2013年重庆市高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）
A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}
2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0
3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）
A．9 B．C．3 D．
4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C．200 D．240
6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x ﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）
A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）
A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9
9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）
A．B．C．D．2﹣1
10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）
A．（0，]B．（，]C．（，]D．（，]
二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．
11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．
12．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．
13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．
14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：
14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．
15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，
B两点，则|AB|=．
16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、
三等奖如下：
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠
ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．
（1）求PA的长；
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．
20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；
（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．
21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．
22．（12分）对正整数n，记I n={1，2，3…，n}，P n={|m∈I n，k∈I n}．（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若P n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P n能分成两个不相交的稀疏集的并集．
2013年重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）
A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}
【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．
【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，
∴A∪B={1，2，3}，
∵全集U={1，2，3，4}，
∴∁U（A∪B）={4}．
故选：D．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）
A．9 B．C．3 D．
【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，
即可得到所求式子的最大值．
【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，
由此可得当a=﹣时，函数f（a）取得最大值为，
故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．
【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；
∴y=8；
甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，
∴x=5．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两
数据的平均数）叫做中位数．
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C．200 D．240
【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．
【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，
由图知V==200．
故选：C．
【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x ﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．
【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b ﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．
故选：A．
【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．
7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）
A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．
【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A 与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．
【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，
由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，
|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式
的应用，考查转化思想与计算能力．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）
A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9
【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．
【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：
S k
第一次循环log23 3
第二次循环log23•log34 4
第三次循环log23•log34•log45 5
第四次循环log23•log34•log45•log56 6
第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7
第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8
故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选：B．
【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．
9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）
A．B．C．D．2﹣1
【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．
【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=
==
===．
故选：C．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．
10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）
A．（0，]B．（，]C．（，]D．（，]
【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．
【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），
由=1，得，则
∵||＜，∴
∴
∴
∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，
∴y2≤1
同理x2≤1
∴x2+y2≤2②
由①②知，
∵||=，∴＜||≤
故选：D．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．
二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．
11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．
【解答】解：|z|===．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
12．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．
【分析】依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．
【解答】解：∵{a n}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，
∴=a1•（a1+4d），又a1=1，
∴d2﹣2d=0，公差d≠0，
∴d=2．
∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．
故答案为：64．
【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．
13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590（用数字作答）．
【分析】不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．
【解答】解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，
1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，
1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，
2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，
1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，
2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，
共计20+60+120+90+180+120=590种
间接法：
﹣﹣﹣+1=590
故答案为：590．
【点评】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．
14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：
14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．
【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．
【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．
在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．
由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．
故答案为5．
【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．
15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．
【分析】先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t
为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．【解答】解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线
（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），
则|AB|=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力．
16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8] ．
【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．
【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，
再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，
故答案为：（﹣∞，8]．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；
（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内
的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．
∴6﹣16a=8a﹣6，
∴a=．
（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），
f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，
当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，
故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．
18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．
【分析】（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取
到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值
【解答】解：（1）设A i表示摸到i个红球，B i表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）
∴P（A1）==
（2）X的所有可能取值为0，10，50，200
P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=
P（X=50）=P（A3）P（B0）==
P（X=10）=P（A2）P（B1）==
P（X=0）=1﹣=
∴X的分布列为
EX==4元
【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠
ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．
（1）求PA的长；
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．
【分析】（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC ⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点
且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；
（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣
，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、
夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．
【解答】解：（I）如图，连接BD交AC于点O
∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD
以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．
又∵OD=CDsin=，
∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）
由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）
∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），
∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，
∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）
因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；
（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），
设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），
∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），
同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），
∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞==
=
因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=
【点评】本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．
20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；
（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．
【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B的度数求出sin（A+B）的值，进而求出cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，将各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．
【解答】解：（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，
∴由余弦定理得：cosC===﹣，
又C为三角形的内角，
则C=；
（2）由题意=
=，
∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，
即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin
（A+B）+cosAcosB=，
∵C=，A+B=，cosAcosB=，
∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，
∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+4=0，
解得：tanα=1或tanα=4．
【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 （重庆卷） 一、选择题 1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则?U (A ∪B )等于( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3} D ．{4} 答案 D 解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以?U (A ∪B )＝{4}，故选D. 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 答案 D 解析 由于“对任意x ∈R ”的否定为“存在x 0∈R ”，对“x 2≥0”的否定为“x 2<0”，因此选D. 3.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.9 2 C ．3 D.322 答案 B 解析 因为(3－a )(a ＋6)＝ 18－3a －a 2 ＝ －????a ＋322＋814 ， 所以当a ＝－3 2 时， (3－a )(a ＋6)的值最大，最大值为9 2 . 4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 答案 C 解析 由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x ＝15，x ＝5.又因9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，所以y ＝8，故选C. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.5603 B.580 3 C ．200 D ．240 答案 C 解析 由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，梯形的面积为1 2(2＋8)×4＝ 20，所以棱柱的体积为20×10＝200. 6．若a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (重庆卷) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集U ＝{1,2,3,4},集合A ＝{1,2},B ＝{2,3},则()U A B = e ( ) A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 【测量目标】集合的并集与补集运算. 【考查方式】先求出两个集合的并集,再结合补集概念求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】∵A B ＝{1,2,3},而U ＝{1,2,3,4},故()U A B = e＝{4}，故选D ． 2.命题“对任意x ∈R ,都有2 0x …”的否定为 ( ) A.对任意x ∈R ,都有2 0x < B.不存在x ∈R ,使得2 0x < C.存在0x ∈R ,使得200x … D.存在0x ∈R ,使得2 00x < 【测量目标】含有一个量词的命题的否定. 【考查方式】根据含有一个量词的命题的否定的方法直接求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D ． ()63a -剟的最大值为 ( ) A.9 B. 92 C.3 D.3 【测量目标】函数的最值. 【考查方式】利用配方法结合函数的定义域求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B = 63a -剟， 所以当32a =- 92 =,故选B. 4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) .已知甲组数据的中位 数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x ,y 的值分别为 ( ) A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8 第4题图 【测量目标】茎叶图. 【考查方式】结合茎叶图上的数据，根据中位数和平均数的概念求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】由甲组数据中位数为15，可得x ＝5；而乙组数据的平均数915101824 16.85 y ++(+)++=， 可解得y ＝8.故选C ．
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=?B．A∪B=R C．B?A D．A?B 2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D． 3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（） A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样D．系统抽样 4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（） A．y=B．y=C．y=±x D．y= 5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）
A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（） A．B．C．D． 7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（） A．3B．4C．5D．6 8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π 9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（） A．5B．6C．7D．8 10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的
2013年重庆市高考数学试卷（理科） 参考答案和试题分析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2013?重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则?U（A∪B）=（） A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4} 考 点： 交、并、补集的混合运算． 专 题： 计算题． 分析：根据A和B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合． 解答：解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}， ∵全集U={1，2，3，4}， ∴?U（A∪B）={4}． 故选D 点 评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2．（5分）（2013?重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（） A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0 C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0 考点：命题的否定；全称命题． 专题：简易逻辑． 分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可． 解答：解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0． 故选D． 点评：本题考查命题的否定，全称命题和特称命题的否定关系，基本知识的考查． 3．（5分）（2013?重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（） A．9B．C．3D． 考 点： 二次函数在闭区间上的最值． 专 题： 函数的性质及使用． 分 析： 令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求 得函数f（a）的最大值， 即可得到所求式子的最大值．
绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷) 数学(理科) 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题共50分） 一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N= （） （A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝ （C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3} （2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i （3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （） （A）错误！未找到引用源。（B）- 错误！未找到引用源。 （C）错误！未找到引用源。（D）- 错误！未找到引用源。 （4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。直线l满足l ⊥m，l ⊥n，lβ，则（） （A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β （C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l （5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ= （A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1
2013年重庆市高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（） A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4} 2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（） A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0 C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0 3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（） A．9 B．C．3 D． 4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（） A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8 5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A． B． C．200 D．240 6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x ﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内 7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（） A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D． 8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（） A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9 9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（） A．B．C．D．2﹣1 10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（） A．（0，]B．（，]C．（，]D．（，] 二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M ∩N=（） A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3} 2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 3．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则（） A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 5．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）A．﹣4B．﹣3 C．﹣2D．﹣1 6．（5分）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输 出的S=（） A． B． C． D． 7．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的 坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0， 0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影
面，则得到正视图可以为（） A．B． C．D． 8．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（） A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 9．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（） A．2B．1C．D． 10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．?x0∈R，f（x0）=0 B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形 C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减 D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0 11．（5分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（） A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8x C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x 12．（5分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（） A．（0，1）B．C．D．
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标I 卷） 第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. （1）已知集合{}022>-=x x x A ，{} 55B <<-=x x ，则 （A ）=B A ? （B ）R =B A （C ）A B ? （D ）B A ? （2）若复数z 满足()i 34i 43+=-z （A ）4- （B ）5 4- （C ）4 （D ）54 （3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了 解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女 生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 （A ）简单的随机抽样 （B ）按性别分层抽样 （C ）按学段分层抽样 （D ）系 统抽样 （4）已知双曲线C ：)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的离心率为2 5，则C 的渐近线方程为 （A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 2 1±= （D ）x y ±= （5）执行右面的程序框图，如果输入的[]31t ，-∈，则输出的s 属于 （A ）[]43，- （B ）[]25，- （C ）[]34，- （D ）[]52，- （6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在 容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如不计容器的厚 度，则球的体积为 （A ）3cm 3500π （B ）3cm 3866π （C ）3cm 31372π （D ）3cm 3 2048π （7）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ， 31=+m S ，则=m （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 （8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）8π16+ （B ）8π8+ （C ）π6116+ （D ）16π8+
2013年重庆市高考理科数学试卷及参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知全集U＝{1,2,3,4},集合A＝{1,2},B＝{2,3},则? U (A∪B)＝( ) A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 2.(5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为( ) A.对任意x∈R,都有x2＜0 B.不存在x∈R,都有x2＜0 C.存在x 0∈R,使得x 2≥0 D.存在x ∈R,使得x 2＜0 3.(5分)(﹣6≤a≤3)的最大值为( ) A.9 B. C.3 D. 4.(5分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为( ) A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8 5.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. B. C.200 D.240 6.(5分)若a＜b＜c,则函数f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)+(x﹣b)(x﹣c)+(x﹣c)(x﹣a)的两个零点分别位于区间( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(﹣∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(﹣∞,a)和(c,+∞)内 7.(5分)已知圆C 1：(x﹣2)2+(y﹣3)2＝1,圆C 2 ：(x﹣3)2+(y﹣4)2＝9,M,N分别是圆C 1 ,C 2 上的 动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.﹣1 B.5﹣4 C.6﹣2 D. 8.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输出S＝3,那么判断框内应填入的条件是( )
2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合 题目要求的 1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}=12A ，，{}=23B ，，则()=U A B e（ ） A ．{}134，， B ．{}34， C ． {}3 D ． {}4 2．命题“对任意x R ∈，都有2 0x ≥”的否定为（ ） A ．对任意x R ∈，都有2 0x < B ．不存在x R ∈，都有2 0x < C ．存在0x R ∈，使得200x ≥ D ．存在0x R ∈，使得200x < 3()63a -≤≤的最大值为（ ） A ．9 B ． 92 C ．3 D ．2 4 已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为（ ） A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 5．某几何体的三视图如题()5图所示，则该几何体的体积为（ ） A ． 5603 B ．580 3 C ．200 D ．240 6．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ） A ．(),a b 和(),b c 内 B ．(),a -∞和(),a b 内
C ．(),b c 和(),c +∞内 D ．(),a -∞和(),c +∞内 7．已知圆()()2 2 1:231C x y -+-=，圆()()2 2 2:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 4 B 1 C ．6- 8．执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出3s =，那么判断框内应填入的条件是（ ） A ．6k ≤ B ．7k ≤ C ．8k ≤ D ．9k ≤ 9．0 4cos50tan 40-= （ ） A ．2 C ．1 10．在平面上，12AB AB ⊥ ，121OB OB == ,12AP AB AB =+ .若12 OP < ，则OA 的取值范围是（ ） A ．? ?? B ． ?? C ． ? D ．? 二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置 上 11．已知复数512i z i = +（i 是虚数单位），则_________z = 12．已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则8_____S = 13．从3名骨科．4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科．脑外科和 内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________（用数字作答） 14．如图，在ABC 中，0 90C ∠=,0 60,20A AB ∠==,过C 作ABC 的外接圆的切线CD ， BD CD ⊥,BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为__________
2013年重庆高考数学试卷简析 今年的文理高考试题是重庆市在新课标下的第一年高考，整套试卷注重文理差异，利于人才选拔，推进新课程改革，试题过渡平稳，衔接有序，稳中求变，变中有律。 注重在知识与方法交汇处命题，具有开放度和灵活性 试卷在考查传统基础知识的同时，突出考察了新课标下新知识，如算法框图，统计茎叶图、回归分析、立几三视图、填空题三选二中的平面几何及参数方程与极坐标。考查了学生的空间想象能力，抽象概括能力，推理论证及数据处理、运算求解能力。 今年文、理两套试卷均对新课标中的函数与导数，立体几何，解析几何，概率，三角函数等核心内容作了重点考查，新增内容有选择性地在选择、填空题中出现，知识点分布合理，层次分明，利于较全面地考查所学内容。 试卷也注重在知识与方法交汇处命题，例如文科（15）题将三角函数与不等式融合，理科（8）将对数性质与程序框图相结合，理科（18）、文科（20）将函数与导数有机结合，特别值得关注的是，今年理科（22）题新颖别致有创意，与往年命题风格完全不同，既考查了分类讨论、反证法、构造法等多种数学思想，又是一道以能力立意的好题，有较大的开放度和灵活性。 试题贴近生活，理科难度略比去年大 本次考试理科试题题目标号多增加一个，学生实际答题个数与去年一样。与去年相比，解答题题目位置和内容都稍有变化，知识考查个数增多，难度略比去年大；文科题目个数不变，难度大致与去年相当，文理差异突出，但也有共同之处。即1、2题均相同，相关题有6个题，但考查知识点不尽相同，其余试题都不同。充分体现了文理考生不同教学要求的考查目标，命题更具有针对性。数学源于生活，考题接近生活，例如理18题“摸球”概率题，文17题的线性相关问题和20题水池建造问题均与现实生活息息相关。
2013高考数学试题 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A ∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1} 2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.23 C.1321 D.610987 5.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1e x + B. 1e x - C. 1e x -+ D. 1e x -- 6.若双曲线22 221x y a b -= A.y =±2x B.y = C.12y x =± D.2 y x =± 7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43 B.2 C.83
8.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩ 表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求 得m 的取值范围是 A.4,3⎛ ⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6 π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = . 11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3， 916 PD DB =，则PD= ，AB= . 12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 . 13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R ) ，则λμ = 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .
试题类型：A 2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。第I 卷1至3页，第II 卷 3至5页。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第I 卷 一． 选择题：本大题共12小题，第小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合}02|{2>-=x x x A ，}55|{<<-=x x B ，则 （A ） R B A =⋃ （B ）Φ=⋂B A （C ） A B ⊆ （D ）B A ⊆ （2）若复数z 满足|34|)43(i z i +=-，则z 的虚部为 （A ）4- （B ）5 4- （C ）4 （D ）54 （3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个阶段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大。在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 （A ）简单随机抽样 （B ）按性别分层抽样 （C ）按学段分层抽样 （D ）系统抽样 (4)已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为 （A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ）x y 2 1±= （D ）x y ±= （５）执行右边的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的s (A) ]4,3[- (B) ]2,5[- (C) ]3,4[- (D) ]5,2[-
2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的. 1．（5 分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B 2．（5分）若复数z 满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z 的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D． 3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（） A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样D．系统抽样 4．（5 分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C 的渐近线方程为（） A．y= B．y= C．y=±x D．y= 5．（5 分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s 属于（）
A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5 分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（） A．B．C．D． 7．（5分）设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π 9．（5 分）设m 为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1 展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（5 分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F 的
2013年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷理科数学试卷及参考答案与解析 一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知集合M＝{x|(x﹣1)2＜4，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝( ) A.{0，1，2} B.{﹣1，0，1，2} C.{﹣1，0，2，3} D.{0，1，2，3} 2.(5分)设复数z满足(1﹣i)z＝2i，则z＝( ) A.﹣1＋i B.﹣1﹣i C.1＋i D.1﹣i 3.(5分)等比数列{a n }的前n项和为S n ，已知S 3 ＝a 2 ＋10a 1 ，a 5 ＝9，则a 1 ＝( ) A. B. C. D. 4.(5分)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l ⊄β，则( ) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l 5.(5分)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( ) A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1 6.(5分)执行右面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( ) A. B. C. D. 7.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( )
A. B. C. D. 8.(5分)设a＝log 36，b＝log 5 10，c＝log 7 14，则( ) A.c＞b＞a B.b＞c＞a C.a＞c＞b D.a＞b＞c 9.(5分)已知a＞0，实数x，y满足：，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( ) A.2 B.1 C. D. 10.(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A.∃x 0∈R，f(x )＝0 B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形 C.若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(﹣∞，x )单调递减 D.若x 0是f(x)的极值点，则f′(x )＝0 11.(5分)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( ) A.y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x C.y2＝4x或y2＝16x D.y2＝2x或y2＝16x 12.(5分)已知点A(﹣1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( ) A.(0，1) B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.(5分)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝. 14.(5分)从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的 概率为，则n＝. 15.(5分)设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝. 16.(5分)等差数列{a n }的前n项和为S n ，已知S 10 ＝0，S 15 ＝25，则nS n 的最小值为. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤： 17.(12分)△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB. (Ⅰ)求B； (Ⅱ)若b＝2，求△ABC面积的最大值. 18.(12分)如图，直棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，D，E分别是AB，BB 1 的中点，AA 1 ＝AC＝CB＝AB.
2013年全国统一高考大纲版理科数学试卷及参考答案与解析 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)设集合A＝{1,2,3},B＝{4,5},M＝{x|x＝a＋b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.(5分)＝( ) A.－8 B.8 C.－8i D.8i 3.(5分)已知向量＝(λ＋1,1),＝(λ＋2,2),若(＋)⊥(－),则λ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 4.(5分)已知函数f(x)的定义域为(－1,0),则函数f(2x＋1)的定义域为( ) A.(－1,1) B. C.(－1,0) D. 5.(5分)函数f(x)＝log 2 (1＋)(x＞0)的反函数f－1(x)＝( ) A. B. C.2x－1(x∈R) D.2x－1(x＞0) 6.(5分)已知数列{a n }满足3a n＋1 ＋a n ＝0,a 2 ＝－,则{a n }的前10项和等于( ) A.－6(1－3－10) B. C.3(1－3－10) D.3(1＋3－10) 7.(5分)(1＋x)3(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( ) A.5 B.8 C.12 D.18 8.(5分)椭圆C：的左、右顶点分别为A 1、A 2 ,点P在C上且直线PA 2 斜率的取值范 围是[－2,－1],那么直线PA 1 斜率的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.(5分)若函数f(x)＝x2＋ax＋是增函数,则a的取值范围是( ) A.[－1,0] B.[－1,＋∞) C.[0,3] D.[3,＋∞) 10.(5分)已知正四棱柱ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中,AA 1 ＝2AB,则CD与平面BDC 1 所成角的正弦值等于 ( ) A. B. C. D. 11.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,点M(－2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k＝( ) A. B. C. D.2