正、余弦函数周期性
教学目标：
1.理解周期函数、最小正周期的定义；
2.会求正、余弦函数的最小正周期。
教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。
教学过程： （一）引入：
1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量
x
2π- 32π- π- 2
π
- 0 2π
π 32
π 2π 函数值
sin x
1
1- 0
1
1-
正弦函数()sin f x x =性质如下：
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 （二）新课讲解： 1．周期函数的定义
对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．
时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
–
–
π
2
π 2
π
-
π
5π
π-
2π-
5π-
O x y
1 1-
说明：（1）T 必须是常数，且不为零；
（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 【思考】
（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin(
)sin 6
36π
ππ+
=，能否说
23
π
是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且
0k ≠）
（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*
k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+L ） 2．最小正周期的定义
对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。
说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；
（2）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π； （3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期） 3．例题分析：
例1：求下列函数周期：
（1）3cos y x =，x R ∈； （2）sin 2y x =，x R ∈； （3）1
2sin()2
6
y x π
=-
，x R ∈．
解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=，
∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π． （2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=，
∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．
（3）∵1112sin(2)2sin[()]2sin()2
62626
x x x π
ππ
ππ-
+=+-=-， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．
说明：（1）一般结论：函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+，x R
∈（其中,,A ω? 为常数，且0A ≠，0ω>）的周期2T π
ω
=
；
（2）若0ω<，例如：①3cos()y x =-，x R ∈；②sin(2)y x =-，x R ∈；
③12sin()26
y x π
=-
-，x R ∈． 则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+，x R ∈的周期2||
T π
ω=． 例2：求下列函数的周期：
（1）sin(
)32y x π
π
=-
； （2）33cos
cos sin sin 2222
x x x x y =+；
（3）sin cos y x x =+； （4）22cos sin 22
x x y =-； （5）2cos y x =．
解：（1）24||2T π
π==-，∴周期为4；
（2）333cos cos sin sin cos()cos 222222
x x x x x x
y x =+=-=，∴周期为2π；
（3
）cos sin sin()4
y x x x π
=-=- ∴周期为2π；
（4）2
2sin
cos cos 22
x x
y x =-=-，∴周期为2π； （5）2
111cos (1cos 2)cos 2222
y x x x ==-=-+，∴周期为π．
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为sin()y A x ω?=+的形式，再利用公式
2T π
ω
=
进行求解。
课堂练习： 求下列函数的周期：
（1）sin3y x =，x R ∈； （2）cos
3x y =，x R ∈； （3）3sin 4
x
y =，x R ∈； （4）sin()10y x π=+，x R ∈；（5）cos(2)3y x π=+，x R ∈；（6
）1sin()24
y x π=-，x R ∈．
小结：
1.周期函数、最小正周期的定义；
2. sin()y A x ω?=+型函数的周期的求法。
作业补充： 求下列函数的周期： （1）2
cos 2y x =； （2）sin sin()2
y x x π
=?-；
（3）sin
cos 22
x x y =+； （4）2
2
sin cos y x x =-； （5）6
6
sin cos y x x =+．
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)
第一课时 题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标： 理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x 的图象， 进而画出 y cosx 的图象；会用“五点法”画y sin x 和y cosx 在一个周期内的简图。 教学重点和难点： 重点：利用三角函数线画正弦函数x 0,2的图象，用“五点法”画y sin x 和 y cosx 在一个周期内的简图。 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。 学情分析： 学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。 教学方法： 通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。并配合适当讲授法。在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。 教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规 教学过程： （一）知识链接 1、正弦线的概念 2、诱导公式（六） （二）情景设置 在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢？ 这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。 【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考 （三）课题导入 提问1、如何作正弦函数的图象？ ①列表描点法： 步骤：列表、描点、连线 大家试着画出正弦函数sin y x =[]0,2x π∈的图像
正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？ 答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．
正余弦函数的周期性 【学习目标】 1.理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义。 2.掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并会求一些简单三角函数的周期。 3.根据函数图像导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美。 【学习重点】周期函数的定义及正、余弦函数的周期性。 【学习难点】周期函数的定义及运用定义求函数的周期。 【学案导学】 1. 请同学们画出正余弦函数的图像并观察图象的变化规律。 问题1: (1)正余弦函数的图像是按照一定规律重复出现。 (2)这个规律由诱导公式 可以说明。 (3)规律：当自变量x 的值增加2π的整数倍时，函数值就重复出现。 结论1：像这种函数，就叫做周期函数。 2. 周期函数的定义： 周期的定义： 问题2：正弦函数的周期为多少？周期中是否存在一个最小的正数？若存在，则最小的正数为多少？ 最小正周期的定义: 结论2：正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 。 余弦函数是 。 问题3：（1）周期函数的周期唯一吗？ x y 1 -1 4π-3π-2π-π2π3π4ππ-32π-52π-72π-2π-2π32π52π72πo x y 1 -1 4π-3π-2π-π2π3π4ππ-32π-52π-72π-2π-2π32 π52π72πo
（2）教材第36页练习题第1题。 （3）函数()1f x =是周期函数吗？它有最小正周期吗？ 注意：（1） （2） （3） 例1. 求下列函数的周期。 (2)sin 2,y x x R =∈ 1(3)2sin(),26 y x x R π=-∈ 问题4：你能从以上的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 结论3：sin(),cos()(,,00y A x y A x A A ω?ω?ω?ω=+=+≠>为常数，，） T= 练习：教材第36页第2题 (5)cos 2y x =- (6)sin()3y x ππ=+ (7)2cos(2)(0)4 y x πωω=+> 3.求周期的常用方法：（1） （2） （3） 练习： 4.课堂小结： （1） （2） （3） 作业： 【迁移发散】 课外思考题： (1)你认为上述结论3能否推广到求一般周期函数的周期上去？ 即命题：如果函数()y f x =的周期是T ，那么函数()(0)y f x ωω=>的周期是 ? (2)求函数sin ,y x x R =∈的周期？ (3)已知函数f x （）定义域为R 且满足1f x f x +=-（）（），求函数f x （）的周期？ (1)3cos ,y x x R =∈T ω36P 346P 3.10
6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标;
正弦函数余弦函数的性质 教学目标 1．掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点) 2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点) 3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的周期性 阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题． 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． (2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________．
解：函数y ＝2cos x ＋5的最小正周期为T ＝2π. 【答案】 2π 教材整理2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材P 37“思考”以下至P 37第14行以上内容，完成下列问题． 1．对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． 2．对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称． 判断函数f (x )＝sin ? ?? ?? 2x ＋ 3π2的奇偶性． 解：因为f (x )＝sin ? ???? 2x ＋3π2＝－cos 2x . 且f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质 阅读教材P 37～P 38“例3”以上内容，完成下列问题．
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作 ()x f y =，D x ∈。 （2）三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin 1 y y y MP r α====； cos 1 x x x OM r α====； tan y MP AT AT x OM OA α= ===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的 角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 （1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；
1.4. 2.2正、余弦函数的单调性与最值 基础知识和技能训练(九) 1．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.???? ??－π4，π4 B.?????? π4，3π4 C.? ?? ???0，π2 D.???? ??π2，π 解析 ∵y ＝cos2x ， ∴2k π≤2x ≤π＋2k π(k ∈Z )， 即k π≤x ≤π 2＋k π(k ∈Z )． ∴? ?? ???k π，k π＋π2(k ∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减区间． 而? ?? ? ??0，π2显然是上述区间中的一个． 答案 C 2．函数y ＝cos ? ????x ＋π6，x ∈??????0，π2的值域是( ) A.? ???? －32，12 B.?????? －12，32 C.???? ?? 32，1 D.? ??? ?? 12，1 解析 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π 3， ∴－12≤cos ? ????x ＋π6≤3 2，选B. 答案 B
3．设M 和m 分别表示函数y ＝1 3cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( ) A.23 B ．－23 C ．－43 D ．－2 解析 依题意得M ＝13－1＝－23，m ＝－1 3－1 ＝－4 3，∴M ＋m ＝－2. 答案 D 4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 解析 cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°. sin80°＞sin12°＞sin11°， 即cos10°＞sin168°＞sin11°. 答案 C 5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间??? ? ??0，π3上单调递增，在区间???? ?? π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32
§4.8正弦、余弦函数的单调性（一） 班级 学号 姓名 一、 课堂目标： 能正确地求出正弦、余弦函数及一些简单复合函数的单调区间 二、 要点回顾： 1增函数定义回顾：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x 1, x 2，当x 1
【课堂例题】 例1.试画出正弦函数在区间[0,2]π上的图像. 例2.试画出余弦函数在区间[0,2]π上的图像. 课堂练习 1.作函数sin y x =-与sin 1y x =+在区间[0,2]π上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系. 3.作函数cos ,[,]y x x ππ=∈-的大致图像. 4.利用3.解不等式：cos sin ,[,]x x x ππ≥∈-
【知识再现】 正弦函数：y = ，x ∈ ； 余弦函数：y = ，x ∈ . 正弦函数和余弦函数在[0,2]π上的大致图像: 【基础训练】 1.(1)若MP 和OM 分别是角 76 π 的正弦线和余弦线，则( ) A.0MP OM <<；B.0OM MP >>； C.0OM MP <<；D.0MP OM >>. (2)正弦函数与余弦函数在区间[,]ππ-内的公共点的个数是( ) A.1； B.2； C.3； D.4. 2.我们学过的诱导公式中， (1)说明余弦函数cos ,y x x R =∈的图像关于y 轴对称的是 ； (2)说明正弦函数sin ,y x x R =∈的图像关于直线2 x π = 对称的是 . 3.(1)函数cos 3,y x x R =+∈的值域是 ； (2)函数24sin 2,(0,)y x x π=-∈的值域是 . 4.函数cos ,[0,2]y x x π=∈和1y =的图像围成的封闭的平面图形的面积为 . 5.利用“五点法”,画出下列函数的大致图像：(步骤：列表、描点、联线) (1)1sin ,[,]y x x ππ=+∈-; (2)cos ,[0,2]y x x π=-∈. O y x
1．4．1 正弦函数和余弦函数的图象 编写人: 杨朝书 审核人：王维芳 时间 2010-3-22 一、学习目标 1、 了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象。 2、 会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图。 二、重点难点 重点：正弦函数、余弦函数的图象。 难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点；正弦函数和余弦函数图象间的关系。 三、知识链接 1、sin(2)k απ+=_____________,cos(2)k απ+=____________,tan(2)k απ+=__________ （其中k Z ∈） 2、三角函数的几何表示，即___________，作出角 23 π 的正弦线、余弦线和正切线。 3、诱导公式：sin()2πα-= sin()2 πα+= cos()πα-= cos()πα+= 4、函数的定义__________________________________________________________________ 四、学习过程 [知识探究]正弦函数、余弦函数的图象 阅读课本30p 第一段：正弦函数、余弦函数的定义是：__________________________________. 问题1、用描点法作出正弦函数sin y x =的图象（试填写下表并描点，作出图象） 阅读课本31p 完成问题2、用几何法作出正弦函数sin y x =的图象。 1、利用几何法作正弦函数的图象可分为两步：一是画出______________的图象；二是把这一图象向_____________________________连续平移（每次2π个单位长度） 2、“五点法”作图的一般步骤是①_________;②_____________;③________________ 3、“五点法”作正弦函数图象的五个点是_______________________________;“五点法”作余弦函数图象的五个点是 _______________________________ 4、函数cos y x =（x R ∈）的图象可以通过sin ()y x x R =∈的图象向_______平移_____个单位长度得到。 5、通过图象能说出正弦曲线和余弦曲线是否是轴对称图象和中心对称图形？若是对称轴是什么？对称中心是什么？ [典型例题] 例题 画出下列函数的简图： ⑴1sin y x =+，[0,2]x π∈；⑵cos ,[0,2]y x x π=-∈；⑶1sin(2)26 y x π= + 变式：你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象来得到1sin y x =+， [0,2]x π∈的图象？同样的，能否从函数cos ,[0,2]y x x π=∈的图象得到函数cos ,[0,2] y x x π=-∈的图象？
重庆市丰都实验中学校高2013级数学导学案 课题：正、余弦函数的周期 【学习目标】 掌握)sin(?ω+=x A y 的周期公式ωπ2= T 。 【重点难点】 重点：熟练用定义证明函数的周期； 难点：抽象函数周期的求法。 【课前预习】 1.正弦函数、余弦函数是周期函数？ 2.怎样从代数角度定义周期函数？ 【典型例题】 例1.求下列函数的周期。 （1）R x x y ∈=,cos 3 （2）R x x y ∈=,2sin （3）R x x y ∈-=),621 sin(2π （4）R x x y ∈-=),2 1sin( 变式：求下列函数的周期： （1）)43sin(21π-=x y （2）)2 16sin(5x y -=π（3）x y sin =（4）x y 2sin = 提问：周期函数与自变量的系数有什么关系？ 总结：)sin(?ω+=x A y 的周期ωπ2= T 。
例2.证明：x x x f cos sin )(+=的一个周期是 2π。 变式：)3cos(π -=x y 的最小正周期是 。 例 3.若函数R x x x f ∈+=),sin(2)(?ω，（其中2,0π?ω<> ）的最小正周期是π，且3)0(=f ，则ω= ，?= 。 变式练习： )6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π ，其中0>ω，则ω= 。 【课后作业】 1.下列函数中，周期为 2π 的是（） A 2sin x y = B x y 2sin = C 4cos x y = D x y 4cos = 2.若)35sin(3)(+=kx x f ，)0(≠k 的最小正周期不大于1，则最小正整数k = 。 3.判断函数x x x f cos sin 2)(2+=，R x ∈的周期性，如果是周期函数，最小正周期是多少？ 4. A x y π +=sin 21，（0>A ）的最小正周期为π3，则A = 。 5.设)(x f 是定义域为R ，最小正周期为π23 的函数，若{) 02(,cos )0(,sin )(<≤ -<≤=x x x x x f ππ，则)(415 π-f = 。
正余弦函数的图像与性 质周期性 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
第一课时 题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标： 理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x的图象，进而画出y cosx的图象；会用“五点法”画y sin x和y cosx在一个周期内的简图。 教学重点和难点： 重点：利用三角函数线画正弦函数x0,2的图象，用“五点法”画y sin x和y cosx在一个周期内的简图。 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。 学情分析： 学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。 教学方法：通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。并配合适当讲授法。在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。 教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规
教学过程： （一）知识链接 1、正弦线的概念 2、诱导公式（六） （二）情景设置 在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢 这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。 【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考 （三）课题导入 提问1、如何作正弦函数的图象 ①列表描点法： 步骤：列表、描点、连线 大家试着画出正弦函数sin =[] y x ∈的图像 xπ 0,2
6.1课题：正弦函数和余弦函数的图像与性质（2）教案 教学目的：1、理解正、余弦函数的值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2、会求简单函数的值域、最小正周期和单调区间； 3、掌握正弦函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期及求法。 教学重点：正、余弦函数的性质。 教学过程： （一）、引入 回顾三角函数的图像： 函数y=sinx ，x ∈[0，2π]和y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象， （二）、新课 1．定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R 2．值域 因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x ｜≤1， ｜cos x ｜≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］ 其中正弦函数y =sin x ，x ∈R ①当且仅当x ＝ 2 π＋2k π，k ∈Z 时， 取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1 3．周期性 由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cosx (k ∈Z )知：
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。 一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期 对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期。 注意： （1）周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无 下界； （2）“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） （3）T 往往是多值的（如y=sinx ，2π，4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数 叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。 4．奇偶性 由sin(－x)＝－sinx ， cos(－x)＝cosx 可知：y ＝sinx 为奇函数， y ＝cosx 为偶函数 ∴正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称 5．单调性 从y ＝sin x ，x ∈［－ 23,2ππ］的图象上可看出： 当x ∈［－2π，2 π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1 当x ∈［2 π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－ 2π＋2k π，2 π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1。 余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1 （三）典型例题（3个，基础的或中等难度） 例1：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。 （1）y ＝cosx ＋1，x ∈R ； （2）y ＝sin2x ，x ∈R 解：（1）使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取 得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝。 ∴函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2。
《正弦、余弦函数的周期性》教案 一、教材分析： 《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用． 二、教学目标： 学情分析： 学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标： (一)知识与技能 1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性． 2．会求一些简单三角函数的周期. (二)过程与方法 从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数 y=cosx的周期性． (三)情感、态度与价值观 让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力． 三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性. 四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期. 五、教学准备：三角板、多媒体课件 六、教学流程：
正弦函数、余弦函数的单调性教学设计 教学目标： 知识目标：能够根据正弦函数和余弦函数的单调性比较函数值的大小；能求出求形如 的单调区间及)cos()sin(?ω?ω+=+=x y x y 。 情感目标： 通过经历新知识的探索，培养学生善观察、勤思考、爱探究良好的学习品质。 能力目标： 培养学生能够灵活运用正，余弦函数图像写出单调区间，会利用单调性解决相关问题 教学重点、难点： 教学重点：用数形结合法探索正、余弦函数的单调性。 教学难点：求形如情形的单调区间当及0)cos()sin(>+=+=ω?ω?ωx y x y 。 学情分析：学生在前节课已经学习了正余弦函数的一些性质，因此在学习其单调性的时候不会太 难，考虑到本班学生的基础参差不齐，对问题的理解能力有不同，所以在教学中要照 顾全局，仔细分析，耐心讲解 教学方法：讲授法，探究法，讲练结合法 教学过程: 一、复习引入: 前面已学过正弦函数和余弦函数的图象以及它们的性质现在我们要通过正弦、余弦函数图象去研究它的另一个重要的性质——单调性。 1. 正弦函数、余弦函数的图像 2．函数的单调性定义在某区间上单调增（或单调减）的图象特征。 二、新课: （一）、正弦函数的单调性 1、探究正弦函数]23,2[sin π π-=在x y 上的单调性 (1) 让学生观察正弦函数y=sinx 的图象 启发学生思考：它有多段图象自左到右是呈现上升状态，也有多段呈下降状态，根据函数单调性知识可知它分段具有单调性，那么这里面有什么规律呢，先要找一个周期区间上的函数图象来分析研究。 引导学生分析所选用的那一个区间段的图是否最佳选择，最适合的是只有一个单调增区间和单调减区间的用这两段上的图象。（选择区间]23,2[ππ- ） (2)让学生再观察正弦函数在区间]23,2[π π-上的图象的升降情况. 提问：从图形中你发现了什么样的现象？
正余弦函数的周期性练习 一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．函数y ＝3sin ????2x ＋π 6的最小正周期是 ( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π 2 2．下列函数中，周期为π 2 的是 ( ) A ．y ＝sin x 2 B ．y ＝sin2x C ．y ＝cos x 4 D ．y ＝cos4x 3．函数y ＝sin(4－2x )的最小正周期是 ( ) A.π 2 B ．π C ．2π D ．4π 4.若0≠a ，则()π+=ax y sin 的最小正周期是（ ） A. a π B.a π C. a π 2 D. a π2 5．在函数y ＝sin|x |，y ＝|sin x |，y ＝sin ????2x ＋π3，y ＝cos ????2x ＋2π 3中，最小正周期为π的函数的个数为 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．函数y ＝??? ?sin x 2的最小正周期是 ( ) A.π 2 B ．π C ．2π D ．4π 7、下列命题中，正确的是 （ ） A 、x x x f +=sin )(是周期函数 B 、3)(=x g 是周期函数 C 、x x x h cos )(=是周期函数 D 、x x u 2sin )(=的最小正周期为π2 8、函数)6 2cos()(π π+ =x x f 的最小正周期是 （ ） A 、π B 、 2 π C 、1 D 、 2 1 9．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2 的函数，若f (x )＝????? cos x ????－π2≤x <0，sin x (0≤x <π)，则f ????－15π4的值等于 ( ) A ．1 B. 2 2 C ．0 D ．－ 22 二、填空题(每小题8分，共计24分) 10.若??? ??-=x y ωπ3cos 2的最小正周期是π4 ，则=ω ()0>ω. 11.已知()0,4sin >??? ? ?+ =ωπωx y 的最小正周期为 3 2π ，则=ω ； 12．已知函数f (x )是周期为6的奇函数，且f (－1)＝1，则f (－5)＝__________. 13．函数y ＝2cos ????π 3－ωx 的最小正周期是4π，则ω＝__________. 14．若f (x )＝4sin ? ???ωx －π 3的最小正周期不小于2，则正整数ω的最大值是__________． 三、解答题(共计40分) 15.写出下列函数的周期: (1)x y 3sin =； (2)3cos x y =； (3)??? ? ? +=34cos πx y ； (4)??? ??-= 42 1 sin 3πx y ； (5)()x y -=π31cos 2. （3）|2sin |x y = （4）7)6 21cos()32 1sin(2+--+ =π π x x y 16、已知函数)3 3sin( 5)(π+=x k x f ， （1）若周期为π3，求k 的值； （2）若周期不大于1，求自然数k 的最小值。
关于正弦函数和余弦函数的计算公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα
正弦函数与余弦函数的图像与性质 1．已知函数f (x )＝sin(x －π2 )(x ∈R )，下面结论错误的是________． ①函数f (x )的最小正周期为2π ②函数f (x )在区间[0，π2 ]上是增函数 ③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 ④函数f (x )是奇函数 2．函数y ＝2cos 2(x －π4 )－1是________．①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为π2的奇函数 ④最小正周期为π2 的偶函数 3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2 ，则f (x )的最大值为________． 4．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝π12 ，则a 的值为________． 5．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝π3 对称，它的最小正周期是π，则f (x )图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)． 6．设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32 . (1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和． B 组 1．函数f (x )＝sin(23x ＋π2)＋sin 23 x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________． 2．给定性质：a 最小正周期为π；b 图象关于直线x ＝π3 对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab 的是________． ①y ＝sin(x 2＋π6) ②y ＝sin(2x ＋π6) ③y ＝sin|x | ④y ＝sin(2x －π6 ) 3．若π4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 尝试回忆 1、1弧度的角； 2、角度制与弧度制的互化； 3、弧长公式及扇形面积公式； 4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x 轴上的角的集合。 2、特别注意：角度与弧度不要混用。如0 90,k k Z π+∈，应写成0 18090,k k Z ?+∈或,2 k k Z π π+ ∈ 3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？ 探究新知 1、单位圆 在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。 单位长：可以是1cm 、1m 、1km 、1光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。 2、任意角的正、余弦函数定义 在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作v=sin α; 点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数,记作u=cos α. 通常，用x 表示自变量，用x 表示角的大小，用y 定义任意角的三角函数y=sinx 和y=cosx,定义域为R ，值域为设点P （a,b ）是角α终边上除原点之外的任意一点，记r =则定义sin ,cos .b a r r αα= =更具有一般性。 3、三角函数值的符号 根据定义，三角函数值的符号仅与点P 的纵、横坐标的符号有关。sinα在一、二象限为正，三、四象限为负；cos α在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值也有符号。 例1功能：会求任意角的三角函数值。其步骤（1）画角；（2）求交点坐标。可联立方 程221,. x y y x ?+=?=-?解得；（3）求值。 4、单位圆与周期性 在单位圆中找到角 ,2,46 6 6 α α α ππ+ + 等与单位圆的交点，说明：（1）终边没变；（2） 交点没变；（3）交点的纵、横坐标没变。从而说明正弦函数值没变，余弦函数值没变。即 从而说明终边相同的角的正弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值相等。即 sin(2)sin ,.cos(2)cos ,.k x x k Z k x x k Z ππ+=∈+=∈ 说明：对于任意一个角x ，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变。所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。这种随自变量的变化函数值呈周期性变化的函数叫做周期函数。特别指出，周期性不是三角函数特有的，一般函数也有周期性。周期函数的自变量不一定是角。2π是sin ,y x x R =∈的周期，则任意角三角函数 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
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