#include
#include
#define N 3 //N表示基的个数
#define M 4 //M表示维数
float zj(float a[],float b[]) //这是求内积函数
{int i;
float k=0;
for(i=0;i k+=a[i]*b[i]; return k; } main() {float p[N][M],b[N][M],k[N]; int i,j,m; for(i=0;i { printf("请输入第%d个向量：\n",i+1); for(j=0;j scanf("%f",p[i]+j);} for(i=0;i b[0][i]=p[0][i]; //下面是正交化过程 for(i=1;i { for(m=0;m k[m]=zj(b[i],b[m])/zj(b[m],b[m]); //k[m]表示正交化过程中向量前的系数for(j=0;j for(m=0;m b[i][j]-=k[m]*b[m][j]; } printf("正交化结果为：\n"); for(i=0;i { printf("第%d个向量是：\n",i+1); for(j=0;j printf("%g ",b[i][j]); putchar('\n');} //下面是单位化过程 for(i=0;i for(j=0;j p[i][j]=b[i][j]/sqrt(zj(b[i],b[i])); printf("\n单位化结果为：\n"); for(i=0;i { printf("第%d个向量是：\n",i+1); for(j=0;j printf("%g ",p[i][j]); putchar('\n');} } 施密特正交化 在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram －Schmidt 正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。 这种正交化方法以J?rgen Pedersen Gram 和Erhard Schmidt 命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace ）和柯西（Cauchy ）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition ）。 在数值计算中，Gram －Schmidt 正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍 入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens 旋转进行正交化。 记法 ：维数为n 的内积空间 ：中的元素，可以是向量、函数，等等 ：与的内积 ：、张成的子空间 ：在上的投影 基本思想 图1 v 在V2 上投影，构造V 3 上的正交基β Gram-Schmidt 正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造 一个新的正交基。 设。V k 是V n 上的k 维子空间，其标准正交基为，且v 不在V k 上。由投影原理知，v 与其在V k 上的投影之差 是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即 那么{η1,..., ηk+1 }就是V k 在v 上扩展的子空间span{v, η1 ,..., ηk}的标准正交基。 根据上述分析，对于向量组{v1,...,v m}张成的空间V n，只要从其中一个向量（不妨设为v1 ）所张成的一维子空间span{v 1 }开始（注意到{v1}就是span{v 1}的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt 正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt 正交化的过程如下： 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程 ?：维数为n的内积空间 ?：中的元素，可以是向量、函数，等等 ?：与的内积 ?：、……张成的子空间 ?：在上的投影 基本思想 Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。是上的维子空间，其标准正交基为，且不 在上。由投影原理知，与其在上的投影之差 是正交于子空间的，亦即正交于的正交基。因此只要将单位化，即 那么就是在上扩展的子空间的标准正交基。 根据上述分析，对于向量组张成的空间 ()，只要从其中一个向量（不妨设为）所张成的一维子空间开始（注意到就是的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt 正交化的过程如下： 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 例 考察如下欧几里得空间R n中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为 于是就是的一组标准正交基底。 随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。 例如，在实向量空间上，内积定义为： 在复向量空间上，内积定义为： 函数之间的内积则定义为： 与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。 利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程 C语言程序如下： #include §2 正交基 一、标准正交基 定义5 欧氏空间V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个. 定义6 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 设n εεε,,,21 是一组标准正交基，由定义，有 ? ??≠==.,0;,1),(j i j i j i 当当εε (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在n 维欧氏空间中，标准正交基是存在的. 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即 n n εαεεαεεαεα),(),(),(2211+++= . (2) 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设 .2211n n x x x εεεα+++= .2211n n y y y εεεβ+++= 那么 .),(2211Y X y x y x y x n n '=+++= βα (3) 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广. 应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所 有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位. 二、规范正交基的存在性及其正交化方法 定理1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基. 定理2 对于n 维欧氏空间中任意一组基n εεε,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n ηηη,,,21 ，使 =),,,(21i L εεε .,,2,1,),,,(21n i L i =ηηη 应该指出，定理中的要求 =),,,(21i L εεε .,,2,1,),,,(21n i L i =ηηη 就相当于由基n εεε,,,21 到基n ηηη,,,21 的过渡矩阵是上三角形的. 定理2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特（Schimidt ）正交化过程. 例1 )1,1,1,1(),1,0,0,1(),0,1,0,1(),0,0,1,1(4321--=-===αααα 变成单位正交组. 三、正交矩阵 上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式. 设n εεε,,,21 与n ηηη,,,21 是欧氏空间V 中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是)(ij a A =，即 =),,,(21n ηηη ?????? ? ??nn n n n n n a a a a a a a a a 21222211121121),,,(εεε 因为n ηηη,,,21 是标准正交基，所以 一般最小二乘法中f(x)的展开多项式可以为正交化的函数系，也可以为非正交化的函数系。常用正交化的函数系有，Hermite 多项式，拉盖尔多项式和勒让德多项式等，也可以用正交三角函数系。对于非正交化的矢量，可以进行人为正交化处理。 22 )()1()(x n n x n n e dx d e x H -?-= )()(x n n n x n e x dx d e x L -??= n n n n n x dx d x P )1(!21)(2-?= Tn(x)=cos(narccosx) 施密特正交化方法： 已知有一组矢量集b i (i=1,----,n)，且无法找到这样一组常系数使得下式为0(实际含义为b i 矢量组可展开成n 维空间). 请用b i 矢量集构建一个正交化的n 维矢量集U i (i=1,----,n)。 01=∑=n i i i b c 解：在求解之前，先说明一下行矢量点积的含义：两个行矢量点积为一个行矢量乘以另外一个行矢量的转置矢量(即变为列矢量)。 [] [] []???? ? ?????====0 0 11 0 1),(0 0 11 0 1212121T b b b b b b 令b 1=U 1 则U 2应有如下表达式： 1111222U U U U b b U T T -= 此时，可保证U 1和U 2正交，证明过程如下： 0),(11111 2121212=-==T T T T T U U U U U b U b U U U U 同理，U3表达式如下： 222231111 333U U U U b U U U U b b U T T T T --= 标准正交基 一、标准正交基的定义及相关概念 1、欧几里得空间：设V 实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（βα,），它具有以下性质： （1）(βα,）=(αβ,); （2）(k βα,)=k(βα,); （3）(γβα,+)=(γα,)+(γβ,); （4）(αα,)>=0，当且仅当α=0时，(αα,)=0; 这里，γβα,,是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间，简称欧氏空间。 2、正交向量组：欧式空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 3、标准正交基：在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 二、标准正交基的相关性质 1、正交向量组的性质： （1）正交向量组是线性无关的。 证明：设m ααα,...,,21是一正交向量组，m k k k ,...,,21是m 个实数，且有： 0...2211=+++m m k k k ααα 用i α与等式两边作内积，得：0),(=i i i k αα 由0≠i α，有0),(>i i αα，从而：0=i k ),...,2,1(m i = 命题得证。 （2）单个非零向量组成的向量组是正交向量组。 （3）在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。（如：在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中找不到四个两两垂直的非零向量。） 2、标准正交基的性质： （1）若n εεε,...,21是一组标准正交基，则：? ??≠==.,0; ,1),(j i j i j i εε 证明：j i =时，由单位向量定义：1),(=j i εε，1),(=∴j i εε j i ≠时，由正交向量定义：0),(=j i εε 命题得证。 （2）对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。 例如：????? ???? ? ?-=????????? ??=????????? ??-=????????? ??=212100,212100,002121,0021214321e e e e 由于?????====≠=).4,3,2,1,;(,1),(),4,3,2,1,;(,0),(j i j i e e j i j i e e j i j i 所以4321,,,e e e e 是4R 的一组标准正交基。 （3）n 维欧氏空间中，一组基为标准正交基的充要条件是这组基的度量矩阵为单位矩阵。 因为度量矩阵是正定的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵等同于单位矩阵，这说明在n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵，由此可以断言，在n 维欧氏空间中，标准正交基是存在的。 施密特正交化 在线性代数中,如果内积空间上得一组向量能够张成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间得一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上得一个基得出子空间得一个正交基,并可进一步求出对应得标准正交基。 这种正交化方法以J?rgen Pedersen Gram与Erhard Schmidt命名,然而比她们更早得拉普拉斯(Laplace)与柯西(Cauchy)已经发现了这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解(Iwasawa deposition)。 在数值计算中,Gram－Schmidt正交化就是数值不稳定得,计算中累积得舍入误差会使最终结果得正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。 记法 ?:维数为n得内积空间 ?:中得元素,可以就是向量、函数,等等 ?:与得内积 ?:、……张成得子空间 ?:在上得投影 基本思想 图1 v在V2上投影,构造V3上得正交基β Gram-Schmidt正交化得基本想法,就是利用投影原理在已有正交基得基础上构造一个新得正交基。 设。V k就是V n上得k维子空间,其标准正交基为,且v不在V k上。由投影原理知,v 与其在V k上得投影之差 就是正交于子空间V k得,亦即β正交于V k得正交基ηi。因此只要将β单位化,即 那么{η 1,、、、,η k+1 }就就是V k在v上扩展得子空间span{v,η 1 ,、、、,η k } 得标准正交基。 根据上述分析,对于向量组{v 1,、、、,v m }张成得空间V n,只要从其中一个向量(不 妨设为v 1)所张成得一维子空间span{v 1 }开始(注意到{v 1 }就就是span{v 1 }得正交 基),重复上述扩展构造正交基得过程,就能够得到V n得一组正交基。这就就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基得顺序,不妨设为。Gram-Schmidt正交化得过程如下: 这样就得到上得一组正交基,以及相应得标准正交基。 例 考察如下欧几里得空间R n中向量得集合,欧氏空间上内积得定义为 C语言实现矩阵的LU分解、施密特正交化、Givens分解、Householder分解 By Kim.Wang，UCAS #include #include 施密特正交化 在中，如果上的一组向量能够张成一个，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个，并可进一步求出对应的。 这种正交化方法以和命名，然而比他们更早的（Laplace）和（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为（）。 在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。 记法 ?：为n的内积空间 ?：中的元素，可以是向量、，等等 ?：与的 ?：、……张成的 ?：在上的 基本思想 图1v在V2上投影，构造V3上的正交基β Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。V k是V n上的k维子空间，其标准正交基为，且v不在V k上。由投影原理知，v与其在V k上的投影之差 是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即 那么{η 1,...,η k+1 }就是V k在v上扩展的子空间span{v,η 1 ,...,η k }的标准正交 基。 根据上述分析，对于向量组{v 1,...,v m }张成的空间V n，只要从其中一个向量（不 妨设为v 1）所张成的一维子空间span{v 1 }开始（注意到{v 1 }就是span{v 1 }的正交 基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下： 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 例 考察如下R n中向量的，欧氏空间上内积的定义为 施密特正交化 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 施密特正交化 在中，如果上的一组向量能够张成一个，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个，并可进一步求出对应的。 这种正交化方法以和命名，然而比他们更早的（Laplace）和（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为（）。 在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。 记法 ：为n的内积空间 ：中的元素，可以是向量、，等等 ：与的 ：、……张成的 ：在上的 基本思想 图1v在V2上投影，构造V3上的正交基β Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。V k是V n上的k维子空间，其标准正交基为，且v 不在V k上。由投影原理知，v与其在V k上的投影之差 是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即 那么{η 1,...,η k+1 }就是V k在v上扩展的子空间span{v,η 1 ,...,η k }的标准正 交基。 根据上述分析，对于向量组{v 1,...,v m }张成的空间V n，只要从其中一个向量 （不妨设为v 1）所张成的一维子空间span{v 1 }开始（注意到{v 1 }就是span{v 1 } 的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下： 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 例 考察如下R n中向量的，欧氏空间上内积的定义为 §2 标准正交基 一、正交向量组 1．定义5 欧氏空间V 的一组非零的向量, 如果它们两两正交，就称为一个 正交向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 2．正交向量组是线性无关的. 3．上述结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个. 二、标准正交基 1．定义6 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基； 由单位向量组成的正交基称为标准正交基组. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 2． 设n εεε,,,21 是一组标准正交基，由定义，有 ? ??≠==.,0; ,1),(j i j i j i 当当εε (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质. 换句话说，一组基为标准正交基的 充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵. 3．因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵 合同于单位矩阵.这说明在n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵. 由此断言，在n 维欧氏空间中，标准正交基是存在的. 4．在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即 n n εαεεαεεαεα),(),(),(2211+++= . (2) 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设 .2211n n x x x εεεα+++= .2211n n y y y εεεβ+++= 那么 .),(2211Y X y x y x y x n n '=+++= βα (3) 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广. 应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的. 这说明了，所有的 标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位. 三、标准正交基的存在性及其正交化方法 1．把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中 称为施密特（Schimidt ）正交化过程 设 12,, ,m ααα 是一组线性无关的向量 (1) 正交化 11βα= 2122111(,) (,) αββαβββ=- 313233121122(,)(,) (,)(,) αβαββαββββββ=-- 43414244123112233(,)(,)(,) (,)(,)(,) αβαβαββαβββββββββ=- -- 由此推出 1 1 (,) (,) k k i k k i i i i αββαβββ-==-∑ (2) 单位化 例1 1234(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,1,1,1)αααα===-=-- 变成单位正交组 2．定理1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法. 第一讲 Ⅰ 授课题目： §5.1 预备知识：向量的内积 Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解向量的内积及正交向量组的概念； 1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法； 2.了解正交矩阵概念及性质。 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：正交向量组及正交矩阵 难点：施密特正交化方法 Ⅳ 讲授内容： 一、向量的内积 前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算. 定义1 设有n 维向量 ??????? ??=n x x x x 21，?????? ? ??=n y y y y 21， 令 []n x y x y x y x +++= 2211,， []y x ,称为向量x 与y 的内积. 内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x 与y 都是列向量时，有 []y x y x T =,. 内积具有下列性质（其中z y x ,,为n 维向量，λ为实数）： ① [][]x y y x ,,=； ② [][]y x y x ,,λλ=； ③ [][][]z x y x z y x ,,,+=+. 例1 设有两个四维向量??????? ??-=5121α，???? ?? ? ??--=56 03β.求[]βα,及[]αα,. 解 []3425603,-=--+-=βα []3125141,=+++=αα n 维向量的内积是数量积的一种推广，但n 维向量没有3维向量那样直观的长度和夹 角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长度和夹角： 定义2 令x = []2 2221,n x x x x x ++= ，则x 称为n 维向量x 的长度（或范数）. 向量的长度具有下列性质： ① 非负性 当0≠x 时，0>x ，当0=x 时，0=x ； ② 齐次性 x x λλ=； ③ 三角不等式 y x y x +≤+. 向量的内积满足施瓦兹不等式 [][][]y y x x y x ,,,2 ?≤ 由此可得 [] 1 ,≤y x y x （当0y ≠x 时） 于是有下面的定义： 当0≠x ，0≠y 时， [] y ,arccos x y x =θ 称为n 维向量的夹角. 二、正交向量组 当[]0,=y x 时，称向量x 与y 正交.显然，若0=x ，则x 与任意向量都正交. 两两正交的非零向量组称为正交向量组. 定理 1 若n 维向量r ααα ,,21是一组两两正交的非零向量组，则r ααα ,,21线性无关. 证明 设有r λλλ ,,21使 02211=+++r r αλαλαλ ， 欧氏空间 标准正交基 1.(一、欧氏空间定义及基本性质) 2.(二、标准正交基)(本页) 3.(三、正交变换) 在解析几何中, 通常采用直角坐标系, 即空间中选取三个两两正交的单位向量作为这3维空间的基. 由此联想到在维欧氏空间里是否能找到一组两两正交的单位向量作为基, 使一些问题的讨论更方便些. 定义 6 设为欧氏空间, 为中一组非零向量. 如果此组向量两两 正交, 即(, ), 则称为一正交向量组. 定理 2 设是维欧氏空间的一个正交向量组, 则线 性无关, 从而. 证明见提示7.2. 定义 7 设为维欧氏空间. (1) 若是的一个正交组, 则它们构成的一个基, 称为正 交基. (2) 若为的一个正交基, 且()为单位向量, 则称为标准正交基. 显然, 为标准正交基可描述为 其中 例 4在标准欧氏空间中, 向量组, , 是一个标准正交基. 因为, 且. 例 5是标准欧氏空间的一 个标准正交基. 定理 3 设为欧氏空间的一个基, 则为标准正交基的 充分必要条件是度量矩阵为单位矩阵. 引入标准正交基的好处: 设为维欧氏空间的一个标准正交 基, 则 (1) 向量关于的第个坐标等于与的内积: 设, 则 (2) 在标准正交基下, 两向量的内积等于其各个坐标对应乘积之和: 设, , 则由第一节公式(II), (这里是标准正交基的度量矩阵, 由定理3, .) 定理 4 (施密特正交化) 设是欧氏空间的一个基, 则可求出的一个标准正交基 , 且可由线性表示(这一过程称为施密特正交化过程). 例 6由标准欧氏空间的基, , 出发, 施行施密特正交化方法, 求的一个标准正交基. 解, 所以, , , 记为所求的标准正交基. 施密特正交化 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 施密特正交化 在中，如果上的一组向量能够张成一个，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个，并可进一步求出对应的。 这种正交化方法以和命名，然而比他们更早的（Laplace）和（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为（）。 在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。 记法 ：为n的内积空间 ：中的元素，可以是向量、，等等 ：与的 ：、……张成的 ：在上的 基本思想 图1v在V2上投影，构造V3上的正交基β Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。V k是V n上的k维子空间，其标准正交基为，且v 不在V k上。由投影原理知，v与其在V k上的投影之差 是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即 那么{η 1,...,η k+1 }就是V k在v上扩展的子空间span{v,η 1 ,...,η k }的标准正 交基。 根据上述分析，对于向量组{v 1,...,v m }张成的空间V n，只要从其中一个向量 （不妨设为v 1）所张成的一维子空间span{v 1 }开始（注意到{v 1 }就是span{v 1 } 的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下： 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 例 考察如下R n中向量的，欧氏空间上内积的定义为施密特正交化)
利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程
正交基
施密特正交化方法
标准正交基
施密特正交化)
C语言实现矩阵的LU分解、施密特正交化、Givens分解、Householder分解
施密特正交化求标准正交基
施密特正交化)
施密特正交化
标准正交基
第一讲正交向量组及施密特正交法
标准正交基
施密特正交化
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