第五章有限元法在流体力学中的应用
本章介绍有限元法在求解理想流体在粘性流体运动中的应用。讨论了绕圆柱体、翼型和轴对称物体的势流，分析了求解粘性流动的流函数—涡度法流函数法和速度—压力法，同时导出粘性不可压流体的虚功原理。
§1 不可压无粘流动
真实流体是有粘性和可压缩的，理想不可压流体模型使数学问题简化，又能较好地反映许多流动现象。
1. 圆柱绕流
本节详细讨论有限无法的解题步骤。考虑两平板间的圆柱绕流．如图5—1所示。为了减小计算工作量，根据流动的对称性可取左上方的l／4流动区域作为计算区域。
选用流函数方法，则流函数 应满足以下Laplace方程和边界条件
203
204
22220(,)0(,)2(,)(,)0(,)x y x y x y aec x y bd y x y ab x y cd n ψψ
ψψ
???+=-∈Ω?????-----∈???=-----∈????-----∈????=-----∈???
流线流线流线
流线 (5-1)
将计算区域划分成10个三角形单元。单元序号、总体结点号和局部结点号都按规律编排．如图5—2所示。
从剖分图上所表示的总体结点号与单元结点号的关系，可以建立联缀表于下
表5-1
各结点的坐标值可在图5—2上读出。如果要输入计算机运算必须列表。本质边
205
界结点号与该点的流函数值列于下表
表5-2
选用平面线性三角形元素，插值函数为(3—15)式。对二维Laplace 方程进行元素分析，得到了单元系数矩阵计算公式(3—19)和输入向量计算公式(3—20)。现在对全部元素逐个计算系数矩阵。
例如元素1，其结点坐标为1x =0, 1y =2; 2x =0, 2y =1; 3x =2.5, 3y =2. 由(3—15)式可得
132 2.5a x x =-=; 213 2.5a x x =-=- 3210a x x =-=,
1231b y y =-=-; 2310b y y =-=;
3121b y y =-=; 0 1.25A =
从(3—19)式可计算出1K
1 1.45 1.250.21.2500.2K ??
?
?
=
? ?
?
?
--对称
依次可计算出全部子矩阵
20.20.201.45 1.251.25K ??
?
?
= ? ?
?
?
--
30.200.21.25 1.251.45K ??
?
?
= ? ?
??
--
206
4 1.2
5 1.2501.450.20.2K ??
?
?
= ? ?
??
--
50.50.5000.50.5K ??
?
?
= ? ?
?
?--
60.500.50.50.51K ??
?
?
= ? ?
?
?
--
70.50.5010.50.5K ??
?
?
= ? ?
?
?--
80.500.50.50.51K ??
?
?
= ? ?
??--
90.500.50.50.51K ??
?
?
= ? ?
??
--
1010.50.50.500.5K ??
?
?
= ? ?
?
?
--
根据联缀表把元素矩阵组合成总体系数矩阵 A=
1.450.20 1.25
2.4500 1.25 1.01000.50.52.90.400 1.254.9100 1.750.54.01000.52000.51.450.201.9501.5--??
??--????--??
--??
??---??--?
???-??
-?
?????????0对称
207
矩阵中零元素没有一一写出，下三角部分与上三角部分对称。
从(3—20)式计算元素输入向量，由于流函数满足齐次的自然边界条件
0n q n
ψ
?==?,所以输入向量为零，总体输入向量也为零，这样就得了总体有限元方程.
N A B ψ=
式中:
[]1210,,,T
N ψψψψ=
[]0,0,,0T
B =
用缩减方程的重新编号修正方法施加边界条件，本质边界结点的函数值是已知的。把它们代入方程，修正右端项，再减去相应的方程，整理得
5674.910 2.914130121ψψψ-??????
?????--= ????? ?????-????
?? 解方程得到
5ψ＝0.845，6ψ=1.241，7ψ=1.121
这样求出了全部结点上的流函数。为了求出每个单元形心处的速度，可以由单元的流函数近似表达式求导计算。对元素e 来 说，有
T I
y
ψψ=Φ
[]112320
31,,2T I T I y u a a a A y A ψψψψψψ??
???==Φ==??
?????
[]1231,,2T I
I T I x b b b B x A
ψνψψψ?-=-
=-Φ==-? 例如单元1ψ=2, 2ψ=1, 3ψ=3，这样计算得到的速度为u=1,ν＝0。
二维绕圆柱流动还可以用势函数求解，
则定解问题可写成 22
220(,)001x y x
y cd aec bd n ab n
ωω
ωωω
???+=-∈Ω
?????=------???=-----?????=------???边界上
边界及上边界上
208
ω表示势函数，
为了使数值解唯一必须在部分边界上给定本质边界条件。势函数边界同样标记在图5—l 上。势因数满足Laplace 方程和相应的边界条件，与流函数不同仅在于有非齐次的自然边界条件。采用与流函数方法完全一样的网格划分，可知计算得到的单元系数矩阵是完全一样的，总体矩阵也是完全一样的。
元素1和4具有非齐次自然边界条件．应该用(3—20)式计算输入向量。
元素l, 111,,022T
P ??
=????
。元素4, 411,,022T
P ??=????。总体合 成得到1
1001000002
2T
B ??=????，这样就得到方程组
N A B ω=
巳知37100ωωω===，消去相应的三个方程得到一个7×7的 代数方程组，解得
1233.787, 1.204,0ωωω=== 4563.841, 1.261,0.616ωωω===
759100, 3.827, 1.491,0.ωωωω====
单元形心处的速度可以用下列公式计算
T I T I x
u B x
ωωω?==Φ=? T I T I
y A y
ωνωω?=
=Φ=? 式中I ω是单元的结点势函数向量[]123,,ωωω。对于元素1来说，
1233.787, 3.841, 1.204ωωω===,这样计算得到u=1.033，v=-0.05。这结果与流函
数方法得到的结果近似相等。如果加密网格，就可以得到更好的结果。 2. 升力问题
考虑图5—3(a)所示的机翼绕流。均匀来流u ∞平行于x 轴，机翼边界为1Γ，
209
后缘尖点为T ，流场外边界1Γ取在离机翼足够远处。流函数ψ 满足以下方程和边界条件。
201020310a hu a yu a b ψψψψψ∞∞??=-----Ω?
=------Γ??
=+---Γ??=+---Γ?
?=-------Γ?在内在上在上在上
在上
(5-3) 其中a,b 是特定系数，h 是上下边界之间的距离。机翼绕流的后驻点应位于后缘尖点处，在后缘T 点满足Kutta 条件
0u y
ψ
?=
=?；0v x ψ?=-=?； （5-4）
210
由于方程和边界条件是线性的,可用叠加原理求解，令
012a b ψ
ψψψ=++ （5-5）
其中0ψ，1ψ和2ψ：分别是下列问题的解
20010
000yu ψψψ∞??=-----Ω?
=-------Γ??=------Γ?在内在上在上
21111
0001ψψψ??=-----Ω?
=-------Γ??=--------Γ?在内
在上在上
22212
0010ψψψ??=-----Ω?
=-------Γ??=--------Γ?在内
在上在上
用有限元方法分别解以上三个问题，得到各结点的0ψ、1ψ和2ψ，代入(5—5)式得到叠加解。显然它满足问题(5—3)的全部方程和边界条件，特定常数a,b 可利用Kutta 条件(5—4)定出。
首先由流函数0ψ、1ψ和2ψ分别求出各个结点上的速度0,)u v 0(，1,)u v 1(和2,)u v 2(，然后在后缘点T 处利用Kutta 条件，应有
012
012u u au bu v v av bv =++??=++?
解之可得到a 和b 。
图5—3(b)上给出了NACA4412具型以8 攻角置于均匀流场中所引起的流动图案，计算中采用了三角形单元。
与无升力体绕流一样，机具绕流也可以采用速度势函数求解. 3．轴对称问题
考虑圆管内绕轴对称物体的无旋流动，如图5—4(a)所示。采用柱坐标系(r ，θ,z)，其势函数满足Laplace 方程。
211
12
2222221210S S r
r r z S q S n ???????????+--+=----Ω?????=--------------????=-------------???在内
在上在上 (5-6)
写出与微分问题相应的伽辽金积分表达
2222221d r r r z
???δ?Ω
???++Ω????（） =2S q ds n
?
δ??-??（） 分部积分上式的左边并整理得到弱解积分形式
2)rdrdz r r z z
?δ??δ?
π????+??????（
=0
2L
q rdl π
δ??
式中L 是元素的边长，L 绕轴旋转一周形成元素的边界面。
采用图5—4(b)所示轴对称的环形线性元素，它是将平面线性三角形元素绕对称轴旋转一周形成的环形体。采用斜坐标系，那么插值函数可写成
{}123,,T ξξξΦ=
212
元素结点上势函数向量为
{}123(),,I T ????=
则逼近函数为
112233T I ??ξ?ξ?ξ?=Φ=++
总体坐标和斜坐标系的关系为
T I
T I r r z z
?=Φ??=Φ?? 式中{}123(),,I T
r
r r r =。{}123(),,I T z z z z =，是元素结点总体坐标向量。
将逼近函数表达式代入伽辽金公式，推导出元素有限元方程
I K P Φ=
式中影响系数矩阵和输入向量分别为
K=2)T T
r z rdrdz πΦΦ+ΦΦ??r z （
P=0
2L
q dl πΦ?r
求出插值函数向量的偏导数r Φ和z Φ，代入上式得影响系数矩阵
K=22111212
131********
23230
2233()6a b a a b b a a b b r r r a b a a b b A a b π??
+++++ ?
++
? ?+?
?
（5-7） 式中 i k j a r r =-；i j k b z z =- i ＝1，2，3时J=2，3，1;k ＝3．1，2。
012212A b a b a =- ， 0A 三角形元素面积。
假设元素的“l 一2”边落在自然边界上且q 为常数，则可得转入向量计算公式
1212122230r r qL P r r π+??
??=+?
?????
（5-8） 式中 12L ：是“l 一2”边的边长。
213
计算了各元素的K 和P ，然后总体合成，代入本质边界条件就可以解总体方程。为了计算其它物理量，下面给出了相应的公式。元素形心处的速度：
1122330
1122330
1
()21
()2z r U b b b A U a a a A ??????=++=
++ （5-9）
附加质量m ：
m=11
2
21
()N
i p p ρ
??
=+∑ (5-10)
式中，i=1,2,....N. N 是物体表面上所划的单元数。p 是输入向量P 在元素结点上的值。
在文献[4]中，以圆球作为例子计算了三种状态。球在无阻空间中运动，计算的附加质量系数λ＝0.4671，理论值是0.5。计算值小于理论值是符合第二章2节例4中证明的附加质量极大值原理的.在圆管中球作匀速运动，计算的结果与T ．J ．Chung 在参考书(9)中给出的结果比较，虽然我们采用了较少的结点，但达到了相同的精度。Chung 用流函数方法，采用轴对称四边形单元计算。由于流函数满足Stokes 方程，是非自伴的，这样行成的影响系数矩阵是非对称的．不仅计算麻烦．而且不能利用半带宽存储。四边形单元的短阵元素计算须用Guass 数值积分,计算量大且有误差。而采用势函数方法和三角形元素恰好克服了以上两个缺点。第三种状态计算了圆球在半盲管(一端封死)中的运动。附加质量系数
λ＝0.897，这等于无限空间中附加质量系数的1.6倍。这使我们想到，在计算水下管中发射弹道问题时，应考虑物体在管道中的附加质量系数。
轴对称不可压无粘流动也存在看流函数提法，流函数ψ应满足以Stokes 方程，而不是Laplace 方程。
2222
10r r r z ψψψ
???-+=??? （5-11） 应特别注意的是,Stokes 算子是非自伴的。为了写出相应的迦辽金弱解积分表达式,先可将方程改写
22221120r r r z r r
ψψψψ
????++-=????
214
其伽辽金积分表达为
2222112)0d d r r r z r r ψψψψδψδψΩΩ????++Ω-Ω=??????（）（
将上式第一项分部积分，并代入自然边界条件，得到
12(
)4()rdrdz drdz r r z z r r ψδψψδψψ
ππδψ?????++?????????
=22S rdl n ψ
πδψ??? 假设近似解可表示成
T I ψψ=Φ ,I T δψδψ=Φ
那么
T I r r ψψ?=Φ? ，T I
z z ψψ?=Φ? ,I T r r δψδψ?=Φ? ，,I T z z
δψ
δψ?=Φ? 将以上各式代入弱积分表达式，得到单元有限元方程
I K P ψ=
式中影响系数矩阵为
K ＝2)4T T T r z r rdrdz drdz ππΦΦ+ΦΦ+ΦΦ????r z （
式中第二项是非对称项，它使得K 成为非对称矩阵。输入向量为
P=0
2L
r q dl π
Φ?
如果采用前面已用到的三角形洄旋环状体元素，则是K 和P 可以导出，得到相应的计算公式。看来流函数方法不及势函数方法简便。 §2 不可压粘性流动
不可压粘性流体运动由速度散度为零的连续方程及Navier —Stokes 方程描述。二维问题，引进流函数可导出流函数—涡量方程和四阶的流函数方程。粘性流动中存在粘性应力，固壁边界上必须满足无滑条件，使得流体的运动一股是有旋的.
215
1．流函数问量法
以流函数ψ和涡量ω。表示的粘性不可压流动方程和自然边界条件是
()
xx yy i y x x y xx yy ψψωωψωψωυωω+=-???+-=+?? （5-12） s v S n g S n ψω
ψ
ω??=-------????
??=-------???
在上在上
（5-13）
边界上还应给出本质边界条件，即ψ和ω的函数值。根据具体边界不难绘出流函数的边界值。而固壁上的涡量，则要通过区域内的流函数值，由涡量边界条件来确定。流函数ψ、涡量ω和速度的关系为
,,v u
u v y x x y
ψψω????=
=-=-???? 分别写出流函数方程和涡量方程的伽辽金积分表达
2()d ψωδψΩ
?+Ω??
2()0i y x x y d ωψωψωυωδωΩ
+--?Ω=??
对以上两式中Laplace 算子进行分部积分并代入自然边界条件：得弱解
积分形式
(
)s S d v ds x x y zy
ψψδψψδψωδψδψΩ
????+-Ω=-??????
?
()()i y x x y d x x y y ωδωωδωωψωψωδωυΩ??
????+-++Ω?????????? =S vg ds ω
δω?
将求解区域剖分，单元中流函数ψ、涡量ω。选用相同的插值展开形式，则有
T I ψψ=Φ ，T I ωω=Φ
216
其中 {}12(),(),()I I t t t ψψψψ= 。{}12(),(),()I I t t t ωωωω= 是结点未知数向量。()i t ψ和()i t ω分别是单元中i 结点在t 时刻流函数和涡量值。这样就有
,I T δψδψ=Φ，,I T δωδω=Φ，T I i ωω=Φ
将流函数和涡量的插值表达式及其变分代入弱解积分形式，得
{}
,()0I T T T I T I x y s S d d v ds ψ
δψψωΩ
Ω
??ΦΦ+ΦΦΩ-ΦΦΩ+Φ=?
?
?????x y
{}
,(()()I T
T
I
T I
T T I T I T T I
y
x
x y x x y y S d d d vg ds
ω
δωωψψωυωΩ
Ω
Ω
ΦΦΩ+ΦΦΦ
-ΦΦΩ+ΦΦ+ΦΦΩ-Φ???????=0
整理得到单元的有限元方程
I I
K M P ψψω-=
I I I M A K P ωωωυω++=
流函数的单元有限元方程是代数方程，而涡量的有限元方程是常微分方程组，必须在时间步进中求解。式中各矩阵分别为
质量矩阵 T M d Ω
=ΦΦΩ??
损耗矩阵 ()T T
x x y y K d Ω
=ΦΦ+ΦΦΩ??
对流矩阵 ()T I T T I T y x x y A d ω
ψψ=ΦΦΦ-ΦΦΩ??
输入向量为 s S P v d s
ψ
ψ=-Φ?
S P vg ds ω
ω=Φ?
I ψ是t 的函数，对流矩阵A 是与时间t 有关的非对称矩阵，因此每一时步
必须重新计算。将所有单元进行总体合成，得到总体有限元方程
??=+ΩK P M （5-14）
.
M A vK B ωΩ+Ω+Ω= （5-15）
式中ψ和Ω是总体结点未知数向量。
总体有限元方程是代数方程和非线性常微分方程的联立方程组。将涡量
217
力程用显式差分貉式离散，可用交替迭代的方法求解耦合方程组。
用流函数涡量法，可以计算低雷诺数时绕障碍，如圆柱、圆球的流动，还可以模拟涡街的形成过程。 2．流函数方法
二维不可压粘性流动可用四阶的流函数方程描述
24()0d
dt
ψυψ?-?= （5-16） 写出相应的伽辽金积分表达
24()0d d dt ψυψδψΩ???-?Ω=????
?? 利用分部积分
2()d d dt ψδψΩ??
?Ω????
?? =()()()S d d d ds d dt n dt x x dt y y ψ
ψδψψδψδψΩ???????-+Ω????????
??
?? 4d ψδψΩ???Ω????
=2222222
2222d x x x y x y y y ψδψψδψψδψ
Ω??
??????++Ω????????????
?? -2222()()()()s s ds ds x n x y n y x n y n ψδψψδψψψδψ??
????????????+++??????????????????
?? 可得弱解积分表达式
2222222222()()(2)d d d dt x x dt y y x x x y x y y y ψδψψδψψδψψδψψδψυΩ??
??????????++++Ω????????????????
?? =
2222()()()()()S d ds dt n x n x y n y x n y n ψψδψψδψψψδψυυδψ???????????????????++-+?????????????????????????
? 假定在全部边界上给定本质边界条件，对于四阶算子，即给定
s ψψ=，
218
s S
v n
ψ?=-?，
0S
S
ψ?=?
那么在S 上有0δψ=及
x δψ??和y
δψ
??等于零，则伽辽金弱积分形式可简化为 2222222222()()(2)0d d d dt x x
dt y y x x x y x y y y ψδψψδψψδψψδψψδψυΩ??
??????????++++Ω=??????????????????
设单元的近似函数为
T I ψψ=Φ 式中
{}12,,I φφφΦ=
{}12(),(),()I I t t t ψψψψ=
将近似函数代入弱解表达式，可以推导出单元有限元方程。在推导中首先注意到全导数的运算
222
()()d dt x t x y x x x y ψψψψψψ
???????=+-???????? 222
()()d dt y t y y x y x y ψψψψψψ
???????=+-
???????? 然后把近似解代入积分表达式中．整理得到
I I I I +A()0M K ψψψψ+= （5-17）
式中
()T T
s x y y M d Ω
=ΦΦ+ΦΦΩ??
{}I A()(()T I T T I T T I T T I T x y xx x xy y y xy x yy d ψψψψψΩ
=ΦΦΦ-ΦΦ+ΦΦΦ-ΦΦΩ??
(2)T T T
xx xx xy yy K d υΩ
=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦΩ??xy yy
矩阵I A()ψ包含着未知向量 I ψ，这是对流项的非线性影响产生的。如果写成下标表示的方程组，则可以看出方程的第二项包含ψ的二次项，所以得到的是
219
非线性的常微分方程组.
由于流函数方程是四阶偏微分方程，因此函数ψ及其一阶导数x ψ、y ψ，是本质变量，应取为结点未知数并保持其在元素内和元素之间的连续性。为此，应选用函数及一阶导数都连续的Hermite 插值函数．要构造相容的Hermite 插值函数有时是困难的。另外单元近似函数要用高阶插值，元案自由度大，这使得总体有限元方程的系数矩阵阶次很高．要占用大量的计算机内存.这种方法只具有一个未知函数，所以计算程序简单，也比较省时。
用流函数方法计算圆柱绕流，得到的表面压力分布曲线与有限差分解比较，符合得很好。
§3. 流体力学虚功率原理及速度压力法 不可压粘性流动基本方程如下
连续方程
0j j
v x ?=? (5-18)
动量方程 jk k
k j
dv b dt x σρρ?=+? k=1,2 (5-19) 本构方程 (
)j k
jk jk jk jk k
j
v v p p x x σδτδμ??=-+=-++
?? (5-20)
方程中重复指标暗指叠加运算。本构方程给出了应力和应变率之间的关系。其中应力张量jk σ是二阶张量，表示作用在流体微团小六面体的j 面上k 方向的应力分量。由于流体微团动量矩平衡的原因．它是对称张量，即有
jk kj σσ=
jk τ是粘性应力张量。 10jk j k
j k δ---=?=?
---≠?
称为Kronecker δ k b 是质量力分
量。
流动区域边界可分成二类，一类是指定速度的，另一类是指定应力。在指定速度的边界v S 上
220
j j v v = k=1,2
如图5—5所示．如果边界的单位外法向矢量为n ，其方向余弦cos(,)nj j a n x =
j=1,2. 那么其法向速度应满足 n j n j j n n v v a v a v === (5-21) 如固壁边界，流体质点粘附在固壁上，流体速度等于固壁运动速度，满足无滑条件。若固壁静止，则其值为零。
在指定应力条件的边界P S ，上，有
n k n k
p p = nk p 是作用于边界上，法向为n 的单位微元面积上的应力矢量n P 在k 方向的分量．
见图5—5。
设液体微元j 面上的应力矢量为
j kj k i σσ=
式中k i 表示直角坐标系中的两个单位矢量。那么n P 等于二个应力矢量在n 方向的投影之和，即
n j n j
n j j P a a i σσ== 那么应力边界条件可写成
n k n j
j k n k
P a P σ== （5-22）
221
如自由液面上，nk P 是法向为n 的自由面上结定的作用于液体的风应力，多大气静止常压时，其值为零.流体入口或出口边界，可给出速度或应力值。不同液体分界面上，一船给出速度，压力连续性条件。
把本构方程(5—20)式代入动量方程(5—19)式，并利用连续方程，就可以导出Navier —Stokes 方程。
下面推导虚功率原理。
以压力的变分P δ为权函数．写出连续方程的伽辽金积分公式
0j j
v Pd x δΩ
?Ω=???
分部积分．得到弱解积分公式
()
j
n S j
P v d v Pds x υ
δδΩ
?Ω=???
? （5-23）
以速度的变分为权函数，写出动量方程的伽辽金积分公式
()0jk k k k j dv b v d dt x σρρδΩ??
?-+Ω=??????
?
?? （5-24） 式中k v δ是重复指标,指叠加。伽辽金积分公式是两个动量方程分别乘以各自的权函数，作内积后的和。式中应力张量的导数
jk j
x σ??包含着速度的二阶导数项。
对〔5—24)式中二所导数项进行分部积分，并代入应力边界条件(5—22)，则
p jk k
k nj jk k jk S j j v v d a v ds d x x σδδσδσΩΩ????Ω=-Ω????????
????? =
p
k
nk k jk
S j
v p v ds d x δδσΩ
?-Ω??
?? 将上式代入(5—24)式
k
k k jk j dv v v d dt x δρδσΩ???+Ω??????
??=p nk k k k S p v ds b v d δρδΩ+Ω??? 将(5—20)式代入上式，并考虑到全导数运算，上式可以写成
()()j k k k k j k jk j k j j v dv v v v v v p d dt x x x x δρδδμΩ????????????++-++Ω?????????????????
???????
222
=p
nk k k k S p v ds b v d δρδΩ
+Ω??? k=1,2 (5-25)
这就是不可压粘性流体的虚功率原理。方程右边是由表面力和质量力所作的外部虚功率，左边是内应力的虚机械功率和惯性力的虚功率。虚功原理是压分速度法有限元分析的基础。
设单元中压力和速度采用相同的插值展开式
T I p p =Φ , T I k k v v =Φ , T I
j j v v =Φ
结点未知数向量是时间t 的函数。将近似解代入方程(6—23))注意到重复指标暗指累加，得到
1122I I
v C v C v F += （5-26）
式中1,12,2,T T
C d C d =
ΦΦΩ=ΦΦΩ????
称为连续矩阵， v
v n S F v ds =Φ?,为边界流量向量。
将近似解代入(5—25)式．为了简便写成以下形式。
11111211I I I I
I Mv Av B v D v C p F +++-= （5-27） 22222221I I I I I Mv Av B v D v C p F +++-= （5-28）
式中
质量系数矩阵 T M d ρΩ
=ΦΦΩ??
对流矩阵 1,12,2
()e
T I T T I T
d ρννΩ=ΦΦΦ+ΦΦΩ??A 耗散矩阵 ,2,
2T
e
T d μΩ=ΦΦΩ??1B 2,1,1T
e
T d μΩ=ΦΦΩ
??B ,2,1T e
T d μΩ=ΦΦΩ
??1D 2,1,2T e
T d μΩ=ΦΦΩ
??D 压力矩阵 ,1T
e
T d Ω=ΦΦΩ??1C
,2T
e
T d Ω=ΦΦΩ??2C
外力向量 11e
p
n s b d p ds ρΩ=ΦΩ+Φ???1F
1．流体的连续介质模型：研究流体的宏观运动，在远远大于分子运动尺度的范围里考察流体运动，而不考虑个别分子的行为，因此我们可以把流体视为连续介质。 它有如下性质： （1）流体是连续分布的物质，它可以无限分割为具有均布质量的宏观微元体。 （2）不发生化学反应和离解等非平衡热力学过程的运动流体中，微元体内流体状态服 从热力学关系 （3）除了特殊面外，流体的力学和热力学状态参数在时空中是连续分布的，并且通常 认为是无限可微的 2．应力：有限体的微元面积上单位面积的表面力称为表面力的局部强度，又称为应力，定义如下：=n T A F A δδδlim 0→ 3．流体的界面性质：微元界面两侧的流体的速度和温度相等，应力向量的大小相等.方向相反或应力分量相等。 4．流体具有易流行和压缩性。 5．应力张量具有对称性。 6．欧拉描述法：在任意指定的时间逐点描绘当地的运动特征量（如速度、加速度）及其它的物理量的分布（如压力、密度等）。 7．拉格朗日描述法：从某个时刻开始跟踪质点的位置、速度、加速度和物理参数的变化，这种方法是离散质点的运动描述法称为拉格朗日描述法。 8.流线：速度场的向量线，该曲线上的任意一点的切向量与当地的的速度向量重合。 迹线：流体质点点的运动迹象。 差别：迹线是同一质点在不同时刻的位移曲线。 流线是同一时刻、不同质点连接起来的速度场向量线。 流线微分方程：ω dz v dy u dx == 迹线微分方程：t x U i i ??= 9．质点加速度：质点速度向量随时间的变化率。 U U t U a )(??+??= 质点加速度=速度的局部导数+速度的迁移导数。 物理量的质点导数=物理量的局部导数+物理量的对流导数。
第2章 弹性力学平面问题有限单元法 2.1 三角形单元(triangular Element) 三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是: ①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。 一、结点位移和结点力列阵 设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。 在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1) 二、单元位移函数和形状函数 前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构 造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。 构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。 在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成: (,)123 u u x y x y ααα==++ 546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a 式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标) {}??? ?? ?????=????? ???? ?????????????=m j i m e d d d d m j j i v u v u v u i {} i i j j m X Y X (2-1-1)Y X Y i e j m m F F F F ?? ?? ???? ???? ??==??????????????????
流体力学的发展和现状 作为物理的一部分，流体力学在很早以前就得到发展。在19世纪，流体力学沿着两个方面发展，一方面，将流体视为无粘性的，有一大批有名的力学数学家从事理论研究，对数学物理方法和复变函数的发展，起了相当重要的作用; 另一方面，由于灌溉、给排水、造船，及各种工业中管道流体输运的需要，使得工程流体力学，特别是水力学得到高度发展。将二者统一起来的关键是本世纪初边界层理论的提出，其中心思想是在大部分区域，因流体粘性起的作用很小，流体确实可以看成是无粘的。这样，很多理想流体力学理论就有了应用的地方。但在邻近物体表面附近的一薄层中，粘性起着重要的作用而不能忽略。边界层理论则提供了一个将这两个区域结合起来的理论框架。边界层这样一个现在看来是显而易见的现象，是德国的普朗特在水槽中直接观察到的。这虽也是很多人可以观察到的，却未引起重视，普朗特的重大贡献就在于他提出了处理这种把两个物理机制不同的区域结合起来的理论方法。这一理论提出后，在经过约10年的时间，奠定了近代流体力学的基础。 流体力学又是很多工业的基础。最突出的例子是航空航天工业。可以毫不夸大地说，没有流体力学的发展，就没有今天的航空航天技术。当然，航空航天工业的需要，也是流体力学，特别是空气动力学发展的最重要的推动力。就以亚音速的民航机为例，如果坐在一架波音747飞机上，想一下这种有400多人坐在其中，总重量超过300吨，总的长宽有大半个足球场大的飞机，竟是由比鸿毛还轻的空气支托着，这是任何人都不能不惊叹流体力学的成就。更不用说今后会将出现更大、飞行速度更快的飞机。 同样，也不可能想象，没有流体力学的发展，能设计制造排水量超过50万吨的船舶，能建造长江三峡水利工程这种超大规模工程，能设计90万kW汽轮机组，能建造每台价值超过10亿美元的海上采油平台，能进行气候的中长期预报，等等。甚至天文上观测到的一些宇宙现象，如星系螺旋结构形成的机理，也通过流体力学中形成的理论得到了解释。近年来从流体力学的角度对鱼类游动原理的研究，发现了采用只是摆动尾部（指身体大部不动）来产生推进力的鱼类，最好的尾型应该是细长的月牙型。这正是经过几亿年进化而形成的鲨鱼和鲸鱼的尾型，而这些鱼类的游动能力在鱼类中是最好的。这就为生物学进化方面提供了说明，引起了生物学家的很大兴趣。 所以很明显，流体力学研究，既对整个科学的发展起了重要的作用，又对很多与国计民生有关的工业和工程，起着不可缺少的作用。它既有基础学科的性质，又有很强的应用性，是工程科学或技术科学的重要组成部分。今后流体力学的发展仍应二者并重。 本世纪的流体力学取得多方面的重大进展，特别是在本世纪下半叶，由于实验测试技术、数值计算手段和分析方法上的进步，在多种非线性流动以及力学和其他物理、化学效应相耦合的流动等方面呈现了丰富多采的发展态势。 在实验方面，已经建立了适合于研究不同马赫数、雷诺数范围典型流动的风洞、激波管、弹道靶以及水槽、水洞、转盘等实验设备，发展了热线技术、激光技术、超声技术和速度、温度、浓度及涡度的测量技术，流动显示和数字化技术的迅猛发展使得大量数据采集、处理和分析成为可能，为提供新现象和验证新理论创造了条件。 流体力学是在人类同自然界作斗争，在长期的生产实践中，逐步发展起来的。早在几千年前，劳动人民为了生存，修水利，除水害，在治河防洪，农田灌溉，河道航运，水能利用等方面总结了丰富的经验。我国秦代李冰父子根据“深淘滩，低作堰”的工程经验，修建设计的四川都江堰工程具有相当高的科学水平，反映出当时人们对明渠流和堰流的认识已经达
基于弹性力学理论和有限元法分析应力集中问题的讨论 材料在外形急剧变化的部位，局部应力可以超出名义应力的数倍，对于脆性材料局部过早开始破坏，从而，削弱了构件的强度，降低了构件的承载能力。因此在工程實际中，为了确保构件的安全使用，必须科学合理的分析计算应力集中现象，以便找寻到更好的避免措施。本文首先基于弹性力学理论分析带孔无限宽板的应力分布情况，将对象的受力转化成数学表达，结论应证了应力集中的几个特性。 标签：应力集中系数；有限元分析；无限宽板；弹性力学；Inventor运用；ANSYS 1、应力集中 1.1弹性力学中概念，指物体形状、材料性质不均匀导致的局部应力急剧增高的现象。 1.2应力集中系数 最大局部应力与名义应力的比值称为理论应力集中系数ɑ。可以明确地反应应力集中的程度。 最大局部应力σmax可根据弹性力学理论、有限元法计算得到，也可由实验方法测得；名义应力σn是假设构件的应力集中因素（如孔、缺口、沟槽等）不存在，构件截面上的应力。 2、孔周应力在理想状态下的弹性力学理论分析 2.1定义受单向均匀拉伸荷载的无限宽平板，孔径2α圆孔，建立如图一理想模型。 由于结构的对称性，仅分析图一上半段1/4部分x轴正向的状态： 1）圆孔右顶点单元，即当θ=0，r=α时，代入式（2）解算得σy=3σ； 2）距孔0.2倍孔半径外，即当θ=0，r=1.2α时，代入式（2）解算得σy=2.071σ； 3）距孔1倍孔半径外，即当θ=0，r=2α时，代入式（2）解算得σy=1.221σ； 4）距孔1.5倍孔半径外，即当θ=0，r=2.5α时，代入式（2）解算得σy=1.122σ； 5）距孔2倍孔半径外，即当θ=0，r=3α时，代入式（2）解算得σy=1.074σ；
弹性力学及有限元法学习总结 摘要：本文就弹性力学的研究对象与方法，弹性力学的基本假设，研究方法，有限元法的基本思想，数学基础，有限元分析的基本步骤进行阐述。 正文：弹性力学是固体力学的一个分支学科，是研究固体材料在外部作用下（外 部作用一般包括：荷载、温度变化以及固体边界约束改变），弹性变形及应力状态的一门学科。 弹性力学的研究对象： 材料力学--研究杆件（如梁、柱和轴）材料力学的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。 结构力学--在材料力学基础上研究杆系结构结构力学（如桁架、刚架等）。弹性力学--研究各种形状的弹性体，如杆弹性力学件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。 弹性力学研究方法： 在研究方法上，弹力和材力也有区别：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程; 三套方程在边界s 上考虑受力或约束条件，建立边界条件并在边界条件下求解上边界条件; 边界条件述方程，得出较精确的解答。 弹性力学的基本假设： 1）连续性，假定物体是连续的。连续性因此，各物理量可用连续函数表示。 2）均匀性与各向同性假设假定固体材料是均匀的，并且在各个方向上物理特性相同，也即材料的物理性质在空间分布上是均匀的（或不变的）3）小变形假设假定固体材料在受到外部作用（荷载、温度等）后的位移（或变形）与物体的尺寸相比是很微小的，在研究物体受力后的平衡状态时，物体尺寸及位置的改变可忽略不计，物体位移及形变的二次项可略去不 计，由此得到的弹性力学微分方程将是线性的。 4）完全弹性假设假设固体材料是完全弹性的。 5）无初始应力假设假定外部作用（荷载、温度等）之前，物体处于无应力状态，由弹性力学所求得的应力仅仅是由外部作用（荷载、温度等）所 引起的。 有限元法的基本思想： 有限元是一种结构分析的方法，先把所有系统分解为他们的元件或单元，这些元件的行为已经被充分的了解，再把元件重新组装成原来的系统。及将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连接在一起的单元组
计算流体力学教案 Teaching plan of computational fluid mechanics
计算流体力学教案 前言：本文档根据题材书写内容要求展开，具有实践指导意义，适用于组织或个人。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 一、流体地基本特征 1.物质地三态 在地球上，物质存在地主要形式有：固体、液体和气体。 流体和固体地区别:从力学分析地意义上看，在于它们对外力抵抗地能力不同。 固体：既能承受压力，也能承受拉力与抵抗拉伸变形。 流体：只能承受压力，一般不能承受拉力与抵抗拉伸变形。 液体和气体地区别：气体易于压缩；而液体难于压缩； 液体有一定地体积，存在一个自由液面；气体能充满任意形状地容器，无一定地体积，不存在自由液面。 液体和气体地共同点：两者均具有易流动性，即在任何 微小切应力作用下都会发生变形或流动，故二者统称为流体。 2.流体地连续介质模型
微观：流体是由大量做无规则运动地分子组成地，分子之间存在空隙，但在标准状况下，1cm3液体中含有3.3×1022个左右地分子，相邻分子间地距离约为3.1×10-8cm。1cm3气体中含有2.7×1019个左右地分子，相邻分子间地距离约为3.2×10-7cm。 宏观：考虑宏观特性，在流动空间和时间上所采用地一切特征尺度和特征时间都比分子距离和分子碰撞时间大得多。 （1）概念 连续介质（continuum/continuous medium）：质点连续充满所占空间地流体或固体。 连续介质模型（continuum continuous medium model）：把流体视为没有间隙地充满它所占据地整个空间地一种连续介质，且其所有地物理量都是空间坐标和时间地连续函数地一种假设模型：u =u（t,x,y,z）。 （2）优点 排除了分子运动地复杂性。物理量作为时空连续函数，则可以利用连续函数这一数学工具来研究问题。 3.流体地分类
2-5有限元法在流体力学中的应用
第五章有限元法在流体力学中的应用 本章介绍有限元法在求解理想流体在粘性流体运动中的应用。讨论了绕圆柱体、翼型和轴对称物体的势流，分析了求解粘性流动的流函数—涡度法流函数法和速度—压力法，同时导出粘性不可压流体的虚功原理。 §1 不可压无粘流动 真实流体是有粘性和可压缩的，理想不可压流体模型使数学问题简化，又能较好地反映许多流动现象。 1. 圆柱绕流 本节详细讨论有限无法的解题步骤。考虑两平板间的圆柱绕流．如图5—1所示。为了减小计算工作量，根据流动的对称性可取左上方的l／4流动区域作为计算区域。 选用流函数方法，则流函数 应满足以下Laplace方程和边界条件
22220(,)0(,)2(,)(,)0(,)x y x y x y aec x y bd y x y ab x y cd n ψψ ψψ ???+=-∈Ω?????-----∈???=-----∈????-----∈????=-----∈???流线流线流线 流线 (5-1) 将计算区域划分成10个三角形单元。单元序号、总体结点号和局部结点号都按规律编排．如图5—2所示。 从剖分图上所表示的总体结点号与单元结点号的关系，可以建立联缀表于下 元素序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总体 结点 号 n1 1 4 4 4 2 2 6 6 5 5 n2 4 5 9 8 6 5 7 10 10 9 n3 2 2 5 9 3 6 3 7 8 10 表5-1
各结点的坐标值可在图5—2上读出。如果要输入计算机运算必须列表。本质边界结点号与该点的流函数值列于下表 表5-2 选用平面线性三角形元素，插值函数为(3—15)式。对二维Laplace 方程进行元素分析，得到了单元系数矩阵计算公式(3—19)和输入向量计算公式(3—20)。现在对全部元素逐个计算系数矩阵。 例如元素1，其结点坐标为1x =0, 1y =2; 2x =0, 2y =1; 3x =2.5, 3y =2. 由(3—15)式可得 132 2.5a x x =-=; 213 2.5a x x =-=- 3210a x x =-=, 1231b y y =-=-; 2310b y y =-=; 3121b y y =-=; 0 1.25A = 从(3—19)式可计算出1K 1 1.45 1.250.21.2500.2K ?? ? ? = ? ? ? ? --对称 依次可计算出全部子矩阵 20.20.201.45 1.251.25K ?? ? ? = ? ? ? ? --
弹性力学与有限元法分析 弹性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性固体在受外力作用、温度改变、边界约束或其他外界因素作用下而发生的应力、形变和位移状态的科学。有限单元法是力学、数学、物理学、计算方法、计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物，是随着计算机技术的广泛应用而迅速发展起来的一种数值分析方法。有限元法的基本思想就是化整为零，分散分析，再集零为整。即用结构力学方法求解弹性力学问题，实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体，单元体之间仅仅通过结点相连，实现化无限自由度问题为有限稀有度问题，将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。 有限元方法经过近半个世纪的发展，目前已经成为各种工程问题特别是结构分析问题的标准分析方法，而有限元软件也已成为现代结构设计中不可缺少的工具。有限元软件是有限元理论通向实际工程应用的桥梁，它的应用极大地提高了力学学科解决自然科学和工程实际问题的能力，进一步促进了有限元方法的发展。ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，广泛用于机械制造、石油化工、航空航天、汽车交通、土木工程、造船、水利等一般工业及科学研究。 ANSYS软件的组成： （一）前处理模块 该模块为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，可以方便的构造有限元模型，软件提高了100种以上的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。包括： 1.实体建模：参数化建模，布尔运算及体素库，拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、倒角等。 2.自动网格划分，自动进行单元形态、求解精度检查及修正。 3.在集合模型上加载：点加载、分布载荷、体载荷、函数载荷。 4.可扩展的标准梁截面形状库。 （二）分析计算模块 该模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。 （三）后处理模块 将计算结果以彩色等值线、梯度、矢量、粒子流、立体切片、透明及半透明等图形方式显示出来，也可以用图表、曲线形式显示或输出。 由于现在只是对ANSYS工程软件有初步的了解和掌握，所以本次作业仅以（1）结构静力学分析为例，运用ANSYS软件对汽车连杆进行受力分析；（2）
如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。 ① I 单元的整体编码为162 ② II 单元的整体编码为426 ③ II 单元的整体编码为246 ④ III 单元的整体编码为243 ⑤ IV 单元的整体编码为564 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③⑤ 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部
1.简述流体力学有哪些研究方法和优缺点? 实验方法就是运用模型实验理论设计试验装置和流程，直接观察流动现象，测量流体的流动参数并加以分析和处理，然后从中得到流动规律。实验研究方法的优点：能够直接解决工程实际中较为复杂的流动问题，能够根据观察到的流动现象，发现新问题和新的原理，所得的结果可以作为检验其他方法的正确性和准确性。实验研究方法的缺点主要是对于不同的流动需要进行不同的实验，实验结果的普遍性稍差。 理论方法就是根据流动的物理模型和物理定律建立描写流体运动规律的封闭方程组以及相应初始条件和边界条件，运 用数学方法准确或近似地求解流场，揭示流动规律。理论方法的优点是：所得到的流动方程的解是精确解，可以明确地给出各个流动参数之间的函数关系。解析方法的缺点是：数学上的困难比较大，只能对少数比较简单的流动给出解析解，所能得到的解析解的数目是非常有限的。 数值方法要将流场按照一定的规则离散成若干个计算点，即网格节点；然后，将流动方程转化为关于各个节点上流动 参数的代数方程；最后，求解出各个节点上的流动参数。数值方法的优点是：可以求解解析方法无能为力的复杂流动。数值方法的缺点是：对于复杂而又缺乏完整数学模型的流动仍然无能为力，其结果仍然需要与实验研究结果进行对比和验证。 2.写出静止流体中的应力张量,解释其中非0项的意义. 无粘流体或静止流场中，由于不存在切向应力，即p ij =0（i ≠j ），此时有 P =00000 0xx yy zz p p p ??????????=000000p p p -????-????-??=-p 00000011????1?????? = -p I 式中I 为单位张量，p 为流体静压力。 流体力学中，常将应力张量表示为 p =-+P I T （2-9） 式中p 为静压力或平均压力，由于其作用方向与应力定义的方向相反，所以取负值；T 称为偏应力张量，即 T =xx xy xz yx yy yz zx zy zz τττττττττ?????????? （2-10） 偏应力张量的分量与应力张量各分量的关系为：i ＝j 时，p ij 为法向应力，τii = p ij - p ；当i ≠j 时p ij 为粘性剪切应力，τij =p ij 。τii =0的流体称为非弹性流体或纯粘流体，τii ≠0的流体称为粘弹性流体。 3.分析可压缩(不可压缩)流体和可压缩(不可压缩)流动的关系. 当气体速度流动较小（马赫数小于0.3)时，其密度变化不大，或者说对气流速度的变化不十分敏感，气体的压缩性没有表现出来。因此，在处理工程实际问题时，可以把低速气流看成是不可压缩流动，把气体可以看作是不可压缩流体。而当气体以较大的速度流动时，其密度要发生明显的变化，则此时气体的流动必须看成是可压缩流动。 流场任一点处的流速v 与该点（当地)气体的声速c 的比值，叫做该点处气流的马赫数，用符号Ma 表示： Ma /v c v == （4－20） 当气流速度小于当地声速时，即Ma<1时，这种气流叫做亚声速气流；当气流速度大于当地声速时，即Ma>l 时，这种气流称为超声速气流；当气流速度等于当地声速时，即Ma=l 时，这种气流称为声速气流。以后将会看到，超声速气流和亚声速气流所遵循的规律有着本质的不同。 马赫数与气流的压缩性有着直接的联系。由式(4－11)可得 所以有 222Ma d ρv dv dv ρc v v =-=-。 （4－21） 当Ma≤0.3时，dρ/ρ≤0.09dv /v 。由此可见，当速度变化一倍时，气体的密度仅仅改变9%以下，一般可以不考虑密度的变化，即认为气流是不可压缩的。反之，当Ma>0.3时，气流必须看成是可压缩的。 4.试解释为什么有时候飞机飞过我们头顶之后才能听见飞机的声音. 5.试分析绝能等熵条件下截面积变化对气流参数(v ,p ,ρ,T )的影响.
最新弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、 填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案 四、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ????? ??=??+??=??+??0 0x y y x xy y yx x τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+??? ? ????+??y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()() ???? ?=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。此外还应满足应力边界条件。 （2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，22 23xy C y -=σ，y x C y C xy 2 332--=τ，体力不计，Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程 ???? ?? ?=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ 得 ?? ?=--=--+-0 230 33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即 ()()()?? ?=+=+--0 230 333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得
高等流体力学 第一章 流体力学的基本概念 连续介质：流体是由一个紧挨着一个的连续的质点所组成的，没有任何空隙的连续体，即所 谓的连续介质。 流体质点：是指微小体积内所有流体分子的总和。 欧拉法质点加速度：时变加速度与位变加速度和 z u u y u u x u u t u dt du a x z x y x x x x x ??+??+??+??== 质点的随体导数：质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数，用dt d 表示。在欧拉法描述中的任意物理量Q 的质点随体导数表述如下： x k k Q u t Q dt dQ ??+??= 式中Q 可以是标量、矢量、张量。质点的随体导数公式对任意物理量都成立，故将质点的 随体导数的运算符号表示如下： x k k u t dt d ??+??= 其中 t ?? 称为局部随体导数，x k k u ??称为对流随体导数，即在欧拉法描述的流动中，物理 量的质点随体导数等于局部随体导数与对流随体导数之和。 体积分的随体导数：质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数。则在由流体质点组成的流动体积V 中标量函数Φ（x, t ）随时间的变化率就是体积分的随导函数。 由两部分组成①函数Φ 对时间的偏导数沿体积V 的积分，是由标量场的非恒定性引起的。②函数Φ通过表面S 的通量。由体积V 的改变引起的。 ()dV divv dt d dV v div t dS u dV t dV dt d v v n s v v ?? ? ???Φ+Φ=??????Φ+?Φ?=Φ+?Φ?=Φ??????????????()dV adivv dt da dV av div t a dS au dV t a adV dt d v v n s v v ?? ????+=??????+??=+??=?????????????? 变形率张量： 11ε 12ε13ε D ij = 21ε 22ε 23ε 31ε 32ε 33ε
有限元法，有限差分法和有限体积法的区别 1. FDM 1.1 概念 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 1.2 差分格式 （1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 （2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。 （3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 1.3 构造差分的方法 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 2. FEM 2.1 概述 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 2.2 原理 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。 根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。（1）从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法；（2）从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格；
《高等流体力学》考试大纲 一、考试性质 《高等流体力学》是我校相关专业博士入学专业基础课考试科目。 二、考试形式与试卷结构 1、答卷方式：闭卷，笔试 2、答题时间；180分钟 3、题型比例 概念20% 计算与应用80% 4、参考书目 《高等流体力学》高学平，天津大学出版社，2005. 《高等工程流体力学》张鸣远等，西安交通大学出版社，2006. 三、考试要点 1、流体力学的基本概念 连续介质、欧拉法质点加速度、质点随体导数、体积分的随体导数、变形率张量、旋转角速度、判断有旋流与无旋流、涡量与速度环量的关系、应力张量的概念（包括切应力的特性、压应力的特性）、牛顿流体的本构方程（本构方程的概念、切应力和法向应力与变形的关系）。 2、流体运动的基本方程 微分形式的连续方程的表达形式、不可压缩流体的确切定义、理解其含义。N-S方程的各种表示形式、流体的能量包括哪几种形式，
并对各种形式进行解释，写出单位质量流体能量的表达式、流体运动微分形式的基本方程组有哪些方程组成，通常有几个未知量，方程组是否封闭、对于不可压缩流体，如何求解速度场、压强场以及温度场，说明其求解步骤。 3、势流运动 势流运动控制方程及求解步骤；势流求解常用的方法有哪些。速度势函数与流函数；复势与复速度；恒定平面势流的解析方法有哪几种途径；保角变换法的思路。 4、粘性流体运动 基本方程及求解途径；黏性流体运动的基本性质；黏性流体运动的解析解（如两平行板间的层流、普阿塞流的流速分布的推导）、小雷诺数流动近似解的思路；边界层的概念；边界层厚度（名义厚度、位移厚度）；边界层方程的相似性解的概念；边界层的分离现象。5、紊流运动 紊流的特征及分类；壁面剪切紊流的发生过程及紊流结构；时间平均法和系综平均法的概念。紊流运动方程—雷诺方程的推导思路，雷诺方程的形式及与N-S方程的区别，雷诺应力项的意义。紊流模型的用途，紊流模型通常有哪几类（零方程模型、一方程模型、二方程模型、其他模型）；紊流动能k、能量耗散率ε。 6、涡旋运动 涡旋的运动学性质、涡旋运动的基本方程；涡旋的形成。
流体力学
流体力学 （专业代码：080103授予….学…硕士.学位） 一、培养目标 具有正确的政治方向、优良的品德和学风、健康的身体，具备坚实的流体力学基础理论和比较系统的专门知识，掌握流体力学实验技能和计算方法；能较熟练地掌握一门外语，阅读本学科外文资料，并能独立进行流体力学专业的科学研究。毕业后可胜任流体力学学科或相邻学科的教学、科研、技术开发与维护工作，解决港口海岸、土木水利、能源化工等工程中遇到的流体力学问题。 二、学科、专业及研究方向简介 流体力学是研究各种静止和运动条件下流体规律的科学。现代流体力学主要的研究手段包括实验研究、理论分析以及数值计算，涉及的研究领域非常广泛。本学科点多年来主要研究的领域有：非线性波浪与物体的相互作用理论及计算；波浪与海工结构物相互作用理论与数值模拟；流体力学的计算方法；哈密
顿体系在流体力学中的应用；斯托克斯流的一般理论及解析解；污染物质在不饱和土壤中迁移的实验与数值模拟；流动过程中流体的混合以及质量、热量传递过程的强化技术；非定常管流的数值模拟；湍流的数值模拟；流体流动稳定性分析等。 主要研究方向及其内容： 1). 计算流体力学：包括流体力学有限元法、有限体积法、边界元法以及在工程中的应用 2). 流体与固体耦合力学分析：包括流固耦合中的本征值方法和摄动法 3). 流体力学中的辛体系：包括流体力学中的哈密顿体系，计算流体力学中的辛数值方法和本征值展开法 4). 非线性水波理论及数值方法：包括哈密顿体系下的非线性浅水波理论，间断问题的数值方法 5). 流动的稳定性分析及湍流模拟：包括管道流动，明渠流动 6). 流体的混沌混合和质热传递强化技术：包括流动的不稳定性机理及热质传递过程强化机理 7). 港口海岸工程：包括波浪与海工结构物相互作用理论与数值模拟 三、培养方式及学习年限
第二章计算流体力学的基本知识 流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。 2.1 计算流体力学简介 2.1.1计算流体力学的发展 流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。 数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。 从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。 自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。 流体运动的规律由一组控制方程描述。计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解析解。但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解析解。计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力
高等工程流体力学 粘性流动 康顺 华北电力大学能源与动力工程系学院 Kangs@https://www.doczj.com/doc/9317116887.html,
内容提纲 ?边界层及其方程 ?层流边界层流动转捩 ?湍流边界层结构 ?流动分离、二次流动与旋涡 能源动力领域流动问题的主要特征 ?全三维 ?非定常 ?粘性 ?高雷诺数，边界层 ?边界层：层流、转捩、湍流（紊流），分离流动，旋涡运动 叶轮机械（透平和压气机等）大多由单个或多个级组成。每个级含有一 排静子叶片列和一排转子叶片列。在级内的气流场中，一般至少有以下 几种流动现象发生：1、前缘马蹄涡；2、通道涡；3、顶部间隙涡；4、 边界层转捩；5、叶片尾迹；6、旋涡、尾迹等与叶片列周期性非定常相 互作用。 ?激波、激波与边界层相互作用
边界层流动 边界层 边界层概念：粘性很小的流体以大雷诺数运动时，在大部分流场上可以略去粘性的作用；但在物面附近的很薄的一层流体内必须考虑粘性作用。这一薄层流体称为边界层。 平板边界层示意图有边界的流动图谱 如右上图所示：流动分为三个区：边界层，尾迹区，位流区（外部势流区） 二维平板的边界层微分方程 设直匀流以零迎角平行流过一块长度为的平板,如左下图所示，人为规定，当某个y处的速度达到层外自由流的99％时，这一点到物体表面的距离（即y）称为边界层在改点的厚度，记为。显然，边界层的厚度是与X有关的，所以可以写成。 平板边界层 边界层的厚度很小，满足此关系式： 在忽略质量力的前提下，粘性平面不可压流的运动方程加上连续方程是: 用边界层条件式上式，y的数值限制在边界层之内，即 υ ∞l δδ（x） δ（x）l δ（x）<< 22 22 22 22 1 () 1 () u u u p u u u t x y x x y p u t x y y x y u x y υν ρ υυυυυ υν ρ υ ? ?????? ++=-++? ??????? ? ??????? ++=-++? ??????? ? ?? +=? ???? l δ（x）<<0yδ ≤≤
扩散：指流体在没有对流混合情况下，流体由分子的随机运动引起的质量传递的一种性质。 本构方程：是反应物体的外部效应与内部结构之间关系的方程。对动力的粘性流体而言，外部黏性应力与内部变形速度之间的关系成为本构方程。 变形速度张量：[]? ???? ?????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx s εεεεεεεεε,,,,,,,其中，z y v x zz yy xx ??= ??=??=ω εεμε,,， ???? ????+??==x v y yx xy μεε21，??? ????+??==z x zx xz μωεε21，??? ? ????+??==y z v zy yz ωεε21 雷诺应力：在不可压缩流体的雷诺方程中，j i -μμρ称为雷诺应力（i ，j>1,2,3）当i=j 时为法相雷诺应力，不等时称为均向雷诺应力。 镜像法：是确定干扰后流场的方法之一，是一种特别的奇点法。 粘性：流体微团发生相对滑移时产生切向阻力的性质。 不可压缩流体： 0=Dt D ρ 的流体称为不可压缩流体。不可压缩均质流体：C =ρ 可压缩流体：密度随温度和压强变化的流体称为可压缩流体。 紊流：是一种随机的三维非定常有旋流动。紊流的基本特征：1，不规则流动状态；2，参数随时间空间随机变化；3，空间分布大小形状各不相同漩涡；4，具有瞬息万变的流动特征；5，流动参数符合概率规律；6，相邻参数有关联。 流体：通常说能流动的物质为流体，液体和气体易流动，我们把液体和气体称之为流体。严格地说：在任何微小剪切力的持续作用下，能够连续不断变形的物质称为流体，流体显然不能保持一定的形状，即具有流动性。 耗散函数：i i ij x p ??μ' 称为耗散函数Γ，Γ表示单位时间内单位体积流体由机械能耗散成热能 i i ij ij i i ij x v div x p ????????+??? ??-=??=Γμμεδμμμ232'' 应力张量：[]??? ? ??????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx p p p p p p p p p p ,,,,,,称为应力张量，它是描述运动黏性流体内任一点应力 状态的物理量。