浅谈欧式几何与非欧几何公理的关系
摘要：非欧几何是人们在不断研究欧式几何的过程中，不断发展起来的又一套几何公理体系，它包括罗氏几何、黎曼几何、拓扑几何等许多部分，在解决非人们日常经验所不能理解的问题时有重大意义。不过，在度过了最初的探索期之后人们开始重新审视非欧几何与欧式几何间的关系，抑或是说，哪种几何是真的？本文即是对这一问题进行初步的探讨。
关键词：欧式几何非欧几何公理化方法实践意义
一、概述
欧几里德几何简称“欧氏几何”，是为几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，并在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。欧式几何的五条公设是：
1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。
而在其公理体系中，最重要的是平行公理，但由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。比如，罗巴切夫斯基认为：第五公设不能被证明；在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。黎曼认为，不存在平行线，直线不能无限延长，三角形内角和大于两直角，圆周率小于π，等等。从通常意义上来说，非欧几何指的是罗氏几何和黎曼几何。
面对这样一种状况，我们不禁要提出一个问题：三种几何在逻辑上都能自圆
其说，但是，哪种几何是真的呢？这个问题，如果从纯数学的角度来说，三种几何都可以说是真的。因为不论是欧式几何、罗氏几何还是黎氏几何，只要它的公理是成立的，由此推出的定理就是成立的。所以，这里的“真”，不过是其逻辑上不自相矛盾罢了。不过，这个论据本身就是需要证明的，也就是说哪种公理公设是真的呢？
二、公理公设
1、历史上人们对公理认识的变化
(1)、唯心主义者认为：公理是人的先天洞察，是上帝给人的启示，是人对理念的认识，等等，是作为一种客观精神存在的；
(2)、唯物主义者认为：公理来自于人对客观世界规律性的认识，是经验的总结与升华；
(3)、二元论者认为：公理是人用先天的感知能力对经验总结的结果。
虽然这些观点之间千差万别，但有一个共同点：公理是真理，是相对真理或绝对真理，是不必加以证明的命题。而受上述哲学观点的支配，数学家也倾向于认为：公理应当是自明之理，只有从真理出发，才能得到真理。
2、、现代数学对公理的看法
随着现代数学的发展，数学家的看法改变了，没什么自明之理。即使有，也不必要求数学公理是真理。数学公理是对数学对象的性质的约定。比如：直线就是满足某几条公理的某种东西，满足欧式几何公理的直线，叫欧式直线；满足罗氏几何公理的直线，叫罗氏直线。概念的成立与否有赖于是否满足公理体系中的一些条件。
若问数学家怎样的公理是真的，他们也许就会反问，你怎么解释公理公设中的术语的意义呢？几何体系是个抽象的系统，如果对其中的原始术语不给以指定的意义，不知道他们是什么，就无所谓真假问题。只有在给与一定的定义的前提下，如果某一些对象适合于某些公理，它也一定适合于从这些公理推出来的定理。从这个意义上来说，数学定理总是对的。
3、、公理的特征
不过，也不是随便几条命题凑起来就可以作为公理
(1)、相容性或协调性。这一要求是指在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理．反之，如果能从该公理系统中导出命题A和否命题非A(记作-A)，从A与-A并存就说明出现了矛盾，而矛盾的出现归根到底是由于公理系统本身存在着矛盾的认识，这是思维规律所不容许的．因此，公理系统的相容性要求是一个基本要求，任何学科，理论体系都必须满足这个要求。
(2)、相互独立性。这一要求是指在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理把它推导出来，同时使公理的数目减少到最低限度。
(3)、完全性。这就是要求确保从公理系统中能推出所研究的数学分支的全部命题，也就是说，必要的公理不能减少，否则这个数学分支的许多真实命题将得不到理论的证明或者造成一些命题的证明没有充足的理由。
一般来说，有了前两个特征就可以了。甚至有人提出独立性并不重要，重要的是相容性。
4、公理的现实意义
对公理看法的这种进步，大大解放了数学家的思想。现代数学公理系统层出不穷，很难说孰是孰非。然而，有些公理系统更受人欢迎，而另外的一些就显得不那么受人待见。毕竟，数学家也是人，也要穿衣吃饭，要靠社会供养，他自然希望自己的研究于社会。尽管他在逻辑上有建立任何能够自圆其说的公理系统的权利，但是这个系统“有什么用”的问题使他无法回避的。所以，那些现实作用比较强的公理系统往往更容易被人们理解和接受，这也可以看作是在一定程度上反映了人们在社会实践中的经验，或代表了人类向某一未知领域探索的愿望，在这个意义上，公理也就不完全是人们任意的约定了。
三、几何上的选择
数学家指出公理是不可论真假的，认为它只是一种约定，在这一体系下的命题如果符合这一公理，就符合从这一公理中却推导出的定理，云云。却忽略了哲学上最有意义的问题：如果按通常的意义来理解几何术语，哪种几何是真的？这
样把问题提的更加明确之后，我们就可以说非欧几何的出现就不足以动摇欧式几何地位了。比如：欧式几何中“直线”的性质，才是与现实空间相符合的，与我们的经验相一致的。而另两种几何，虽然逻辑上相容，但是其中所说的“直线”，在我们看来并不直。
进一步来看，对欧式几何真实性的最严重的挑战不是来自非欧几何，而是来自爱因斯坦的相对论。在物理上，人们将光的路径作为两点之间的距离，在欧式几何的公理体系中，光的路径是一条通常意义上的直线，所以，两点之间的最短距离是直线。但是到了在引力场中，空间弯曲了，光的路径不再是一条通常意义上的直线了，但仍是两点之间的最短距离，可以说，直线弯曲了。而如果把光看成直线，则三角形内角和大于两直角。如果把拉紧了的线当作直线，也是一样。不过，三角形要足够大，边长是天文距离时，才能测量出三内角和与180度的差别。在地球上，是测不出来的。这时，欧式几何就遇到了曾经牛顿力学所遇到的问题，在更广阔的空间之中，有许多它无法解释的现象存在，他的地位遭到了巨大的挑战。
相对论动摇了欧式几何的地位，但是没有否定欧式几何。他只是要人们在两种几何中做出选择：你要哪种几何？
如果选择欧式几何，好处是数学上的简单，在牛顿力学中也试用，并且在地球上是符合经验的，不过，在这种几何体系中相对论的物理语言变得麻烦，比如，光走的是曲线，等等。
选择黎曼几何，它适于描述相对论所描述的空间现象。在地球上，它与欧式几何在经验上也是一致的。
四、总结
现在再来看何种几何才是“真”的，我们可以说这是没有意义的，对真的定义只是表达了对术语的理解。因为处在在不同的情况下，物理学家会选择使用黎曼几何来对他们的研究提供理论帮助，此时，他们可能会认为黎曼几何是正确的。但是不妨碍中学生学他们的欧式几何，因为在他们所能理解的日常生活经验的层次上，直线就是“直线”，不会是所谓的“大圆”。所以，任何对这些几何体系的评价都是建构在逻辑体系上，脱离了一定的逻辑，都是没有意义的。
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欧几里得与欧几里得几何 亚历山大里亚的欧几里得（约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。 欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者。欧几里得生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。他在有攀滋入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。他潜心求索，以继器粕拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干。熬翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传攀擎也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。经过对柏拉图思想的深入探究，他得出结论：图形是神绘制的，所有一切籀象的逻辑规律都体现在图形之中。因此，对智慧的训练，就应该从戡图形为主要研究对象的几何学开始。他确实领悟到了柏拉图思想的要旨，并开始沿着柏拉图当年走过的道路，把几何学的研究作为自醺羽主要任务，并最终取得了世人敬仰的成就。 最早的几何学兴起于公元前7年的古埃及，后经古希腊等人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派纂糯典。在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然黔这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之问、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。因此，随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心，要在有生之年完成这一工作。为了完成这一重任，欧几里得不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠—亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷。在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是尚肤浅的理解。经过欧几里得忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书。这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称欧氏几何。 不朽的平面几何学著作 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。传到今天的欧几里得著作并不多，然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中，看出他真实的思想底蕴。 全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭 法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。仅仅从这些卷帙的内容安排上，我们就不难发现，这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史。这其中，颇有代表性的便是在第1卷到第4卷中，欧几里得对直边形和圆的论述。正是在这几卷中，他总结和发挥了前人的思维成果，巧妙地论证了毕达哥拉斯定理，也称“勾股定理”。即在一直角三角形中，斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和。他的这一证明，从此确定了勾股定理的正确性并延续了2000多年。《几何原本》是一部在科学史上千古流芳的巨著。它不仅保存了许多古希腊
非欧几何的诞生及其给我们的启示 摘要： 非欧几何的创立是数学史上最光辉的篇章，也是人类历史上一次伟大的思想解放的典范，它不仅带来了数学思想的深刻变革，也使人们的思想发生了极大的变化，使人们对真理、时空等一系列重大的哲学问题有了新的认识，对人类文化的发展产生了非同寻常的影响。数学史上，非欧几何占有特殊的地位．以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学科本身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示． 关键词： 非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何；几何原本； 1 非欧几何的发展史 1.1 问题的提出 非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”．这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替．从古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题．数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公设来．沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795 年苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair 1748-1819）给出的：“过
直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy，约公元150 年）做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲尔公设． 1.2 问题的解决 1.2.1 非欧几何的萌芽 沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里（Saccharin 1667-1733）提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD 开始，如果角A 和角B 是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C 和角D 是直角这个论断．萨凯里提出另2 个假设：(1)钝角假设：角C 和角D 都是钝角；(2)锐角假设：角C 和角D 都是锐角．最后在锐角假设下，萨凯里导出了一系列结果，因为与经验认识违背，使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法，开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特（Lambert1728-1777）所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形，其中3 个角为直角，而第5 个角有3 种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾，就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德（A.M.Legendar1752-1833）对平行公设问题也十分关注，他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”．这预示着可能存在着一种新几何．19 世纪初，德国人萨外卡特（schweikart 1780-1859）使这种思想更加明朗化．他通过对“星形几何”的研究，指出：“存在两类几何：狭义的几何（欧氏几何）星形几何．在后一个里面，三角形有一个特点，就是三角形内角之和不等于两直角”．
物理学的公理体系 基于目前整个物理学逻辑体系的不完备性，给出了物理学公理假设及其七个推论，并由此构成了物理学的公理体系。物理学公理体系的建立意味着物理学逻辑体系框架的建设完成。 【关键词】 物理学公理 ---度规，物理学公理的第一推论--- 物理单位（量纲）的时空数值，物理学公理的第二推论--- 度规物理量，物理学公理的第三推论--- 完备物理常数定理，物理学公理的第四推论--- 物理单位（量纲）的时空组态，物理学公理的第五推论--- 时空组态和时空数值的互易性，物理学公理的第六推论--- 物理量的的时空结构，物理学公理的第七推论--- 物理单位（量纲）时空组态计算法则。 【正文】 迄今为止物理学尚没有公理，自然就没有形成其公理体系，只存在着基本物理单位和导出物理单位基础概念和大量散落分布于诸物理学分支学科中的定义，原理，定律，定理等。尽管存在着一些横跨诸分支学科的普适性很大的基本物理学原理，也被人们普遍认为是普适性的真理，但在逻辑上它们还不是公理，而属于基于基本物理单位和导出物理单位基础物理概念的推论。 物理学发展在目前遇到了很大的困难并处于长期徘徊不前困境，一方面在向全球理论物理学家们暗示需要对他们正在使用的方法论作进一步的考究，另一个情况则显得更加紧迫和严重，那就是物理学基本逻辑体系的完善性建设问题。 由于物理学的最基础概念（基本物理单位和导出物理单位的定义）现在被发现并不是对它们指称的物理实在所固有存在形式（时空结构）的全面反映，因而导致了以它们为基础概念而创立的各种常规物理概
念均无法切入到其指称的各类存在所固有的存在形式之上（时空结构），因而造成了以上述基础物理概念和常规物理概念为基础而建立起来的所有物理学理论从根本上不具有对其欲认识的客观现象及其变化规律给出本质性物理学描述能力，而只能停留在它们的表象层面上给出已有的和将要给出的较好的物理学描述。 但宇宙及其所属各类存在原本是一体的，具有固有的，不可分割和逻辑一致的内在联系。对它们的表象性认识是无法穷尽的，而且表象性的认识往往会产生假象，这些认识假象混杂在正确的表象认识之中鱼目混珠，真假难辨，很容易让人们对宇宙的认识产生模糊甚至混乱。这种模糊和混乱认识局面的理论根本原因就在于非本质性的物理概念以及以其为基础而建立起来的物理学理论无法统一地对宇宙诸表象性认识的众多和繁杂结果进行本质性的筛选，精化，提炼并最终得到实证。 这样，实现对物理学最基础概念的深化认识，将它们在客观中的固有存在形式准确地以物理学概念反映出来，便成为21世纪物理学家们和人类对宇宙实施正确认识的当务之急和头等大事。这在理论上等效于开创性地建设一个可以准确地，完整地并具有实证性地反映宇宙基本存在形式的物理学逻辑公理体系。 目前物理学的逻辑体系不完备，缺少公理体系。物理学的最基础概念（基本物理单位和导出物理单位的符号系统）尚没有实现对其所属物理实在的逻辑形式的全称指称表述。物理学理论的这个逻辑缺陷从根本上制约
欧几里得的故事 言传身教 欧几里得大约生于公元前325年，他是古希腊数学家，他的名字与几何学结下了不解之缘，他因为编著《几何原本》而闻名于世，但关于他的生平事迹知道的却很少，他是亚历山大学派的奠基人。早年可能受教于柏拉图，应托勒密王的邀请在亚历山大授徒，托勒密曾请教欧几里得，问他是否能把证明搞得稍微简单易懂一些，欧几里得顶撞国王说：“在几何学中是没有皇上走的平坦之道的。”他是一位温良敦厚的教育家。 另外有一次，一个学生刚刚学完了第一个命题，就问：“学了几何学之后将能得到些什么？”欧几里得随即叫人给他三个钱币，说：“他想在学习中获取实利。”足见，欧几里得治学严谨，反对不肯刻苦钻研投机取巧的思想作风。 在公元前6世纪，古埃及、巴比伦的几何知识传入希腊，和希腊发达的哲学思想，特别是形式逻辑相结合，大大推进了几何学的发展。在公元前6世纪到公元前3世纪期间，希腊人非常想利用逻辑法则把大量的、经验性的、零散的几何知识整理成一个严密完整的系统，到了公元前3世纪，已经基本形成了“古典几何”，从而使数学进入了“黄金时代”。柏拉图就曾在其学派的大门上书写大型条幅“不懂几何学的人莫入”。欧几里得的《几何原本》正是在这样一个时期，继承和发扬了前人的研究成果，取之精华汇集而成的。 《几何原本》 欧氏《几何原本》推论了一系列公理、公设，并以此作为全书的起点。共13卷，目前中学几何教材的绝大部分都是欧氏《几何原本》的内容。 勾股定理在欧氏《几何原本》中的地位是很突出的，在西方，勾股定理被称作毕达哥拉斯定理，但是追究其发现的时间，在我国和古代的巴比伦、印度都比毕达哥拉斯早几百年，所以我们称它勾股定理或商高定理。在欧氏《几何原本》中，勾股定理的证明方法是：以直角三角形的三条边为边，分别向外作正方形，然后利用面积方法加以证明，人们非常赞同这种巧妙的构思，因此目前中学课本中还普遍保留这种方法。 据说，英国的哲学家霍布斯一次偶然翻阅欧氏的《几何原本》，看到勾股定理的证明，根本不相信这样的推论，看过后十分惊讶，情不自禁地喊道： “上帝啊，这不可能”，于是他就从后往前仔细地阅读了每个命题的证明，直到公理和公设，最终还是被其证明过程的严谨、清晰所折服。 欧氏《几何原本》的部分内容与早期智人学派研究三个著名几何作图问题有关，特别是圆内接正多边形的作图方法。欧氏的《几何原本》只把用没有刻度的直尺画直线，用圆规画圆列为公理，限定了“尺规”作图。于是几何作图就出现了“可能”与“不可能”的情况。在这里欧几里得只给出了正三、四、五、六、十五边形的作法，加上连续地二等分弧，可以扩展到正2n、3（2n）、5（2n）、15（2n）边形。因此，我们可以想象欧几里得一定还尝试
非欧几何简介 欧氏几何与球面几何的区别与联系 比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1： 表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异 ，其中A、B、C 为单位球面上三角形的三个内角（弧度 制） 通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前300年左右）整理成
系统的理论。他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。 球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。 表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征 两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。 首先分析一下球面三角形的面积公式 把这个公式改写成 这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。在球面上的几何中角超大于零。 不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小， 即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。所以我们可以说： 当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。 因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。 另一种非欧几何 通过前一小节的分析，我们发现三角形的三个内角之和的大小，在很大程度上反映了平面欧氏几何与球面几何的差别。当三角形的三个内角之和等于时，就是欧氏几何，当三角形的三个内角之和大于时，就反映出球面几何的主要特征。 有没有三角形三个内角之和小于的几何呢？ 我们简单回顾一段几何发展史。在十七世纪以前，人们认为只有一种几何，就是欧氏几何，它是一切科学的基础。但是到了十七、十八世纪，数学家在对几何理论的基础进行深入研究时，首先把注意力集中在“平行公理”上。
欧几里得几何学的公理体系. 欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古 埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要 进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是 “丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid 《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理 出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包 含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接 研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为 《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译） 几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在 这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家 把萌芽中的代数学也包括在几何学中. “数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于 代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、 分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先 建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化 为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何 问题. 于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接 研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学 的进一步发展，就是射影几何学. 十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否 定了欧几里得几何中的平行线公理. 在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了 n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何. 把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是 “埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国 数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为 由一个点集组成的“空间”S，以及“由S到S的变 换群G”所确定的，研究S的子集（图形）性质中对 于G来说不变的性质，这就是几何学. 在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学 的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何 学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世 瞩目.
欧式几何VS非欧几何 1什么是欧式几何？ 2.欧式几何的来源？欧几里得 3欧式几何公理有哪些？ 4欧式几何的缺陷——出现非欧几何 5什么是非欧几何？ 包括？罗巴切夫斯基（俄）———罗式几何黎曼（德）————黎曼几何 6三种几何的关系
导出命题 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧式几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 非欧氏几何 非欧氏几何产生于非欧式空间，而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间，可能它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不 正交（即不成90度） 例子：欧式空间中的球面，对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平面，它们在爬行的过程中不会感觉到球面的弯曲。当然在这样的一个球面上，欧式几何也不再成立，譬如：三角形的内角和不再是180度，而球面上两点之间的最短距离也不再是两点之间的连线（因为这时两点之间的的线段根本经 过球面）欧氏几何是平面，非欧几何是在一个不规则曲面上的 非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。 欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。 因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？ 到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开
欧几里得几何与非欧几何 摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。 关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系 欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言) 科学体系。它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成，后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。十九世纪二十年代，几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善，因此取名为罗氏几何学。1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何。十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论, 不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实。从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。 一、欧几里得几何的发展 （一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础 在欧几里得时代以前，数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成，系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。 最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分，等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。 对几何从经验上升到理论作出重要贡献的有毕达哥拉斯学派。他们注意研究抽象的数学概念，尤其对整数的性质有出色的研究。雅典的巧辩学派以著名的三等分任意角、化圆为方和倍立方三大难题为其研究中心。 柏拉图是那个时代影响最大的哲学家。柏拉图及其后继者把数学概念看作抽象图。柏拉图说数学概念不依赖于经验而自有其实在性。它们只能为人所发现，并非为人所发明或塑造。他是第一个把严密推理法则加以系统化的人，希腊人最早坚持数学里必须用演绎推理作求证的唯一方法，并使数学有别于所有其他知识领域或研究领域。柏拉图学派的最重要发现是圆锥曲线。还对不可公度量作过一些研究。这些都为欧几里得的研究开辟了道路。 欧多克斯是古希腊时代最大的数学家，他在数学上的第一个大贡献是关于比
欧几里德几何 简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。 欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。 欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里德空间。 数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。 公理描述 [编辑本段] 欧几里德几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。 欧几里德几何的五条公理是： 任意两个点可以通过一条直线连接。 任意线段能无限延伸成一条直线。 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 所有直角都全等。 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 欧几里德还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。
三角形三内角和 ——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较 1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学．尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学，但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果，所以，今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”． 罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理，几年的努力都失败了，失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的．1826年，身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设，提出了与欧几里得几何（简称欧氏几何）完全相反的公设：“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行．”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”．由罗氏公理很容易推出以下结论：“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行．” 罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理．如果不涉及与平行有关的内容，罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同．但是只要与平行有关，那么结果就相差甚远．下表对罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、欧氏几何不同的定理作了说明． 图7－11
欧氏几何说：“三角形的三内角和等于180 o．”现实生活中有没有这种几何模型呢？有！平面上的三角形的内角和就等于180 o，如图7－12左图．罗氏几何说“三角形的三内角和小于180o”．难道现实生活中也会有这样的几何模型吗？有！1868年意大利数学家贝特拉米找到了一种曲面，人们给它起名叫“伪球面”．在“伪球面”上可以证明：“三角形内角和小于180 o”，如图7－12中间的图． 图7－12 现实生活中有没有“三角形的内角和大于180 o”的几何学？有！这是德国著名数学家黎曼于1854年提出来的，如图7－12右图． 黎曼生于德国汉诺威，父亲是牧师，他遵照父亲的愿望进入哥廷根大学学习哲学和神学．可是进哥廷根大学后，他很快被数学所吸引．于是就放弃神学专攻数学，并成为大数学家高斯的学生．1851年他获得数学博士学位，博士论文受到高斯极高的评价．1859年他成为哥廷根大学的教授，1866年因患肺结核死于意大利，年仅40岁． 黎曼提出了一种与前两种几何完全不同的新几何，叫做“黎曼几何”．黎曼几何的模型是球面，在黎曼几何中“三角形内角之和大于180 o.” 后来，人们把罗氏几何和黎曼几何合在一起统称“非欧几何”．非欧几何在现代物理中，特别是相对论提出之后找到了具体用处，使得非欧几何并不像有些人说的是“想象中的几何”，而成了有着重要现实意义的几何学．
非欧几何的诞生及其给我们的启示 摘要：数学史上，非欧几何占有特殊的地位．以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学 科本身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示． 关键词：非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何 1 非欧几何的发展史 1.1 问题的提出 非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”．这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替．从古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题．数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公设来．沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795 年苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair 1748-1819）给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy，约公元150 年）做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲 尔公设． 1.2 问题的解决 1.2.1 非欧几何的萌芽 沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里（Saccharin 1667-1733）提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD
数学分支之欧氏几何 欧氏几何的建立 欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有二千多种版本。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。 一座不朽的丰碑 欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的著作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。 在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。 欧氏几何的完善 公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的
第20卷,第3期 科学技术与辩证法Vol.20 No.3 2003年6月 Science,Technology and Dialectics J un.,2003 非欧几何发展中的若干认识论问题 冯 进 (常熟高等专科学校数学系,江苏常熟215500) 摘 要:非欧几何在数学史上具有重要而特殊的地位.本文从认识论的角度,论述非欧几何发展中第一次遇到的数学对象的存在性、数学理论的相容性、数学体系的和谐性以及数学结论的真理性等问题,从中折射出它对数学发展的巨大推动作用。 关键词:非欧几何;认识论;存在性;相容性;和谐性;真理性 中图分类号:N033;N09 文献标识码:A 文章编号:1003-5680(2003)03-0057-06 19世纪30年代非欧几何的诞生,标志着长达两千多年的关于欧氏几何第五公设问题探索取得了突破性进展,对现代数学及相对论的发展具有极其重大的推动作用。非欧几何思想的发展有众多论著专门论述,它在数学史及科学史上的意义几乎是其他数学知识所无法相比的,对此,美国著名数学史家M?克莱因这样评述:“在19世纪所有复杂的技术创造中间,最深刻的一个,非Euclid几何学,在技术上是最简单的,这个创造引起数学的一些重要新分支,但它的最重要的影响是迫使数学家们从根本上改变对数学的性质的理解,以及它和物质世界的关系的理解,并引出关于数学基础的许多问题,这些问题在20世纪仍然在进行着争论。”[1]数学知识的增长,包括数学概念的提出、数学命题的证明、数学理论的建立等,是数学发展的重要表现,同时,也是人们对数学的不断理解与认识的过程;反之,对数学的深入理解,以及对数学思想的透彻认识,同样也推动着数学的发展,有时甚至会产生革命性的变革。非欧几何的诞生正是具有这种意义,甚至“在整个思想史中,从来没有发生过具有如此强烈影响的事件”[2]。本文着重于认识的角度,从数学对象的存在性、数学理论的相容性、数学体系的和谐性、数学结论的真理性四个方面,论述非欧几何对数学发展的这种双重影响。这四个方面,是非欧几何产生后引起的数学上,更重要的是认识上的问题,也是有史以来(至19世纪初)数学界第一次遇到的关于数学的全新的认识论问题。 一 第五公设问题探索:二千年努力引来 对数学及其性质看法的本质变化 经典数学几乎都是以现实世界为基本模型,数学结论总体上直接反映了客观事物的基本性质与运动规则,大量的生产、生活、天文观察实践,以及对这些实践的理性思考,使古代数学家确信宇宙万物是由数字构成的,甚至幻想整个世界就是数学,从毕达哥拉斯提出“万物皆数”,到柏拉图的“理念世界”,以及中世纪后的“上帝按数学方式设计宇宙”,无一不是将数学作为是自然的本质。 坚持“自然的数学设计”信念的原因来自两大方面,一是古希腊人创立的逻辑推理方法,以及由此而产生的严谨的欧氏几何体系。逻辑思维方法的创立是古希腊人对人类文明的最大贡献,欧氏几何不仅是理性思维的经典蓝本,且它的不证自明的公理、及由此推出的一系列让人不得不接受的结论,为数学设计构建了坚实的基础;二是18世纪以前几乎所有的科学实践都佐证了“自然的数学设计”。毕达哥拉斯时代就已经精确地知道弦发出的声音与弦长的关系;开普勒坚信上帝按某个简单、优美的数学方案设计了世界,他的行星运动三定律将哥白尼的理论作了最大简化,准确地描述了行星运动规律;牛顿的万有引力及力学三定律则将数学设计的信念推崇之极点,他为自己的工作能揭示无所不在的上帝之秘密而倍感欣慰。所有这些实践,事实上都是以欧氏几何为基本空间框架构建的。因此,二千多年来的理性思维活动、科学研究实践以及传统习惯感受,都把欧几里得体系当作神圣不可侵犯的“圣书”,以至于“神明”之士宁愿对着欧几里得定理发誓,而不愿对着“圣经”发誓。几乎所有的人都深信:欧氏几何就是真理。 然而,由于欧氏几何是建立在直观自明的公理基础上的,其“自明性”要求与古希腊人追求理性的一贯”天性”,使 【收稿日期】 2002-08-08 【作者简介】 冯 进(1958-),男,江苏常熟人,常熟高等专科学校数学系副教授,从事数学教育、数学思想史的学习与研究。 75
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何 谢裕华秦敏雁施培成 摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。比较了三种几何的主要特征及适用范围。 关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。 一、关于Euclid的《Elements》 欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有： 1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。 2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。 3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。 4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。 5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。 6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。
二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚 （A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。 由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。 二、关于第5公设 古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。所以《原本》是一部在定义，公设和公理的基础上，按演绎推理方法建立起来的命题系统。 《原本》第1卷有首先给出了23个定义，如： 点是没有部分的；线是没有宽度的长度，……等等。此外，还有平面，直角，垂直……等定义。 定义之后是5个公设： 1）从任一点到任一别的点（可）引一直线； 2）有限直线（可）循直线延长； 3）以任一点为中心，任意长为半径（可）做一圆； 4）开直角都相等； 5）若一直线与另外两直线相交，且在同侧二内角（同旁内角）之和小于二直角。则这两直线无限延长后相交于该侧的一点。 五个定理： 1）等于同一量的量彼此相等； 2）等量加等量其和相等； 3）等量减等量其差相等； 4）互相重合的量彼此相等； 5）整体大于部分。
除欧氏几何，还有罗氏几何、黎曼几何。它们合称非欧几何。 可以推断你的基础还薄弱，理解不了这些，给你简单讲几句。以后慢慢学你可能能理解。 欧几里德几何(欧式几何)的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。 欧几里德几何的五条公理是： 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 4、所有直角都全等。 5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。 第五条公里称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？ 到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。 但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论： 第一，第五公设不能被证明。 第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。 这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称"罗氏几何"。这是第一个被提出的非欧几何学。
三角形内角和一定等于180°吗？ ——非欧几何学的发现 假如有人问你：“三角形内角和等于多少？”你肯定会不假思索地告诉他：“180°！”假如那个人说不是180°，那么你可能会认为他无知。 其实，“三角形内角和等于180°”只是欧几里得几何学中的一个定理。也就是说，在欧几里得几何学里，一个三角形的内角和等于180°，但如果不是在欧几里得几何学这个范围内，一个三角形的内角和就不一定等于180°！例如，赤道、0度经线和90度经线相交构成一个“三角形”，这个“三角形”的三个角都应该是90°，它们的和就是270°！你感到奇怪吗？你知道除了欧几里得几何（欧氏几何）学外，还有其他几何学吗？这些几何学称为非欧（欧几里得）几何学。 第一个被提出的非欧几何学是罗氏（罗巴切夫斯基）几何学。 长期以来，数学家们发现欧几里得《几何原本》的第五公设“若一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”（现在几何书上的平行公理就是由此而来）和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到第五公设，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。 因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走得对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪20年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中走了另一条路。他提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题“过直线外一点，至少可以作两条直线和已知直线不相交”，用它来代替第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。 但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论： 第一，第五公设不能被证明。 第二，在新的公理系统中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论体系。这个理论体系像欧氏几何学的理论体系一样是完善的、严密的。 这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何学，简称罗氏几何学。 罗氏几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方仅仅是把欧氏几何学平行公理“过直线外一点，能并且只能作一条直线平行于已知直线”用“过直线外一点，至少可以作两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧氏几何学内容不同的新的几何命题。 凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧氏几何学中如果是正确的，在罗氏几何学中也同样是正确的。在欧氏几何学中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何学中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明： 欧氏几何 罗氏几何 同一直线的垂线和斜线相交。 垂直于同一直线的两条直线互相平行。 存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点可以作且只能作一个圆。 同一直线的垂线和斜线不一定相交。 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点，不一定能作一个圆。