函数极限的性质证明
函数极限的性质证明
x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限求极限我会
|xn+1-a|<|xn-a|/a
以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a; |xn-1-a|<|xn-2-a|/a;
|x2-a|<|x1-a|/a;
向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)
2
只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√=√5>x(1);
设x(k+1)>x(k)，则
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，
设x(k)<4，则
x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。
3
当0
当0
构造函数f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，则：t>1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
则：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以，对于数列n*a^n，其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明：
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n个9
5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。n/(n^2+1)=0
√(n^2+4)/n=1
sin(1/n)=0
实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来
就好了
第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行
第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数
极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0
不知楼主觉得我的解法对不对呀
limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0 lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n
^2)=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
第二篇：函数极限的性质
§3.2 函数极限的性质
§2函数极限的性质
ⅰ. 教学目的与要求
1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不
等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.
2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.
ⅱ. 教学重点与难点:
重点: 函数极限的性质.
难点: 函数极限的性质的证明及其应用.
ⅲ. 讲授内容
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：
1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???
f?x?；6)limf?x?。 4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.
定理3．2(唯一性)若极限limf?x?存在，则此极限是唯一
的． x?x0
证设?,?都是f当x?x0时的极限，则对任给的??0，分别存在正数?1与?2，使得当0?x?x0??1时有
f?x????? ，(1)当0?x?x0??2时有
f?x????? ，(2)
取??min??1,?2?，则当0?x?x0??时，(1)式与(2)式同时成立，故有
????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?
由?的任意性得???，这就证明了极限是唯一的.
定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，则f在x0的某空心邻域u0?x0?内有界． x?x0
证设limf?x???．取??1，则存在??0使得对一切x?u0?x0;??有x?x0
f?x????1?f?x???1
这就证明了f在u0?x0;??内有界．
定理3．4(局部保号性)若limf?x????0 (或?0)，则对任何正数r??（或x?x0
r???)，存在u0?x0?，使得对一切x?u0?x0?有
f?x??r?0（或f?x???r?0）
证设??0，对任何r?(0,?)，取????r，则存在??0，使得对一切
x?u0?x0;??
f?x??????r，
这就证得结论．对于??0的情形可类似地证明．
注在以后应用局部保号性时，常取r?a．2
x?x0定理3．5(保不等式性)设limf?x?与都limg?x?都存在，且在某邻域u0x0;?'内x?x0??
有f?x??g?x?则
limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0
证设limf?x?=?，limg?x?=?，则对任给的??0，分别存在正数?1与?2使x?x0x?x0
得当0?x?x0??1时有
????f?x?，当0?x?x0??2 时有
g?x?????
令??min?',?1,?2，则当0?x?x0??时，不等式f?x??g?x?与(4)、(5)两式同时成立，于是有
????f?x??g?x?????
从而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．
定理3．6(迫敛性)设limf?x?=limg?x?=ａ，且在某u0x0;?'内有x?x0x?x0????
f?x??
则limh?x???． x?x0h?x??g?x?
证按假设，对任给的??0，分别存在正数?1与?2，使得当
0?x?x0??1时有，2
????f?x?(7)当0?x?x0??2时有
g?x?????(8)令??min?,?1,?2，则当0?x?x0??时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立，故有
????f?x??h?x??g?x?????
由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?
定理3．7（四则运算法则）若极限limf?x?与limg?x?都存在，则函数 x?x0x?x0
f?g,f?g当x?x0时极限也存在，且
1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0
2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0
又若limg?x??0，则f|g当x?x0时极限存在，且有 x?x0
3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．
例 1求limx??x?0?x?
解当x?0时有
1?x?x???1， ?x??1? ?1?
?1?x?1?故由迫敛性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?
另一方面，当x?0有1?x???1?x，故又由迫敛性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?
综上，我们求得lim x???1 x?0?x?
3 ?1??1??1??1?
例 2求lim?xtanx?1?
x??
解由xtanx?xsinx及§1例4所得的， cosx sixn?si?lim
x???442?limcoxs， ?2x?4
并按四则运算法则有
limsinx
?xtanx?1?=limx?lim
x?x??4?4x??
4limcosxx?1=?lim?x?4???1 4
例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??
解当x?1?0时有
?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1
故所求的极限等于
x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim
例4证明lima?1?a?1? x
x?0
证任给??0 (不妨设??1)，为使
xa?1??（9）
即1???a?1??，利用对数函数loga
loga?1????x?loga?1???
于是，令x（当a?1时）的严格增性，只
要 ??min?loga?1???,?loga?1????，则当0?x??时，就有(9)式成立，从而证得结论．
ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.
ⅴ 课外作业: p51 2、3、5、7、8、9.
第三篇：§2函数极限的性质
《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院
§2 函数极限的性质
教学章节：第三章函数极限——§2 函数极限的性质
教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点：函数极限的性质及其计算.
教学难点：函数极限性质证明及其应用.
教学方法：讲练结合.
教学过程：
引言
在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：
1、limf(x)；
2、limf(x)；
3、limf(x)；
4、limf(x);
5、
limf(x)；6、limf(x).
x???x???x??x?x0x?x0?x?x0?
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至
x?x0
于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.
一、函数极限的性质
性质1（唯一性）如果x?a
limf(x)x?alimf(x)存在，则必定唯一. 证法一设?a，
x?alimf(x)?b,则
???0,??1?0,当0?|x?a|??1时，
|f(x)?a|??,(1)
??2?0,当0?|x?a|??2时，
|f(x)?b|??.(2)
??min??1,?2?取
因而有，则当0?x?a??时（1）和（2）同时成立.
a?b?(f(x)?a)?(f(x)?b)?f(x)?a?f(x)?b?2?,(3)
由?的任意性，（3）式只有当
a?b?0
时，即a?b时才成立.
a?b2
证法二反证,如x?a
0?x?a??
limf(x)
?a
，x?a
limf(x)?b
且a?b，取
?0?
，则???0，使当
时，
f(x)?a??0,f(x)?b??0
即
a?b2
?a??0?f(x)?b??0?
a?b2
矛盾.
性质2（局部有界性）若limf(x)存在，则f在x0的某空心邻域内有界.
x?x0
limf(x)?a
??1x?x0证明取, 由 , ???0, 当0?x?x0??时, 有f(x)?a?1,
即
f(x)?a?f(x)?a?a?1
a?1
说明f(x)在u0(x0;?)上有界，就是一个界.
limf(x)?b
x?a
性质3（保序性）设，x?a
limg(x)?c
0?x?a??0???0
1）若b?c，则0，当时有f(x)?g(x)；
0?x?a??0
2）若
??0?0
，当
时有f(x)?g(x)，则b?c.（保不等式性）
证明1）取
?0?
b?c2
即得.2）反证，由1）即得.
注若在2）的条件中, 改“f(x)?g(x)”为“f(x)?g(x)”,未必就有
a?b.以 f(x)?1?x,g(x)?1,x0?0
举例说明.
推论（局部保号性）如果x?a
号.
limf(x)?b
0?x?a??0???0
且b?0，则0使当时f(x)与b同
性质4（迫敛性）设limf(x)?limh(x)?a，且在某u0(x0;??)内有f(x)?g(x)?h(x)，
x?x0
x?x0
则limh(x)?a.
x?x0
证明???0, 由x?x
limh(x)?a
limf(x)?a
，??1?0，使得当0?x?x0??1时，
有f(x)?a??，即 a???f(x)?a??.又由
x?x0
，??2?0，使得当0?x?x0??2时，有h(x)?a??，
即a???h(x)?a??.
令??min(?1,?2)，则当0?x?x0??时，有a???f(x)?g(x)?h(x)?a??
limg(x)?a
即g(x)?a??，故 x?x.
性质6（四则运算法则）若limf(x)和limg(x)都存在，则函数f?g,fg当x?x0时极限
x?x0
x?x0
也存在，且 1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)；2）
lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x).
x?x0
x?x0
x?x0
x?x0
x?x0
x?x0
又若limg(x)?0，则
x?x0
fg
当x?x0时极限也存在，且有 3）lim f(x)g(x)
x?x0
x?x0
limf(x)
x?x0
limg(x)
3）的证明只要证有
x?x0
lim
1g(x)
b2
1b，令
?0?
b2
?0
，由
x?x0
limg(x)?b
b2
0?x?x0??1
，??1?0使得当时，
b2
g(x)?b?
，即
g(x)?b?g(x)?b?b??
g(x)?b?
b2
???0
,仍然由
x?x0
limg(x)?b
??2?0, 使得当0?x?x0??2时，，有0?x?x0??
取??min(?1,?2)，则当时，有
1g(x)
?1b?
g(x)?bg(x)b
2b
g(x)?b?
2b
b2
即
x?x0
lim
1g(x)
1b.
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”
出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：
limc?c,limx?x0,limsinx?sinx0,limcosx?cosx0;
x?x0
x?x0
x?x0
x?x0
lim
1x
x??
?0,limarctgx??
x???
.（注意前四个极限中极限就是函数值）
这些极限可作为公式用.
在计算一些简单极限时,利用极限性质，特别是运算性质求极限的
原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例1 求limx??.
x?0
?x?
?1?
例2 求lim?
(xtgx?1).
x?
例3 求lim(
1x??1
x?1
3x3
?1
例4lim
5x?3x?73x3
?2x2
?5
x??
注关于x的有理分式当x??时的极限.参阅[4]p37. 7 例5lim
x?1n
x
10利用公式x?1
?1
.[a?1?(a?1)(a
n?1
?a
n?2
???a?1)
例6lim
x?2x?2?1x?1
x2
例7lim
2x?
3x?1
x???
3x?5
例8lim
xsin(2x?x?10)
3?2x
x??
例9lim
?x?1.
x?0
?x?1
例10已知 lim
x?16?a参阅[4]p69.
x?3
x?3
?b.求 a和b.作业教材p51—521 -7，8(1)(2)(4)(5)； 2 补充题已知lim
x?ax?b7.求a和b.(a??
16x?2
x2?4
?b?3
203
例11lim??2?x2?ax?b?
??0.x????1?x
?求a和b. ?
2解法一
2?x
?ax?ax
1?x
?ax?
2?x1?x
?(a?1)x2
?ax?2
1?x
?b,(x??).
?a?1?0,a??1;又 ?a?b,?b?1.
解法二2?x2
1?x?ax?b?x ??? 2?x2?a?b?
?，?x?x
2x? 由x??且原式极限存在(本文来自好)， ??
2?x2x?x
?a?b
x?0，即 a?lim??2?x2?b?
???1,b?lim??2?x2?x???1x???. ?x?x2x??x????1?x??
第四篇：2 函数极限的性质
§2 函数极限的性质
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：
1）；2）；3）；
4）；5）；6）。
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。
至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。
定理3.2（唯一性）若极限
证设与、都是当存在，则此极限是唯一的。时的极限，则对任给的，
分别存在正数，使得当
时有
（1）
当
时有
（2）取，则当时，（1）式与 (2) 式同时成立，故有
由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。
定理3.3（局部有界性）若极限
内有界。存在，则在某空心邻域
证设
。取，则存在，使得对一切
有
这就证明了在内有界。
定理3.4（局部保号性）若（或），存在，使得对一切
有
（或），则对任何正数
（或
证设
有
，这就证得结论。对于，对任何，取
，则存在
，使得对一切
的情形可类似地证明。
定理3.5（保不等式性）设
内有
，则
与
都存在，且在某邻域
。（3）
证设，使得当
，时
，则对任给的，分别存在正数与（4）
当
时有
函数极限的定义 林芳 20101101903 数学科学学院 2010级（1）班 指导教师 韩刚 摘要 极限是数分中的重要内容，用定义证明极限类型题都要用到它。本文就给出二十四个函数极限的定义。 关键词 极限 1函数在一点的极限的定义 1.1函数在0x 点的极限的定义 设函数f(x)在0x 点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当0<0x x -<δ时，总有A x f -)(<ε，我们就称A 是函数在点0x 的极限，记为 A x f x x =→0 )(lim , 或者记为 f(x)→A(x 0x →). 这时也称函数f(x)在0x 点极限存在，其极限值是A. 1.2函数在点0x 右侧的极限的定义 设函数f(x)在（0x ，η+0x ）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0 我们就称A 是函数f(x)在点x 0的右极限，记为 0)(lim +→x x x f =A 或f(x 0+0)=A 或 f(x)→A (x 0x →+0) 这时也称函数f(x)在点0x 右极限存在。 1.3函数在0x 点左侧的极限的定义 设函数f(x)在（00,x x η-）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0<δ<-x x 0时，有A x f -)(<ε,我们就称A 是函数f(x)在点的左极限，记为 0)(lim -→x x x f =A 或 f(00-x )=A 或 f(x))0(0-→→x x A 这时也称函数f(x)在0x 点左极限存在. 2函数在无限远处的极限 2.1函数在无限远处极限的定义 若对任意给定的ε>0，存在X>0，当X x >时，总有ε<-A x f )(，我们说A 是f(x)在无限远处的极限，或者说A 是当x 的极限时)(x f ∞→,记为 ) ()()()(lim ∞→→=∞=∞→x A x f A f A x f x 或 这时也称函数f(x)在无限远处极限存在 2.2函数在正无限远处的极限的定义 海涅定理在函数极限证明中的应用 摘要：函数极限理论是数学分析中的重要组成部分。关于证明函数极限存在的方法探讨具有十分重要的意义。本文给出了一些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数极限归结为数列极限问题来处理。不仅给出了一类证明函数极限存在的方法，同时也加深了对函数极限和数列极限两者间的关系的理解。 关键词：海涅定理；函数极限；数列极限 Abstract: The limit theory of functions plays an important role in mathematical analysis. Study on the method proving existence of function limit is very meaningful. In this paper, we gave some applications for existence of function limit by using Heine theorem and dealt with the function limit problems to the sequence limit problems. These not only gave a kind of the method for existence of function limit, but also deepen the comprehension about the relationship between the function limit and the sequence limit. Key words: Heine theorem; function limit; sequence limit 数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。而海涅定理就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁。也是证明函数极限性质和极限存在的判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用。除此之外还可以运用海涅定理优化极限的运算。其意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理。 海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义上来说，效果都是一样的。因此，数列极限和函数极限在一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理。 近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究。此外，一些学者利用海涅定理来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献[1-6]。还有一些学者对海涅定理进行进一步推广，见参考文献[7-10]。根据文献[6，8,10] 对海涅定理进行归类整理的。 定义证明二重极限 定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P 入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7 函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件： 两个重要极限的证明第六节极限存在准则、两个重要极限 教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限； 2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法； 教学重点：利用两个重要极限求极限 教学过程： 一、讲授新课： 准则I：如果数列满足下列条件： (i)对 ; (ii) 那么，数列的极限存在，且。 证明：因为，所以对，当时，有，即 ，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有， 即有：，即，所以。 准则I′如果函数满足下列条件： (i)当时，有。 (ii)当时，有。 那么当时，的极限存在，且等于。 第一个重要极限： 作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。 证明：作单位圆，如下图： 设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即， (因为，所以上不等式不改变方向) 当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切 ，有。 又因为， 所以而，证毕。 【例1】。 【例2】。 【例3】。 【例4】。 准则Ⅱ：单调有界数列必有极限 如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。 如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。 准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。 准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。 注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。 2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。 第二个重要极限： 作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限是不存在的。 先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：， 即： (i)现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。 (ii)又令，所以， 即对，又对所以{ }是有界的。 由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表示，即 二元函数极限证明 设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ) 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5 关于函数极限如何证明 函数极限的性质是怎么一回事呢?这类的性质该怎么证明呢?下面就是学习啦给大家的函数极限的性质证明内容，希望大家喜欢。 X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |Xn+1-A| 以此类推，改变数列下标可得|Xn-A| |Xn-1-A| …… |X2-A| 向上迭代，可以得到|Xn+1-A| 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。 n/(n^2+1)=0 第十三讲、函数极限的性质 定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一. 证明：我们使用反证法加以证明。假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=， A B <。 取()/2B A ε= ?，则存在δ>10，使得当010||x x δ20，使得当020||x x δ0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界. 定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0 lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <. 在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有 推论13.1 .( 局部保号性). 若0 lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）. 推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。 高等数学 三、证明题（共 124 小题，） 1、)1 ()( , 5522)(22t f t f t t t t t f =+++=证明设。 2、 )1()()(,11ln )(yz z y f z f y f x x x f ++=++-=证明设).1,1(< {}{}{}反例。 ，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。试判定： ， 都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x = 16、 n n n n n b n n n n n n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞ →∞ →→∞ →++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设Λ 17、 {}．收敛，并求极限，试证数列 ，，．，，设n n n n n n x x n x x x x ∞ →+=-=∈lim )21(2)20(2 11ΛΛ 18、 ． 试证明，，且的某去心邻域内若在B A B x g A x f x g x f x x x x x ≥==≥→→ ; )(lim )(lim )()(0 19、 0)(lim 0)(lim )()(0 0==αα≤→→x f x x x f x x x x x ，试证明，且的某去心邻域内若在 20、 试证明不存在。limcos x x →01 21、 ． ，试证明，时，设当∞=≠→∞→→→)()(lim )0()()(0 0x g x f A A x g x f x x x x 22、 []． ，试证明，，设∞=+→∞→→→)()(lim )()(0 0x g x f A x g x f x x x x 23、 ．是常数），试证明，时，设0) () (lim ()()(0 0=→∞→→→x f x g A A x g x f x x x x 24、 {}0lim 1001=<<≤>∞→+n n n n n n a r r a a a a ，试证明，；满足设有数列 25、 的某去心邻域，使得 试证明：必存在，且，设0,)(lim )(lim 0 x B A B x g A x f x x x x >==→→．在该邻域为)()(x g x f > 26、 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取 εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限 δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I) []=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00 （IV ） cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于 时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x =254252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于 型时0 ,0x x → 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式= () () ) 12102(65) 2062(103lim 223 2232 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =)65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =)65()103(lim 222++---→x x x x x =) 3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44(lim 22x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足： 数列极限的证明 数列极限的证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限 求极限我会 |Xn+1-A|以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A||Xn-1-A|…… |X2-A|向上迭代，可以得到|Xn+1-A|2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1设x(k)x(k+1)=√[2+3x(k)]3 当0 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。n/(n^2+1)=0 √(n^2+4)/n=1 sin(1/n)=0 经典合同 二元函数极限证明姓名：XXX 日期：XX年X月X日 二元函数极限证明 目录 第一篇：二元函数极限证明 第二篇：二元函数的极限 第三篇：二元函数极限的研究 第四篇：二元函数的极限与连续 第五篇：函数极限的证明 正文 第一篇：二元函数极限证明 二元函数极限证明 设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有 |f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ) 第 2 页共 26 页 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x^2-x的路径趋于 0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 第 3 页共 26 页 重要极限的证明 重要极限的证明极限是ea0在n比较大时，(1 (1-a)/n)^n=原式=(1 1/n)^n取极限后，e》=原式的上极限》=原式的下极限》=e^(1-a)由a的任意性，得极限为e利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7 二元函数极限证明 二元函数极限证明设P=f, P0=,当P-PO时f的极限是x, y 同时趋向于a, b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限，称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：' 两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在两个二次极限存在而不相等 两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f当x-*XO时极限存在，不妨设：limf=a 根据定义:对任意￡>0,存在8〉0,使当|x-x 0|而| x-xO | 又因为￡有任意性，故可取￡ =1,则有：|f -a|再取M=max {|a-l I, |a+l |},则有:存在8 >0,当任意x属于x 0的某个邻域U时，有|f| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1,y 以y=x"2-x 的路径趋于OLimitedsi n/x"2=Limi tedsinx"2/x"2=l而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2,3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是P以任何方式趋向于该点。 f={/}*sin 显然有y->0 , f-〉*sin存在 当x->0, f->*sin, sin再0处是波动的所以不存在而当 x->0, y->0时 由| sin |而x"2+y"2所以|f|所以显然当x ->0, y->0 时，f 的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5 时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号：的意义，的直观意义. 定义 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数?然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证…… 时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的"”定义. 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2=-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 解：原式11)32 (1)31 (lim 3 =++-= ∞→n n n n 上下同除以 。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 极限证明(精选多篇) 第一篇：极限证明 极限证明 1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x，limf(k)(x)?0．x??? 2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为 偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．x f(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，??? ?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0． sin(f(x))?1．求证limf(x)存在．4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x??? 5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。 6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.n??xn??n 7.用肯定语气叙述：limx???f?x????. 8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。an?1 t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时， 为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。 10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?.n??2n2 11.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。 12.证明：若??? af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0. 11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2? n 14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0. 15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0. 16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0 ?? ?r?0?. i ?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2 r?? 定义证明二重极限 定义证明二重极限 就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在 (x0,y0)点的极限为a 关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(x，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对d内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式v(p)一周<。成立，则称a为函数人p)当p～p。时的极限.定义3设函数x一人工，”的定义域为d，点产人工。，人)是d的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点p(x，…ed，都有成立，则称a为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人x，…在点p入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点p。(x。，入)的任一去心邻域内都有使人x，y)无定义的点，相应地，定义i要求见的去心邻域内的点p都适合/(p)一a 卜 利用极限存在准则证明： (1)当x趋近于正无穷时，(inx/x^2)的极限为0; (2)证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。 1)用夹逼准则: x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0 且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0 故(inx/x^2)的极限为0 2)用单调有界数列收敛: 分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a x0>√a时,xn-x(n-1)=/2<0,单调递减 且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在. 设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a. 对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a 同理可求x0<√a时,极限亦为√a 综上,数列极限存在,且为√ (一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. §1.6 函数极限的性质和收敛准则 上一节我们引入了六种函数极限，即 ⑴ )(lim x f x +∞ → ⑵ )(lim x f x ?∞ → ⑶ )(lim x f x ∞ → ⑷ )(lim x f a x + → ⑸)(lim x f a x ?→ ⑹ )(lim x f a x → 它们具有与数列极限相类似的性质和收敛准则，证明方法也相类似。我们这里仅就第⑹种类型的极限作为代表来叙述其某些性质并证明其中一些，其他五种情形的性质及证明只要相应修改一下即可。 一、函数极限的性质 1Th （唯一性）如果)(lim x f a x →存在，则必定唯一。 证一：设)(lim x f a x →A =，B x f a x =→)(lim 。则 ,0,01>?>?δε当1||0δ?δ当2||0δ，取2 0B A ?= ε，则0>?δ，使当δ?δ，当00δ，则00>?δ，当00δ； 2） 若00>?δ，当00δ
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