【必考题】高三数学上期中试卷带答案(4)
一、选择题
1.朱载堉(1536~1611),是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”.即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为1f ,第七个音的频率为2f ,则2
1
f f = A
.B
C
D
2.数列{}n a 的前n 项和为2
1n S n n =++,()()1N*n
n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项
和为( ) A .49
B .50
C .99
D .100
3.设ABC ?的三个内角, , A B C 成等差数列,sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,则这个三角形的形状是 ( ) A .直角三角形
B .等边三角形
C .等腰直角三角形
D .钝角三角形
4.定义在()(),00,-∞?+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若
(){}n
f a 仍是比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()()
,00,-∞?+∞上的如下函数: ①()3
f x x =;
②()x
f x e =;
③(
)f x =
④()ln f x x =
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为( ) A .①②
B .③④
C .①③
D .②④
5.在斜ABC ?中,设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知
sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=,CD 是角C 的内角平分线,且CD b =,则cos C = ( )
A .18
B .34
C .2
3 D .16
6.若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是( ) A .23,5??
-
+∞ ???
B .23,15??
-
????
C .()1,+∞
D .23,
5?
?
-∞ ???
7.,x y 满足约束条件2000
x y x y ?-+≥?
?≥??≥?,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为
12,则23
a b
+的最小值为 ( ) A .
256
B .25
C .
253
D .5
8.若a ,b ,c ,d∈R,则下列说法正确的是( ) A .若a >b ,c >d ,则ac >bd B .若a >b ,c >d ,则a+c >b+d C .若a >b >0,c >d >0,则
c d a b
> D .若a >b ,c >d ,则a ﹣c >b ﹣d
9.已知0,0x y >>,且91x y +=,则11
x y
+的最小值是 A .10
B .12?
C .14
D .16
10.在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c , 2
cos 22A b c c
+=,则ABC ?的形状为 A .直角三角形 B .等腰三角形或直角三角形 C .等腰直角三角形
D .正三角形
11.在ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,60A =?
,a
=4b =,则B =( )
A .30
B =?或150B =? B .150B =?
C .30B =?
D .60B =?
12.两个等差数列{}n a 和{}n b ,其前n 项和分别为n S ,n T ,且
723
n n S n T n +=+,则220
715
a a
b b +=+( )
A .
49
B .
378
C .
7914
D .
149
24
二、填空题
13.已知命题2
0001
:,02
p x R ax x ?∈++≤,若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是________.
14.若变量x ,y 满足22390x y x y x +≤??
-≤??≥?
,则z =2x +y 的最大值是_____.
15.已知实数,x y 满足2010x y x y ?
-≥??--≤?
,则目标函数2z x y =+的最大值为____.
16.已知数列{}n a 是递增的等比数列,14239,8a a a a +==,则数列{}n a 的前n 项和等于 .
17.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,且当0x ≥21,01,
()22,1,x
x x f x x ?-+≤<=?-≥?
若任意的[],1x m m ∈+,不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立,则实数m 的最大值是 ____________
18.(理)设函数2
()1f x x =-,对任意3,2x ??∈+∞????
,
2()4()(1)4()x
f m f x f x f m m
-≤-+恒成立,则实数m 的取值范围是______. 19.在中,若,则
__________. 20.在△ABC 中,已知sinA:sinB:sinC=3:5:7,则此三角形最大内角的大小..为________.
三、解答题
21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,且3550S S +=,1a ,4a ,13a 成等比数列.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设n n b a ??
????
是首项为1公比为2的等比数列,求数列{}n b 前n 项和n T .
22.在△ABC 中,a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边,且
2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++
(Ⅰ)求A 的大小; (Ⅱ)求sin sin B C +的最大值.
23.C ?AB 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量()
3m a b =r
与
()cos ,sin n =A B r
平行.
(Ⅰ)求A ; (Ⅱ)若7a =
2b =求C ?AB 的面积.
24.在ABC ?角中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若3asinB bcosA =. (1)求角A ;
(2)若ABC ?的面积为235a =,,求ABC ?的周长.
25.在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且4cos 5
A =. (1)求2
sin
cos 22
B C
A ++的值; (2)若2b =,ABC ?的面积3S =,求a 的值.
26.已知函数()[)22,1,x x a
f x x x
++=∈+∞.
(1)当1
2
a =
时,求函数()f x 的最小值; (2)若对任意[)1,x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.
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一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】
:先设第一个音的频率为a ,设相邻两个音之间的频率之比为q ,得出通项公式, 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍,得出公比,最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。 【详解】
:设第一个音的频率为a ,设相邻两个音之间的频率之比为q ,那么1
q n n a a -=,根据最
后一个音是最初那个音的频率的2倍,112
12
13
2q q 2a a a ==?=,所以
47
213
q a f f a ===D 【点睛】
:本题考查了等比数列的基本应用,从题目中后一项与前一项之比为一个常数,抽象出等比数列。
2.A
解析:A 【解析】
试题分析:当1n =时,113a S ==;当2n ≥时,
()
()()2
2111112n n n a S S n n n n n -??=-=++--+-+=??
,把1n =代入上式可得
123a =≠.综上可得3,1
{2,2
n n a n n ==≥.所以3,1
{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数
.数列{}n b 的前50项
和为
()()
503235749224650S =--+++++++++L L ()()2434925250322492
2
++=--?
+?
=.故A 正确.
考点:1求数列的通项公式;2数列求和问题.
3.B
解析:B 【解析】 【分析】
先由ABC ?的三个内角, , A B C 成等差数列,得出2,3
3
B A
C π
π
=
+=
,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,所以23
sin sin sin 4
B A
C =?=,整理计算即可得出答案.
【详解】
因为ABC ?的三个内角, , A B C 成等差数列,
所以2,3
3
B A
C π
π=
+=
, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列, 所以2
3sin sin sin 4
B A
C =?= 所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ???
??-=?-
? ????
?
2111113
2sin 2cos 2sin 22442344
A A A A A π??=
+=-+=-+= ??? 即sin 213A π??-= ??
?
又因为203
A π
<< 所以3
A π
=
故选B 【点睛】
本题考查数列与三角函数的综合,关键在于求得2,3
3
B A
C π
π
=+=
,再利用三角公式转化,属于中档题.
4.C
解析:C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ,验证()
()
1n n f a f a +是否为非零常数,由此可得出正确选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ,则
1
n n
a q a +=. 对于①中的函数()3f x x =,()()3
3
131
12n n n n n n f a a a q f a a a +++??=== ???
,该函数为“保等比数列函
数”;
对于②中的函数()x
f x e =,
()()1
11n n n n a a a n a n f a e e f a e
++-+==不是非零常数,该函数不是“保等比数列函数”; 对于③中的函数(
)f x =()
(
)
1n n f a f a +==
=,该函数为“保等比数
列函数”;
对于④中的函数()ln f x x =,()()1
1ln ln n n n n
a f a f a a ++=不是常数,该函数不是“保等比数列函
数”.故选:C. 【点睛】
本题考查等比数列的定义,着重考查对题中定义的理解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
5.A
解析:A 【解析】 【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b
C C a
=,由cos 0C ≠可得2a b =;利用ABC ACD BCD S S S ???=+可构造方程求得3
cos 24
C =,利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得:22224cos a b c b C +-=
则22224cos 2cos cos 22a b c b C b
C C ab ab a
+-===
ABC ?Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=
ABC ACD BCD S S S ???=+Q 1112sin sin 2sin 22222
C C
b b C b b b b ∴?=?+?
即:2sin 4sin cos 3sin 222
C C C
C ==
()0,C π∈Q 0,22C π??∴∈ ??? sin 02C ∴≠ 3cos 24
C ∴= 2
91cos 2cos 1212168
C C ∴=-=?-= 本题正确选项:A 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识;关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
6.A
解析:A 【解析】 【分析】
利用分离常数法得出不等式2a x x >
-在[]15x ∈,上成立,根据函数()2
f x x x
=-在
[]15x ∈,上的单调性,求出a 的取值范围
【详解】
关于x 的不等式220x ax +->在区间[]
1,5上有解
22ax x ∴>-在[]15
x ∈,上有解 即2
a x x
>
-在[]15x ∈,上成立, 设函数数()2
f x x x
=
-,[]15x ∈,
()22
10f x x
∴'=-
-<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈,上是单调减函数
且()f x 的值域为2315??
-????
, 要2a x x >
-在[]15x ∈,上有解,则235
a >- 即a 的取值范围是23,5??
-
+∞ ???
故选A 【点睛】
本题是一道关于一元二次不等式的题目,解题的关键是掌握一元二次不等式的解法,分离含参量,然后求出结果,属于基础题.
7.A
解析:A 【解析】 【分析】
先画不等式组表示的平面区域,由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值,进而找到a b ,之间的关系式236,a b +=然后可得23123
()(23)6a b a b a b
+=++,化简变形用基本不等式即可求解。 【详解】
不等式组表示的平面区域如图,由360
20
x y x y --=??
-+=?得点B 坐标为
B (4,6).由图可知当直线z ax by =+经过点B (4,6)时,Z 取最大值。因为目标函数
(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,所以4612,a b +=即236,a b +=
所以
2312316616625
()(23)(13)(132)6666
a b a b a b a b a b b a b a +=++=++≥+?=
。 当且仅当66236a b
b a a b ?=?
??+=?
即65a b ==时,上式取“=”号。
所以当65a b ==时,23a b +取最小值25
6
。 故选A 。 【点睛】
利用基本不等式2a b ab +≥可求最大(小)值,要注意“一正,二定,三相等”。当
a b ,都取正值时,(1)若和+a b 取定值,则积ab 有最大值;(2)若积ab 取定值时,
则和 +a b 有最小值。
8.B
解析:B 【解析】 【分析】
利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】
A 项,虽然41,12>->-,但是42->-不成立,所以不正确;
B 项,利用不等式的同向可加性得知,其正确,所以成立,即B 正确;
C 项,虽然320,210>>>>,但是
32
21
>不成立,所以C 不正确; D 项,虽然41,23>>-,但是24>不成立,所以D 不正确; 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关正确命题的选择问题,涉及到的知识点有不等式的性质,对应的解题的方法是不正确的举出反例即可,属于简单题目.
9.D
解析:D 【解析】 【分析】
通过常数代换后,应用基本不等式求最值. 【详解】
∵x >0,y >0,且9x+y=1,
∴
()111199911016y x x y x y x y x y ??+=+?+=+++≥+= ???
当且仅当9y x x y =时成立,即11
,124
x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】
本题考查了应用基本不等式求最值;关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.
10.A
解析:A 【解析】 【分析】
先根据二倍角公式化简,再根据正弦定理化角,最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2
cos
22A b c c
+=,所以1cosA 22b c
c ++=,()
ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2
π
==
,,选A.
【点睛】
本题考查二倍角公式以及正弦定理,考查基本分析转化能力,属基础题.
11.C
解析:C 【解析】 【分析】
将已知代入正弦定理可得1
sin 2
B =
,根据a b >,由三角形中大边对大角可得:60B ,即可求得30B =?. 【详解】
解:60A =?Q
,a
=4b =
由正弦定理得:sin 1
sin 2b A B a =
== a b >Q 60B ∴
30B ∴=?
故选C. 【点睛】
本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系,考查了推理能力与计算能力.
12.D
解析:D 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】
因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以
2201111
7151111
22a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,
故令21n =有2121721214921324
S T ?+==+,即1111211492124a b =,所以1111149
24a b = 故选:D. 【点睛】
本题主要考查等差数列的等和性质:
若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*
21(21),()n n S n a n N -=-∈
二、填空题
13.【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题
解析:1 , 2
??
+∞
?
??
【解析】
【分析】
根据命题否定为真,结合二次函数图像列不等式,解得结果
【详解】
因为命题2
000
1
:,0
2
p x R ax x
?∈++≤是假命题,所以2
1
,0
2
x R ax x
?∈++>为真
所以
01
1202
a
a
a
>
?
∴>
?
-<
?
【点睛】
本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立,考查基本分析求解能力,属基础题. 14.5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取
解析:5
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
作出变量,x y满足
2
239
x y
x y
x
+≤
?
?
-≤
?
?≥
?
的可行域如图,
由2
z x y
=+知,2
y x z
=-+,
所以动直线2
y x z
=-+的纵截距z取得最大值时,
目标函数取得最大值, 由2
239
x y x y +=??
-=?得()3,1A -,
结合可行域可知当动直线经过点()3,1A -时, 目标函数取得最大值2315z =?-=,故答案为5. 【点睛】
本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15.5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z 的最大值【详解】作出实数xy 满足对应的平面区域如图:由z =2x+y 得y =﹣2x+z 平移直线y =﹣2x+z 由图象可知当直线y =﹣2x+
解析:5 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合即可得到z 的最大值. 【详解】
作出实数x ,y 满足102010x y x y x y ++≥??
-≥??--≤?
对应的平面区域,如图:
由z =2x +y 得y =﹣2x +z ,
平移直线y =﹣2x +z 由图象可知当直线y =﹣2x +z 经过点A 时,直线y =﹣2x +z 的截距最大.又x 10y --=与20x y -=联立得A (2,1) 此时z 最大,此时z 的最大值为z =2×2+1=5, 故答案为5. 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用,考查了z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.
16.【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以
即所以因而数列的前项和故答案为考点:1等比数列的性质;2等比数列的前项和公式 解析:21n -
【解析】 【分析】 【详解】
由题意,1423149
8
a a a a a a +=???=?=?,解得141,8a a ==或者148,1a a ==,
而数列{}n a 是递增的等比数列,所以141,8a a ==,
即34
1
8a q a =
=,所以2q =, 因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112
n n
n n a q S q --=
==---,故答案为21n -. 考点:1.等比数列的性质;2.等比数列的前n 项和公式.
17.【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式
解析:1
3
- 【解析】 【分析】
先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性,再化简不等式()()1f x f x m -≤+,分类讨论分离不等式,最后根据函数最值求m 取值范围,即得结果. 【详解】
因为当0x ≥时 ()21,01,
22,1,x
x x f x x ?-+≤<=?-≥?
为单调递减函数,又()()f x f x -=,所以函数()f x 为偶函数,因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立,等价于不等式
()()1f x f x m -≤+恒成立,即1x x m -≥+,平方化简得()2211m x m +≤-,
当10m +=时,x R ∈; 当10m +>时,12
m
x -≤
对[],1x m m ∈+恒成立,111
11233
m m m m -+≤
∴≤-∴-<≤-; 当10m +<时,12m x -≥
对[],1x m m ∈+恒成立,11
23
m m m -≥
∴≥(舍);
综上113m -≤≤-,因此实数m 的最大值是13
-. 【点睛】
解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()
f g x f h x >的形式,然后根据函数的单调性去掉“f ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.
18.或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为:或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析
解析:3m ≤-或3m ≥ 【解析】 【分析】
先化简不等式,再变量分离转化为对应函数最值问题,最后根据二次函数最值以及解不等式得结果. 【详解】
2()4()(1)4()x
f m f x f x f m m -≤-+Q
22222()14(1)(1)14(1)x
m x x m m
∴---≤--+- 即2
2
21(41)230m x x m
+---≥ 即222123341,()2
m x m x x +-
≥+≥ 因为当3
2
x ≥时223238
3932
4
x x +≤+=
所以2
2
21834134m m m +-
≥∴≥∴32m ≤-或32
m ≥ 故答案为:32m ≤-或3
2
m ≥ 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值,考查综合分析求解能力,属中档题.
19.2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13∴a :b :c=7:8:13令a=7kb=8kc=13k (k>0)利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64 解析:
【解析】
∵由正弦定理可得
,∴
,令,
,
(
),利用余弦定理有
,∵
,∴,故答
案为.
20.【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为 解析:
23
π 【解析】
由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571
cos 2352
C +-==-??,故2π3C =,也就是最大内角为
2π
3
. 三、解答题
21.(1)21n a n =+;(2)()1212n
n +-?
【解析】 【分析】
()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义,求出首项
和公差,由此能求出21n a n =+.
(2()111)
2,2212n n n n
n n n
b b a n a ---==?=+?,由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T . 【详解】
解:(1)Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠, 且3550S S +=,1a ,4a ,13a 成等比数列.
()()1
121
113254355022312a d a d a d a a d ???+++=?∴??+=?+?,
解得132a d =??=?
()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+,
21n a n ∴=+
(2)n n b a ??
????
Q 是首项为1公比为2的等比数列,
()1112,2212n n n n
n n n
b b a n a ---∴
==?=+? ()0121325272212n n T n -∴=?+?+?+?++?...①
()()12312325272212212n n n T n n -=?+?+?+?+-?++?...②
两式相减得:
()()12123221212
n n n T n --=--?
++?-
()1212n n =+-?
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式,考查等差数列的前n 项和,还考查了错位相减法求和,考查计算能力,属于中档题。 22.(Ⅰ)120°;(Ⅱ)1. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边,然后结合余弦定理可得∠A 的大小; (Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值. 【详解】
(Ⅰ)()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++Q ,
()()2222a b c b c b c ∴=+++,即222a b c bc =++.
2221cos 22
b c a A bc +-=-∴=,120A ∴=?.
(Ⅱ)sin sin sin sin(60)B C B B +=+?
-()1
sin sin 602
B B B =
+=?+, 060B ?<
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围. 23.(Ⅰ)3π;(Ⅱ
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析:(1)根据平面向量//m n r r
,列出方程,在利用正弦定理求出tan A 的值,即可求解角A 的大小;(2)由余弦定理,结合基本不等式求出bc 的最大值,即得ABC ?的面积的最大值.
试题解析:(1)因为向量()
m a =r
与()cos ,sin n =A B r
平行,
所以0asinB =,
由正弦定理得sinAsinB -0sinBcosA =,