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函数及其表示方法

函数及其表示方法（讲义）

知识点睛

一、映射

设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．

二、函数：

1.（1）函数定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系

f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()

f x与

之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作()

=，

y f x x∈A．

（2）构成函数的三要素：________、_________、_______．

（3）两个函数相等?______________、__________________．

（4）区间的表示：

设a，b是两个实数，且a

{x|a≤x≤b}=__________；{x|a

{x|a≤x

R=______________；

{x|x≥a}=__________；{x|x>a}=__________；

{x|x≤b}=__________；{x|x

（5）函数的表示方法：解析法、图象法、列表法．

2.分段函数：

对于定义域内的不同取值范围，函数的解析式不同．分段函数的值域是各段函数值域的并集．

3.复合函数：

若()()

=∈∈?

u g x x A u C'C

，，则

，且()()

=∈∈

y f u u C y B

=与()

u g x

=的复合函数．

y f u

[()]()

y f g x x A y B

=∈∈

，叫做函数()

精讲精练

1.给出以下对应：

①集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x，y)|

x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

②集合A={x|x是直角三角形}，集合B={x|x是圆}，对应关系f：作三角形的外接圆；

③集合A={x|x是希望中学的班级}，集合B={x|x是希望中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生；

④A=N，B={1，2}，对应关系f：除以2的余数；

⑤集合A={0，1，2}，集合B={0，1，1

}，对应关系2

f x y x

→=

：；

⑥集合A={1，2}，集合B={0，1，1

}，对应关系

f x y

→=

：．

是从集合A到集合B的映射的是__________________，是从集合A到集合B 的函数的是_____________．

2.已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，在下列A到B的四种关系中，存

在函数关系的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

3.下图中，能表示函数()

y f x

=的图象的是（）

A．B．C．D．

4.已知函数()

f x的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，

能表示()

f x的图象的只可能是（）

A．B．C．D．

5. 已知函数2()352f x x x =-+，则(3)f =___________；

()f a -=___________；(3)f a +=_________________； ()(3)f a f +=____________．

6. 已知函数2()f x x bx c =++满足(1)(3)0f f ==，则(1)f -的

值是_________．

7. 给出下列六组函数：①0121y x y ==，；

②12||y y x ==；

③22()21g()21f x x x t t t =--=--，；

④12y y ==；

⑤12()()f x f x == ⑥1(0)||

()()1(0)

x x f x g x x x ?=

8. 设全集为R

，函数()f x =M ，则C R M 为

（）

A ．(-1，1)

B ．[-1，1]

C ．(-∞，-1)∪(1，+∞)

D ．(-∞，-1]∪[1，+∞)

10. 已知函数2()4f x x x k

=++的定义域为R ，则实数k 的取值范围为

____________． 11. 直接写出下列函数的值域：

①21{12345}y x x

=+∈，，，，，：________________； ②2()[0,3]f x x x x =-∈，：________________；

③2

1y x

+：________________； ④()f x ：________________； ⑤y x =+________________； ⑥312x

y x

+(0≤x ≤1)：________________．

A．

2B．

-C．

D．

回顾与思考

________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________

【参考答案】

【知识点睛】

二、1.（2）定义域对应关系值域（3）定义域相同对应关系完全一致

（4）[a ，b ]

(a ，b ) [a ，b )

(a ，b ]

(-∞，+∞)

[a ，+∞) (a ，+∞) (-∞，b ] (-∞，b )

【精讲精练】 1．①②⑥

⑥

2．B 3．D 4．D 5．14 2352a a ++

231314a a ++

23516a a -+

6．8 7．②③⑤ 8．C 9．D 10．(4)+∞，

11．①{3，5，7，9，11}；②1

[6]4

-，；③(0，1]；④[0，2]； ⑤(-∞，4]；⑥2[3]3， 12．24vt

x d

=π

2[0]4d h v

π，

[0，h ]

13．（1）[1，2]；（2）[4，6]；（3）5

[0]2

，

14．（1）222x x +-；（2）5；（3）1

15．B 16．(-∞，-1) 17．(-1，2)∪{3} 18．[-3，+∞) 19．D 20．1

2 21．A

22．2222

2(0)2 (11) 43(0) 3 (11) x x x x x x x x x x x ≥≥≤或??---??-+<-+-<

24．3

(21)1(10)()1(01)3

(12)

x x f x x x ≤≤≤≤--<-??--

函数及其表示方法（随堂测试）

1. 若集合A =R ，B =R ，x ∈A ，y ∈B ，下列对应关系中，是从集合A 到集合B 的

映射的是（）

2. 已知函数232(1)

()(1)

x x f x x ax x +

a =____________.

3. 函数r =f ( p )的图象如图所示．

（1）函数r =f ( p )的定义域是什么？（2）函数r =f ( p )的值域是什么？

（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？

【参考答案】

1．B 2．2

3．（1）[-5，0]∪[2，6)

（2）[0，+∞)

（3）025

r r

≤或

函数及其表示方法（作业）

25.下列说法中不正确的是（）

A．函数值域中的每一个数在定义域中都有值相对应

B．函数的定义域和值域一定是不包括数0的数集

C．定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了

D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素26.函数y = f (x)的图象与直线x=1的公共点的个数是（）

A．1 B．0C．0或1D．1或2

27.若

()

f x

=，则方程f (4x)=x的根是（）

A．1

B．

-C．2D．-2

28. 若函数y = f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2}，值域为N =

{y |0≤y ≤2}，则函数y =f (x )的图象可能是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

29. 集合A ={x |0≤x ≤4}，B ={y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是（）

A ．12：f x y x →=

B ．1

3：f x y x →= C ．2

：f x y x →= D

．：f x y →=30. 下列各项表示同一函数的是（）

A ．21

()1

x f x x -=-与()1g x x =+

．()1f x =与()1g x x =- C

．()f t =

()g x =D ．()1f x =与1

()g x x x

31. 函数||

x y x x

=+的图象是图中的（）

A ．

B ．

D．

32.已知

()

x x

，则f (x)的解析式为（）

A．

()

f x

B．

()

f x

C．

()

f x

D．

()

f x

33.若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪

生函数”．那么函数解析式为2

y x

=+，值域为{9，19}的“孪生函数”共有（）

A．4个B．6个C．8个D．9个

34.设集合A={a，b}，集合B={0，1}，则从集合A到B的不同映射共有_________

个．

35.下列对应关系：

①A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1，2，3}，f x x

→

：的平方根；

②A=R，B=R，f x x

→

：的倒数；

③A=R，B=R，22

f x y x

→=-

：；

④A={-1，0，1}，B={-1，0，1}，f：x x

→的平方．

其中是从集合A到集合B的函数的是_____________．

36.（1

）函数()

f x=________________．

（2）函数

y=_____________________．

37.直接写出下列函数的值域：

①2

24(2)

x x x

y=--∈-

，，：________________；

②

[34]

y x

=∈

，，：________________；

③()|32(26]

f x x x

=--∈

，

，：________________；

④()

f x x

=+________________．

38. 已知函数(21)f x +的定义域为(2，5]，则函数(32)f x +的定义域为

___________．

39. （1）若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f =_________．

（2

）函数(1)f x +=()3f a =，则实数a =______． 40. 函数f (x )在闭区间[-1，2]上的图象如图所示，此函数的解析

式为________________________．

41. 设函数221(1)()2(1)

x f x x x x ?-?=?+->??≤，则1[](2)f f 的值为________．

42.

已知(0)

()(0)

x f x x =<≥，若()(1)2f a f +-=，则a 的值为____________．

43. 若函数246(0)

()+6

(0)x x x f x x x ?-+?=?的解集为

___________________．

44. 已知()3+2g x x =，2

21[()](0)x f g x x x

-=≠，则(1)f =________．

45. 函数2(0)

()2

(0)x bx c x f x x ?++?=?>??≤，若f (-4)= f (0)，f (-2)=-2，求方程()f x x =的

解．

46. 作出函数24||3y x x =-+的图象，并说明y 为何值时，有4个不同的x 值与

之对应．

【参考答案】

1．B 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．C 8．C 9．D 10．4 11．③④

12．（1）[0，1]；（2）(-∞，-1)∪(-1，0)

13．①5

(2]2

-，；②[2，3]；③[-2，1]；④(-∞，1]

14．(1，3]

15．（1）-1；（2）11

16．1(10)

1(02)2

x x y x x ≤≤≤+-

=?-??

17．

1516

18．±1

19．(-3，1)∪(3，+∞) 20．8

21．123122x x x =-=-=，

， 22．当13y -<<时，有4个不同的值与之对应；图象略

高中数学必修一第1讲函数及其表示

第1页共4页第4讲函数及其表示基础梳理1．函数的基本概念 (1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数 f (x)和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作： y ＝f(x)，x ∈A. (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫值域．值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 3．映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．两个防范 (1)解决函数问题，必须树立优先考虑函数的定义域的良好习惯． (2)用换元法解题时，应注意换元后变量的范围．考向一相等函数的判断【例1】下列函数中哪个与函数)0(x x y 是同一个函数（）A y =( x )2 B y=x x 2 C 33x y D y=2 x 【例2】x x y 2与).0,(,);,0(,)(t t t t x f 是相同的函数吗? 考向二求函数的定义域高中阶段所有基本初等函数求定义域应注意：（1）分式函数中分母不为 0；（2）开偶次方时，被开方数大于等于0；（3）对数函数的真数大于 0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）；（4）0次幂的底数不为0。

北师版高数必修一第4讲：函数的表示方法

函数的表示方法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x = ≥等等都是用解析式表示函数关系的。特别提醒：解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。特别提醒：图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。

必修一函数及其表示练习题

第一章函数及其表示课后练习题一、选择题 1．下列四种说法中，不正确的是 ( ) A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B ．函数的定义域和值域一定是无限集合 C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 2．f (x )＝1＋x ＋x 1－x 的定义域是 ( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．R D ．[－1,1)∪(1，＋∞) 3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是 ( ) 4．(2016·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是 ( ) A ．f ︰x →y ＝12 x B ．f ︰x →y ＝13x C ．f ︰x →y ＝23 x D ．f ︰x →y ＝x 5．下列各组函数表示相等函数的是 ( ) A ．y ＝x 2－9x －3 与y ＝x ＋3 B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝x ＋1，x ∈Z 与y ＝x －1，x ∈Z 6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 的交点个数为 ( ) A ．可能有无数个 B ．只有一个 C ．至多一个 D ．至少一个二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x ，又知f (t )＝6，则t ＝________. 三、解答题 9．求下列函数的定义域，并用区间表示： (1)y ＝?x ＋1?2x ＋1－1－x ； (2)y ＝5－x |x |－3 . (3)y ＝31－1－x ； (4)y ＝?x ＋1?0|x |－x ； (5y ＝2x ＋3－12－x ＋1x . 10．求下列函数的值域： (1) 1,[1,2]y x x = ∈ (2) x 3y -=.

高中数学必修一教案-函数的表示法

§1．2．2函数的表示法一．教学目标 1．知识与技能（1）明确函数的三种表示方法；（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法：学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程． 3．情态与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。二．教学重点和难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．三．学法及教学用具 1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．2．教学用具：圆规、三角板、投影仪．四．教学思路（一）创设情景，揭示课题．我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．（二）研探新知 1．函数有哪些表示方法呢？（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种） 2．明确三种方法各自的特点？（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用

解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．例1．某种笔记本的单价是5元，买}{ (1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =．分析：注意本例的设问，此处“()y f x =”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意： ①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域； ② 象法：是否连线； ④列④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意： ①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点： ②本例能否用解析法？为什么？例3．画出函数||y x =的图象

高一函数的表示方法

函数的表示方法 1、能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。例如，s =602t ，A =π2 r ，2S rl π=,2)y x = ≥等等都是用解析式表示函数关系的。特别提醒：解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格

常常应用到实际生产和生活中。列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。特别提醒：图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。二、函数图像： 1、判断一个图像是不是函数图像的方法：要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x轴垂直的直线，当该直线保持与x轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。 2、函数图像的作图方法大致分为两种：（1）描点作图法。步骤分三步：列表，描点，连线成图。（2）图像变换法。利用我们熟知基本初等函数图像，将其进行平移、对成等变换，从而得到我们所求的函数图像的方法。三、根据函数图像确定函数的定义域和值域： 1、由函数图像来确定函数的值域的方法是看函数图像在y轴上的正投影所覆盖的区域； 2、由函数图像来确定函数的定义域的方法是看函数图像在x轴上的正投影所覆盖的区域；四、分段函数图像：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。

高一数学必修一函数概念表示及函数性质练习题(含答案)(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。 1．已知R 是实数集，21x x ?? M =.则满足(21)f x -＜1 ()3 f 的x 取值范围是( ) 6．已知上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A. B. C. D. 7．函数2 5 ---= a x x y 在（－1，＋∞）上单调递增，则a 的取值范围是 A ．3-=a B ．3f （2x ）的x 的取值范围是________.