,3)O '，(2,5)E '， (3,7)P '- 的仿射变换。 三、已知(1,2,3)A ，(5,1,2)B -，(11,0,7)C ，(6,1,5)D ，验证它们共线并求 (,)AB CD 的值。 （8分） 四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条 二阶曲线。（9分）
某高校《高等几何》期末考试试 卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程
063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得，
某高校《高等几何》期末考试试卷 (120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1、平行四边形的仿射对应图形为: 平行四边形 ; 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。(10分) 证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A ' ' AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所 以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,13x +2x -32x =0, 17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求(1l 2l ,3l 4l )的值。(10分) 解:因为 1 7213 112---=0且1 5 01 7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴(2x =0)的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(- 21,0),B(32,0),C(0,0),D(5 1,0), 所以 (1l 2l ,3l 4l )=(AB,CD)= ) 2 151)(320() 32 51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素,其参数为12 1 →,0→2,所确定的对合方程。(10分) 解 设所求为 a λλ'+b(λ+λ')+d=0 ①
高等几何》试题(１) 1. 试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线x y 1 0，x y 1 0 ，且点( 1，1) 的象为原 点.( 15 ) 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.( 10 ) 3. 写出直线2x1 +3x2- x3=0, x轴, y轴, 无穷远直线的齐次线坐标.( 10 ) 4. 叙述笛沙格定理, 并用代数法证之.( 15 ) 5. 已知A (1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5), 验证它们共线, 并求( AB,CD ) 的值.( 8 ) 6. 设P1 (1,1,1), P2 (1,-1,1), P4 (1,0,1) 为共线三点, 且( P1P2,P3P4 )=2, 求P3的坐标.( 12 ) 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus) 定理.( 10 ) 8. 一维射影对应使直线l 上三点P (-1), Q (0), R (1) 顺次对应直线l 上三点P (0), Q (1), R (3), 求这个对应的代数表达式.( 10 ) 9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 ) 《高等几何》试题(２) 1.求仿射变换x 7x y 1,y 4x 2y 4的不变点和不变直线. ( 15 ) 2. 叙述笛沙格定理, 并用代数法证之.( 15 ) 3. 求证a (1,2,-1) , b (-1,1,2), c (3,0,-5) 共线,并求l的值,使 c i la i mb i (i 1,2,3). ( 10 ) 4. 已知直线l 1 , l 2 , l 4的方程分别为2x1 x2 x3 0，x1 x2 x3 0， x1 0 ，且(l1l2,l3l4) ，求l2的方程.( 15 ) 3 5. 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 ) 6. 试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应. ( 10 ) 1 7. 求两对对应元素,其参数为 1 ,0 2, 所确定对合的参数方 2
1 浙江省2018年7月自学考试高等几何试题 课程代码：10027 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 2.以下四条直线中所含的无穷远点与其他三条不同的是( ) A.x y x y 121)1(2+=++ B.11)(2=++x x y C.x +2y =0 D.过点(1,3),(3,2)的直线 3.已知A ,B ,C ,D 四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( ) A.1 B.2 C.-1 D. 2 1 4.椭圆型射影对应的自对应元素是( ) A.两个互异的实元素 B.两个互异的虚元素 C.两个重合的实元素 D.两个重合的虚元素 5.唯一决定一条二阶曲线需无三点共线的( ) A.3点 B.4点 C.5点 D.6点 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.两点-3u 1+u 2+2u 3=0,2u 1-u 2+3u 3=0连线的坐标是_________. 7.若对合a μμ′+b (μ+μ′)+c =0是椭圆型的,则系数满足_________. 8.完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这直线上的两个顶点和_________. 9.椭圆上四定点与其上任意第五点所联四直线的交比为_________.
2 10.平面上任一圆通过的两个固定点称为_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求使三点A (0,0),B (1,1),C (1,-1)变到三点A ′(1,1),B ′(3,1),C (1,-1)的仿射变换. 12.已知平面上有点A (2,1),B (4,2),C (6,-3),D (-3,2),E (-5,1),求A (BC ,DE ). 13.求射影变换式,使它的不变元素的参数是λ1=-1,λ2=3,并且使λ3=1变为3 λ'=0. 14.求射影变换??? ??--='-='-='3213 212 211 36 4 x x x x x x x x x x ρρρ的二重直线. 15.求两个成射影对应的线束x 1-λx 2=0，x 2-λ′x 3=0,(λ′= λ λ +1)所构成的二阶曲线的方程. 16.求二次曲线x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=0的中心. 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（第18题写出作法） 17.作出下列图形的对偶图形: 题17图 18.已知二阶曲线上五点A ,B ,C ,D ,E ,求作该曲线上点A 处的切线. 题18图 五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)
某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1
二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ' 'I AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0， 13x +2x -32x =0, 17x -2x =0，15x -3x =0, 求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。（10分） 解：因为
某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1
11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
浙江省2002年4月高等教育自学考试 高等几何试题 课程代码：10027 一、填空题(每空2分，共20分) 1._______，称为仿射不变性和仿射不变量. 2.共线三点的简比是_______不变量. 3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_______. 4.点坐标为(1，0，0)的方程是_______. 5.u u 1222- =0代表点_______的方程. 6.已知共线四点A 、B 、C 、D 的交比(AB ，CD)=2，则(CA ，BD)=_______. 7.对合由_______唯一决定. 8.二阶曲线就是_______的全体. 9.证明公理体系的和谐性常用_______法. 10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_______直线. 二、计算题(每小题6分，共30分) 1.求直线x -2y+3=0上无穷远点的坐标。 2.求仿射变换 '=-+'=++??? x x y y x y 71424 的不变点. 3.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比. 4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束 x 1-λx 3=0与x 2-'λx 3=0 ('λ=λλ-+12 )所决定的. 5.求二次曲线2x 2+xy -3y 2+x -y=0的渐近线. 三、作图题(每小题6分，共18分) 1.给定点A 、B ，作出点C ，使(ABC)=4. 作法： 2.过定点P ，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点. 作法：
3.如图，求作点P关于二次曲线Γ的极线 作法： 四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分) 1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,证明A1=BC×QR,B1=CA×RP, C1=AB×PQ三点共线. 证明： 2.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l′，证明l⊥l′. 证明： 3.将△ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图甲)，求证它的三双对顶连线共点。 证明(按以下程序作业)： 第一步：将△ABC仿射变换为等边△A′B′C′(图乙)，为什么这样变换存在? 第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么?
； 系 专业 班 学号 姓名 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 试卷类型： A 高等几何 使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页 题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1、设1P (1)，2P (-1)，3P (∞)为共线三点，则=)(321P P P 。 2、写出德萨格定理的对偶命题： 。 3、若共点四直线a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。 4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为： 。 5、二次曲线的点坐标方程为042 2 31=-x x x ，则其线坐标方程为是 。 二、 选择题（每小题2分，共10分） 1.下列哪个图形是仿射不变图形？( ) A.圆 B.直角三角形 C.矩形 D.平行四边形 2. 22 1122280u u u u +-=表示( ) A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点
B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点 C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点 D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点 3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( ) A.一次 B.两次 C.三次 D.四次 4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( )： A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆 5.二次曲线按射影分类总共可分为( ) A.4类 B.5类 C.6类 D.8类 三、判断题（每小题2分，共10分） 1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（） 2.两直线能把射影平面分成两个区域。（） 3.当正负号任意选取时，齐次坐标)1 ± ±表示两个相异的点。（） ,1 ,1 (± 4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此 射影变换一定是对合。（） 5.配极变换是一种非奇线性对应。（）
《高等几何》试题（１） 1. 试确定仿射变换，使y 轴，x 轴的象分别为直线01=++y x ，01=--y x ，且点（1，1）的象为原点.(51') 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(01') 3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01') 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 5. 已知A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7),D (6,1,5),验证它们共线,并求(CD AB ,)的值.(8') 6. 设1P (1,1,1),2P (1,-1,1),4P (1,0,1)为共线三点,且(4321,P P P P )=2,求3P 的坐标.(21') 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(01') 8.一维射影对应使直线l 上三点P (-1),Q (0),R (1)顺次对应直线l '上三点P '(0),Q '(1),R '(3),求这个对应的代数表达式.(01') 9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(01') 《高等几何》试题（２） 1.求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51') 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 3.求证a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3,0,-5)共线,并求l 的值,使 ).3,2,1(=+=i mb la c i i i (01') 4.已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ， 01=x ，且=),(4321l l l l 3 2- ，求2l 的方程.(51') 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (01') 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应. (01') 7.求两对对应元素,其参数为12 1→ ,0→2,所确定对合的参数方 程. (01')
《高等几何》考试试题A 卷（120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 32221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A ' ' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0，13x +2x -32x =0, 17x -2x =0， 15x -3x =0, 求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。 （10分） 解：因为 1 7213 112---=0且1 5 01 7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴（2x =0）的交点顺次为 A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(- 21,0),B(32,0),C(0,0),D(51 ,0)， 所以 （1l 2l ,3l 4l ）=（AB ，CD ）= ) 2 151)(320() 3251)(210(+--+=21 五、求两对对应元素，其参数为12 1 →，0→2，所确定的对合方程。（10分）
一、填空题（每小题3分，共15分） 1 经过中心射影后图形的不变性质称作图形的 。 2 如果两直线有相同的无穷远点，则两直线 。 3 设p 是线段12,p p 的中点，则()12p p p = 。 4 以两条不同直线0α=，0β=的交点为顶点的线束中的任一直线的齐次坐标方程能够写作 。 5在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是 。 二、选择题（每小题3分，共15分） 1 仿射变换是射影变换。（ ） 2两共轭复直线的交点为一复点。（ ） 3 两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应。 （ ） 4 设四个不同的共线点中的三点及其交比值为已知，则第四点必唯一确定。（ ） 5射影平面上所有射影变换的集合构成群。（ ） 三、（10 分） 1 求点()3,4，()0,1，()2,0-，()0,0的齐次坐标。 2求直线310x y --=，123360x x x -+=上的无穷远点的齐次坐标。
四、（10分） 求对合的方程，这个对合的二重元素的参数为2与3。 五、（10分） 求射影变换 112 22 33 x x x x x x x ρ ρ ρ ?'=+ ? ?' = ? ?' = ?? 的不变点坐标.
六、（10分） 已知四点()13,1,2p -， ()21,3,1p ，() 32,2,3p --，()41,5,4p --，求 ()1234,p p p p
七、（15分） 证明圆上任一点与与圆内接正方形的四个顶点的连线组成调和线束。（即如图）求() EA EC EB ED=- ,1 E
《高等几何》考试试题 A 卷（ 120 分钟） 题号一二三四五六七八合计 分数2410101010121212100 得分 一、填空题（ 2 分12=24 分） 1、平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形； 2、直线 x15x20 上无穷远点坐标为：（5，-1，0） 3、已知 (l1l 2 , l 3l 4 ) 3 ,则 (l 4l 3 , l 2 l1 )3(l1l 3 , l 2 l 4 )-2 4、过点 A(1,i,2)的实直线的齐次方程为： 2 x1 x30 5、方程 u125u1u26u220 表示的图形坐标（1,2,0）（ 1,3,0） 6、已知OX轴上的射影变换式为x'2x 1 ，则原点的对应点-1 x33 7、求点(1, 1,0)关于二阶曲线 3x125x22x327x1 x24x1x35x2 x30 的极线方程 x13x26x30 8、ABCD为平行四边形，过A引AE与对角线BD平行，则A( BC, DE ) = -1 9、一点列到自身的两射影变换a）：1 2 ， 2 3 ， 3 4 ；b）： 0 1 ， 2 3 ，1 0 其中为对合的是：b 10、求射影变换'210 的自对应元素的参数1 11、两个线束点列成透视的充要条件是底的交点自对应 12、直线 2x1x2x30 上的三点A(1,3,1)，B(2,5,1)，C (1,2,0)的单比( ABC ) =1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： x1 x3 0 与 x2' x3 0且'2'10 。
由两线束的方程有： x 1 , ' x 2 。 x 3 x 3 将它们代入射影对应式并化简得， x 1x 2 2x 2 x 3 x 1 x 3 x 32 0 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二 次曲线。（10 分） 证明：三点形 ABC 和三点形 A B C 内接于二次曲线（ C ），设 AB BC =D AB AC =E AB BC=D AB AC= E ， 则 C (A,B,A,B) C(A,B,A,B) 所 以 ， (A,D,E,B) C (A,B ,A,B) C(A,B ,A ,B) (E ,B ,A ,D ) 即 (A,D,E,B) (E ,B ,A ,D ) 这两个点列对应点的连线 AC ， C B ， C A ,BC 连同这两个点列的底 AB ， A B 属于同一条二级曲线 （ C ），亦即三点形 ABC 和三点形 A B C 的边外切一条二 次曲线。 四、已知四直线 l1 ,l 2, l3,l4的方程顺次为 2x 1 - x 2 + x 3 =0， 3x 1 + x 2 - 2x 3 =0, 7x 1 - x 2 =0， 5x 1 - x 3 =0, 求证四直线共点，并求（ l1 l2 , l3 ）的值。（ 10 分） l 4 解：因为 2 1 1 3 1 2 3 1 2 =0且 7 1 0 =0 7 1 5 1 所 以 l1 , l2 , l3 , l4 共 点 。 四 直 线 与 x 轴 （ x 2 =0）的交点顺次为 A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5), 非齐次坐标为 A(- 1 ,0),B( 2 ,0),C(0,0),D( 1 ,0)， 2 3 5 (0 1)(1 2) 1 所以 （ l 2 ）=（AB ，CD ）= 2 5 3 = l1 l 4 2 1 1 2 (0 3 )( ) 1 ， 5 2 五、求两对对应元素，其参数为 1 0 ，所确定的对合方程。（ 10分） 2 2