高中数学-平面与平面垂直练习
1如果直线l,m与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l∥α,m?α,m⊥γ,那么必有()
A.α⊥γ和l⊥m
B.α∥γ和m∥β
C.m∥β和l⊥m
D.α∥β和α⊥γ
解析:由m⊥γ,l?γ,可得m⊥l.由m?α,m⊥γ,可得α⊥γ.
答案:A
2已知直线l和平面α,β,且l?α,l?β,给出以下3个论断:①l⊥α;②l∥β;③α⊥β.从中任取两个作为条件,剩下的一个作为结论,则()
A.一共可以写出6个命题,其中有2个命题正确
B.一共可以写出3个命题,其中有2个命题正确
C.一共可以写出6个命题,这6个命题都正确
D.一共可以写出3个命题,这3个命题都正确
解析:(1)①②?③;(2)②③?①;(3)①③?②,其中(1)(3)为真命题.
答案:B
3如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理得DE⊥AC,而BE∩DE=E,所以AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC?平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.答案:C
4下列命题正确的是()
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;
②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;
③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;
④如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.
A.①③
B.②③
C.②③④
D.④
解析:过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以①不对;若α⊥β,a⊥α,则a?β或a∥β,所以②不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③也不对.
答案:D
5如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列命题正确的是()
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
解析:在题图①中,因为∠BAD=90°,AD=AB,
所以∠ADB=∠ABD=45°.
因为AD∥BC,所以∠DBC=45°.
又因为∠BCD=45°,
所以∠BDC=90°,即BD⊥CD.
在题图②中,此关系仍成立.
因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.
因为BA?平面ADB,所以CD⊥AB.
因为BA⊥AD,所以BA⊥平面ACD.
因为BA?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.
答案:D
6三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O,且一点P到这三个平面的距离分别为3,4,5,则OP 的长为.
解析:OP可看作以3,4,5为棱长的长方体的体对角线.
答案:5
7如图,PA垂直于圆O所在平面,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,则图中互相垂直的面共有对.
答案:3
8设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直.
其中真命题的序号是.(写出所有真命题的序号)
解析:①由面面平行的判定定理可得,该命题正确.
②由线面平行的判定定理可得,该命题正确.
③如图(举反例),a?α,α∩β=l,a⊥l,但α与β不垂直.
答案:①②
9已知平面α⊥平面β,在α,β的交线上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和β内,它们都垂直于AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD的长为.
解析:如图,连接AD,CD.在Rt△ABD中,AB=4 cm,BD=12 cm,
∴AD==4(cm).
又∵α⊥β,CA⊥AB,CA?α,
∴CA⊥β,CA⊥AD.
∴△CAD为直角三角形.
∴CD==13(cm).
答案:13 cm
10如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.
证明:平面ABM⊥平面A1B1M.
证明在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,BB1∩C1B1=B1,
则A1B1⊥平面BCC1B1.
因为BM?平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.①
由AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点,可计算出B1M=,BM=,B1B=2, 所以B1M2+BM2=B1B2,从而B1M⊥BM.②
又因为A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M.
而BM?平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.
11如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,G分别是AA1,D1C,AD的中点.求证:
(1)MN∥平面ABCD;
(2)设α是过MN的任一平面,求证:α⊥平面B1BG.
证明(1)取CD的中点E,连接NE,AE.
?NE∥MA,且NE=MA,
所以四边形MAEN为平行四边形.
所以MN∥AE.
?MN∥平面ABCD.
(2)在正方形ABCD中,易证△BAG≌△ADE,
所以∠DAE+∠AGB=∠ABG+∠AGB=90°.
所以AE⊥BG.
?B1B⊥AE.
?AE⊥平面B1BG.
又因为MN∥AE,所以MN⊥平面B1BG.
?α⊥平面B1BG.
★12在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C?若能,指出点E的位置,并说明为什么;若不能,请说明理由.
解如图,作EM⊥A1C于点M,
∵截面A1EC⊥平面AA1C1C,
∴EM⊥平面AA1C1C.
取AC的中点N,连接BN,MN.
∵AB=BC,∴BN⊥AC.
而AA1⊥平面ABC,AA1?平面AA1C1C,
∴平面ABC⊥平面AA1C1C,且交于AC,
∴BN⊥平面AA1C1C.
∴BN∥EM,BN⊥MN.
又BE∥平面AA1C1C,平面BEMN∩平面AA1C1C=MN,
∴BE∥MN∥A1A.
∴四边形BEMN为平行四边形.
∵AN=NC,
∴A1M=MC.
∴BE=MN=A1A,即当E为BB1的中点时,平面A1EC⊥平面AA1C1C.
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
【例1】 (全国2文7) 已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于( ) A .3 B .3 C .22 D .3 【例2】 (全国2理7) 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等,则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于( ) A .6 B .10 C .2 D .3 【例3】 (福建卷6) 如图,在长方体ABCD 1111A B C D -中,2AB BC ==,11AA =,则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为( ) A . 63 B . 26 5 C . 155 D . 105 D C B A A 1 D 1 B 1 C 1 【例4】 (浙江) 在三棱柱111ABC A B C -中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点D 是侧面11BB C C 的中心,则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 典例分析 板块二.直线与平面所成的角
E A 1 C 1 B 1 D C B A 【例5】 (四川卷理13)在三棱锥O ABC -中,三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直,且 OA =OB =OC ,M 是AB 边的中点,则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 ( 用反三角函数表示) 【例6】 (全国Ⅰ)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内 的射影为ABC △的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) A .13 B C D . 23 【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与底面成45o 角,求此三棱柱的体积. 【例8】 (四川卷15) 且对角线与底面所成角的余弦值 ,则该正四棱柱的体积等于________________. 【例9】 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中, ⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角; ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值. A B C D B 1 C 1 D 1 A 1
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
§1.2.1平面的基本性质 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)借助生活中的实物,学生对平面产生感性的认识; (2)掌握平面的表示法,认识水平放置的直观图; (3)掌握平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 通过师生的共同讨论,学生经历平面的感性认识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点:(1)平面的概念及表示; (2)平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点:平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 (1)学法:学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地完成本节课的教学目标。 (2)教学用具:投影仪、投影片、正(长)方形模型、三角板 四、授课类型:新授课 五、教学过程 (一)创设引入情景 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象。你们能举出更多例子吗? 平面的含义是什么呢? (二)建立模型 1、平面含义 以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 在平面几何中,怎样画直线?一条直线平移就得到了一个平面。我们通常把一个“水平 放置的平面画成一个平行四边形,锐角画成450 ,且横边画成邻边的2倍长”。(如图): 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画(打出投影片) D C B A α β β
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则