北京43中2012—2013学年度上学期期中考试试卷
高三数学(理科)
（满分150分，时间120分钟） 2012.11.7 13:30-15:30
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 2.若集合{}
A=|1x x x R ≤∈，，{}
2
B=|y y x x R =∈，，则A B ?=（ ）
A. {}|11x x -≤≤
B. {}
|0x x ≥
C. {}|01x x ≤≤
D. ?
3．已知两直线m 、n ，两平面α、β，且βα?⊥n m ,．下面有四个命题： 1）若n m ⊥则有,//βα；
2）βα//,则有若n m ⊥；
3）βα⊥则有若,//n m ； 4）n m //,则有若βα⊥． 其中正确命题的个数是：（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 4.如图，圆O ：2
2
2
x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的 区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ）
A.
2
4
π
B.
3
4
π
C.
2
2
π
D.
3
2
π
5．在三棱锥D ABC -中，2AC BC CD ===，
CD ⊥平面BCD , 90ACB ∠= . 若其主视图，俯视图
如图所示，则其左视图的面积为( )
B.2
6．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A. 36种
B.42种
C. 48种
D. 54种
7. 双曲线13
62
2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r 等于（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ．6
1．复数
i
1i =+（ ） A.1i 22
+ B.
1i 22
- C.1i 22
-
+ D.1i 22
-
- C
D
B
A
俯视图
A
8．点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离. 已知点(1,0)A ，圆C ：
2220x x y ++=，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（ ）
A. 双曲线的一支
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 射线
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。
9．如图PT 为圆O 的切线，T 为切点，3
ATM π
∠=，
圆O 的面积为2π，则PA = ．
10. 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________11．5
2???? ?
?-x x 的二项展开式中，2x 的系数是 （用数字作答）
12．已知命题:p “1m ≥”；命题:q “2
29100m m -+<”，若p 且q 为假，p 或q 为真，则实数m 的取值范围是 __________________.
13．已知双曲线2
2
13
y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12
PA PF ? 的最小值为___________.
14.F 是抛物线2
2y px =()0>p 的焦点，过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线于,A B 两点，
设,AF a BF b ==，则： ①若
60=θ且b a >，则
b
a
的值为______； ②=+b a ______（用p 和θ表示）.
答题卡
一、选择题（40分）
二、填空题（30分）
9． 10．
11． 12．
13． 14． ，
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分）
盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.
（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次
抽到使用过的零件的概率；
（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．
放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，求X 的分布列和数学期望.
学校 班级 姓名 学 号
16．（本小题满分14分）
如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ，13AA =，
D 为AC 的中点.
（Ⅰ）求证：11//BDC AB 面；
（Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得1BDC CP 面⊥？请证明你的结论.
C 1
A 1
C
B 1
A
B
D
17.（本小题满分13分）
已知函数2
1()ln 2
f x ax x =
+，其中a ∈R . （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若)(x f 在(0,1]上的最大值是1-，求a 的值.
学校 班级 姓名 学号
18. （本小题满分13分）
椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>，且过点20（，）
. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线:l y x m =+与椭圆C 交于两点,A B ，O 为坐标原点，若OAB ?为直角三角形，求m 的值.
19. （本小题满分14分）
设函数x
b
x a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值． （Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；
（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）若3>a ，函数3)(2
2
+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2
m ∈，使得
12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知抛物线P：x2=2py (p>0)．
M m到焦点F的距离为3．
（Ⅰ）若抛物线上点(,2)
（ⅰ）求抛物线P的方程；
（ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．